Định thức - TS. Lê Xuân Đại (Đại học Bách Khoa)

ĐỊNH THỨC
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 1 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n.
Định thức của ma trận A = (a
ij
) là một số, được
ký hiệu là detA hoặc |A|.
Vậy
det : M
n
(K ) → K
A → detA.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n

(K ) là ma trận vuông cấp n.
Định thức của ma trận A = (a
ij
) là một số, được
ký hiệu là detA hoặc |A|.
Vậy
det : M
n
(K ) → K
A → detA.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi M
ij
là định thức con phụ của phần tử a
ij
.
Định thức M
ij
là định thức cấp (n − 1) thu được
bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của
định thức |A|
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức

|A| =















a
11
. . . a
1(j−1)
a
1j
a
1(j+1)
. . . a
1n
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j−1)
a
(i−1)j
a
(i−1)(j+1)
. . . a
(i−1)n
a
i1
. . . a

i(j−1)
a
ij
a
i(j+1)
. . . a
in
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j−1)
a
(i+1)j
a
(i+1)(j+1)
. . . a
(i+1)n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n)(j−1)
a
nj
a
n(j+1)
. . . a
nn
















n×n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 4 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
|A| =















a
11
. . . a
1(j−1)
a
1j
a
1(j+1)

. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j−1)
a
(i−1)j
a

(i−1)(j+1)
. . . a
(i−1)n
a
i1
. . . a
i(j−1)
a
ij
a
i(j+1)
. . . a
in
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j−1)
a
(i+1)j
a
(i+1)(j+1)
. . . a
(i+1)n
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n)(j−1)
a
nj
a
n(j+1)
. . . a
nn
















n×n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 4 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
|A| =















a
11

. . . a
1(j−1)
a
1j
a
1(j+1)
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a

(i−1)1
. . . a
(i−1)(j−1)
a
(i−1)j
a
(i−1)(j+1)
. . . a
(i−1)n
a
i1
. . . a
i(j−1)
a
ij
a
i(j+1)
. . . a
in
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j−1)
a
(i+1)j
a
(i+1)(j+1)
. . . a
(i+1)n
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n)(j−1)
a
nj
a
n(j+1)
. . . a
nn
















n×n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 4 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
M
ij
=














a
11
. . . a
1(j−1)
a
1(j+1)
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j −1)
a
(i−1)(j +1)
. . . a
(i−1)n
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j −1)
a
(i+1)(j +1)
. . . a
(i+1)n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
a
n1
. . . a
n(j−1)
a
n(j+1)
. . . a
nn













(n−1)×(n−1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a

ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
là phần bù đại số của
phần tử a
ij
.
Định nghĩa
(Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận
vuông cấp n A = (a
ij
) là một số bằng
n

j=1
a
1j
A
1j
= a
11
A
11

+ a
12
A
12
+ . . . + a
1n
A
1n
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
là phần bù đại số của
phần tử a
ij
.
Định nghĩa
(Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận
vuông cấp n A = (a

ij
) là một số bằng
n

j=1
a
1j
A
1j
= a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ . . . + a
1n
A
1n
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
detA =












a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a

ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
. . . a
nj
. . . a
nn












=
n

j=1
a
1j
A
1j
=
=
n

j=1
(−1)
1+j
a
1j
M
1j
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
1
n = 1, A = (a
11

) ⇒ |A| = a
11
.
2
n = 2, A =

a
11
a
12
a
21
a
22

⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
= a
11

a
22
− a
12
a
21
.
3
n = 3, A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33



⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
+ (−1)
1+3
a
13
M
13
= (−1)
1+1
a
11




a
22

a
23
a
32
a
33




+ (−1)
1+2
a
12




a
21
a
23
a
31
a
33





+
(−1)
1+3
a
13




a
21
a
22
a
31
a
32




.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
1
n = 1, A = (a
11
) ⇒ |A| = a
11
.

2
n = 2, A =

a
11
a
12
a
21
a
22

⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
= a
11
a
22
− a

12
a
21
.
3
n = 3, A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


⇒ |A| =
(−1)

1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
+ (−1)
1+3
a
13
M
13
= (−1)
1+1
a
11




a
22
a
23
a

32
a
33




+ (−1)
1+2
a
12




a
21
a
23
a
31
a
33




+
(−1)
1+3

a
13




a
21
a
22
a
31
a
32




.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
1
n = 1, A = (a
11
) ⇒ |A| = a
11
.
2
n = 2, A =


a
11
a
12
a
21
a
22

⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
= a
11
a
22
− a
12
a
21

.
3
n = 3, A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11

M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
+ (−1)
1+3
a
13
M
13
= (−1)
1+1
a
11




a
22
a
23
a
32
a
33





+ (−1)
1+2
a
12




a
21
a
23
a
31
a
33




+
(−1)
1+3
a
13





a
21
a
22
a
31
a
32




.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
4 2 1
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 1: |A| = 1.A
11
+ 2.A

12
+ 3.A
13
.
A
11
= (−1)
1+1




2 1
1 5




= 2.5 − 1.1 = 9,
A
12
= (−1)
1+2




4 1
3 5





= −(4.5 − 1.3) = −17,
A
13
= (−1)
1+3




4 2
3 1




= 4.1 − 2.3 = −2.
Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 68
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
4 2 1
3 1 5



Giải. Khai triển theo hàng 1: |A| = 1.A
11
+ 2.A
12
+ 3.A
13
.
A
11
= (−1)
1+1




2 1
1 5




= 2.5 − 1.1 = 9,
A
12
= (−1)
1+2





4 1
3 5




= −(4.5 − 1.3) = −17,
A
13
= (−1)
1+3




4 2
3 1




= 4.1 − 2.3 = −2.
Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 68
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1
hàng bất kỳ.
detA =












a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
. . . a
nj
. . . a
nn












=
n

j=1
a
ij
A
ij
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 68
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1
hàng bất kỳ.
detA =












a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij

. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
. . . a
nj
. . . a
nn












=
n

j=1
a
ij
A
ij
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 68
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1
cột bất kỳ.
detA =











a
11

. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
. . . a
nj
. . . a
nn











=
n


i=1
a
ij
A
ij
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 68
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta
nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều
số 0 càng tốt.
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
0 2 0
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 2:
|A| = 0.A
21
+ 2.A
22
+ 0.A
23
=
2.(−1)
2+2





1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 68
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta
nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều
số 0 càng tốt.
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
0 2 0
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 2:
|A| = 0.A
21
+ 2.A
22
+ 0.A

23
=
2.(−1)
2+2




1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 68
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta
nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều
số 0 càng tốt.
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
0 2 0
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 2:

|A| = 0.A
21
+ 2.A
22
+ 0.A
23
=
2.(−1)
2+2




1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 68
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính định thức detA với A =


1 2 3
2 1 0
3 1 0



Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A
13
+ 0.A
23
+ 0.A
33
=
3.(−1)
1+3




2 1
3 1




= 3(2.1 − 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 68
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính định thức detA với A =


1 2 3
2 1 0
3 1 0



Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A
13
+ 0.A
23
+ 0.A
33
=
3.(−1)
1+3




2 1
3 1




= 3(2.1 − 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 68
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Định lý
Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác
dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường
chéo chính.
Khai triển định thức theo cột 1 ta được










a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

0 0 . . . a
nn









= a
11
.(−1)
1+1
.









a
22
a
23
. . . a

2n
0 a
33
. . . a
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn









=
= . . . = a

11
.a
22
. . . . a
nn
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 68