Đề thi Đại số Cao học Vinh 2002

Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh

Cộng hòa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam
§éc lËp - Tù do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1.

a)

3
Cho phép biến đổi tuyến tính củaĂ đối với cơ sở đơn vị có ma trận là:
8 1 5
 −2 3 1 


 4 − 1 − 1

HÃy tìm giá trị riêng và vectơ riêng của .
b) Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận vuông phần tư thùc tháa m·n A2 + I = 0 th× A không
có giá trị riêng thực. Từ đó suy ra không tồn tại ma trận vuông A cấp 3 phần tư thùc tháa m·n
A2 + I = 0 (Trong ®ã I là ma trận đơn vị cùng cấp với A ).
Bµi 2. Cho nhãm G vµ AutG lµ nhãm tÊt cả các tự đẳng cấu của G với phép toán nhân ánh xạ.
Với mỗi a G, xét ánh xạ fa : G → G
x a a-1xa
a) Chøng minh r»ng fa là một tự đẳng cấu của G, và ta gọi đó là tự đẳng cấu trong xác
định bởi a.

b) Chứng minh rằng tập tất cả các tự đẳng cấu trong cđa G lËp thµnh mét nhãm con, ký
hiƯu lµ IntG của nhóm AutG. Hơn nữa, IntG AutG.
c) Chứng minh r»ng mét nhãm con H cđa G lµ ­íc chn cđa G khi vµ chØ khi fa(H) = H
víi mäi fa ∈ IntG.
d) Chøng minh r»ng nÕu G kh«ng giao hoán thì IntG không thể là Cyclic, do đó AutG
cũng không là Cyclic.
x y

Bài 3. Cho tập X = 
 : x, y ∈Z 3  , trong đó Â 3 là trường các lớp đồng dư
− y x 

modul 3.
a) Chøng minh r»ng X cïng với phép cộng và nhân ma trận lập thành một trường.
b) Tìm đặc số của trường X.

theo

Bài 4. a) Chứng minh rằng nếu K là một trường thì vành đa thøc K[x] lµ mét vµnh chÝnh.
b) Chøng minh r»ng miỊn nguyên P không phải là trường thì P[x] không là vµnh chÝnh.
c) Gäi I = <x, 2> lµ Ideal sinh bởi hai phần tử x và 2 trong vành  [x]. Chứng minh rằng I
gồm tất cả các đa thức với hệ số tự do là số nguyên chẵn và I không phải là Ideal chính.