Bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán lớp 4

I. Bốn phép tính với số tự nhiên, phân số và số thập phân
A. Phép cộng

Bài 1: Tìm hai số có tổng bằng 1149, biết rằng nếu giữ nguyên
số lớn và gấp số bé lên 3 lần thì ta đợc tổng mới bằng 2061.
Bi gii
Tổng mới hơn tổng cũ là:
2061- 1149 = 912
Số bé mới hơn số bé cũ là:
3- 1 = 2 lần
Sè bÐ lµ : 912 : (3-1) =456
Số lớn là : 1149 456 = 693
Đ/s : SL : 693 , SB : 456
Bµi 2: Hai sè có tổng bằng 6479, nếu giữ nguyên số thứ nhất, gấp
số thứ hai lên 6 lần thì đợc tổng mới bằng 6789. HÃy tìm hai
số hạng ban đầu.
Bi gii
Tổng mới hơn tổng cũ là:
6789 - 6479 = 310
S th hai mới hơn số thứ hai cũ là:
6 – 1 = 5 lần
Sè thứ hai lµ : 310: 5 = 62
Sè thứ nhất lµ : 6479 – 62 = 456
62 và 6417
Bài 3: Tìm hai số có tổng bằng 140, biết rằng nếu gấp số hạng
thứ nhất lên 5 lần và gấp số hạng thứ hai lên 3 lần thì tổng
mới là 508.
Bi gii
Tổng mới hơn tổng cũ là:
508 - 140 = 368
1

Số hạng thứ hai là:
368 : 2 =184
Tổng khi Số hạng thứ nhất gấp lên 5 lần hơn tổng cũ là
184 - 140 = 48
Số hạng thứ hai là
48 : 2 = 24
T luyn:
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tổng là 254. Nếu viết thêm một chữ
số 0 vào bên phải số thứ nhất và giữ nguyên số thứ hai thì đợc tổng mới là 362.
Bài 5: Tìm hai số có tổng bằng 586. Nếu viết thêm chữ số 4 vào
bên phải số thứ hai và giữ nguyên số thứ nhất thì tổng mới
bằng 716.
Bài 6: Tổng của hai số thập phân là 16,26. Nếu ta tăng số thứ
nhất lên 5 lần và số thứ hai lên 2 lần thì đợc hai số có tổng
mới là 43,2. Tìm hai số đó.
Bài 7: Tổng của hai số là 10,47. Nếu số hạng thứ nhất gấp lên 5
lần, số hạng thứ hai gấp lên 3 lần thì tổng mới sẽ là 44,59.
Tìm hai số ban đầu.
b. Phép trừ

Bài 1: Tìm hai số có hiệu là 23, biết rằng nếu giữ nguyên số trừ
và gấp số bị trừ lên 3 lần thì đợc hiệu là 353.
Bi gii
Hiệu giữa SBT mới và cũ là:
353 23 = 330
Hiệu số phần bằng nhau là:
3-1 = 2 phần
Số bị trừ cũ là:

2


330 : 2 = 165
Sè trõ cị lµ :
165- 23 = 142

Bài 2: Tìm hai số có hiệu là 383, biết rằng nếu giữ nguyên số bị
trừ và gấp số trừ lên 4 lần thì đợc hiệu mới là 158.
Bi gii
Hiệu mới giảm là:
383 - 158 = 225
Số trừ cũ là: 225 - (4-1) = 75
Số bị trừ là : 75 + 383 = 458
TL¹i: 458 – 75 = 383
458 (75 x 4) = 158 đúng
Bài 3: Hiệu của hai số tự nhiên là 4441, nếu viết thêm một chữ số
0 vào bên phải số trừ và giữ nguyên số bị trừ thì đợc hiệu mới
là 3298.
Bi gii
Số trừ cị lµ:
(4441 – 3298 ) : ( 10- 1) = 127
Số bị trừ là :
4441 + 127 = 4568
Bài 4: Hiệu của hai số tự nhiên là 134. Viết thêm một chữ số vào
bên phải của số bị trừ và giữ nguyên số trừ thì hiệu mới là
2297. Tìm chữ số viết thêm và hai số đó.
3

Bài giải
Hiệu SBT mới và SBT cũ là:
2297 - 134 = 2163
Số bị trừ cũ là :
2163 : (10 1) = 240 d 3
Sè tõ cị lµ : 240 134 = 106
Vậy chữ số viết thêm là chữ số 3
Tlại:
240 -106 = 134
2403 -106 = 2297 đúng
Bài 5: HiƯu cđa hai sè lµ 3,58. NÕu gÊp sè trõ lên 3 lần thì đợc số
mới lớn hơn số bị trừ là 7,2. Tìm hai số đó.
Bài giải
Số bị trừ cị lµ ;
7,2 – (3- 1) = 3,6
Sè trõ cị lµ :
3,6 – 3,58 = 0,02
Bµi 6 : HiƯu cđa hai số là 1,4. Nếu tăng một số lên 5 lần và giữ
nguyên số kia thì đợc hai số có hiệu là 145,4. Tìm hai số đó.
Bi gii
Hiệu mới hơn hiệu cũ là:
145,4 1,4 = 144
Số bị trừ cũ lµ :
144 : (5-1) = 36
Sè trõ cị lµ:
36 – 1,4 = 34,6
Bµi 7: HiƯu hai sè lµ 3,8. NÕu gấp số trừ lên hai lần thì đợc số mới
hơn số bị trừ là 4,9. Tìm hai số đà cho.
4

Bi gii
Số bị trừ cũ là:
4,9 x2 = 9,8
Số trừ cũ là:
9,8 3,8 = 6
TLại
6 x2 9,8 =

C. Phép nhân
Bài 1: Tìm tích của 2 số, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ
nhất và tăng thừa số thứ 2 lên 4 lần thì đợc tích mới là 8400.
Bài giải
Tích của hai số là :
8400 : 2 = 4200 ( V× trong mét tÝch nÕu cã mét thõa sè gấp lên
nlần và thừa số kia gữ nguyên thì thích đó gấp lên nlần và
ngợc lại.)
Bài 2: Tìm 2 số có tích bằng 5292, biết rằng nếu giữ nguyên thừa
số thứ nhất và tăng thừa số thứ hai thêm 6 đơn vị thì đợc
tích mới bằng 6048.
Bài giải
Tăng thừa số thứ hai lên 6 đơn vị thì 6 lần thừa sè tø nhÊt lµ:
6048 – 5292 = 756
Thõa sè thø hai lµ:
756 : 6 = 126
Thõa sè thø nhÊt lµ :
5292 : 126 = 42
5

Bài 3: Tìm 2 số có tích bằng 1932, biết rằng nếu giữ nguyên một
thừa số và tăng một thừa số thêm 8 đơn vị thì đợc tích mới
bằng 2604.
Bài giải
Thừa số thứ nhất là:
(2604 - 1932 ) : 8 = 84
Thõa sè thø hai lµ :
1932 : 84 = 23

II. DÃy số
1. DÃy số cách đều:
a) Tính số lợng số hạng của dÃy số cách đều:
Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + 1
(d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)
Ví dụ: Tính số lợng số hạng của dÃy số sau:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100.
Ta thÊy:
4-1=3

...

7-4=3

97 - 94 = 3

10 - 7 = 3
100 - 97 = 3
Vậy dÃy số đà cho là dÃy số cách đều, có khoảng cách giữa 2
số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lợng số hạng của dÃy số
đà cho là:

(100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)
b) Tính tổng của dÃy số cách ®Òu:
6


VÝ dơ : Tỉng cđa d·y sè 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 lµ:
(1 + 100) x 34
= 1717
2

2. Bài tập.
Bài 1: Viết tiếp 3 số hạng vµo d·y sè sau:
a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, …
b) 0, 3, 7, 12, …
c) 1, 2, 6, 24, ….

d) 1, 4, 7, 10, 13, 16, …
e) 0, 2, 4, 6, 12, 22, …
g) 1, 2, 3, 5, 17, …
Đ/s:

a) 29,47,76 (Kể từ số hạng thứ ba thì số đứng sau bằng tổng hai số liền trước)
b) 18, 25, 33 ( số đứng sau tăng thêm 1 đơnvị )
0+3=3
3+4=7
7 + 5 = 12
c) 100, 600, 4200
Ta cã :
1x2=2
2x3=6

6 x 4 = 24
d) 19, 22, 25
e ) 40 , 74, 136
Vì : Kể từ số hạng thứ t thì số ®øng sau b»ng tỉng 3 sè ®øng tríc
g) Sè thø hạng thứ ba bằng tổng hai ssó đứng liền trớc.
Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của dÃy sau. Biết mỗi dÃy có 10
số hạng:
a) ..., 17, 19, 21, ...

b) ..., 64, 81, 100, ....
7


Bài 4: Tìm 2 số hạng đầu của các dÃy số, trong mỗi dÃy đó có
15.:
a) ..., 39, 42, 45, ....
c) ..., 23, 25, 27, 29, ...

b) ..., 4, 2, 0.

Bµi 5: Cho d·y sè : 1, 4, 7, 10, ..., 31, 34, ...
Tìm số hạng thứ 100 trong dÃy.
Bài giải
- DÃy số đà cho có khoảng cách giữa hai số là 3
- 100 số hạng có khoảng cách là 100 1 = 99 khoảng cách
99 số có số đơn vị là :
99 x 3 = 297
Chữ số thứ 100 lµ 1 + 297 = 298
Bµi 6: Cho d·y sè : 3, 18, 48, 93, 153, ...
a) T×m sè hạng thứ 100 của dÃy.

b) Số 11703 là số hạng

thứ bao nhiêu của dÃy?
Bài 7: Cho dÃy số : 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0 .
a) DÃy số này có bao nhiêu số hạng?

b) Số hạng thứ 50

của dÃy là số nào?
c) Tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên.
Bài giải
a) Khoảng cách giữa các số là :1,1
Có số lợng số hạng là :
(110 – 1, 1) : 1,1 + 1 = 100 (sè hạng)
b) DÃy số có 50 số hạng nên có 49 khoảng cách ( 50-1)
49 số có số đơn vị là :
49 x1,1 = 53,9 ( đơn vị)
Số hạng thứ 50 lµ : 1,1 + 53,9 = 55
c) Tỉng cđa 100 số hạng đầu tiên là :
8


(1,1 + 110 ) X 100 :2 = 5555
Bµi 16: Để đánh số trang sách của một cuốn sách dày 220 trang,
ngời ta
phải dùng bao nhiêu lợt chữ số?
Bài giải
Từ trang 1 đến trang 9 có số trang là :
(9-1 ) : 1 + 1 = 9 trang

Tõ trang 1 đến trang 9 cần só chữ số là:
9 x 1 = 9 chữ số
Từ trang 10 đến trang 90 có sè trang lµ :
(90- 10 ) :1 + 1 = 90 trang
Từ trang 1 đến trang 9 cần só chữ số là:
90 x 2 = 180 chữ số
Số trang phải đánh 3 chữ số là:
220 - 90 - 9 = 121 trang
Số chữ số để đánh 121 trang là :
121 x 3 = 363 chữ số
Số chữ số cần để đánh cuốn sách 220 tang là :
363 + 180 + 9 = 552( chữ số)
Bài 17: Trong một kỳ thi cã 327 thÝ sinh dù thi. Hái ngêi ta ph¶i
dïng bao nhiêu lợt chữ số để đánh số báo danh cho các thí
sinh dự thi?
Bai 18: Để đánh số thứ tù c¸c trang s¸ch cđa s¸ch gi¸o khoa To¸n 4,
ngêi ta phải dùng 216 lợt các chữ số. Hỏi cuốn sách đó dày bao
nhiêu trang?
Bài giải
Số trang đánh 1 chữ số là :
1 x9 = 9 trang
Số trang đánh hai chữ số là :
9


90 -10 ) : 1 + 1+ 90 trang
Sè ch÷ số để đánh 90 trang sách là
90 x 2 = 180 chữ số
Số trang phảI đánh 3 chữ số là:
216 180 9 = 27 chữ số

Số trang sách phảI đánh 3 chữ số là :
27 : 3 = 9 trang
Cuốn sách đó có số trang là :
9 + 90 = 9 = 108 trang
Bµi 19: Trong mét kú thi học sinh giỏi lớp 5, để đánh số báo danh
cho các thí sinh dự thi ngời ta phải dùng 516 lợt chữ số. Hỏi kỳ
thi đó có bao nhiêu thí sinh tham dự?
Bài 20: Cho dÃy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 đợc viết theo
thứ tự liỊn nhau nh sau: 12345678910111213…19821983. H·y
tÝnh tỉng cđa tÊt c¶ các chữ số vừa viết.
Bài giải
Có tất cả các chữ sè lµ :
( 1983 – 1 ): 1 + 1 = 1983 chữ số
Tổng của dÃy là :
(1983 + 1) x 1983 : 2 =1967136

iii. DÊu hiÖu chia hÕt
I. KiÕn thức cần ghi nhớ
II. Bài tập
Bài 1: Từ 3 chữ số 0, 1, 2. HÃy viết tất cả các số có 3 chữ số khác
nhau chia hết cho 2.

10


Bài 2: Viết tất cả các số chia hết cho 5 có 4 chữ số khác nhau từ 4
chữ số 0, 1, 2 , 5.
Bµi 3: Em h·y viÕt vµo dấu * ở số 86* một chữ số để đợc số có 3
chữ số và là số:
a) Chia hết cho 2

c) Chia hÕt cho 5
e) Chia hÕt cho c¶ 2 vµ 5

b) chia hÕt cho 3
d) chia hÕt cho 9
g) Chia hết cho cả 3 và 9

Bài 4: HÃy tìm các chữ số x, y sao cho 17 x8 y chia hết cho 5 và 9.

Bài 5: Tìm x, y để x765 y chia hết cho 3 và 5.
Đáp số: Y = 0 ta cã c¸c sè : x= 3, 6 9
Y = 5 ta cã x = 14,7
Bµi 6: Tìm x và y để số 1996 xy chia hết cho 2, 5 và 9.
Bài 7: Tìm a và b để 56a3b chia hết cho 36.
Đáp số: ( Chia ht cho 36 thì tổng của 56a3b chia hết cho 4 v 9)
Bài 8: Tìm tất cả các chữ số a và b để phân số

1a83b
là số tự
45

nhiên.
Đáp số: ( Chia hết cho 45 thì tổng của

1a83b
chia hết cho 5 và 9)
45

Bài 9: Tìm x để 37 + 2 x5 chia hết cho 3.
Đáp số: 37 + 2 + 5 = 41 vËy x = 1, 4 , 7

11


Bài 10: Tìm a và b để số a391b chia hết cho 9 và chia cho 5 d 1.
Bài giải
Chia 5 d 1 thì b = 1 hoặc 6 và a + 3 + 1+9 + 6 chia hÕt cho 9 và
a + 3 + 1+9 + 1

Bài 11: Tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau abc , biÕt:

ac 2
= .
b7 3

B= 2 th× ac = 2 x 9 = 18
B= 5 th× ac = 2 x 19 = 39
B= 8 th× ac = 2 x 29 = 54
Bài 12: Một ngời viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành
dÃy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM
a) Chữ cái thứ 1996 trong dÃy là chữ gì?
b) Ngời ta đếm đợc trong dÃy đó có 50 chữ T thì dÃy đó có
bao nhiêu chữ O? Bao nhiêu ch I?
c) Bạn An đếm đợc trong dÃy có 2007 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm
đúng hay sai? Vì sao?
d) Ngời ta tô màu vào các chữ cái trong dÃy trên theo thứ tự:
xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, Hỏi chữ cái thứ
2007 đợc tô màu gì?
Bài giải
a)Nhúm t TOQUOCVIETNAM gm 13 ch cái

Ta có 1996 : 13 = 153 dư 7 nên chữ cái thứ 1996 là chữ C
b)- Trong dãy có 2 chữ T và 2 chữ O nếu có 50 chữ T thì xẽ có 50 chữ O và có 50 : 2
+ 1 chữ I = 26 chữ I

12


Bài 13: Một ngời viết liên tiếp nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM
thành dÃy CHAMHOCCHAMLAM CHAMHOCCHAMLAM
a) Chữ cái thứ 1000 trong dÃy là chữ gì?
b) Ngời ta đếm đợc trong dÃy đó có 1200 chữ H thì dÃy đó
có bao nhiêu chữ A?
c) Bạn Bình đếm đợc trong dÃy có 2008 chữ C. Hỏi bạn ấy
đếm đúng hay sai? Vì sao ?

IV. Các bài Toán dùng chữ thay số
1. Sử dụng cấu tạo thập phân của số
1.1. Phân tích làm rõ chữ sè
ab = a x 10 + b
abc = a x 100 + b x 10 + c
VÝ dô: Cho sè có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích
các chữ số của số đà cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số
hàng đơn vị của số đà cho.
Bài giải
Bớc 1 (tóm tắt bài toán)
Gọi số có 2 chữ số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 10)
Theo bµi ra ta cã ab = a + b + a x b
Bíc 2: Ph©n tích số, làm xuất hiện những thành phần giống nhau
ở bên trái và bên phải dấu bằng, rồi đơn giản những thành
phần giống nhau đó để có biểu thức đơn gi¶n nhÊt.

a x 10 + b = a + b + a x b
a x 10 = a + a x b (cïng bít b)
a x 10 = a x (1 + b) (Mét sè nh©n víi mét tỉng)
10 = 1 + b (cùng chia cho a)
Bớc 3: Tìm giá trÞ :
b = 10 - 1
b=9
13


Bớc 4 : (Thử lại, kết luận, đáp số)
Vậy chữ số hàng đơn vị của số đó là: 9.
Đáp số: 9
1.2. Phân tích làm rõ số
ab = a 0 + b
abc = a 00 + b0 + c
abcd = a 00 + b00 + c0 + d

= ab00 + cd
VÝ dụ : Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21
vào bên trái số đó thì ta đợc một số lớn gấp 31 lần số cần tìm.
Bài giải
Bớc 1: Gọi số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 0)
Khi viÕt thªm sè 21 vào bên trái số ab ta đợc số mới lµ 21ab .
Theo bµi ra ta cã:
21ab = 31 x ab

Bíc 2: 2100 + ab = 31 x ab (ph©n tÝch sè 21ab = 2100 + ab )
2100 + ab = (30 + 1) x ab
2100 + ab = 30 x ab + ab (mét sè nh©n mét tỉng)

2100 = ab x 30 (cïng bít ab )
Bíc 3: ab = 2100 : 30
ab = 70.

Bíc 4: Thư l¹i
2170 : 70 = 31 (đúng)
Vậy số phải tìm là: 70
Đáp số: 70.

14


2.2.Ví dụ: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 6 lần chữ
số hàng đơn vị của nó.
Bài giải
Cách 1:
Bớc 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10).
Theo ®Ị bµi ta cã: ab = 6 x b
Bíc 2: Sư dụng tính chất chẵn lẻ hoặc chữ số tận cùng.
Vì 6 x b là một số chẵn nên ab là một số chẵn.
b > 0 nên b = 2, 4, 6 hoặc 8.
Bớc 3: Tìm giá trị bằng phơng pháp thư chän
NÕu b = 2 th× ab = 6 x 2 = 12. (chän)
NÕu b = 4 th× ab = 6 x 4 = 24. (chän)
NÕu b = 6 th× ab = 6 x 6 = 36. (chän)
NÕu b = 8 th× ab = 6 x 8 = 48. (chän)
Bíc 4: Vậy ta đợc 4 số thoả mÃn đề bài là: 12, 24, 36, 48.
Đáp số: 12, 24, 36, 48.
Cách 2:
Bớc 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10)

Theo đề bài ta có: ab = 6 x b
Bíc 2: XÐt ch÷ sè tËn cùng
Vì 6 x b có tận cùng là b nên b chỉ có thể là: 2, 4, 6 hoặc 8.
Bớc 3: Tìm giá trị bằng phơng pháp thử chọn
Nếu b = 2 th× ab = 6 x 2 = 12 (chän)
NÕu b = 4 th× ab = 6 x 4 = 24 (chän)
NÕu b = 6 th× ab = 6 x 6 = 36 (chän)
NÕu b = 8 th× ab = 6 x 8 = 48 (chän)
Bíc 4: VËy ta đợc 4 số thoả mÃn đề bài là: 12, 24, 36, 48.
Đáp số: 12, 24, 36, 48.

15


II. Bài tập
Bài 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 4
vào bên trái số đó, ta đợc một số gấp 9 lần số phải tìm.
Bài giải
Nếu viết thêm chữ số 4 vào bên phảI số có 2 chữ số thì số đó
tăng thêm 400 đơn vị
Theo bài ra ta có:
4ab = ab x 9
400 + ab = ab x 9
400 + ab = ab x (8+ 1)
400 + ab = 8ab + ab
400 = 8ab ( Cïng bít 2 vÕ ®i ab)
Ab = 400 : 8
Ab = 50
Đáp số 50
Bài 2: Tìm một số có 2 chữ số, khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái

số đó ta đợc một số gấp 13 lần số phải tìm.
Bài giải
Nếu viết thêm chữ số 9 vào bên phảI số có 2 chữ số thì số đó
tăng thêm 900 đơn vị
Theo bài ra ta cã:
9ab = ab x 13
900 + ab = ab x 13
900 + ab = ab x (12+ 1)
900 + ab = 12ab + ab
900 = 12ab ( Cïng bít 2 vÕ ®i ab)
Ab = 900 : 12
Ab = 75
16


Đáp số 75

Bài 3: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5
vào bên phải số đó ta đợc một số hơn số phải tìm 1112 đơn
vị.
Bài giải
Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phảI số đó thì số đó tăng thêm 10
lần và 5 đơn vị
Để số đó tăng thêm 10 lần thì hiệu mới là:
1112 - 5 = 1107
Số cần tìm là :
1107 : (10-1) = 123
Đáp số 123
Bài 4: Tìm mét sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thêm chữ số 5
vào bên phải số đó ta đợc một số hơn số phải tìm 230 đơn

vị.
Bài giải
Số cần tìm là:
(230 5) : ( 10 1) = 25
Đ/ s : 25
Bài 5: Cho một số có 2 chữ số. Nếu viết thêm chữ số 1 vào đằng
trớc và đằng sau số đó thì số đó tăng lên 21 lần. Tìm số đÃ
cho.
Bài giải
Theo đầu bài ta có
ab x 21 = 1ab1
ab x 21 = 1000 + ab0 + 1
ab x 21 = 1001 + ab0
17


ab x 21 = 1001 + ab x 10
ab x11 = 1001 ( Cïng bít di ab x 10)
ab = 1001 : 11
ab= 91
Bài 6: Tìm số có 4 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào
bên phải số đó ta đợc số lớn gấp 5 lần số nhận đợc khi ta viết
thêm chữ số 1 vào bên trái số đó.
Bài 7: Cho số có 3 chữ số, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số
đó, viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta đều đợc số có 4
chữ số mà số này gấp 3 lần số kia
Bài giải
Gọi số phải tìm là abc ( 0 < a; b,c< 10
Theo đầu bài ta có hai khả năng: abc 1 > 2abc hoặc abc1 < 2abc
a) Xét khả năng abc1 > 2abc

- Theo đầu bài ta có :
abc1 = 3 x 2abc
abc x10 + 1 = (2000 +abc) x3 ( Ct¹o sè )

abc x 3 + abcx7 + 1 = 6000 + abc x 3 ( Mét sè nh©n víi 1
tỉng)
abc x 7 + 1 = 6000 ( Bít c¶ hai vÕ cho abc x 3)
abc x7 = 6000 -1( Tìm số hạng cđa tỉng)
abc = 599 : 7857 ( T×m mét thõa số )
Bài 8: Cho một số có 3 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng trăm thì
số đó giảm đi 3 lần. Tìm số đó.
Bài giải
Gọi số phải tìm là abc ( 0 < a ; bc< 10)
Theo đầu bài ta có :
abc = 3 x bc
( Đặt tính theo cét däc) Sè 50)
18


Bài 9: Tìm một số có 4 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng nghìn
thì số đó giảm đi 9 lần.
( Đặt tính theo cột dọc) : Số 500
Bài 10: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng
các chữ số của nó.
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab : ĐKiện
Theo đầu bài ta cã :
Ab = ( a+b) x5
Ab = a x 5 + b x 5 ( nh©n mét sè víi mét tæng)
A x 10 + b = a x 5 + bx5

A x( 5 + 5 ) + b = a x 5 + b x (1 + 4)
Ax5+ax5+b=ax5+b+bx4
A x 5 = b x 4 ( Cïng bít ®i a x5 + b)
Nõu a = 1 th× a x 5 = 1 x 5 = 5 Suy ra b kh«ng có giá trị thích hợp
Thử chọn ta có a = 5 nên b = 4
Vậy số cần tìm là 45.
Bài 11: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 11 lần tổng
các chữ số của nó.
Bài giải
Gọi số phải tìm là abc : ĐKiện
Theo đầu bài ta cã :
Abc = ( a + b+ c) x 11
Abc = 11 x a + 11 x b + 11 x c
A x 100 + bx 10 + c = a x11 + b x 11 + c x11
A x ( 11 + 89 ) + bx 10 + c = a x 11 + b x ( 10 + 1) + c x ( 1 + 10)
A x11 + a x 89 + b x 10 + c = a x11 + b x10 + b + c + c x 10
A x 89 = b+ c x10 ( Cùng trừ đi nững số hạng giống nhau)
Số cầntìm lµ 198
19


V. Phân số - tỉ số phần trăm
75
mà mẫu số là số
100

Bài 1: Viết tất cả các phân số bằng phân số
tròn chục và có 2 chữ số.
75/100 =15/20 ,
3/4 = 30/40

3/4 =60/80

Bài 2: Viết tất cả các phân số bằng phân số

21
mà mẫu số có
39

2 chữ số và chia hết cho 2 và 3.
Bài giải
Mẫu số có 2 chữ sè chia hÕt cho 2 vµ 3 lµ p/s :

42
78

Bµi 3: Viết mỗi phân số sau thành tổng 3 phân số có tử số là 1
nhng có mẫu số khác nhau:

7 3 2
; ;
8 8 3

7 = 1+ 3 + 4
Ta cã:
1+ 3 + 4 1 2 4 1 1 1
= + + = + +
8
8 8 8 8 4 2

Bài 4: Viết mỗi phân số sau thành tổng 2 phân số tối giản có

mẫu số khác nhau.
a)

7
12

b)

13
27

a) 7/12 = 5/12 + 2/12
= 5/12 + 1/6
b) 13/27 = 9/27 + 4/27
20


= 1/3 + 4/27
Bµi 5:
a) ViÕt 5 p/s cã tư số bằng nhau mà mỗi phân số đều lớn hơn

4
5

nhng bÐ h¬n 1
b) ViÕt 5 p/s cã mÉu sè b»ng nhau và mỗi p/s đều bé hơn
c) Viiét 3 p/s có tử số bằng 1 mà mỗi p/s đều lớn hơn
hơn

1

2

1
nhng bé
6

2
3

Bài 6: HÃy viết mỗi phân số sau thành tổng các phân số có tử số
bằng 1 và mẫu số khác nhau.
31 15 25
; ; .
12 16 27

Bài 7: HÃy viết tất cả các phân số có tổng của tử số và mẫu số
bằng 10.
Bài 8: Tìm:
a)

1
của 6m
2

c)

1
1
của
10

5

b)

1
của 21kg
7

d)

8
3
của
9
4

Bài 9: BiÕt

1
1
sè häc sinh cđa líp 3A b»ng sè häc sinh của lớp 3B.
2
3

HÃy tìm tỉ số giữa số học sinh lớp 3A và học sinh lớp 3B.

Bài 10: Tìm sè häc sinh cđa khèi líp 4, biÕt
líp 4 lµ 50 em.

21

1
sè häc sinh cña khèi
3


VI. So sánh phân số
1. So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị
của phân số
- Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số
đó.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì
phân số đó nhỏ
hơn và ngợc lại.
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
2000
2001
và
2001
2002

Bớc 1: (Tìm phần bù)
Ta có : 1

2000
1
=
2001 2001

1-

2001
1
=
2002 2002

Bớc 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)
Vì

1
1
2000 2001
>
<
nên
2001 2002
2001 2002

* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tư 1
B = mÉu 2 - tư 2
C¸ch so sánh phần bù đợc dùng khi A = B. NÕu trong trêng hỵp
A ≠ B ta cã thĨ sư dụng tính chất cơ bản của phân số để biến
đổi đa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai
phân số bằng nhau:
Ví dụ:

2000
2001
và
.

2001
2003
2000

2000 × 2

4000

+) Ta cã: 2001 = 2001 × 2 = 4002
1+)Vì

4000
2
=
4002 4002

1-

2001
2
=
2003 2003

2
2
4000 2001
2000 2001
<
>
>

nên
hay
4002 2003
4002 2003
2001 2003

2. So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị
của phân số:
22


- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì
phân số đó lớn hơn.
Ví dụ: So sánh:

2001
2002
và
2000
2001

Bớc 1: Tìm phần hơn
Ta có:

2001
1
1 =
2000
2000

2002
1
1 =
2001
2001

Bơc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần
so sánh.
Vì

1
1
2001 2002
>
>
nên
2000 2001
2000 2001

* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1
D = tử 2 - mẫu 2
Cách so sánh phần hơn đợc dùng khi C = D. Nếu trong trờng
hợp C ≠ D ta cã thĨ sư dơng tÝnh chÊt cơ bản của phân số để
biến đổi đa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu
số của hai phân số bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau:
2001

2001 ì 2

2001
2003
và
2000
2001

4002

Bớc1: Ta có: 2000 = 2000 × 2 = 4000
4002
2
−1 =
4000
4000

Bíc 2: V×

2003
2
−1 =
2001
2001

2
2
4002 2003
2001 2003
<
<

<
nªn
hay
4000 2001
4000 2001
2000 2001

3. So sánh phân số bằng cách so sánh cả hai phân số với
phân số trung gian
Ví dụ 1: So sánh

3
4
và
5
9

Bớc 1: Ta có:
3 3 1
> =
5 6 2

Bíc 2: V×

4 4 1
< =
9 8 2

3 1 4
3 4

> > nªn >
5 2 9
5 9
23


Ví dụ 2: So sánh

19
31
và
60
90

Bớc 1: Ta có:
19 20 1
<
=
60 60 3

Bớc 2: Vì

19 1 31
19 31
< <
<
nên
60 3 90
60 90

Ví dụ 3: So sánh
Vì

31 30 1
>
=
90 90 3

101
100
và
100
101

101
100
101 100
>1 >
>
nên
100
101
100 101

Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.
40
41
và
57
55

Bài giải
+) Ta chọn phân số trung gian lµ :
+) Ta cã:

+) VËy

40
55

40 40 41
<
<
57 55 55

40 41
<
57 55

* Cách chọn phân số trung gian :
- Trong một số trờng hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung
gian là những phân số dễ tìm đợc nh: 1,

1 1
, ,... (ví dụ 1, 2, 3)
2 3

bằng cách tìm thơng của mẫu số và tử số của từng phân số
rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thơng vừa tìm đợc. Số tự
nhiên đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số

của phân số trung gian chính bằng 1.
- Trong trờng hợp tổng quát: So sánh hai phân số
c, d khác 0)

24

a
c
và
(a, b,
b
d


- Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể
chọn phân số trung gian là

a
c
(hoặc )
d
b

- Trong trờng hợp hiƯu cđa tư sè cđa ph©n sè thø nhÊt víi tử số
của phân số thứ hai và hiệu của mẫu sè ph©n sè thø nhÊt víi
mÉu sè cđa ph©n sè thø hai cã mèi quan hƯ víi nhau vỊ tØ số
(ví dụ: gấp 2 hoặc 3lần,hay bằng

1 2 4
, , ,... ) thì ta nhân cả

2 3 5

tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho
hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số
là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian nh
trên.
Ví dụ: So sánh hai phân số
15

15 ì 5

15
70
và
23
117

75

Bớc 1: Ta có: 23 = 23 ì 5 = 115

Ta so sánh

70
75
với
117
115

Bớc 2: Chọn phân số trung gian là:

Bớc 3: Vì

70
115

70
70
75
70
75
70 15
<
<
<
<
nên
hay
117 115 115
117 115
117 23

4. Đa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
- Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta
đợc cùng thơng thì ta đa hai phân số cần so sánh về dạng
hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau:
Ta có:
Vì

47

2
=3
15
15

65
2
=3
21
21

2
2
2
2
47 65
>
>
nên 3 > 3
hay
15 21
15
21
15 21

25

47
65
và

.
15
21