Giáo án hình học lớp 11 góc trong không gian

VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
BÀI GIẢNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa
hai mặt phẳng.
+ Nắm được phương pháp tính góc trong mỗi trường hợp cụ thể.
 Kĩ năng
+ Thành thạo các bước tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc
giữa hai mặt phẳng.
+

 

Vận dụng các quy tắc tính góc vào giải các bài tập liên quan.

Trang 1


 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

Nhận xét:
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ
đường thẳng qua O và song song với đường thẳng cịn lại.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 
,  P     d
, d   
AIH .
b) d   P    d
a) d   P   d
,  P   90o ;

(với d' là hình chiếu của d lên (P)).





Chú ý: 0o  d
,  P   90o.
Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó.

TOANMATH.com

Trang 2


 
a    



    ,     a , b .
b     

  







Chú ý:   / /     
  ,     0o ;

  ,      0o.
        
Diện tích hình chiếu đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H nằm trong mặt phẳng  P  ; S' là diện tích
hình chiếu H' của H trên mặt phẳng  P  và  là góc giữa hai mặt phẳng

 P

và  P  thì S   S .cos  .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA
GĨC

Góc giữa hai

Góc giữa đường thẳng

Góc giữa hai

đường thẳng a, b

d và mặt phẳng (P)

mặt phẳng

Góc giữa hai đường thẳng a
và b là góc giữa hai đường





d   P   d
,  P   90o ;

thẳng a' và b' cùng đi qua

a    

b     
  ,     a
,b .
 



  

một điểm và lần lượt song
song hoặc trùng với a và b.
d  P  

,  P     d
, d   
A IH .
 d

(với d' là hình chiếu

a  b  
a, b   90o.

TOANMATH.com

của d lên (P)).

Trang 3


 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp giải
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1, d2 trong khơng gian ta có thể thực hiện như sau

Bước 1. Chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Bước 2. Từ O dựng các đường thẳng d1 , d 2 lần lượt song song (có thể trùng nếu O nằm trên một

trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 chính là góc giữa hai đường thẳng
d1, d2.
Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cơsin trong tam giác: cos A 
 
Cách khác: Tìm hai vec tơ chỉ phương u1 , u2 của hai đường thẳng d1, d2.
 
u1.u2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos  d1 , d 2     .
u1 u2

b2  c 2  a 2
.
2bc

Ví dụ:

Góc giữa d1, d2 là góc giữa d1 , d 2

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD' và A'C'
bằng
A. 30°.

B. 90°.

C. 60°.

D. 45°.

Hướng dẫn giải



 





, AC   CD
, AC   .
Ta thấy AC  / / AC  CD

Do các mặt của hình lập phương bằng nhau nên các đường chéo bằng nhau.
TOANMATH.com

Trang 4


 
Ta có AC  CD  AD  a 2.
Suy ra ACD' đều nên 
CD, AC     60o.

Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC
và BC. Số đo của góc 
IJ , CD  bằng

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 90°.

Hướng dẫn giải



 





, CD  SB
, AB .
Từ giả thiết ta có IJ / / SB (do IJ là đường trung bình của SCB) và AB / / CD  IJ

  60o.
Mặt khác, ta lại có SAB đều nên SBA

Suy ra 
SB, AB   60o  
IJ , CD   60o.

Chọn C.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB  a, SA  a 3 và SA vng góc

với (ABCD). Góc giữa hai đường thẳng SB và CD là
A. 60°.

B. 30°.

C. 45°.

D. 90°.

Hướng dẫn giải

Ta có ABCD là hình bình hành nên AB / / CD.
.
SB, CD   
SB, AB   SBA
Do đó 

Vì SA   ABCD   SA  AB  SAB vuông tại A

Xét tam giác vng SAB ta có tan SBA
TOANMATH.com

SA a 3
  60o.

 3  SBA
AB
a

Trang 5


 
SB, CD   60o.
Vậy 

Chọn A.
Ví

dụ

4.

Cho

hình

chóp

S.ABCD

có

đáy

ABCD

là

hình

chữ

nhật,

SA   ABCD  , SA  a, AB  a, BC  a 3. Cơsin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD bằng
A.

3
.
10

B.

5
.
5

3
.
5

C.

D.

3
.
10

Hướng dẫn giải

SC , BD   
OM , BD .
Kẻ OM / / SC  

Ta có ABCD là hình chữ nhật có AB  a, BC  a 3  AC  BD  2a.
BD
SC
SA2  AC 2 a 5
a 5
; BM  MA2  AB 2 
.
 a, OM 


2
2
2
2
2
2
2
2
5
  OM  BO  BM  5  cos SC

cos MOB
, BD 

.
2OM .BO
5
5
BO 





Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'.
Góc giữa hai đường thẳng MN và AP là
A. 45°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 90°.

Hướng dẫn giải

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a.
MN , AP   
AC , AP .
Do MN / / AC nên 

TOANMATH.com

Trang 6


 
.
Ta cần tính góc PAC
2

a 5
a
.
Vì A'D'P vng tại D' nên AP  AD  DP  a    
2
2
2

2

2

2

a 5
3a
AA'P vuông tại A' nên AP  AA  AP  a  
  .
2
 2 
2

2

2

CC'P vuông tại C' nên CP  CC 2  C P 2  a 2 

a2 a 5
.

4
2

Ta có AC là đường chéo của hỉnh vuông ABCD nên AC  a 2.
Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ACP ta có:
  cos CAP
  1  CAP
  45o  90o.
CP 2  AC 2  AP 2  2 AC. AP.cos CAP
2

  45o hay 
Suy ra 
AC , AP   CAP
MN , AP   45o.
Chọn A.
Lưu ý:
Cách khác: tính trực tiếp

 
 


MN . AP
Áp dụng công thức cos MN , AP   
MN . AP





Ta tính được
  3a 2
MN . AP 
4
  3 2a 2
.
MN . AP 
4
 
1
Suy ra cos MN , AP 
 
MN , AP   45o
2





Ví dụ 6. Cho lăng trụ đều ABC.DEF có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Cosin của góc tạo bởi hai
đường thẳng AC và BF là

A.

5
.
10

B.

3
.
5

C.

5
.
5

D.

3
.
10

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com

Trang 7

 
Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CF, AB.

 MN / / BF
Khi đó 
 
AC , BF   
MN , MK .
MK
AC
/
/

Xét tam giác MNK, ta có:

1
1
1 2
a 5
BF 
BC 2  CF 2 
a  4a 2 
;
2
2
2
2
1
a

a 3
MK  AC  , CK 
;
2
2
2
MN 

3a 2
a 7
 a2 
.
4
2

NK  KC 2  NC 2 

a 2 5a 2 7 a 2


4
4  1 .
  ME  MN  EN  4
Suy ra cos EMN
2 ME.MN
a a 5
2 5
2. .
2 2
2

2

 
Vậy cos 
AC , BF   cos EMN

2

5
.
10

Chọn A.
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết AB  CD  a,
MN 

a 3
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
2

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AC.
 IM / / AB  
Ta có 
  AB, CD    IM , IN .
 IN / / CD

  .

Đặt MIN
Xét tam giác IMN có IM 

AB a
CD a
a 3
.
 , IN 
 , MN 
2
2
2
2
2

Theo định lí cơsin, ta có:

TOANMATH.com

Trang 8


 
2

2
2
a a a 3



    
IM 2  IN 2  MN 2  2   2   2 
1
  120o.

   0  MIN
cos  
a a
2 IM .IN
2
2. .
2 2

AB, CD   60o.
Vậy 

Cách khác:
 

Ta có  AB, CD    IM , IN  nên ta tính cos IM , IN .
  
MN  IN  IM
 2
  2
 MN  IN  IM
 
 IM 2  IN 2  2 IN .IM .









  IM 2  IN 2  MN 2
a2
 .
Suy ra IN .IM 
2
8

1
Vậy cos 
AB, CD   .
2
Do đó 
AB, CD   60o.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (tham khảo hình vẽ bên). Góc
giữa đường thẳng AD và BB1 bằng
A. 30°.

B. 60°.

C. 45°.

D. 90°.

Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng
A. 45°.

B. 90°.

C. 30°.

D. 60°.

Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có I, J tương ứng là trung điểm của BC và BB'. Góc giữa hai
đường thẳng AC và IJ bằng
A. 45°.

B. 60°.

C. 30°.

D. 120°.

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  và tam giác ABC vuông tại B, SA  a, AB  a, BC  a 2.

Gọi I là trung điểm BC. Cơsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là
A. 

2
.
3

B.

2
.
3

C.

2
.
3

D.

2
.
8

Câu 5. Cho tứ diện OABC có OA  OB  OC  a; OA, OB, OC vng góc với nhau từng đơi một. Gọi I là

trung điểm BC. Góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng
A. 45°.

B. 30° .

C. 90°.

D. 60°.

Câu 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Biết AB  CD  a và

MN 

a 3
. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
2

TOANMATH.com

Trang 9


 
A. 30°.

B. 90°.

C. 120°.

D. 60°.

Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Biết

MN  a 3, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 45°.

B. 90°.

C. 60°.

D. 30°.

Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng
AB và DM bằng
A.

3
.
2

B.

3
.
6

C.

3
.
3

D.

1
.
2

Câu 9. Cho tứ diện S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a; BC  a 2. Góc giữa hai đường thẳng AB và

SC bằng

A. 0°.

B. 120°.

C. 60°.

D. 90°.

Câu 10. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và
CD. Góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC bằng
A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 90°.

Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài tốn 1. Bài tập củng cố lý thuyết
Phương pháp giải
Nắm vững lý thuyết để xác định đúng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vng góc với nhau từng đơi một. Góc giữa đường
thẳng CD và mặt phẳng (ADB) là góc

.
A. CDA

.
B. CAB

.
C. BDA

.
D. CDB

Hướng dẫn giải

CB  BD
Ta có 
 CB   ABD  .
CB  BA
Do đó BD là hình chiếu của CD trên (ABD).
.
Suy ra góc giữa CD và (ABD) bằng CDB

Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SB vng góc (ABC). Góc giữa SC với (ABC) là góc giữa
A. SC và AC.

B. SC và AB.

C. SC và BC.

D. SC và SB.

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com

Trang 10