ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013 môn toán 12 khối A đề thi chính thức

www.MATHVN.com

www.mathvn.com
1

TRNG THPT CHUYấN VNH PHC
K THI TH I HC LN 1 NM HC 2012-2013
Mụn: Toỏn 12. Khi A.
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao )

A.PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (8,0 im)
Cõu I (2,5 im) Cho hm s :
3
3 2
y x mx
= +

(
)
1
,
m
là tham số thực.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
(
)
1
khi
1
m
=

2)
Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số
(
)
1

có
ti

p tuy

n t

o v

i

ng th

ng
: 7 0
d x y
+ + =
gúc

,bi

t
1
cos
26
=
.
Cõu II (2,5 im) 1) Gii phng trỡnh :
4
3 4cos2 8sin 1
sin 2 cos2 sin 2
x x
x x x

=
+

2) Gii h phng trỡnh:
( )
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x

+ = +


+ = +

( , )
x y

R
.
Cõu III
(1,0

i

m) Tớnh gi

i h

n :
3 2
2
2
6 4
lim
4
x
x x
L
x

+
=

Cõu IV. (1,0 im) Cho hỡnh lp phng
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
có di cnh bng
3
v im
M
thuc cnh
1
2
CC
=
.Mt phng
(
)

i qua
,
A M
v song somg vi
BD
chia khi lp phng thnh hai khi a din.
Tớnh th tớch hai khi a din ú.
Cõu V. (1,0 im) Cho cỏc s thc
, ,
x y z
tho món
2 2 2

3
x y z
+ + =
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
2 2
3 7 5 5 7 3
F x y y z z x
= + + + + +

B. PHN RIấNG (2,0 im). Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn 1 hoc 2)
1.Theo chng trỡnh Chun
Cõu VIa. ( 1,0 im) Trong mt phng vi h to
Oxy
cho hai điểm
(
)
(
)
2;1 , 1; 3
A B

và hai đờng
thẳng
1 2
: 3 0; : 5 16 0.
d x y d x y
+ + = =
Tìm toạ độ các điểm
,
C D

lần lợt thuộc
1 2
,
d d
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành.
Cõu VIIa.
( 1,0

i

m) Tớnh t

ng :
2 1 2 2 2 3 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2012S C C C C= + + + +



2. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu VIb.
( 1,0

i

m) Trong m

t ph

ng h

to



Oxy
cho e lớp
( )
2 2
: 1
9 4
x y
E
+ =

và các điểm
(
)
3;0
A
;
(
)
1;0
I
.Tìm toạ độ các điểm
,
B C

thuộc
(
)
E
sao cho
I
là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC

Cõu VII B:(
1,0

i

m): Tớnh t

ng:
0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2013
C C C C
T = + + + +



HT



Ghi chỳ: - Thớ sinh khụng c s dng bt c ti liu gỡ!

- Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm!


chớnh thc

(

thi g

m 01 trang)
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
2






TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 – LẦN 1
MÔN TOÁN
– KHỐI A
(Đáp án gồm 5 trang)

Câu Nội dung trình bày Điểm

I(2,0đ)

1. (1,50 điểm)


Khi
1
m
=
hàm số (1) có dạng
3
3 2
y x x
= − +

a) Tập xác định
D
=
ℝ

b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên:
2
' 3 3
y x
= −
,
' 0 1
y x
= ⇔ = ±
. Khi đó xét dấu của

'
y
:
+
+
-
0
0
1-1 +
∞
∞∞
∞
-
∞
∞∞
∞
y
x

hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
(
)
; 1 , 1;
−∞ − + ∞
và ngh
ị
ch bi
ế

n trên kho
ả
ng
(
)
1;1
− .



0,50

+) C
ự
c tr
ị
: hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
1, 4
CD
x y

= − =

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
1, 0
CT
x y
= =

+) Gi
ớ
i h
ạ
n:
3 3
2 3 2 3
3 2 3 2
lim lim 1 ; lim lim 1
x x x x
y x y x
x x x x

→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
   
= − + = −∞ = − + = +∞
   
   



0,25

+) B
ả
ng bi
ế
n thiên:
:
x

−∞
-1 1
+∞

y'


+
0
−
0
+

y

4
+∞


−∞
0






0,25

c)
Đồ
th
ị
:
3
0 3 2 0 1, 2
y x x x x
= ⇔ − + = ⇔ = = −
, suy ra
đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i Ox
t
ạ
i các
đ
i
ể

m
(
)
(
)
1;0 , 2;0
−

'' 0 6 0 0
y x x
= ⇔ = ⇔ = ⇒

đồ
th
ị
hàm s
ố
nh
ậ
n
đ
i
ể
m
(
)
0;2
làm
đ
i

ể
m u
ố
n.













0,50
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
3

2. (1,0 điểm)


Gọi
k
là hệ số góc của tiếp tuyến
⇒
tiếp tuyến có VTPT
(
)
1
; 1
n k
= −


Đường thẳng
: 7 0
d x y
+ + =
ti
ế
p tuy
ế
n có VTPT

(
)
2
1;1
n =



0,25

Ta có
( )
1 2
1 2
2
1 2
1
1
cos cos ,
26
2 1
n n k
n n
n n
k
⋅ −
α = = ⇔ =
+
 
 

 
2
3 2
12 26 12 0
2 3
k k k k
⇔ − + = ⇔ = ∨ =



0,25

YCBT tho
ả mãn
⇔
ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
, 2 2
, 2 2
3 3 2 1 2 1
3 3 0
2 2 2 2
2 2 9 2 9 2
3 3 0
3 3 9 9
m m
y x m x
m m
y x m x
+ +
   

= − = = ≥
   
⇔ ⇔ ⇔
   
+ +
   
= − = = ≥
   
   
1
2
2
9
m
m

≥ −



≥ −


1
2
m
⇔ ≥ −

0,25

V
ậy để đồ thị có tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: 7 0
d x y
+ + =
góc
α
,có
1
cos
26
α =
.
thì
1
2
m
≥ −


0,25
II(2,5đ)

1.(1,25 điểm).
Giải phương trình :
4
3 4cos2 8sin 1
sin 2 cos2 sin 2

x x
x x x
− −
=
+



§/k
( )
sin 2 cos2 0
8 2
sin 2 0
2
x l
x x
l
x
x l
π π
π

≠ − +

+ ≠


⇔ ∈
 
≠



≠


Z



0,25
1

-1
4



x

x

x

0

y

3
3 2
y x x

= − +

www.MATHVN.com

www.mathvn.com
4


ta cã:
2
4
1 cos2
8sin 8 3 4cos2 cos4
2
x
x x x
−
 
= = = − +
 
 
⋯

Ph−¬ng tr×nh
(
)
3 4cos2 3 4cos2 cos4
1
sin 2 cos2 sin 2
x x x

x x x
− − − +
⇔ =
+


( )
cos4 1
sin 2 cos2 0,sin 2 0
sin 2 cos2 sin 2
x
do x x x
x x x
−
⇔ = + ≠ ≠
+






0,50

( ) ( )
1
cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos2 0
sin 2
x x x x x
x

⇔ − − = ⇔ + =

( )
( )
cos2 0 sin 2 cos2 0 2
2
4 2
x x x loai x k
x k k
π
π
π π
⇔ = ∨ + = ⇔ = +
⇔ = + ∈ℤ




0,25

VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm
( )
4 2
x k k
π π
= + ∈
Z

0,25

2.(1,25điểm).
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
( )
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x

+ = +


+ = +



( , )
x y
∈
R
.

Vi
ế
t l
ạ
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
(
)
3 3
2 2
4 4 0(*)
5 4(**)
x y x y
y x

+ − − =


− =



Thay
(
)
**
vào

(
)
*
ta được:
(
)
(
)
3 2 2 3 3 2 2
5 4 0 21 5 4 0
x y x y x y x x y xy
+ − − − = ⇔ − − =


( )
2 2
1 4
21 5 4 0 0
3 7
x x xy y x x y x y
⇔ − − = ⇔ = ∨ = − ∨ =



0,25


0,25

•

0
x
=
thế vào
(
)
**
ta được
2
4 2
y y
= ⇔ = ±

•
1
3
x y
= − thế vào
(
)
**
ta được
2
2 2
3 1
5
4 9
3 1
9
y x

y
y y
y x
= ⇒ = −

− = ⇔ = ⇔

= − ⇒ =


•
4
7
x y
= − thế vào
(
)
**
ta được
2
2 2
80 31
4 4
49 49
y
y y
− = ⇔ − =
Vô nghiệm

0,50

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
(
)
(
)
(
)
(
)
; 0; 2 , 1; 3 , 1;3
x y = ± − −
0,25

III(1đ)
Tính giới hạn :
3 2
2
2
6 4
lim
4
x
x x
L
x
→

− − +
=
−



3 2 3 2
2 2 2
2 2 2
6 2 2 4 6 2 4 2
lim lim lim
4 4 4
x x x
x x x x
L
x x x
→ → →
− − + − + − − + −
= = −
− − −


0,25

( )
( )
( ) ( )
2 2 3
2
2 2

2
2 2 2
3
3
6 2 4 2
lim lim
4 6 2
4 4 2 4 4
x x
x x
x x
x x x
→ →
− − + −
= −
 
− − +
− + + + +
 
 


0,25
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
5


( )

( )
( )
2
2 2
2 23
3
1 1
lim lim
2 6 2
4 2 4 4
x x
x x
x x
→ →
−
= −
+ − +
+ + + +
1 1 7
16 12 48
= − − = −


0,25

Vậy giới hạn đã cho bằng
7
48
−

0,25
IV(1đ)
Cho hình lập phương
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
cã độ dài cạnh bằng
3



Dựng thiết diện của mặt phẳng đi qua
,
A M
và song song với
BD
.
Gọi
1 1 1 1 1
, ,
O AC BD O AC B D I AM OO
= ∩ = ∩ = ∩ . Trong mặt phẳng
(
)
1 1
BDD B
qua
I

kẻ đường thẳng song song với

BD
cắt
1 1
,
BB DD
lần lượt tại
,
K N
.Khi đó
AKMN
là thi
ết
diện cần dựng.


0,25

Đặt
1 1 1 1
1 . . 2 . 1
A BCMK A DCMN ABCD A B C D
V V V V V V
= + ⇒ = −
.
Ta có:
1 1
1
2 2
OI AO
DN BK OI CM

CM AC
= = ⇒ = = = =


0,25

Hình chóp
.
A BCMK
có chiều cao là
3
AB
=
,đáy là hình thang
BCMK
.Suy ra:
(
)
3
.
.
1 1 3 9
. .
3 3 2 6 2
A BCMK BCMK
BC BK CM
V AB S AB
+
= = = =
.

Tương tự
.
9
2
A DCMN
V
=



0,25

Vậy
3
1 2
9 9
9 3 9 18
2 2
V V
= + = ⇒ = − =
(đvtt)
0,25
V(1,0đ)

…Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
3 7 5 5 7 3
F x y y z z x
= + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
3 6 12 18 2 2 18 2 2 3
F x y z x y z x x
   
 
≤ + + ≤ + + = + −
 
   
   


0,25

Xét hàm s
ố

( )
(
)
2 2
2 2 3
f x x x
= + −
trên miền xác định
3 3
x− ≤ ≤

( )
( )
(
)
(
)
'
2
4
2 3; 3
2 3
x
f x x x
x
= − ∀ ∈ −
−



0,25

(
)
'
0
f x
=
trên
(

)
3; 3
−
0
1
x
x
=

⇔

= ±


(
)
(
)
(
)
3 3, 0 2 6, 1 5
f f f
± = = ± =



0,25

(
)

2
3; 3
max 5 18.5 90 3 10
f x F F
 
−
 
⇒ = ⇒ ≤ = ⇒ ≤
d
ấ
u b
ằ
ng khi
1
x y z
= = =

V
ậ
y
max 3 10 1
F x y z
= ⇔ = = =



0,25
6a(1,0đ)

T Tim

to¹ ®é c¸c ®iÓm
,
C D
lÇn l−ît thuéc
1 2
,
d d
sao cho tø gi¸c
ABCD
lµ h×nh b×nh hµnh.



Do tø giác
ABCD
lµ h×nh b×nh hµnh nªn ta cã
( ) ( )
3
3;4 *
4
D C
D C
x x
CD BA
y y
− =

= = ⇒

− =


 


0,25
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
6


Mặt khác :
( )
1
2
3 0
**
5 16 0
C C
D D
x y
C d
D d x y
+ + =





=

0,25

Từ (*) và (**) ta giải đợc
3
6
;
6 2
C
D
C D
x
x
y y
=
=



= =


ta có
(
)
(

)
3;4 , 4; 3
BA BC
= =

cho nên hai
véc tơ
,
BA BC

không cùng phơng ,tức là 4 điểm
, , ,
A B C D
không thẳng hàng ,hay tứ
giác
ABCD
là hình bình hành.


0,25

.Đáp số
(
)
(
)
3; 6 , 6; 2
C D

0,25
7a(1,0)

Tớnh tng :
2 1 2 2 2 3 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2012S C C C C= + + + +





(
)
(
)
2
2012 2012 2012 2012
1 1 1 1,2, ,2012
k k k k
k C k k C k k C kC k

= + = + =



0,25

( )
( ) ( )

2 2 1
2012 2010 2011
2012! 2012!
1 2012(2011 ) 1,2 ,2012
! 2012 ! ! 2012 !
k k k
k C k k k C C k
k k k k

= + = + =



0,25

T ú
(
)
(
)
0 1 2010 0 1 2011
2010 2010 2010 2011 2011 2011
2012 2011S C C C C C C

= + + + + + + +



=
( ) ( )

(
)
2010 2011
2010 2011 2010
2012 2011 1 1 1 1 2012 2011.2 2 2012.2013.2

+ + + = + =



0,25

ỏp s :
2010
2012.2013.2
S
=

0,25
6b(1,0)

Tìm toạ độ các điểm
,
B C
thuộc
(
)
E
sao cho
I

là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC



Ta có
2
IA
=
Đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
có pt:
(
)
2
2
1 4
x y
+ + =

0,25

Toạ độ các điểm
,
B C
cần tìm là nghiệm của hệ pt:
( )
2
2
2 2

1 4
1
9 4
x y
x y

+ + =


+ =




0,25

( )
( )
2
2
2
2
2
1 4
1 4
3
3
5 18 9 0
5
x y

x y
x x
x x

+ + =

+ + =



= =
+ + =





3 0
x y B A C A
=

=


(loại)

3 4 6 3 4 6 3 4 6
; , ;
5 5 5 5 5 5
x y B C

= =








0,25



0,25

7b(1,0)


Tớnh t

ng :
0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2013
C C C C
T = + + + +

( )
( ) ( )
1
2012
2013
2012!
! 2012 !
1 2013! 1
1 1 2013 2013
1 ! 2013 1 !
k
k
k k
C
C
k k
k k
+

= = =
+ +

+ +


0,1,2,3, ,2012
k
=

0,50
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
7


( )
( )
2013
2013
1 2 2013 0
2013 2013 2013 2013
1 1 2 1
1 1
2013 2013 2013
T C C C C
−
 
⇒ = + + + = + − =
 
⋯

0,25

Đáp số
2013
2 1
2013

T
−
=


0,25

Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án chỉ trình bày một cách nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được
điểm.
-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Hết