ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Đại số pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (551.81 KB, 10 trang )
1
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho các ma trận:
113
520
331
;
110
123
031
TA
a) Tính B = T
– 1
AT.
b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.
Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có
2004 2004
– – .AB BA C C AB BA
Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f(x)= x
2
– x
và AB + BA = 0. Tính det(A – B) ?
Câu 4. Cho ma trận thực
nn
ij
aA
thoả mãn điều kiện:
ji
ji
a
ij
,1
,0
Chứng minh rằng:
a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A để sao cho detA = 0.
b) Nếu n= 4, ta luôn có detA
0.
Câu 5.
a) Xác định đa thức f(x) dạng
f(x) = x
5
– 3x
4
+2x
3
+ax
2
+bx +c
biết rằng nó chia hết cho đa thức (x – 1)(x +1)(x – 2).
b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3
thỏa mãn điều kiện (P(x) + Q(x))
2
=(R(x))
2
. Hỏi đa thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhất
bao nhiêu nghiệm thực (kể cả bội của nghiệm).
o0o
2
ĐÁP ÁN
OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Đại số
Câu 1. Cho các ma trận:
113
520
331
;
110
123
031
TA
a) Tính B = T
– 1
AT.
b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.
Giải.
a) Ta có
11
7 0 21 1
1
15 10 5 , 3
70
6 10 2 4
T B T AT
.
b) Giá trị riêng {–1, –3, 4}.
Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có
(AB – BA)
2004
C = C(AB – BA)
2004
.
Giải.
Tính toán trực tiếp ta thấy với cặp ma trận vuông cấp hai A và B bất kỳ, AB và BA
có cùng một vết. Từ đó suy ra ma trận D=AB –BA có vết bằng 0. Vậy nên
ab
D
ca
và D
2
= (a
2
+cb)E.
Do đó
D
2004
= (a
2
+ cb)
1002
E
và nó giao hoán với mọi ma trận C.
Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f(x)= x
2
– x và
AB+ BA = 0. Tính det(A – B) ?
Giải.
Ta có A
2
=A, B
2
=B nên
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
()
()
A B A AB BA B A B A B
A B A AB BA B A B A B
Đặt
det( ) , det( )A B A B
. Ta có
2
2
2
2
det( ) det( )
det( ) det( )
A B A B
hay
A B A B
Suy ra
( , ) (0, 0), ( , ) (1,1), ( , ) ( 1,1).
Vậy ta có ba trường hợp:
(i)
0
, chẳng hạn khi A = 0, B = 0.
(ii)
1,
chẳng hạn khi A = E, B = 0.
(iii)
1,
chẳng hạn khi
3
1 0 0 0
,.
0 0 0 1
AB
Câu 4. Cho ma trận thực
nn
ij
aA
thoả mãn điều kiện:
ji
ji
a
ij
,1
,0
Chứng minh rằng:
a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A để sao cho detA = 0.
b) Nếu n= 4, ta luôn có detA
0.
Giải.
a) Ví dụ, với
3
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
ta có detA
3
= 0.
b) Xét ma trận
0 1 1 1
1 0 1 1
.
1 1 0 1
1 1 1 0
B
Ta tính được detB= –3.
Theo định nghĩa của định thức thì
14
1 2 3 4
14
( , , )
1 2 3 4
( , , )
det ( 1)
N j j
j j j j
jj
B b b b b
và
14
1 2 3 4
14
( , , )
1 2 3 4
( , , )
det ( 1) (*)
N j j
j j j j
jj
A a a a a
Rõ ràng là nếu tích
1 2 3 4
1 2 3 4
0
j j j j
b b b b
thì tích
1 2 3 4
1 2 3 4
0
j j j j
a a a a
và ngược lại. Do
det 3B
là một số lẻ nên số số hạng khác 0 trong (*) cũng là một số lẻ và vì vậy
det 0.A
Câu 5.
a) Xác định đa thức f(x) dạng
f(x) = x
5
– 3x
4
+2x
3
+ax
2
+bx +c
biết rằng nó chia hết cho đa thức (x – 1)(x +1)(x – 2).
b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3
thỏa mãn điều kiện (P(x) + Q(x))
2
=(R(x))
2
. Hỏi đa thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhất
bao nhiêu nghiệm thực (kể cả bội của nghiệm).
Giải.
a) Từ giả thiết
(1) ( 1) (2) 0,f f f
ta thu được hệ phương trình
0
6 0.
4 2 0
abc
a b c
a b c
Giải hệ này, ta thu được
1, 3, 2.a b c
Vậy đa thức cần tìm là
4
f(x) = x
5
– 3x
4
+2x
3
+ x
2
– 3x +2.
b) Không mất tính tổng quát, có thể coi các hệ số bậc cao nhất của các đa thức P,
Q, R đều dương.
Trước hết, ta chứng minh đa thức Q(x) luôn luôn có 2 nghiệm thực.
Ta có Q
2
= (R – P)(R + P). Vì degP=degQ = 3 nên deg(R + P)= 3. Do degQ
2
= 4
nên deg(R – P) =1. Do đó đa thức Q
2
có nghiệm thực và vì vậy đa thức Q có nghiệm
thực. Vì degQ=2 nên Q có đúng 2 nghiệm thực.
Tiếp theo, ta chứng minh đa thức P(x) luôn luôn có 3 nghiệm thực.
Ta có P
2
=(R – Q)(R + Q). Vì deg(R – Q)=deg(R + Q)= 3 nên các đa thức (R – Q)
và (R + Q) có nghiệm thực. Nếu hai nghiệm thực đó khác nhau, thì P có hai nghiệm
thực phân biệt và nghiệm còn lại của P hiển nhiên cũng là nghiệm thực. Nếu (R – Q)
và (R + Q) có chung nghiệm thực x = a thì x = a là nghiệm của R và của Q. Do vậy
1 1 1
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).R x x a R x Q x x a Q x P x x a P x
Thế vào hệ thức P
2
=(R – Q)(R + Q), ta thu được
2 2 2
1 1 1
,P R Q
với
11
,PR
là các tam
thức bậc hai, Q
1
là nhị thức bậc nhất. Ta có
2
1 1 1 1 1
( )( ).Q R P R P
Vì
2
1
Q
là đa thức bậc hai và R
1
+ Q
1
là tam thức bậc hai nên R
1
– P
1
là đa thức hằng.
Vậy, nếu
2
1
( ) ( 0)P x ax bx c a
và
1
()Q x dx e
thì
2
1
()R x ax bx c k
và
2
11
( ) ( ) ( ) . (1)k R x P x dx e
Suy ra k>0. Thay giá trị
e
x
d
vào (1), ta thu được
11
0
ee
RP
dd
nên
1
0.
2
ek
P
d
Do đó tam thức bậc hai P
1
(x) có hai nghiệm thực và P(x) có 3
nghiệm thực.
Trở lại bài toán. Do P có 3 nghiệm thực, Q có 2 nghiệm thực và R là đa thức bậc 3
(có ít nhất 1 nghiệm thực) nên số nghiệm thực của T(x) không nhỏ thua 6.
Ví dụ, ta chọn
32
2
32
( ) 3 2 ,
( ) 2( 2 1),
( ) 3 4 2
P x x x x
Q x x x
R x x x x
thì P
2
+Q
2
=R
2
và đa thức (PQR) có đúng 6 nghiệm thực.
5
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005
Môn thi: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Xét ma trận có dạng
2
1 1 2 1 3 1 4
2
1 2 2 2 3 2 4
2
1 3 2 3 3 3 4
2
1 4 2 4 3 4 4
1
1
,
1
1
x x x x x x x
x x x x x x x
A
x x x x x x x
x x x x x x x
Chứng minh rằng định thức của A là một đa thức đối xứng theo các biến
1 2 3 4
, , , .x x x x
Tính định thức của A khi
1 2 3 4
, , ,x x x x
lần lượt là 4 nghiệm của đa thức
4 3 2
4
( ) 5 1.P x x x x
Câu 2. Cho ma trận
22
.
13
A
Tìm ma trận B có các giá trị riêng dương sao cho B
2
=A.
Câu 3.
1) Tồn tại hay không đa thức P(x) thoả mãn
( ) ( )P x P x
và
( ) ( ),P x P x
với mọi
x ?
2) Biết rằng đa thức Q(x) có tính chất
( ) ( ), .Q x Q x x
¡
Chứng minh rằng
( ) 0, .Q x x ¡
Câu 4. Cho ma trận
2 1 0
0 1 0 ,
0 0 2
M
Đặt
, 1,2,3.
( ) ( , 2).
n
ij
ij
M b n n n
¥
Tính
33
11
( ).
n ij
ij
S b n
Câu 5. Giải hệ phương trình
1 2 1
1
21
2
11
2004
2005 1
2005 1
nn
nn
n
n
n
a
x x x x
ax
x x x
a x x
x
Hết
6
ĐÁP ÁN
OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005
Môn: Đại số
Câu 1. Xét ma trận có dạng
2
1 1 2 1 3 1 4
2
1 2 2 2 3 2 4
2
1 3 2 3 3 3 4
2
1 4 2 4 3 4 4
1
1
,
1
1
x x x x x x x
x x x x x x x
A
x x x x x x x
x x x x x x x
Chứng minh rằng định thức của A là một đa thức đối xứng theo các biến
1 2 3 4
, , , .x x x x
Tính định thức của A khi
1 2 3 4
, , ,x x x x
lần lượt là 4 nghiệm của đa thức
4 3 2
4
( ) 5 1.P x x x x
Giải.
Ta có
1 1 1 1
1
2 2 2 2
2
1 2 3 4
3 3 3 3
3
4 4 4 4
4
2
1
2
2
2222
1 2 3 4
2
3
2
4
1
1
det .det
1
1
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
.det
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
x x x x
x
x x x x
x
A x x x x
x x x x
x
x x x x
x
x
x
xxxx
x
x
7
2
1
2
2
2222
1 2 3 4
22
33
22
44
2
2
1
1
2
2
2
2
3
2
4
1 1 1 1 1
0 0 0
1
0 0 0
1 1 1 1
det det
11
0 0 0 0 0 0
11
0 0 0 0 0 0
1
1
0 0 0
0 0 0
1
1
0 0 0
0 0 0
det det
1
1 1 1 1
00
1
0 0 0
x
x
xxxx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
2
1
2
2
2
3
2
2
4
1
000
1
0 0 0
det
1
0 0 0
0
1
000
1 1 1 1
x
x
x
x
`
2222
1 2 3 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4
2
2222
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 1 1 1 1
1
2 1.
xxxx
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
Vì
1 2 3 4
, , ,x x x x
là nghiệm của đa thức
4 3 2
4
( ) 5 1P x x x x
nên:
1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1; 5.x x x x x x x x x x x x x x x x
Vậy detA= 1– 2.(–5) +1=12.
Câu 2. Cho ma trận
22
.
13
A
Tìm ma trận B có các giá trị riêng dương sao cho B
2
=A.
Giải.
Chéo hoá ma trận A:
1
10
,
04
D P AP
trong đó
1
2 1 1 3 1 3
,.
1 1 1 3 2 3
PP
Ma trận C có các giá trị riêng dương sao cho C
2
=D là ma trận
10
.
02
C
Cần tìm B=QCQ
–1
sao cho B
2
=QC
2
Q
–1
=A=PDP
–1
?
1 1 1 1
( ) ( ) .QDQ PDP D Q P Q P D
Cần giải phương trình: DX=XD,
X
8
1 0 1 0
0 2 0 2
2
2 2 2
0, 0, ,
khác 0 tuỳ ý ! Vậy ta có:
1 1 1
1
1 1 1
1
1 1 1
1
0
02
0
0
3 3 4 3 2 3
0
.
3 2 3 1 3 5 3
0
Q P Q P
Q P B QCQ
Ghi chú: Nếu thí sinh chọn luôn ma trận
1
4 3 2 3
1 3 5 3
B PCP
thì vẫn cho điểm tối
đa.
Câu 3.
1) Tồn tại hay không đa thức P(x) thoả mãn
( ) ( )P x P x
và
( ) ( ),P x P x
với mọi
x ?
2) Biết rằng đa thức Q(x) có tính chất
( ) ( ), .Q x Q x x
¡
Chứng minh rằng
( ) 0, .Q x x ¡
Giải.
1) Dễ dàng thấy không tồn tại các đa thức bậc 0, 1, 2:
0 1 2
( ), ( ), ( )P x P x P x
thoả mãn
điều kiện đầu bài.
Xét trường hợp
3.n
Giả sử tồn tại đa thức bậc
: ( )
n
n P x
thỏa mãn điều kiện:
( ) ( ), (1)
( ) ( ) (2)
nn
nn
P x P x
P x P x x
Từ
(1) ( ) ( ) 0
nn
P x P x x n
chẵn.
Từ
(2) ( ) ( ) 0 ( 1)
nn
P x P x x n
chẵn.
Vô lý!!!!
2) Từ giả thiết suy ra n - chẵn (n - bậc của đa thức Q(x)). Giả sử ngược lại,
00
: ( ) 0x Q x
phương trình Q(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm ( n - chẵn!).
( ) 0
x
e Q x
có ít nhất 2 nghiệm ( kể cả nghiệm bội)
( ) 0
x
e Q x
có nghiệm. Tức là
( ) ( ) 0
xx
e Q x e Q x
có nghiệm
( ) ( ) 0Q x Q x
có nghiệm
Vô lý!!!!
Câu 4. Cho ma trận
2 1 0
0 1 0 ,
0 0 2
M
Đặt
, 1,2,3.
( ) ( , 2).
n
ij
ij
M b n n n
¥
Tính
33
11
( ).
n ij
ij
S b n
Giải.
Ta có M= E +D với
9
1 0 0 1 1 0
0 1 0 , 0 0 0 .
0 0 1 0 0 1
ED
Dễ dàng thấy rằng
, , ( 2).
nn
E E D D n n ¥
Khi đó
0 1 1
( ) .
n n n
n n k n k k k n k k k
n n n
k k k
M E D C E D C E D E C D E
Mặt khác
11
1
1
0
000
00
nn
kk
nn
kk
n
k
n
k
n
k
n
k
CC
CD
C
và
1
2 1.
n
kn
n
k
C
Do đó:
2 2 1 0
0 1 0 .
0 0 2
nn
n
n
M
Từ đây suy ra
3.2 .
n
n
S
Câu 5. Giải hệ phương trình
1 2 1
1
21
2
11
2004
2005 1
2005 1
nn
nn
n
n
n
a
x x x x
ax
x x x
a x x
x
Giải.
Cộng thêm biểu thức
1 2 1
i
x x x
vào cả hai vế phương trình thứ
( 2)ii
của hệ
đã cho. Với
2,3, , ,in
ta có
1
1 2 1
1 2 1 1 2
2005 1
i
i
i i n
i
a x x x
x x x x x x x x
1 2 1
1 2 1
1
( ) 1
2004 2005 1 2005 1
2005 2005
.
2005 2004
i
ii
i
i
i
aa
x x x
a
x x x
Vậy với
2,3, , 1:in
1 2 1 2 1
1
1
( ) ( )
2005 2005 2005 2005
.
2005 2004 2005 2004 2005
i n i
ii
i i i
x x x x x x x
a a a
10
Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai ta được
1
.
2005
a
x
Vậy
1
( 1,2, , 1); .
2005 2004.2005
in
in
aa
x i n x
Hết
