Ôn tập trọng tâm kiến thức môn Toán lớp 12 : Phần 2 - Trần Đình Cư

BÀI 1. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của

). Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi
x  K.

Định lý 1: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .

Định lý 2: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x 

đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số.
Hai định lý trên cho thấy:
Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì F  x   C , C   là họ tất cả các

nguyên hàm của f  x  trên K . Kí hiệu

 f  x dx  F  x   C.
Chú ý: Biểu thức

f  x  dx chính là vi phân của nguyên hàm F  x  của

f  x  , vì

dF  x   F '  x  dx  f  x  dx.

2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1

 f '  x  dx  f  x   C
Tính chất 2

 kf  x  dx  k  f  x  dx , k là hằng số khác 0.
Tính chất 3

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx.
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lý 3: Mọi hàm số f liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng nguyên hàm

 0dx  C

 x dx 

x 1
C
 1

1

 xdx  ln x  C
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

 dx  x  C
1 ( ax  b) 1
C

a  1
1
1
 (ax  b)dx  a ln ax  b  C

 (ax  b) dx 

163


 e dx  e
x

x

1 ax b
e
C
a
1
 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C
1
 sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C

C

e

 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C

x
 a dx 

1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

 x 
 a dx 

dx  tan x  C

1

2

dx
1

xa

ln
 C,  a  0
2
a
2a x  a



xdx 



1
dx  2 x  C
x

1

 sin  ax  b  dx   a cot x  C

dx   cot x  C

2

dx 

a x  
C

a ln a
1
1
 cos2  ax  b  dx  a tan  ax  b   C

ax
C
ln a

x

ax  b

a

2
x x C
3




2

dx
1
xa
  ln
 C,  a  0
2

2a x  a
x

2 1
ax  b dx  .  ax  b  ax  b  C
3 a
1
1
dx  2.
ax  b  C
a
ax  b

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 1: Nếu

 f (u )du  F (u)  C và u  u( x) có đạo hàm liên tục thì:
 f u ( x).u '( x)dx  F u( x)  C

Hệ quả: Với u  ax  b  a  0  ta có

1

 f  ax  b dx  a F  ax  b   C.
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Định lý 2: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì:

 u  x v '  x  dx  u  x  v  x    u '  x v  x  dx.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức
Câu 1:

Khẳng định nào sau đây sai?
A.  0 dx  C .

e

x

B.

4
 x dx 

x5
C .
5

C.

1

 x dx  ln x  C .

D.

dx  e x  C .
Lời giải

Chọn C
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

164


Ta có:
Câu 2:

1

 x dx  ln x  C  C sai.

Tìm nguyên hàm F  x     2dx .
A. F  x    2 x  C .
F  x 

 2 x2
2

B. F  x   2 x  C .

C. F  x  

3
3

C .

D.

C .

Lời giải
Chọn A

Ta có F  x     2 dx   2 x  C .
Câu 3:

Cho

 f  x  dx  F  x   C . Khi đó với a  0 , a , b
1

là hằng số ta có

 f  ax  b  dx bằng
1

A.

 f  ax  b  dx  a F  ax  b   C .

B.

 f  ax  b  dx  a  b F  ax  b   C .

C.

 f  ax  b  dx  F  ax  b   C .

D.

 f  ax  b  dx  aF  ax  b   C .

Lời giải
Chọn A

Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có:
Câu 4:

1

 f  ax  b  dx  a F  ax  b   C .

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  1 là
A. x3  C .

B.

x3
 xC.
3

C. 6x  C .

D. x 3  x  C .

Lời giải
Chọn D
x3
 x  C  x3  x  C .
3
Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  2 x  5 là

Ta có
Câu 5:

  3x

2

 1 dx  3.

A. F  x   x3  x 2  5 .

B. F  x   x 3  x  C .

C. F  x   x 3  x 2  5 x  C .

D. F  x   x 3  x 2  C .
Lời giải

Chọn C

Nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  2 x  5 là F  x   x 3  x 2  5 x  C .
Câu 6:

Họ nguyên hàm của hàm số f  x  

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

1
1
 x 2  là
2
3
x

165


A.

 x4  x2  3
C .
3x

B.

2
 2x  C .
x2

C. 

x4  x2  3
C .
3x

D.

 x3 1 x
  C .
3
x 3

Lời giải
Chọn D
1
1
1 x3 x
 1

Ta có   2  x 2   dx    x 2  x 2   dx      C .
3
3
x 3 3
x


Câu 7:

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e.x e  4 là
B. e 2 .x e 1  C .

A. 101376 .

C.

x e 1
 4x  C .
e 1

D.

e.x e 1
 4x  C .
e 1

Lời giải
Chọn D

Ta có
Câu 8:



f  x  dx    e.x e  4  dx 

e.x e 1
 4x  C .
e 1

Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 ?
5

 3x  1

A. F  x  
C. F  x  

6

18

 3x  1

8.

B. F  x  

.

D. F  x  

6

18

 3x  1

6

2.

18

 3x  1
6

6

.

Lời giải
Chọn D

Áp dụng

  ax  b  dx 


1  ax  b 
a  1

 1

 C với   1 và C là hằng số.

Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề.
Câu 9:

Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là
A. 20 x3  12 x  C .

B. x5  2 x3  x  C .

C. 20 x5  12 x3  x  C . D.

x4
 2x2  2x  C .
4

Lời giải
Chọn B

Ta có

 5x

4

 6 x 2  1 dx  x5  2 x3  x  C .

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

166


Câu 10: Nguyên hàm của hàm số f  x   x 2018 , ( x  ) là hàm số nào trong các hàm số dưới

đây?
x 2019

 C , (C  ) .
2019
D. F  x   2018.x 2017  C , (C  ) .

A. F  x   2017.x 2018  C , (C  ) .

B. F  x  

C. F  x   x 2019  C , (C  ) .

Lời giải
Chọn B
x 2019
C .
2019

2018
Ta có:  x dx 

Câu 11: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  2 x  3 thỏa mãn F  0   2 , giá trị

của F 1 bằng
A. 4 .

B.

13
.
3

C. 2 .

D.

11
.
3

Lời giải
Chọn B

Ta có:

2
 x  2 x  3dx 

x3
 x 2  3x  C .
3

F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  có F  0   2  C  2 .

Vậy F  x  

13
x3
 x 2  3 x  2  F 1  .
3
3

Câu 12: Xét I   x 3  4 x 4  3 dx . Bằng cách đặt: u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng?
5

A. I 

1
u 5du .
16 

B. I 

1
u 5du .
C. I   u 5du .
12 
Lời giải

D. I 

1 5
u du .
4

Chọn A

u  4 x 4  3  du  16 x3dx 
I 
Câu 13: Cho

1

du  x3dx .
16

1
u 5du .
16 

 2 x  3x  2 

6

dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B   và C   . Giá trị của
8

biểu thức 12 A  7 B bằng
23
241
A.
B.
.
.
252
252

7

C.

52
.

9

D.

7
.
9

Lời giải
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

167


Chọn D

Đặt t  3 x  2  x 

t2
1
 dt  dx .
3
3

Ta có:
2 t2 6
2
1

4
2 t8 4 t 7
8
7
7
6
.
d

t
+2
t
d
t
t
t
.  .  C  .  3x  2   .  3x  2   C .





9 8 9 7
3 3
9
36
63
Suy ra A 

1

4
1
4 7
, B  , 12.  7.  .
36
63
36
63 9
Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức

Câu 1:

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6 

1
A. x 7  ln x   2 x .
x
1
C. x 7  ln x   2 x  C .
x

1 1
  2 là
x x2

1
 2x  C .
x
1
D. x 7  ln x   2 x  C .

x
Lời giải
B. x 7  ln x 

Chọn D

 f  x  dx
Câu 2:

 x 7  ln x 

1
 2x  C .
x

Nguyên hàm của hàm số f  x  
A. ln x  2  C .

B.

1
là:
x2

1
ln x  2  C .
2

C. ln  x  2   C .

D.

1
ln  x  2   C .
2
Lời giải
Chọn A
Câu 3:

Nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

 f  x  dx  2 ln 1  2 x  C .

C.

 f  x  dx   2 ln 1  2 x  C .

1
là
1  2x

1

B.

 f  x  dx  2 ln 1  2 x  C .

D.

 f  x  dx  ln 1  2 x  C .

Lời giải
Chọn C

Ta có

1

1

 1  2 x dx   2 ln 1  2 x  C .

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

168


Câu 4:

1

Tìm họ nguyên hàm của hàm số y 

1

A.

  x  1

C.

  x  1

2

dx 

2

dx 

1

2

 x  1

3

1  x 

2

.

C .

1
C .
x 1

1

B.

  x  1

D.

  x  1

2

1

2

dx  
dx 

1
C .
x 1
2

 x  1

3

C .

Lời giải
Chọn B
1

  x  1
Câu 5:

dx    x  1 dx    x  1  C 
2

2

1

Một nguyên hàm của hàm số f  x  

1
C .
x 1

x
.
x 1

 f  x  dx  x  ln x  1  1 .
C.  f  x  dx  x  ln  x  1 .

A.

B.

 f  x  dx  ln x  1  x  1 .

D. x  ln  x  1 .
Lời giải

Chọn A

x

 x  1 dx  
Vậy
Câu 6:

x 1 1
1 

dx    1 
 dx  x  ln x  1  C
x 1
 x 1 

 f  x  dx  x  ln x  1  1 là một nguyên hàm của f  x  .
1
và F  0   2 thì F 1 bằng.
x 1
C. 3 .

D. 4 .
Lời giải

Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x  
A. ln 2 .

B. 2  ln 2 .

Chọn B

1
dx  ln x  1  C mà F  0   2 nên F  x   ln x  1  2 .
x 1
Do đó F 1  2  ln 2 .
F  x  

Câu 7:

Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

1
 e 1  3
, biết F 
  là:
2x 1
 2  2

1
A. F  x   2 ln 2 x  1  .
2

1
C. F  x   ln 2 x  1  1 .
2

B. F  x   2 ln 2 x  1  1 .
D. F  x   ln 2 x  1 

1
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C

Áp dụng cơng thức ngun hàm mở rộng
LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

169


F  x  

1
1
dx  ln 2 x  1  C .
2x 1
2

1
3
 e 1 
 e 1  3
Mà F 
  1  C   C  1.
   ln 2 
2
2
 2 
 2  2
Câu 8:

Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
1
A. F  2   ln 3  2 .
2
F  2   2 ln 3  2 .

1
B. F  2   ln 3  2 .
2

1
; biết F 1  2 . Tính F  2  .
2x 1

C. F  2   ln 3  2 .

D.

Lời giải
Chọn B

1
Ta có F  x   ln 2 x  1  C ; F 1  2  C  2
2

1
1
 F  x   ln 2 x  1  2  F  2   ln 3  2 .
2
2
Câu 9:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  
A. x 

1
C .
x 1

B. 1 

1

 x  1

2

x2  x  1
.
x 1

C .

C.

x2
 ln x  1  C .
2

D.

x 2  ln x  1  C .

Lời giải:
Chọn C

Ta có f  x  

x2  x  1
1
 x
x 1
x 1

  f  x  dx 

x2

 ln x  1  C .
2

2x2  7 x  5
dx .
x3
A. I  x 2  x  2 ln x  3  C.

B. I  x 2  x  2 ln x  3  C.

2
C. I  2 x  x  2 ln x  3  C.

D. I  2 x 2  x  2 ln x  3  C.

Câu 10: Tính nguyên hàm I  

Lời giải
Chọn A

Ta có: I  

2 
2x2  7 x  5

2
dx    2 x  1 
 dx  x  x  2 ln x  2  C .
x3


2
x



LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

170


Câu 11: Cho biết

2 x  13

 ( x  1)( x  2) dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a  2b  8 .

B. a  b  8 .
C. 2a  b  8 .
Hướng dẫn giải

D. a  b  8 .

Chọn D
Ta có
1
1

2 x  13
3 
 5
 ( x  1)( x  2) dx    x  1  x  2  dx  5 x  1 dx  3 x  1 dx
 5ln x  1  3ln x  2  C .

a  5
Vậy 
 ab 8.
b  3

1
. Biết F  0   0 ,
2x 1
b
b
F 1  a  ln 3 trong đó a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi
c
c
đó giá trị biểu thức a  b  c bằng.
A. 4 .
B. 9 .
C. 3 .
D. 12 .
Lời giải
Chọn A
1
1 

3

Ta có F  x     3 x 2 
 dx  x  ln 2 x  1  C .
2x 1 
2

1
Do F  0   0  C  0  F  x   x3  ln 2 x  1 .
2
1
Vậy F 1  1  ln 3  a  1; b  1; c  2  a  b  c  4 .
2
2
1 
Câu 13: Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn f   x  
và f  0   1 . Giá trị
2x 1
2
Câu 12: F  x 

là một nguyên hàm của hàm số

f  x   3x 2 

của biểu thức f  1  f  3 bằng
A. 4  ln15 .

B. 3  ln15 .

C. 2  ln15 .
Lời giải

D. ln15 .

Chọn C

2
Ta có f  x    f   x  dx  
dx  
2x 1

1
2. d  2 x  1
2
 ln 2 x  1  c .
2x 1

f  0   1  c  1  f  x   ln 2 x  1  1 .

 f  1  ln 3  1
 f  1  f  3  2  ln15 .

 f  3  ln 5  1

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

171

Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức
Câu 1:

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   x  1 trên  0;   .

23 2
x  x  1.
3
1
C. F  x  
.
2 x

2 3
x  x 2.
3
1
D. F  x  
x.
2 x

A. F  x  

B. F  x  

Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có :
Câu 2:





x  1 dx 

2 3
x  xC.
3

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là
x 2019
C.
673

A.

x

C.

1 x 2019

C .
x 673

B. 2 x 3 
D.

1

2 x
Hướng dẫn giải

x 2019
C .
2019

 6054 x 2017  C .

Chọn B

Ta có:

 3
Câu 3:

x  x 2018



3

 1

x 2 x 2019
x 2019
dx    3x 2  x 2018  dx  3. 
 C  2 x3 

C .
3 2019
2019


2

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3

2

A.

 f  x  dx  3 x

C.

 f  x  dx  3  2 x  3 

2x  3  C .

2

2x  3  C .

1

B.

 f  x  dx  3  2 x  3

D.

 f  x  dx 

2x  3  C .

2x  3  C .

Lời giải
Chọn B

Xét I  
Đặt





2 x  3 dx .

2 x  3  t  t 2  2 x  3  2tdt  2dx .

1
1
I   t.tdt   t 2 dt  t 3  C 
3
3
Câu 4:



3

2 x  3  C   f  x  dx 

1
 2 x  3 2 x  3  C .
3

Một nguyên hàm của hàm số f  x   1  2 x là:

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 



172


A.



3
 2 x  1 1  2 x .
2

B. 

3
3
1  2 x  1  2 x . C.  2 x  1 1  2 x . D.
2
4

1
1  2 x  1  2 x .
3
Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

 f  x  dx  

1  2 xdx  

1 2
  f  x  dx   .
2 3
Câu 5:

1  2 x 

3

1

1
1  2 xd 1  2 x  , với x  .

2
2

C  

1
1  2 x  1  2 x  C
3

Hàm số F  x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y  3 x  1 ?
4
3
 x  1 3  C .
8
3
C. F  x    x  1 3 x  1  C .
4

A. F  x  

43
4
 x  1  C .
3
3
3
D. F  x   4  x  1  C .

4
Lời giải
B. F  x  

Chọn C

Ta có: I   3 x  1dx .
Đặt: t  3 x  1  t 3  x  1  3t 2 dt  dx .
3
3
3
4
 I   t.3t 2 dt   3t 3dt  t 4  C  3  x  1  C   x  1 3 x  1  C .
4
4
4
Vậy F  x  
Câu 6:

3
 x  1 3 x  1  C .
4

Tìm hàm số F  x  biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x và F 1  1 .
2
x x.
3
1
1
C. F  x  

 .
2 x2 2
A. F  x  

2
1
x x .
3
3
2
5
D. F  x   x x  .
3
3
Lời giải
B. F  x  

Chọn B

Ta có: F  x    x dx
2
2
Đặt t  x suy ra t 2  x và dx  2dt . Khi đó I   t.2tdt  t 3  C  I  x x  C .
3
3

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

173


1
2
1
Vì F 1  1 nên C  .Vậy F  x   x x  .
3
3
3
Câu 7:

Tìm hàm số f  x  , biết rằng f   x   4 x  x và f  4   0 .
A. f  x  

8 x x x 2 40
  .
3
2
3

B. f  x  

2
 1.
x

C. f  x  

8 x x x 2 88

  .
3
2 3

D. f  x  

2 x2
  1.
x 2

Hướng dẫn giải
Chọn A

Ta có: f  x    f   x  dx 
f  4  0 

Vậy f  x  
Câu 8:

8x x x2
 C .
3
2



8 x x x 2 40
  .
3
2

3

Tìm một nguyên hàm của hàm số f  x  
A. F  x  



40
8.4 4 42
 4 x  x dx .
 C  0  C  
3
2
3 

1
.
x 1

2
.
x 1

B. F  x   4 x  1 .

C. F  x   2 x  1 .

D.

F  x  x 1 .

Lời giải
Chọn B

Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx .
Ta có:

 f  x  dx  

4t
4
2
 4t  C  4 x  1  C .
dx   dt h '  2   
t
49
x 1

Vậy một nguyên hàm của hàm số f  x  
Câu 9:

2
là F  x   4 x  1 .
x 1

Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

1
 m  1 thỏa mãn F  0   0 và
2 x 1

F  3  7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng

A. 2 .

B. 3 .

C. 3 .

D. 2 .

Hướng dẫn giải

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

174


Chọn B

 1

Ta có F  x    
 m  1 dx  x  1   m  1 x  C .
 2 x 1

 F  0   0
C  1  0
C  1

Theo giả thiết, ta có 
.


C  3m  8
m  3
 F  3  7
Vậy F  x   x  1  2 x  1 .
Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 4  x 3 là
A.

2
9

2

4  x 

4  x 

3 3

3 3

C .

B. 2 4  x 3  C .

C.

1
9

4  x 

3 3

C .

D.

C.
Lời giải

Chọn A
2
3
 x 4  x dx 

Ta có


2
9

4  x 

3 3

1

3
1
1
1 2
3
3
3 2
3
3 2

x

x
4
d
4
4
d
4
.
4


x

x


x


 3 
 
 3 3
 C
3

C .
1

4  x 3   4  x 3  2 nhưng ta

Chú ý: Trong lời giải viết dấu “  ” thay cho dấu “  ” vì
1

mượn tạm cơng thức ngun hàm của  4  x 3  2 để tính ngun hàm của
Câu 11: Tìm họ ngun hàm của hàm số f  x  

1

4  x3 .

1
.
2 2x 1

A.

 f  x dx  2

2x 1  C .

B.

 f  x dx 

C.

 f  x dx  2

2x 1  C .

D.

 f  x dx   2 x  1

2x 1  C .
1
2x 1

C .

Hướng dẫn giải
Chọn A

2 x  1  t  2 x  1  t 2  dx  tdt .
1
1 tdt
1
1
1

Khi đó ta có 
   dt  t  C 
2 x  1dx  
2x 1  C .
2 t
2
2
2
2
e
ln x
Câu 12: Với cách đổi biến u  1  3ln x thì tích phân 
dx trở thành
1 x 1  3ln x
Đặt

2

2
A.   u 2  1 du .
31

2

2
B.   u 2  1 du .
91

2

C. 2  u  1 du .
2

1

2

2 u2 1
D. 
du .
91 u

Lời giải
Chọn B
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

175


u  1  3ln x  u 2  1  3ln x  ln x 

dx 2u
u2 1


du .
3
x

3

u2 1
2
ln x
2
2u
3
Khi đó 
du    u 2  1 du .
dx  
91
u 3
1
1 x 1  3ln x
2

e

Câu 13: Khi tính nguyên hàm



A.  2u  u 2  4 du .

x 3
dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào?
x 1

B.

 u

2

 4 du .

C.  2  u 2  4 du .

D.

 u

2

 3  du .

Lời giải
Chọn C

dx  2u du
.
Đặt u  x  1 , u  0 nên u 2  x  1  
2
x  u 1
Khi đó



u2 1 3

x3
.2u du   2  u 2  4 du .
dx  
u
x 1

Câu 14: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

2
thỏa mãn F  5   7 .
2x 1

A. F  x   2 2 x  1 .

B. F  x   2 2 x  1  1 .

C. F  x   2 x  1  4 .

D. F  x   2 x  1  10 .
Lời giải

Chọn B

Ta có



d  2 x  1
2
 2 2x 1  C ;

dx  2 
2x 1
2 2x 1

Do F  5   7 nên 6  C  7  C  1 .

Câu 1:

Dạng 4. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Khẳng định nào sau đây là đúng.
x
x
A.  tan xdx   ln cos x  C.
B.  sin dx  2 cos  C .
2
2
x
x
C.  cot xdx   ln sin x  C.
D.  cos dx  2 sin  C .
2
2
Lời giải
Chọn A
 cos x  ' sin x
Xét   ln cos x  C  '  

 tan x. Suy ra khẳng định A đúng.
cos x
cos x



Câu 2:

4

Tính tích phân I   cos 2 xdx
0

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

176


A. I 

 2

B. I 

8

 2

1
3

C. I 

4

D. I 

2
3

Lời giải
Chọn A






14
1
1
 4  2
Cách giải: I   cos xdx    1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x  
20
2
2
8
0
0
4

2

Câu 3:

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 

1  sin 3 x
.
sin 2 x


C.  f (x)dx   cot x  cos x  C .


D.  f (x)dx   tan x  cos x  C .

A. f (x)dx   cot x  cos x  C .

B. f (x)dx   tan x  cos x  C .

Lời giải
Chọn A

1  sin 3 x
1
 sin 2 x dx   sin 2 x dx   sin xdx   cot x  cosx+C
Câu 4:

Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số

f  x   sin 3 x cos x . Tính

 
I  F    F  0
2

A. I 


2

1
B. I  .
4

.

C. I 

3
.
2

3
D. I  .
4

Lời giải
Chọn B

2



1



Ta có I  sin x cos xdx  t 3dt 
3

0

Câu 5:

0

1
4

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  (sin x  cos x) 2
1

A.

 f ( x)dx  x  2 cos 2 x  C.

C.

 f ( x)dx   2 cos 2 x  C.

1

1

B.

 f ( x)d x  2 cos 2 x  C.

D.

 f ( x)d x  x  2 cos 2 x  C.

1

Lời giải
Chọn D

  sin x  cos x 
Câu 6:

2

1
dx    sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x dx   1  sin 2 x dx  x  cos 2 x  C
2

Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là ngun hàm của hàm số còn lại?
1
A. f  x   sin 2 x và g  x   cos 2 x .
B. f  x   tan 2 x và g  x  

.
cos 2 x 2
C. f  x   e x và g  x   e x .
D. f  x   sin 2 x và g  x   sin 2 x .
Lời giải

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

177


Chọn D





/

Vì sin 2 x  2sin x cos x  sin 2 x
Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga
Câu 1:

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e 2x
1
A.  e 2x dx   e 2x  C.
2

B.  e 2x dx 

1 2x
e  C.
2

C.  e 2x dx  2e 2x  C.

D.  e 2x dx  2e 2x  C.
Lời giải

Chọn B
1
1
Theo công thức nguyên hàm cơ bản  e ax  b dx  eax  b  C . Suy ra  e 2x dx  e 2x  C .
a
2

Câu 2:

Tìm nguyên hàm của hàm số y  1212x.
A.  122x dx  1212 4x ln12  C

B.  122x dx  1212x ln12  C

1212x 1
C
D.  12 dx 
ln12
Lời giải

1212x
C
C.  12 dx 
ln12
2x

2x

Chọn D

Ta có  1212x dx 
Câu 3:

1
1212x
1212x 1
12x
12x
12
d
12x
C
12
dx




C




12 
12.ln12
ln12

Cho F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A. I  e .

B. I 

1
.
e

ln x
. Tính F (e)  F (1)
x

C. I 

1
.
2

D. I  1 .

Lời giải
Chọn C

ln  x 
1
F x   
dx   ln  x  d ln  x   ln( x) 2
x
2
1
 F( e )  F(1) 
2
Câu 4:

Biết F làm một nguyên hàm của hàm số f  x   2016e 2016 x và F  0   2018 . Giá trị của
F là
A. F 1  2016.

B. F 1  2016e 2016 .

C. F 1  2016e 2016  2.

D. F 1  e2016  2017.
Lời giải

Chọn D
F  x    2016e 2016x dx  e 2016x  C  F  0   1  C  2018  C  2017

 F  x   e 2016x  2017  F 1  e 2016  2017.

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

178


Câu 5:

Tìm nguyên hàm I  

x ln  x 2  1
x2  1

dx

1
4

B. I  ln 2  x 2  1  C

A. I  ln  x 2  1  C
1
2

C. I  ln  x 2  1  C

D. I  ln 2  x 2  1  C
Lời giải

Chọn B





Áp dụng công thức nguyên hàm hợp d ln  x 2  1 
I 

Câu 6:



2x
dx
x 1
2



1
1
ln  x 2  1 d ln  x 2  1  .ln 2  x 2  1  C
2
4

Kí hiệu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
nghiệm S của phương trình F  x   ln  e x  1  3 .
A. S  3;3

B. S  3

1

, biết F  0    ln 2 . Tìm tập
e 1
x

C. S  

D. S  3

Lời giải
Chọn B

1
ex
x
dx

dx

 e x  1   e x  1 dx  x  ln  e  1  C
Vì F  0    ln 2  C  0  F  x   x  ln  e x  1
Xét phương trình F  x   ln  e x  1  3  x  3
Dạng 6: Nguyên Hàm Từng Phần
Câu 1:

Biết F  x    ax  b  .e x là nguyên hàm của hàm số y   2 x  3 .e x . Khi đó a  b là
A. 2

B. 3

C. 4

Lời giải

D. 5

Chọn A
y   2 x  3 e x  F  x     2 x  3 e x dx
u  2 x  3  du  2dx


x
x
 dv  e dx
 ve

F  x     2 x  3 e x dx   2 x  3 e x   e x 2dx   2 x  3 e x  2e x   2 x  1 e x

Khi đó a  b  3 .


Câu 2:

4

Cho tích phân I    x  1 sin 2 xdx. Tìm đẳng thức đúng
0

LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

179







4

4

B. I    x  1 cos 2 x   cos 2 xdx .

A. I    x  1 cos 2 x 04   cos 2 xdx .

0

0



1
C. I    x  1 cos 2 x
2





14
4
cos 2 xdx .
0 
2 0

1
D. I    x  1 cos 2 x
2



14
4
cos 2 xdx .
0 
2 0

Lời giải
Chọn C



 du  dx
u  x  1
1
14


Đặt 

ta có I    x  1 cos 2 x 4   cos 2 xdx
1
2
20
dv  sin 2 xdx v   cos 2 x
0
2


Câu 3:

Biết rằng  e 2 x cos 3xdx  e2 x  a cos 3x  bsin 3x   c , trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó
tổng
a + b có giá trị là
A. 

1
13

B. 

5
13

C.

5
13

D.

1
13

Lời giải
Chọn C

Đặt f  x   e2 x  a cos 3x  bsin 3x   c . Ta có
f '  x   2ae2 x cos 3x  3ae2 x sin 3x  2 be2 x sin 3x  3be2 x cos 3x
  2a  3b  e 2 x cos 3x   2 b  3a  e2 x sin 3x

Để f là một nguyên hàm của hàm số e 2 x cos 3x , điều kiện là

2
a 

a

b

2
3
1
5
f '  x   e2 x cos 3x  
  13  a  b  .
13
2 b  3a  0
b  3


13

Câu 4:

Tính

nguyên

I 

hàm

 x  2  sin 3xdx  

x  2  cos 3x  b sin 3x  C .
a

Tính

M  a  27b . Chọn đáp án đúng:

A. 6

B. 14

C. 34
Lời giải

D. 22

Chọn A
u  x  2
. Ta được
Đặt 
dv  sin 3xdx

du  dx


cos 3x
v  

3

Do đó:
I 

Câu 5:

x  2 cos 3 x  1
3

cos 3xdx  
3

3

9

9

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x sin 2 x là

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

x  2 cos 3x  1 sin 3x  C  a  3;b  1  M  6

180


1
1
A. F ( x )   x cos 2 x  sin 2 x  C .
2
4
C. F ( x )   x cos 2 x  sin 2 x  C .

1
1
x cos 2 x  sin 2 x  C .
2
4
D. F ( x )  x cos 2 x  sin 2 x  C .

B. F ( x) 

Lời giải
Chọn A

Đặt

u  x  u  1
x cos 2 x
x cos 2 x sin 2 x
cos 2 x

dx  


C

cos 2 x  I  

2
2
2
4
v

x

v


sin
2

2
Câu 6:

Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3. Tính F 1 .
A. F 1  11e  3.

B. F 1  e  3.

C. F 1  e  7.

D. F 1  e  2.

Lời giải
Chọn C
1

I   (5 x  1)e x dx
0

u  5 x  1  du  5dx, dv  e x dx  v  e x
 I  (5 x  1)e x
Câu 7:

1 1 x
1
  e 5dx  (5 x  1)e x  5e x  e  4  F (1)  F (0)  F (1)  e  7
0 0
0

Tìm  x cos 2xdx.
1
1

x.sin 2x  cos2x  C.
2
4
1
1
C. x.sin 2x  cos2x  C.
2
2

B. x.sin 2x  cos2x  C.

A.

D.

1
1
x.sin 2x  cos2x  C.
2
4

Lời giải
Chọn D

du  dx
u  x
1
1



  x cos 2xdx  x sin x2x   sin 2xdx
Đặt 
1
2
2
dv  cos2xdx  v  sin 2x

2
1
1
 x sin 2x  cos2x  C.
2
4
Câu 8:

  x  2  sin 3xdx  
A. 14

 x  m  cos 3x  1 sin 3x  C . Tính giá trị của
n

B. 2.

p

C. 9
Lời giải

mn p.
D. 10

Chọn A
du  dx
u  x  2

Đặt 

cos 3 x .
dv  sin 3xdx v  
3


LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

181


Khi đó

  x  2  sin 3xdx  

 x  2  cos 3x  1 sin 3x  C.
3

9

Suy ra m  2, n  3, p  9
Vậy m  n  p  14.

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133

 

182


BÀI 2.TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  . Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm
f  x  trên  a ; b  .
b

 f  x  dx  F  x 
a

b
a

 F b  F  a

Quy ước:
a

+ Nếu a  b thì  f  x  dx  0
a

b

a

+ Nếu a  b thì  f  x  dx    f  x  dx
a

b

b

b

b

a

a

a

 f  x  dx   f t  dt   f  u du  ...
2. Tính chất:
b

b

a

a

 kf  x  dx  k  f  x  dx

k  

b

b

b

a

a

a

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
b


a

c

b

a

c

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx

 a  c  b

Một số tính chất mở rộng:
Nếu f  x   0x   a; b thì:

b

 f  x dx  0x   a; b
a

b

b

a

a

Nếu: x   a; b  : f  x   g  x    f  x dx   g  x dx .
b

Nếu: x   a; b  và với hai số M, N ta ln có: M  f  x   N thì: M  b  a    f  x dx  N  b  a  .
a

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN.
1. Phương pháp đổi biến số
1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1.
Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]

và   u( x)   . Giả sử có thể viết f ( x)  g(u( x))u ʹ( x), x  [a;b], với g liên tục trên đoạn [ ;  ].
b

u( b )

a

u( a )

Khi đó, ta có: I   f ( x)dx 



g(u)du.

LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 

 

183 


b

Bài tốn: Tính tích phân I   g u( x) .u( x)dx
a

Cách giải: Đặt t  u  x   dt  u( x)dx
 x  a  t  u( a)

u( b )

. Khi đó I   g(t)dt.
Đổi cận: 
 x  b  t  u(b)
u( a )
Chú ý: Khi đổi biến ta phải đổi cả cận
Dấu hiệu chung:
Nếu hàm số chứa căn  đặt t  căn
Nếu hàm số chứa mẫu  đặt t  mẫu
Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao  đặt t  biểu thức chứa lũy thừa bậc cao
Dấu hiệu cụ thể:
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Dấu hiệu
Có thể đặt
Ví dụ
I

3

x 2 dx

. Đặt t  x  1

1

Có

2

Có (ax  b)n

t  ax  b

I   x( x  1)2018 dx .

3

Có a f ( x )

t  f ( x)

I 4

4

Có

t

f ( x)

f ( x)

t  ln x hoặc biểu thức chứa

dx
và ln x
x

ln x
te

0

1



0

hoặc biểu thức chứa

I

e tan x  3
dx .
cos 2 x

Đặt t  x  1

Đặt t  tan x  3

1  3 ln x . ln x
.dx . Đặt t  1  3 ln x
x

e

I

1

x

x 1

0

ln 3

e 2 x 4 e x  3.dx .

Đặt t  4 e x  3

5

Có e x dx

6

Có sin xdx

t  cos x

I 3

7

Có cos xdx

t  sin xdx

I   2 sin 3 x cos xdx . Đặt t  sin x

e

x

0



0



0



8
9

Có
Có

sin 3 x
dx Đặt t  2 cos x  1
2 cos x  1

dx
cos 2 x

t  tan x

dx
sin 2 x

t  cot x

I 4
0


1
1
2
d
x

04 (1  tan x) cos 2 x dx
cos 4 x

Đặt t  tan x


I  4
6



e cot x
e cot x
dx  4
dx . Đặt t  cot x
2
1  cos 2 x
6 2 sin x

1.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2.
Đặt x  u  t 
b

Bài tốn 1: Tính I   f(x)dx
a

Phương pháp: Đặt x  u  t   dx  u ʹ  t  dt
Đổi cận: x  a  u  
xbu
b

Suy ra I   f u(t) u ʹ(t )dt
a

Dấu hiệu

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 

 

Đặt

184 


Nếu hàm f  x  có chứa a 2  x 2 thì

dx  d  a sin t   a cos t dt

đặt x  a sin t  

2
2
2
2
2
 a  x  a  a sin t  a cos t

Nếu hàm f  x  có chứa a 2  x 2 thì
đặt


adt
dx  d  a tan t   cos 2 t

x  a tan t  
a
 a 2  x 2  a 2  a 2 tan 2 t 

cos t

đặt


 a cos tdt
dx  sin 2 t

x

2
sin t
 x 2  a 2  a 2 cos t

sin 2 t

đặt

dx  d  a cos 2t   2a sin 2tdt

x  a cos 2t   a  x
1  cos 2 t
cos 2 t



1  cos 2 t
sin 2 t
 ax

Nếu hàm f  x  có chứa x 2  a 2 thì

ax
ax

Nếu hàm f  x  có chứa

thì

a

Bài tốn 2.
Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Khi đó ta có

b

b

a

a

 f  x  dx   f  a  b  x  dx .

Chứng minh:
Đặt t  a  b  x  dx  dt .
Khi đó

b


a

a

b

b

b

a

a

f  x  dx   f  a  b  t  dt    f  a  b  t  dt   f  a  b  x  dx .
a

Bài toán 3: Cho hàm số f  x  liên tục và là hàm số lẻ trên   a; a  . Chứng minh rằng:  f  x  dx  0 .
a

Chứng minh:
a

0

a

a

0

Ta có: I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .
a

0

Xét tích phân: J   f  x  dx , Đặt x  t  dx  dt .
a

Đổi cận: x   a  t  a ; x  0  t  0 .
Mặt khác vì f  x  là hàm số lẻ nên f  t    f  t  .
0

a

a

Khi đó: J    f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx .
0

a

0

a

a

0

0

Thay vào ta được: I    f  x  dx   f  x  dx  0 .
2. Phương pháp tích phân từng phần
b

b

Công thức:  udv  uv a   vdu .
a

b

a

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 

 

185 


B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: Tích Phân Hữu Tỉ
2

Câu 1:

Tích phân

2

ị 2 x +1 dx

bằng

0

A. 2ln 5 .

B.

1
ln 5 .
2

C. ln 5 .

D. 4ln 5

Lời giải
Chọn C
2

ò
0

Câu 2:

2

2
2
2
dx = ò
d (2 x +1) = ln 2 x +1 | = ln 5 .
0
2 x +1
2 x +1
0

Nguyên hàm ò
A.

ò

B.

ò

C.

ò

x +3
dx ?
x + 3x + 2
2

x +3
dx = 2 ln x +1 - ln x + 2 + C

x + 3x + 2
.
2

x +3
dx = - ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C .
x + 3x + 2
x +3
dx = 2 ln x + 1 + ln x + 2 + C
2
x + 3x + 2
.
2

x +3
dx = ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C
x + 3x + 2
Lời giải
Chọn A
æ 2
2 ( x + 2) - ( x + 1)
1 ửữ
x+3
dx
dx
2
I =ũ 2
dx = ũ
dx = ũ ỗỗ
dx

=
ữ
ũ
ũ
ỗố x + 1 x + 2 ø÷
x + 3x + 2
x +1
x+2
( x + 1)( x + 2)

D.

ò

2

= 2 ln x +1 - ln x + 2 + C .
2

Câu 3:

Cho hàm f ( x) =

( x + 2)

có nguyên hàm là hàm F ( x) . Biết F (1) = 6 . Khi đó F ( x) có

x3

dạng:

4 2
A. ln x - - 2 + 6
x x
.
4 2
ln x - - 2 + 12
x x

4 2
4 2
B. ln x + - 2 + 4 . C. ln x + - 2 + 6 D.
x x
x x
.

Lời giải
Chọn D
2

x2 + 4x + 4 1 4
4
= + 2 + 3 ( x ¹ 0)
3
3
x
x
x x
x
dx
dx

dx
4 2
f ( x ) dx = ò
+ 4 ò 2 + 4 ò 3 = ln x - - 2 + C .
x
x
x
x x

Ta có: f ( x) =
 F ( x) = ị

( x + 2)

=

LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 

 

186 


4 2
Mà F (1) = 6  C = 12  F ( x ) = ln x - - 2 + 12
x x
.

Câu 4:

Tìm hàm số f ( x) biết f '( x ) =

4x2 + 4x + 3
và f (0) = 1. Biết f ( x) có dạng:
2 x +1

f ( x) = ax 2 + bx + ln 2 x +1 + c. Tìm tỉ lệ của a :b : c
A. a :b : c=1 : 2 :1 .
a :b : c=1 : 2 : 2

B. a :b : c=1 :1 :1 .

C. a :b : c= 2 : 2 :1 .

D.

Lời giải
Chọn B
Ta có f (x) 



4x 2  4x  3
2 

2
dx=   2 x  1 
dx  x  x  ln 2 x  1  c

2x  1

2
x
1



Mà f (0) = 1  c  1  f ( x)  x 2  x  ln 2 x  1  1 .

Câu 5:

x 3dx 1
 ln b Chọn phát biểu đúng
0 x4  1
a
A. a :b = 2 :1 .
B. a + b = 3 .
C. a – b = 1 .
đúng
Lời giải
Chọn A
Cho I  

1

I 
0

1

x 3 dx

. Đặt: u  x 4  1  du  4 x 3 dx
x4  1

Đổi cận: x  0  u  1; x  1  u  2  I  

2

1

1

Câu 6:

D. Tất cả đều

Một học sinh làm tích phân I = ị
0

2

du 1
1

 ln u   ln 2 .
4u 4
1 4

dx
theo các bước
1+ x2

Bước 1: Đặt x = tan t , suy ra
Bước 2: Đổi x = 1  t =
p
4

Bước 3: I = ò
0

p
,x=0t =0
4

2

p
4

p
1 + tan t
p
p
4 = 0dt
=
dt
=
t
=2
ò
0

1 + tan t
4
4
0

Các bước làm trên, bước nào bị sai
A. Bước 3.
B. Bước 2.
nào sai

C. Bước 1

D. Không bước

Lời giải
Chọn A
p
4

I =ò
0

2

p
4

p
1 + tan t
p

p
dt = ò dt = t 04 = - 0 = .
2
1 + tan t
4
4
0

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 

 

187