Bài giảng Cấp số cộng Đại số 11

TOÁN ĐẠI SỐ 11


KIỂM TRA BÀI CŨ
Cho dãy (un) với un = 2n + 5

(n  N*)

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số?
b) Xét tính đơn điệu (tăng, giảm) của dãy số?
c) Chỉ ra một quy luật của các số hạng trong dãy?


KIỂM TRA BÀI CŨ
Bài giải
a) 5 số hạng đầu của dãy số:
u1= 7 u2 = 9 u3 = 11 u4 = 13 u5 = 15
b) Ta có un+1 = 2(n + 1) + 5 = 2n + 7
Xét hiệu : un+1 – un = 2n + 7 – 2n – 5 = 2 > 0
Vậy dãy số trên là dãy số tăng.
c) Kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng của dãy số
đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 2.


Tiết 42 - Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số
hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng
với một số d không đổi.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Công thức truy hồi:

un+1 = un + d

(nN*)

Chú ý : công sai d = u n 1  u n
d = 0 => CSC là một dãy số khơng đổi có dạng:
u1 , u1 , u1 , u1,…
Phương pháp: Để cm một dãy số là cấp số cộng
ta cm hiệu un+1 – un bằng số d không đổi.


Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa

Cơng thức truy hồi

Ví dụ1: CMR dãy số hữu hạn sau là 1 CSC:

un+1 = un + d

–5; – 2; 1; 4; 7; 10.

(n N*)

Phương pháp:
Để cm một dãy số là
cấp số cộng ta cm
hiệu un+1 – un
bằng số d khơng đổi.

Giải:
Vì –2 = –5+ 3; 1= –2+ 3; 4 = 1+ 3; 7 = 4+ 3; 10 =7 +3
Nên theo định nghĩa, dãy số –5; – 2; 1; 4; 7; 10 là 1
CSC với công sai d = 3.


Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa
II. Số hạng tổng quát
Ví dụ 2: Cho CSC (un)
a) Biểu thị u2 ,u 3,u 4 theo u1 và d.
b) Từ đó biểu thị un theo u1 và d.
Bài giải
a) u2 = u1 + d =

u1 + 1d

u3 = u2 + d

=

u1 + 2d

u4 = u3 + d =
…

u1 + 3d

b) un =

2)

u1 + (n – 1)d

(n 


Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa
II Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 và cơng sai d
thì số hạng tổng qt un được tính bởi cơng thức:

un = u1 + (n – 1)d

(n  2)


Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa
II Số hạng tổng quát
Công thức truy hồi
un+1 = un + d (nN*)
Số hạng tổng quát
un = u1 + (n – 1)d (n  2)

Ví dụ 3:
Cho cấp số cộng có u1 = -1, u2 = 2
a) Tìm u15 ?
b) Số 296 là số hạng thứ bao nhiêu?

Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa
II Số hạng tổng quát
Công thức truy hồi
un+1 = un + d (n N*)
Số hạng tổng quát:

Lời giải
Ta có d = u2 – u1 = 3
a) Theo ct số hạng tổng quát:
u15 = u1 + (15 – 1)d = -1 + 14.3 = 41
b) Giả sử 296 là số hạng thứ n ta có

un = u1 + (n – 1)d (n  2) un = u1 + (n – 1)d <=> 296 = -1 + (n – 1).3
<=> n = 100 => 296 là số hạng thứ 100 của dãy số.


Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa
II. Số hạng tổng qt
III. Tính chất
Nếu (un) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
là trung bình cộng của số hạng đứng liền trước và liền sau nó.
uk–1 + uk+1
uk =
2

với k ≥ 2

Hay 2uk = uk–1 + uk+1

Chú ý:
Để cm 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng
ta chỉ ra 2b = a + c


Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa
II. Số hạng tổng quát
III. Tính chất
IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Ví dụ 4 : Cho CSC ( un ) với un = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 …
Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên.
Bài giải
Ta có S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100
S 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + …
S100= (1+100) . 100
2
u1

un

n


Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa

II. Số hạng tổng quát
III. Tính chất
IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Nếu (un) là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 thì
tổng n số hạng đầu được tính bởi cơng thức:
n(u1 + un)
Sn =
2
Chú ý : Vì un = u1 + ( n – 1 )d nên:
n(n – 1)d
Sn = nu1 +
2


Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
1, Công thức truy hồi:
un+1 = un + d

(n N*)

2, Công thức số hạng tổng quát:
un = u1 + (n – 1)d

(n  2)

3, Tính chất
uk =

uk–1 + uk+1

2
4, Tổng n số hạng đầu:
Sn =

với k ≥ 2

n(u1 + un)

= nu1 +

2
n(n – 1)d
2

Ví dụ 5:
Cho dãy số (un) với un = 5 + 4n
a) Cm dãy (un) là cấp số cộng , tìm u1, d
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu.
c) Biết Sn = 1425, tìm n.


Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
Giải:

1, Công thức truy hồi:
un+1 = un + d

(n N*)

2, Công thức số hạng tổng quát:
un = u1 + (n – 1)d

(n  2)

3, Tính chất:
uk =

uk–1 + uk+1

với k ≥ 2

n(u1 + un)

= nu1 +

Xét hiệu : un+1 – un = 4n + 9 – 4n – 5 = 4
Vậy d/số trên là CSC với u1 = 9 ; d = 4
b, u50 = 9 + 49.4 = 205

2
4, Tổng n số hạng đầu:
Sn =

a, un +1 = 5 +4(n+1) = 4n + 9

S50 =

50(9 + 205)

= 5350

2
c, Theo bài ra ta có:
n(n - 1)
.4
1425 = 9n +
2

2
n(n – 1)d
2

=> n = 25
Vậy số 1425 ở vị trí thứ 25 trong dãy.


CỦNG CỐ
Kiến thức
1, Công thức truy hồi:
un+1 = un + d

Hs cần nắm được:

(n N*)

- Các công thức của bài này.

2, Công thức số hạng tổng quát: - Hai phương pháp chứng minh một dãy số là CSC :
un = u1 + (n – 1)d

(n  2)

3, Tính chất:
uk =

uk–1 + uk+1

với k ≥ 2

2
4, Tổng n số hạng đầu:
Sn =

n(u1 + un)

= nu1 +

2
n(n – 1)d
2

- Dùng định nghĩa
- Dùng tính chất
-Vận dụng các cơng thức để giải các bài toán
liên quan
- Chú ý:Khi giải các bài toán về CSC ta
thường gặp 5 đại lượng: u1,d,un,n,Sn.Cần biết
ít nhất 3 trong 5 đó thì sẽ sẽ tính được các đại
lượng còn lại.

DẶN DỊ
• Học thuộc các cơng thức của bài.
• Xem lại các ví dụ đã giải và làm bài tập: 2,3,5 SGK trang 97 –
98.
• Bài tập về nhà (photo phần bài tập cô giao cho).


Xin chúc toàn thể các em học sinh
mạnh khoẻ học giỏi!