Slide 1 1 Chương 4 Tích phân số Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM

Trường Đại Học Cơng Nghiệp Tp.HCM
Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí

Chương 4: Tích phân số

ThS. Hồ Thị Bạch Phương

1

IUH - 2022


Tích phân
Tích phân khơng xác định

Tích phân xác định
1

2

x
 x dx  2  c
Tích phân khơng xác định
khác nhau ở giá trị c.

2 1

x
0 xdx  2

0

1

2

Tích phân xác định là số cụ
thể.

Nếu f liên tục trên khoảng [a,b]. F là nguyên hàm của f


2

b
a

f(x)dx  F(b)  F(a)


Tích phân = diện tích (A) dưới
đường cong
b

A   f(x)dx

f(x)

a

Cơng thức hình chữ nhật

Khoảng [a,b] được chia thành các
khoảng nhỏ hơn.
P  a  x 0  x1  x 2  ...  x n  b
Định nghĩa:
mi  min f (x) : x i  x  x i1

A
a

b

f(x)

M i  max f (x) : x i  x  x i1
n 1

Tổng dưới

L(f ,P)   m i  x i1  x i 
i 0

n 1

Tổng trên
3

U(f ,P)   M i  x i1  x i 
i 0

x0 x1 x2 x3

a

b


n 1

L(f ,P)   m i  x i1  x i 

Tổng dưới

i 0

n 1

Tổng trên

U(f ,P)   M i  x i1  x i 

f(x)

i 0

Ước tính tích phân  L  U
2
UL

2

Sai số

Ví dụ 1:



1
0

a

b

x0 x1 x2 x3

2

x dx

 1 2 3 
P  0, , , ,1 n = 4: Chia 4 khoảng bằng nhau
 4 4 4 

1
1
9
, m 2  , m3 
16
4
16
1

1
9
M 0  , M1  , M 2  , M3  1
16
4
16

m0  0,

4

m1 

x i1  x i 

1
4

cho i  0,1,2,3

0

1
4

1
2

3
1

4TS. Lê T. P. Nam


Tổng dưới L(f ,P) 

n 1

m x
i 0

i

i 1

 xi 

1
1 1 9  14
L(f ,P)  0     
4  16 4 16  64
Tổng trên U(f ,P) 

n 1

M x
i 0

i

i 1

 xi 

1 1 1 9
 30
U(f ,P)      1 
4 16 4 16  64

0

1
4

1
2

3
4

1



Ước tính tích phân       0.34375
2  64 64  32
1 30

14

11

1  30 14  1
   
2  64 64  8

Sai số
• Ước tính dựa trên tổng hình chữ nhật thì dễ để đạt cho hàm
đơn điệu (ln ln tăng hoặc ln ln giảm).
5

• Hàm khơng đơn điệu, tìm cực trị của hàm có thể khó khăn và
các phương pháp khác thì khả thi hơn.


Phương pháp Newton-Cotes
 Phương pháp Newton-Cotes, hàm được xấp xỉ bởi 1 đa thức n.
 Tính tích phân của đa thức thì dễ dàng.



b



b

a

a

f ( x)dx  

b

a

a



n

a
x

...

a
x
dx
0
1
n

(b 2  a 2 )
(b n 1  a n 1 )
f ( x)dx a0 (b  a)  a1
 ...  an
2
n 1

 Phương pháp Trapezoid (Đa thức bậc 1 thì được dùng)



b
a

f (x)dx  

b
a

 a 0  a1x  dx

 Qui tắc 1/3 Simpson (Đa thức bậc 2 được dùng)


6

b
a

f (x)dx  

b
a

2
a


a
x

a
x
 0 1 2  dx


Phương pháp Trapezoid (Cơng thức hình thang)

b

f (b)  f (a)
f (a) 
( x  a)
ba
f(x)

I   f ( x)dx
a

f (b)  f (a )


I    f (a) 
( x  a ) dx
a
ba



b

b

f (b)  f (a ) 

  f (a)  a
x
ba

 a

a
7

b

2 b

f (b)  f (a ) x
ba
2

a

f (b)  f (a )
 b  a 
2

Phương pháp Trapezoid.
f(x)

f (b)

f (a)

ba
A
 f (a)  f (b) 
2
a

8

b


Phương pháp Trapezoid
Khoảng [a,b] được chia thành n
khoảng nhỏ

f (x 2 )  f (x1 )
A2 
x 2  x1 

f(x)
2

a  x 0  x1  x 2  ...  x n  b



b

a

f (x)dx  Tổng diện tích của
các trapezoid.

x

x0
a
9

x1

x2

x3
b


Phương pháp Trapezoid
Công thức tổng quát và trường hợp đặc biệt.
Nếu khoảng được chia thành n phần (không cần thiết chia đều)

a  x 0  x1  x 2  ...  x n  b



b
a

n 1

1
f (x)dx    x i1  x i  f (x i1 )  f (x i ) 
i 0 2

Trường hợp đặc biệt (Chia đều các khoảng)

x i1  x i  h for all i


10

b
a

n 1
1

f (x)dx  h  f (x 0 )  f (x n )    f (x i ) 
i 1
2


Ví dụ 2:
Cho bảng dữ liệu vận tốc
của 1 vật.
Ước tính khoảng cách đi
trong khoảng [0,3].

t (s)

0.0

1.0

2.0

3.0

v (m/s)

0.0

10

12

14

Khoảng cách = Tích phân của vận tốc

Khoang

11

cach 



3
0

V(t) dt


Khoảng được chia thành
3 khoảng . Các điểm là
{0,1, 2, 3}

t (s)

0.0

1.0

2.0

3.0

V (m/s)

0.0

10

12

14

PP Trapezoid
h  x i1  x i  1
1
 n 1

T  h   f (x i )   f (x 0 )  f (x n )  
2
 i1

1


Khoang cach  1 (10  12)  (0  14)   29
2


12


Sai số trong ước tính tích phân
Giả định f”(x) là liên tục trên [a,b].

Các khoảng chia đều nhau: h
Nếu pp Trapezoid được dùng để xấp xỉ:



b
a

f (x)dx

Khi đó
b  a 2 ''


h f ( ) mà ξ ϵ [a,b]
Sai số
12

ba 2
|Sai số| 
h max f ''(x)
x[a,b]
12
13


Ví dụ 3: Cần bao nhiêu khoảng để tính





0

sin(x)dx

chính xác tới 5 chữ số thập phân.
Giải



1
5
sin(x)dx,
tim
h
de
sai
so


10
0
2
ba 2
Sai so 
h max f ''(x)
x[a,b]
12
b   ; a  0; f '(x)  cos(x); f ''(x)   sin(x)



1
f ''(x)  1  Sai so  h   10 5
12
2
6
2
 h   105  h  0.00437



14

2

(b  a)

 n

 719 khoang
h
0.00437


Ví dụ 4:
x

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

f(x)

2.1

3.2

3.4

2.8

2.7

Dùng pp Trapezoid để tính



3
1

f (x)dx
n 1

1

T(f ,P)    x i1  x i  f (x i1 )  f (x i ) 
i 0 2
Trường hợp đặc biệt : h  x i1  x i cho tất cả i,
Giải

15

1
 n 1

T(f ,P)  h   f (x i )   f (x 0 )  f (x n )  
2
 i1



x

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

f(x)

2.1

3.2

3.4

2.8

2.7

3

1

16

n1

1
f ( x)dx  h  f ( xi )   f ( x0 )  f ( xn ) 
2
 i 1

1


 0.5  3.2  3.4  2.8  2.1  2.7 
2



 5. 9


PP Trapezoid đệ quy

Ước tính trên 1 khoảng

f(x)
f(x)

h ba
ba
R(0,0) 
 f (a)  f (b) 
2

b
a
17

ah

a  2h

b
a

ah

PP Trapezoid đệ quy
Nếu Δx = h

Ước tính trên 2 khoảng

f(x)

ba
h
2
ba 
1

R(1,0) 
f
(a

h)

f
(a)

f
(b)



2 
2
1

R(1,0)  R(0,0)  h  f (a  h) 
2
Dựa trên ước tính trước

18

Dựa trên điểm mới
Điểm giữa
khoảng

b
a

ah

a  2h


PP Trapezoid đệ quy

f(x)

h

ba
4

ba
 f (a  h)  f (a  2h)  f (a  3h)
R (2,0) 

4
1

  f (a )  f (b) 
2

1
R (2,0)  R (1,0)  h f (a  h)  f (a  3h)
2

Dựa trên ước tính trước
19

Dựa trên điểm mới

b
a

a  2h

a  4h


PP Trapezoid đệ quy

ba
 f (a)  f (b)
R (0,0) 
2



1
R (n,0)  R (n  1,0)  h   f a  (2k  1)h 
2
 k 1

2 ( n1)

ba
h n
2
20


ba
h
,
2

ba
 f (a)  f (b)
R (0,0) 
2
1
1

R (1,0)  R (0,0)  h  f a  (2k  1)h 
2
 k 1


ba
h 2 ,
2

1
 2

R (2,0)  R (1,0)  h  f a  (2k  1)h 
2
 k 1


h  b  a,

2

ba
1
h 3 ,
R (3,0)  R (2,0)  h  f a  (2k  1)h 
2
2
 k 1

.......... ........
2

ba
h n ,

2
21

2

1
R (n,0)  R(n  1,0)  h   f a  (2k  1)h 
2
 k 1

( n 1 )


Ví dụ 5:
Dùng pp Trapezoid đệ quy để tính



 /2
0

sin(x)dx

Tính đến R(3,0) và ước lượng sai số
n h

R(n,0)

0 (b-a)=/2

(/4)[sin(0) + sin(/2)]=0.785398

1 (b-a)/2=/4

R(0,0)/2 + (/4) sin(/4) = 0.948059

2 (b-a)/4=/8

R(1,0)/2 + (/8)[sin(/8)+sin(3/8)] = 0.987116

3 (b-a)/8=/16

R(2,0)/2 +
(/16)[sin(/16)+sin(3/16)+sin(5/16)+
sin(7/16)] = 0.996785

Sai số ước tính = |R(3,0) – R(2,0)| = 0.009669
22


Ưu điểm của pp Trapezoid đệ quy
 Cho kết quả như pp Trapezoid tiêu chuẩn.
 Giảm thời gian tính tốn từ các thơng tin có sẵn.
 Hữu dụng nếu số lần lặp không biết trước.

23


Lý do dùng pp Trapezoid
PP Trapezoid:

1
 n 1

f (x i )   f (x 0 )  f (x n )  
 a f (x)dx  h 
2
i 1

b

Nó có thể được biểu diễn như



b
a

n

f (x)dx   ci f (x i )
i 0

i  1,2,...,n  1
 h
ma ci  
 0.5h i  0 va n
24


Cơng thức tích phân tổng qt



b
a

n

f (x)dx   ci f (x i )
i 1

ci : trọng số (weight), xi: các điểm
Vấn đề làm thế nào chúng ta chọn ci và xi để công thức
trên cho 1 xấp xỉ tốt của tích phân.

Tích phân Gauss
25