Đề thi Đại số Cao học Vinh 2005

Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh

Cộng hòa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam
§éc lËp - Tù do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai A trên trường các số thực Ă sao cho A2 = 0.
3
2
Câu 2. Cho ánh xạ f : Ă Ă xác ®Þnh bëi : f(x, y) = (2x - y, x + y, x - 2y + 2a).
a) Tìm a để f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm Ker(f) và Im(f) trong trường hợp f là ánh xạ tuyến tính.

Câu 3. Chøng minh r»ng:
a) Cã duy nhÊt mét ®ång cÊu tõ nhóm cộng các số hữu tỷ Ô đến nhóm cộng các số
nguyên  .
b) Nhóm cộng các số hữu tỷ Ô không phải là nhóm Cyclic.
c) Nhóm thương Ô / Â không đẳng cấu với nhóm cộng các số hữu tỷ Ô .
Câu 4. Kí hiệu  [i] là vành các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên (với phép cộng và
nhân số phức).
a) Chứng minh rằng, ánh xạ f xác định bởi f(a + bi) = a - bi là một tự đẳng cấu của vành
 [i].
b) Tìm tất cả các tự đẳng cấu của  [i].
c) Mô tả vành thương  [i]/ A, trong đó A là Ideal của vành  [i], gồm các số phức dạng
a + bi, với a, b là các số nguyên chẳn.
Câu 5. Cho X là một miền nguyên. Chứng minh rằng, X là một trường khi và chỉ khi X chỉ có hai
Ideal tầm thường là {0} vµ X.