(Luận văn thạc sĩ) Đường tròn Lester và một số vấn đề liên quan

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✭❜✮ P❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ (O, R) ❜✐➳♥ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ð tr♦♥❣ (O, R) t❤➔♥❤ ♥❤ú♥❣
✤✐➸♠ ð ♥❣♦➔✐ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❍➻♥❤ ✶✳✶ ❛✮✱ ❜✮✳
✭❝✮ P ✈➔ Q ✤è✐ ①ù♥❣ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ q✉❛ (O, R) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♠å✐ ✤÷í♥❣ trá♥ C ✤✐ q✉❛ P ✱ trü❝
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✭❞✮ ❚r♦♥❣ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥✱ (O, R) ❧➔ ❤➻♥❤ ❦➨♣ t✉②➺t ✤è✐✳ ▼å✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣
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✭❡✮ P❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜✐➳♥ ♠å✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤✐ q✉❛ O t❤➔♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

❦❤ỉ♥❣ ✤✐ q✉❛ O✱ ❜✐➳♥ ♠å✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐ q✉❛ O t❤➔♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤✐ q✉❛ O
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✻

❍➻♥❤ ✶✳✷✿

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A , B
2

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AB =
AB =

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ỵ A, B, C ❦❤ỉ♥❣ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣ ❝â A , B , C

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q✉❛ (O, R). ❑❤✐ ✤â ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ∆A B C ❧➔ ↔♥❤ ✤è✐ ①ù♥❣ ừ ữớ trỏ
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ỵ P ố ự q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜↔♦ t♦➔♥ t✛ sè ❦➨♣ ❝õ❛ ✹ ✤✐➸♠

✶✳✷ ❚å❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t
❚å❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✤➣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤✐ t✐➳t tr♦♥❣ ❬✻❪✳ Ð ✤➙② ❝❤ó♥❣ tỉ✐
❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝➛♥ t❤✐➳t ✤➸ sû ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❝❤÷ì♥❣ ✷ ✈➔ ❝❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè t➼♥❤
t♦→♥ s➩ ✤÷đ❝ ❧➔♠ ❝❤✐ t✐➳t ❤ì♥ ✤➸ ❧➔♠ q ợ ữỡ tồ ở

t ❝❤➜t
❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝è ✤à♥❤ ❝♦✐ ∆ABC ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ỡ s ỵ XY Z t
số ❝õ❛ ∆XY Z t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❣✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ XY Z ❜➡♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ∆XY Z ✈➔ ♠❛♥❣ ❞➜✉



ữỡ ữợ X, Y, Z q ữủ ỗ ỗ X, Y, Z
t ữợ ữủ õ

ồ ABC t ỡ s ữợ A, B, C ữủ ỗ
ỗ ồ ở rtr ừ ✤✐➸♠ M ✤è✐ ✈ỵ✐ ∆ABC ❧➔ ❜ë ❜❛ sè (x : y : z) s❛♦ ❝❤♦
x : y : z = M BC : M CA : M AB.

❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② ♥➳✉ M = (x : y : z) t❤➻ ❝ô♥❣ ❝â M = (kx : ky : kz)✱ k = 0

❇→❝❤ ❦❤♦❛ t♦➔♥ t❤÷ ✈➲ ❝→❝ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✭❊♥❝②❝❧♦♣❡❞✐❛ ♦❢ ❚r✐❛♥❣❧❡ ❈❡♥t❡rs✱

✈✐➳t t➢t✿ ❊❚❈✮ ❧➔ ♠ët tø ✤✐➸♥ trü❝ t✉②➳♥ ✈➲ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❚ø ✤✐➸♥
♥➔② ❞♦ ❈❧❛r❦ ❑✐♠❜❡r✐♥❣✱ ♠ët ❣✐→♦ s÷ t♦→♥ ❤å❝ tr÷í♥❣ ✤↕✐ ❤å❝ ❊✈❛♥s✈✐❧❧❡ ❝❤õ ❜✐➯♥✱ ❬✺❪✳
❈→❝ ✤✐➸♠ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❝á♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❚➼♥❤ ✤➳♥
♥❣➔② ✶✷ t❤→♥❣ ✸ ♥➠♠ ✷✵✶✼✱ ✤➣ ❝â ❤ì♥ ✶✻✵✵ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ✤÷đ❝ ❧✐➺t ❦➯ tr♦♥❣ ❬✺❪✳ ▼é✐
t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ✤÷đ❝ ❣→♥ ♥❤➣♥ X(n)✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✱ X(1) ❧➔ t➙♠ ■ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✱ X(4)
❧➔ trü❝ t➙♠✳ ❈→❝ t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➲ ộ ỗ tồ ở t t t trr tå❛
✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ✈➔ ♥❤ú♥❣ t❤ỉ♥❣ t✐♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♥❤÷✿ ♥➡♠ tr ữớ t
ữ t ợ ✤✐➸♠ ❦❤→❝✳✳✳ ▼é✐ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ tr♦♥❣ tø ✤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❣→♥ ♠ët t➯♥ ❞✉②
♥❤➜t✱ tr♦♥❣ ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t t➯♥ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♥➔② ✤÷đ❝ ❣→♥ t❤❡♦ t➯♥ ❝õ❛
♥❣÷í✐ ♣❤→t ❤✐➺♥ ❤♦➦❝ ✤➦t t❤❡♦ t➯♥ ❝õ❛ ♠ët ♥❣ỉ✐ s tr trớ ợ t t ử
X(770) ữủ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❆❝❛♠❛r✳ ❆❝❛♠❛r ❝á♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❚❤❡t❛ ❊r✐❞❛♥✐✱ ❧➔ ♠ët ❤➺ s❛♦

♥❤à ♣❤➙♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝❤á♠ s❛♦ ❊r✐❞❛♥✉s✳ ◆❣÷í✐ t❛ ❝❤♦ r➡♥❣ ❆❝❛♠❛r t÷đ♥❣ tr÷♥❣ ❝❤♦ sü
❦➳t t❤ó❝ ❝õ❛ ❞á♥❣ sỉ♥❣ t❤✐➯♥ t❤➸ ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ ♠ët ♥❣ỉ✐ s❛♦ s→♥❣ ❤ì♥ ❝â ❆❝❤❡r♥❛r ✤÷đ❝
♣❤→t ❤✐➺♥✳ ❈❤♦ t❛♠ ABC, ữ tổ tữớ ỵ G, I, O, H, OA , OB , OC ❧➛♥ ❧÷đt
❧➔ trå♥❣ t➙♠✱ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✱ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣✱ trü❝ t➙♠✱ t➙♠ ✤÷í♥❣
trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❣â❝ A, B, C. ❑❤✐ ✤â✿

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ❚❛ ❝â tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝õ❛ ♠ët sè ✤✐➸♠ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✿
• I = (a : b : c) ≡ X (1) ,
• G = (1 : 1 : 1) ≡ X (2) ,
• O = (sin 2A : sin 2B : sin 2C) = (a2 (b2 + c2 − a2 ) : ... : ...) ≡ X(3),
• OA = (−a : b : c) ; Ob = (a : −b : c) ; OC = (a : b : −c) ,
1
• H = (tan A : tan B : tan C) = 2
: ... : ... ≡ X (4) .

b + c 2 − a2


✽

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ BC ❝â tå❛ ✤ë ❞↕♥❣ (0 : y : z)✳ ❚÷ì♥❣ tü ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥
CA, AB ❧➛♥ ❧÷đt ❝â tå❛ ✤ë (x : 0 : z), (x : y : 0)✳ ❑❤✐ M = (x : y : z) ♠➔ x + y + z = 0 t❛ t❤✉
x
y
z
:
:
✤÷đ❝ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ M :
✳
x+y+z x+y+z x+y+z
✲ ◆➳✉ x + y + z = 1 t❤➻ (X : Y : Z) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ M ✳

✲ ◆➳✉ P (u : v : w), Q(u , v , w ) t❤ä❛ ♠➣♥ u + v + w = u + v + w t❤➻ ✤✐➸♠ X ❝❤✐❛ P Q t❤❡♦
t✛ sè P X : XQ = p : q ❝â tå❛ ✤ë ❧➔ (qu + pu : qv + pv : qw + pw )✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✸✳ ❚➻♠ tå❛ ✤ë ❝→❝ ✤✐➸♠ V, V ✱ t➙♠ ✈à tü tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐
t✐➳♣ ∆ABC ✳
▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝â V, V ❝❤✐❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ✤♦↕♥ OI ✱ ✈➔ ❞➵ t❤➜② ❝→❝ t✛ sè
abc σ
abcs
a+b+c
R
=
:
= 2 , tr♦♥❣ ✤â σ = 2SABC ✈➔ s =

.
r
2σ 2s
σ
2
❱➻ O = a2 b2 + c2 − a2 : b2 c2 + a2 − b2 : c2 a2 + c2 − b2 ✈ỵ✐ tê♥❣ ❝→❝ tå❛ ✤ë ❜➡♥❣
4σ 2 ✈➔ I = (a : b : c) = 2σ 2 a : 2σ 2 b : 2σ 2 c ❚❛ ✈✐➳t tå❛ ✤ë ❝õ❛ O ✈➔ I ❧➔
O = sa2 b2 + c2 − a2 : sb2 c2 + a2 − b2 : sc2 a2 + c2 − b2

,

I = 2σ 2 a : 2σ 2 b : 2σ 2 c

t❤ä❛ ♠➣♥ tê♥❣ ❝→❝ tå❛ ✤ë ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝→❝❤ t➼♥❤ tr➯♥ ✈ỵ✐
OV
R
=
t❛ ❝â tå❛ ✤ë ❝õ❛ V ❧➔ (σ 2 .sa2 (b2 + c2 − a2 ) + abcs.2σ 2 a : ... : ...).
VI
r

❘ót ❣å♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝✿

σ 2 .sa2 b2 + c2 − a2 + abcs.2σ 2 a = sσ 2 a2 b2 + c2 − a2 + 2bc = sσ 2 a2 (b + c)2 − a2
= sσ 2 a2 (b + c + a) (b + c − a) .

❱➟② t➙♠ ✈à tü tr♦♥❣ V = a2 (b + c − a) : b2 (a + c − b) : c2 (a + b − c) ❚÷ì♥❣ tü t➙♠ ✈à
tü ♥❣♦➔✐✿ V =

a2

b2
c2
:
:
b+c−a c+a−b a+b−c

❚r♦♥❣ ❬✺❪ V X(55), V = X(56). ú ỵ r tt ♥➔② s➩ ✤÷đ❝ ❧➦♣ ❧↕✐ tr♦♥❣ ♠ët
sè ♥ë✐ ❞✉♥❣ ð ❈❤÷ì♥❣ ✷✳

❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✹✳ ❚å❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝õ❛ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠
O9 = (a cos (B − C) : b cos (C − A) : c cos (A − B)) ≡ X (5)

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣â ❧➔ ❞♦ t❛ ❝â tỵ số OO9 : O9 G = 3 : 1 ❍❛✐ ✤✐➸♠ P, Q ✭❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ð

tr➯♥ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ✤➥♥❣ ❝ü ♥➳✉ ❝→❝ ✈➳t t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ✤è✐
①ù♥❣ q✉❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝↕♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ◆❤÷ ✈➟②✱BAp = AQ C, CBp = BQ A, ACp = CQ B ✳



s ỵ ỹ ừ P P ∗ t❤➻ ❦❤✐ ✤â P (x : y : z) ⇔ P ∗

1 1 1
: :
x y z

. ❍❛✐

✤✐➸♠ ●❡r❣♦♥❡ Ge ✈➔ ◆❛❣❡❧ Na ❧➔ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❤❛✐ ỹ

ổ tự

ỵ = 2SABC ✭❤❛✐ ❧➛♥ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ∆ABC ✮✱ ✈ỵ✐ θ ∈ R✱ ✤➦t σθ = σ. cot θ✳ ❑❤✐ ✤â
σA =

b2 + c2 − a2
c 2 + a2 − b 2
a2 + b 2 − c 2
, σB =
, σC =
.
2
2
2

b 2 + c 2 − a2
abc cos A
❈❤➥♥❣ ❤↕♥✿ σA = 2SABC . cot A = 2. .
=
✳
4R sin A
2
❱ỵ✐ θ, tũ ỵ t tr t ✤➦t σθϕ = σθ .σϕ ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ ✭❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ σ, σθ ✮
✭❛✮ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ σ, σA , σB , σC q✉❛ ❛✱❜✱❝
σ = bc sin A = ac sin B = ab sin C,
b 2 + c 2 − a2
σA = bc cos A =
,
22
2

2
c +a −b
σB = ca cos B =
,
2
a2 + b 2 − c 2
σC = ab cos C =
,
22
2
a + b + c2
(b) σA + σB + σC =
2
(c) σB + σC = a2 , σC + σA = b2 , σA + σB = c2 ,
(d) σAB + σBC + σCA = σ 2 .

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➲✉ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐✳ ❱➻
A + B + C = 1800 ♥➯♥ cot (A + B + C) ❧➔ ∞✳ ▼➝✉ sè ❝õ❛ ♥â ❜➡♥❣ cot A cot B + cot B cot C +
cot C cot A − 1 = 0✳ ❚ø ✤â✱ σAB + σBC + σCA = σ 2 (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A)
σAB + σBC + σCA = σ 2 ✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✺✳ ❚å❛ ✤ë trü❝ t➙♠ H ✈➔ t➙♠ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ O t❤❡♦
✲❚å❛ ✤ë trü❝ t➙♠ H(
✤✐➸♠ H ❧➔ σ 2 ✳

1
1
1
:
:

) ❤❛② (σBC : σCA : σAB ) t❛ ❝â ♥❣❛② tê♥❣ ❝→❝ tå❛ ✤ë ❝õ❛
σA σB σC

✲❚å❛ ✤ë t➙♠ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ O(a2 σA : b2 σB : c2 σC ) = (σA (σB + σC ) : σB (σC + σA ) : σC (σB + σA ))
✈ỵ✐ ❝→❝❤ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥➔②✱ tê♥❣ ❝→❝ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ✤✐➸♠ O ❜➡♥❣ 2σ 2 ✳


✶✵

❍➻♥❤ ✶✳✸✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✳ ✭❈ỉ♥❣ t❤ù❝ ❈♦♥✇❛②✮

❈ỉ♥❣ t❤ù❝ ❈♦♥✇❛②
❱ỵ✐ ♠å✐ P ừ t AB ỵ

CBP = θ, BCP = ϕ t❤➻ t❛ ❝â✿
p = −a2 : σϕ + σC : σθ + σB

✭✶✳✶✮

π π
❈→❝ ❣â❝ θ, ϕ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (− ; ) ✈➔ ❣â❝ θ ❞÷ì♥❣ ❤❛② ➙♠ tị② t❤❡♦ ❝→❝ ❣â❝ CBP ✈➔
2 2
CBA ữợ ũ ữợ

ự õ
−→
CP.CA. sin CA, CP
P AB

=
−→ −−→
P BC
CP.CB sin CP , CB

❚÷ì♥❣ tü✱

=−

b sin (C + ϕ)
a sin ϕ

P AB
c sin (B + θ)
=−
✳ ❚ø ✤â s✉② r❛✿
a sin θ
P BC
P = P BC : P CA : P AB
=

P BC : −

=

−1 :

B sin (C + ϕ)
c sin (B + θ)
.P BC : −

.P BC
a sin ϕ
a sin θ

B sin (C + ϕ) c sin (B + θ)
:
a sin ϕ
a sin θ

= −a2 : ab sin C cot ϕ + ab cos C : ac sin B cot θ + ac cos B
= −a2 : σϕ + σC : σθ + σB .


✶✶
❈ỉ♥❣ t❤ù❝ ❈♦♥✇❛② ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❍➻♥❤ ✶✳✹✿

❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✻

❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✻✳ ❳➨t ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ BCX1X2 ❞ü♥❣ tr➯♥ ❝↕♥❤ BC r❛ ♣❤➼❛ ♥❣♦➔✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱
❤➻♥❤ ✶✳✹
π
π
, BCX1 = ♥➯♥ →♣ ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✮ t❛ ❝â✿
4
2
: σB + σ450 = −a2 : σC : σB + σ ✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ X2 = −a2 : σC + σ : σB ✳

❚❛ ❝â ❝→❝ ❣â❝ CBX1 =

X1 = −a2 : σC + σ900

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû X, Y, Z ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♠➔ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ t ữủ

X=

:y:z

X=x:

:z

X=x:y:

ữớ t AX, BY, CZ ỗ q t↕✐ ✤✐➸♠ P = (x : y : z)✳


✶✷
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐❛♦ ❝õ❛ AX ✈➔ BG ❧➔ ✈➳t ❝õ❛ X tr➯♥ BC ✱ ✤â ❧➔ ✤✐➸♠ (0 : y : z) ữỡ

tỹ ừ BY ợ CA CZ ợ AB tữỡ ự (x : 0 : z) ✈➔ (x : y : 0)✳ ❈→❝
✤✐➸♠ ✈➳t ❝õ❛ ✤✐➸♠ P = (x : y : z)✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② t❛ ♥â✐ ∆XY Z ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ✈ỵ✐ ∆ABC ✈➔ P ❧➔ t➙♠ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❝õ❛
∆XY Z ✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✼✳ ❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ BCX ❞ü♥❣ tr➯♥ ❝↕♥❤ ❇❈ r❛ ♣❤➼❛ ♥❣♦➔✐ ∆ABC
1
3

❚❛ ❝â ❝→❝ ❣â❝ CBX = BCX = 600 ❱➻ cot 600 = √ ✱ ♥➯♥ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✮ t❤➻ t❛ ❝â

X=

❈❤✐❛ ❝↔ ✸ tå❛ ✤ë ❝❤♦
X=

σ
σB + √
3

σ
σ
−a2 : σC + √ : σB + √
3
3
σ
σC + √ ✱ ❝â t❤➸ ✈✐➳t X ❞↕♥❣
3

−a2
σ
σB + √
3

σ
σC + √
3

:

1

σ
σB + √
3

:

1
σ
σC + √
3

✭✶✳✷✮

❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ✈✐➳t ữủ tồ ở ừ Y Z ự ợ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ CAY ✈➔ ABZ ✿

❍➻♥❤ ✶✳✺✿

❍❛✐ ✤✐➸♠ ❚♦rr✐❝❡❧❧✐✲❋❡r♠❛t


✶✸



Y =



1

σ :
σA + √
3

:

1


Z=



✭✶✳✸✮



σ 
σC + √
3


1

1
σ :
σ :
σA + √
σB + √
3

3

✭✶✳✹✮


.

❚ø ✤➙② t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ r➡♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ∆XY Z t↕♦ ❜ð✐ ❜❛ ✤➾♥❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❞ü♥❣
tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ∆ABC ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ✈ỵ✐ t➙♠ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❧➔ ✤✐➸♠
1
σA +

T =

√σ
3

:

1
σB +

√σ
3

:

1
σC +

√σ
3

❤❛②
T =

1
1
1
√
:√
:√
3σA + σ
3σB + σ
3σC + σ

.

✭✶✳✺✮

◆➳✉ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❞ü♥❣ tr tr t ỵ tữỡ tü ♥❤÷
tr➯♥ t❛ ❝â t➙♠ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ t❤ù ❤❛✐
T =

√

1
3σA − σ

:√

1

1
:√
3σB − σ
3σC − σ

.

✭✶✳✻✮

T, T ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t F+ , F− s➩ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ð ♣❤➛♥ s❛✉✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❤ì♥ t❛

①➨t t❛♠ ❣✐→❝ Y CA ✈ỵ✐ ❣â❝ ð ✤→② Y CA = Y AC = θ✳ ✣➾♥❤ Y s➩ ❝â tå❛ ✤ë
σC + σθ : −b2 : σA + σθ

◆➳✉ t÷ì♥❣ tü t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥ XBC ✈➔ ZAB ✈ỵ✐ ❝↕♥❤ ✤→② ừ
t ợ ũ ữợ t ữớ t AX, BY, CZ ỗ q t
K (θ) =

1
1
1
:
:
σA + σθ σB + σθ σC + σθ

.

❚❛ ❣å✐ t❛♠ ❣✐→❝ XY Z ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❑✐❡♣❡rt ✈➔ K(θ) ❧➔ t➙♠ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❑✐❡♣❡rt t❤❛♠ sè θ

❱➼ ❞ö ỵ ờ t ừ ✤à♥❤ r➡♥❣✿✧ ❇❛
t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❞ü♥❣ tr➯♥ ❜❛ ❝↕♥❤ t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♥➔②
π
✤÷đ❝ ❝♦✐ ❧➔ ✤➾♥❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥ ❞ü♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ✈ỵ✐ ❣â❝ ð ✤→② ❜➡♥❣ ✳ ❈❤ó♥❣ ❝❤♦
6


✶✹
π
✱ ❤❛②
6
1
1
1
√ :
√ :
√
N1 =
σA + 3σ σB + 3σ σC + 3σ

t➙♠ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❑✐❡♣❡rt K

.

✣â ❧➔ ✤✐➸♠ ◆❛♣♦❧❡♦♥ ✭❞÷ì♥❣✮✳ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â ✤✐➸♠ ◆❛♣♦❧❡♦♥ ✭➙♠✮
1
1
1

√ :
√ :
√
σA − 3σ σB − 3σ σC − 3σ

N2 =

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠✳
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ✷ ✤✐➸♠ (x1 : y2 : z2 ), (x2 : y2 : z2 )
x y z
x1 y1 z1

= 0 ⇔ (y1 z2 − y2 z1 )x + (z1 x2 − z2 x1 )y + (x1 y2 − x2 y1 )z = 0.

x2 y2 z2

❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✾✳ ▼ët sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✿
✲ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ x = 0, y = 0, z = 0.
✲ ❚r✉♥❣ trü❝ ❝↕♥❤ BC ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ t➙♠ O a2 σA : b2 σB : c2 σC

✈ỵ✐ tr✉♥❣ ✤✐➸♠

I(0 : 1 : 1) ♥➯♥ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ b2 σB − c2 σC x − a2 σA y + a2 σA z = 0.

❱➻ b2 σB − c2 σC = .... = σA (σB − σC ) = −σA b2 − c2

♥➯♥ b2 − c2 x + a2 (y − z) = 0

✲ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❊✉❧❡r ❧➔ ✤÷í♥❣ ♥è✐ trå♥❣ t➙♠ G(1 : 1 : 1) ✈ỵ✐ trü❝ t➙♠ H (σBC : σCA : σAB )
x

1

y
1

z
1

= 0, ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ✤à♥❤ t❤ù❝ t❛ ✤÷đ❝✳

σBC σCA σAB
(σAB − σCA ) x + (σBC − σAB ) y + (σCA − σBC ) z = 0.

❈â t❤➸ ✈✐➳t t➢t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❊✉❧❡r t❤➔♥❤✿

σA (σB − σC ) x = 0. ✲ ❚÷ì♥❣

tü ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❖■ ♥è✐ ✤✐➸♠ O a2 σA : b2 σB : c2 σC ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ I(a : b : c) ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
bc (bσB − cσC ) x =

b2 cσB − c2 bσC x = 0. ❱➻ (bσB − cσC ) = ... = −2 (b − c) s (s − a)✱

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ trð t❤➔♥❤

bc (b − c) s (s − a) x = 0 ❤❛②

(b − c) (s − a)
x =0.
a

✣✐➸♠ ✈ỉ t➟♥ ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣✳
✣✐➸♠ (x0 : y0 : z0 ) ❧➔ ✤✐➸♠ ✈æ t➟♥✱ ♥➳✉ ♥â ❦❤æ♥❣ ❝â tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ t✉②➺t ✤è✐✱ tù❝
❧➔ x0 + y0 + z0 = 0✳ ❚❛ t❤➜② t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✈æ t➟♥ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ L∞ ✱ ❝â
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x + y + z = 0.


✶✺

❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✶✵✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ ✈ỉ t➟♥ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ✤✐ q✉❛ ❆ ❧➔✿
(0 : σC : σB ) − a2 (1 : 0 : 0) = a2 : σC : σB .

❚ê♥❣ q✉→t✱ ✤✐➸♠ ✈ỉ t➟♥ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ px + qy + rz = 0 ❧➔ (q − r : r − p : p − q).

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✶✳ ✣✐➸♠ ✈ỉ t➟♥ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❊✉❧❡r ❧➔
3 (σBC : σCA : σAB ) − σ 2 (1 : 1 : 1) .

✭✶✳✼✮

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥➔② ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
(σAB − σCA )x + (σBC − σAB )y + (σCA − σBC )z = 0

♥➯♥ ♥â ❝â ✤✐➸♠ ✈æ t➟♥ ❧➔✿
(σBC − σAB − (σCA − σBC )) : (σCA − σBC − (σAB − σCA )) : (σAB − σCA − (σBC − σAB )) ❤❛②
−(2σBC − σAB − σCA : 2σCA − σBC − σAB : 2σAB − σCA − σBC ) =
= (3σBC − σ 2 : 3σCA − σ 2 : 3σAB − σ 2 ) = = 3(σBC : σCA : σAB ) − σ 2 (1 : 1 : 1)✳

❈→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ❝â ❝ị♥❣ ✤✐➸♠ ✈ỉ t➟♥✳ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ P (u : v : w)
s s ợ ữớ t❤➥♥❣ L : px + qy + rz = 0✱ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳
q−r

r−p

p−q

u

v

w

x

y

z

= 0.

✭✶✳✽✮

●✐❛♦ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣
❚❛ ❝â ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ p1 x + q1 y + r1 z = 0 ✈➔ p2 x + q2 y + r2 z = 0 ❧➔ ✤✐➸♠
q1 r1
q2 r2

:

r1 p1
r2 p2

:

p1 q1
p2 q2

✳ ✣✐➸♠ ✈ỉ t➟♥ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ L ❧➔ ừ õ ợ ữớ

t L õ ữỡ tr x + y + z = 0✳ ❈→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ pi x + qi y + ri z = 0 ỗ q✉②
❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
p1 q1 r1
p2 q2 r2

= 0.

p3 q3 r3

✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝✳
❈❤♦ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ L : px + qy + rz = 0✳ ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤✐➸♠ ✈æ t tr ữớ t
ổ õ ợ L L CA = Y (−r : 0 : p); L ∩ AB = Z(q : −p : 0)✳ ✣➸ t➻♠ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣


✶✻
✈✉æ♥❣ ❣â❝ tø A ①✉è♥❣ L✱ ✤➛✉ t✐➯♥ t❛ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✷ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✿ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛
Y ✱ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ AB ✈➔ q✉❛ Z ✱ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ CA✳ ✣â ❧➔✿
σB

σA − c2

−r

0

x

y

p

σB − b2
= 0 ✈➔

z

σA

q

−p

0

x

y

z

= 0.

❚➼♥❤ ✤à♥❤ t❤ù❝ t❛ ❝â ✷ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

σA px + c2 r − σB p y + σA rz = 0
σA px + σA qy + b2 q − σC p z = 0.

❍❛✐ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ♥➔② ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ✤✐➸♠ trü❝ t➙♠ ∆AY Z ✱ ❝â tå❛ ✤ë
X = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ : σA p(σA r − b2 q + σC p) : σA p(σA q + σB p − c2 r
= (∗ ∗ ∗ ∗ ∗ : σC (p − q) − σA (q − r) : σA (q − r) − σB (r − p)).

✣÷í♥❣ t q A ổ õ ợ AX õ ữỡ tr
1

0



C (p − q) − σA (q − r)

x

y

0
σA (q − r) − σB (r − p)

=0

z

❤❛② − (σA (q − r) − σB (r − p)) y + ( σC (p − q) − σA (q − r) z = 0✳ ◆â ❝â ✤✐➸♠ ✈æ t➟♥ ❧➔
σB (r − p) − σC (p − q) : σC (p − q) − σA (q − r) : σA (q − r) B (r p)

ú ỵ r ổ t ❝õ❛ L ❧➔ (q − r : r − p : p − q).

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✹✳ ◆➳✉ L ❝â ✤✐➸♠ ✈ỉ t➟♥ (f : g : h) t❤➻ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ L ❝â ✤✐➸♠ ✈ỉ
t➟♥ (f : g : h ) = (σB g − σC h : σC h − σA f : σA f − σB g) .

▼➺♥❤ ✤➲ ❝â t❤➸ ❤✐➸✉ t❤❡♦ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✱ ❤❛✐ ữớ t ợ ổ t (f : g : h)
✈➔ (f : g : h ) s➩ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ♥❤❛✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ σA f f + σB gg + σC hh = 0.
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥✳
✲P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ∆ABC ❧➔ a2 yz + b2 zx + c2 xy = 0.
✲ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤➨♣ ✈à tü t➙♠ G✱ t➾
1
2

sè − ❜✐➳♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❤➔♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ ◆➳✉ P (x : y : z) ❧➔ ✤✐➸♠


✶✼
tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠ t❤➻✿
Q = 3G − 2P = (x + y + z) (1 : 1 : 1) − 2 (x : y : z)
= (y + z − x : z + x − y : x + y − z)

t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣✱ tù❝ ❧➔
a2 (z + x − y) (x + y − z) + b2 (x + y − z) (y + z − x) + c2 (y + z − x) (z + x − y) = 0✳

❘ót ❣å♥ ❧↕✐ t❤❡♦ ỵ t õ ữỡ tr ữớ trỏ
a2 − b2 − c2 x2 + 2a2 ❤❛②

a2 x2 − y 2 + 2yz − z 2 =

σA x2 − a2 yz = 0. P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ C ❧➔ a2 yz + b2 zx + c2 xy + (x + y + z) (px + qy + rz) = 0 tr♦♥❣ ✤â✱
p, q, r ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ữỡ t ừ A, B, C ợ ữớ trỏ C ❤❛② px + qy + rz = 0 ❧➔ trö❝

✤➥♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ C ✈➔ ❞÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ (ABC)✳ ✣÷í♥❣ trá♥ ♥➔② ❝â t➙♠ ❧➔ ✤✐➸♠
(α : β : γ) ✈ỵ✐
α = a2 σA + σB (r − p) − σC (p − q)
β = b2 σB + σC (p − q) − σA (r − p)
γ = c2 σC + σA (q − r) − σB (r − p) .
a2 b2 c2 − 2 a2 σA p + b2 σB q + c2 σC r + ξ
.
4σ 2
❱ỵ✐ ξ = σA (q − r)2 + σB (r − p)2 + σC (p − q)2 ✳

❇→♥ ❦➼♥❤ ρ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ρ2 =

✣÷í♥❣ trá♥ t➙♠ (u : v : w) ❜→♥ ❦➼♥❤ ρ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
a2 yz + b2 zx + c2 xy − (x + y + z)

c2 v 2 + 2σA vw + b2 w2
(u + v + w)2

.

❍❛✐ ✤✐➸♠ P (x1 : y1 : z1 ) , Q (x2 : y2 : z2 ) ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✤➥♥❣ ợ tỗ
t số K ∈ R∗ ✤➸ ❝â x1 x2 = ka2 ; y1 y2 = kb2 ; z1 z2 = kc2 ✳
❉✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝✳
●✐↔ sû P (p1 : p2 : p3 ) , Q (q1 : q2 : q3 ) , R (r1 : r2 : r3 ) ❝â tå❛ ❞ë t✛ ❝ü ❝❤✉➞♥ ❤â❛ t❤❡♦ t❛♠
❣✐→❝ ABC ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â✿
p1 q1 r1

P QR =

p2 q2 r2 .ABC
p3 q3 r3

✭✶✳✾✮


✶✽
−→
−→
−−→
−→ −→
−→
−−→
−→
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ O, OP = p1 OA + p2 OB + p3 OC; OQ = q1 OA + q2 OB + q3 OC
−→
−→
−−→
−→
−→
tø ✤â✳ P Q = (q1 − p1 ) OA + (q2 − p2 ) OB + (q3 − p3 ) OC ❧➜② O trị♥❣ ✈ỵ✐ C t❛ ❝â P Q =
−→
−−→
−→
−→
−−→
(q1 − p1 )CA + (q2 − p2 )CB t÷ì♥❣ tü P R = (r1 − q1 ) CA + (r2 − q2 ) CB t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ P QR =
−→ −−→ 1

−−→ −→
1 −→ −→ 1
1 −→ −−→
P Q ∧ P R = (q1 − p1 ) CA ∧ CB + (q2 − p2 ) (r1 − p2 ) CB ∧ CA ❱➻ ABC = CA ∧ CB =
2
2
2
2
1 −−→ −→
− CB ∧ CA ♥➯♥ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝ P QR = ((q1 − p1 ) (r2 − p2 ) − (q2 − p2 ) (r1 − p1 )) ABC. ❙❛✉
2
❦❤✐ ♥❤➙♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tr♦♥❣ ♥❣♦➦❝ ✈✉ỉ♥❣ ✈ỵ✐ r1 + r2 + r3 = 1✱ ❜✐➸✉ t❤ù❝ t❤ù ❤❛✐ tr♦♥❣ ♥❣♦➦❝

✈✉ỉ♥❣ ✈ỵ✐ p1 + p2 + p3 = 1✱ ❜✐➸✉ t❤ù❝ t❤ù ❜❛ tr♦♥❣ ♥❣♦➦❝ ✈✉ỉ♥❣ ✈ỵ✐ q1 + q2 + q3 = 1 t❛
✤÷đ❝ ✭✶✳✾✮


✶✾

❈❤÷ì♥❣ ✷

✣✐➸♠ ❚♦rr✐❝❡❧❧✐✲❋❡r♠❛t ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥
▲❡st❡r
✷✳✶ ✣✐➸♠ ❚♦rr✐❝❡❧❧✐ ✲ ❋❡r♠❛t
✷✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t
❚r➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❝õ❛ ∆ABC t❛ ✈➩ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC1 , BCA1 , ACB1 ✈➔
❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ∆ABC1 , ∆BCA1 , ∆ACB1 ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚♦rr✐❝❡❧❧✐✱
❤➻♥❤

ỵ rr ữớ trỏ rr ỗ q t ởt

ự ữớ trỏ t✐➳♣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ACB1 , BCA1 ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ởt

ỵ F õ AF C = 1200 ✈➟② AF B = 3600 − 2400 = 1200 ✳ ❚❛ s✉② r❛ ✤✐➸♠ F
t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ trá♥ (ABC1 )✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ●✐❛♦ ✤✐➸♠ F ❝õ❛ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚♦rr✐❝❡❧❧✐ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤÷đ❝
❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❚♦r✐❝❡❧❧✐✲❋❡r♠❛t ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

❇➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♠➔ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤❛♥❣ ①❡♠ t t ỗ tứ ởt tữ rt
ỷ t ồ ữớ ị rr r tữ ổ tr❛♦ ✤ê✐ ✈ỵ✐ ❚♦rr✐❝❡❧❧✐ ✈➲ ❜➔✐
t♦→♥ t➻♠ ♠ët ✤✐➸♠ ♠➔ ❝â tê♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ✤â ✤➳♥ ❜❛ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔
♥❤ä ♥❤➜t✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➣ ✤÷đ❝ rr ồ õ ỵ ♥❛② ❝â ♥❣÷í✐
❣å✐ ✤✐➸♠ ✤â ❧➔ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t✱ ❝â ♥❣÷í✐ t❤➻ ❣å✐ ♥â ❧➔ ✤✐➸♠ ❚♦rr✐❝❡❧❧✐✳ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②
t❛ s➩ ❣å✐ ✤â ❧➔ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ F ✳


✷✵

❍➻♥❤ ✷✳✶✿ ❍❛✐ ✤✐➸♠ ❚♦rr✐❝❡❧❧✐✲❋❡r♠❛t

●✐↔ sû t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❣â❝ A ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳ ❑❤✐ ✤â✱ tị② t❤❡♦ ✤ë ❧ỵ♥ ❝õ❛ ❣â❝ A ✤✐➸♠
❋❡r♠❛t ❝â t❤➸ ❝â ✶ tr♦♥❣ ✸ ✈à tr➼ s❛✉✿
✐✳ A < 1200 ✿ ✤✐➸♠ F ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝
✐✐✳ A = 1200 ✿ ✤✐➸♠ F trò♥❣ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ A
✐✐✐✳A > 1200 ✿ ✤✐➸♠ F ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ t❛♠ ❣✐→❝✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû ✤➣ ❞ü♥❣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ BCA1, CAB1, ABC1 ♥❤÷ tr➯♥✳❑❤✐ ✤â
❜❛ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ BB1 , CC1 , AA1 ỗ q t rt ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû F ❧➔ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ F t❤➥♥❣ ❤➔♥❣ ✈ỵ✐ B, B1 ✳ ❚❤➟t

✈➟②✱ ❣â❝ BF C = 1200 , B1 F C = B1 AC = 600 ♥➯♥ BF B1 = 1800 ❜❛ ✤✐➸♠ B, F, B1 t❤➥♥❣
❤➔♥❣✳ ❚÷ì♥❣ tü ❝→❝ ❜ë ❜❛ A, F, A1 , C, F, C1 t❤➥♥❣ AA1 , BB1 , CC1 ỗ
q t ✤✐➸♠ F ✳
❚ø t➼♥❤ ❝❤➜t tr➯♥ t❛ ❝â ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t F ✤ì♥ ❣✐↔♥ ♥❤÷ s❛✉✿
✲ ❱➩ t✐❛ Bx t↕♦ ✈ỵ✐ BA ❣â❝ 600 ✱ tr➯♥ Bx ❧➜② C1 s❛♦ ❝❤♦ BC1 = AB


✷✶
✲ ❱➩ t✐❛ Cy t↕♦ ✈ỵ✐ CA ❣â❝ 600 ✱ tr➯♥ Cy ❧➜② B1 s❛♦ ❝❤♦ CB1 = AC
✲ ❉ü♥❣ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ BB1 ✈ỵ✐ CC1 ✤â ❧➔ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t F ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✸✳ ●✐↔ sû ✤➣ ❞ü♥❣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ BCA1, CAB1, ABC1 ♥❤÷ tr➯♥✳ ❑❤✐ ✤â
t❛ ❝â AA1 = BB1 = CC1 ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◗✉❛♥ s→t ❤➻♥❤ ✷✳✶ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣ ∆BAB1 = ∆CAC1 ✈➻ AB1 = AC, AB =
AC1 ✱ BAB1 = 600 + BAC = CAC1 ✳ ❚❛ s✉② r❛ BB1 = CC1 ✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ ∆ACA1 = ∆BCB1

♥❤➟♥ ✤÷đ❝ BB1 = AA1 = CC1 ✳

✷✳✶✳✷ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t✿

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳✶✳✶✳ ◆➳✉ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t F ð tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ t❤➻ tê♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø F ✤➳♥
❝→❝ ✤➾♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✿ tê♥❣ ✤â ♥❤ä ❤ì♥ tê♥❣ ❝→❝ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø
❜➜t ❦ý ♠ët ✤✐➸♠ ❦❤→❝ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➳♥ ❝→❝ ✤➾♥❤✳

❍➻♥❤ ✷✳✷✿ F A + F B + F C

❝ü❝ t✐➸✉

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ t❤✐➳t F ❧➔ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ◗✉❛ A, B, C tữỡ

ự ỹ lA AF, lB BF, lC CF ỵ ❤✐➺✉ D = lA ∩ lB ; E = lA ∩ lC ; K = lC ∩ lB ✳ ❉➵ t❤➜②


✷✷
t❛♠ ❣✐→❝ DEK ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳ ❚❛ ✤➣ ❝â tê♥❣ F A + F B + F C = h− ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ t❛♠ ❣✐→❝
✤➲✉ DEK ✳ ❱ỵ✐ ✤✐➸♠ P ❜➜t ❦ý tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❞ü♥❣ P A ⊥DE; P B ⊥DK; P C ⊥EK t❤➻
❝ô♥❣ ❝â P A + P B + P C = h✳ ❚❛ t❤✉ ✤÷đ❝
P A + P B + P C > P A + P B + P C = h ♥➯♥
P A + P B + P C > F A + F B + F C = h.

❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝ü❝ t✐➸✉ ừ rt ữủ ự
ú ỵ õ ú ỵ s

ỹ t t ừ t ✤➲✉ t❛ ❝â ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤→❝✳ ❚r➯♥ ❤➻♥❤ ✷✳✶
t❛ ❝â F B + F C = F A1 ✳ ❱➟② F A + F B + F C = F A + F A1 = AA1 ✳ ❚❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
F A + F B + F C < N A + N B + N C ✈➻ ✈➟② N A + N B + N C = N A1 + N A > AA1 ✳ ✣è✐ ✈ỵ✐

✤✐➸♠ P ❦❤ỉ♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚♦rr✐❝❡❧❧✐ t❤➻ P B + P C > P A1 , AP + P A1 > AA1 ♥➯♥
P A + P B + P C > AA1 ❉♦ ✤â✱ F A + F B + F C ❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉ ♥➳✉ P trị♥❣ ✈ỵ✐ F ✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ tø

❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➔② t❛ ❝á♥ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ✤ë ❞➔✐ ❝↕♥❤ AA1 t❤❡♦ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ừ t
t t ABA1 t ỵ ❝æs✐♥ t❛ ❝â
AA1 2 = AB 2 + BA1 2 − 2AB.BA1 . cos ABA1
= c2 + a2 − 2ac cos B + 600
√
= c2 + a2 − ac cos B + ac 3 sin B.

▲↕✐ ✈➻ b2 = c2 + a2 − 2ac cos B ♥➯♥ t❛ s✉② r❛
AA1

2

√
√
b 2 − a2 − c 2
a2 + b 2 + c 2
=c +a +
+ 2S 3 =
+ 2S 3.
2
2
2

2

✭✷✮ ◆➳✉ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❣â❝ ❧ỵ♥ ❤ì♥ 1200 t❤➻ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t F ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣
❧➔ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉✱ ❬✶❪✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳✶✳✷✳ ◆➳✉ F

❧➔ ✤✐➸♠ ❋❡r♠❛t ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t ữớ t ố

ự ợ AF q BC ✱ ✤è✐ ①ù♥❣ BF q✉❛ CA ✈➔ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈ỵ✐ CF q AB ỗ q ợ
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ự ▲➜② A , B , C ❧➔ ✤✐➸♠ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝õ❛ F q✉❛ BC, CA, AB ✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣

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