(SKKN HAY NHẤT) giải pháp để giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân hàm ẩn trong chương trình THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI NHANH CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM
VÀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

Người thực hiện: Phạm Thị Nga
Chức vụ: Tổ phó chuyên mơn
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2021

MỤC LỤC

UAN VAN CHAT LUONG download : add
MỤC LỤC


Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.....................................................................
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU........................................................ ...
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.........................................................
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ...................................................
2. NỘI DUNG SKKN
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN............................................................................
2.1.1. Định nghĩa nguyên hàm, tích phân...............................................
2.1.2. Tính chất tích phân……………………........................................

2.1.3. Một số phương pháp tính tích phân..............................................
2.2.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN............
2.3. GIẢI PHÁP.................................................................................. ...
2.3.1. Dạng toán sử dụng định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm
và tích phân ........………………….......................................................
2.3.1.1. Sử dụng các tính chất tích phân.................................................
2.3.1.2. Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân...............................
2.3.1.3. Sử dụng định nghĩa ngun hàm, tích phân kết hợp với các
cơng thức tính đạo hàm...........................................................................
2.3.2. Dạng tốn sử dụng phương pháp đổi biến số để giải...................
2.3.3. Dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần để
giải................................................................................................................
2.3.4. Dạng tốn sử dụng bài tốn phụ về tích phân hàm liên tục
khơng âm để giải.....................................................................................
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SKKN ................................................................
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN.....................................................................................
3.2. KIẾN NGHỊ....................................................................................
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm
PHỤ LỤC

1
1
1
2
2
2
2
2

4
5
5
5
5
6
13
16
17
19
20
20

UAN VAN CHAT LUONG download : add


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
Đề thi thử THPTQG, thi KSCL môn Tốn 12 của các trường THPT, các Sở GD&ĐT
trên tồn quốc từ năm 2017- 2020.
[2]
Đề minh họa, đề chính thức THPTQG của Bộ GD&ĐT từ năm 2017- 2020.
[3]
Giải tích 12 – Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến
Tài, Cấn Văn Tuất – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam năm 2006.
[4]
Website: toanmath.com.

UAN VAN CHAT LUONG download : add

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Thị Nga.
Chức vụ: Tổ phó chuyên môn.
Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Lộc, huyện Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hóa.
Cấp đánh giá xếp
TT

loại

Tên đề tài SKKN

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

1.

2.

Nhìn nhận mới về bài tốn so
sánh nghiệm của phương trình
bậc hai với một số

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

Phân loại bài tập giải phương

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

trình và bất phương trình vơ tỷ
3.

4.

5.

6.

Một số sai lầm thường gặp khi

Sở GD và ĐT

áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Thanh Hóa.

Hướng

dẫn

học

sinh giải bài

Sở GD và ĐT

tốn hình học tọa độ phẳng Oxy
bằng nhiều cách

Thanh Hóa.

Sử dụng các phương pháp dạy
học tích cực để hướng dẫn học
sinh giải bài tốn tính khoảng
cách và thể tích trong hình học
khơng gian

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

Phát triển tư duy cho học sinh
thơng
qua
việc

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

phương pháp giải bài tốn đếm
trong chương trình THPT

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc

C)

C

C

C

C

C

xây dựng

C


UAN VAN CHAT LUONG download : add


PHỤ LỤC
2.3.1 Dạng tốn sử dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm, tích phân.
2.3.1.1. Sử dụng các tính chất tích phân:
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên đoạn
. Tính

Bài 2: Cho ,

là

. Đáp số:

hai hàm liên
đồng

và thỏa mãn

tục trên

thỏa

điều kiện

thời

.

Tính

.Đáp số: 6

Bài 7: Cho

,

. Khi

đó,

bằng. Đáp số:
2.3.1.2. Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân:
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hàm số

xác định trên
và

Bài 2: Cho hàm số

thỏa mãn

.Tính giá trị biểu thức

xác định trên

và

và

.

thỏa mãn

;

. Tính giá trị của biểu thức

2.3.1.3. Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp với các cơng thức tính đạo
hàm:
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp với đạo hàm hàm tích.
Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức
Biết trước
,
. Tìm
?
Bài tập tương tự:
Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số
mãn

. Biết rằng

có đạo hàm liên tục trên
. Tính

, thỏa
?

UAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số
mãn

có đạo hàm liên tục trên

với mọi

, thỏa

Tính

Bài 3: [Mức độ 3] Cho hàm số

có đạo hàm trên

thỏa mãn

với mọi
và
. Tính giá trị
Tổng qt ta có cơng thức giải nhanh cho một số dạng sau
+
.

+

.

(trong đó

là một nguyên hàm của

Bài tập tương tự:
Bài 1:[Mức độ 4] Cho hàm số
điều

?

kiện

liên tục trên

thỏa mãn

và
, với

.

. Tính

. Đáp số

Bài 2: [Mức độ 3] Tìm hàm

)

Giá

trị

.

có đạo hàm trên

và thỏa mãn

có đạo hàm trên

và thỏa mãn

Đáp số:
Bài 3: [Mức độ 3 ] Tìm hàm
Đáp số:
Bài 4: [Mức độ 3 ]Cho hàm số

có đạo hàm và liên tục tục trên

thỏa mãn
và
. Tính
Dạng 2: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức
Biết trước
Bài tập tương tự:
Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số
thỏa mãn

va
Bài

?

và

. Tính tích phân

.

Bài 2: [Mức độ 3] Cho ham sơ
thoa man
Đặc biệt:

. Tìm

liên tục và có đạo hàm trên đoạn

, với mọi

. Đáp án

Đáp số

tốn tích

. Biết trước
Bài tập tương tự:
Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số

co đao ham liên tuc trên
. Tinh
Đáp án:
phân liên quan đến đẳng

. Tìm

.
thức

?

có đạo hàm trên đoạn

,

UAN VAN CHAT LUONG download : add


thỏa mãn

và

. Biết

. Đáp số:
Bài 3: [ Mức độ 4] Cho hàm số

, tính

có đạo hàm xác định, liên tục trên

đoạn
đồng thời thỏa mãn các điều kiện
và
Tính giá trị của biểu thức
. Đáp án:
.
Dạng

3:
Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức
Biết trước

và một nguyên hàm của hàm

. Tìm
?
Bài tập tương tự:
Bài 1:

Cho hàm số

có đạo hàm trên
với

.

.

và thỏa mãn

Biết

,

tính tích phân

Đáp số:
Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số

và
4:

Dạng

Bài

tốn

tích

có đạo hàm trên

;

,

. Tính giá trị
. Đáp số:
phân liên quan đến đẳng

.
thức

Bài tập tương tự:
Bài 1: [Mức độ 4]

Cho hàm số

với mọi

thỏa mãn

. Giá trị của

bằng? Đáp án:

Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số
và

và
.

, thỏa mãn điều kiện
.

Tính

tổng

.

Đáp số:
Bài 3: [Mức độ 3] Cho hàm số
mọi

, thỏa mãn
Tính

có đạo hàm xác định và liên tục với

và
? Đáp số

với mọi

.

.

UAN VAN CHAT LUONG download : add


2.3.2. Dạng toán sử dụng phương pháp đổi biến số để giải.
Dạng 1: Tích phân dạng
Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho

Tính tích phân

Bài 2. Cho

. Tính tích phân

Đáp án

.

Bài 3. Cho
Bài 4. Cho

. Đáp án:

Tính tích phân
hàm số

có

Đáp án

đạo hàm liên

tục

trên

và

Tính tích phân
Đáp số
Bài 5. Cho hàm số

liên tục trên

và

Tính

Đáp số
Bài 6. Cho hàm số

tích phân

Bài 7. Cho hàm số
Tính tích phân
Bài 8. Cho hàm số

liên tục trên

và

Đáp số

liên tục trên

và

Đáp số:
liên tục trên
Tính tích phân

và
Đáp án

UAN VAN CHAT LUONG download : add


Dạng 2: Kết hợp giữa việc khai thác tính chẵn lẻ của hàm số kết hợp
với phương pháp đổi biến số
Bài tập tương tự:

Bài 1: [Mức độ 3]

Cho hàm số

liên tục trên

Tính tích phân

và thỏa mãn

Đáp án:

Bài 2: Cho hàm số
xác định trên
và thỏa mãn
,
. Tính giá trị của biểu thức
Đáp số:
2.3.3. Dạng tốn sử dụng phương pháp tích phân từng phần để giải.
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số
Tính tích phân

có đạo hàm trên

.
.

có đạo hàm đến cấp hai trên

thỏa mãn
theo

.

thỏa mãn

. Đáp số:

Bài 2: [Mức độ 2] Cho hàm số

,

và

. Tính

. Đáp số:

Bài 3: Cho hàm số

.

có đạo hàm liên tục trên đoạn

và

. Tính

thỏa mãn

. Đáp số:

.

2.3.4. Dạng tốn sử dụng bài tốn phụ về tích phân hàm liên tục không âm
để giải.
Bài tập tương tự
Bài 1: [Mức độ 4] Cho hàm số
. Biết

có đạo hàm liên tục trên đoạn
,

và

.

UAN VAN CHAT LUONG download : add


Tính

Đáp số:

.

Bài 2: [Mức độ 4] Cho hàm số

,

có đạo hàm liên tục trên

,

. Tính

thỏa mãn

. Đáp số:

Bài tập tổng hợp các phương pháp:
Ví dụ: Cho hàm số

liên tục và có đạo hàm trên
với

thỏa mãn

và

. Tính tích

phân

Phân tích: Trước hết ta đi tìm biểu thức

.Ta có
, nên ta chọn

, từ

đó ta có lời giải
Lời giải:

.
Do
.
Khi đó
Với

Đặt

UAN VAN CHAT LUONG download : add


Khi đó

.

Bài 3: [Mức độ 4] Cho hàm số
và

,

.

,

có đạo hàm liên tục trên khoảng
Biết rằng

,

và

.
Tính tích phân
Lời giải

theo

và

.

ta có:

Tính

Đặt

, đổi cận

,

Ta có

.

.

Câu 8. Cho hàm số

liên tục trên

và thỏa mãn

Tính tích phân
Lời giải. Xét

. Đặt

Suy ra

UAN VAN CHAT LUONG download : add


Đổi cận:

Khi đó

Xét

Đặt

Suy ra
Đổi cận:
Khi đó
Xét tích phân cần tính

Đặt

suy ra

Đổi cận:

Khi đó
[Mức độ 4] Cho hàm số

liên tục trên

và thỏa mãn

Tính tích phân
Lời giải: Từ giả thiết, thay

bằng

ta được
Ta có .

Thay vào

ta được

Vậy

UAN VAN CHAT LUONG download : add

UAN VAN CHAT LUONG download : add