Bai tap he phuong trinh mu logarit

Giaovienvietnam.com
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Để giải hệ phương trình mũ, hệ phương trình logarit ta thường sửa dụng
các phương pháp quen thuộc như: phương pháp thế, biến đổi hệ về phương
trình Đại số, phương pháp hàm số,… Cuối cùng là tạo ra một hệ đơn giản
và kết luận nghiệm.

Câu 1. Giải hệ phương trình
A. ( x; y) = ( -

1;1)

ïìï x + 2y = - 1
í x+y2
ïï 4
= 16
ỵ
.

, ( x; y) = ( 3;- 7) .

C. ( x; y) = ( 1;1) , ( x; y) = ( 3;7) .
Câu 2. Giải hệ phương trình
A.

ìïï x = 100
í
ïïỵ y = 10

.

B.

B. ( x; y) = ( 1;- 1) , ( x; y) = ( -

7;3)

.

D. ( x; y) = ( - 1;1) , ( x; y) = ( 3;7) .

ïìï log x - log y = 2
.
í
ïïỵ x - 10y = 900

ìïï x = 1800
í
ïïỵ y = 900

.

C.

ìïï x = 1000
í
ïïỵ y = 10

.

D.

ìïï x = 10
í
ïïỵ y = 1000

.

ïìï x + y = 25
.
í
ïïỵ log2 x - log2 y = 2

Câu 3. Gọi ( x0; y0 ) là một nghiệm của hệ phương trình
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. x0 = 4y0.
B. x0 = 4 + y0.
C. y0 = 4x0.
D.
Câu 4. Cặp số

( x; y)

y0 = 4 + x0.

nào sau đây thỏa mãn hệ phương trình

ìïï log4 x + log4 2y = 1+ log4 9
í
ïïỵ x + 2y = 20
?

A. ( x; y) = ( 9;2) .

B. ( x; y) = ( 18;1) .

C. ( x; y) = ( 1;18) .

D. ( x; y) = ( 16;2) .
Câu 5. Hệ phương trình
A. 0 .
B. 1.

ìï 2x.9y = 162
ïí
ïï 3x.4y = 48
ỵ

có tất cả bao nhiêu nghiệm ( x; y) ?
C. 2 .
D. 3 .

Câu 6. Tìm tất cả các cặp số ( x; y) thỏa mãn hệ phương trình

ìï 6x - 2.3y = 2
ïí
.
ïï 6x.3y = 12
ỵ

A. ( x; y) = ( 1;log3 4) .

B. ( x; y) = ( log6 2;1) .

C. ( x; y) = ( 1;log3 2) .

D. ( x; y) = ( 1;log3 2) , ( x; y) = ( log6 2;1) .
ïìï logx y = 2
.
í
ïï logx+1 ( y + 23) = 3
ỵ

Câu 7. Gọi ( x0; y0 ) là một nghiệm của hệ phương trình
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. x0 = y0.
B. x0 > y0.
C. x0 < y0.
D.

x0 = y0 + 2.

ìï 3x = 27.3y
ï
.
í
ïï log( x + 2y) = log5+ log3
ỵ

Câu 8. Tìm tập nghiệm S của hệ phương trình
S = { ( 7;4) } .

S = { ( 4;7) } .
S = { ( 6;3) } .
A.
B.
C.
Câu 9. Tìm tất cả các cặp số ( x; y) thỏa mãn

4x
=2
2y

D.
và

S = { ( 9;6) } .

log( 2x + 2y) = 1

.


Giaovienvietnam.com
A. ( x; y) = ( 4;1) . B. ( x; y) = ( 2;3) .

C. ( x; y) = ( 3;2) .

D. ( x; y) = ( 5;9) .

2x- y
ỡù

2x- y
2
ùù ổử
ổử
2
2
ữ
ữ
+ 6ỗ
- 7= 0
ùỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ớ ố3ứ
ố3ứ
ùù
ùù 3log9 ( x- y) = 1
ïỵ

Câu 10. Cho hệ phương trình
đúng?
A. Điều kiện xác định của hệ phương trình là

. Chọn khẳng định

x > y> 0 .

B. Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( x; y) .
C. Hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất ( x; y) = ( D. Hệ phương trình đã cho vơ nghiệm.

1;- 2)

.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

Câu 1. Giải hệ phương trình
A. ( x; y) = ( -

1;1)

ìï x + 2y = - 1
ïí
ïï 4x+y2 = 16
ỵ
.

, ( x; y) = ( 3;- 7) .

C. ( x; y) = ( 1;1) , ( x; y) = ( 3;7) .

B. ( x; y) = ( 1;- 1) , ( x; y) = ( -

.

D. ( x; y) = ( - 1;1) , ( x; y) = ( 3;7) .

Lời giải. Hệ phương trình tương đương với
ìï x + 2y = - 1
Û ïí
Û
ïỵï x + y2 = 2

7;3)

ìï x = - 2y- 1
ïí
Û
ïỵï y2 - 2y- 1= 2

ïìï x + 2y = - 1
í x+y2
ïï 4
= 42
ỵ

ìï x = - 2y- 1
ïí
Û
ïỵï y2 - 2y- 3 = 0

ïìï x =- 2y- 1
éy = - 1; x = 1
ïíï éy = - 1

Û ê
.
ê
ïï ê
ëy = 3; x = - 7
ïïỵ ê
y
=
3
ë

Chọn B.
Cách trắc nghiệm: Thay ngược từng đáp án và bấm máy tính.
Câu 2. Giải hệ phương trình
ìïï x = 100
í
ïïỵ y = 10

ïìï log x - log y = 2
.
í
ïïỵ x - 10y = 900

ìïï x = 1800
í
ïïỵ y = 900

ìïï x = 1000
í
ïïỵ y = 10

ìïï x = 10
í
ïïỵ y = 1000

A.
. B.
.
C.
.
D.
x
,
y>
0
Lời giải. Điều kiện:
. Hệ phương trình tương đương với
ìï
ï log x = 2
ïí
y
Û
ïï
ỵïï x - 10y = 900

ìï x
ï = 100
ïí y
Û
ïï

ỵïï x - 10y = 900

ïíïì x - 100y = 0 Û
ïỵï x - 10y = 900

ïíïì x = 1000.
ïỵï y = 10

.

Chọn C.
ìïï x + y = 25
.
í
ïïỵ log2 x - log2 y = 2

Câu 3. Gọi ( x0; y0 ) là một nghiệm của hệ phương trình
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. x0 = 4y0.
B. x0 = 4 + y0.
C. y0 = 4x0.
D.
Lời giải. Điều kiện:

ïìï x > 0
í
ïïỵ y > 0

y0 = 4 + x0.

. Hệ phương trình tương đương với


Giaovienvietnam.com
ìï x + y = 25
ï
ïí
Û
x
ïï log2 = 2
ïỵï
y

ìï x + y = 25
ï
ïí x
Û
ïï = 4
ïỵï y

Câu 4. Cặp số

ïíìï x + y = 25 Û
ïỵï x - 4y = 0

( x; y)

ùớỡù x = 20 = x0 ắắ
đ x0 = 4y0
ïïỵ y = 5 = y0

. Chọn A.

nào sau đây thỏa mãn hệ phương trình

ìïï log4 x + log4 2y = 1+ log4 9
í
ïïỵ x + 2y = 20
?

A. ( x; y) = ( 9;2) .

B. ( x; y) = ( 18;1) .

C. ( x; y) = ( 1;18) .

D. ( x; y) = ( 16;2) .
ïìï x > 0
í
ïïỵ y > 0

Lời giải. Điều kiện:

. Hệ phương trình tương đương với

ìï log4 ( 2xy) = log4 36
ïí
ïï x + 2y = 20
ỵ
ïì 2xy = 36

Û ïí
Û
ïỵï x + 2y = 20

ïìï xy = 18
Û
í
ïỵï x = 20- 2y

ïìï 2y2 - 20y +18 = 0
Û
í
ỵïï x = 20- 2y

ïìï éy = 1
ê
ïíï êy = 9
Û
ïï ë
ïïỵ x = 20- 2y

éy = 1; x = 18
ê
.
ê
ëy = 9; x = 2

Chọn B.
Cách 2. Dùng CASIO thử từng đáp án.
ìï 2x.9y = 162

ïí
ïï 3x.4y = 48
ỵ

Câu 5. Hệ phương trình
có tất cả bao nhiêu nghiệm ( x; y) ?
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
x
y
Lời giải. Nhân vế theo vế trong hệ phương trình, ta được 6 .36 = 162.48
Û 6x+2y = 65 Û x + 2y = 5
.
5- 2 y y
x
=
5
2
y
Thay
và phương trình thứ hai của hệ, ta cú 3 .4 = 48


35 y
.4 = 24.3
9y

2y

4

ổử
ổử
2
2ữ
ỗ
=ỗ
đ x = 1.
ữ
ữ
ỗ ữ
ỗ
ữ
ữ 2y = 4 y = 2 ắắ
ỗ
ỗ
ố3ứ
ố3ứ

Vy h phng trỡnh cú duy nht nghim ( x; y) = ( 1;2) . Chọn B.
Câu 6. Tìm tất cả các cặp số ( x; y) thỏa mãn hệ phương trình

ìï 6x - 2.3y = 2
ïí
.
ïï 6x.3y = 12
ỵ

A. ( x; y) = ( 1;log3 4) .

B. ( x; y) = ( log6 2;1) .

C. ( x; y) = ( 1;log3 2) .

D. ( x; y) = ( 1;log3 2) , ( x; y) = ( log6 2;1) .

Lời giải. Đặt

ìï 6x = a > 0
ïí
ïï 3y = b> 0
ỵ
.

ïì a = 2b+ 2
Û ïí
Û
ïï ( 2b+ 2) b = 12
ỵ

Suy ra

ìï 6x = 6
ïí
Û
ïï 3y = 2
ỵ

Hệ phương trình trở thành

ì
ïíï a = 2b+ 2
Û
ïïỵ b2 + b- 6 = 0

ïìï x = 1
í
ỵïï y = log3 2

ìïï a- 2b = 2
í
ïïỵ ab = 12

ïìï a = 2b+ 2
ïï
ìï a = 6
b = - 3( loại)
Û íï
íé
ê
ïï ê
ïỵï b = 2
ïï êb = 2( thỏ
a mã
n)
ỵë
.

. Chọn C.

Câu 7. Gọi ( x0; y0 ) là một nghiệm của hệ phương trình
Mệnh đề nào sau đây đúng?

ïìï logx y = 2
.
í
ïï logx+1 ( y + 23) = 3
ỵ


Giaovienvietnam.com
A.

x0 = y0.

x0 > y0.

B.

Lời giải. Điều kiện:
ìï y = x2
ï
í
ïï y + 23 = ( x +1) 3
ïỵ
ïì y = x2
Û ïí 2
Û

ïï x + 23 = ( x +1) 3
ùợ

C.

ùỡù 0 < x ạ 1
.
ớ
ùùợ y > 0

x0 < y0.

D.

x0 = y0 + 2.

Hệ phương trình tương đương với

ïìï y = x2
Û
í 3
2
ï
ỵï x + 2x + 3x - 22 = 0

ìï y = x2
ïí
Û
ïï ( x - 2) ( x2 + 4x +11) = 0
ïỵ

ïíìï x = 2 = x0 .
ïïỵ y = 4 = y0

Chọn C.
ìï 3x = 27.3y
ï
.
í
ïï log( x + 2y) = log5+ log3
ỵ

Câu 8. Tìm tập nghiệm S của hệ phương trình
S = { ( 7;4) } .
S = { ( 4;7) } .
S = { ( 6;3) } .
A.
B.
C.
Lời giải. Điều kiện:
ïì x = y + 3
Û ïí
Û
ïỵï x + 2y = 15

x + 2y > 0.

Hệ phương trình

D.

S = { ( 9;6) } .

ìï 3x = 33.3y
Û ïí
ïï log( x + 2y) = log15
ỵ

ïìï x = 7
í
ïỵï y = 4

. Chọn A.
Cách 2. Dùng CASIO thử từng đáp án.
Câu 9. Tìm tất cả các cặp số ( x; y) thỏa mãn
A. ( x; y) = ( 4;1) . B. ( x; y) = ( 2;3) .
Lời giải. Điều kiện: x + y > 0 .



và

log( 2x + 2y) = 1

.

C. ( x; y) = ( 3;2) .

4x
= 2 Û 22x- y = 2 Û 2x - y = 1.

2y

( 1)

log( 2x + 2y) = 1 Û 2x + 2y = 10.

( 2)

Từ ( 1) và ( 2) , ta có hệ

4x
=2
2y

ïìï 2x - y = 1
Û
í
ïïỵ 2x + 2y = 10

ïìï x = 2
.
í
ïïỵ y = 3

D. ( x; y) = ( 5;9) .

Chn B.

2x- y
ỡù

2x- y
ùù ổử
ổử
2ữ
2ữ 2
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ùớ ỗ
ữ + 6ố
ữ - 7= 0
ỗ ứ
ỗ3ứ
ố
ùù 3
ùù 3log9 ( x- y) = 1
ïỵ

Câu 10. Cho hệ phương trình
đúng?
A. Điều kiện xác định của hệ phương trình là

. Chọn khẳng định

x > y> 0 .

B. Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( x; y) .
C. Hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất ( x; y) = ( D. Hệ phương trình đã cho vơ nghiệm.

Lời giải. Điều kiện: x - y > 0 Û x > y . Do đó A sai.
2x- y

Xét phương trình thứ nhất ca h:
phng
trỡnh

ổử
2ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố3ứ

2x- y

ổử
2ữ 2
+ 6ỗ
ữ
ỗ
ữ - 7= 0
ỗ
ố3ứ
.

tr
2x- y

2

ột = 1( thỏ
a mã
n)
ỉư
2÷
t2 + 6t - 7 = 0 Û ờ
ắắ
đỗ
ữ
ỗ
ờt = - 7 loaùi
ỗ
ố
ứ
3ữ
(
)
ờ
ở

= 1

2x - y
= 0.
2

1;- 2)

.

2x- y

t

ổử
2ữ 2
t =ỗ
ữ >0
ỗ
ỗ
ố3ữ
ứ
,

thnh


Giaovienvietnam.com
Phương
log9 ( x- y)

3

tình
log9 ( x- y)

= 1Û 3

Từ đó ta có

thứ

hai

của

hệ:

= 3 Û log9 ( x - y) = 0 Û x - y = 1.
0

ïì 2x - y = 0
Û ïí
Û
ïỵï x - y = 1

ïìï x =- 1
:
í
ïỵï y =- 2

thỏa mãn điều kiện.

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất ( x; y) = ( C.

1;- 2)

. Chọn