Giáo trình Bố trí đường cong (Nghề Trắc địa công trình CĐTC)

BỘ XÂY DỰNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ XÂY DỰNG

GIÁO TRÌNH
MƠ ĐUN: BỐ TRÍ ĐƯỜNG CONG
NGHỀ: TRẮC ĐỊA CƠNG TRÌNH
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG, TRUNG CẤP

Quảng Ninh, năm 20…..



TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể được phép
dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh
thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.



BÀI MỞ ĐẦU
Do yêu cầu về kỹ thuật trong xây dựng, tại những nơi tuyến đổi hướng ta
phải bố trí đường cong thay cho đoạn thẳng gãy khúc. Trong không gian có thể
phân thành đường cong phẳng (hình 1.1) và đường cong đứng (hình 1.2).
N1

1

R2

R2

B



A

2

R1

N2

R1

Hình 1.1. Đường cong trịn phẳng

Hình 1.2. Đường cong trịn đứng

Có nhiều loại đường cong khác nhau: Đường cong có bán kính cong
khơng thay đổi, đường cong có bán kính cong thay đổi... ở đây chúng ta xét
đường cong trịn.
Qua 3 điểm khơng thẳng hàng ln xác định duy nhất một đường tròn. Để
xác định được vị trí của đường cong trịn tối thiểu phải xác định được 3 điểm,
thường chọn là điểm đầu, điểm cuối và điểm giữa của đường cong tròn. Ba điểm
này là 3 điểm chính của đường cong trịn.
Vị trí, hình dáng của đường cong ở ngồi thực địa sẽ càng chính xác khi
ta bố trí được càng nhiều điểm nằm trên đường cong ấy. Vì vậy ngồi 3 điểm
chính ở trên ta cịn bố trí một số điểm khác nữa gọi là các điểm phụ hay các
điểm chi tiết.

1


BÀI 1: BỐ TRÍ ĐƯỜNG CONG TRỊN
1. Bố trí các điểm cơ bản của đường cong
Những điểm cơ bản của đường cong tròn gồm: Điểm đầu (Đ), điểm cuối
(C), điểm giữa (G).
1.1. Tính các yếu tố chính của đường cong trịn
Để bố trí được các điểm chính của đường cong trịn cần biết các yếu tố cơ
bản (hình 1.3):
+ Góc ngoặt (): Được đo ngồi thực
địa.
+ Bán kính cong (R): Được chon tùy
thuộc vào điều kiện thực địa và cấp đường.
+ Chiều dài tiếp cự (T):
T = Rtg


2

(1.1)

+ Chiều dài đường cong tròn (K):
K=R


180

(1.2)

+ Chiều dài đoạn phân cự (B):
B = R(

1


cos
2

− 1)

Hình 1.3. Các yếu tố của
đường cong trịn

(1.3)

+ Độ rút ngắn của đường cong (D):
 
)
2 180

D=2T-K = (2tg −

(1.4)

+ Chiều dài dây cung DC= b:
b = sin



2

(1.5)

1.1. Bố trí các điểm cơ bản của đường cong
Đặt máy tại đỉnh ngoặt (N), trên các hướng tiếp cự (hướng tuyến đường
phía trước và phía sau), đặt bằng thước thép các đoạn bằng T ta được điểm đầu
(Đ) và điểm cuối (C). Trên hướng phân giác của góc ĐNC (=

180 − 
) đặt một
2

đoạn bằng B ta xác định được điểm giữa (G) của đường cong trịn.
c. Tính số hiệu cọc100m tại các điểm chính của đường cong trịn
Dựa vào các yếu tố cơ bản của đường cong và số hiệu của cọc đỉnh ngoặt
người ta tính số hiệu cọc 100m tai các điểm chính như sau:
n Đ = nN – T
nG = nĐ + K/2
nC = nG + K/2
Để kiểm tra kết quả tính ta tính lại như sau:
2


nC = nN + T - D
nG = nC - K/2
nĐ = nG - K/2
Trong đó: nN, nĐ, nG, nC là số cọc 100m của các điểm ngoặt (N), điểm đầu
(Đ), điểm giữa (G) và điểm cuối (C).
1.2. Chuyển các điểm cọc 100m từ tiếp tuyến xuống đường cong trịn

Thơng thường, các điểm cọc 100m được chuyển từ tiếp tuyến xuống
đường cong trịn theo phương pháp tọa độ vng góc và tiến hành trên từng nửa
đường cong riêng biệt.
Coi trục x là đường tiếp tuyến, trục y là
bán kính đường cong đi qua điểm đầu (Đ) hay
cuối (C) của đường cong trịn.
Tọa độ các điểm cọc tính theo cơng
thức :
x = Rsini
y = 2 R sin 2

θo =

i
2

k
180 0
k= i
R
R

Hình 1.4. Chuyển cọc 100m
xuống đường cong trịn

Trong đó ki là chiều dài đường cong
tròn từ điểm cọc 100m, cần chuyển đến điểm đầu (Đ) hay cuối đường cong
tròn.
Với điểm cọc 100m đầu tiên từ điểm đầu (Đ), k được tính bằng giá trị cọc
hiệu của điểm cọc 100m đầu tiên đó trừ đi giá trị cọc hiệu của điểm đầu, còn các

điểm cọc hiệu tiếp theo trên đường cong tròn thì k có giá trị là 100m. Phương
pháp bố trí tương tự như bố trí các điểm chi tiết được giới thiệu trong phần bố
trí chi tiết đường cong trịn bằng phương pháp tọa độ vng góc.
1.3. Trường hợp đặc biệt khi bố trí các điểm chính của đường cong trịn
Khi bố trí những điểm chính của
đường cong trịn có thể gặp trường hợp
đỉnh góc ngoặt khơng đặt máy được
như ở đầm lầy, ao, hồ …trong trường
này không đo được góc ngoặt nên chưa
có số liệu để tính và bố trí đường cong.
Giả sử đỉnh ngoặt N ở giữa sơng
trên hai cánh tuyến theo hướng tuyến
đường (hình 3.30), lấy hai điểm bất kỳ
P và Q . Đặt máy kinh vĩ tại P và Q đo
các góc ,  . Dùng thước thép đo đoạn
PQ = S , ta có φ =  + , từ đó biết R
Hình 1.5. Trường hợp đặc biệt khi
ta tính được: T , B , K
bố trí điểm chính đường cong trịn
Theo NPQ có: Căn cứ vào
3


chiều dài T lớn hơn hay nhỏ hơn NP, rồi từ P ta đo một đoạn bằng T - NP (hay
PĐ = NP - T ) theo hướng tiếp cự được điểm đầu (Đ), tương tự, ta bố trí được
điểm tiếp cuối (C).
Gọi IK là tiếp tuyến đi qua điểm giữa G, theo hình (1.5) ta có:
ĐI = IG = GK = KC = Rtg



4

Vậy, để bố trí điểm giữa (G), từ điểm Đ theo hướng tiếp cự, đặt một đoạn

4

bằng Rtg . Xác định được điểm I , đặt máy kinh vĩ tại I , ngắm điểm Đ mở một

2

góc bằng 180o - , trên hướng ngắm đặt khoảng cách IG = R tg


ta bố trí được
4

điểm G.
Ngồi 3 điểm chính xác định vị trí của đường cong trịn ra, muốn bố trí
hình dạnh đường cong được chính xác hơn thì cần phải bố trí thêm một số điểm
phụ khác thuộc đường cong. Khoảng cách giữa các điểm phụ thuộc vào bán
kính đường cong trịn có thể được lựa chọn như sau:
R < 100m →k =5m
R = 100- 500m→ k = 10m
R > 500m→ k = 20 m
Có rất nhiều phương pháp bố trí chi tiết đường cong trịn. Sau đây chỉ giới
thiệu một số phương pháp thông dụng nhất.
2. Bố trí chi tiết đường cong trịn theo phương pháp tọa độ vng góc
Trong phương pháp này, tọa độ các
điểm chi tiết trên đường cong được xác
định trong hệ tọa độ vng góc, nhận

điểm đầu (Đ) hay điểm cuối (C) đường
cong làm gốc tọa độ và hướng tiếp cự của
đường cong làm trục hồnh.
2.1. Tính tốn các yếu tố bố trí
Tọa độ các điểm chi tiết được xác
định như sau:
xi = Rsiniθ
Hình 1.6. Phương pháp tọa độ
vng góc

i
yi = 2 R sin
2
2

thức:

Trong đó:
R là bán kính đường cong.
i là số thứ tự của điểm chi tiết.
θ là góc ở tâm chắn cung k giữa các điểm chi tiết được xác định theo công
θo =

180 0
k
R

4

2.2. Cách bố trí
Cách 1 (hình 1.6): Ở ngồi thực địa, kể từ điểm đầu hoặc điểm cuối đường
cong trên hướng tiếp cự đặt bằng thước
thép một đoạn bằng x1 được điểm 1’, tại 1’
dựng hướng vng góc với tiếp tuyến
(bằng eke) và đặt trên đó một đoạn bằng
y1, ta xác định được điểm chi tiết 1 trên
đường cong. Các điểm 2, 3,… cũng được
bố trí tương tự dựa vào bố trí các xi, yi.
Cách 2 (hình 1.7): Được áp dụng với
đường cong trịn có bán kính lớn. Chúng ta
nhận thấy rằng: Khi bán kính của đường
cong trịn càng lớn thì đường cong trịn
càng gần với tiếp cự hơn, nghĩa là hồnh
Hình 1.7. Bố trí chi tiết bằng
độ xi của các điểm càng xấp xỉ với chiều
phương
pháp tọa độ vuông góc
dài ik. Do đó, để tiện cho việc bố trí chi
trên đường cong tròn lớn
tiết đường cong, người ta lập sẵn bảng tra
theo R và k các số hiệu ik - xi và tung độ yi
của các điểm chi tiết như trong bảng (1.3)
Bảng 1.3. Bảng tính giá trị khi bố trí chi tiết bằng phương pháp tọa độ vng
góc trên đường cong tròn lớn
STT

xi

mi = ik- xi

yi

1

x1

m1 = k- x1

y1

2

x2

m2 = 2k- x2

y2

…….

……..

……..

……..

i

xi

mi = ik- xi

yi

Sau khi tính được các mi, yi, ở ngoài thực địa, kể từ điểm đầu (Đ) hoặc
điểm cuối (C) của đường cong, trên hướng tiếp cự, đặt trực tiếp bằng thước thép
liên tiếp các khoảng cách ik. Tại đầu mút các khoảng cách này, người ta lùi lại
các khoảng cách là mi tương ứng. Tại các điểm mới này, ta dựng các hướng
vng góc với tiếp tuyến và trên đó đặt các khoảng cách là y i tương ứng, vậy
chúng ta xác định được các điểm chi tiết trên đường cong tròn.
* Ưu nhược điểm của phương pháp
Ưu điểm: Các sai số đo đạc khơng bị tích luỹ.
Nhược điểm: Chỉ áp dụng được trong điều kiện địa hình tương đối bằng
phẳng, quang đãng thuận lợi cho đặt các thành phần tọa độ.
4. Bố trí chi tiết đường cong tròn theo phương pháp tọa độ cực
4.1. Tính tốn các yếu tố bố trí

5


Trong phương pháp này, góc cực
để bố trí các điểm chi tiết là góc hợp bởi
tiếp cự và các tia đi từ điểm đầu (Đ)
hoặc điểm cuối(C). Khoảng cách cực là
chiều dài đã chọn giữa 2 điểm chi tiết
trên dây cung:
0 =

1800

k
R

S = 2 R sin


2

Hình 1.8. Phương pháp
4.2. Cách bố trí: (hình 1.8)
tọa độ cực
Ngồi thực địa, đặt máy tại điểm
đầu (Đ) hoặc điểm cuối (C), mở ra góc cực θ/2 so với hướng tiếp cự, trên hướng
tìm được, đặt trực tiếp bằng thước thép khoảng cách cực S ta xác định được
điểm 1, tiếp tục mở thêm góc θ/2 từ hướng cũ, rồi từ điểm 1 đo thêm một đoạn S
sao cho đoạn S cắt hướng ngắm trên máy kinh vĩ, ta được điểm 2…Cứ tiếp tục
như vậy cho đến điểm giữa của đường cong tròn.
* Ưu nhược điểm của phương pháp
Ưu điểm: Phạm vi bố trí hẹp hơn so với phương pháp tọa độ vng góc.
Nhược điểm: Các điểm về sau được xuất phát từ các điểm bố trí trước, nên
bị tích luỹ sai số đo đạc, dẫn đến độ chính xác giảm dần.
5. Phương pháp dây cung kéo dài
5.1. Các yếu tố bố trí
Theo phương pháp này, điểm 1
được bố trí theo phương pháp tọa độ
vng góc với các thành phần bố trí:
x1 = Rsinθ



y1 = 2Rsin2 2
với

0 =

1800
k
R

Tính yếu tố bố trí cho các điểm từ
điểm 2 trở đi:

S = 2R sin
2

Hình 1.9. Phương pháp dây
cung kéo dài

Trên hình (1.9) xét  2 '12 và 102 cân có góc 2'12 = θ   2 '12 đồng dạng
với 102 ta có:
d S
S2
= vậy d =
S R
R

5.2. Cách bố trí (hình 1.9):

6

Trên hướng dây cung Đ- 1 kéo dài, đặt từ 1 một đoạn bằng S tìm được
điểm 2’, từ điểm 1 và 2’ giao hội cạnh với khoảng cách S và d, xác định được
điểm 2 trên đường cong tròn. Tiếp tục trên hướng 1- 2 đặt từ 2 khoảng cách S
được điểm 3’, từ 2 và 3’ giao hội cạnh với khoảng cách S và d, xác định được
điểm 3. Việc bố trí tiếp tục cho đến điểm giữa của đường cong tròn.
* Ưu nhược điểm của phương pháp
- Không cần dùng máy kinh vĩ mà chỉ cần dùng thước giao hội.
- Phạm vi bố trí hẹp.
- Các điểm sau được bố trí từ các điểm trước, nên bị tích luỹ sai số đo đạc,
dẫn đến độ chính xác giảm dần.
6. Bố trí chi tiết trên những đường cong trịn lớn
Khi bán kính của đường cong trịn (R) và góc chuyển hướng lớn, tung độ
các điểm chi tiết có trị số lớn người ta chia đường cong tròn làm 2 phần bằng
nhau, phương pháp chia như sau (hình 1.10):
a. Cách 1: Đặt máy kinh vĩ ở điểm giữa
(G) ngắm điểm ngoặt (N) mở máy quay
một góc = 90o được điểm I và J ta được
2 đường cong nhỏ là ĐIG và GJC bằng
nhau, ta tiếp tục cắm các điểm chi tiết
cho từng đường cong nhỏ theo các
phương pháp đã biết.
b.Cách 2: Từ đỉnh N theo hướng tiếp
tuyến về điểm Đ đặt một đoạn bằng L

2

=B/sin(/2) hoặc L = T - t; t = Rtg ,
xác định được điểm I theo hướng IG tìm
được J với khoảng cách 2t, hai điểm I và

Hình 1.10. Bố trí chi tiết trên
J nằm trên 2 tiếp tuyến ĐN và NC cách
đường cong tròn lớn
điểm Đ và C một đoạn là tiếp cự nhỏ t.
Tương tự như trên chúng ta có thể
chia đường cong lớn thành nhiều đường cong nhỏ để bố trí chi tiết, trong trường
hợp này:
+ Trị số góc chuyển hướng của mỗi đường cong thành phần
=

1800
k
R

Trong đó:
k là chiều dài đường cong thành phần: k = K/n.
K là chiều dài toàn bộ đường cong tròn lớn.
n là số phần đường cong được chia ra để cắm chi tiết.
+ Chiều dài tiếp cự của mỗi đường cong thành phần:
t = Rtg
7


2


7. Trường hợp đặc biệt khi điểm đầu (Đ) hoặc điểm cuối (C) không đặt
được máy
Ở những nơi điều kiện địa
hình phức tạp, điểm đầu (Đ) hoặc

điểm cuối (C) khơng đặt được máy
để bố trí các điểm chi tiết trên
đường cong. Giả sử điểm tiếp đầu
(Đ) ở giữa hồ (hình 1.11)
Muốn tiến hành bố trí các
điểm chi tiết trên đường cong từ 2
đầu vào giữa thì ta cần xác định
một điểm N2 nằm trên đường cong.
Nội dung cụ thể như sau:
Hình 1.11. Trường hợp đặc biệt khi
Đầu tiên xác định một
điểm đầu hoặc cuối không đặt được máy
đường thẳng M’N’ song song với
tiếp tuyến ĐNo và ở bên ngoài hồ
bằng cách: Từ 2 điểm bất kì M và N trên tiếp tuyến nằm ngoài hồ cho các đoạn
MM’ = NN’ vng góc với tiếp tuyến.
Đo trực tiếp NoN ngồi thực địa.
Thấy LN’= T- NoN
Từ N’ đo về phía M một đoạn bằng N’L ta xác định được L ngoài thực
địa.
OL R − NN '
Mặt khác, xét OLN 2 có cos  =
=
R
R

Vậy ta tính được góc , vậy:
 LN 2 = R sin 

Từ L đo về N’ một đoạn bằng LN2 ta xác định được điểm N2 trên đường

cong.
Đem máy kinh vĩ đến N2 ngắm về L mở một góc bằng θ được hướng tiếp
tuyến với đường cong tại N2. Như vậy đã chia đường cong lớn thành hai đường
cong nhỏ là ĐN1N2 và N2N3C, trong đó chiều dài đường cong ĐNN2 là K1=
 R

1800

, N2N3C bằng K2= K- K1.

Đối với đưịng cong N2N3C khi bố trí chi tiết ta có thể tiến hành bố trí từ 2
đầu vào giữa, đường cong ĐN1N2 thì tiến hành bố trí bắt đầu từ N2 đi.

8


BÀI 2: BỐ TRÍ ĐƯỜNG CONG CHUYỂN TIẾP VÀ ĐƯỜNG CONG CON RẮN
1. Bố trí đường cong chuyển tiếp
1.1. Ý nghĩa và phương trình của đường cong chuyển tiếp
Trong dộng cơ học, chúng ta đã biết: Khi một vật chuyển động trên
đường cong sẽ xuất hiện một lực ly tâm có độ lớn:
F=

m.V 2
p

(2.1)

Trong đó :
m là khối lượng của vật chuyển động.

V là vận tốc của chuyển động.
 là bán kính cong của chuyển động tại điểm đang xét.
Lực ly tâm này có phương trùng với phương bán kính  và có chiều ra
phía ngồi đường cong. Lực ly tâm càng lớn khi vận tốc v càng lớn và bán kính
cong  càng nhỏ.
Từ cơng thức (2.1) chúng ta thấy rằng, khi  =  thì F1 = 0, khi  = R thì
F2 = mV2/R . Rõ ràng là tại điểm bắt đầu của đường cong, lực ly tâm này xuất
hiện rất đột ngột từ F1 đến F2, gây mất an toàn cho các chuyển động khi vào
đoạn đường cong.
Vì vậy, để làm cho lực ly tâm tăng tuần tự từ F 1 đến F2 nhằm đảm bảo an
tồn cho chuyển động khi vào đoạn đường cong, thì cuối đoạn đường thẳng và
đầu đoạn đường cong (R), người ta chêm vào một đoạn cong có bán kính thay
đổi tuần tự từ  =  đến  = R. Đường cong có bán kính thay đổi như thế được
gọi là đường cong chuyển tiếp.
Khi tìm phương trình đường cong chuyển
tiếp người ta đặt điều kiện động lực học sau đây:
Tại mỗi điểm trên đoạn đường cong, tác động
của lực ly tâm gây ra phải cân bằng với độ nâng
cao của nền đường phía ngồi (đối với đường ơ
tơ) hoặc đường ray phía ngồi (đối với đường
sắt).
Theo hình (2.1), xét ∆BCD, ta thấy trị số
nâng cao:
h = Stgv = Si
(2.2)
Trong đó:
Hình 2.1. Chuyển động
S là khoảng cách từ điểm đầu đường cong
của vật trên đường cong
chuyển tiếp đến điểm đang xét.

i là độ nghiêng dọc của nền đường phía ngồi.
Xét mặt cắt ngang của đường, ta thấy:
h = atg = a

F
P

9

(2.3)


Trong đó:
a là độ rộng nền đường.
F là lực ly tâm.
P là trọng lượng của vật.
Lực ly tâm được biểu thị bằng cơng thức:
P V2
.
g 

F=

Trong đó:
g là gia tốc trọng trường
 là bán kính cong
Vì vậy cơng thức (2.3) có thể viết dưới dạng:
a V2
h=
g 

(2.4)

Thực hiện điều kiện động lực học, ta cho 2 vế phải của các đẳng thức (2.2)
và (2.4) bằng nhau:
Si =

=

a V2
g 

av 2
Sig

(2.5)

Trong công thức (2.5) thừa số aV2/ig = C đối với tốc độ tính tốn cho
trước V và độ dốc quy định i là một đại lượng không đổi và gọi là thông số của
đường cong chuyển tiếp. Lưu ý đến điều đó, phương trình đường cong chuyển
tiếp có dạng:
=

C
S

(2.6)

Do đó bán kính cong của đường cong chuyển tiếp cần thay đổi tỷ lệ
nghịch với độ dài S: khi S = 0 (ở đầu đường cong chuyển tiếp) thì  = . Tại

điểm tiếp xúc của đường cong chuyển tiếp với đường cong trịn thì bán kính
cong bằng  bằng bán kính đoạn cong trịn R, cịn trị số S bằng độ dài đã chọn
của đường cong chuyển tiếp.
Trên cơ sở đó, từ cơng thức (3.6) ta thấy rằng:
C = S = R.l
(2.7)
Tức là thông số đường cong chuyển tiếp bằng tích số giữa bán kính
đường cong trịn với độ dài của đường cong chuyển tiếp. Chiều dài đường cong
chuyển tiếp được chọn trong phạm vii từ 20 đến 200m và là bội số của 20m tùy
theo cấp hạng đường và bán kính cong.
Bây giờ, hãy tìm một đường cong tốn học thỏa mãn phương trình đã nêu
đối với đường cong chuyển tiếp.

10


Như đã biết, bán kính cong tại một điểm
đã cho của đường cong là:
=

dS
d

(2.8)

Trong đó  là góc giữa trục hoành và tiếp
tuyến với đường cong tại điểm đã cho (hình 2.2).
Cho các vế phải của các phương trình (3.6)
và (2.8) bằng nhau:
dS C

=
d S

Lấy tích phân 2 vế lưu ý rằng khi  = 0 thì
S = 0, ta có:

Hình 2.2. Phương trình
dường cong chuyển tiếp



s

 SdS = C  d
0

0

2

Hay:

S
= C
2

Từ đó:
S2 = 2C
(2.9)
Đây là phương trình của đường xoắn ốc rađiôit hoặc là đường klotôid.

Tọa độ vuông góc của các điểm đường xoắn ốc đó được xác định như sau:



S4
S8
=
−
+
− ... 
1
x
S


2
2

 40C 3456C


3
4
8

 y = S 1 − S + S
−
...



2
2

6C  56C
7040C



(2.10)

Đối với điểm cuối của đường cong chuyển tiếp (khi S= l và C= R.l):



l2
+ ... 
 x1 = l 1 −
2

 40R


2
2
 y = l 1 − l + ... 

 1 6R  56R 2




(2.11)

Đường xoắn ốc rađiôit thỏa mãn chặt chẽ những yêu cầu của đường cong
chuyển tiếp và được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn.
1.2. Tính các yếu tố của đường cong chuyển tiếp
Khi bố trí thêm các đường cong chuyển tiếp AD và A’D’ (hình 2.3) thì
đường cong trịn K sẽ bị rút ngắn từ hai phía đi một nửa độ dài đường cong
chuyển tiếp l và góc ngoặt φ sẽ giảm đi một đại lượng 2. Ngoài ra, phần còn
lại của đường cong tròn sẽ di chuyển về phía tâm O, do đó bán kính sẽ giảm đi
một đại lượng gọi là độ dịch chuyển của đường cong trịn.
Trị số góc  được xác định từ phương trình (2.9)

11


=

S2
2C

(2.12)

Đối với điểm cuối của đường
cong chuyển tiếp, S = l
1 =

l
2R

(2.13)

So sánh công thức (2.12) và
công thức (3.13) ta có:
S
 =1  
l

2

(2.14)

Tính ra đơn vị độ:
1 =

l
2R

=

90o l
R

(2.15)

Trị số dịch vị p có thể xác định
Hình 2.3. Các yếu tố cơ bản của
từ biểu thức:
đường cong chuyển tiếp
p = LB = OK+ KB - OL

Vì: OL= OD = R- p
OK = ODcos1 = (R- p) cos1
KB = DE = y1
Với y1 là tung độ điểm cuối của đường cong chuyển tiếp, nên:
p = (R- p) cos1 + y1 - (R- p)
Từ đó:
p = R−

R − y1
cos 1

(2.16)

Hoặc:
p=


l2 
l2
−
+ .... 
1

2
24R  112R


(2.17)

Một cách gần đúng:

l2
p
24R

(2.17’)

Độ dài thêm của tiếp cự t được tính như sau:
t = AE – BE
Bởi vì đoạn AR = x1 là hồnh độ điểm cuối đường cong chuyển tiếp và
BE = KD = (R-p) sin1 nên:
t = x1 - (R- p) sin1
Lưu ý đến giá trị của p từ cơng thức (2.16) ta có:
t = x1 - (R- y1) tg1
(2.18)
Hoặc
12


t=


l
l2
1
−
+ ... 

2
2  120R


(2.19)

Trị số t xấp xỉ bằng một nửa của đường cong chuyển tiếp (t  l/2)
Vậy ta có thể tính các yếu tố của đường cong chuyển tiếp như sau:
- Tiếp cự (T’):
T’ = T+ t
(2.20)
- Phân cự (B’)
B’ = B + p
(2.21)
- Chiều dài đường cong:
K’= K+ l = K* +2l (2.22)
- Độ rút ngắn đường cong:
D’ = 2T’ - K’
(2.23)
Trong đó:
T, B, K là tiếp cự, phân cự, chiều dài của đường cong tròn cũ (BB’).
K* là chiều dài đường cong tròn mới đã bị thu hẹp đi một giá trị 2
(DD’).
Để xác định trên thực địa điểm đầu của đường cong chuyển tiếp thứ nhất
(CĐ1) và điểm cuối của đường cong chuyển tiếp thứ hai (CC2) (hình 3.3), từ
điểm đầu (ĐĐ) và điểm cuối (ĐC) của đường cong tròn chưa bị xê dịch, người
ta đặt lần lượt một độ dài tương ứng bằng t. Giá trị cọc lộ trình của những điểm
này có thể tính từ các cọc lộ trình gần nhất.
2. Đường cong con rắn
2.1. Các yếu tố cơ bản của đường cong con rắn
Khi vạch tuyến đường theo sườn dốc, thông thường phải phát triển tuyến
dưới sạng chữ chi với các góc trong rất nhọn. Trong những trường hợp này,
khơng có khả năng liên kết các đoạn thẳng với các đường cong thường. Do hiệu

số độ cao giữa các điểm đầu và điểm cuối đoạn cong khá lớn và bản thân đoạn
đường cong lại tương đối ngắn, nên độ dốc dọc sẽ rất lớn, vượt nhiều so với giới
hạn cho phép. Trong tường hợp này, các đoạn thẳng được nối với nhau bằng
những đường vịng bên ngồi phức tạp gọi là các đường cong hình rắn (hình
2.42).
Các yếu tố cơ bản của đường cong hình rắn là:
- Đường cong trịn cơ bản FDE với bán kính R;
- Hai đoạn cong bổ trợ AP và BG với bán kính r1 và r2;
- Hai đoạn thẳng chêm hoặc là đường cong chuyển tiếp PF= m1 và EG= m2.
Nếu bán kính các đường cong bổ trợ và các đoạn thẳng chêm của đường
cong hình rắn tương ứng bằng nhau tức r1 = r2 và m1 = m2 thì đường cong hình
rắn được gọi là đối xứng.

13


Hình 2.4. Đường cong hình rắn

Trên đường cấp III đến cấp V mới cho phép bố trí dường cong hình rắn.
Bán kính tối thiểu của đường cong cơ bản và độ dài của đoạn thẳng chêm vào
cho phép là 30- 20m, độ mở rộng của phần xe chạy 2- 3m, độ dốc dọc lớn nhất
3- 4%, độ nghiêng dốc ngang của chỗ lượn 6%. Bán kính các đường cong bổ trợ
là 100- 150m.
2.2. Đường cong rắn đối xứng
22.1. Các yếu tố cơ bản của đường cong rắn đối xứng
Khi tính tốn đường cong hình rắn, thường người ta cho trước bán kính
đường cong cơ bản R, bán kính các đường cong bổ trợ r và độ dài các đoạn
thẳng chêm m. Góc ngoặt φ được đo ở thực địa (hình 2.5).
Góc ngoặt  của đường cong bổ trợ được xác định từ tam giác vuông ONF
(hoặc OME):

tg  =

OF
NF

(2.24)

Nhưng OF = R, NF= m + T
Trong đó: T là độ dài tiếp tuyến của đường cong bổ trợ, T= r tg(/2)
Lưu ý đến biểu thức (a) ta có thể viết như sau:
tg  =

R
R
=
m + T m + rtg 
2

(2.24)

Trong phương trình (b) thấy tg  và tg(/2) đều chưa biết. Biểu thị tg
qua tg(/2), ta có phương trình bậc hai dạng:
(2r+R)tg 2



+ 2mtg − R = 0
2
2

Giải ra ta được:
tg


2

=

− m + m 2 + ( 2r + R ) R
2r + R

(2.27)

14

(2.26)


Sau khi tìm được , biết bán kính của đường cong bổ trợ r, ta sẽ tính được
tiếp tuyến T, phân cự B và độ dài đường cong bổ trợ k.

Hình 2.5. Đường cong hình rắn đối xứng

Từ tam giác ONF ta tìm được khoảng cách từ đỉnh N của góc ngoặt
đường cong bổ trợ đến tâm O của đường cong cơ bản, ký hiệu bằng d:
ON = d =

R
sin 

(2.28)

Kiểm tra d theo cơng thức:
d=

m +T
cos

(2.29)

Góc γ ở tâm đường cong hình rắn, xác định hướng đến điểm đầu hoặc
điểm cuối của đường cong cơ bản, sẽ bằng:
γ = 90o - 
(2.30)
Cịn góc ở tâm của đường cong cơ bản:
φo = 360o - 2γ – φ
(2.31)
Độ dài của đường cong trịn cơ bản:
K=

 Ro
180o

(2.32)

Vậy ta tính được các yếu tố của đường cong con rắn:
Độ dài đường cong rắn là:
K’ = 2k + K+ 2m
(2.33)
Tổng số độ kéo dài thêm của đường cong hình rắn là:

D’ = K’- 2d- 2T
(2.34)
15


Khi tính tốn đường cong hình rắn, cần biết khoảng cách M1N1 tại chỗ
hẹp nhất của nó để có thể thiết kế các phần tương ứng của nền đường phía trên
và phía dưới. Khoảng cách đó ký hiệu bằng z:
z = M1M+ MN+ NN1
Vì các đoạn M1M và NN1 là phân giác của cá đường cong bổ trợ còn cạnh
MN trong tam giác MON bằng 2dsin(/2), nên:
z = 2B+ 2dsin(/2)
(2.35)
2.2.2. Bố trí các điểm chính của đường cong con rắn đối xứng
Ngoài thực địa, đặt máy kinh vĩ tại đỉnh góc ngoặt O và đo những khoảng
cách d theo các đường thẳng OA vầ OB (hướng tuyến đường) sẽ tìm được các
điểm N và M (là đỉnh của các đường cong bổ trợ). Đặt tiếp khoảng cách bằng T
trên các hướng này để tìm được các điểm A và B, tức là điểm đầu và điểm cuối
của đường cong con rắn. Từ điểm N và M định hướng về tâm O quay một góc
bằng , trên hướng đó đặt một đoạn bằng T sẽ bố trí được điểm P và G là 2
điểm cuối của đường cong phụ trợ. Tiếp trên hướng đó đặt một đoạn bằng m
được 2 điểm đầu của đường cong cơ bản (có thể đặt máy ở O định hướng về A,
B, quay một góc bằng γ, trên hướng đó đặt một đoạn bằng R ta cũng được điểm
đầu và cuối của đường cong cơ bản)
2.2.3. Bố trí chi tiết đường cong rắn đối xứng
Các điểm chi tiết trên đường cong cơ bản được bố trí cách nhau 3- 5m.
Muốn vậy ta chia góc ở tâm (φo) ra một số phần tương ứng và dọc theo phương
hướng đã xác định bằng máy kinh vĩ, kể từ tâm O của đường cong đặt một độ
dài bằng bán kính R.
Tiếp tục bố trí chi tiết trên các đường cong bổ trợ như với đường cong

trịn.
2.2.4. Tính giá trị cọc hiệu cho các điểm chính của đường cong rắn đối xứng
Dựa vào giá trị cọc hiệu của điểm O đã biết ta có thể tính giá trị cọc hiệu
cho các điểm chính cho đường cong rắn đối xứng như sau:
nA= NO - d; nN1 = nA+ k/2; nP = nN1 + k/2; nF = nF + m; nE = nF + K; nG = nE
+ m; nM1 = nG + k/2; nB = nM1+ k/2.
2.3. Đường cong rắn không đối xứng
Để có thể vịng qua các dốc đứng hoặc các khu vực có điều kiện địa chất
khơng ổn định, càn phát triển các đường cong con rắn với các bán kính cong
khác nhau.
3.3.1. Tính các yếu tố cơ bản của đường cong rắn không đối xứng
Giả sử điểm O (hình) là đỉnh góc ngoặt của tuyến. Điểm C là tâm đã chọn
của đường cong hình rắn trên thực địa. Tại điểm O, ngồi góc φ ta cịn đo thêm
góc ACO = θ và khoảng cách OC = S.
Dựa theo các trị số đã cho R, r, m ta hãy tính các yếu tố cơ bản của đường
cong hình rắn , T, γ, φo. Tuy nhiên, để bố trí đường cong hình rắn trên thực địa
với tâm tại C thì các yếu tố trên chưa đủ. Cần xác định thêm trị số góc τ1, τ2 và
η.
16


Hình 2.6. Đường cong hình rắn
khơng đối xứng

Trong tam giác MEO ta có: d = R

sin 

Từ tam giác MOC và NOC ta có:
S

sin ( +  )
d
S
sin  2 = sin 
d

sin  1 =

(2.36)
(2.37)

Biết các góc τ1 và τ2 và cũng từ tam giác đó ta xác định trị số góc MCN = φ’.
φ’= φ + τ1- τ2
(2.38)
Và cũng tìm ra trị số mới của các góc ngoặt các đường cong bổ trợ mà trị
số của chúng thay đổi do di chuyển tâm đường cong hình rắn từ điểm O sang
điểm C. Từ hình (3.6) ta thấy:

 =  −




=
+








 =  −  +  + 
1


(

(2.39)

)

Bán kính của đường cong bổ trợ tính theo cơng thức:
r1 =

T
tg

Trong đó: T = r.tg

1
2

; r2 =

T


tg 2
2

(2.40)


2

Sau đó dựa vào bán kính đường cong bổ trợ r1, r2 và góc ngoặt 1 , 2 tính
các yếu tố của đường cong bổ trợ.
3.3.2. Bố trí các điểm chính của đường cong hình rắn khống đối xứng
17


Trên thực địa, đặt máy kinh vĩ tại tâm C và từ hướng OC dựng góc η, cố
định trên thực địa hướng Cm. Từ hướng CM này đặt góc φ’ và thu được hướng
CN. Dọc theo những hướng đó đặt khoảng cách bằng d sẽ tìm được trên thực
địa các điểm M và N là đỉnh các ngoặt đường cong bổ trợ.
Để xác định trên thực địa vị các điểm cuối E và F của đường cong cơ bản
thì từ các cạnh CM và CN ta dựng các góc γ và dọc theo các hướng nhận được
là CE và CF ta đặt trị số bán kính R. Từ điểm M và N ta bố trí các điểm chính
của đường cong bổ trợ như với đường cong trịn.
Như vậy tìm được vị trí các điểm chính của đường cong hình rắn ngồi
thực địa.
3.3.3. Bố trí chi tiết đường cong hình rắn khống đối xứng
Việc bố trí chi tiết đường cong hình rắn loại này giống như khi bố trí
đường cong rắn đối xứng.

18


BÀI 3: ĐƯỜNG CONG ĐỨNG

Để cho xe chạy được ổn định, tất cả các nơi thay đổi độ dốc dọc, người ta
đều bố trí đường cong đứng.
Đường cong đứng gồm 2 loại: Đường cong đứng lồi (1) và đường cong
đứng lõm (2) (hình 3.1).

Hình 3.1. Đường cong trịn đứng lồi và lõm

Trong đường ơ tơ, bán kính đường cong đứng không nhỏ hơn số liệu
trong bảng (4.1):
Bảng 3.1. Yêu cầu về bán kính đường cong trịn đứng
Cấp đường ơ tơ

I

II

III

IV

V

Rmin đường cong lồi

10000

6000

4000

2000

1000

Rmin đường cong lõm

3000

1500

1000

500

200

Bán kính đường cong lồi đứng lớn hơn đường cong đứng lõm, sở dĩ như
vậy là để ô tô chạy ở nơi độ dốc thay đổi chiều có tầm nhìn tối thiểu, an tồn
cho xe chạy.
Các yếu tố cơ bản của đường cong tròn đứng gồm: (hình 3.2)
+ Góc ngoặt đứng(): thường bé nên hay được biểu thị theo Radian:
 = i 1 − i 2 = i

+ Bán kính đường cong trịn R (theo cấp đường)
+ Các yếu tố như độ dài tiếp cự T, độ dài đường cong K, đoạn phân cự B’
đều được tính theo như đường cong trịn. Nhưng vì  rất nhỏ nên có thể tính
theo cơng thức gần đúng:
TR

i1 − i 2

2

K  2T
B' 

T2
2R

Đầu tiên, chúng ta bố trí các điểm
chính của đường cong đứng Đ, G, C.
Sau đó bố trí các điểm chi tiết của
đường cong đứng theo phương pháp tọa
độ vng góc.
19

Hình 3.2. Các yếu tố cơ bản của
đường tròn đứng


+ Hoành độ x của nửa đường cong đứng đầu được tính từ gốc là tiếp đầu Đ,
cịn hồnh độ x của nửa đường cong đứng cuối được tính từ gốc là tiếp cuối C.
+ Các tung độ y của các điểm chi tiết trên đường cong đứng được tính
gần đúng theo công thức:
y=

x2
2R

Gọi độ cao của điểm chi tiết 1 trên đường cong đứng là độ cao thi công
H1, độ cao thiết kế trên đường thẳng dốc tương ứng là H1’ gần đúng với đường

cong đứng lồi có:
H1 = H1’- y
Với đường cong đứng lõm:
H1 = H1’ + y
Trong ngành đường, việc tính toạ độ x, y thường tra theo bảng lập sẵn.
Dùng thước thép và máy thuỷ bình để bố trí các điểm chi tiết.

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Trọng San, Đào Quang Hiếu, Đinh Cơng Hịa, Trắc địa cơ sở tập 1,
NXB giao thông vận tải, 2004.
[2]. Nguyễn Trọng San, Đào Quang Hiếu, Đinh Cơng Hịa, Trắc địa cơ sở tập 2,
NXB xây dựng, 2002.
[3]. Phan Văn Hiến, Ngô Văn Hợi, Trần Khánh, Nguyễn Quang Phúc, Nguyễn
Quang Thắng, Phan Hồng Tiến, Trần Việt Tuấn, Trắc địa cơng trình , NXB giao
thơng vận tải, 2001.
[4]. Vũ Thặng, Trắc địa xây dựng, NXB Khoa học và kỹ thuật.,2005.

21