Chuyên Đề 02 phương trình lượng giác

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95



I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1
cos 1 sin
x x
x x
x x

= −

+ = ⇒

= −





2 2
2 2
1 1
1 tan tan 1

cos cos
x x
x x
= + ⇒ = −



2 2
2 2
1 1
1 cot cot 1
sin sin
x x
x x
= + ⇒ = −



1
tan .cot 1 cot
tan
x x x
x
= ⇒ =


4 4 2 2 6 6 2 2
sin cos 1 2sin cos ; sin cos 1 3sin cos
+ = − + = −
x x x x x x x x



3 3 3 3
sin cos (sin cos )(1 sin .cos ); sin cos (sin cos )(
1 sin .cos )
+ = + − − = − +
x x x x x x x x x x x x

II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Góc I Góc II Góc III Góc IV
sinx
+ + – –
cosx
+ – – +
tanx
+ – + –
cotx
+ – + –

Ví dụ 1.
Tính giá tr
ị
c
ủ
a các hàm l
ượ
ng giác còn l
ạ

i c
ủ
a cung
x
sau:
a)
1
π
sin ;0
3 2
x x
= < <
b)
2 π
cos ;
π
2
5
x x
= − < <

c)
3
π
tan 2;π
2
x x= < < d)
1 3π
cot ; 2
π

2 2
x x= − < <
Hướng dẫn giải:
a)
2 2
1 1 8 2 2
sin cos 1 sin 1 cos
3 9 9 3
x x x x= ⇔ = − = − = ⇒ = ±

Do
π 2 2
0 cos 0 cos .
2 3
x x x< < ⇒ > → =
Từ đó ta được:
sin 1 2
tan
cos 4
2 2
1
cot 2 2
tan
x
x
x
x
x

= = =





= =



b)
2 2
2 4 1 1
cos sin 1 cos 1 sin
5 5
5 5
x x x x
−
=
⇒
= − = − =
⇒
= ±

Do
π
1
π
sin 0 sin .
2
5
x x x< <

⇒
> → =
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

01. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Từ đó ta được:
sin 1
tan
cos 2
1
cot 2
tan
x
x
x
x
x
−

= =





= = −



c) Từ
1 1
tan 2 cot
tan 2
x x
x
= ⇒ = =

Ta có
2
2
2
2 2
2
1
sin
sin
cos
sin 2cos
tan 2
5
5
cos
4 1

5cos 1
sin cos
sin cos 1
5
5
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x


= ±

=


=
= =

  
⇔ ⇔ ⇔
   
=

  

= = ±
+ =






Do
2
sin
sin 0
3π
5
π
cos 0 1
2
cos
5
x
x
x
x
x
−

=

<



< < ⇒ ⇒
 
< −


=



d)
1 1
cot tan 2
2 cot
x x
x
= − ⇒ = = −

Ta có
2
2
2
2 2
2
1
sin
sin
cos
sin 2cos
tan 2

5
5
cos
4 1
5cos 1
sin cos
sin cos 1
5
5
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x


= ±

=


= −
= = −

  
⇔ ⇔ ⇔

   
=

  
= = ±
+ =






Do
2
sin
sin 0
3π
5
2π
cos 0 1
2
cos
5
x
x
x
x
x
−


=

<


< < ⇒ ⇒
 
>


=



Ví dụ 2.
Chứng minh các đẳng thức sau:
a
a
)
)


2 2 2 2
tan sin tan sin
x x x x
− =

b)
sin cos 1 cos
sin cos 1 1 sin
x x x
x x x
+ −
=
− + +


c)
2 2
sin cos
1 sin cos
1 cot 1 tan
x x
x x
x x
− − =
+ +
d)
tan tan
tan .tan

cot cot
x y
x y
x y
+
=
+

Hướng dẫn giải:
a)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
sin sin sin cos sin (1 cos )
tan sin sin tan sin
cos cos cos
x x x x x x
x x x x x
x x x
− −
− = − = = =
⇒
đ
pcm.
b) Áp d
ụ
ng công th
ứ
c góc nhân
đ

ôi
ở
ph
ầ
n IV ta
đượ
c:
( )
2
2
2sin cos sin
2sin cos 2sin cos sin
sin cos 1
2 2 2
2 2 2 2 2
, 1
sin cos 1
2sin cos 2sin cos sin
2sin cos sin
2 2 2 2 2
2 2 2
x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x
x x
 
−
− −

 
+ −
 
= = =
− +
 
+ −
+
 
 

M
ặ
t khác
( )
2 2
2
cos sin cos sin
cos
2 2 2 2
, 2 .
1 sin
cos sin
sin cos
2 2
2 2
x x x x
x
x x
x

x x
− −
= =
+
 
+
+
 
 

T
ừ
(1) và (2) suy ra
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
c)
2 2 2 2 3 3 3 3
sin cos sin cos sin cos sin cos
1 1 1 1
cos sin
1 cot 1 tan sin cos sin cos sin cos
1 1
sin cos
x x x x x x x x

x x
x x x x x x x x
x x
+
− − = − − = − − = − =
+ + + + +
+ +

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
2 2
(sin cos )(sin sin cos cos )
1 1 (1 sin cos ) sin cos
sin cos
x x x x x x
x x x x
x x
+ − +
= − = − − = ⇒
+
đpcm.
d)
sin sin sin cos sin cos
tan tan sin sin
cos cos cos cos
tan tan
cos cos sin cos sin cos
cot cot cos cos
sin sin sin sin
x y x y y x

x y x y
x y x y
x y
x y x y y x
x y x y
x y x y
+
+
+
= = = = ⇒
+
+
+
đpcm.
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau
2 2 2
2 2 2
cos cos cot
sin sin tan
x x x
A
x x x
+
=
+

2
cos 2sin (1 sin ) 2(1 sin )
.
(1 sin )cos (1 sin )cos 1 sin

x x x x
B
x x x x x
− − +
=
− + + −


3 3
(1 cot )sin (1 tan )cos sin cos
C x x x x x x
= + + + −
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sin
D x x x x
= + + +

Hướng dẫn giải:
 Ta có
2 2 2 2
2 2
2 2 2 4
2 2
4
2 2 2 2
2 2 2 4
2 2
2 2
cos cos (sin cos )
cos cos .

cos cos cot cos
sin sin
cot
sin sin (cos sin )
sin sin tan sin
sin sin .
cos cos
x x x x
x x
x x x x
x x
A x
x x x x
x x x x
x x
x x
+
+
+
= = = = =
+
+
+

 Ta có
2 2 2
cos 2sin (1 sin ) 1 sin 2sin (1 sin ) (1 sin )(1 sin 2s
in ) (1 sin )
(1 sin )cos (1 sin )cos (1 sin 1 sin )cos 2cos 2cos
x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x
− − − − − − + − −
= = =
− + + − + +

2 2
(1 sin ) 2(1 sin ) (1 sin )(1 sin ) 1 sin
. cos
2cos 1 sin cos cos
x x x x x
B x
x x x x
− + − + −
→ = = = =
−


3 3 3 3
cos sin
(1 cot )sin (1 tan )cos sin cos 1 sin 1 cos sin cos
sin cos
x x
C x x x x x x x x x x
x x
   
= + + + − = + + + − =
   
   

3 3 2 2

2 2
sin cos cos sin cos sin sin cos
(sin cos )(sin cos sin cos ) cos sin (sin cos ) sin cos
(sin cos )(1 sin cos ) sin cos (sin cos 1) sin cos si
n cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
= + + + −
= + + − + + −
= + − + + − = + −


Ta có
( ) ( )
2 2
4 2 4 2 2 2 2 2
sin 4cos cos 4sin 1 cos 4cos 1 sin 4sin
D x x x x x x x x
= + + + = − + + − +

( ) ( )
2 2
4 2 4 2 2 2 2 2
cos 2cos 1 sin 2sin 1 cos 1 sin 1 sin cos 2 3
x x x x x x x x
= + + + + + = + + + = + + =

Ví dụ 4.
Ch

ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau:
a
a
)
)


2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos tan 1
x x x
x x
x x x
+
− = +
− −

b
b
)
)

4
2 4
2 1
1 cot
sin sin
x
x x
− = −

c
c
)
)


2
2
2
1 sin
1 2cot
1 cos
x
x
x
+
= +
−

d
d

)
)


2
2(1 sin )(1 cos ) (1 sin cos )
x x x x
− + = − +

e
e
)
)


2
2
sin (1 cos ) sin tan
cos (1 sin ) cos cot
x x x x
x x x x
+ +
=
+ +

f
f
)
)

2 2
2 2
2 2
cos sin
sin .cos
cot tan
x x
x x
x x
−
=
−

g
g
)
)


2 2
2
2
1 4sin cos
(sin cos )
(sin cos )
x x
x x
x x
−

= −
+

h
h
)
)


2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
x x x
x
x x x
− +
=
− +

Ví dụ 5:
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
a)
2
1 cos 1
sin 1 cos
x
A
x x
−
= −
+
b)
2 2
2
2
1 sin .cos
cos
cos
x x
B x
x
−
= −
c)
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
x x
C
x x

− +
= −
+ −
d)
2 2
1 cot .sin 1
D x x
= − +

Ví dụ 6: Tính giác trị của các hàm số lượng giác
a)
1
π
sin ;0
2
3
x x
= < <
b)
π
cot 2; 0
2
x x
= − − < <

c)
π
tan cot 2;0
2
x x x

+ = < <
d)
2 3
π
cos ;
π
2
6
x x= < <
e)
2 3
π
tan cot ;
π
2
3
x x x− = − < < f)
1
π
tan ;
π
2
3
x x
= − < <

Ví dụ 7: Ch
ứ
ng minh các
đẳ

ng th
ứ
c sau
a
a
)
)


tan sin
cos
sin cot
x x
x
x x
− =

b
b
)
)


4 4
6 6
sin cos 1 2
sin cos 1 3
x x
x x
+ −
=
+ −

c
c
)
)


2
2
2
1 sin
1 2tan
1 sin
x
x
x
+
= +
−

d
d
)
)


2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
x x
x
x x
−
=
−

Ví dụ 8: Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau
a
a
)
)


sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
x x x
x x x
+ −
=
− − +

b
b
)
)


2 2
2 2
1
2 tan cot
sin .cos
= + +
x x
x x


c
c
)
)


4 4
6 6 4
sin 3cos 1 3
sin cos 3cos 1 2
x x
x x x

+ −
=
+ + −






















d
d
)
)

2 2 2 4
cos (2sin cos ) 1 sin
+ = −
x x x x


Ví dụ 9: Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau
a
a
)
)


(cos 1 sin )(cos 1 sin ) 2sin cos
+ + − + =
x x x x x x

b
b
)
)


2
(1 sin cos ) 2(1 sin )(1 cos )
− + = − +
x x x x

c
c
)
)


4 4 2
cos sin cos (1 tan )(1 tan )
− = − +
x x x x x

d
d
)
)


3 3
sin (1 cot ) cos (1 tan ) sin cos
+ + + = +
x x x x x x

Ví dụ 10: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các bi
ể
u th
ứ
c sau không ph
ụ
thu
ộ
c vào x?

a
a
)
)


2 cot 1
tan 1 cot 1
x
A
x x
+
= +
− −

b
b
)
)

4 4 2 2 2
2cos sin sin cos 3sin
B x x x x x
= − + +
c
c
)
)


2 2
6
2 2
tan sin
.cot
cot cos
x x
C x
x x
−
=
−

d
d
)
)

2 2 2 2 2
sin .tan 4sin tan 3cos
D x x x x x
= + − +


Ví dụ 11: Tính giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
3 2
3 3
cos cos .sin sin
,
sin cos
x x x x
A
x x
+ −
=
−
v
ớ
i tanx = 2.
1 cos sin

1 cos
x x
B
x
+ +
=
−
, v
ớ
i
12
cos
13
x
= −
và
π
/2 < x <
π

2 2
4 4
2sin sin .cos cos
sin cos
x x x x
C
x x
+ +
=
−

, v
ớ
i tanx = 3.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95



III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
1. Hai cung đối nhau: x và –x
 cos(–x) = cosx  sin(–x) = –sinx
 tan(–x) = – tanx  cot(–x) = –cotx
2. Hai cung bù nhau: x và π – x
 sin(π – x) = sinx  cos(π – x) = –cosx
 tan(π – x) = –tanx  cot(π – x) = –cotx
3. Hai cung phụ nhau: x và π/2 – x
 sin(π/2 – x) = cosx  cos(π/2 – x) = sinx
 tan(π/2 – x) = cotx  cot(π/2 – x) = tanx
4. Hai cung hơn nhau π: x và π + x
 sin(π + x) = –sinx  cos(π + x) = –cosx
 tan(π + x) = tanx  cot(π + x) = cotx
5. Hai cung hơn nhau π/2: x và π/2 + x
 sin(π/2 + x) = cosx  cos(π/2 + x) = –sinx
 tan(π/2 + x) = –cotx  cot(π/2 + x) = –tanx



Chú ý: Với k là số nguyên thì ta có:
 sin(x + k2π) = sinx  cos(x + k2π) = cosx

 tan(x + kπ) = tanx  cot(x + kπ) = cotx
Ví dụ 1:
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( ) ( )
π 3π
sin π cos cot 2π tan
2 2
A x x x x
   
= + + − + − + −
   
   

b)
( )
3π 5π
sin .cos 3π .cot
2 2
B x x x
   
= + − +
   
   

c)
(
)
0 0
0 0 0

2sin 2550 .cos 188
1
tan 368 2 cos 638 cos98
C
−
= +
+

Hướng dẫn giải:
a)
( ) ( )
π
3
π
sin
π
cos cot 2
π
tan
2 2
A x x x x
   
= + + − + − + −
   
   


π
sin sin cot tan
π

cot cot 0
2
x x x x x x
 
= − + − + + − = − + =
 
 

b)
( ) ( )
3
π
5
π π π
sin .cos 3
π
.cot sin
π
.cos
π
2
π
.cot 2
π
2 2 2 2
B x x x x x x
       
= + − + = + + − − + +
       
       

π π
sin .cos(
π
).cot cos .( cos ).( tan ) sin cos
2 2
x x x x x x x x
   
= − + − + = − − − = −
   
   

c)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0 0
2sin 2550 .cos 188 2sin 7.360 30 . os 180 8
1 1
7
tan 368 2 cos 638 cos98

tan 360 8
2cos 180 . 8 os 90 8
2
c
C
c
− + − −
= + = +
+
 
+
+ + +
 
 


0 0
0
1 2 sin 30 .( cos8 ) 1 cos8 2
tan 8 2 sin 8 sin 8 tan 8 sin 8 tan 8
− −
= + = + =
−

Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

01. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau
a)
11
π 21π 9π 29π 2π
sin sin sin sin 2cos
10 10 10 10 5
         
+ + − + − = −
         
         

b)
(
)
( )
0 0 0 0
2 0
0 0 0 0
sin515 .cos 475 cot 222 .cot 408
1
cos 25
2
cot 415 .cot 505 tan197 .tan73
− +
=

− +

c)
(
)
(
)
0 0 0 0
tan105 tan 285 tan 435 tan 75 0
+ − − − − =

Hướng dẫn giải:
a)
11π 21π 9π 29π
sin sin sin sin
10 10 10 10
A
       
= + + − + − =
       
       

9π 21π 9π 21π
sin 2
π sin sin sin 5π
10 10 10 10
       
= − + + − + − =
       
       

9
π 21π 9π 21π 9π 9π π 2π
sin sin sin sin 2sin 2cos 2 cos
10 10 10 10 10 10 2 5
 
= − + − − = − = − − = −
 
 

b)
(
)
( )
0 0 0 0
0 0 0 0
sin 515 .cos 475 cot 222 .cot 408
cot 415 .cot 505 tan197 .tan 73
B
− +
= =
− +

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 2
0 0 0 0
sin(360 180 25 ).cos( 360 90 25 ) cot(180 42 ).cot
(360 48 )
cot(360 55).cot( 360 90 55) tan(180 17).tan(90 17)
sin 25 .( sin 25 ) cot 42 .cot(90 42 ) sin 25 1 cos 25

cot 55 .tan 55 tan17 .cot17 2
+ + − − − + + +
= =
+ − − − + + −
− + − − +
= = =
+
0
2

c)

(
)
(
)
0 0 0 0
tan105 tan 285 tan 435 tan 75
C = + − − − −

(
)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
tan(180 75 ) tan(360 75 ) tan( 360 75 ) tan 75
tan 75 tan 75 tan 75 tan 75 0
= − + − − − − − − =
= − − + + =

Ví dụ 3:

Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
( )
11
π
11
π
cos 5
π
2sin sin
2 2
A x x x
   
= + − − − +
   
   

b)
( ) ( )
π
3
π
cos cos

π
cos cos 2
π
2 2
B x x x x
   
= − + − + − + −
   
   

c)
3
π
3
π
7
π
7
π
cos sin cos cos
2 2 2 2
C x x x x
       
= − − − + − −
       
       

b)
( )
5

π
11
π
7
π
sin cos 3sin 5
π
tan .tan( )
2 2 2
D x x x x x
     
= − − − − − + − −
     
     

Ví dụ 4:
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
( )
3
π π
3
π
cos
π

sin tan cot
2 2 2
A x x x x
     
= − + − − + −
     
     

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0
sin 270 2sin 450 cos 900 2sin 720 cos 540
B x x x x x
= − − − + + + − + −

3
π
3
π
7
π
tan .cos sin

2 2 2
π
3
π
cos . tan
2 2
x x x
C
x x
     
− + − −
     
     
=
   
− +
   
   

( ) ( ) ( )
2 2
11
π
3
π
13
π
1 tan 1 cot 3
π
.cos sin 11

π
.cos sin 7
π
2 2 2
D x x x x x x
 
     
 
= + − + − + − − −
     
 
 
     
 

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Ví dụ 5: Cho
4 4
98
3sin 2cos .
81
x x+ = Tính giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
4 4

2sin 3cos .
A x x
= +
Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
(
)
0 0
0 0 0
cos 20 .sin 70
1
sin160 .cos 340 . tan 250
−
=

b
b
)
)


2 2
2 2
2 2
cos sin
sin cos
cot tan
x x
x x
x x

−
=
−




c)
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )
1
cot 572 tan( 212 )
− − −
− = −
−
d)
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
x x x
x x x x
+ +
=
+ +

e)
4 4

6 6
1 cos sin 2
1 sin cos (2
π ) 3
x x
x x
− −
=
− − −

IV. CÔNG THỨC CỘNG

sin( ) sin .cos cos .sin
x y x y x y
± = ±


cos( ) cos .cos sin .sin
x y x y x y
± =
∓


tanx tan
tan( )
1 tanx.tan
y
x y
y
±

± =
∓

Ta xét m
ột số các trường hợp đặc biệt.


Trường hợp 1: Với y = x, ta được công thức góc nhân đôi
 sin2x = 2sinx.cosx
 cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2cos
2
x – 1 = 1 – 2sin
2
x

2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−

Hệ quả (Công thức hạ bậc 2):

2
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
cos
2
x
x
x
x
−

=



+

=





Trường hợp 2: Với y = 2x, ta được công thức góc nhân ba:
 sin3x = 3sinx – 4sin
3
x

 cos3x = 4cos
3
x – 3cosx

3
2
3tan tan
tan 3
1 3tan
x x
x
x
−
=
−

Hệ quả (Công thức hạ bậc 3):
3
2
3sin sin 3
sin
4
3cos cos 3
cos
4
x x
x
x x
x
−


=



+

=



Ví dụ 1:
Tính giá trị các biểu thức sau
a)
π
tan
4
A x
 
= −
 
 
, với
9 3
π
cos ;
π
41 2
x x= − < <
b)

Cho a, b là các góc nh
ọ
n th
ỏ
a mãn:

8 5
sin , tan
17 12
a b= =
Tính:
(
)
(
)
(
)
sin , cos , tan
a b a b a b
− + −

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2 2

9 81 1600 40
cos sin 1 cos 1 sin
41 1681 1681 41
x x x x= − ⇔ = − = − =
⇒
= ±

Do
3
π
40 sin 40
π
sin 0 sin tan
2 41 cos 9
x
x x x x
x
< < → < → = − → = =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Từ đó ta được
40
π
1
tan tan
π 31
9
4
tan .
π 40

4 49
1 tan tan 1
4 9
x
A x
x
−
−
 
= − = = =
 
 
+ +

b) Ta có:



8 15
sin a cos a
17 17
= → = ±

Do
a
là góc nh
ọ
n
15 8
cos 0 cos tan .

17 15
a a a⇒ > → = → =



5 5
tan sin cos
12 12
b b b
= ⇔ =

T
ừ

đ
ó ta có
2 2
5
5
sin
sin cos
13
12
12
cos
sin cos 1
13
b
b b
b

b b


= ±

=
 
⇔
 
 
= ±
+ =




Do b là góc nh
ọ
n nên
5
sin
13
sin 0; cos 0
12
cos
13
b
b b
b


=


> > →


=



•
8 12 15 5 21
sin( ) sin cos cos sin . .
17 13 17 13 221
a b a b a b− = − = − =
•
15 12 8 5 140
cos( ) cos cos sin sin . .
17 13 17 13 221
a b a b a b+ = − = − =
•
8 5
tan tan 21
15 12
tan( )
8 5
1 tan tan 220
1 .
15 12
a b

a b
a b
−
−
− = = =
+
+

Ví dụ 2:
Ch
ứ
ng minh các bi
ể
u th
ứ
c sau không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n
a)
2 2 2
π π
cos cos cos
3 3
A x x x
   
= + + + −

   
   

b)
3 3
3cos cos 3 3sin sin 3
cos sin
x x x x
B
x x
− +
= +
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Cách 1 :
2 2
2 2 2 2
π π π π π π
cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin
3 3 3 3 3 3
A x x x x x x x x
       
= + + + − = + − + +
       

       
2 2 2 2 2
1 3 3 1 3 3
cos cos sin cos sin cos sin cos sin
4 2 4 4 2 4
x x x x x x x x x
= + − + + + + =

2 2
3 3 3
cos sin
2 2 2
x x
= + =

Cách 2:
Sử dụng công thức hạ bậc:
2 2 2
2π 2π
1 cos 2 1 cos 2
π π 1 cos 2
3 3
cos cos cos
3 3 2 2 2
x x
x
A x x x
   
+ + + −
   

+
   
   
= + + + − = + + =
   
   

3 1 1 2π 2π 3 1 1 2π
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 2cos 2 .cos
2 2 2 3 3 2 2 2 3
x x x x x
 
     
= + + + + − = + + =
   
 
 
     
 

3 1 2
π
3 1 1 3 3
cos 2 cos 2 .cos cos 2 cos 2 .
2 2 3 2 2 2 2 2
x x x x A
= + + = + − = → =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b) Ta có
3 3 3 3 3 3
3cos cos3 3sin sin 3 3cos 4 cos 3cos 3sin 4sin 3sin
cos sin cos sin
x x x x x x x x x x
B
x x x x
− + − + − +
= + = +
3 3
2 2
cos 3cos sin 3sin
cos sin 6 5
cos sin
x x x x
x x
x x
− + − +
= + = − − + =

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
Ví dụ 3:
Chứng minh các đẳng thức sau
a)
(
)
(
)
2 2

2 2
sin sin
tan tan
cos .cos
a b a b
a b
a b
+ −
− =
b)
4 4
1 3
sin cos cos 4
4 4
x x x
+ = +

c)
2 2
6 2cos 4
cot tan
1 cos 4
x
x x
x
+
= +
−

H

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin sin sin .cos sin .cos
tan tan
cos cos cos .cos
a b a b b a
a b
a b a b
−
− = − =

2 2 2 2
(sin cos sin cos )(sin cos sin cos ) sin( )sin( )
cos .cos cos .cos
a b b a a b b a a b a b
a b a b
− + − +
= =

b)
( )
2

4 4 2 2 2 2
1 1 3 1
sin cos sin cos 2(sin cos ) 1 2. sin 2 1 (1 cos 4 ) cos 4
4 4 4 4
x x x x x x x x x
+ = + − = − = − − = +

c)
2 2 4 4
2 2
2 2 2 2
sin cos sin cos
tan cot
cos sin sin cos
x x x x
x x
x x x x
+
+ = + =

( )
2
2
2 2 2
2
2
1 1 1
4 1 sin 2 4 1 cos 4
sin cos 2(sin cos )
6 2cos 4

2 4 4
1 1 cos 4
sin 2 1 cos 4
sin 2
4 2
x x
x x x x
x
x
x x
x
   
− − +
   
+ −
+
   
= = = =
−
−

Ví dụ 4:

Cho tam giác ABC, ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau:

a)
sin sin .cos sin .cos
A B C C B
= +

b)
tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C
+ + =

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
sin cos cos sin sin( ) sin(
π
) sinB C B C B C A A
+ = + = − = →
đ
pcm.
b)
sin sin sin
tan tan tan
cos cos cos
A B C
A B C

A B C
+ + = + + =


sin cos cos sin cos cos sin cos cos
cos cos cos
cos (sin cos sin cos ) sin cos cos
cos cos cos
cos sin( ) sin cos cos cos .sin sin cos cos
cos cos cos cos cos cos
sin (cos cos cos )
cos cos
A B C B A C C A B
A B C
C A B B A C A B
A B C
C A B C A B C C C A B
A B C A B C
C C A B
A
+ +
=
+ +
=
+ + +
= =
−
=
[ ]
sin cos( ) cos cos

sin sin sin
tan .tan .tan
cos cos cos cos cos cos cos
C A B A B
C B A
A B C
B C A B C A B C
− + −
= = =

Nhận xét:

Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp. Ngoài ra chúng ta có thể thực
hiện phép biến đổi theo hương khác nhanh gọn hơn như sau
( ) ( )
tanA tan
π π
tan tan
π
tan
1 tan A.tan
B
A B C A B C A B C C
B
+
+ + = ⇔ + = − → + = − ⇔ = −
−

tan tan tan tan . tan .tan tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C A B C A B C dpcm

⇔ + = − + ⇔ + + = →
V. CÔNG BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
π π 2
sin sin sin 2
8 8 2
x x x
   
+ − − =
   
   
b)
sin (1 cos 2 ) sin 2 .cos
x x x x
+ =

c)
1 2
tan
tan tan 2
x
x x
− = −
d)
1
tan 1 tan

2 cos
x
x
x
 
+ =
 
 

Ví dụ 2:
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
π π π π
sin .cos sin .cos
3 4 4 3
A x x x x
       
= − − + − −
       
       

sin 4 .cot 2 cos 4
B x x x
= −

π π π π
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
C x x x x
       
= − + − + −
       
       

π 2π
tan tan tan
3 4
D x x x
   
= + + + +
   
   

2
π
1 sin 2sin
4 2
4 cos
2
x
x
E
x
 
+ − −

 
 
=
3 3
cos .sin sin .cos
sin 2 .cos 2
x x x x
F
x x
−
=
sin 4 .cos 2
(1 cos 4 )(1 cos 2 )
x x
G
x x
=
+ +

2 2
2 2
sin 2 4sin
sin 2 (4sin 4)
x x
H
x x
−
=
+ −

2
2(sin 2 2cos 1)
cos sin cos 3 sin 3
x x
I
x x x x
+ −
=
− − +

cos sin cos sin
cos sin cos sin
x x x x
J
x x x x
+ −
= −
− +

sin sin 3 sin 5 sin 7
cos cos 3 cos5 cos 7
x x x x
K
x x x x
+ + +
=
+ + +

1 1 1 1 1 1
π

cos , 0
2 2 2 2 2 2 2
L x x
 
= + + + < <
 
 

Ví dụ 3:
Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan 3
1 tan 2 .tan
a a
a a
a a
−
=
−
b)
π π
sin sin 2 sin
4 4
a a a
   
+ − − =
   

   

c)
(
)
(
)
2 2
2 2
sin sin
cos .sin
1 tan .cot
a b a b
a b
a b
− +
= −
−
d)
(
)
(
)
2 2
2 2
cos cos
1 tan . tan
cos .cos
a b a b
a b

a b
− +
= −

e)
4
1 3
4 cos 2cos 2 cos 4
2 2
x x x
− − =
f)
3 3
sin 4
cos .sin sin .cos
4
x
x x x x− =

Ví dụ 4:
Cho
 
  
   
 
  
  
+ = >
+

Ch
ứng minh:
 
   
 
  
  
 
+ =
+
.
Ví dụ 5:
Chứng minh các đẳng thức sau:
g)



 

  
 


π
π
π
 
+ +
 
 

 
+ =
 
 
 
+
 
 
h)



 

 
π
 
+
+ =
 
 

i)
 



   
π
 

= −
 
−  
k)
 
 
 
 
 
  
 
   
−
=
−

c)
    
 

     

− =
d)
 
 
  

    
  

− = −

f)

 


 

 
 
π π
−
=
   
+ −
   
   

Ví dụ 6:
Chứng minh các đẳng thức sau:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
a)
   
    
− − =
b)
 
 


    
   
− +
=
− −

c)


 


 
 
 
 
− = +
d)
 

  
  

  
−
− =
+

e)

     
     
− − =
f)

  


   

= + + +
g)
     
     
+ =


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95




Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)
π 2
cos x
4 2
 
− = −

 
 
b)
π
2sin 2x 3 0
6
 
− + =
 
 

c)
π
2cos x 3 0
3
 
+ − =
 
 
d)
π 2
cos x
3 2
 
− + =
 
 

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)

(
)
4 4
4 sin x cos x sin 4x 2 0
+ + − =
b)
π π
sin x sin 2x
6 4
   
− = +
   
   

c)
π π
tan 3x tan x
4 6
   
− = +
   
   
d)
π π
cot 2x cot x
4 3
   
− = +
   
   

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau
a)
2 2
π
sin x cos x
4
 
− =
 
 
b)
2
2cos x 5sin x 4 0
+ − =

c)
(
)
2
3 tan x 1 3 tan x 1 0
− + + =
d)
(
)
2
4cos x 2 3 1 cos x 3 0
− + + =

Ví dụ 4:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
( )
4 4
π
2 sin x cos x cos 2x 0
2
 
+ − − =
 
 

b)
6 6
sin x cos x cos4x
+ =
c)
4 4
1
sin x cos x sin 2x
2
+ = −
d)
4 4
x x

sin cos 1 2sin x
2 2
+ = −
Ví dụ 5: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
6 6
2(cos x sin x) sin x.cos x
0
2 2sin x
+ −
=
−

b)
4 4
sin x cos x sin x.cosx 0
+ + =

c)
4 2
1
cos x sin x
4
= −
d)
( )

2
π
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
 
− − −
 
 
=
−
x
x
x

Ví dụ 6:
Giải các phương trình sau
a)
6 6
2 2
cos sin 1
tan 2
4
cos sin
+
=
−
x x
x

x x
b)
8
5
3
cos
3
sin
44
=+
xx

c)
6 6
sin cos cos 4
+ =
x x x
d)
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4
+ = +
x x x x

Ví dụ 7:
Giải các phương trình sau
a)
2 2 2
π
sin tan cos 0
2 4 2

 
− − =
 
 
x x
x
b)
cos3 cos 2 cos 1 0
+ − − =
x x x

Tài liệu bài giảng:

02. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
c)
2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
 
+ − = +
 
 
x
x x x x x
d)
1 sin cos sin 2 cos 2 0
+ + + + =

x x x x


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95




DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
•
••
• Dạng phương trình:
sin cos
+ =
a x b x c

•
••
• Cách giải: Chia hai vế phương trình cho
2 2
2 2 2 2 2 2
sin cos+ → + =
+ + +
a b c
a b x x
a b a b a b

+ Đặt
2 2 2 2 2 2

sin α; cosα cos( α)
= = ⇒ − = →
+ + +
a b c
x x
a b a b a b

+ Đặt
2 2 2 2 2 2
cosβ; sinβ sin( β)
= = ⇒ + = →
+ + +
a b c
x x
a b a b a b

•
••
• ĐK có nghiệm của phương trình
2 2 2
+ ≥
a b c

•
••
• Chú ý: Khi phương trình có
=
a c
hoặc
=

b c
thì ta sử dụng phép nhóm nhân tử chung.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)
cos x 3sin x 2
+ =
b)
6
sin x cos x
2
+ =

c)
3 cos3x sin 3x 2
+ =
d)
sin x cos x 2 sin5x
+ =

Ví dụ 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
(
)
(
)

3 1 sin x 3 1 cosx 3 1 0
− − + + − =
b)
π
3 sin 2x sin 2x 1
2
 
+ + =
 
 

c)
3
3sin 3x 3cos9x 1 4sin 3x
− = +
d)
4 4
π 1
sin x cos x
4 4
 
+ + =
 
 

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau
a)
(
)
cos7x sin 5x 3 cos5x sin 7x

− = −
b)
(
)
tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x
− = +

c)
(
)
3 1 cos2x
cos x
2sin x
−
=
d)
2
1
sin 2x sin x
2
+ =

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau
a)
1
cos x 3sin x
cos x
+ = b)
2
π 6π

cos7x 3 sin 7x 2 0, x ;
5 7
 
− + = ∈
 
 

c)
2sin15x 3cos5x sin 5x 0
+ + =
d)
6
4sinx 3cos x 6
4sinx 3cos x 1
+ + =
+ +

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX
•
••
• Dạng phương trình:
2 2
sin sin cos .cos 0
+ + + =
a x b x x c x d

•
••
• Cách giải:
+ Xét cosx = 0 có là nghiệm của phương trình không?

+ Xét
cos 0,
≠
x
chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được
2 2
tan tan (1 tan ) 0 tan
+ + + + = ⇒ ⇒
a x b x c d x x x

Tài liệu bài giảng:

03. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) 2sin
2
x + sinx.cosx – 3cos
2
x = 0 b) 2sin
2
x – 3sinx.cosx + cos
2

x = 0
c) sin
2
x – 10sinx.cosx + 21cos
2
x = 0 d) 2sin
2
x – 5 sinx.cosx + 3cos
2
x = 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)
(
)
2 2
sin x 1 3 sin x cos x 3cos x 0
+ − − =

b)
3sin
2
x + 4sin2x + 4 cos
2
x = 0
c)

(
)
2 2
3sin x 8sin x cos x 8 3 9 cos x 0

+ − − =

d)
3sin
2
x – 4 sinx.cosx + 5cos
2
x = 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
3
3sinx cos x
3sinx cos x 1
+ =
+ +

b)
2
cos x 2sin x.cos x
3
2cos x sinx 1
−
=

+ −

Bài 2:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
( )
2
1 cos x cos2x cos3x 2
3 3sinx
3
2cos x cosx 1
+ + +
= −
+ −

b)
cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cos x 4 0
− − − + =

Bài 3:

Gi
ả
i các ph
ươ

ng trình sau
a)

( )
sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x
− = +
b)
2
2sin x 3 sin 2x 3
+ =

Bài 4:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
3 1
8cos x
sin x cos x
= +


b)

π
3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 2
6

 
+ + − =
 
 


Bài 5:
Giải các phương trình sau
a) 2cos2cos)sin2(sin3 =−++ xxxx
b)
xxxx 2cos2sin32cos.2sin8
2
+=
c)
1
cossin3
34sincos3sin2cos32
2
=
+
−−+
xx
xxxx

Bài 6:

Giải các phương trình sau
a)

2 2

4sin x 3 3 sin x cos x 2cos x 4
+ − =

b)
2 2
cos x 3 sin 2x 1 sin x
− = +

Bài 7:
Giải các phương trình sau
c)
1
4sin x 6cos x
cos x
+ =
d)
2
π 3π
4sin x cos x 4sin (x
π) 2sin x cos(π x) 1
2 2
   
− + + + + + =
   
   

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau
a)
3
sin x 4sin x cos x 0
− + =
b)
3
2sin x cos x
=

2cos
3
x = sin3x     4cos
3
x + 2sin
3
x – 3sinx = 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a) sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x b) cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx
c)

3
6sin x 2cos x 5sin 2x cos x
− =
d)
3 2
cos x sin x 3sin x cos x 0
+ − =

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau
a)
3 3 2
cos x 4sin x 3cos x.sin x sin x 0
− − + =
b)
3 3 2
4sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0
+ − − =

c)
tanxsin
2
x – 2sin
2
x = 3(cos2x + sinxcosx)
d)
3 1
2sin x 2 3 cos x
cos x sin x
+ = +

DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỚI SINX VÀ COSX
Ví dụ 1:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
cos
3
x – sin
3
x = cos
2
x – sin
2
x
b)

4 4
x x
sin cos 1 2sin x
2 2
+ = −
c) cos
3
x + sin
3
x = cos2x

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)
( )
4 4
sin x cos x 1
tanx cot x
sin 2x 2
+
= +
b)
6 6 2
13
cos x sin x cos 2x
8
− =
c)
4 4
7 π π
sin x cos x cot x .cot x
8 3 6
   
+ = + −
   
   
d) cos
6
x + sin
6
x = 2(cos
8

x + sin
8
x)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Giải các phương trình sau
a)
3 3
4sin x cos3x 4cos x sin3x 3 3cos4x 3
+ + =

b)
3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x
+ =
  
Bài 2:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
c)
3 3
1
sin x.cos x cos x.sin x
4
− =

d)
2cos
3
2x – 4cos3xcos
3
x + cos6x – 4sin3xsin
3
x = 0

Bài 3:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
cos
3
x + sin
3
x = cosx – sinx
b)
cos
6
x + sin
6
x = cos4x
Bài 4:
Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau
Tài liệu bài giảng:

03. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
a)
8 8
1
cos x sin x
8
+ =

b)
( ) ( )
4 2
x x
sinx 3 sin sinx 3 sin 1 0
2 2
+ − + + =

c) sinx + sin
2
x + sin
3

x + sin
4
x = cosx + cos
2
x + cos
3
x + cos
4
x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95




DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau
a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0 b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
c)
π
sin 2x 2sin x 1
4
 
+ − =
 
 
d)
tan x 2 2sinx 1

− =

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)
1
1 tanx 2sin x
cos x
+ = + b)
1 1
sinx cos x
tanx cot x
+ = −
c)
1 1 10
sinx cos x
sinx cos x 3
+ + + =
d) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau
a) sin
3
x + cos
3
x = 2sinxcosx + sin x + cosx b) 1 – sin
3
x + cos
3
x = sin2x
c)
(

)
2 sinx cos x tanx cot x
+ = +
d)
(1 + sinx)(1 + cosx) = 2
Ví dụ 4:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2
b)
sinxcosx + |sinx + cosx| = 1
c)

(
)
2 sin 2x sinx cos x 2
+ =
d)
|sinx – cosx| + 4sin2x = 1
e)
2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0
− + + =

DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH F(SIN2X, COS2X, SINX, COSX)
Ví dụ 1:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau

sin2x + cos2x = 1 + sinx – 4cosx
b)
1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
c)
2cos2x – 2sin2x = 2(sinx + cosx)
d)
sin2x + cos2x = 1 + sinx – 3cosx
Ví dụ 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a
)
sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2
b)
2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
c)
sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0
d)

2cos 2 1
2cos 1.

3 sin cos
−
= −
+
x
x
x x

Ví dụ 3:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
cos 2 3cos 3(3sin sin 2 ) 4
x x x x
+ = − +
b)
2
2sin 3 2 sin sin 2 1
1 0
sin 2 1
x x x
x
+ − +
+ =
+

c)

cos 2 2sin 2 3(sin 2 2 cos )
+ + = +
x x x x
d)
cos 2 cos 3(sin 2 sin )
+ = −
x x x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
cos 2 3sin cos 2 0
− + − =
x x x
b)
2(cos 2 sin ) 1 2 3 cos 0
+ + + =
x x x

Tài liệu bài giảng:

03. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – P3

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
c)
sin 2 5cos 6(sin cos ) 3 0
− + + + =
x x x x d)
cos3 3 sin cos 0
+ − =
x x x
Bài 2: Giải các phương trình sau (ôn tập tổng hợp)
a)
1 1 2
sin 2 cos sin 4
x x x
+ =

b)
3 2
cot 2 2cot 4 3
sin 2 sin 4
x x
x x
+ = − +

c)
( )
1 2cos
2 2 sin
cos sin cos sin cos
x
x

x x x x x
= +
− −

Bài 3: Giải các phương trình sau (ôn tập tổng hợp)
a)
( )( )
2
sin cos 2cos 1
tan
sin cos 1 sin sin cos
x x x
x
x x x x x
− +
− =
+ − +

b)
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +

Bài 4: Giải các phương trình sau (ôn tập tổng hợp)
a)
2
π
2sin 3 1 8sin 2 .cos 2
4
 
+ = +
 
 
x x x

b)
π
sin .sin 4 2 cos 3 cos .sin 4
6
 
= − −
 
 
x x x x x

Bài 5: Giải các phương trình sau (ôn tập tổng hợp)
a)
(
)
2cos 2 sin 2 2 sin cos
x x x x
− = +

b)
(
)
(
)
sin 3 cos 2sin 3 cos3 1 sin 2 cos3 0
x x x x x x
− + + − =

Bài 6: Giải các phương trình sau (ôn tập tổng hợp)
a)
6 6
2 2
sin cos 1
tan 2
cos sin 4
x x
x
x x
+
=
−


b)
(
)
2 sin tan
2 cos 2
tan sin

x x
x
x x
+
− =
−

Bài 7*: Giải các phương trình sau:
a)
2 2
tan 8cos 3sin 2
x x x
= +

b)
2
sin cos cos
x x x
+ =

Bài 8*: Giải phương trình

2
1 sin 3 2 cos 2
sin cos
1 cos
x x
x x
x
+

+ =
+


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95




KĨ THUẬT 1.
NHÓM BÌNH PHƯƠNG
•
••
•
PP chung:
Biến đổi phương trình đã cho về một trong hai dạng
2 2
= ⇔ = ±
A B A B
hoặc
2 2
0 0
+ = ⇔ = =
A B A B

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)
2
sin 2 cos 2 cos3 cos

= + −
x x x x

b)
2 2 2
cos 3 cos 3cos 2 cos 2 2
+ + + =
x x x x

c)
2
sin 2 2 tan tan
= +
x x x

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)
2
2cos 2
4cot 4 cot
1 cos 2
= +
+
x
x x
x

b)
2
2

1
4 tan 4 tan 2
sin
+ = +
x x
x

c)
6
4(sin cos ) cos 6 3cos 2
+ = +
x x x x

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau
a)
6
32cos sin 3 3sin
2
+ =
x
x x

b)
2 2 2
tan sin 2 4 cos
+ =
x x x

c)
2 2

tan 8cos 3sin 2
= +
x x x

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau
a)
2 2
4cos 3 tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0
+ − + + =
x x x x

b)
2
4cos 2 2 cos 2 6 4 3sin
+ + =
x x x

c)
2
3 sin 2 2sin 2 cos 2 2 2 sin
+ = + +
x x x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau
a)
3
cos 2 cos 6 4(3sin sin 1) 0
− + − + =
x x x x

b)
2 2
1
sin sin 3 sin .sin 3
4
+ =
x x x x

Bài 2:
Giải phương trình
2 2 2
1
sin sin 3 sin .sin 3
4
+ =
x x x x

Bài 3: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
4 4
3 cos 6
sin cos
4
x
x x
−
+ = b)
(
)

(
)
1 tan 1 sin 2 1 tan
x x x
− + = +

Bài 4: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
Tài liệu bài giảng:

04. MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PT LƯỢNG GIÁC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
a)
2
2
5
3 12sin 2 cos 4
1 tan
x x
x
− − = −
+
b)
4 6
cos cos 2 2sin 0
x x x
− + =

Bài 5: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)

a)
2
3tan 2 4 tan 3 tan 3 .tan 2
x x x x
− = b)
4 4
sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
x x x x
+ =
Bài 6: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a) 0
cos
2cos39sin62sin4
22
=
−−+
x
xxx
b)
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin 2 1
x x x x x
x
+ + +
=
−

Bài 7: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)

3(cos 2 cot 2 ) π π
4sin cos
cot 2 cos 2 4 4
x x
x x
x x
+
   
= + −
   
−
   
b)
sin 3 sin
sin 2 cos 2
1 cos 2
x x
x x
x
−
= +
−

Bài 7: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
sin8x + cos4x = 1 + 2sin2xcos6x
b)
(
)
1

1 cos 1 cos cos 2 sin 4
2
x x x x
− + + =

Bài 9*: Giải phương trình
(
)
2 2 2
sin 2 3sin 2 cos 3 sin 2 2cos
x x x x x
+ = + −
Bài 10*: Giải phương trình
2 2 2 2
1
sin sin tan cos 2 cos sin 2 sin 2 cos
4
x x x x x x x x
 
+ + + + =
 
 

Bài 11*: Giải phương trình
π π
cos 6 cos 4 4 cos cos cos 1 0
3 3
x x x x x
 
   

− + − + + =
   
 
   
 

Bài 12*: Giải phương trình
6
π
32cos sin 6 1 3sin 2
4
x x x
 
+ − = −
 
 


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95




KĨ THUẬT 2
. ĐẶT ẨN PHỤ
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a)
3

π
tan tan 1
4
 
− = −
 
 
x x
b)
3π
cos 2sin 3
2 2
 
− − =
 
 
x
x

c)
π π
sin 3 sin 2 .sin
4 4
   
− = +
   
   
x x x
d)
5

π π 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
   
− − − =
   
   
x x x

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a)
3
π
8cos cos 3
3
 
+ =
 
 
x x
b)
3
π
1
π
3
sin sin
10 2 2 10 2
   
− = +

   
   
x x

c)
3
π
2 sin 2 sin
4
 
+ =
 
 
x x
d)
2
2
2cos 1 3cos
2 3
+ =
x x

e)
2
3 4
2cos 1 3cos
5 5
   
+ =
   

   
x x
f)
3
2sin sin 0
4
+ =
x
x
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a)
sin 3 cos sin 3 cos 2
+ + + =
x x x x
b)
6
3sin 4 cos 6
3sin 4 cos 1
+ + =
+ +
x x
x x

c)
2
2
1 1
cos cos
cos cos
+ = +x x

x x
d)
2 2 2
2cos 2 cos 2 4 sin 2 cos
+ =
x x x x

e)
1 3 tan 2sin 2
+ =
x x
f)
2 2
3cot 2 2 sin (3 2 2)cos
+ = +
x x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2sin cot 2sin 2 1
x x x
+ = +
b)
1 3tan 2sin 2
x x
+ =

Bài 2: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)

5sin 3 3sin 5
x x
=
b)
6 6 2
13
cos sin cos 2
8
x x x
− =
Bài 3: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)


a)
3 3
7 tan 2 tan 3
x x
+ + − =
b)
2
sin sin sin cos 1
x x x x
+ + + =

Bài 4: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
(
)
tan 3cot 8cos 2 sin 3 cos
x x x x x

− = +
b)
(
)
(
)
01cos232tan1sin2
222
=−+− xxx
Bài 5: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)



2 2 2
π
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
 
− − =
 
 
    
3(sin tan )
2cos 2
tan sin
x x
x
x x

+
− =
−


Bài 6: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)

2 2
π
sin .sin cos .sin 1 2 cos
2 2 4 2
x x x
x x
 
− + = −
 
 
  b)
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
− = + −
+
x
x x x
x

Tài liệu bài giảng:

04. MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PT LƯỢNG GIÁC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Bài 7: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)


a) sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) b)
sin 2
2cos 0
1 sin
+ =
+
x
x
x

Bài 8: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
sin2x (cotx + tan2x) = 4cos
2
x
b)
π
sin .sin 4 2 cos 3 cos .sin 4
6
 
= − −
 
 

x x x x x

Bài 9: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)


a)
sin sin 2 sin 3
3
cos cos 2 cos3
+ +
=
+ +
x x x
x x x

b)
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
− = + −
+
x
x x x
x

Bài 10: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2
2

1 sin 2 cos 2
(cos sin 2 ) cos
1 tan
+ −
= +
+
x x
x x x
x
b)
π
4cos 2 tan cot
6
 
− = +
 
 
x x x

Bài 11: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)


a)
3 3
3
sin cos (1 sin 2 )(cos sin )
2
+ = + −
x x x x x
b)

2 2
π
2sin 2 3 cos 4 3 4sin
4
 
− + = −
 
 
x x x

Bài 12: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2
π
2 tan .sin 3 sin
4 2
 
+ =
 
 
x
x x
b)
3 2
cos cos
2(1 sin )
sin cos
−
= +
+

x x
x
x x

Bài 13: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)


a)
( )
2
π
2cos3 .cos 3 1 sin 2 2 3 cos (2 )
4
+ + = +
x x x x

b)
3
π
tan 3 cos sin .tan
2
 
− − =
 
 
x x x x

Bài 14: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
π

cos9 2cos3 2 sin 3 3sin
4
 
+ + + =
 
 
x x x x

b)
2
π
5
π
3sin 4sin sin 8cos 4
2 2 2
   
− + + + =
   
   
x
x x x

Bài 15*:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )
2

π
2cos sin 3 cos 3 cos 2sin cos 2
6
x x x x x x
 
+ = − −
 
 

Bài 16*:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(sin cos )(3cos sin ) 2(sin 2 .cos sin 2 cos )
x x x x x x x x
+ + = + +
Bài 17*: Giải phương trình
6 6 10 10 3
sin cos 4(sin cos ) 3cos 2
x x x x x
+ = + −
Bài 18*: Giải phương trình
( )
2
2 3 3
4sin 3
9sin cos3 sin sin 3 cos 9sin 2 .sin
3sin 4

x
x x x x x x x
x
+ + =



LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95




KĨ THUẬT 3
. XỬ LÍ PHƯƠNG TRÌNH CÓ ĐIỀU KIỆN
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a)
6 6
4(cos sin ) 6 cos 2 2 cos 4
0
sin 2
+ − +
=
x x x x
x

b)
1 sin 2sin 2 2cos
cos 2 3(1 cos )

2sin 1
− − +
= − +
−
x x x
x x
x

c)
cos 2 π
tan 2 sin 2 0
1 cot 4
 
− + − =
 
+
 
x
x x
x

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a)
2
3 4 2sin 2
2 3 2(1 cot )
cos sin 2
+
+ = + +
x

x
x x
b)
3
8sin .cos sin 4 3
tan 2 sin
cos 2
+
= +
x x x
x x
x

c)
4cos 3 sin 2
2(1 sin )
1 sin
−
= +
−
x x
x
x
d)
2cos 4
cot tan
sin 2
= +
x
x x

x

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a)
2cos 4
cot tan 2
sin 2
− =
x
x x
x
b)
2
sin 1
2(1 cos )(1 cot )
sin cos
−
+ + =
+
x
x x
x x

c)
( )( )
2 2
25
π
9
π

2 sin 2 cos tan
4 2
0
2 cos 1 2 sin 1
   
− − + +
   
   
=
+ +
x x x
x x
d)
1 3
π
4 cos
cos sin 6
− = +
 
 
 
x
x x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tìm nghiệm trong
(
)
0;

π
của phương trình

2 2
π 3π
4sin π 3sin 2 1 2cos
2 2 4
     
− − − = + −
     
     
x
x x

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
π
2 cos 3 cos 3 1 sin 2 2 3 os 2
4
 
+ + = +
 
 
x x x c x

b)
(
)

(
)
2
3 2sin sin 2 2 sin 3 cos
+ − = −
x x x x

Bài 3: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)

sin
cos 2
cos 1
1 tan cos tan
2 2
x
x
x
x x
x
+
−
 
+ = +
 
 


4 2
1 2

48 (1 cot 2 .cot ) 0
cos sin
x x
x x
− − + =

Bài 4: Giải phương trình
3 2
2
3(1 sin ) π
3 tan tan 8cos
cos 4 2
+
 
− + = −
 
 
x x
x x
x


Bài 5: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
Tài liệu bài giảng:

04. MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PT LƯỢNG GIÁC – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
a)

2
2 sin 2 cos 2 3 2 sin
1
(sin cos )
− − +
= −
+
x x x
x x

b)
2 2
π
sin .sin 2 cos sin 2 1 2 cos ( )
4
− + = −
x x x x x

Bài 6: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2 2
π
2cos 2 3 cos 4 3 4sin
4
 
− + = −
 
 
x x x

b)
sin 2 cos 2
tan cot
cos sin
− = +
x x
x x
x x

Bài 7: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2
π π
1 sin 2 2 sin cos
π
4 4
2 sin .cos 2
5
π
2
1 tan
2
   
+ + − −
   
 
   
= −
 
 

 
+ −
 
 
x x x
x x
x

b)
2
π
sin 3 3sin 2(2sin 1)cos 2 sin
4
x x x x x
 
+ = + + −
 
 

Bài 8: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
(
)
2 2 3
sin .cos 2 cos tan 1 2 sin 0
+ − + =
x x x x x

b)
cos

cot tan 2
cos sin
+ =
−
x
x x
x x

Bài 9: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
cos3 cos cos 2 sin 3 sin 2 sin 1
− + = + + +
x x x x x x
b)
2 cos 4
cot tan 2
sin 2
− =
x
x x
x

Bài 10: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
1 3cos cos 2 cos 3 2sin .sin 2
+ + = +
x x x x x
b)
3
sin 2sin cos 2

0
1 cot
− +
=
+
x x x
x

Bài 11: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
(
)
1 1
2 cos 2 3 cot 2
sin 2 cos
+ = +x x
x x
b)
1
cot 2 2 tan 2sin 2
sin 2
x x x
x
+ = +

Bài 12: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2
2sin (1 cos 2 ) 2cos (sin cos )
+ = + −

x x x x x
b)
3 2
2
2
cos cos 1
cos 2 tan
cos
+ −
− =
x x
x x
x

Bài 13: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
π
2 sin
4
1 tan .(1 sin 2 )
cos
 
−
 
 
+ = +
x
x x
x
b)

2
2
sin 2
1 cos 2 (3cos 2)(sin 2)
4
+ + = − +
x
x x x

Bài 14: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
1 sin 2 1 tan
2 3
1 sin 2 1 tan
+ +
 
+ =
 
− −
 
x x
x x
b)
tan .cos 3 2 cos 2 1
3(sin 2 cos )
1 2sin
+ −
= +
−
x x x

x x
x