Ứng dụng mô hình hóa toán học giải quyết bài toán thực tế trong chương trình đại số lớp 10

II

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG

ÚNG DỤNG MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC GIẢI QUYẾT
BÀI TỐN THỤC TÊ TRONG CHƯUNG TRÌNH ĐẠI sơ LỚP 10
Huỳnh Ngọc Diễm
*

ABSTRACT
The article presents the application of mathematical modeling to solve real-life problems in the
grade 10 Algebra program.
Keywords: Mathematical modeling, modeling, practical problems, Grade 10 Algebra.
Received:11/01/2022; Accepted:18/01/2022; Published: 20/2/2022

1. Đặt vấn đề
Trong Chương trình Giáo dục phơ thơng
2018 của Bộ Giáo dục và đào tạo đã nêu rõ mục
tiêu của mơn Tốn cấp trung học phổ thơng như
sau: “Góp phần hình thành và phát triển năng
lực tốn học với yêu cầu cần đạt: nêu và trả lời
được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử
dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp
và suy diễn để hiểu được những cách thức khác
nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập được
mơ hình hóa để mơ tả tình huống, từ đó đưa ra
cách giải quyết vấn đề tốn học đặt ra trong mơ
hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được
giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được
giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị
của giải pháp, khái quát hóa được cho vấn đề

tương tự; sử dụng được cơng cụ, phương tiện
tốn trong học tập, khám phá và giải quyết vấn
đề toán học”. Mơn Tốn góp phần hình thành và
phát triên cho học sinh năng lực toán học (biêu
hiện tập trung nhất của năng lực tính tốn) gồm
các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và
lập luận toán học; năng lực mơ hình hóa tốn
học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng
lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng
cụ. phương tiện học tốn. Chúng ta thấy rằng
năng lực mơ hình hóa tốn học là một trong
những năng lực tốn học của học sinh trung học
phổ thơng cần đạt được trong Chương trình giáo
dục phổ thơng mơn Tốn. Mơ hình hóa tốn học
* ThS. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một. Bình
Dương

được học sinh thể hiện ở chỗ: biết lựa chọn, thiết
lập được mơ hình tốn học bao gồm: cơng thức,
phương trình, sơ đồ, hình vẽ,... phù hợp với tình
huống được đặt ra trong bài toán thực tế; giải
quyết được những vấn đề toán học trong mơ
hình được thiết lập và nêu được câu trả lời cho
tình huống xuất hiện trong bài tốn thực tế.
Bên cạnh đó, việc tăng cường mối liên hệ
giữa tốn học và thực tế được xem là một trong
những định hướng xun suốt trong q trình
dạy học mơn Tốn ở cấp trung học phổ thơng,
nó giúp cho học sinh có những hiểu biết tương
đối về các ngành nghề gắn với môn Tốn và giúp

học sinh có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu
những vấn đề liên quan đến tốn học trong suốt
cuộc đời.
Bài viết đề cập đến việc vận dụng mơ hình
hóa tốn học giải quyết một số bài tốn thực tế
trong chương trình Đại số lớp 10.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Cơ sở lý thuyết
Phần lý thuyết tôi trình bày lại nội dung đã
tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3].
Có nhiều quan niệm khác nhau về mơ hình
nhưng có thể hiểu một cách chung nhất thì mơ
hình dùng đế mơ tả một tình huống thực tiễn
nào đó nhằm hướng tới một mục tiêu nhất định.
Mơ hình tốn học là một mơ hình trừu tượng,
sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả về một hệ
thống nào đó. Mơ hình tốn học được sử dụng
nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên, chuyên
ngành kỹ thuật và trong cả khoa học xã hội.
Mơ hình hóa trong dạy học Tốn là phương

Ĩ8 . TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - số 260 kỳ 1 - 3 / 2022


NGHIÊN CỨU ỨNG DỰNG
pháp giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình
huống xuất phát từ thực tiền bằng cơng cụ và
ngơn ngữ tốn học, từ đó vận dụng kiến thức,
kỹ năng toán học để giải quyết bài toán đặt ra.
Mơ hình hóa tốn học giúp học sinh phát triển sự

thơng hiểu giữa các khái niệm và q trình tốn
học; phát triển các kỳ năng hợp tác và nhận thức
ở mức độ cao. Do vậy, giáo viên càn đưa ra các
loại bài tập gắn với hoạt động mơ hình hóa như:
bài tập ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế các
vấn đề nảy sinh tại địa phương, phân tích các tin
tức trên báo chí, số liệu trong sách giáo khoa hoặc
trên mạng Internet, bài toán liên quan kinh tế,...
* Quy trình mơ hình hóa
Mơ hình hóa các tình huống thực tế trong dạy
học Tốn sử dụng các cơng cụ và ngơn ngữ tốn
học phổ biến như cơng thức, thuật tốn, phương
trình, bảng biểu, đồ thị, ký hiệu,... Mơ hình hóa
là quy trình tạo ra mơ hình nhằm hướng tới giải
quyết một vấn đề nào đó và có thể được coi là
một quy trình khép kín, kết quả của nó dùng để
giải thích mơ tả các tình huống nảy sinh từ thực
tiễn, kết quả lại được dùng để giải thích và cải
thiện các vấn đề trong thực tế. Mơ hình hóa theo
quy trình gồm 4 giai đoạn chính sau:
- Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn,
phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố có
tác động đến vấn đề.
- Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ
giữa các yếu tố thông qua ngôn ngữ tốn học. Từ
đó, phác họa mơ hình tốn học tương ứng.
- Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và
công cụ tốn học phù họp để mơ hình hóa bài
tốn và phân tích mơ hình.
- Giai đoạn 4: Thơng báo kết quả, đối chiếu

mơ hình với thực tiễn và đưa ra kết luận.
Đe vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong
q trình dạy học mơn Tốn, giáo viên có thể
thiết kế và tổ chức các hoạt động mơ hình hóa
các bài toán theo các bước sau đây:
- Bước 1 (toán học hóa): Phân tích vấn đề
thực tiễn, đơn giản hóa vấn đề bằng cách loại bỏ
những yếu tố không bản chất để mô tả và diễn
đạt lại vấn đề bằng các cơng cụ và ngơn ngữ
tốn học (nêu được bài tốn).

II

- Bước 2 (giải bài tốn): Sử dụng các cơng
cụ toán học và phương pháp giải toán phù hợp
đê giải quyết vấn đề hay bài tốn đã được tốn
học hóa.
- Bước 3 (hiểu và thơng dịch): Hiểu và trình
bày ý nghĩa lời giải của bài tốn đối với tình
huống trong thực tế (bài toán ban đầu).
- Bước 4 (đối chiếu thực tế): Xem xét lại vấn
đề hoặc bài toán đã nêu ở Bước 1 cũng như lời
giải của bài toán, xem lại các cơng cụ và phương
pháp tốn học đã sử dụng, đối chiếu thực tế để cải
tiến mơ hình (bài toán hoặc vấn đề) đã xây dựng.
Như vậy, để tuân theo quy trình và các bước
cụ thể trên, chúng ta cần xuất phát từ tình huống
thực tế, diễn đạt vấn đề thực tế bằng lời (lập giả
thuyết, công thức, phương trình,...); sau đó, sử
dụng cơng cụ tốn học để giải bài toán và hiểu

ý nghĩa của lời giải bài tốn trong thực tế; cuối
cùng, xem xét lại mơ hình (hoặc chấp nhận mơ
hình), diễn đạt lại bài tốn ban đầu (hoặc thơng
báo kết quả), tìm hiểu những hạn chế và khó
khăn có thể gặp khi áp dụng kết quả của bài tốn
vào tình huống thực tế.
Sau đây, tơi sẽ minh họa mơ hình hóa tốn
học thơng qua một số bài toán thực tế:
2.2. Một sổ bài toán thực tế trong Chương
trình Đại số 10 vận dụng mơ hình hóa Toán
học
2.2.1. Bài toán 1
Một trang trại rau sạch mồi ngày thu hoạch
được 1 tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá
30000 đồng/kg thì hết rau sạch, nếu giá bán cứ
tăng 1000 đồng/kg thì số rau thừa tăng thêm 20
kg. Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn
chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Hỏi tiền bán
rau nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi
ngày là bao nhiêu?
Giải
Thực hiện các bước trong hoạt động mơ hình
hóa tốn học ta có bài giải của bài tốn như sau:
Ta có: 1 tấn = 1000 kg.
Gọi X (lần) là số lần trang trại tăng giá rau
sạch trong một ngày.
Điều kiện: X eN
.
*
Khi đó, giá bán một kilơgam rau sạch của

TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - số 260 kỳ 1 - 3 / 2022. 79


NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG
trang trại sau khi tăng giá trong một ngày là
30000 + lOOOx (đồng); số kilôgam rau thừa sau
khi tăng giá trong một ngày là: 20.X (kg); số
kilôgam rau trang trại bán được sau khi tăng giá
trong một ngày là 1000 - 20x (kg).
Tiền bán rau của trang trại sau khi tăng giá
trong một ngày:
7; = (1000 - 20x) (30000 +1000x)(đồng)
Tiền bán rau thừa của trang trại sau khi tăng
giá trong một ngày:
T, = 2000.20X (đồng)
Tong số tiền trang trại thu được trong một
ngày:
T= T} + T2 = (1000-20x) (30000+ 1000x)+
2000.20X
= -20000X2 + 440000X + 30000000
Đặt y(x) = -20000x2+ 440000x+ 30000000
với điều kiệnx e N *.
Đây là hàm số bậc hai có a = -20000 < 0 nên
sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh I có hồnh độ X =
11 (thỏa điều kiện X e N
).
*
Vậy trang trại cần tăng giá 11 lần mồi ngày
để thu được tiền bán rau nhiều nhất, tổng số tiền

trang trại nhận được sau khi tăng giá 11 lần là
32420000 đồng.
2.2.2. Bài toán 2
Doanh nghiệp tư nhân Phát Tài chuyên kinh
doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh
nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh
xe Vision với chi phí mua vào một chiếc là 27
triệu đồng và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với
giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua
ưong một năm là 600 chiếc. Nhàm mục tiêu đẩy
mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn
khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và
ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mồi chiếc xe
thì số lượng xe bán ra ưong một năm sẽ tăng thêm
200 chiếc. Hỏi doanh nghiệp phải định giá bán
mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá,
lợi nhuận của doanh nghiệp thu được là cao nhất?
Giải
Thực hiện các bước trong hoạt động mô hình
hóa tốn học ta có bài giải của bài tốn như sau:
Gọi X (triệu đồng) là giá giảm mỗi chiếc xe
Vision so với giá bán hiện tại (điều kiện: 0 < X < 4).

Khi đó giá bán mới một chiếc xe Vision của
doanh nghiệp là: 31 - X (triệu đồng), số chiếc xe
Vision bán ra sẽ tăng: 200.X (chiếc).
Tổng doanh thu của doanh nghiệp trong một
năm đối với loại xe Vision: 7? = (31 - x) (600 +
200x)
Chi phí của doanh nghiệp trong một năm đối

với loại xe Vision: c = 27(600 + 200x)
Lợi nhuận của doanh nghiệp trong một năm
đối với loại xe Vision:
L = (31 - x)(600 + 200x) - (600 + 200x)
= -200x2 + 200x + 2400
Đặty(x) = -200x2 + 200x + 2400
với điều kiện 0 < X < 4.
Đây là hàm số bậc hai có a = - 200 < 0 nên
sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh I có hồnh độ
X = - (thỏa điều kiện 0 < X < 4).
2
Vậy doanh nghiệp cần giảm giá mồi chiếc xe
0,5 triệu đồng (500000 đồng) tức doanh nghiệp
sẽ bán với giá 30,5 triệu đồng để thu được lợi
nhuận cao nhất, lợi nhuận khi ấy của doanh
nghiêp là 2450 triệu đồng.
3. Kết luận
Trên đây, tơi đã trình bày lại nội dung lý thuyết
và một số bài toán thực tế vận dụng mơ hình hóa
Tốn học để giải quyết. Bài viết khó tránh khỏi
những thiếu sót, rất mong nhận được sự trao đổi,
đóng góp ý kiến từ phía độc giả để bài viết hồn
thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn.

Tài liệu tham khảo

[1], Bộ Giáo dục và đào tạo, Chương trình
giảo dục phơ thơng mơn Tốn, Hà Nội, 2018.
[2], Lê Thị Thu Hương - Đinh Thị Hồng
Liên, Vận dụng quy trình mơ hình hóa trong dạy

học mơn Tốn ở Tiểu học, Tạp chí Giáo dục, số
453 (Kì 1 - 5/2019), trang 28-32, trang 49.
[3]. Lâm Thùy Dương - Trần Việt Cường,
Vận dụng mơ hình hóa tốn học trong dạy học
mơn Tốn ở Tiêu học, Tạp chí Giáo dục, số đặc
biệt tháng 9/2018, trang 127 - 129, trang 176.
[4], Sách giáo khoa Đại sổ lóp 10, NXB Giáo
dục, 2010.

80 . TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - số 260 kỳ 1 - 3 / 2022