Giáo án hình học 11 khoảng cách trong không gian

BÀI GIẢNG KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một điểm đến mặt phẳng
và khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng.
+

Nắm được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

+ Nắm vững các tính chất về khoảng cách.
 Kĩ năng
+

Xác định được hình chiếu của một điểm đến đường thẳng và trên mặt phẳng.

+

Biết cách tính khoảng cách trong từng trường hợp.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng  . Gọi H là hình
chiếu vng góc của O trên  . Khi đó khoảng cách
OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến  .

d  O,    OH .

Nhận xét: OH  OM , M  

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho mặt phẳng   và một điểm O. Gọi H là hình

chiếu của O trên mặt phẳng   . Khi đó khoảng
cách OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến
mặt phẳng   .

d  O,     OH .

Nhận xét: OH  OM , M   

 

Trang 1


 
Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt
phẳng

Cho đường thẳng  và mặt phẳng   song song
với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì
trên  đến mặt phẳng   được gọi là khoảng
cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng   .

d  ,     d  M ,    với M  

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng   và    song song với nhau.
Khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa
hai mặt phẳng   và    .

d    ,      d  M ,      d  N ,    với
M    , N     .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn
vng góc chung MN của a và b được gọi là
khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.

d  a, b   MN .

TOANMATH.com

Trang 2


 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Khoảng cách từ điểm đến
đường thẳng

d  O,    OH

Khoảng cách từ điểm đến mặt

d  O,     OH

phẳng

Khoảng cách từ đường thẳng

d   ,     d  M ,   

đến mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường

d    ;      d  M ;    

M   

d  a, b   MN

thẳng chéo nhau

TOANMATH.com

Trang 3


 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Phương pháp giải
Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm O đến Ví dụ. Khối chóp S . ABC có đáy là tam giác vng
mặt phẳng  P  .

cân tại B và AB  a, SA   ABC  . Góc giữa cạnh

bên SB và mặt phẳng

 ABC 

bằng 60O . Tính

khoảng cách từ A đến  SBC  .
Hướng dẫn giải

Bước 1. Xác định hình chiếu H của O trên   .
+) Dựng mặt phẳng  P  chứa O và vuông góc với

Ta có AH  SB; AH  BC  AH   SBC 
 AH  d  A.  SBC   .

  .
+) Tìm giao tuyến   của  P  và   .
+) Kẻ OH    H    . Khi đó d  O;     OH .

Tam giác SAB vng tại A nên

Bước 2. Tính OH.
Lưu ý: Tính chất của tứ diện vng.
Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O.

 OA  OB; OB  OC; OC  OA

1
1
1
a 3
 2
 AH 
2
2
AH
SA
AB
2

và H là hình chiếu

của O trên mặt phẳng  ABC  .
Khi đó ta có

1
1
1
1



.
2
2
2
OH

OA OB OC 2

TOANMATH.com

Trang 4


 

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,cạnh bên SA vng góc với đáy. Biết

khối chóp S . ABC có thể tích bằng a 3 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  .
Hướng dẫn giải
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên BC và SI.
Ta có AI  BC ; SA  BC  AK   SBC 
 AK  d  A,  SBC   .

Ta có V  a 3 ; S ABC 

a2 3
 SA  4a 3.
4

Trong tam giác vuông SAI, ta có
1
1
1
4a 195
 2  2  AK 

.
2
65
AK
SA
AI
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình chữ nhật với AD  a 3 . Tam giác A ' AC
vng cân tại A’ và thuộc mặt phẳng vng góc với đáy. Biết rằng A ' A  a 2 . Tính khoảng cách từ D’
đến mặt phẳng  A ' ACC '
Hướng dẫn giải

Trong  A ' AC  , kẻ A ' I  AC.
Vì  A ' AC    ABCD  và  A ' AC    ABCD   AC nên A ' I   ABCD  .
Vì DD ' AA ' nên DD '   A ' ACC '  d  D ',  A ' AC    d  D,  A ' AC  

Kẻ DH  AC.
Ta có AC  A ' A 2  2a  CD  a.
Suy ra d  D,  A ' AC    DH 

a 3
.
2

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng?

TOANMATH.com

Trang 5

 
A. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng  P  bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất

kì trên mặt phẳng  P  .
B. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng  P  bằng độ dài đoạn AH với AH   P  .
C. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng  P  là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
D. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng  P  bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu

vng góc của A trên  P  .
Câu 2: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác đều cạnh a,
SA  2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng

57 a
3

A.

57a
6

B.

C.

2 57 a
3

D.

57 a
12

Câu 3: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác đều cạnh
bằng a, SA  2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  bằng

A. a

B. 2a

3a
3

C.

D.

3a
2

Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác đều cạnh
bằng a, SA  2a . Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SAB  bằng

A.

a
2

B. a

3a
4

C.

D.

3a
2

  90o , BA  BC  a; AD  2a .
Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang, 
ABC  BAD

Cạnh bên SA vng góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và  SAD  bằng 30o . Khoảng cách từ A đến

 SCD 

bằng

A. a

B. a 2

C.

a
2

D. a 3

Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác đều cạnh

bằng a, SA  2a . Gọi G là trọng tâm ABC . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SBC  bằng
A.

57 a
3

B.

57a
6

C.

2 57 a
9

D.

57 a
18

Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành với BC  a 2, 
ABC  60o . Tam giác SAB

nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  SAB  bằng
A.

a 6
2

B.

a 2
2

C. a 2

D.

2a 6
3

Câu 8: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác vuông tại B,
BC  2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  bằng

TOANMATH.com

Trang 6


 
A. a

B.

3a
2

C. 2a

D.

3a
4

Câu 9: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác vuông tại B,

AB  a, BC  2a . Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  bằng 45o . Khoảng cách từ A đến
mặt phẳng  SBC  bằng
A.

a 2
2

B.

a 3
2

C.

a 3
3

D.

a 6

3

Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác vuông tại B,

AB  a, BC  2a, SA  a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SAC 
bằng
A.

2 5a
5

B.

2 5a
15

C.

4 5a
15

D.

6 5a
5

Câu 11: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  bằng
A.

a 6

2

B.

a 3
3

C.

2a 6
3

D.

a 6
3

Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, biết khoảng cách A đến mặt phẳng  BCD  bằng a 6 . Diện tích tam

giác ABC bằng
A.

9 3a 2
4

B.

3 3a 2
4

C.

7 3a 2
4

D.

9 3a 2
2

Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình vng cạnh

a. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABCD  bằng 60o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng

 SCD 
A.

bằng
3a
4

B.

3a
2

C. a

D.

3a
6

Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình vng cạnh

a, SA  a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD  bằng
A.

3a
4

B.

2a
2

C.

21a
3

D.

21a
7

Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình chữ nhật với

AB = a, BC= 2a, SA=3a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng
A.

6a
7

TOANMATH.com

B.

3 21a
7

C.

5a
7

D.

21a
7

Trang 7


 
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có  SAB  và  SAD  cùng vng góc với mặt phẳng

 ABCD  ,

ABCD là hình vng cạnh a, SA  a 3 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SBD  bằng

3a
4

A.

2a
2

B.

21a
3

C.

21a
7

D.

Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình vng tâm

O có cạnh a. Biết góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng 60o . Khoảng cách từ O đến mặt
phẳng  SBC  bằng
3a
4

A.

3a

2

B.

C. a

3a
6

D.

Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có  SAB  và  SAD  cùng vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD
  120o , biết SC hợp với đáy một góc 45o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
là hình thoi cạnh a, BAD

 SCD 

bằng
3a
4

A.

2a
2

B.

C.

21a
3

21a
7

D.

Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a, ABCD là hình thoi

ABC  60o . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SCD  bằng
cạnh a, 
A.

3 21a
7

B.

2 21a
7

C.

21a
21

21a
7

D.

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a, SA   ABCD  và

SA  a 3 . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC  bằng
A.

a 3
2

B.

a 3
4

C.

a 2
2

D. a

Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a, SA   ABCD  và

SA  a 3 . Khoảng cách từ trong tâm G của SAB đến mặt phẳng  SAC  bằng
A.

a
2

B.

a 2
4

C.

a 2
6

D.

a 2
3

Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA   ABCD  , AC  a và

AB  a 3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  bằng
A. a 2

B. a

C.

a 3
2

D.

a 6

3

Câu 23: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góc với nhau, AB  a, AC  b, AD  c .

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  bằng

TOANMATH.com

Trang 8


 
1
1 1 1
 
a 2 b2 c2

A.

1 1 1
 
a 2 b2 c2

B.

a 2  b2  c 2

C.

1

D.

a  b2  c2
2

Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, BC  a 3, SA   ABCD  . Góc
giữa SC và mặt đáy bằng 45o . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SCD  bằng

A. a 2

B.

a 21
6

C.

2a 21
7

D. a 3

Câu 25: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABCD là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SB vng góc mặt
phẳng  ABC  và SB  2a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

 SAM  bằng
A.

a 5

5

B.

a
2

C. a 5

D.

2a 17
17

Câu 26: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vng cân tại A với AB  AC  3a . Hình chiếu
vng góc của B ' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC  2 HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng
2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  B ' AC  bằng

A.

2a
3

B. a 3

C.

3a 3
2

D.

a
2

Câu 27: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

 A ' CD  bằng
A. a 2

B.

a 3
2

C.

a
2

D.

a 2
2

Câu 28: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a, BC  2a, BB '  a 3 . Khoảng cách từ

điểm B đến mặt phẳng  ACC ' A ' bằng
A.

a 5
2

B. a

C.

2a 5
5

D. 2a

Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,
  60o , SO   ABCD  , SO  a . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC  bằng
a, BAD
A.

a
2

B.

a 3
4

C.

a 3
2

D.

cạnh

bằng

a 39
13

Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng
  60o , SO   ABCD  , SO  a . Khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng  SBC  bằng
a, BAD
A.

a
2

B.

a 3
4

C.

a 3
2

D.

a 39

13

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-D

2-B

3-D

4-C

5-A

6-D

7-A

8-C

9-A

10-B

11-D

12-A

13-B

14-D

15-A

16-D

17-A

18-D

19-C

20-B

TOANMATH.com

Trang 9


 
21-C

22-D

23-A

24-C

25-D

26-B

27-D

28-C

29-B

30-C

Lời giải chi tiết
Câu 2.

Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vng góc của A trên SM
 BC  AM
 BC   SAM    SBC    SAM  .
Ta có: 
 BC  SA
 AH   SBC   d  A;  SBC    AH .

Ta có AM 

a 3
.
2

Xét SAM vng tại A có
1
1
1
1

4
19
a 57


 2 2 
 AH 
.
2
2
2
2
AH
AS
AM
4a 3a
12a
6
Câu 3.

Do SA   ABC    SAB    ABC  .
Dựng CN  AB  CN   SAB   d  C ;  SAB    CN .
Do ABC đều cạnh a nên CN 
Vậy d  C ;  SAB   

a 3
.
2

a 3

.
2

Câu 4.

Do SA   ABC    SAB    ABC  .
Dựng CN  AB  CN   SAB   d  C ;  SAB    CN .
Do ABC đều cạnh bằng a nên CN 

a 3
.
2

Do M là trung điểm BC nên
d  M ;  SAB   

1
a 3
.
d  C ;  SAB   
2
4

Câu 5.

Gọi E là trung điểm AD.
Khi đó ABCE là hình vng cạnh a. Suy ra CE  AD .
Lại có CE  SA .
  
Do đó CE   SAD   CSE

SC ,  SAD    30o.

Lại có: SC.sin 30o  CE  a  SC  2a.
TOANMATH.com

Trang 10