Đề thi Đại số Cao học Vinh 2001

Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh

Cộng hòa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam
§éc lËp - Tù do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho V là không gian tất cả các đa thức một Èn cã bËc ≤ n víi hƯ sè thùc vµ : V V là
ánh xạ biến mỗi đa thức thành đạo hàm của nó.
a) Chứng minh rằng là một phép biến đổi tuyến tính của không gia véc tơ V.
b) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của .
3
Câu 2. Cho ánh xạ f : Ă 2 Ă xác định bởi
f ( x, y ) = (2 x − y, x + y , x 2 y + m )
a) Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính .
b) Tìm ker f và dim (imf ) trong trường hợp f ánh xạ tuyến tính.

Câu 3. a) Chứng minh rằng mọi vành con của vành số nguyên  đều có dạng m với m  .
b) Tìm tất cả các tự đồng cấu của vành  [5] các số thực có dạng a + b 5 với a, b là các
số nguyên.
p
Câu 4. Cho K là một trường có đặc số nguyên tố p. Chứng minh ánh xạ x x ( x K ) là một
tự đồng cấu khác không của trường K. Từ đó hÃy chứng minh định lí Fecma bé: Với mọi số
nguyên a và số nguyên tố p ta cã a p ≡ a (mod p ) .

Câu 5. Xét nhóm Ô các số hữu tỉ với phép cộng thông thường.
a) Chứng minh rằng Ô không phải là nhóm Xyclic.
b)Nhóm thương Ô / Â có đẳng cấu với Ô hay không?