SKKN Rèn luyện kĩ năng giải một số dạng bài tập về hình chóp dành cho học sinh luyện thi thpt Quốc G...

SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Thông thường đứng trước bài tốn giải hệ phương trình học sinh nghĩ
ngay đến các dạng cơ bản đã học : phương pháp cộng, phương pháp thế, phương
pháp đặt ẩn phụ để giải. Nhưng thực tế qua các đề thi đại học hoặc đề thi học
sinh giỏi cấp tỉnh các năm vừa qua học sinh tồn gặp các hệ phương trình phức
tạp mà để giải được nó cần phải có những kỹ năng đặt biệt. Một trong những kỹ
năng đó là sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ phương trình. Với
mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu này trong các kỳ thi tuyển sinh
đại học, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm "Rèn luyện kỹ năng giải hệ
phương trình bằng phương pháp hàm số". Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
gồm 2 phần:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần trang bị
Phần II: Kỹ năng phân tích tìm hàm đặc trưng và tự giải quyết vấn đề.
Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN
của tơi có thể có những phần chưa hồn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp q
báu của q thầy cơ.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 1


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
1/ Một học sinh không thể học hệ phương trình tốt nếu các kiến thức liên quan
đến biến đổi đa thức không tốt.
2/ Một học sinh không thể giải được các hệ phương trình lạ nếu khơng được

trang bị các kỹ năng nhận dạng và biến đổi đặc biết đối với dạng bài đó.
.........
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1/ Thực trạng chung : Hầu hết các học sinh có cảm giác "sợ và ngại" học hệ
phương trình các dạng không mẫu mực, nhất là phần ứng dụng đạo hàm được
đưa vào sau khi các em được tiếp cận hệ phương trình cơ bản cách đó q lâu.
2/ Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó, thời lượng dành
cho hệ phương trình trong chương trình q ít, vì vậy một số giáo viên không
mặn mà khi dạy phần kiến thức này.
3/ Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp
phần kiến thức này và luôn có cảm giác “sợ”. Vì vậy hầu hết các em đều học
chưa tốt phần kiến thức này.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1. Trang bị lại cho học sinh một số kiến thức :
Tính chất 1: Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc ln nghịch
biến) trên tập D thì số nghiệm của phương trình f ( x)  k ( k là hằng số không
đổi) trên D không nhiều hơn một và f ( x)  f ( y ) khi và chỉ khi x  y với mọi x,
y thuộc D .
Tính chất 2: Nếu hàm số y  f ( x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và
hàm số y  g ( x) luôn nghịch biến (hoặc ln đồng biến) và liên tục trên tập D
thì số nghiệm của phương trình f ( x)  f ( y ) khơng nhiều hơn một.
Tính chất 3: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên (a; b) . Nếu phương trình

f '( x)  0 có n  1 (n  N ) nghiệm thuộc (a; b) thì phương trình f ( x)  0 có nhiều
nhất n nghiệm thuộc khoảng (a; b)
Chú ý :
Nếu hệ có một trong hai phương trình ta dưa về dạng : f ( x)  f ( y ) với x,
y thuộc D thì khi đó ta khảo sát một hàm số đặc trưng : y  f (t ) trên tập D . Nếu

y  f (t ) là hàm số đơn điệu thì f ( x)  f ( y ) khi và chỉ khi x  y . Trong phương

pháp này khó nhất là phải xác định được tập giá trị của x và y, nếu tập giá trị của
chúng khác nhau thì các em khơng được dùng phương pháp trên mà phải chuyển
Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 2


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
chúng về dạng tích : f ( x)  f ( y )  0 hay (x  y).A(x; y)  0 . Khi đó ta xét trường
hợp x  y  0 , và trường hợp A(x; y)  0 .
2. Kỹ năng giải hệ phương trình bằng sử dụng phương pháp hàm số :
 x 3  x  2  y 3  3 y 2  4 y (1)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  5
3
(2)
 x  y  1  0
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x)  f ( y ) .
 Nhận xét gì về tập giá trị của x và của (y + 1) ?
 Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
 Hướng dẫn giải:
(1)  x 3  x  ( y  1)3  ( y  1) (1')
Xét hàm số f (t )  t 3  t trên R
Ta có f '(t )  3t 2  1  0, t  R . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R
Khi đó : (1')  f ( x)  f ( y  1)  x  y  1 thế vào phương trình (2), ta được:
x 5  (1  x)3  1  0
 x( x 4  x 2  3 x  3)  0
x  0
x  0

2
 4
  4 
 x  0  y  1
3 3
2
x

x

3
x

3

0
x

x



0(
VN
)




2 4


x  0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
 y  1
 x 3  5 x  y 3  5 y (1)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  8
4
(2)
 x  y  1
Hướng dẫn giải:
Từ phương trình (2) suy ra điều kiện có nghiệm của hệ phương trình là :
x  1; y  1

Xét hàm số : f (t )  t 3  5t trên tập 1;1

f '(t )  3t 2  5  0, t  1;1. Suy ra hàm số nghịch biến trên

khoảng (1;1) .
Phương trình (1) tương đương với : f ( x )  f ( y)  x  y thế vào phương trình
(2), ta được :

x   x
4

2

4

1  0  x4 

5 1
 x  4
2

5 1
 x  y  4
2

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

5 1
2

Trang | 3


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"


5 1
5 1
x   4
x  4

2

2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
và 



5 1
5 1
4
4
y  
y 
2
2


Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình một điều
khá quan trọng đó là chỉ ra hàm số được xét trên tập nào.
 x 3  3 x 2  2  y 3  3 y 2 (1)
Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình : 
(2)
3 x  2  y 2  8 y
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x)  f ( y ) .

y3 ?
 Hàm số có đơn điệu trên tập được xét khơng ?
 Hướng dẫn giải:
 y3  3 y 2  0

x  2
(*)
Điều kiện :  y 2  8 y  0  
y


0

x  2  0

Ta có :
 Nhận xét gì về tập giá trị của (x - 1) và của

(1)  x 3  3 x 2  y y  3  ( x  1)3  3( x  1) 



 
3

y 3 3

y3



(1')

Xét hàm số f (t )  t 3  3t trên tập [1; )
f '(t )  3t 2  3  0, t  1  f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng (1; )
Khi đó : (1')  f ( x  1)  f





y  3  x  1  y  3  x  1  y  3 kết hợp
2

với phương trình (2), ta được :
2
 x 2  2 x  1  y  3
(1')
 x  2 x  2  y


2
2
9( x  2)  y  8 y (2')
3 x  2  y  8 y
Thế (1') vào (2'), ta được :
9 x  18  x 2  2 x  2   8 x 2  2 x  2 
2

 x 4  4 x 3  8 x 2  17 x  6  0
 ( x  3)( x 3  x 2  5 x  2)  0
x  3  0
x  3
 3

 x  3  y  1(Tm)
 2
2
x


x

5
x

2

0
x
(
x

1)

4
x

(
x

2)

0(VN)


x  3
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : 
y 1

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

SangKienKinhNghiem.net

Trang | 4


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

8 x  3 2 x  1  y  4 y 3  0 (1)
Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình : 
2
3
2
4 x  8 x  2 y  y  2 y  3  0 (2)
Hướng dẫn giải:
1
Điều kiện : x 
2
(1)  4(2 x  1)  1 2 x  1  y  4 y 3  4

 2 x  1 
3

2 x  1  4 y 3  y (1')

Xét hàm số : f (t )  4t 3  t trên tập [0; )
f '(t )  12t 2  1  0, t  0  Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0; )
Khi đó : (1')  f

 2 x  1 f ( y) 

2 x  1  y  y 2  1  2 x thế vào phương

trình (2), ta được :

y

2

 1  4 y 2  1 2 y 3  y 2  2 y  3  0
2

y  0
 y  1
4
3
2
 y  2 y  y  2 y  0  y ( y  1)(y  1)(y  2)  0  
 y  2

y 1
1
Khi y  0  x  (thỏa mãn điều kiện)
2
Khi y  1  x  1 (thỏa mãn điều kiện)
5
Khi y  2  x  (thỏa mãn điều kiện)
2
Khi y  1  x  1 (thỏa mãn điều kiện)



1  5

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : ( x; y )  (1; 1);(1; 1);  ;0  ;  ; 2  
2  2


2
2
2
2
3 x  3 y  8  ( y  x)( y  xy  x  6) (1)
Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình : 
(2)
( x  y  13)( 3 y  14  x  1)  5
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x)  f ( y ) .
 Nhận xét gì về tập giá trị của (x + 1) và của (y - 1) ?
 Hàm số có đơn điệu trên tập được xét khơng ?
 Hướng dẫn giải:
 x  1
x 1  0

Điều kiện : 

14 (*)
y

3 y  14  0

3

Ta có : (1)  x  1  3 x  1   y  1  3  y  1 (1')
3

3

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 5


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
Xét hàm số f (t )  t 3  3t  f '(t )  3t 2  3  0, t  R
 Hàm số f(t) đồng biến trên R
Khi đó : (1')  f ( x  1)  f ( y  1)  x  1  y  1  y  x  2 thế vào phương
trình (2), ta được : (2 x  11)( 3 x  8  x  1)  5 (3)
5
11
 3x  8  x  1 
 0 (4) (Do x 
không là nghiệm của (3)
2 x  11
2
5
 8 11   11

Xét hàm số g ( x)  3 x  8  x  1 
trên D   ;    ;  
2 x  11
3 2   2


3
1
10
g '( x) 


2
2 3 x  8 2 x  1 2 x  11



6 x  17
10
 8 11   11


 0, x   ;    ;  
2
2 (3 x  8)( x  1)(3 x  1  3 x  8) 2 x  11
3 2   2


 8 11 
 11

 Hàm số g(x) đồng biến trên  ;  và  ;  
3 2 
2


 8 11 
- Khi x   ;  : (4)  g ( x)  g (3)  x  3  y  5 (thỏa mãn điều kiện (*))
3 2 
 11

-Khi x   ;   : (4)  g ( x)  g (8)  x  8  y  10 (thỏa mãn điều kiện (*))
2

x  3 x  8
;
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : 
 y  5  y  10







 x  1  x 2 y  1  y 2  1 (1)

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình : 

 x 6 x  2 xy  1  4 xy  6 x  1 (2)
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x)  f ( y ) .
 Nhận xét gì về tập giá trị của x và của (-y) ?
 Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
 Hướng dẫn giải:
Xét hàm số : f (t )  t  1  t 2 trên R.

f '(t )  1 

t



1  t2  t



t t

 0, t  R

1 t
1 t
1 t
Suy ra hàm số đồng biến trên R
Ta có : (1)  x  1  x 2   y  1  ( y)2  f ( x )  f ( y)  x   y thế vào
phương trình (2), ta được :
2

2

2

Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 6


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
2

x  25 x 2

2
x 6 x  2 x  1  4 x  6 x  1   6 x  2 x  1   
2
4

 6 x  2 x 2  1  3x

 6 x  2 x 2  1  2 x
2

2

Khi 6 x  2 x 2  1  3 x , ta có :
x  y
x  y
x  1


x

0


x

0




2 x 2  6 x  1  9 x 2
7 x 2  6 x  1  0  y  1


Khi

6 x  2 x 2  1  2 x , ta có :


3  11
x  y
x  y
x 



2
 x  0

x  0
2 x 2  6 x  1  4 x 2
2 x 2  6 x  1  0  y  3  11




2

3  11
x

x  1

2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
và 
 y  1
 y  3  11

2
 x 3  3 x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình :  2
(A 2012)
1
2
x

y

x

y




2
Hướng dẫn giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với :
x  13  12 x  1  y  13  12 y  1(1)

2
2

1 
1
(2)
 x     y    1
2 
2

Từ phương trình (2) suy ra :
1
3
1
1
1
3
x  1    x 1 ; y  1    y 1
2
2
2
2
2

2
 3 3
Xét hàm số : f (t )  t 3  12t trên đoạn K    ; 
 2 2
f '(t )  3t 2  12  3(t 2  4)  0, t  K .
 3 3
 Hàm số f(t) nghịch biến trên   ;  .
 2 2

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 7


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
Khi đó : (1)  f ( x  1)  f ( y  1)  x  1  y  1  y  x  2 thế vào phương
trình (2), ta được :
1

x

2
2

1 
3

2
2

x


x


1

4
x

8
x

3

0



 

2 
2

x  3

2
1
3

- Với x  , ta có : y  
2
2
3
1
- Với x  , ta có : y  
2
2
 1 3   3 1  
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : ( x; y)   ;   ; ;   
 2 2   2 2  
Nhận xét : Phương trình (1) của hệ có yếu tố ta đáng lưu tâm x 3  3 x 2 và
y 3  3 y 2 đó là một phần của hằng đẳng thức.
 x 4  16 y 4  1


y
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình :  8 x
 x 2  2 xy  y 2  8

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x)  f ( y ) .
x
 Nhận xét gì về tập giá trị của và của y ?
2
 Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
 Hướng dẫn giải:
Điều kiện : x  0 và y  0 .
4

x
4
4
 2   1 y4  1
x  16 y  1

 

Ta có :
(1)
x
8x
y
y
2
4
t 1
Xét hàm số : f (t ) 
trên D  R \ {0}
t
1
f '(t )  3t 2  2  0, t  D . Suy ra : Hàm số f(t) đồng biến trên D.
t
x
x
+ Trên (0; ) : (1)  f    f ( y)   y thế vào phương trình cịn lại của hệ
2
2
2
ta được : y  8  y  2 2  x  4 2 (thỏa mãn)

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 8


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
x
x
+ Trên (;0) : (1)  f    f ( y)   y thế vào phương trình cịn lại của hệ
2
2
2
ta được : y  8  y  2 2  x  4 2 (thỏa mãn)





Vậy nghiệm của hệ phương trình là : ( x; y)  4 2; 2 2 ; 4 2;2 2



Nhận xét : Có nhiều bài tốn cho ta thấy ngay hàm số cần xét nhưng có những
bài cần có một số bước biến đổi cơ bản mới có được cái ta cần.
1 3x  4

2
(1)

x  3y 1  y  y  x 1
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình : 
 9 y  2  3 7 x  2 y  2  2 y  3 (2)

Hướng dẫn giải:
 x  1
x 1  0

Điều kiện : 

2 (*)
9
y

2

0
y



9
1
1
Ta có : (1)  y 2   3 y  ( x  1) 
 3 x  1 (1')
y
x 1
1
Xét hàm số f (t )  t 2   3t trên khoảng (0; )

t
2
2t  1t  1
1

f '(t )  2t  2  3 
 0, t  (0; )
t
t2
 Hàm số f(t) đồng biến trên (0; )
Khi đó : (1')  f ( y )  f





x  1  y  x  1  x  1  y 2 thế vào phương

trình (2), ta được :
9 y  2  3 7 y2  2 y  5  2 y  3
  9 y  2  ( y  2)    3 7 y 2  2 y  5  ( y  1)   0


2
2
y  5y  6
( y  1)( y  5 y  6)


0

9 y  2  ( y  2) ( y  1) 2  ( y  1) 3 7 y 2  2 y  5  ( 3 7 y 2  2 y  5) 2
 ( y 2  5 y  6).h( x)  0
Vì


1
y 1
h(x)  

0
2
2
2
2
3
3
9
y

2

(
y

2)
(
y

1)


(
y

1)
7
y

2
y

5

(
7
y

2
y

5)


y  2
2
với y  nên y 2  5 y  6  0  
9
y  3
-Khi y  2  x  3 (thỏa mãn điều kiện (*))

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

SangKienKinhNghiem.net

Trang | 9


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
-Khi y  3  x  8 (thỏa mãn điều kiện (*))
x  3 x  8
; 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
y

2

y  3
x
 2
 x  x  1  ( y  2) ( x  1)( y  1)
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình : 
3 x 2  8 x  3  4 x  1 y  1


(1)
(2)

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x)  f ( y ) .
x
 Nhận xét gì về tập giá trị của
và của y  1 ?

x 1
 Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
 Hướng dẫn giải:
 x  1
(*)
Điều kiện : 
 y  1
Ta có :
x3  x 2  x
(1) 
 ( y  2) ( x  1)( y  1)
x 1
3
3
x 3  x( x  1)
 x   x 

 ( y  2) y  1  


y

1
 y  1 (1')
 

( x  1) x  1
 x 1   x 1 
Xét hàm số f (t )  t 3  t trên D  0;  



 



f '(t )  3t 2  1  0, t  0  Hàm số f(t) đồng biến trên (0; )
x
 x 

f
y

1

 y  1 thế vào phương trình
Khi đó : (1')  f 

x 1
 x 1 







(2), ta được : 3 x 2  8 x  3  4 x x  1  2 x  1  x  2 x  1
2



2

 2 x  1  x  1 (3)

 2 x  1  1  3 x (4)
x 1  0
x  1
(3)  

 x  3 2 3
 2
2
4( x  1)  ( x  1)
x  6x  3  0
3 2 3
43 3
 y
Suy ra : y  1 
(thỏa mãn điều kiện)
2
42 3
1

1  3 x  0
5  2 13
x 
(4)  



x

3

2
9
4( x  1)  (1  3 x)
9 x 2  10 x  3  0


Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 10


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
5  2 13
41  7 13
9
Suy ra : y  1 
(thỏa mãn điều kiện)
 y
72
5  2 13
1
9

5  2 13

x  3  2 3
 x 

9
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
; 
43 3
 y   41  7 13  y 

2

72
5  16.4 x2 2 y  5  16 x2 2 y .7 2 y  x2  2
(1)

Ví dụ 11: Giải hệ phương trình : 
 x 3  17 x  10 y  17  2 x 2  4  4 y  11 (2)
Hướng dẫn giải:
Đặt t  x 2  2 y phương trình (1) có dạng





5  4 2t 5  4 2 t

(3)
7 2t
7 2t
x

x
1 4
Xét hàm số f x   5.      f ( x) là hàm số nghịch biến trên R
7 7
Phương trình (3) có dạng f (t  2)  f (2t )  t  2  2t  t  2  x 2  2 y  2
Khi đó phương trình (2) có dạng
5  16.4t  5  16t .7 2t 

x 3  5 x 2  17 x  7  2 x 2  4  2 x 2  7

 x  2   x  2   x  2   2 x 2  7  2 x 2  7  2 x 2  7  2 x 2  7
3

2

Xét hàm số f (t )  t 3  t 2  t trên khoảng 0; 

f '(t )  3t 2  2t  1  0, t  0  f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng 0; 
Phương trình trên có dạng
x 1
f x  2   f 2 x 2  7  x  2  2 x 2  7  
x  3
 1   7 
Suy ra : Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (x;y) là: 1;  ,  3;  .
 2   2
4 1  2 x 2 y  1  3 x  2 1  2 x 2 y  1  x 2
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình : 
2 x 3 y  x 2  x 4  x 2  2 x 3 y 4 y 2  1
Hướng dẫn giải:
Điều kiện : 1  x  1

Ta thấy ( x; y)  (0; a), a  R là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Khi x  0 , ta có :





Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 11


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

2 x 3 y  x 2  x 4  x 2  2 x 3 y 4 y2  1  2 y  2 y 4 y2  1 

1 1

x x

1
 1 (*)
x2

Xét hàm số : f (t )  t  t t 2  1

t2

 0, t .  Hàm số f(t) đồng biến

t2  1
1
1
Do đó : (*)  f 2 y   f    2 y  thế vào phương trình cịn lại của hệ ta
x
x
f '(t )  1  t  1 
2

có : 4 1  x  1  3 x  2 1  x  1  x 2
a  1  x  0
Đặt 
ta có : 3 x  x  1  2( x  1)  1  2 a2  b2  1
b  1  x  0
Phương trình trở thành :
2a  b
2 a2  b2  ab  4 a  2 b  0  2 a  b a  b  2   0  
a  b  2
3
5
Với 2a  b , ta có : 2 1  x  1  x  x    y  
5
6
Với a  b  2 , ta có : 1  x  1  x  2  x  0 (loại)
 3 5 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : ( x; y)    ;   ;0; a  | a  R 
 5 6 

 x  3  4 x  2  y 4  5  y (1)

Ví dụ 13: Giải hệ phương trình : 
2
2
 x  2 x( y  2)  y  8 y  4  0 (2)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện : x  2
Ta có : (1)  ( x  2)  5  4 x  2  y 4  5  y (1')
Xét hàm số f (t )  t  t 4  5 trên 0; 

f '(t )  1 
Khi đó : f



4

2t 3

 0, t  0

 Hàm số f(t) đồng biến trên (0; )

t 5
x  2  f ( y )  4 x  2  y  x  y 4  2 thế vào phương trình (2),
4



2
y  0

ta được : 4 y  y 4  y   y y 7  2 y 4  y  4  0   7
4
 y  2 y  y  4  0 (3)
Với y  0  x  2 (thỏa mãn điều kiện)
Giải (3): Xét hàm số g ( y )  y 7  2 y 4  y  4 trên 0; 

g '( y )  7 y 6  8 y 3  1  0, y  0
 Hàm số g(y) đồng biến trên (0; )

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 12


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
Lại có : (3)  g ( y )  g (1)  y  1  x  3 (thỏa mãn điều kiện)
x  2 x  3
; 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
y

0

y 1
Ví dụ 14: Giải hệ phương trình :
20 6  x  17 5  y  3 x 6  x  3 y 5  y  0 (1)

2
(2)

2 2 x  y  5  3 3 x  2 y  11  x  6 x  13
Hướng dẫn giải:
x  6
y  5

(*)
Điều kiện : 
2
x

y

5

0

3 x  2 y  11  0
(1)  20  3 x  6  x  17  3 y  5  y
 3 6  x   2  6  x  3 5  y   2  5  y

3

Xét hàm số f t   3t  2  t trên tập 0; 
3t  2
f ' t   3 t 
 0, t  0  Hàm số f(t) đồng biến trên 0; 
2 t
Khi đó : (3)  f 6  x   f 5  y   6  x  5  y  y  x  1 thế vào phương
4
trình (2), ta được : 2 3 x  4  3 5 x  9  x 2  6 x  13 (Điều kiện : x   )

3
2
 2 3 x  4  x  2   3 5 x  9  x  3  x  x





 

2 x x  1

3 x  4  x  2 



3 x x  1

5 x  9  x  3



 x2  x



2
3
 x x  1


 1  0
 3 x  4  x  2 
5 x  9  x  3 

2
3
 x  1

 1  1 với mọi x thuộc TXĐ)
(vì

3 x  4  x  2 
5 x  9  x  3
x  0
Với x  0  y  1 (thỏa mãn hệ phương trình)
Với x  1  y  2 (thỏa mãn hệ phương trình)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : x; y  0; 1; 1; 2 

 x  x 2  1  3 y (1)
Ví dụ 15 : Giải hệ phương trình : 
2
x
 y  y  1  3 (2)

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 13

SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
Hướng dẫn giải:
Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta được :

x 





x 2  1  y  y 2  1  3 y  3x  x  x 2  1  3x  y  y 2  1  3 y (3)

Xét hàm số f (t )  t  t 2  1  3t trên R
t
f '(t )  1 
 3t ln 3  0, t  R  Hàm số f(t) đồng biến trên R.
2
t 1
Khi đó : (3)  f ( x)  f ( y )  x  y thế vào phương trình (2), ta được :

 x  1  x  (4)
Xét hàm số g ( x)  3  x  1  x trên R

1 
g '( x)  3  x  1  x  ln 3 
  0 , do
x

1



x  x 2  1  3x  1  3x
x

x

2

2

x 2  1  x  0 và

2

2

x2  1  1

 Hàm số g(x) đồng biến trên R.
Khi đó : (4)  g ( x)  g (0)  x  0  y  0

x  0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : 
y  0
Ví dụ 16 : Giải hệ phương trình :
xy  3 y  2  x  x 5   y  3 x  y  2 (1)

(2)
 9 x 2  16  2 2 y  8  4 2  x

Hướng dẫn giải:
0  x  2
(*)
Điều kiện : 
y


2

Ta có : (1)  x  1 y  3 y  2  x  1 x   0
x 1

 y  3 y  2  x  1 x  0 (3)

Với x  1 : Từ phương trình (2), ta được 2 2 y  8  1  y  
Ta có :
(3)   y  2  1 y  2  x  1 x 



 
3

y2 

31
(loại)
8

  x    x (3')

y2 

3

Xét hàm số Xét hàm số f (t )  t 3  t trên R
Ta có f '(t )  3t 2  1  0, t  R . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R
Khi đó : (3)  f ( y  2)  f ( x ) 
trình (2), ta được :

y  2  x  y  x  2 thế vào phương

9 x 2  16  4 2  x  2 2 x  4

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 14


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

 9 x 2  32  8 x  16 2 4  x 2 
x

2
2
4

x


(4)



2
2
2
2
 8 4  x  16 2 4  x   x  8 x  0  
 2 4  x 2    x  4 (VN )

2
0  x  2
4 2
4 2 6

(4)   2 32  x 
y
(thỏa mãn điều kiện)
3
3
x


9
4 2 4 2 6
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x; y   
;


3 
 3
Ví dụ 17: Giải hệ phương trình:
(x  y)(x 2  xy  y 2  2)  6 ln  y  y 2  9
x 2  9  x   12 ln 3




 3 2x  y  34  3 2y  x  3  1






Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x,y  ¡ .



y

PT(1)  x  y  2x  2y  6 ln
3

y2  9 x2  9  x2

3





x  x2  9

 6 ln 9

 



 x3  y3  2x  2y  6 ln y  y 2  9  6 ln x  x 2  9



Xét hàm số: f(t)  t  2t  6 ln t  t  9 với t  ¡




 x3  2x  6 ln x  x 2  9  y3  2y  6 ln y  y 2  9
3



2


2

2
 3  t 2 
 
t2  9
t2  9 3 

2
2
Xét hàm số: g(u)  u 
 với u  0
u9 3
1
1
 g'(u)  1 
1
0
(u  9)3
93
 Hàm số g(u) đồng biến trên [0; )  g(u)  g(0)  0
 f '(t)  3t 2  2 

6

Suy ra: f '(t)  3g(t 2 )  0  Hàm số f(t) đồng biến trên ¡ .
Mà (1)  f(x)  f(y)  x  y thế vào phương trình (2), ta được :
3

x  34  3 x  3  1  3 x  34  3 3  x  1

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

SangKienKinhNghiem.net

Trang | 15


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

 x  34  3  x  3 3 (x  34)(3  x)

 x  34 
3

3



3 x 1

 37  3 3 (x  34)(3  x)  1  3 x 2  31x  102  12

 x  61
 x 2  31x  102  1728  x 2  31x  1830  0  
 x  30
Thử lại ta thấy x  61;x  30 là nghiệm của phương trình.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: x;y  (30; 30);(61; 61)

(1  42 x  y )51 2 x  y  1  22 x  y 1 (1)

Ví dụ 18: Giải hệ phương trình:  x  y
 ln x  3  ln  y  3 (2)


 4
Hướng dẫn giải:
 x  3
Điều kiện : 
 y  3
Đặt t  2 x  y , phương trình (1) trở thành:
t

t

1  4t 1  2t  1  1   4  1 2 t
(1 4 ).5 1 2  t 
        .2 (3)
5
5
5 5 5 5
t
t
1 2
1 4
Ta có hàm số f (t )       nghịch biến và hàm số g (t )   .2t đồng biến
5 5
5 5
trên ¡ , mà t = 1 thỏa mãn (3), nên t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
 2x  y  1
(*)
Ta có (2)  x  4ln( x  3)  y  4ln( y  3)
Xét hàm số: y  f (t )  t  4ln(t  3) với t  3 ( (*)  f ( x)  f ( y ) )
4

t 1

, f '(t )  0  t  1
Ta có: f '(t )  1 
t 3 t 3
BBT:

1
-3
t
+
0
f’(t)
t

1 t

t 1

f(t)
Với x  1  y  1 ta có x  y  1 thỏa mãn hệ phương trình đã cho.
Từ 2 x  y  1  y  x  x  1
Với x  1 , ta có:
Khi x  1  y  x  1  f ( y )  f ( x)
Khi x  1  y  x  1  f ( y )  f ( x)

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 16

SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
1
x  (3; ) \ 
Suy ra với 
2 x  y  1,

ta ln có f ( y )  f ( x)

x  1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 
y 1
2 y 4 y 2  3 x 2  x 4 x 2  3
(1)

Ví dụ 19: Giải hệ phương trình: 
x
2 y  2 x  5  x  1  4024 (2)
2012
Hướng dẫn giải:
Điều kiện : 2 y  2 x  5  0
Nếu x  0  y  0 nhưng lại không thỏa mãn (2) vậy x khác 0 . Từ (1) chia hai





vế cho x 2  0 . Ta được :
2 y 4 y 2  3 x 2  x 4 x 2  3


1 
x3
x3
2
3

 2 y   2 y 
 2y 
 2y 
3
3

 
  3  x  3 x  
  3
  x  3 x (3)
 x   x 
 x 
 x 

Xét hàm số : f (t )  t 3  3t  f '(t )  3t 2  3  0 với mọi t thuộc R . Chứng tỏ
hàm số f(t) đồng biến trên R.
2y
2y
Khi đó : (3)  f ( )  f ( x) 
 x  2 y  x 2 thế vào phương trình (2),
x
x
ta được :

2   2012 x 



x 2  2 x  5  x  1  4024

 2012.2012 x 1

 x 1  4  x 1 4024
2

Lại đặt t  x  1 suy ra :
2012.2012t

Xét hàm số :
g (t )  2012t

t

2

Có : g '(t )  2012t

t

2



 4  t  4024  g (t )  2012t



 4  t  g '(t )  2012t ln 2012



t

2



t

2



 4 t  2



 t

 4  t  2012t 
 1
2
 t 4 


1 
t 2  4  t ln 2012 
0
2
t

4



(Vì

t 2  4  t  0 và

1
t2  4

 1  ln 2012 )

mà g (2)  0 nên t  0 là nghiệm duy nhất và : t  x  1  0  x  1; y 

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

1
2

Trang | 17

SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : x; y   1; 
 2
4 x 2  1x   y  3 5  2 y  0 (1)
Ví dụ 20: Giải hệ phương trình: 
(2)
4 x 2  y 2  2 3  4 x  7
Hướng dẫn giải:
3

x


4 (*)
Điều kiện : 
y  5

2
Ta có :
(1)  4 x 3  x    y  3 5  2 y  (2 x)3  (2 x) 

 5  2y    5  2y 
3

(3)

Xét hàm số : f (u )  u 3  u  f '(u )  3u 2  1  0, u . Suy ra f(u) luôn đồng biến

f (2 x)  f

 5  2 y  2 x 

5  2 y  4 x 2  5  2 y  2 y  5  4 x 2 Thế vào
2

 5  4 x2 
 3
(2), ta được : g ( x)  4 x  
  2 3  4 x  7  0 với x  0;  . Ta thấy
 4
 2 
3
x  0 và x  không là nghiệm .
4
4
4
5

 3
g '( x)  8 x  8 x   2 x 2  
 4 x 4 x 2  3
 0, x   0; 
3  4x
3  4x
2

 4

1
1
Mặt khác : g    0  x  là nghiệm duy nhất
2
2
1 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x; y    ;2 
2 
Bài tập tự luyện
 x  x( x 2  3 x  3)  3 y  2  y  3  1
Bài 1. Giải hệ phương trình : 
3 x  1  x 2  6 x  6  3 y  2  1
 x 2  96  95 y  y 2 x 2  96  x 2 y

Bài 2. Giải hệ phương trình :  2 y 2  3 x  94 
x 8
 3 xy  96 

y y
y

2

 x2 1 8 y 2  12
3 2 y  x
2  4
Bài 3. Giải hệ phương trình : 
2
 2 x  y   3 x  y  7


2
2





Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 18


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

(53  5 x) 10  x  (5 y  48) 9  y  0
Bài 4. Giải hệ phương trình : 
2
 2 x  y  6  x  2 x  66  2 x  y  11
2
2
 x  12 xy  20 y  0
Bài 5. Giải hệ phương trình : 
ln 1  x   ln 1  y   x  y





1


2
3
xy
1

9
y

1


x 1  x
Bài 6. Giải hệ phương trình : 
 x3 (9 y 2  1)  4( x 2  1) x  10


Với chuyên đề này tôi đã giảng dạy tại lớp 12A1 và 12A2. Tôi thấy, với
cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu
hỏi của mình trong quá trình làm một bài tốn nói chung và nhất là trong cách
biến đổi ra hàm đặc trưng và điều kiện sử dụng phương pháp này. Với cách làm
đó Tơi thấy phần lớn học sinh của lớp học hứng thú, tự tin biến đổi và khơng
cịn thấy e ngại với hệ phương trình dạng này nữa. Cụ thể như sau:
Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:
Lớp
12A1
12A2

Lần kiểm tra 1
Lần kiểm tra 2

Lần kiểm tra 1
Lần kiểm tra 2

Sĩ số
48
47

Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

Kém

1
8
0
2

6
15
2
9

22
25

12
21

19
0
30
15

0
0
3
0

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 19


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
C. KẾT LUẬN
I. Kết quả nghiên cứu :
Thông qua quá trình giảng dạy ở các lớp 12A1, 12A2 và ôn thi đội tuyển
cho đối tượng học sinh khá giỏi, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy:
- Học sinh có khả năng nhìn nhận và biến đổi chính xác cách giải một hệ
phương trình có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
- Hình thành được tư duy logic, kỹ năng giải các hệ phương trình bằng phương
pháp hàm số. Đồng thời tạo hứng thú trong học tập cho học sinh. Tôi đã thống
kê kết quả và thấy hiệu quả rõ rệt của sáng kiến kinh nghiệm này.
2. Kiến nghị và đề xuất.

- Trong quá trình dạy học về phương trình, hệ phương trình và bất phương
trình nói chung, tơi thấy các phương pháp giải hệ phương trình chưa được trình
bày một cách đầy đủ, đặc biệt là phương pháp hàm số. Rất mong có thêm nhiều
tài liệu hơn nữa viết về đề tài này để góp phần cho việc dạy và học đạt hiệu quả
cao hơn.
- Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy tài liệu này rất hữu ích đối với
tơi và đã mang lại những kết quả khả quan khi dạy học sinh. Hy vọng nó sẽ trở
thành tài liệu tham khảo cho các giáo viên, học sinh và những người quan tâm
đến vấn đề hệ phương trình . Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu khơng
tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc để đề tài
được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tơi
hồn thành sáng kiến kinh nghiệm này !

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1
SangKienKinhNghiem.net

Trang | 20