Đề thi Đại số Cao học Vinh 2004

Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh

Cộng hòa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam
§éc lËp - Tù do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho n là số nguyên dương, Pn(R) là tập hợp tất cả các đa thức ẩn x với hệ số thực có bậc
không vượt quá n.
a) Chứng minh Pn(R) cùng với phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với một số là một
không gian véc tơ thực.
2
n
b) Chứng minh r»ng hƯ vÐc t¬ 1, x − 1, ( x − 1) , K, ( x − 1) lµ mét cơ sở của Pn(R). Tìm số
chiều của Pn(R).
Câu 2. Giả sử V là không gai véc tơ n chiều trên trường K và V1 là không gian con của V víi sè
chiỊu b»ng m, 0 < m < n .
a)Chøng minh rằng tồn tại không gian con V2 của V sao cho V= V1 ⊕ V2 . T×m sè chiỊu
cđa V2.
b) HÃy nờu cách xây dựng không gian véc tơ thương V /V1 và tìm số chiều của không
gian đó.
Câu 3. Giả sử Ê* là nhóm nhân các số phức khác không, H là tập hợp các số phức của Ê*
trên trục thực và trục ảo , Ă là nhóm cộng các số thực, Â là nhóm cộng các số nguyên.
a) Chứng minh rằng H là ước chuẩn của Ê* .
b) Chứng minh rằng  là ước chuẩn của Ă .
c) Chứng minh rằng nhóm thương Ê* / H đẳng cấu với nhóm Ă / Â .

nằm

Câu 4. Giả sử Â là vành các số nguyên . Lập tích đề các V= Â ì Â .
a) Chứng minh rằng V cúng với phép toán cộng và nhân xác định bởi :
(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)
(a,b).(x,y)=(ax,by) là một vành giao hoán có đơn vị . Tìm ước của không trong
vành đó.
b) Chứng minh rằng V cựng với phép cộng và phép nhân xác định bởi
(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)
(a,b).(x,y)=(ax,ay+bx+by) là một vành gaio hoán có đơn vị . Tìm ước của không
trong vành đó.