268 bài toán nâng cao lớp 9 có đáp án

Toancap2.net – Chia sẻ tài liệu học Toán lớp 6, 7, 8, 9 cơ bản và
nâng cao

1

Một số bài tập toán nâng cao Lớp 9
PHẦN I: ĐỀ BÀI
 Chứng minh 7 là số vô tỉ.
 a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
 Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
 a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

bc
a



ca
b



ab
c

ab
2

 ab .

abc

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
 Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
 Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
 Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
 Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a  b  a  b
 a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
 Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
 Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
2
2
2
2
 Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a + b + c + d = a(b + c + d)
 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm
giá trị nhỏ nhất đó.
 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
 Chứng minh rằng khơng có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
:

A

1
x2  4x  9

 So sánh các số thực sau (khơng dùng máy tính) :


c)

7  15 và 7

23  2 19
3 và

27

 Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn

 17  5 1 và 45
d) 3 2 và 2 3
2 nhưng nhỏ hơn 3

 Giải phương trình : 3x2  6x  7  5x2 10x  21  5  2x  x2 .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
 Cho

1
S  1.1998 

Hãy so sánh S và 2.

1
1
1
....  k(1998  k 1) ...  1998 1 .
2.1997
1998
.

1999

 Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a
 Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :

x
a)


y


Toancap2.net – Chia sẻ tài liệu học Toán lớp 6, 7, 8, 9 cơ bản và
nâng cao 2 y

x
b)

x

2

 2
y




y2 

x y



 
 0
2
x
y x
 



là số vô tỉ.

2


 x4
c)



y

4



y4 



 x2



y2 



x



y




x

4

 

x2

 2 .
xy

2

y



 
 
 Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :
12
a)
b) m 

với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.

3
n
x

 Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?

y

x2  y2 
 Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng :

y2

x2

3

4



.


y x
x y z
 Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng :
 
   .
y2 z 2 x 2 y z x
x2

y2

z2

 Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
 Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
 Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
 Chứng minh rằng :  x    y    x  y  .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
:
 Tìm giá trị nhỏ nhất của
:

A

A

1

x2  6x 17

.

x

y z
 
với x, y, z > 0.
y z x

 Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
 Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
 Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :

a) ab và

a

b

b) a + b và

là số vô tỉ.

a
b

là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
 Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)



Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :




a



d

b



2
bc cd da ab
Chứng minh rằng  2x bằng 2  x  hoặc 2  x  1

 Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng
trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
 Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

A=

x2  3

B

1
x2  4x  5

C

1
x 2x 1

1
D  1x2  3

E

G  3x 1  5x  3  x2  x 1
 a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : M  x2  4x  4  x2  6x  9 .


 Giải phương trình
:

4x2  20x  25 Giảix2phương
 8x 16
trình : x218x  81
x2  4x  5
2x2  8x 
 12 .
3

 Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

x2
2x
x

c

A
x2  x  2

E

B

1

1
1 3x

G

2x 1x

x2  3x



x3

C  2  1 9x2

D

1
x2  5x  6

H  x2  2x  3  3 1 x2

x2
x
x  4
2

0

Giải phương trình :

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A
xx.

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B 3  x  x


5  13  4 3

 So sánh : a) a 
c)

2 3

n  2  n 1

và b=

3

b)

3 1

và
1
2 (n là số nguyên dương)
n
1 6x  9x2

và n+1


 Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
:

 Tính : a) 4  2 3
b)
d) A  m2  8m 16  m2  8m 16
 Rút gọn biểu thức : M


 (3x 1)2 .

11 6 2

27 10 2

c)

e) B  n  2 n 1  n  2 n 1

8 41
45  4 41 45  4 41

 Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức :

A  1

(n ≥ 1)

.

(2x  y)2  (y  2)2  (x  y  z)2  0

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  25x2  20x  4  25x2  30x  9 .
 Giải các phương trình sau :

a) x2  x  2  x  2  0
x4  2x2 1
d) x 

1

x2 1

1 
2
x2  4x  4 x
b)

x2  x

g)

x2  x  2



x2

x40

e)

h) x2  2x 1  x2  6x  9
1
k) x  3  4 x 1  x  8  6 x 1

c)

0

x3


 5

i) x  5  2  x  x2  25
1

l) 8x 1  3x  5  7x  4  2x  2
x2  y2
 Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR:
xy 22.
227  30 2

 Rút gọn các biểu thức :

a)
c)

13  30 2 9  4 2

 Chứng minh rằng

2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3

m  2 m 1
b)

123  22 2





6



2

m  2 m 1
.

2 3

 Rút gọn các biểu thức :
 C 

62



6 3 2



d)
2

2

 6  2

6 3 2

2



 D 

9  6 2 6
3

.

 So sánh :

a)

6 20

và 1+ 6

b)

17 12 2

 Cho biểu thức : A  x x2  4x  4
a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.

và

2

1

c)

28 16 3

và

3

2


Toancap2.net – Chia sẻ tài liệu học Toán lớp 6, 7, 8, 9 cơ bản và
nâng cao

11 2 10


c)

2

4

9  các
2 14biểu thức sau : a) b)
Rút gọn

3  11 6 2 5  2 6
6  2 5 7  2 10

 Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức :

111
a 2 b 2c 2

1 1
1 
a b c

x2316x
 x2  60  x  6 .

 Giải bất phương trình
:

.

 Tìm x sao cho : x2  3
 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)

1

 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A 

x  x  2x
2

 Cho biểu thức

:

A

x  x2  2x



x  2x 1
x  x2  2x

b) B  16  x2  x2  8x  8 .
2x 1
.

x  x2  2x

a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
 Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số :

(20 chữ số 9)

0,9999....9| + | y – 1 | với | x | + | y | = 5

 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - 2
 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1


rong hai số :

n T n  2 và 2 n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?


 Cho biểu thức A
7  4 3  7  4 3 . Tính giá trị của A theo hai cách.

2
3
2
3
2
 Tính :

 5)( 
 5)( 
 5)(  3  5)
(
2
3
5
3
2
2
 Chứng minh các số sau là số vô tỉ
3 
;
; 2 3
:


5 1
2 5
2
2
 Hãy so sánh hai số : a  3  3 và b=2
1 ;
và
3

4

4 7

So sánh 

7

 Rút gọn biểu thức : Q 
 Cho P


2 và số 0.
2 3 6 8  4
2 3 4

14 40 56  140

.

. Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai

Toancap2.net – Chia sẻ tài liệu học Toán lớp 6, 7, 8, 9 cơ bản và
nâng cao



1 y2 Tính1 x2 1.
y

giá trị của biểu thức x + y biết rằng : x
2

5

2

 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A  1  x  1  x
.

a

 Tìm giá trị lớn nhất của
:

M

 b



2

với a, b > 0 và a + b ≤ 1.

 CMR trong các số 2b  c  ad ; 2c  d 
; 2d  a 
; 2a  b 
có ít nhất hai
2
2
ab 2
bc 2
cd
số dương (a, b, c, d > 0).

 Rút gọn biểu thức : N  4 6  8 3  4 2 18 .
 Cho x  y  z  xy  yz  zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.


minh :



Chứng a  b 2 



2(a  b) ab

(a, b ≥ 0).

2

 Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn
thẳng có độ dài

a , b , c cũng lập được thành một tam giác.


 Rút gọn : a) A 

ab  b 2
a

b
b

(x  2)2  8x

b) B 

2
 x

x
a2  2

 Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có :

a 1
2

.

 2 . Khi nào có đẳng thức ?

3 5
bằng hai cách.
3 5
3 75 2
91. So sánh : a)
và 6,9
b)

13
12 và 7  6
5
 Tính : A 

 Tính : P 

2 3
2 3
2  2  3  2 2 3

 Giải phương trình : x  2  3 2x  5

 Chứng minh rằng ta luôn có

:

P 
n

x2


1.3.5...(2n 1)
2.4.6...2n

2x  5  2 2 .
1



2n 1

x 4(x 1) x 4(x 1)
x2  4(x 1)

A=

; n  Z+

a2
b2
a  b  b  a .

 Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì

 Rút gọn biểu thức :

.

1 

. 1


x 1


 Chứng minh các đẳng thức sau
:

b)

 14 



1

7 

5
1 3

2

 Tính : a)

c)

15  






 So sánh :

:

abba
 ab
:

1
7 5

 2

c)




1

a b


1

a  a 




5 3 29  6 20

a 1

1

18






(a, b > 0 ; a ≠ b)

a



a

a

a 1



3 5  13 48
;
b)
2


7 48
28 16 3 . 7 48 .

a) 3  5 và 15
 2  15 và 12  7

5. 25
d) 16 và
2
 Cho hằng đẳng thức :
a a2  b 2
a a2  b 2
a b 



a
b

.

 1

(a > 0).




.

19 và 9

Áp dụng kết quả để rút gọn : a)

2 3
2 2 3



2 3
2 2 3

(a, b > 0 và a2 – b > 0).

322
322
; b) 17 12 2  17 12 2

c)

2 10 30  2 2 6
2 10  2 2

:

2
3 1

 Xác định giá trị các biểu thức sau :

xy  x2 1. y2 1

 A 
xy  x2 1. y2 1

1 1

với x   a   , y

2 a


1
1
b  
2

b

(a > 1 ; b > 1)


Toancap2.net – Chia sẻ tài liệu học Toán lớp 6, 7, 8, 9 cơ bản và
nâng cao

6

 B 

với
a  bx a  bx
2am
x  b 1 m2 , m  1.
a  bx a  bx
P(x)  2x x2 1
 Cho biểu thức

3x2  4x 1

a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.

x  2  4 x  2 x  2  4 x  2

 Cho biểu thức A 

4  4 1

x2 x

.

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
 Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:

b) x  x (x  0)

a) 9  x2

c) 1

g) 2x2  2x  5

e) 1  21  3x

 Rút gọn biểu thức : A 

4  10  2 5

x5

4
1
2x x  3

i)

x
2x 1 , bằng ba cách ?
 10 7  4 3
5 3  5 48


4  10  2 5



d)

h) 1  x2  2x  5

x 2x 1

 Rút gọn các biểu thức sau : a)
b)

2x

c) 94  42 5  94  42 5 .

 Chứng minh các hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥ b
a)

a b



a b

2

a a 2  b 

b)

a b



a a2  b 2



a a2  b 2

 Rút gọn biểu thức : A 
 Tìm x và y sao cho :

x  2 2x  4  x 22 2x  4
x  y  2  x  y    a  c  2   b  d 2 .

 Chứng minh bất đẳng thức : a2  b2  c2  d2

 Cho a, b, c > 0. Chứng minh :

2

abc
a
b2  c2
.


bc ca ab
2

 Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :

a) a 1


b 1


b) a  b  b  c  c  a  6 .

c 1  3,5

 CM :

 (a  b)(c 
a2  c2  b2  c2 
a2  d2 b2  d2 d)

 Tìm giá trị nhỏ nhất của : A  x 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của
:

A

x

với a, b, c, d > 0.

.

(x  a)(x  b)
.
x

 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.


Toancap2.net – Chia sẻ tài liệu học Toán lớp 6, 7, 8, 9 cơ bản và
nâng
cao

Tìm
giá trị lớn nhất của A = x +2  x .

 Giải phương trình :

 Giải phương trình :
 Giải phương trình
:
 Giải phương trình
:

x 1  5x 1  3x  2

x  2 x 1  x  2 x 1  2
3x2  21x 18  x2  7x  7  2
2
5x2 10x 14  4  2x  x2
3x2  6x  7 

 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3  2
 Chứng minh x  2  4  x  2 .

;

22  3

7


Toancap2.net – Chia sẻ tài liệu học Toán lớp 6, 7, 8, 9 cơ bản và
nâng cao

7

 Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :

a2  b2 . b2  c2  b(a  c)

(a  b)(c  d)

 Chứng minh

với a, b, c > 0.

 ac  bd với a, b, c, d > 0.

 Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có
độ dài

a , b , c cũng lập được thành một tam giác.

2
 Chứng minh (a  b)

ab
a b  b a với a, b ≥ 0.

2
4
a
b
với a, b, c > 0.

 c 2
ab
bc
ac

 Chứng minh



 Cho x 1 y2  y 1 x2 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.

 Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x  2 x 1  x  2 x 1
 Tìm GTNN, GTLN của A  1  x  1  x .

 Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x2 1  x2  2x  5
 Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x2  4x 12  x2  2x  3 .



a) A  2x  5  x2

 Tìm GTNN, GTLN của
:

b) A  x 99  101  x2

a b
 Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn   1
x y



(a và b là hằng số dương).

 Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.
 Tìm GTNN của

xy yz zx với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
A z  x  y
x2
y2
z2
A



 Tìm GTNN của
biết x, y, z > 0 , xy  yz  zx  1 .
xy yz z
x
a
 Tìm giá trị lớn nhất của : a) A 
 b


b) B 







2



a  b 4 



 c 4 
a

với a, b > 0 , a + b ≤ 1





 d 4 
a



 c 4 



b





 d 4 
b



 d 4
c

với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.

 Tìm GTNN của A 

b



c

cd ab

với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.

 Giải các phương trình sau :

a) x2  5x  3x 12  0
2
8
x 1
d)

x 1

 2 e)

b) x 2  4x  x 1


1

c) 4x 1  3x  4  1

g)






Toancap2.net – Chia sẻ tài
học Toán
cơ bản
x liệu
2 x 1
x 2x
1 và x 2x 1
x 1lớp 6, 7, 8, 9
nâng cao

h) x  2  4 x  2  x  7  6 x  2  1
1x2  x  x 1
m) x2  6  x  2 x2 1
k)

i)

x



x  1 x

l)

1

2x2  8x  6  x2 1  2x  2
n) x 1 
x 10  x  2  x  5


2
x 1
x  3  x 1   x2  3x  5 4  2x
p) 2x  3 x  2  2x  2 x  2
 1 2 x  2 .
q) 2x2  9x  4  3 2x 1 
2x2  21x 11
18  20  2 2
 Rút gọn biểu thức : A  2 2  5  3 2
o)





.

2

8


1
1 2 5

 Trục căn thức ở mẫu : a)

 Cho a 

10

5



3  5. 3





2

n

 n 1 1.

1
x  x 1 .

b)

6  2 5  13 48

5  3  29  6 20 b)

146. Tính : a)

1

1 1  1 ....
2
3

 Chứng minh rằng, n  Z+ , ta ln có
:

c)

5 3 29 12 5



2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.



322
 Cho b  3  2 2

17 12 2 . b có phải là số tự nhiên không ?
17 12 2
 Giải các phương trình sau :

a)
c)

 3 1x  x  4  3

0

5  x 5  x  x  3

b)

x3 2

 3 1x  2 3 1x  33

d) x  x  5  5

5x x3

 Tính giá trị của biểu thức : M  12 5  29  25  4 21  12 5  29  25  4 21
 Rút gọn
:

1
1 2

A

 Cho biểu thức : P 



1
2 3

1
3 4



1
1


2 3
3 4

a) Rút gọn P.

...

1
4 5

1
n 1 n
...

.

1
2n 2n 1

b) P có phải là số hữu tỉ không ?

1
1
1
 4 3  3 4 ... 100 99  99 100 .
3223
1
1
1
154. Chứng minh : 1

...
 n .
2
3

n
 Cho a  17 1 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.
 Chứng minh : a  a 1  a  2  a  3
(a ≥ 3)
 Tính :

1
A  2 1 1 2 

 Chứng minh
:

x2  x 

1

 0 (x ≥ 0)

2
 Tìm giá trị lớn nhất của S  x 1  y  2 , biết x + y = 4.
 Tính giá trị của biểu thức sau với a 

4

 Chứng minh các đẳng thức sau :



a) 4


c) 3
 1015




5 310


4  15
 6
5



3

: A



1 2a  1 2a .
1 1 2a
1 1 2a




7 48



2

b)
2

  8 d)

2
 2


4226




 e)

1



1

3

Chứng minh các bất đẳng thức sau :

5 5
5 5

 10  0
5 5
5 5


0
5 1

5 1
1,
01

2
c)

4 1

 3

3
1 
1

0, 2
5
3

3
5



a) 27  6  48

b)

2

3
5  2 161.
17  4 9  4 5 


Toancap2.net – Chia sẻ tài liệu học Toán lớp 6, 7, 8, 9 cơ bản và
nâng cao


2  3 1
2
3
3


0


 3



1
2
26
2 6
3 2
2 6
2
17
12 2 2
6



d)

2  22 1

e)

2  22 1



5
h)



3



3





7 



 1,9

g)

 3

 7

1
n

n
 Chứng minh rằng : 2

 3 1

5


n 1  2



9

2  2  3 2 2
4

i)

 0,8

n
2

 2 n 1 . Từ đó suy ra:

2004  1 1  1 ...
1
 2005
2
3
1006009
 Trục căn thức ở mẫu : a)

2 3 4

2 3 6 84

 Cho x 

3 2

3 2
3 2

và y=

3 2

3
b) 2  3 2  3 4 .

. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.

Chứn  2003  2002  2003 .



 Tính giá trị của biểu thức
:
 Giải phương trình :


pt :

2002

2002

g minh bất đẳng thức sau :

2

A

y
6x  3
x1x

2003
x  3xy 
2

với x  3  5 và y  3  5 .

xy2

 3  2 x  x2 .

Giải bất các
a) 3 3  5x  72

b)

1
4

2  2 2 2x
10x 14  1 c)

4.

 Rút gọn các biểu thức sau :

a) A  5 
c) C 

3 29 12 5

b) B  1 a  a(a 1)  a

x  3  2 x2  9

2x  6  x 2  9
1
1
E


1 2
2 3

d) D 
1
3 4

...

 Tìm giá trị nhỏ nhất của A 

2



x2  5x  6  x 9  x2
3x  x2  (x  2) 9  x2

1
24  25

 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A 

2

a 1
a

1
.
3  x2

1 với 0 < x < 1.


Toancap2.net – Chia sẻ tài liệu học Toán lớp 6, 7, 8, 9 cơ bản và
nâng cao

b) B 
1 x x biết x + y = 4 ;

x 1

 Tìm GTLN của : a) A  x 1  y  2

x


10

y2

y

1997 C 1996 ; b  1998  1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
ho a 

1
x2  2x  4
5  2 6  x2
 Tìm GTNN, GTLN của
 A 
 B 
.
:

 Tìm giá trị lớn nhất của

A  x 1 x2 .

 Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
 Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.



m GTNN, GTLN của A  x

x Tì y
y

biết

x  y  1.


 Giải phương trình
:
 Giải phương trình
:

1 x  x2  3x  2  (x  x 1  3.
2)
x2
2
x  2x  9
6  4x  2x2 .


1
1
 1 
...
2.
3
2
2
4 3
(n 1) n
1
1
1
182. Cho A 


1
...
. Hãy so sánh A và 1,999.
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1
x ; y đều là số hữu tỉ
183. Cho 3 số x, y và x  y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số
181. CMR, n  Z+ , ta có :

184. Cho a 
2

3 2
3 2



1

6 ; b  3  2 2  6  4 2 . CMR : a, b là các số hữu tỉ.


2 a
a  2 .
185. Rút gọn biểu thức P   a  2 a 1  a 1
a a  a a 1 . (a > 0 ; a ≠ 1)
:
a

 


a 1
186. :Chứng minh  a 1
1   4a . (a > 0 ; a ≠ 1)
1 
1  4 a

a
a
a


a






 x  2 2

187. Rút gọn :

x
188. Rút gọn : 


 a


 8x

2
 x
b 

(0 < x < 2)

ab




ab  :
a
b
 

b
ab  b
ab  a

ab
a

 




189. Giải bất phương trình : 2 x  x 2  a 2



5a
2

x2  a2
190. Cho A  1
a2

(a ≠ 0)

 1 a a

 1 a a  a  1

:  1 a  a  1a



a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A với a = 9.

c) Với giá trị nào của a thì | A | = A.
a  b 1
191. :Cho biểu thức

B

a) Rút gọn biểu thức B.
c) So sánh B với -1.
192. Cho A 
1

 a a  b


a



ab


a  b 
b
b
.
 2
a  ab 
a
ab
ab 

b) Tính giá trị của B nếu a  6  2 5 .

 
1
ab 
:
1


a a  b  
ab
 


a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm b biết | A | = -A.

c) Tính giá trị của A khi a  5  4 2 ; b  2  6 2 .
193. Cho biểu thức

 a 1
A
1 
a

Rút gọn biểu thức A. 

6
2 6


a 1
1 
1  4 a

a
a

a



A

 Tìm giá trị của A nếu a 

.

c) Tìm giá trị của a để

A.


 a

194. Cho biểu thức A 
 
2
a) Rút gọn biểu thức A.
195. Thực hiện phép tính
:

196. Thực hiện phép tính
:

b) Tìm giá trị của A để A = - 4

 1 a
1 a   1 a
1 a 
A

:


1 a
1 a   1 a
1 a 

B

 thức sau :
197. Rút gọn các biểu
a) A  x

y

1

 a
a a a
1
.
2 a  a 1  a 1



1

 
2 3
2 2 3

b) B 

c) C 





với x > y > 0


a
với x  

1 a 
a

a2
1

b2
1

c2
1

1 x2  x
2

2a 1 x2

d) D  (a  b)

; 0
với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1



e) E 


 1
1
.
3 

x
 x  y 
 y


2

 .

:
xy xy 
 x y

 x  y  2 xy


với x  2  3 ; y  2  3 .
x x2  y2 x x2  y2
2(x  y)
1  1 a

2 3
2 2 3



1



x  2 x 1 

x  2 x 1 2x 1
.
x  2x 1
x  2x 1

x2  4
x2  4
2x  4
x

198. Chứng minh :
 x
x
x

x
2
2
1 
1
. Tính a7 + b7.
199. Cho
,b

a
2
2
200. Cho a  2 1
 Viết a2 ; a3 dưới dạng m  m 1 , trong đó m là số tự nhiên.

với x ≥ 2.

 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.
201. Cho biết x = 2 là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với các hệ số hữu tỉ. Tìm các
nghiệm còn lại.

202. Chứng minh 2

1
1
1
n  3  2  3 ... n  2 n  2 với n N ; n ≥ 2.

203. Tìm phần nguyên của số
204. Cho

a  2

6 6 ...6 6

3. Tính a) a2 

b)

(có 100 dấu căn).

a3  .


 

 

đều là số hữu tỉ

205. Cho 3 số x, y, x  y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số
206. CMR, n ≥ 1 , n  N :

x, y

1

1
 1  1 ...
2

2 32
43
(n 1) n

 Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :

1
a1

trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.



1
a2



1
a3

...

1
a25

 9 . Chứng minh rằng