Đề Thi Thử Lớp 10 Chuyên Toán Học 2013 - Phần 2 - Đề 2 doc

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày 21 Tháng 4 Năm 2013
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức A =
2 3 3 2 2
: 1 (víi 0, 9)
9
3 3 3
x x x x
x x
x
x x x
   
 
    
   
   

  
   

a) Rút gọn A
b) Tìm
x
để A =
1
3



Câu 2. (1,5 điểm)

Cho hàm số
2

y x
(P) và
( 3) 3
y m x m
   
(d)
a) Vẽ đồ thị hàm số (P)
b) Chứng tỏ (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Câu 3. (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
10
5 1
1
20
3 11
1
y
x
y
y
x
y


 





 





Câu 4. (1,5 điểm)
Cho phương trình:
2
2 1 0
x mx
  
(1). Tìm
m
để X =
2 2 2 2
1 1 2 2
( 2012) ( 2012)
x x x x  
đạt giá trị
nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó (
1 2
,

x x
là hai nghiệm phân biệt của (1))

Câu 5. (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; trên nửa đường tròn lấy điểm C (cung BC nhỏ hơn cung
AB), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB tại D. Kẻ CH vuông góc với AB (H

AB),
kẻ BK vuông góc với CD (K

CD); CH cắt BK tại E.
a) Chứng minh: CB là phân giác của góc DCE
b) Chứng minh: BK + BD < EC
c) Chứng minh: BH . AD = AH . BD

Câu 6 (1 điểm)
Chứng minh rằng:
1 1
21. 3. 31
a b
b a
   
   
   
   
, với
, 0
a b


HẾT


Họ tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:………………









HƯỚNG DẪN

Câu 1: a) Với
0, 9
x x
 
ta có:
       
         
   
   
   
   

     
       

2 3 3 2 2 2 ( 3) ( 3) 3 3 2 2 3
A= : 1 :
9
3 3 3 ( 3)( 3) 3
x x x x x x x x x x x
x
x x x x x x

2 6 3 3 3 1 3 3 3 3( 1) 3
:
( 3)( 3) 3 ( 3)( 3) 1 ( 3)( 1) 3
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
           
    
        

b) Tìm
x
để A =
1
3


A =
1
3


3 1

3 9 6 36
3
3
x x x
x
 
        

(thỏa mãn
0, 9
x x
 
).
Vậy A =
1
3

khi
36
x

.
Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P):
2

y x

Ta có bảng giá trị:
x

-

-2 -1 0 1 2 3
y

9 4 1 0 1 4 9




b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

2 2
( 3) 3 ( 3) 3 0 (1)
x m x m x m x m         

a = 1 ; b =
( 3)
m
 
; c =
3
m


Ta có:


2
2

( 3) 4.1.( 3) 6 9 4 12
m m m m m
          
=
   
2
( 1) 20 0 víi
m m


Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

(d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3:

 





 



2
2
2
2
10

5 1
1
(I)
20
3 11
1
y
x
y
y
x
y
Đặt

2
x u
(

0
u
) và


2
10
1
y
v
y

Hệ (I) trở thành:
     
   
  
   
      
   
5 1 10 2 2 13 13 1
3 2 11 3 2 11 5 1 4
u v u v u u
u v u v u v v

Với
     
2
1 1 1
u x x

Vi








2
2
2

10
4 4 4 10 4 0
1
1
2
y
y
v y y
y
y
Th li ta thy h (I) ỳng vi

1
1; 2 hoặc
2
x y y
. Vy h (I) cú 4 nghim (1 ; 2) ; (1 ;
1
2
) ; (-1 ; 2) ; (-1 ;
1
2
)
Cõu 4: Phng trỡnh:

2
2 1 0 (1)
x mx
Ta cú:

' 2
1
m

phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit
1 2
,
x x
thỡ






2
1
' 0 1 0
1
m
m
m

Theo Viet ta cú:





1 2

1 2
2
(I)
1
x x m
x x

Theo ta cú: X =

2 2 2 2 4 2 4 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( 2012) ( 2012) 2012 2012
x x x x x x x x





2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 2 2012( ) ( ) 2 2( ) 2012 ( ) 2
x x x x x x x x x x x x x x x x

Thay h thc (I) vo biu thc X ta cú:
X =

2 2 2
(4 2) 2012(4 2) 2
m m

=

2 2 2 2 2
(4 2) 2.(4 2).1006 1006 1006 2
m m

=



2
2 2 2
(4 2) 1006 (1006 2) -(1006 2)
m
X t giỏ tr nh nht khi
2 2 2
4 2 1006 0 4 1008 252
m m m








6 7
6 7
m
m

tha iu kin phng trỡnh cú nghim
Khi ú minX = -(1006
2
+ 2)
Cõu 5:







a) Chng minh CB l phõn giỏc ca gúc DCE
Ta cú:
ã ã
ằ
DCB CAB (cùng chắn BC)



ã
ã
BCE CAB (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)

Do ú CB l tia phõn giỏc ca gúc DCE
b) Chng minh BK + BD < EC
Xột CDE cú:
EK CD (BK CD)
B là trực tâm của CDE
DH CE (CH AB)

CB DE tại F

hay CB l ng cao ca CDE .M CB l tia phõn giỏc ca gúc DCE nờn CDE
cõn ti C
ã ã
CED CDE


Mt khỏc:
ả
à
1 1
D E (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)


Do ú BDE cõn ti B
BD = BE


BD + BK = BE + BK = EK
Trong tam giỏc CKE vuụng ti K cú: EK < EC (cnh huyn ln nht)

BK + BD < EC

c) Chng minh BH . AD = AH . BD
Xột tam giỏc ABC cú:
ã
0
ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)


2
BH . BA = BC

(h thc v cnh v ng cao trong tam giỏc vuụng)
Ta li cú:
BH BC
BHC BFD (g-g) BH . BD = BC . BF
BF BD
~
BH.(BA+BD) = BC.(BC + BF) BH . AD = BC .
CF (1)


Mt khỏc ta cú: AC // DE (cựng vuụng gúc vi CF)
2
2
1
1
F
E
K
H
C

D
B
A
O
ã
ã
DCB BCE


ã
ả
2 2
D E



¶
·
·
·
2
0
D CAB (so le trong)
AH AC
ACH
DF BD
mµ AHC DFB 90

 


    


 

~ DBF (g -g)

AH . BD = DF . AC (2)


Mặt khác:
AC CF
ABC CDF (g -g) BC . CF = DF . AC (3)
BC DF
     ~
Từ (1); (2) và (3) suy ra: BH . AD = AH . BD
Câu 6: *Ta có:
   
      
   
   
1 1 21 3
21. 3. 21 3a b a b
b a b a

Với

, 0
a b
. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được:

   
3 3
21 2 21 6 7
a a
a a
(1)    
21 21
3 2 3 6 7
b b
b b
(2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:
   
     
   
   
1 1
21 3 12 7
a b
a b

Mà:
 
12 7 144.7 1008
;  
2
31 31 961
 
12 7 31


   
    
   
   
1 1
21 3 > 31
a b
a b
(đpcm)