LỚPTOÁNTHẦYCƯ‐TPHUẾ
CS 1: P5, Dãy 14 tập thể xã tắc. Đường Ngô Thời Nhậm
CS 2: Trung Tâm Cao Thắng - 11 Đống Đa
(BẢNFULLĐÁPÁNCHITIẾTDÀNHCHO
GIÁOVIÊN)
TÀI LIỆU DÀNH RIÊNG HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ‐ TP HUẾ
MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
PHẦN 1: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1
BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1
Dạng 1: Cho hàm số y f x . Tìm các khoảng đồng biến và nghịc biến của hàm số
4
Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm s
6
Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số y f x hoặc y f x . Tìm các khoảng đồng biến,
7
nghịch biến của hàm số
Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định
9
Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số đông biến và nghịch biến trên tập con của
BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Cho hàm số y f x . Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại giá trị cực
12
13
tiểu
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị
14
Dạng 3: Dựa vào bảng xét dấu của f x , bảng biến thiên của đồ thị hàm số f x . Tìm các
15
điểm cực trị của hàm số
Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số có cực trị
20
Dạng 5: Cho hàm số f x hoặc đồ thị hàm số f x . Tìm các điểm cực trị của hàm số
22
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
25
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên a, b
25
Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số y f x . Tìm GTLN, GTNN
30
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN trên khoảng hoặc nửa khoảng
35
BÀI 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
39
Dạng 1: Dựa vào định nghĩa tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
40
Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số tìm các đường tiệm cân
42
Dạng 3: Cho hàm số y f x . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
46
Dạng 4: Bài tốn tìm tham số m liên quan đến đường tiệm cận
50
BÀI 5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
53
Dạng 1 : Cho đồ thị hàm số. Tìm hàm số
54
Dạng 2: Cho bảng biến thiên. Yeu cầu tìm hàm số
61
Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số . Tìm các tham số thuộc hàm số y f x
64
BÀI 6. TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ VÀ TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
68
Dạng 1: Tương giao của hai đồ thị
68
Dạng 2: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên biện luận số nghiệm của phương trình
71
Dạng 3: Dựa vào bảng biến thiên. Biện luận số nghiệm của phương trình
72
Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến tại điểm
76
Dạng 5 : Tiếp tuyến có hệ số góc
77
Dạng 6 : Phương trình tiếp tuyến đi qua
81
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
83
BÀI 1. LŨY THỪA
83
Dạng 1: Tính, rút gọn và biến đổi biểu thức
84
Dạng 2: So sánh đẳng thức và bất đẳng thức đơn giản
87
BÀI 2. HÀM SỐ LŨY THỪA
91
Dạng 1. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số
93
Dạng 2: Tính đạo hàm
96
Dạng 3. Sự biến thiên và nhận dạng đồ thị hàm số
98
BÀI 3. LOGARIT
105
Dạng 1. Tính tốn về logarit
107
Dạng 2. So sánh hai số logarit
111
Dạng 3 : Đẳng thức logarit
114
BÀI 4. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
120
Dạng 1. Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số
121
Dạng 2. Tính đạo hàm và giới hạn
123
Dạng 3. So sánh, Đẳng thức, bất đẳng thức
125
Dạng 4. GTLN và Gtnn của hàm số
129
Dạng 5. Nhận dạng đồ thị
132
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
139
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số
139
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ
142
Dạng 3. Phương pháp logarit hóa, mũ hóa
146
Dạng 4: Sử Dụng Tính Đơn Điệu Hàm Số
148
BÀI 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
148
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số
149
Dạng 2: Phương pháp mũ hóa và logarit hóa
153
Dạng 3: Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
158
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
163
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức
Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức
Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức
Dạng 4: Nguyên Hàm hàm số lượng giác
Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga
163
164
168
172
176
178
Dạng 6: Ngun Hàm Từng Phần
179
BÀI 2.TÍCH PHÂN
Dạng 1: Tích Phân Hữu Tỉ
183
186
Dạng 2. Tích phân vơ tỉ
190
Dạng 3: Tích Phân Lượng Giác
195
Dạng 4: Tích Phân Từng Phần
197
Dạng 5: Tích Phân Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
Dạng 6: Tích Phân Hàm Hợp Hàm Ẩn
BÀI 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN
Dạng 1: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị
Dạng 2: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 2 Hai Đồ Thị
Dạng 3: Tính Thể Tích Vật Thể Trịn Xoay Dựa Vào Định Nghĩa
Dạng 4: Tính Thể Tích Vật Thể Trịn Xoay Khi Quay Hình Phẳng Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị
Dạng 5: Ứng Dụng Tích Phân Trong Vật Lý
203
205
208
CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC
242
BÀI 1. SỐ PHỨC
242
BÀI 2. CỘNG, TRÙ, NHÂN SỐ PHỨC
242
BÀI 3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC
242
Dạng 1. Phần Thực – Phần Ảo & Các Phép Tốn
Dạng 2: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
Dạng 3. Biểu diễn số phức
Dạng 4. Tập hợp
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Dạng 1 : Phương trình bậc hai hệ số thực
Dạng 2 : Phương trình quy về phương trình bậc hai
243
247
248
254
262
262
263
PHẦN 2: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
267
BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
280
BÀI 2. KHÁI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
287
BÀI 3. KHÁI NIỆM VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
288
Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy
294
Dạng 2 : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy
296
Dạng 3: Khối chóp đều
299
Dạng 4: Khối chóp có hình chiếu lên mặt phẳng đáy
Dạng 5: Một số dạng khác
300
300
Dạng 6. Thể tích lăng trụ đứng, lăng trụ đều
301
Dạng 7. Thể tích lăng trụ xiên
305
CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ KHỐI TRỤ
BÀI 1. MẶT NÓN – HÌNH NĨN – KHỐI NĨN
308
BÀI 2. MẶT TRỤ_HÌNH TRỤ_ KHỐI TRỤ
315
BÀI 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
321
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
328
BÀI 2. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
344
BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
356
BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.
1) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K
Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng K thì f ' ( x ) ³ 0, "x Ỵ K.
Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng K thì f ' ( x ) £ 0, "x Ỵ K.
2) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K
Nếu f ¢ ( x ) > 0 với mọi
x
thuộc K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .
Nếu f ¢ ( x ) < 0 với mọi
x
thuộc K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K .
Nếu f ' ( x ) = 0 với mọi
x
thuộc K thì hàm số f ( x ) không đổi trên K (hàm số y = f ( x ) còn gọi
là hàm hằng trên K ).
3) Định lý mở rộng
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên K . Nếu f ' ( x ) ³ 0 ( f ' ( x ) £ 0 ), "x Î K và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một
số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K .
Chú ý: f ¢ ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. Tuy nhiên một số hàm số có f ' ( x ) = 0 tại vô hạn
điểm nhưng các điểm rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu.
Ví dụ: Hàm số y = 2 x - sin 2 x .
Ta có y ' = 2 - 2 cos 2 x = 2 (1 - cos 2 x ) ³ 0, "x ẻ .
y  = 0 1 - cos 2 x = 0 x = k p (k Ỵ )
có vơ hạn điểm làm cho y ' = 0 nhưng các điểm đó rời rạc nên
hàm số y = 2 x - sin 2 x đồng biến trên .
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng1:Chohàmsố y f x . Tìmcáckhoảngđồngbiếnvànghịcbiếncủahàmsố
1. Phương pháp:
2. Các ví dụ
Câu 1:
Cho hàm số y =
2 x -1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x -1
A. Hàm số đã cho đồng biến trên .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: D = \ {1} . Đạo hàm: y / =
-1
2
( x -1)
< 0, "x ¹ 1.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;1) và (1;+¥) .
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
1
Câu 2:
Cho hàm số y =
x3
- x 2 + x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
3
A. Hàm số đã cho đồng biến trên .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên (-¥;1) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên (1;+¥) và nghịch biến trên (-¥;1) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥;1) và nghịch biến (1;+¥) .
Lời giải
Chọn A
Đạo hàm: y / = x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1)2 ³ 0, "x Ỵ và y / = 0 x = 1 .
Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên .
Câu 3:
Hàm số y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây?
A. (-1;3)
B. (-¥;-3) hoặc (1;+¥) .
C.
D. (-¥;-1) hoặc (3;+¥ ) .
Lời giải
Chọn A
Ta có: y / = 3 x 2 - 6 x - 9.
Ta có y / £ 0 3 x 2 - 6 x - 9 £ 0 -1 £ x £ 3 .
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-1;3) .
Câu 4:
Hàm số y = 2 x 4 + 1 đồng biến trờn khong no?
ổ
1ử
A. ỗỗỗ-Ơ;- ữữữ
ố
2ứ
ổ 1
ử
C. ỗỗỗ- ; +Ơữữữ
B. (0;+Ơ)
ố 2
ø
D. (-¥;0 )
Lời giải
Chọn B
Ta có y ' = 8 x 3 > 0 x > 0 .
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+¥) .
Câu 5:
Cho hàm số y = 2 x 4 - 4 x 2 . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (-¥;-1) và (0;1) .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-¥;-1) và (1;+¥) .
C. Trên các khoảng (-¥;-1) và (0;1) , y ' < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến.
D. Trên các khoảng (-1;0 ) và (1;+¥) , y ' > 0 nên hàm số đã cho đồng biến.
Lời giải
Chọn B
éx = 0
Ta có y ' = 8 x 3 - 8 x = 8 x ( x 2 -1); y ' = 0 êê
ë x = 1
.
Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được rằng hàm số
● Đồng biến trên các khoảng (-1;0 ) và (1;+¥) .
● Nghịch biến trên các khoảng (-¥;-1) và (0;1) .
Câu 7:
Cho hàm số y =
2 x -1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x +2
A. Hàm số đã cho đồng biến trên .
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
2
B. Hàm số đã cho đồng biến trên \ {-2}.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥;0 ).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +¥).
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: D = \ {-2}. Đạo hàm y  =
5
2
( x + 2)
> 0, "x ạ -2.
Vy hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -2 ) và (-2; +¥) .
Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +¥). Chọn D
Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến của
hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:
Hàm số đồng biến trên (-2; +¥) ;
(1; +¥) Ì (-2; +¥) .
Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +¥ ).
Câu 8:
Cho hàm số y = 1 - x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên [0;1] .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định.
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên [0;1] .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định D = [-1;1] . Đạo hàm y ' =
-x
1- x 2
; y'=0 x =0.
Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên [0;1] .
Câu 9:
Cho hàm số y = x - 1 + 4 - x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên (1; 4 ).
æ 5ử
B. Hm s ó cho nghch bin trờn ỗỗỗ1; ữữữ.
ố 2ứ
ổ5 ử
C. Hm s ó cho nghch bin trờn ỗỗỗ ;4 ÷÷÷.
è2 ø
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định: D = [1; 4 ]. Đạo hàm y ' =
1
-
1
.
2 x -1 2 4 - x
ìï x Ỵ (1; 4 )
5
Xét phương trình y ' = 0 x -1 = 4 - x ớù
ắắ
x = ẻ (1; 4 ) .
ùù x - 1 = 4 - x
2
ỵ
ỉ5 ư
Vẽ bảng biến thiên, suy ra c hm s nghch bin trờn khong ỗỗỗ ;4 ÷÷÷.
è2 ø
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
3
Dạng2:Dựavàobảngbiếnthiên,tìmcáckhoảngđồngbiến,nghịchbiếncủahàm
số
1. Phương pháp:
2. Các ví dụ
Câu 1:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-¥; -5) và (-3; -2 ) .
II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥;5) .
III.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2; +¥) .
IV.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥; -2 ) .
A. 1
B. 2
C. 3
Lời giải
D. 4
Chọn A
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥; -2 ) ;
nghịch biến trên khoảng (-2; +¥) .
Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.
Ta thấy khoảng (-¥; -3) chứa khoảng (-¥; -5) nên I Đúng.
Vậy chỉ có II sai.
Câu 2:
Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-2; +¥) và (-¥; -2 ).
B. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥; -1) È (-1;2 ).
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;2 ).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên (-2;2 ) .
Lời giải
Chọn C
Vì (0;2 ) Ì (-1;2 ) , mà hàm số đồng biến trên khoảng (-1;2 ) nên suy ra C đúng.
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
4
Câu 3:
Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
ỉ
1ư
A. Hàm số đã cho đồng biến trờn cỏc khong ỗỗỗ-Ơ;- ữữữ v (3; +Ơ ).
ố
2ứ
ổ 1
ử
B. Hm s ó cho ng bin trờn khong ỗỗỗ- ; +Ơữữữ.
ố 2
ứ
C. Hm s ó cho nghch bin trờn khong (3; +¥).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥;3) .
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hm s
ổ
ổ 1 ử
1ử
ng bin trờn cỏc khong ỗỗỗ-Ơ;- ữữữ v ỗỗỗ- ;3ữữữ .
ố
ố 2 ứ
2ứ
Nghch bin trờn khoảng (3;+¥ ) .
Câu 4:
Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục trên \ {- 2} và có bảng biến thiên như hình dưới
đây
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (- 3; - 2 ) È (- 2; -1).
B. Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng -3.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥; - 3) và (-1; + ¥ ).
D. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu là 2.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau
Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 3; - 2 ) và (- 2; -1) A sai (sai chỗ dấu È ).
Hàm số có giá trị cực đại yC Đ = - 2 B sai.
Hàm số đồng biến khoảng (-¥; - 3) và (-1; +¥) C đúng.
Hàm số có điểm cực tiểu là -1 D sai.
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
5
Dạng3:Dựavàođồthịhàmsố y = f ( x ) hoặc y = f '( x ) .Tìmcáckhoảngđồngbiến,
nghịchbiếncủahàmsố
Câu 1:
Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định
nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên (1; + ¥).
B. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) và (1; + ¥).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1).
D. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) È (1; +¥).
Lời giải
Giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên (-¥;-1) và (1;+¥) , nghịch biến
trên (-1;1) nên các khẳng định A, B, C đúng.
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì khng nh D sai.
Vớ d: Ta ly -1,1 ẻ (-Ơ; -1), 1,1 ẻ (1; +Ơ) : -1,1 < 1,1 nhng f (-1,1) > f (1,1).
Câu 2:
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (-¥;0 ) và (0;+¥) .
B. Hàm số đồng biến trên (-1;0 ) È (1; +¥).
C. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) và (1; + ¥).
D. Hàm số đồng biến trên (-1;0 ) và (1; + ¥).
Lời giải
Chọn D
Từ dáng điệu của đồ thị ta nhận thấy trong khoảng (-1;0);(1; +¥) dáng điệu của hàm số là
đi lên nên hàm số đồng biến trên (-1;0 );(1; + ¥).
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì khẳng định B sai.
Câu 3 :
Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) xác định, liên tục trên và f ' ( x ) có đồ thị như
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
6
y
O 1
3
-1
x
-4
A. Hàm số đồng biến trên (1; +¥).
B. Hàm số đồng biến trên (-¥;-1) và (3; +¥).
C. Hàm số nghịch biến trên (-¥; -1).
D. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) È (3; +¥).
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số f ' ( x ) , ta có nhận xét:
f ' ( x ) đổi dấu từ ''+ '' sang ''- '' khi qua điểm x = -1.
f ' ( x ) đổi dấu từ ''- '' sang ''+ '' khi qua điểm x = 3.
Do đó ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy B đúng.
Dạng4:Tìmthamsốmđểhàmsốđồngbiếntrêntậpxácđịnh
1. Phương pháp:
2. Các ví dụ
Câu 1:
Tìm tất các các giá trị thực của tham số
tập xác định
A. m £ 1.
B. m ³ 3.
m
để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m đồng biến trên
C. -1 £ m £ 3.
Lời giải
D. m < 3.
Chọn B
TXĐ: D = . Đạo hàm y ' = 3 x 2 + 6 x + m .
ì
ì
ïa > 0
ï3 > 0
ï
m ³ 3.
í
ï
ïD ' £ 0 ï
ï9 - 3m £ 0
ỵ
ỵ
Ycbt y ' ³ 0, "x Ỵ ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm) ïí
Chọn B
Cách giải trắc nghiệm. Quan sát ta nhận thấy các giá trị m cần thử là:
m = 3 thuộc B & C nhưng không thuộc A,D.
m = 2 thuộc C & D nhưng không thuộc A,B.
● Với m = 3 y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 3 y ' = 3 x 2 + 6 x + 3 = 3 ( x + 1)2 ³ 0, "x Ỵ .
Do đó ta loại A và D.
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
7
● Với m = 2 y = x 3 + 3 x 2 + 2 x + 2 y ' = 3 x 2 + 6 x + 2 .
Phương trình y ' = 0 3 x 2 + 6 x + 2 = 0 có D > 0 nên m = 2 không thỏa nên loại C.
Câu 2:
1
3
Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (4 m - 3) x + 2017 . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực
hàm số đã cho đồng biến trên .
A. m = 1 .
B. m = 2 .
C. m = 4 .
Lời giải
m
để
D. m = 3 .
Chọn D
Tập xác định D = . Đạo hàm y ' = x 2 - 2mx + 4 m - 3 .
Để hàm số đồng biến trên y ' ³ 0, "x Ỵ ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm)
D ' = m 2 - 4m + 3 £ 0 1 £ m £ 3 .
Suy ra giá trị lớn nhất của tham số
Câu 3:
m
thỏa mãn ycbt là m = 3.
Cho hàm số y = -x 3 - mx 2 + (4 m + 9 ) x + 5 với
của
m
m
là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên
để hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥; +¥) ?
A. 4.
B. 6.
C. 7.
Lời giải
D. 5.
Chọn C
TXĐ: D = . Đạo hàm y ' = -3 x 2 - 2mx + 4 m + 9.
Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-¥; +¥) thì y ' £ 0, "x Î ( y ' = 0 có hữu
m Î
hạn nghiệm) D ' £ 0 m 2 + 3 (4 m + 9 ) £ 0 -9 £ m £ -3 ¾¾¾
m = {-9; -8;...; -3}.
Sai lầm hay gặp là '' Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-¥; +¥) thì
y ' < 0, "x Ỵ '' . Khi đó ra giải ra -9 < m < -3 và Chọn D
Câu 4:
m 3
x - 2 x 2 + (m + 3) x + m . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số
3
Cho hàm số y =
đồng biến trên
A. m = -4
B. m = 0
C. m = -2
Lời giải
D. m = 1
Chọn D
TXĐ: D = . Đạo hàm: y ' = mx 2 - 4 x + m + 3 .
Yêu cầu bài toán y ' ³ 0, "x Ỵ ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm):
TH1. ● m = 0 thì y ' = -4 x + 3 ³ 0 x £
ìa = m > 0
ï
TH2. ● ïí
2
ï
ï
ỵD ' y ' = -m - 3m + 4 £ 0
Suy ra giá trị
Câu 5:
m
3
4
(không thỏa mãn).
m ³ 1.
nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là m = 1.
Cho hàm số y = (m + 2)
x3
- (m + 2 ) x 2 + (m - 8) x + m 2 -1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số
3
thực m để hàm số nghịch biến trên .
A. m < -2 .
B. m > -2 .
C. m £ -2 .
Lời giải
D. m ³ -2 .
Chọn C
Ta có y ' = (m + 2 ) x 2 - 2 (m + 2 ) x + m - 8 .
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
8
Yêu cầu bài toán y ' £ 0, "x Î ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm):
TH1 ● m + 2 = 0 m = -2 , khi đó y ' = -10 £ 0, "x Ỵ (thỏa mãn).
ìïa = m + 2 < 0
ìïm + 2 < 0
ïí
m < -2 .
TH2 ● íï
ïïD ' = (m + 2 )2 - (m + 2 )(m - 8) £ 0 ï
ỵï10 (m + 2 ) £ 0
ỵ
Hợp hai trường hợp ta được m £ -2.
Dạng5:Tìmthamsốmđểhàmsốđơngbiếnvànghịchbiếntrêntậpconcủa .
1. Phương pháp:
2. Các ví dụ
Câu 1:
Cho hàm số y = x 3 - (m + 1) x 2 - (2 m 2 - 3m + 2 ) x + 2 m (2 m - 1) . Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số
m
để hàm số đã cho đồng biến trên éë 2; +¥ ) là
A. m < 5
B. -2 £ m £
3
2
C. m > -2
D. m <
3
2
Lời giải
Chọn B
Ta có y / = 3 x 2 - 2 (m + 1) x - (2 m 2 - 3m + 2 ).
Xét phương trình y / = 0 có D/ = (m +1) + 3(2m 2 - 3m + 2) = 7 (m 2 - m +1) > 0, "m Ỵ .
2
Suy ra phương trình y / = 0 ln có hai nghiệm x1 < x 2 với mọi
m
.
Để hàm số đồng biến trên éë 2; +¥) phương trình y / = 0 có hai nghiệm x1 < x 2 £ 2
ìï( x1 - 2 ) + ( x 2 - 2 ) < 0 ìï x1 + x 2 < 4
ïí
ïí
ïï( x1 - 2 )( x 2 - 2 ) ³ 0
ïï x1 x 2 - 2 ( x1 + x 2 ) + 4 ³ 0
ỵ
ỵ
ì 2 (m + 1)
ï
ï
<4
ìïm < 5
ï
ï
ï
3
3
ï
í
ïí
3 -2 £ m £ .
2
ï
ï
2
2
m
£
£
+
2
m
3
m
2
(
) 2 (m + 1)
ï
ïï
ï
2
ỵ
- 2.
+4 ³0
ï
ï
3
3
ï
ỵ
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị của
m
để hàm số y = x 3 - 3 (m + 1) x 2 + 3m (m + 2 ) x nghịch biến trên
đoạn [0;1].
A. m £ 0.
B. -1 < m < 0.
C. -1 £ m £ 0.
Lời giải
D. m ³ -1.
Chọn C
Đạo hàm y ¢ = 3 x 2 - 6 (m + 1) x + 3m (m + 2 ) = 3. éëê x 2 - 2 (m + 1) x + m (m + 2 )ùûú .
Ta có D ' = (m + 1)2 - m (m + 2 ) = 1 > 0, "m Ỵ .
Do đó y ¢ = 0 ln có hai nghiệm phân biệt x = m, x = m + 2.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghch bin trờn [0;1]ơắ [0;1] è [m ; m + 2 ]
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
9
ïìm £ 0
ïí
-1 £ m £ 0.
ïïỵm + 2 ³ 1
Câu 3:
1
3
Biết rằng hàm số y = x 3 + 3 (m -1) x 2 + 9 x + 1 (với
m
là tham số thực) nghịch biến trên khoảng
( x1 ; x 2 ) và đồng biến trên các khoảng giao với ( x1 ; x 2 ) bằng rỗng. Tìm tất cả các giá trị của
m
để
x1 - x 2 = 6 3. ?
A. m = -1
B. m = 3
C. m = -3 , m = 1 .
Lời giải
D. m = -1 , m = 3
Chọn D
Ta có y / = x 2 + 6 (m -1) x + 9 .
Yêu cầu bài toán y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn x1 - x 2 = 6 3
ìïD/ > 0
ìï /
ïïï
ïíD > 0
/
í
D/ = 27
ïï x1 - x 2 = 2 D = 6 3 ïï D/ = 3 3
ïỵ
ïï
a
ỵ
ém = 3
2
2
.
9 (m - 1) - 9 = 27 (m -1) = 4 ê
ê m = -1
ë
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m giảm trên đoạn có
độ dài lớn nhất bằng 1 ?
A. m = -
9
4
B. m = 3
C. m £ 3
D. m =
9
4
Lời giải
Chọn D
Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + m .
u cầu bài tốn y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn x1 - x 2 = 1
ïïìD ' = 9 - 3m > 0 ìïm < 3
ì
m <3
ï
ï
ï
9
ïï
ï
ï
í D'
í
í
9 m=
9 - 3m
ïï2
ï
ï
=1
4
m
=
=1 ï
ï2.
ïï
ïỵ
4
3
ï
ỵï
ỵ a
Câu 5:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
.
để hàm số y =
x -1
nghịch biến trên khoảng
x -m
(-¥;2 ) ?
B. m ³ 1
A. m > 2
C. m ³ 2
Lời giải
D. m > 1
Chọn C
Ta có y ' =
-m + 1
2
(x - m )
.
Với -m + 1 < 0 m > 1 thì y ' < 0, "x ¹ m hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng
(-¥;m ) và (m ; +¥) .
Ycbt (-¥;2 ) Ì (-¥; m ) m ³ 2 : (thỏa mãn).
Cách 2. Ta có y ' =
-m + 1
2
(x - m )
.
ìï-m + 1 < 0
ïì y ' < 0, "x < 2 ìïï-m + 1 < 0
ùỡm > 1
ớ
ùớ
ùớ
m 2.
ù
ù
ù
ạ
-Ơ
ẻ
+Ơ
m
;2
m
2;
ạ
x
m
(
)
[
)
ùợùm 2
ỵï
ỵï
ỵï
Ycbt ïí
LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
10
Câu 6:
Cho hàm số y =
nguyên của
A. 5
m
mx - 2m - 3
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
x -m
để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S
B. 4
C. Vơ số.
D. 3
Lời giải
Chọn D
Ta có y ' =
-m 2 + 2 m + 3
2
(x - m )
.
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác nh thỡ y ' > 0, "x ạ m
m ẻ
-m 2 + 2 m + 3 > 0 -1 < m < 3 ắắắ
m = {0;1;2}.
m ẻ
Sai lầm hay gặp là cho y ' ³ 0, "x ¹ m -1 £ m £ 3 ¾¾¾
m = {-1;0;1;2;3}.
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
11
BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) ( a có thể là -¥ , b có th l +Ơ )
v x 0 ẻ (a; b) .
1. Định lí 1
Nếu tồn tại số h sao cho f ( x ) < f ( x 0 ) với mọi x Ỵ ( x 0 - h; x 0 + h ) và x ¹ x 0 thì ta nói
hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x 0 . Khi đó:
x 0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f ( x ).
f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ( x ).
Nếu tồn tại số h sao cho f ( x ) > f ( x 0 ) với mọi x Ỵ ( x 0 - h; x 0 + h ) và x ¹ x 0 thì ta nói
hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x 0 . Khi đó:
x 0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ).
f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f ( x ).
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực
trị phải là một điểm trong tập xác định K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).
2. Chú ý
Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x 0 ) của hàm số f nói chung khơng phải là giá trị lớn nhất
(giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập xác định K mà f ( x 0 ) chỉ là giá trị lớn nhất (giá
trị nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a, b) Ì K và (a, b) chứa x 0 .
Nếu f ¢ ( x ) không đổi dấu trên tập xác định K của hàm số f thì hàm số f khơng có cực trị.
Nếu x 0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại
điểm x 0 và điểm có tọa độ ( x 0 ; f ( x 0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .
3. Định lý 2
ì
ï f '(x0 ) = 0
¾¾
x 0 là điểm cực đại của f ( x ) .
● ïí
ï
ï
ỵ f '' ( x 0 ) < 0
ìï f ' ( x 0 ) = 0
¾¾
x 0 là điểm cực tiểu của f ( x ) .
● ïí
ïï f '' ( x 0 ) > 0
ỵ
4. Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số bậc ba
y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d là y = mx + n , trong đó mx + n là dư thức trong phép chia
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
12
f (x )
cho f ' ( x ) .
B.PHÂNLOẠIVÀPHƯƠNGPHÁPGIẢIBÀITẬP
Dạng1:Chohàmsố y f x . Tìmcácđiểmcựcđại,cựctiểu,giátrịcựcđạigiátrịcực
tiểu
1. Phương pháp
2. Các ví dụ
Câu 1:
Giá trị cực đại yCD của hàm số y = x 3 - 3 x + 2 là?
A. yCD = 4 .
B. yCD = 1 .
C. yCD = 0 .
D. yCD = -1.
Lời giải.
Chọn A
é x = -1 y = 4
Ta có y ' = 3 x 2 - 3 = 0 êê
ëx = 1 y = 0
.
Do đó giá trị cực đại của hàm số là yCD = 4 .
Câu 2:
Tìm điểm cực trị x 0 của hàm số y = x 3 - 5 x 2 + 3 x + 1 .
1
3
A. x 0 = -3 hoặc x 0 = - .
C. x 0 = 0 hoặc x 0 = -
B. x 0 = 0 hoặc x 0 =
10
.
3
10
.
3
1
3
D. x 0 = 3 hoặc x 0 = .
Lời giải.
Chọn D
éx = 3
ê
2
2
ê
=
+
=
+
=
'
3
10
3;
'
0
3
10
3
0
y
x
x
y
x
x
Ta có
1. .
êx =
3
ëê
Câu 3:
Tìm điểm cực đại x 0 của hàm số y = x 3 - 3 x + 1 .
A. x 0 = -1 .
B. x 0 = 0 .
C. x0 = 1 .
D. x 0 = 2 .
Lời giải.
Chọn A
é x = -1 y (-1) = 3
Ta có y ' = 3 x 2 - 3 = 3 ( x 2 -1); y ' = 0 êê
êë x = 1 y (1) = -1
.
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 .
Câu 4:
Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = x 3 - 3x 2 .
A. (0;0 ) hoặc (1; -2 ) .
B. (0;0 ) hoặc (2;4 ) .
C. (0;0 ) hoặc (2; -4 ) .
D. (0;0 ) hoặc (-2; -4 ) .
Lời giải.
Chọn C
éx = 0 y = 0
..
ë x = 2 y = -4
Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x = 3 x ( x - 2 ); y ' = 0 êê
Câu 5:
Biết rằng hàm số y = x 3 + 4 x 2 - 3x + 7 đạt cực tiểu tại x CT . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1
3
A. x CT = .
B. x CT = -3 .
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
1
3
C. x CT = - .
D. x CT = 1 .
13
Lời giải.
Chọn A
é x = -3
ê
Ta có y ' = 3 x + 8 x - 3; y ' = 0 ê
1 .
êx =
êë
3
2
1
3
Vẽ bảng biến thiên, ta kết luận được x CT = .
Câu 6:
Gọi yCD , yCT lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x 3 -3x . Mệnh đề
nào sau đây là đúng?
3
2
A. yCT = 2 yCD .
B. yCT = yCD .
C. yCT = yCD .
D. yCT = -yCD .
Lời giải.
Chọn D
é x = 1 y (1) = -2
Ta có y ' = 3 x 2 - 3; y ' = 0 êê
êë x = -1 y (-1) = 2
Câu 7:
. Do đó yCT = -yCD .
Gọi y1 , y2 lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 4 .
Tính P = y1 .y2 .
A. P = -302 .
B. P = -82 .
C. P = -207 .
Lời giải.
D. P = 25 .
Chọn C
é x = 3 y (3) = -23
Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x - 9; y ' = 0 êê
êë x = -1 y (-1) = 9
.
Suy ra P = y1 . y 2 = 9. (-23) = -207 .
Câu 8:
Cho hàm số y = -x 4 + 2 x 2 + 3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và khơng có điểm cực tiểu.
B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và khơng có điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
Lời giải.
Chọn D
éx = 0
ê
Ta có y ' = -4 x + 4 x = -4 x ( x -1); y ' = 0 êê x = 1 .
ê
ë x = -1
3
2
Vẽ phát họa bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
ìa = -1
ï
¾¾
ab < 0 ¾¾
đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
Cách 2. Ta có íï
ï
ï
ỵb = 2
Vì a = -1 < 0 nên đồ thị có dạng chữ M. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và
2 điểm cực đại.
Dạng2:Viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquacácđiểmcựctrị
1. Phương pháp
2. Các ví dụ
LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
14
Câu 1:
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = -2 x 3 + 3x 2 +1 .
A. y = x -1.
B. y = x + 1.
C. y = -x +1.
D. y = -x -1.
Lời giải.
Chọn B
éx = 0 y = 1
.
ëx = 1 y = 2
Ta có y ¢ = -6 x 2 + 6 x ; y ¢ = 0 êê
Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A (0;1) và B (1;2 ) .
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình
y = x + 1.
Cách 2. Lấy y chia cho
y' ,
ta được
1ỉ
1ư
y = ỗỗ x - ữữữ y  + x + 1 .
3 ỗố
2ứ
Suy ra phng trỡnh ng thng i qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là
y = x +1 .
Câu 2:
Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - 9 x + m . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số.
A. y = -8 x + m .
B. y = -8 x + m - 3 .
C. y = -8 x + m + 3 .
D. y = -8 x - m + 3 .
Lời giải.
Chọn B
é x = -1 y = 5 + m
Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x - 9; y ' = 0 êê
ë x = 3 y = -27 + m
.
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A (-1;5 + m ) và B (3;-27 + m ) .
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm A, B có phương trình y = -8 x + m - 3 .
Câu 3:
Tìm giá trị thực của tham số
m
để đường thẳng d : y = (2 m - 1) x + 3 + m vng góc với
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 +1 .
1
2
A. m = - .
3
2
1
4
B. m = .
3
4
C. m = .
D. m = .
Lời giải.
Chọn D
é x = 0 y (0 ) = 1
y ¢ = 0 êê
Xét hàm y = x 3 - 3x 2 +1 , có y ¢ = 3 x 2 - 6 x ¾¾
êë x = 2 y (2 ) = - 3
.
Suy ra A (0;1), B (2; - 3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Suy ra đường thẳng AB có một VTCP là AB = (2; - 4 ) ¾¾
VTPT n AB = (2;1).
Đường thẳng d : y = (2 m - 1) x + 3 + m có một VTCP là nd = (2 m - 1; - 1).
3
4
Ycbt n AB .nd = 0 2. (2m -1) -1 = 0 m = .
Dạng3:Dựavàobảngxétdấucủa f ' x ,bảngbiếnthiêncủađồthịhàmsố f x .Tìm
cácđiểmcựctrịcủahàmsố
1. Phương pháp
2. Các ví dụ
LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
15
Câu 1:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên với bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
Chọn A
Nhận thấy
B. 1.
y'
D. 0.
đổi dấu khi qua x = -3 và x = 2 nên hàm số có 2 điểm cực trị. ( x = 1
khơng phải
là điểm cực trị vì
Câu 2:
C. 3.
Lời giải.
y'
không đổi dấu khi qua x = 1 ).
Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có ba giá trị cực trị.
C. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Lời giải.
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:
Hàm số có ba điểm cực trị, gồm các điểm x = -1, x = 1, x = 0 vì đạo hàm y ¢ đổi dấu đi
qua các điểm đó.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , đạt cực tiểu tại x = 1.
(đáp án A sai vì hàm số chỉ có hai giá trị cực trị là yCD = -3 và yCT = -4 . Nói đến đồ thị
hàm số thì khi đó mới có ba điểm cực trị là A (0; -3), B (-1;4 ), C (1; -4 ). .
Câu 3:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tại x 0 và có bảng biến thiên sau:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
B. Hàm số có một điểm cực đại, khơng có điểm cực tiểu.
LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
16
C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.
D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
Lời giải.
Chọn D
● Tại x = x 2 hàm số y = f ( x ) không xác định nên không đạt cực trị tại điểm này.
● Tại x = x1 thì dễ thấy hàm số đạt cực đại tại điểm này.
● Tại x = x 0 , hàm số khơng có đạo hàm tại x 0 nhưng liên tục tại x 0 thì hàm số vẫn đạt
cực trị
tại x 0 và theo như bảng biến thiên thì đó là cực tiểu.
Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
Câu 4:
Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên \ {x1 } , có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và khơng có điểm cực đại.
B. Hàm số đã cho khơng có cực trị.
C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
D. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và khơng có điểm cực tiểu.
Lời giải.
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
f ¢ ( x ) đổi dấu từ " + " sang " - " khi đi qua điểm x 1 nhưng tại x1 hàm số f ( x ) không
xác định nên x 1 khơng phải là điểm cực đại.
f ¢ ( x ) đổi dấu từ
"- "
sang
"+ "
khi đi qua điểm x 2 suy ra x 2 là điểm cực tiểu của hàm
số.
Câu 5:
Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau:
Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. .
B. 3. .
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
C. 4. .
Lời giải.
D. 2.
17
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại một điểm duy
nhất
và đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) có 3 điểm
cực trị.
Câu 6:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 0.
B. 1.
C. 3.
Lời giải.
D. 2.
Chọn D
Dễ nhận thấy hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x = 1.
Xét hàm số f ( x ) trờn khong
ổ 1 1 ửữ
ỗỗ- ; ữ ,
ỗố 2 2 ữứ
ổ 1 ử ổ 1ử
x ẻ ỗỗ- ;0 ữữữ ẩ ỗỗ0; ữữữ .
ỗố 2 ứ ỗố 2 ø
ta có f ( x ) < f (0 ) với mọi
Suy
ra x = 0 là điểm cực đại của hàm số. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 7:
Hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
Lời giải.
Chọn A
Dễ nhận thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua
D. 0 .
Oy.
Vấn đề nằm ở chỗ là điểm có đồ thị gấp khúc có phải là điểm cực trị của đồ thị hàm số
hay khơng? Câu trả lời là có (tương tự lời giải thích như câu 25).
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị, gồm 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.
Câu 8:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?
LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
18
y
2
‐1
A. 2.
B. 3.
O
1
x
C. 4.
Lời giải.
D. 5.
Chọn D
Theo định nghĩa cực trị thì từ đồ thị ta nhận thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Câu 9:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?
y
‐1
1
O
x
-1
-2
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Lời giải.
D. 5.
Chọn D
Theo định nghĩa cực trị thì từ đồ thị ta nhận thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong
hình vẽ bên. Hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. x = -2 .
B. x = -1 .
C. x = 1 .
Lời giải.
D. x = 2.
Chọn B
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133
19