bai-tap-nang-cao-toan-3-bai-toan-co-yeu-to-hinh-hoc

Bài tập nâng cao Tốn 3: Bài tốn có yếu tố hình học
A. Kiến thức cần nhớ
1. Đường gấp khúc
Đường gấp khúc là đường gồm nhiều đoạn thẳng kế tiếp nhau và khơng thẳng
hàng.
Cách tính độ dài đường gấp khúc: muốn tính độ dài các đoạn thẳng của đường
gấp khúc ta tính tổng độ dài các đoạn thẳng của đường gấp khúc đó (độ dài các
đoạn thẳng cùng đơn vị đo).
2. Hình tam giác
Hình tam giác là hình có 3 đỉnh không thẳng hàng và 3 cạnh là 3 đoạn thẳng
nối các đỉnh với nhau.
Các yếu tố của hình tam giác:
+ Đỉnh là điểm chung của hai cạnh trong một hình tam giác.
+ Cạnh là một đoạn thẳng nối hai đỉnh hoặc hai điểm.
Cách tính chu vi hình tam giác: chu vi hình tam giác là tổng độ dài các cạnh của
hình tam giác (độ dài các cạnh phải cùng đơn vị đo).
3. Hình tứ giác
Tứ giác là 1 hình gồm 4 cạnh và 4 đỉnh không thẳng hàng.
Cách đọc tên tứ giác: chọn bất kì 1 điểm trên hình làm mốc rồi đọc theo chiều
kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.
Các yếu tố của hình tứ giác:
+ Đỉnh là điểm chung của 2 cạnh hay nhiều cạnh trong hình tứ giác.
+ Cạnh là một đoạn thẳng nối hai đỉnh hoặc hai điểm.
Cách tính chu vi hình tứ giác: chu vi hình tứ giác là tổng độ dài các cạnh trong
tứ giác đó (độ dài các cạnh phải cùng đơn vị đo)
Diện tích hình chữ nhật: a x b (trong đó a, b là chiều dài và chiều rộng của hình
chữ nhật)
Diện tích hình vng: a x a (trong đó a là độ dài cạnh của hình vng)
B. Bài tập vận dụng
1. Dạng 1: nhận dạng, phân tích tổng hợp hình, đếm hình
Bài 1: Hình dưới đây có bao nhiêu hình tam giác?

Bài 2: Số hình tam giác gấp mấy lần số hình vng có trong hình bên?

Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Bài 3: Đếm số hình tam giác và hình tứ giác trong hình bên?

Bài 4: Nêu cách đếm số hình tam giác và số hình tứ giác có trên hình bên. Số hình
tam giác và số hình tứ giác có bằng nhau?

Bài 5: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC ta lấy 4 điểm D, E, M, N. Nối đỉnh A với 4
điểm vừa lấy. Hỏi đếm được bao nhiêu tam giác trên hình vẽ?
2. Dạng 2: cắt ghép hình, vẽ thêm đoạn thẳng để tạo hình
Bài 6: Kẻ thêm một đoạn thẳng để các hình dưới đây có một hình tứ giác và một
hình tamg giác

Bài 7: Vẽ thêm 1 đoạn thẳng để hình dưới đây có 6 hình tam giác

Bài 8: Cho 2 mảnh gỗ hình chữ nhật, 2 mảnh gỗ hình vng lớn và 5 mảnh gỗ hình
vng nhỏ có kích thước như hình vẽ. Hãy ghép 9 mảnh gỗ nói trên để được một
hình vng.

Bài 9: Cho 2 mảnh bìa hình vng. Hãy cắt 2 mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để
ghép lại ta được một hình vng.

Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Bài 10: Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 2 mảnh nhỏ

để ghép lại ta được 1 hình tam giác.
3. Dạng 3: đường gấp khúc - độ dài đường gấp khúc, chu vi hình tam giác, hình
tứ giác, hình chữ nhật, hình vng
Bài 11: Ghi tên các đường gấp khúc có điểm đầu là A, điểm cuối là B có trong hình
dưới đây:

Bài 12: Đường gấp khúc ABC có độ dài 36cm gồm hai đoạn AB và BC. Đoạn AB
dài gấp đôi đoạn BC. Tính độ dài đoạn AB và đoạn BC.
Bài 13: Một đường gấp khúc gồm 3 đoạn, tổng độ dài của đoạn thứ nhất và đoạn
thứ hai là 7cm, của đoạn thứ hai và đoạn thứ ba là 9cm, của đoạn thứ ba và đoạn
thứ nhất là 8cm. Tính độ dài đường gấp khúc đó.
Bài 14: Tính chu vi hình tam giác ABC, biết cạnh AB = 15cm, cạnh BC dài hơn cạnh
AB là 5cm nhưng lại ngắn hơn cạnh AC là 8cm.
Bài 15: Đường gấp khúc ABCDE gồm bốn đoạn, biết đoạn AB = 7cm, BC = 9cm.
Tổng độ dài hai đoạn AB và BC bằng tổng độ dài hai đoạn CD và DE, đoạn DE dài
hơn đoạn CD là 6cm. Tính độ dài đoạn DE, đoạn CD và độ dài đường gấp khúc
ABCDE.
Bài 16: Tính chu vi hình tứ giác ABCD, biết cạnh AB = 16cm, BC = 10cm, cạnh CD
bằng nửa tổng AB và BC. Cạnh AD gấp đơi hiệu của AB và BC.
Bài 17: Hình tam giác ABC có 3 cạnh bằng nhau. Hình tứ giác MNPQ có 4 cạnh
bằng nhau. Biết cạnh hình tam giác dài hơn cạnh hình tứ giác là 10cm và chu vi hai
hình đó bằng nhau. Tìm độ dài cạnh của hình tam giác ABC và hình tứ giác
MNPQ.
Bài 18: Có một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng 12cm, chiều dài 15cm. Bạn
An cắt đi ở mỗi góc hình chữ nhật một hình vng (như hình vẽ). Tính chu vi hình
cịn lại của miếng bìa.

4. Dạng 4: diện tích các hình, diện tích hình chữ nhật, hình vng
Bài 19: Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 16cm, chiều rộng 9cm. Người ta
cắt miếng bìa đó (dọc theo chiều rộng để được hai phần, một phần là hình vng

Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


và một phần là hình chữ nhật). Tính chu vi và diện tích phần miếng bìa hình chữ
nhật.
Bài 20: Tính diện tích và chu vi hình H sau:

Bài 21: Tính chu vi và diện tích hình A có kích thước như hình vẽ:

Bài 22:
a, Em hãy tìm cách cắt hình A rồi ghép lại thành hình B

b, Em hãy tính chu vi hình A và diện tích hình B, biết hình A được ghép bởi 3 hình
vng cạnh 2cm.
C. Lời giải
Bài 1:
Số các hình tam giác đếm được chính là số các đoạn thẳng là đáy của hình tam giác
tương ứng. Như vậy có tất cả 10 tam giác.
Bài 2:
Trong hình có 4 hình vng, 12 hình tam giác.
Số hình tam giác so với số hình vng gấp: 12 : 4 = 3 (lần)
Bài 3:
Trong hình có 9 hình tam giác, 12 hình tứ giác.
Bài 4:

Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Xét các hình tam giác chung đỉnh A, ứng với đáy BC có 6 hình tam giác

Vậy ứng với 3 cạnh đáy BC, DE, GH có tất cả 6 x 3 = 18 (tam giác)
Trong hình tam giác đỉnh giác, đáy BP có 3 tứ giác.
Vậy trong 6 hình tam giác đỉnh A đáy lần lượt BP, PQ, QC, BQ, PC, BC có: 3 x 6 =
18 (tứ giác)
Số hình tam giác bằng số hình tứ giác
Bài 5:
Bài tốn có nhiều cách làm:

Cách 1. (Phương pháp liệt kê)
Có 5 tam giác chung cạnh AB là ABD, ABE, ABM, ABN, ABC.
Có 4 tam giác chung cạnh AD là: ADE, ADM, AND, ADC.
Có 3 tam giác chung cạnh AE là: AEM, AEN, AEC.
Có 2 tam giác chung cạnh AM là: AMN, AMC.
Có 1 tam giác chung cạnh AN là: ANC.
(Các tam giác đếm rồi ta không đếm lại nữa).
Vậy số tam giác ta đếm được trên hình vẽ là: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác).
Cách 2. (Phương pháp lắp ghép)
Có 5 tam giác đơn: (1), (2), (3), (4), (5).
Có 4 tam giác ghép đơi: (1) + (2), (2) + (3), (3) + (4), (4) + (5).
Có 3 tam giác ghép 3 là: (1) +(2) +(3), (2) +(3) +(4), (3) +(4) +(5).
Có 2 tam giác ghép 4 là: (1) + (2) + (3) +(4), (2) + (3) + (4) + (5).
Có 1 tam gíac ghép 5 là: (1) + (2) + (3) + (4) + (5).
Vậy số tam giác đếm được là: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác)
Cách 3:
Ta nhận xét:

Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đáy BC với đỉnh A ta được

một tam giác. Vậy số tam giác đếm được trên hình vẽ bằng số đoạn thẳng trên
cạnh đáy BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 6 điểm B, C, D, E, M và N.
Áp dụng kết quả trong ví dụ 1 (phương pháp quy nạp) ta có số đoạn thẳng đếm
được là: 6 x (6 – 1) : 2 = 15 (đoạn thẳng).
Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ.
Ta nhận xét:
Nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đáy BC với đỉnh A ta được
một tam giác. Vậy số tam giác đếm được trên hình vẽ bằng số đoạn thẳng trên
cạnh đáy BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 6 điểm B, C, D, E, M và N.
Áp dụng kết quả trong ví dụ 1 (phương pháp quy nạp) ta có số đoạn thẳng đếm
được là: 6 x (6 – 1) : 2 = 15 (đoạn thẳng).
Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ.
Cách 4. (Phương pháp quy nạp)
Ta nhận xét:
* Nếu trên cạnh BC, lấy 1 điểm và nối với điểm A thì ta đếm được:
Có 2 tam giác đơn là: (1), (2).
Có 1 tam giác ghép đơi là: (1) + (2).
Tổng số tam giác đếm được là: 2 + 1 = 3 (tam giác)

* Nếu trên BC, ta lấy 2 điểm và nối với đỉnh A thì ta đếm được:
Có 3 tam giác đơn là: (1), (2), (3).
Có 2 tam giác ghép đơi là: (1) +(2), (2) +(3).
Có 1 tam giác ghép 3 là: (1) + (2) + (3).
Tổng số tam giác đếm được là: 3 + 2 + 1 = 6 (tam giác)

Vậy quy luật ở đây là: Nếu trên cạnh đáy BC ta lấy n điểm và nối chúng với đỉnh A
thì ta sẽ đếm được (n + 1) tam giác đơn và số tam giác đếm được là: 1 + 2 + 3 +…+
(n + 1) = (n + 2) x (n +1) : 2 (tam giác)
Áp dụng:
Trên cạnh đáy BC lấy 4 điểm thì số tam giác đơn đếm được là 5 và số tam giác đếm

được là: (4 + 2) x (4 + 1) : 2 = 15 (tam giác)
Bài 6:
Vẽ thêm đường nét đứt để được 1 hình tứ giác và 1 hình tam giác
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Bài 7:
Vẽ thêm đường nét đứt để được 6 hình tam giác

Bài 8:
Tổng diện tích của 9 mảnh gỗ là:
2 x 3 x 2 + 2 x 2 x 2 + 1 x 1 x 5 = 25 (cm ).
Vậy cạnh của hình vng ghép được là 5cm.
Dưới đây là một số cách giải:

Bài 9:
+ Trước hết ta xét trường hợp 2 hình vng có kích thước bằng nhau.
Cách 1:

Cách 2:

+ Trường hợp 2 hình vng có kích thước khác nhau

Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Cắt hai hình vng như nét đen trong hình, sau đó ghép các mảnh đã cắt vào phần
nét đứt sẽ tạo được hình vng.
Bài 10:
Ta có các cách làm sau:

Bài 11:
Các đường gấp khúc điểm đầu là A và điểm cuối là B là: ACB, ADEHB, ADEGKIB
Bài 12:
Đoạn BC dài là: 36 : (2+1) = 12 (cm)
Đoạn AB dài là: 12 x 2 = 24 (cm)
Bài 13:
2 lần tổng độ dài 3 đoạn là: 7 + 9 + 8 = 24 (cm)
Độ dài đường gấp khúc là: 24 : 2 = 12 (cm)
Bài 14:
Độ dài BC là: 15 + 5 = 20 (cm)
Độ dài AC là: 20 + 8 = 28 (cm)
Chu vi hình tam giác ABC là: 15 + 20 + 28 = 63 (cm)
Bài 15:
Tổng độ dài hai đoạn CD và DE là 7 + 9 = 16 (cm)
Độ dài đoạn CD là: (16 - 6) : 2 = 5 (cm)
Độ dài đoạn DE là: 5 + 6 = 11 (cm)
Độ dài đường gấp khúc ABCDE là: 16 x 2 = 32 (cm)
(hoặc bằng 7 + 9 + 5 + 11 = 32 (cm))
Bài 16:
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Độ dài cạnh CD là: (16 + 10) : 2 = 13 (cm)
Độ dài cạnh AD là: (16 - 10) x 2 = 12 (cm)
Chu vi hình tứ giác ABCD là: 16 + 10 + 13 + 12 = 51 (cm)
Bài 17:

Từ sơ đồ trên, ta có: Độ dài cạnh hình tứ giác là: 10 + 10 + 10 = 30 (cm)
Độ dài cạnh hình tam giác là: 30 + 10 = 40 (cm)

Bài 18:
Kẻ thêm hai đoạn thẳng để tạo thành 6 hình vng

Nhận xét rằng chiều rộng được chia thành 3 phần bằng nhau. Nên gọi độ dài cạnh
của mỗi hình vng là: 12 : 3 = 4 (cm)
Khi cắt đi 4 hình vng nhỏ thì phần cịn lại là:

Chu vi của phần còn lại sẽ bằng chu vi của 2 hình vng nhỏ có cạnh bằng 4cm và
hình chữ nhật có chiều rộng bằng 15 – 4 – 4 = 7cm và chiều dài bằng 12cm rồi trừ đi
2 đoạn thẳng màu đỏ có chiều dài mỗi đoạn là 3cm.
Chu vi hình vng nhỏ là 4 + 4 + 4 + 4 = 16cm
Chu vi 2 hình vng nhỏ là 16 + 16 = 32cm
Chu vi hình chữ nhật là (7 + 12) x 2 = 38cm
Chu vi phần còn lại là: 32 + 38 – 4 – 4 = 54 (cm)
Nhận xét: Chu vi hình chữ nhật ban đầu là (12 + 15) x 2 = 54 (cm) = chu vi phần còn
lại.
Bài 19:

Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Độ dài cạnh MB là 16 – 9 = 7(cm)
Chu vi hình chữ nhật MBCN là: (9 + 7) x 2 = 32(cm)
Diện tích hình chữ nhật MBCN là 9 x 7 = 63cm2
Bài 20:

Diện tích hình H bằng tổng diện tích hình 1 và hình 2.
Diện tích hình 1 là 3 x 3 = 9cm2
Diện tích hình 2 là 3 x 6 = 18cm2
Diện tích hình H là 9 + 18 = 27cm2

Chu vi hình H bằng tổng các cạnh, chu vi đó là 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 6 = 24cm
Bài 21:
Tương tự bài 20
Bài 22:
a, Cắt hình A rồi ghép thành hình B như hình vẽ sau:

b, Chu vi hình A bằng tổng độ dài các cạnh: 2 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 = 16cm
Diện tích hình B bằng tổng diện tích hình vng cạnh 2cm và diện tích hình chữ
nhật cạnh 2cm và 4cm, diện tích đó là: 2 x 2 + 2 x 4 = 12cm2.
Tải thêm tài liệu tại:
/>
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc