Giáo trình Cơ sở điều khiển tự động: Phần 1 - Trường ĐH Thủ Dầu Một

TS NGUYỄN ĐỨC THÀNH (CHỦ BIÊN)
ThS NGUYỄN VĂN SƠN ThS VÕ THÀNH NHÂN

CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
2015


TRƢỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
Khoa Điện - Điện Tử
Nguyễn Đức Thành Nguyễn Văn Sơn Võ Thành Nhân

CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
BÌNH DƢƠNG 2015


LỜI NÓI ĐẦU
Quyển sách “Cơ sở điều khiển tự động” trình bày các nội dung cơ bản của Lý
thuết điều khiển tự động, các nội dung này thường được giảng dạy ở các trường Đại
học và Cao đẳng chuyên ngành Kỹ thuật điều khiển và Tự động hoá, Điện tử- Tự
động, Cơ điện tử và một số chuyên ngành khác.
Nội dung quyển sách gồm chín chương
Chương 1: Đại Cương về Hệ Thống Điều Khiển
Chương 2 Mơ Tả Tốn Học Hệ Thống Điều Khiển Liên Tục
Chương 3 Đặc Tính Động Học
Chương 4 Ổn Định Của Hệ Thống Tự Động Tuyến Tính
Chương 5 Chất Lượng Hệ Thống Điều Khiển Tự Động
Chương 6 Thiết Kế Bộ Điều Khiển Liên Tục

Chương 7 Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc
Chương 8 Thiết Kế Bộ Điều hiển ời ạc
Chương 9 Hệ Thống Điều Khiển Phi Tuyến
Cuối mỗi chương có câu hỏi và bài tập. Cơng cụ Matlab được dùng xuyên suốt
trong các ví dụ nhằm giảm thời gian tính tốn và giúp sinh viên tiếp cận phương pháp
tính tốn hiện đại..
Thạc sĩ Nguyễn Văn Sơn soạn các chương 7 và 8, Thạc sĩ Võ Thành Nhân
soạn chương 9, Tiến sĩ Nguyễn Đức Thành soạn các phần còn lại của quyển sách và
chỉnh lý toàn bộ nội dung.
Quyển sách có thể dùng làm tài liệu giảng dạy/ tham khảo cho các mơn học có
tên liên quan như Cơ sở điều khiển tự động, Cơ sở tự động học, Lý thuyết điều khiển
tự động, Kỹ thuật điều khiển tự động…
Tuỳ theo lượng thời gian phân bố cho môn học và trình độ sinh viên, một số
chương có thể được giảng dạy, một số chương dành cho sinh viên tự đọc.
Với khối lượng 30 tiết lý thuyết, nội dung giảng dạy trên lớp có thể là các
chương 2, 3, 4, 5, 6, 7 với một số đề mục nhỏ cho sinh viên tự đọc . Với khối lượng
45 tiết lý thuyết/bài tập, nội dung giảng dạy trên lớp có thể là các chương 1,2, 3, 4, 5,
6, 7. 8. Với khối lượng 60 tiết lý thuyết/bài tập, nội dung giảng dạy trên lớp có thể là
các chương 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8. 9.
Nhóm biên soạn đã có nhiều cố gắng tuy nhiên vẫn cịn nhiều thiếu sót, mong
được lượng thứ. Các đóng góp chân thành của người đọc cho quyển sách tốt hơn xin
gởi về địa chỉ: hoa Điện- Điện tử, Trường Đại Học Thủ Dầu Một, 6 Trần Văn Ơn,
Thành phố Thủ Dầu Một, Bình Dương.
Bình Dương, 20-10-2015
Nhóm biên soạn


MỤC LỤC
Chương1 Đại Cương về Hệ Thống Điều Khiển
1.1 Giới thiệu

1.1.1 Các định nghĩa 1
1.1.2 Mục đích của lý thuyết điều khiển tự động 2
1.2 Phân Loại HTĐK 2
1.3 Lịch Sử Phát Triển ĐKTĐ 5
1.4 Ví Dụ HTĐKTĐ 7
Chương 2 Mơ Tả Tốn Học Hệ Thống Điều Khiển Liên Tục
2.1 Biến Đổi Laplace 16
2.1.1 Định nghĩa 16
2.1.2 Các tính chất của biến đổi Laplace 16
2.1.3 Bảng biến đổi Laplace 18
2.1.4 Biến đổi Laplace ngược 19
2.1.5 Phân tích phân thức tối giản 19
2.2 Hàm Truyền 23
2.2.1 Hàm truyền hệ một ngõ vào, một ngõ ra SISO 23
2.2.2 Hàm truyền hệ nhiều ngõ vào nhiều ngõ ra MIMO 28
2.3 Phương Trình Trạng Thái 29
2.3.1 Vế phải phương trình vi phân khơng có đạo hàm tín hiệu vào 29
2.3.2 Vế phải phương trình vi phân có đạo hàm tín hiệu vào 30
2.3.3 Dạng chính tắc điều khiển được 33
2.3.4 Dạng chính tắc quan sát được 34
2.3.5 Chuyển đổi phương trình trạng thái sang hàm truyền 37
2.3.6 Định lý Cayley-Hamilton 39
2.4 Sơ Đồ Khối 41
2.4.1 Khái niệm 41
2.4.2 Đại số sơ đồ khối 42
2.5 Sơ Đồ Dịng Tín Hiệu 46
2.5.1 Định nghĩa 46
2.5.2 Cơng thức Mason 46
2.6 Tuyến Tính Hố 48
2.7 Mơ Hình Tốn Hệ Thống Cơ Điện 50

2.7.1 Hệ thống cơ 50
2.7.2 Con lắc ngược 53
2.7.3 Động cơ một chiều nam châm vĩnh cửu 56
2.7.3 Động cơ một chiều không chổi than (Brushless DC Motor BLDC) 59
2.7.4 Động cơ AC 59
2.8 Hàm Truyền Hệ Thống Nhiệt 61
2.8.1 Các đại lượng nhiệt 61

1

16


2.8.2 Hàm truyền lò nhiệt điện trở 63
2.8.3 Hàm truyền máy nước nóng 64
2.9 Hàm Truyền Hệ Thống Mực Chất Lỏng 65
2.9.1 Hệ một bồn chứa nước 66
2.9.2 Hệ hai bồn nước 67
2.10 Tương Đồng Giữa Các Hệ Thống 68
2.11 Hệ Thống Có Trễ 69
Kết luận 69
Bài tập 70
Chương 3 Đặc Tính Động Học
3.1 Đáp Ứng Thời Gian 74
3.2 Đáp Ứng Tần Số 77
3.2.1 Biểu đồ Bode 78
3.2.2 Biểu đồ Nyquist 81
3.2.3 Biểu đồ Nichols 81
3.3 Đặc Tính Động Học Khâu Bậc Nhất 82
3.3.1 Khâu tỷ lệ 82

3.3.2 Khâu quán tính 82
3.3.3 Khâu tích phân 84
3.3.4 Khâu vi phân 84
3.3.5 Khâu 1+sT 85
3.4 Đặc Tính Động Học Khâu Bậc Hai 86
3.4.1 Khâu bậc hai tiêu chuẩn 86
3.4.2 Khâu bậc hai có zero 91
3.4.3 Khâu tích phân qn tính 93

74

3.5 Khâu Trì Hỗn e  sTD 96
3.5 Vẽ Biểu Đồ Bode Hàm Truyền Tổng Quát 96
Kết luận 100
Bài tập 100

Chương 4 Ổn Định Của Hệ Thống Tự Động Tuyến Tính
4.1 Khái Niệm Về Ổn Định 103
4.2 Tiêu Chuẩn Routh-Hurwitz 105
4.2.1 Tiêu chuẩn Routh 107
4.2.2 Tiêu chuẩn Hurwitz 114
4.3 Quĩ Tích Nghiệm 114
4.3.1 Định nghĩa 114
4.3.2 Quy tắc vẽ quỹ tích nghiệm 115
4.4 Tiêu Chuẩn Ổn Định Nyquist 121
4.5 Tiêu Chuẩn Ổn Định Bode 127

103

Kết luận 128
Bài tập 129
Chương 5 Chất Lượng Hệ Thống Điều Khiển Tự Động

132

5.1 Khái Niệm 132
5.2 Sai Số Xác Lập 133
5.2.1 Sai số xác lập với hàm nấc 133
5.2.2 Sai số xác lập với hàm dốc 135
5.2.3 Sai số xác lập với hàm parabole 136
5.2.4 Trường hợp H(s) ≠ 1 139
5.2.5 Điều kiện đối với hàm truyền kín để triệt tiêu sai số xác lập 139
5.3 Triệt Tiêu Nhiễu Loạn 140
5. 4 Độ Quá Điều Chỉnh Và Thời Gian Xác Lập 144
5.4.1 Thêm zero vào hàm truyền hệ bậc hai 145
5.4.2 Hàm truyền bậc ba 148
5.5 Các Hàm Truyền Tiêu Chuẩn 152
5.5.1 Các hàm chỉ tiêu 152
5.5.2 Hàm truyền tối ưu 153
5.6 Khảo Sát Chất Luợng Dựa Trên Biểu Đồ Bode 155
Kết luận 156
Bài tập 156
Chương 6 Thiết Kế Bộ Điều Khiển Liên Tục
6.1 Khái Niệm 159
6.2 Điều Khiển PID 163
6.2.1 Điều khiển tỷ lệ P 163
6.2.2 Điều khiển PI 168
6.2.3 Thiết kế điều khiển PI hệ bậc hai dùng quỹ tích nghiệm 170
6.2.4 Điều khiển PID 172

6.2.5 Thiết kế PID dùng phương pháp giải tích 173
6.2.6 Thiết kế dùng tiêu chuẩn ITAE 175
6.2.7 Phương pháp Ziegler Nichols 176
6.2.8 Thiết kế PID dùng Matlab 180
6.2.9 Các bộ điều khiển PID công nghiệp 182
6.3 Điều Khiển Sớm Trễ Pha 183
6.3.1 Thiết kế hiệu chỉnh sớm pha 186
6.3.2 Thiết kế hiệu chỉnh trễ pha 190
6.3.3 Thiết kế hiệu chỉnh sớm-trễ pha 194
6.4 Thiết Kế Dùng Matlab 199
6.5 Thiết Kế Bộ Điều Khiển Nhiều Vòng Hồi Tiếp 205
6.6 Thiết Kế Bộ Điều Khiển Dùng Phương Pháp Đặt Cực 208
6.6.1 Tính ma trận hồi tiếp 208

159


6.6.2 Điều khiển tín hiệu ra theo tín hiệu vào 213
6.6.3 Điều khiển hồi tiếp trạng thái và ngõ ra 215
6.7 Hệ Thống Quan Sát- Điều Khiển Trạng Thái 220
6.7.1 Quan sát trạng thái đầy đủ 220
6.7.2 Kết hợp điều khiển và quan sát trạng thái đầy đủ 222
6.7.3 Quan sát giảm bậc 231
6.7.4 Đặt cực cho hệ MIMO 232
6.8 Điều Khiển LQR 233
Kết luận 236
Bài tập 236
Chương 7 Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc
7.1 iới Thiệu Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc 238
7.1.1 Lấy mẫu tín hiệu 238

7.1.2 ộ giữ ậc ero 239
7.1.3 Thực hiện bộ điều khiển số 240
7.2 iến Đổi Z 241
7.2.1 iến đổi v tính chất 241
7.2.2 iến đổi ngược 244
7.3 H m Truyền Hệ Thống Rời Rạc 249
7.3.1 Biến đổi phương trình sai phân ra h m truyển 249
7.3.2 Biến đổi hàm truyền liên tục sang rời rạc 249
7.3.3 H m truyền v ng kín rời rạc 251
7.4 Phân Tích Ổn Định Tr n Mặt Ph ng Z 253
7.4.1 Ti u chuẩn ổn định Routh-Hurwit cho hệ thống rời rạc 255
7.4.2 Ti u chuẩn ổn định Jury 256
7.5 Quỹ Tích Nghiệm Của Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc 257
7.6 Đáp Ứng Tần Số Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc 259
7.7 Hệ Phương Trình Trạng Thái Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc 261
7.7.1 Dạng chính tắc điều khiển được 262
7.7.2 Dạng chính tắc quan sát được 264
7.7.3 Dạng chính tắc đường chéo 265
7.7.4 Hệ thống điều khiển được 267
`
7.7.5 Hệ thống quan sát được 268
7.7.6 Chuyển hệ phương trình trạng thái li n tục sang rời rạc 268
7.7.7 H m truyền rời rạc t phương trình trạng thái 270
Kết luận 271
Bài tập 271
Chương 8 Thiết Kế Bộ Điề
hiển ời ạc
8.1 Chất Lượng Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc 278
8.2 Hiệu Chỉnh PID 281
8.2.1 ộ hiệu chỉnh PID 281

238

278


8.2.2 Thực hiện hiệu chỉnh PID ng vi điều khiển 288
8.3 ổ Chính Sớm Pha –Trễ Pha 290
8.3.1 Bổ chính sớm pha rời rạc 290
8.3.2 ổ chính trễ pha rời rạc 292
8.4 Thiết kế giải tích trong mặt ph ng z 297
8.5 Điều khiển đặt cực 300
8.5.1 Thiết kế đặt cực 301
8.5.2 Đặt cực triệt tiêu sai số xác lập 304
8.6 Đáp Ứng Dead eat 306
8.7 ộ Quan Sát Trạng Thái 310
8.7.1 Thiết kế bộ quan sát 310
8.7.2 ộ quan sát v điều khiển đặt cực 313
8.8 ộ Quan Sát iảm ậc 314
8.9 Điều Khiển LQR 319
Kết luận 322
Bài tập 322
Chương 9 Hệ Thống Điều Khiển Phi Tuyến
9.1 Khái Niệm ề Hệ Thống Phi Tuyến 325
9.1.1 Khái Niệm 325
9.1.2 Tính chất v đặc điểm riêng của phi tuyến 325
9.1.3 Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến 326
9.2 Phương Pháp H m Mơ Tả Tuyến Tính Hóa Điều H a) 327
9.2.1 Khái Niệm 327
9.2.2 H m mô tả hay hệ số khuếch đại phức của khâu phi tuyến 328

9.2.3 H m mơ tả các khâu phi tuyến điển hình 328
9.2.3 Chu trình giới hạn 331
9.2.4 Xét ổn định của chu trình giới hạn 332
9.3 Phương Pháp Mặt Ph ng Pha 334
9.3.1 Điểm bất thường 335
9.3.2 Vẽ chân dung pha 336
9.3.3 Chân dung pha hệ tuyến tính 337
9.3.4 Chân dung pha hệ phi tuyến 338
9.4 Ti u Chuẩn Ổn Định Lyapunov 339
9.4.1 Ổn định theo nghĩa Lyapunov 339
9.4.2 Định lý Lyapunov thứ nhất 341
9.4.3 Định lý trực tiếp Lyapunov 341
9.5 Thiết Kế Bộ Điều Khiển Phi Tuyến 346
9.5.1 Phương pháp hồi tiếp tuyến tính hóa 347
9.5.2 Phương pháp điều khiển thích nghi theo mơ hình mẫu (MRAC) 347
Kết luận 349
Bài tập 349
Tài liệu tham khảo

325


CHƯƠNG 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN
1.1 GIỚI THIỆU
1.1.1 Các định nghĩa
Hệ thống (System): tập hợp các phần tử có quan hệ hữu cơ với nhau, tác động
chi phối lẫn nhau theo các quy luật nhất định, ví dụ hệ thống sưởi, hệ thống điều hịa,
hệ thống giao thơng, hệ thống điện, hệ thống ngân hàng, hệ thống giáo dục, hệ thống
chính trị, hệ thống tuần hồn trong sinh vật…

Điều khiển (Control): tác động lên hệ thống để đạt mục tiêu nào đó, ví dụ điều
khiển vận tốc và hướng xe chạy trên đường, điều khiển phanh chống bó (ABS AntiLock Braking System), điều khiển tần số và điện áp máy phát, diều khiển giao thông...
Hệ thống điều khiển (Control System) (HTĐK): bao gồm Đối tượng được điều
khiển, gọi tắt là Đối tượng (Object) và Bộ điều khiển (Controller), Bộ điều khiển
giám sát và tác động đến đối tượng thông qua sự thay đổi năng lượng cung cấp cho
đổi tượng, ví dụ tăng cơng suất điện thì lị nóng hơn, người lái xe thay đổi vận tốc xe
bằng cách thay đổi lượng hịa khí được đốt. Đối tượng ở đây rất đa dạng, trong hệ
thống vật lý ta có đối tương cơ, nhiệt, điện…; trong kinh tế, sinh học… có nhiều loại
đối tượng khác nhau.Thuật ngữ tiếng Anh thường dùng các từ như Plant, Process để
chỉ Đối tượng.
Điều chỉnh (Regulate) là duy trì một giá trị ổn định cho trạng thái của hệ thống,
điều chỉnh có phạm vi hẹp hơn điều khiển, ta có bộ điều chỉnh, hệ thống điều chỉnh, ví
dụ hệ thống điều chỉnh thân nhiệt của sinh vật , ổn áp 5V. ổn định tần số lưới điện.
Nhiễu loạn (Disturbance): là những tác động không mong muốn lên hệ thống
gây giảm chất lượng điều khiển, ví dụ đóng mở cửa ra vào của phịng có điều hoà, thay
đổi tải động cơ.
Bộ điều khiển cần phải lấy thông tin về đối tượng và môi trường xung quanh bởi
các bộ cảm biến để có thể tác động phù hợp lên đối tượng. Nếu việc điều khiển có sự
tham gia của con người, ta gọi là điều khiển bằng tay (manual control), ví dụ lái xe
có tài xế; nếu khơng có sự tham gia của con người ta có điều khiển tự động, ví dụ xe
ơ tơ khơng người lái. Giáo trình này khảo sát hệ thống điều khiển tự động.
Đối tượng là hệ thống có ngõ vào là tín hiệu điều khiển và ngõ ra là tín hiệu
được điều khiển, bộ điều khiển nhận ngõ vào là tín hiệu đặt và xuất tín hiệu ra là tín
hiệu điều khiển. Hệ thống điều khiển có ngõ vào là tín hiệu đặt và tín hiệu ra là tín
hiệu được điều khiển, bám theo tín hiệu đặt (Hình 1.1).
Các tín hiệu vào ra có thể là vơ hướng, ta gọi là hệ thống SISO (Single Input
Single Output) khi hệ thống có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra, trường hợp ngược
CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

CHƢƠNG 1

lại khi tín hiệu vào ra là vector, hệ thống gọi là MIMO (Multiple Input Multiple
Output) hay hệ thống đa biến (Multivariable system).

Hình 1.1 Hệ thống điều khiển
1.1.2 Mục đích của lý thuyết điều khiển tự động
Lý thuyết điều khiển tự động (LTĐKTĐ) khảo sát hành vi của đối tượng đưới tác
động tín hiệu vào điều khiển, tính tốn thiết kế bộ điều khiển để bảo đảm tín hiệu ra
đạt mong muốn của tín hiệu đặt. LTĐKTĐ là kết hợp giữa nền tảng toán học và kỹ
thuật, áp dụng đầu tiên cho kỹ thuật nhưng đã phát triển thêm cho các ngành khác như
xã hội, kinh tế, tài chính, chính trị, sinh lý học, y sinh…
Điều khiển tự động rất quan trọng trong khoa học và kỹ thuật, trong cơng nghiệp
cũng như dân dụng. Các bài tốn thường gặp trong điều khiển là điều khiển vị trí, vận
tốc, nhiệt độ, áp suất, độ ẩm, lưu lượng…
Nội dung LTĐKTĐ bao gồm ba vấn đề chính:
- Nhận dạng hệ thống (Identification): xây dụng mơ hình tốn của đối tượng cần
điều khiển thơng qua các tín hiệu kích thích và tín hiệu ra.
- Phân tích hệ thống (Analyse): Khảo sát đáp ứng ra với các tín hiệu vào khác
nhau dựa vào mơ hình tốn của đối tượng.
- Thiết kế bộ điểu khiển (Design Controller): Tinh tốn bộ điều khiển để tín hiệu
ra hệ thống đạt yêu cầu của tín hiệu đặt.
1.2 PHÂN LOẠI HTĐK
HTĐK được chia làm HTĐK vòng hở và HTĐK vịng kín.
- HTĐK vịng hở (Hình 1.2) tác động đến ngõ vào của đối tượng thơng qua tín
hiệu điều khiển, tín hiệu này khơng phụ thuộc ngõ ra thực tế, dịng tín hiệu trong hệ
thống đi theo một chiều, khi chịu tác động của nhiễu loạn bên ngồi, tín hiệu ra sẽ thay
đổi khơng như mong muốn, ví dụ người lái xe để tay ga cố định sao cho trên đường
bằng vận tốc là 40km/g khi xuống dốc vận tốc sẽ tăng lên và khi lên dốc vận tốc giảm
xuống, lấy ví dụ khác là điều khiển vận tốc động cơ một chiều bằng cách đưa điện áp

cố định vào động cơ, khi có nhiễu loạn tải tác động vận tốc quay động cơ sẽ giảm.

2


ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

Hình 1.2 Điều khiển vịng hở
- HTĐK vịng kín cịn gọi là HTĐK hồi tiếp, sử dụng thơng tin từ tín hiệu đặt
r(t) và tín hiệu ra y(t) để đưa vào bộ điều khiển.
Trong Hình 1.3 tín hiệu sai lệch là e(t) = r(t) - yf(t), tín hiệu yf(t) gọi là tín hiệu
hồi tiếp lấy từ cảm biến đo tín hiệu ra y(t), tín hiệu điều khiển u(t) được tạo ra từ e(t)
theo luật điều khiển, cịn gọi là thuật tốn điều khiển, như vậy khi y(t) tăng /giảm thì
yf(t) tăng /giảm và e(t) giảm /tăng kéo y(t) thay đổi theo, nhờ đó duy trì y(t) theo tín
hiệu đặt r(t).
HTĐK hồi tiếp giúp giảm ảnh hưởng của nhiễu loạn, bảo đảm tín hiệu ra y(t)
bám theo tín hiệu đặt r(t). Trong phần sau khi ta nói đến HTĐK là nói về HTĐK hồi
tiếp.

Hình 1.3 HTĐK hồi tiếp
HTĐK rất phổ biến trong công nghiệp, khoa học và dân dụng, trong xã hội con
người cũng như trong sinh vật, bàn ủi điện, lò nướng, máy điều hoà … là các thiết bị
tự động thường gặp, cơ thể sinh vật có các hệ thống tự động như ổn định thân nhiệt,
huyết áp, điều khiển cử động, di chuyển của cơ thể, trong chính trị xã hội cơ chế lãnh
đạo với tiếp nhận và xử lý phản hồi của người dân là hệ thống điều khiển chính trị tốt.
HTĐK còn được phân loại theo:
- HTĐK ổn định còn gọi là Hệ thống điều chỉnh (regulator): tín hiệu đặt khơng
đổi.
- HTĐK bám (tracking, servo): tín hiệu đặt thay đổi theo thời gian và tín hiệu ra
phải bám theo tín hiệu này với sai số nhỏ.

- HTĐK tuyến tính (linear control system): khảo sát các đối tượng tuyến tính
thoả mãn tính chất chồng chập
u1 →y1, u2 →y2 thì au1+bu2→ ay1+by2
3


CHƢƠNG 1

Tất cả hệ thống thực đều là phi tuyến, khi biên độ tín hiệu cịn nhỏ hệ thống có
thể xem là tuyến tính nhưng khi tín hiệu trở nên lớn tính phi tuyến sẽ bộc lộ, vi dụ ngõ
ra của OPAM dùng trong các bộ điều khiển bị giới hạn bởi điện áp nguồn, đặc tính từ
của lõi sắt là phi tuyến, khe hở giữa các bánh răng, đặc tính phi tuyến của lị xo…
Lấy ví dụ ngõ vào của đối tượng có tính bão hồ, ta điều khiển nhiệt độ lị bằng
cách dùng Triac thay đổi cơng suất điện bởi tín hiệu điều khiển u, cơng suất vào lò là
uPmax như vậy nếu bộ điều khiển cung cấp tín hiệu u lớn hơn 1 hay âm thì đều bị giới
hạn, u bị giới hạn từ 0 đến 1, và chất lượng điều khiển thực tế sẽ khác so với khi khảo
sát bằng phương pháp tuyến tính. Với những dạng phi tuyến loại này ta thường thiết kế
trên cơ sở tuyến tính sau đó mơ phỏng trên máy tính với mơ hình phi tuyến và chỉnh
sửa lại. Mặc dù đối tượng điều khiển đa số là phi tuyến tuy nhiên khi hoạt động ở lân
cận một điểm làm việc nào đó, có thể dùng phương pháp tuyến tính hố để đưa hệ
thống về hệ tuyến tính. Lý thuyết điều khiển tuyến tính khảo sát hệ thống tuyến tính
và dùng làm cơ sở để khảo sát các hệ phức tạp hơn.
- HTĐK phi tuyến (nonlinear control system): nhiều đối tượng được mơ tả bằng
phương trình vi phân phi tuyến và phải dùng lý thuyết điều khiển phi tuyến để khảo
sát, đây là bài tốn khó do sự đa dạng của tính phi tuyến.
- HTĐK liên tục (continuous control): các tín hiệu là liên tục theo thời gian, bộ
điều khiển được thực hiện trên cơ sở các linh kiện analog OPAM và khó thực hiện các
thuật tốn xử lý phức tạp, đây là các thiết kế cổ điển khi công nghệ vi xử lý chưa phát
triển, ngày nay việc xử lý thơng tin và tính tốn đều dựa trên vi xử lý, do đó hầu hết
các bộ điều khiển hiện đại đều dùng công nghệ vi xử lý theo lỳ thuyết hệ thống điều

khiển rời rạc.
- HTĐK rời rạc còn gọi là hệ thống điều khiển số (discrete control, digital
control) (Hình 1.4): các tín hiệu có dạng rời rạc theo chu kỳ lấy mẫu và được lượng tử
hoá. Bộ điều khiển đươc thiết kế dùng vi điều khiển hay máy tính, các thuật toán phức
tạp được thực hiện dễ dàng nhờ phần mềm.

Hình 1.4 HTĐK số
- HTĐK bất biến: các thơng số hệ thống không thay đổi theo thời gian, HTĐK
tuyến tính bất biến (LTI Linear Time Invariant) là đối tượng khảo sát chính của giáo
trình này.
- HTĐK thơng số thay đổi theo thời gian: khó khảo sát, ví dụ như điều khiển
hành trinh tên lửa khi khối lượng nhiên liệu giảm dần theo thời gian.
4


ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

- HTĐK tiền định (deterministic) và ngẫu nhiên (stochastic): HTĐK ngẫu
nhiên là hệ thống chịu tác động nhiễu bất định ngẫu nhiên không biết trước, cịn
HTĐK tiền định có nhiễu đã được biết và có cách đối phó phù hợp.
- HTĐK tối ưu (optimal): luật điều khiển cực tiểu chỉ tiêu xác định
- HTĐK thích nghi (adaptive): bộ điều khiển thay đổi luật điều khiển cho phù
hợp với sự thay đổi của đối tượng và môi trường.
- HTĐK bền vững (robust): hệ thống được thiết kế sao cho chất lượng được thoả
mãn khi thông số đối tượng hay nhiễu loạn thay đổi trong giới hạn.
- HTĐK thông minh (intelligent): bộ điều khiển được thiết kế theo suy luận mờ
(fuzzy logic), mô phỏng sinh vật (thuật tốn di truyền, mạng nơrơn)
1.3 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN ĐKTĐ
ĐKTĐ đã xuất hiện ngay cả trước công nguyên và vẫn tiếp tục phát triển cho đến
ngày nay. Có thể chia lịch sử phát triển ra bốn thời kỳ:

- Thời kỳ sơ khai, trước năm 1900,
- Thời kỳ tiền cổ điển, 1900 – 1940,
- Thời kỳ cổ điển, 1935- 1955,
- Thời kỳ hiện đại: sau 1955.
Từ xưa các nhà sáng chế đã quan tân đến việc đo thời gian, đỉnh cao là đồng hồ
nước của Ktesibios người Hy lạp (khoảng 270 BC), đồng hồ nước (Hình 1.5) đo
lượng nước chảy vào hay ra một bình chứa để chỉ thời gian, do đó cần ổn định lưu
lượng.
Năm 1620 xuất hiện bộ điều khiển nhiệt độ cho lò ấp trứng gà dùng thermostat
bởi Cornelis Drebbel (Hà Lan). Thủy ngân chứa trong một ống hình chữ U, khi nhiệt
độ thay đổi phao chuyển động và thay đổi lượng nhiên liệu vào lò đốt. Bộ điều khiển
này gọi là điều khiển on-off. Trong thế kỷ 19 các bộ điều khiển nhiệt độ dùng lưỡng
kim đã được chế tạo và bán thương mại.
Năm 1789 xuất hiện bộ điều khiển vận tốc động cơ hơi nước (Hình 1.5) của
James Watt (Anh) (gọi là Watt’s governor), dùng nguyên lý hồi tiếp điều khiển tỷ lệ.
Trục động cơ làm quay một cơ cấu ly tâm di chuyển các quả banh lên/ xuống khi vận
tốc động cơ tăng/ giảm tác động đến cơ cấu đòn bẫy thay đổi lượng hơi nước vào động
cơ. Các năm sau nghiên cứu tập trung vào cải tiến cơ cấu điều khiển.
Nước Nga cũng nghiên cứu về ĐKTĐ, đánh dấu bởi bộ điều khiển mức nước
dùng phao (Polzunov, 1765).
Các nghiên cứu về điều khiển chủ yếu thuộc về trực giác, chưa mang tính khoa
học vì thiếu cơ sở tốn học. Tuy nhiên tầm quan trọng của động cơ hơi nước đã thúc
đẩy nghiên cứu lý thuyết để cải thiện chất lượng điều khiển.
Năm 1868 nhà nghiên cứu nổi tiếng J.C. Maxwell công bố nghiên cứu mang tên
"On Governors", nghiên cứu đầu tiên về LTĐKTĐ, nói về phương trình vi phân tuyến
5


CHƢƠNG 1

tính của bộ điều tốc, phương trình đặc trưng và nghiệm, các điều kiện ổn định cho đến
bậc 4. Giải thưởng Adam của trường Đại học Cambridge về vấn đề Tiêu chuẩn ổn định
(The criterion of dynamical stability) đã được trao cho E. J. Routh (1875) vì đã xét
tiêu chuẩn ổn định cho hệ bậc 5. Năm 1895 nhà toán học Adolf Hurwitz (Thuỵ sĩ) đưa
ra tiêu chuẩn ổn định khác, bây giờ hai tiêu chuẩn được gọi chung là tiêu chuẩn ổn
định Routh- Hurwitz.

Hình 1.5 Đồng hồ nƣớc và bộ điều tốc Watt
Các nghiên cứu tập trung vào ổn định nhiệt độ, áp suất, mức chất lỏng, vận tốc
động cơ, sau đó là hệ thống trợ lực cho bánh lái tàu thủy. Chú ý là thời đại này điện
năng chưa phát triển.
Thời kỳ tiền cổ điển với sự áp dụng của điện năng đã chứng kiến sự phát triển
các thiết bị ĐKTĐ tuy nhiên vẫn còn thiếu cơ sở lý thuyết để phân tích và thiết kế HT.
Năm 1892 A. M. Lyapunov (Nga) công bố luận văn “The general problem of the
stability of motion”, sau này gọi là tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, khởi đầu cho các
nghiên cứu lý thuyết.
Năm 1932 Harry Nyquist đã công bố tiêu chuẩn ổn định Nyquist áp dụng cho bộ
khuếch đại hồi tiếp âm, cơng trình này giúp khảo sát hệ thống hồi tiếp khơng dùng
phương trình vi phân mà dựa vào đáp ứng tần số.
Thời kỳ cố điển với nhu cầu điều khiển súng, radar, máy bay trong chiến tranh
thúc đẩy nghiên cứu lý thuyết, xuất hiện cơng trình của Henrik Bode (1945) về độ dự
trữ biên, dự trữ pha và băng thơng, quỹ tích nghiệm Walter Evans (1950), các bộ điều
khiển PID và tiêu chuẩn Ziegler Nichols (1942), hệ thống rời rạc được nghiên cứu
khoảng năm 1950, tiêu chuẩn tối ưu Pontriagin, Bellman (1956), có nhiều nhóm
nghiên cứu ở Hoa Kỳ, Tây Âu và Liên Xô.
Thời kỳ hiện đại đánh dấu bởi sự xuất hiện máy tính trong điều khiển, Hội nghị
quốc tế về điều khiển tự động IFAC (International Federation on Automatic Control)
lần đầu tiên tổ chức (năm 1957 tại Moscow), các cơng trình điều khiển dùng phương
trình trạng thái, tối ưu, điều khiển thích nghi, bền vững, phi tuyến, thông minh lần

6


ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

lượt xuất hiện. Phương pháp nghiên cứu dựa trên đáp ứng tần số và quỹ tích nghiệm
dần dần nhường bước cho phương pháp khảo sát trong miền thời gian.
Với sự áp dụng của vi xử lý, vi điều khiển, máy tính nhúng, HTĐK rời rạc được
áp dụng rộng rãi thay thế cho HTĐK liên tục, do đặc điểm có thể lập trình thực hiện
các thuật tốn phức tạp, truyền thơng nối mạng.
Đi kèm với sự phát triển của ĐKTĐ là Tự động hoá (Automation) sử dụng
LTĐKTĐ và Công nghệ thông tin, Công nghệ vi xử lý cùng với các thiết bị ĐKTĐ,
áp dụng cho các dây chuyền sản xuất, điều khiển phương tiện giao thông tàu thuỷ, tàu
hỏa, máy bay nhằm nâng cao năng suất, chất lượng, giảm nhân công, nổi bật là các
PLC, Robot, máy CNC, hệ Scada …
1.4 VÍ DỤ HTĐKTĐ
Phần này trình bày nguyên lý một số hệ thống điều khiển thông dụng như điều
khiển nhiệt độ, điều khiển vận tốc, điều khiển vị trí, điều khiển hành trình…mục đích
tạo khái niệm cho người đọc về các HTĐK thực tế.
1.4.1 Hệ thống điều khiển nhiệt độ
HTĐKNĐ thường hay gặp trong dân dụng và cơng nghiệp, ở nhà ta có bàn ủi, lị
nướng, tủ lạnh, máy lạnh (máy điều hồ), máy nước nóng, các tồ nhà lớn có hệ thống
điều hồ khơng khí tập trung; trong sản xuất ta có lị ấp, lò sấy, máy ép nhựa…
Sơ đồ tổng quát của hệ thống trình bày ở Hình 1.6. Trong sơ đồ bộ điều khiển
nhiệt độ đóng vai trị trung tâm của hệ thống, các đại lượng như nhiệt độ đặt r(t), nhiệt
độ hồi tiếp yf(t) thường được biểu thị qua biến trung gian điện áp, tín hiệu điều khiển
u(t) làm thay đổi năng lượng cung cấp cho đối tượng để làm thay đổi nhiệt độ, với lò
nhiệt điện năng cung cấp cho điện trở đốt nóng thay đổi, với máy lạnh điện năng cung
cấp cho máy nén thay đổi để thay đổi lượng ga lạnh vào dàn lạnh.
Đối với lò nhiệt điện trở (Hình 1.7, 1.8), điện năng xoay chiều một pha hay ba

pha được cung cấp cho điện trở đốt thông qua tín hiệu kích thích từ bộ điều khiển cho
phần từ công suất TRIAC, phương pháp điều khiển thường là on off hay điều rộng
xung (PWM Pulse Width Modulation). Với điều khiển on-off, TRIAC dẫn khi sai số
nhiệt độ dương và tắt khi sai số nhiệt độ âm, với điều khiển điều rộng xung, TRIAC
đóng mở theo chu kỳ cố định T với thời gian dẫn Ton và Ton/T tỷ lệ với sai số nhiệt độ.
Cảm biến thường dùng là Thanh lưỡng kim, Cặp nhiệt điện (Thermocouple) hay Nhiệt
điện trở bạch kim (RTD).
Máy lạnh (máy điều hồ khơng khí) (Hình 1.9) hoạt động theo nguyên lý khác,
hệ thống gồm ba thành phần chủ yếu là dàn lạnh, dàn nóng và máy nén khí, nối với
nhau bằng ống đồng, trong ống có chất làm lạnh cịn gọi là ga lạnh. Một cảm biến đặt
trong dàn lạnh cảm biến nhiệt độ không khí trong phịng, khi nhiệt độ này cao hơn
nhiệt độ đặt, sẽ làm động cơ máy nén khí quay, động cơ quay máy nén làm nén ga ở
thể khí lên áp suất cao nhiệt độ cao chuyển tới các ống đồng trong dàn nóng trao đổi
nhiệt với khơng khí bên ngoài nên nguội đi trở thành ga lỏng, một quạt thổi khổi
khơng khí nóng rời khỏi dàn nóng, sau đó ga lỏng áp suất cao chuyển tới van dãn nở
trong dàn lạnh và chuyển thành ga ở thể khí chạy trong ống đồng ở dàn lạnh, sự
7


CHƢƠNG 1

chuyển trạng thái này thu nhiệt nên nhiệt độ khơng khí trong phịng sẽ giảm, khí ga
tiếp tục di chuyển đến máy nén để chuyển thành ga lỏng. Khi nhiệt độ đã giảm đến yêu
cầu, máy nén khi ngừng làm việc. Ngồi động cơ máy nén khí, cịn có quạt ổ dàn
nóng và dàn lạnh để phân phối khơng khí ra khỏi dàn.
Do sự thơng dụng nên bộ điều khiển nhệt độ đã được sản xuất hàng loạt dưới hai
dạng là dạng số và dạng tương tự.
a/ Bộ điều khiển nhiệt độ loại tương tự
Sơ đồ khối trình bày ở Hình 1.10a, sơ đồ mạch ví dụ trình bày ở Hình 1.10b. Tín
hiệu đặt là điện áp VS tỷ lệ với nhiệt độ đặt TS, cảm biến nhiệt độ cho điện áp hồi tiếp

VM tỷ lệ vớj nhiệt độ đo TM , mạch trừ cho điện áp hiệu số U=K(TS,- TM ), qua mạch so
sánh có trễ Schmitt Trigger điều khiển relay đóng cắt nguồn tải. Dùng Schmitt Trigger
để tránh relay đóng cắt liên tục.

Hình 1.6 Sơ đồ tổng qt hệ thống điều khiển nhiệt độ

Hình 1.7 Hình lị nƣớng cơng nghiệp và máy ép nhựa

Hình 1.8 Sơ đồ điều khiển lò nhiệt
8


ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

Hình 1.9 Sơ đồ nguyên lý máy lạnh

Hình 1.10 Điều khiển nhiệt độ loại tƣơng tự
b/ Bộ điều khiển nhiệt độ loại số
Bộ điều khiển nhiệt độ loại số (Hình 1.11) rất thơng dụng trong công nghiệp,
phần trung tâm là vi điều khiển với chuyển đổi ADC đo nhiệt độ từ cảm biến, nhiệt độ
đặt được đưa vào từ bàn phím, cả hai nhiệt độ hiển thị trên màn hình LCD, sai lệch
nhiệt độ được xử lý bởi chương trình xuất ra điều khiển relay đóng cắt điện vào điện
trở lị, thuật tốn điều khiển có thể được chọn từ bàn phím, vi điều khiển còn giao tiếp
với thiết bị khác qua cổng truyền thơng.

Hình 1.11 Bộ điều khiển nhiệt độ loại số
9


CHƢƠNG 1

Hình 1.12 Bộ điều khiển nhiệt độ cơng nghiệp loại tƣơng tự và số
1.4.2 Điều khiển vận tốc động cơ DC
Có thể điều khiển vận tốc bằng phương pháp tương tự hay số, nếu dùng phương
pháp tương tự (Hình 1.13), khuếch đại công suất là OPAM công suất theo kiểu khuếch
đại cơng suất lớp B (Hình 1.14), tuy nhiên phương pháp này có hiệu suật khơng cao do
năng lượng tiêu tán trên trasistor cơng suất lớn, vì vậy thường dùng phương pháp điêu
rộng xung, khuếch đại công suất là mạch cầu H (Hình 1.16), các transistor trong mạch
cầu được đóng mở theo tần số lớn cỡ 10KHz và thời gian transistor dẫn tỷ lệ với điện
áp điều khiển, như vậy điện áp đặt vào động cơ là U=UmaxTon/T. Nếu dùng phương
pháp số (Hình 1.15), trục quay động cơ gắn với encoder, thiết bị này phát số xung tỷ lệ
với số vòng quay, ta dùng bộ đếm để đếm sộ xung, từ đó suy ra góc quay/dơn vị thời
gian, sau khi xử lý bộ điều khiển xuật tín hiêu ra mạch cầu H để điều khiển chiều quay
và vận tốc quay.

Hình 1.13 Sơ đồ khối điều khiển vận tốc động cơ DC loại tƣơng tự

Hình 1.14 Sơ đồ tham khảo điều khiển vận tốc động cơ DC loại tƣơng tự
10


ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

Hình 1.15 Sơ đồ điều khiển vận tốc động cơ DC loại số

Hình 1.16 Sơ đồ điều khiển vận tốc động cơ dùng cầu H và PWM
Đối với các động cơ công suất lớn thường phải dùng cầu chỉnh lưu ba pha SCR
và sơ đồ điều khiển phức tạp hơn.

Hình 1.17 Điều khiển vận tốc động cơ công suất lớn

1.4.5 Máy CNC
Máy CNC (Computerized Numerical Control) là thiết bị quan trọng trong cơ khí
chế tạo, sử dụng để gia công vật liệu theo chương trình, phần điều khiển gồm bộ điều
khiển CNC, các bộ công suất điều khiển động cơ (drive) và các động cơ AC Servo.
11


CHƢƠNG 1

Xét máy khoan theo chiều đứng, vật gia công được đặt trên bàn, chuyển động
theo hai trục XY bởi hai động cơ, góc quay động cơ bám theo tín hiệu đặt từ bộ điều
khiển theo chương trình gia cơng. Mũi khoan quay và di chuyển lên xuống theo trục
Z. Máy CNC là thiết bị phức tạp cả về phần cứng và phần mềm, sử dụng máy tính điều
khiển. Các drive là loại số, điều khiển vị trí động cơ theo tín hiệu đặt thay đổi theo thời
gian từ bộ điều khiển. Các nhà sản xuất đã chế tạo bộ điều khiển CNC giúp việc thiết
kế và chế tạo máy CNC dễ dàng hơn.

Hình 1.18 Máy CNC và bộ điều khiển CNC

Hình 1.19 Động cơ AC Servo và Drive

Hình 1.20 Sơ đồ khối điều khiển Động cơ AC Servo
12


ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

1.4.6 Điều khiển hướng tấm panel mặt trời
Panel mặt trời (Solar panel) (Hình 1.21) ngày càng được sử dụng rộng rãi, để
tăng hiệu năng, panel cần chyển động theo hướng mặt trời, đây là bài toán điều khiển

bám theo một hoặc hai hướng thẳng góc nhau.
Giá trị đặt cho góc quay của tấm năng lượng có thể theo chương trình định trước
(tính trước vị trí mặt trời theo thời gian) hoặc theo kết quả tìm hướng của mặt trời bởi
bộ cảm biến.

Hình 1.21 Dàn panel mặt trời 8MW

1.4.6 Điều khiển hành trình
Điều khiển hành trình rất quan trọng đối với các vật di chuyển như robot di động,
xe tự hành không người lái, hành trình máy bay, tên lửa hành trình. Nguyên tắc chung
là cần có các cảm biến để xác định vị trí như:
- GPS (Global Positioning system) để xác định vị trí
- INS (Inertial Navigation system) để tính gia tốc , vận tốc, vị trí
- Bản đồ số để tìm toạ độ vị trí
- Camera để tăng độ chính xác tìm đích đến
- Máy tính xử lý thơng tin chứa hành trình, bản đồ, hình ảnh đích đến
- Các bộ điều khiển cơ cấu chuyển động (bánh xe, chân, cánh..)
13


CHƢƠNG 1

Hình 1.22 Một số đối tƣợng điều khiển chuyển động phức tạp
1.4.7 Điều khiển ổn định xe ô tô
Vấn đề bảo đảm an tồn cho xe ơ tơ chống trượt được thực hiện thông qua hệ
thống ESP (Electronic stability program) gồm hai hệ thống ABS (AntiLock Braking
System) chống bó phanh khi hãm và hệ thống TCS (Traction Control System ) điều
khiển hệ thống bám đường. Hệ thống ESP dùng máy tính điều khiển, đo vận tốc bánh
xe, góc quay tay lái, gia tốc xe theo trục đứng vả trục ngang, từ đó điều khiển phanh và
vận tốc xe.

Hình 1.23 Hệ thống ổn định xe ơtơ
1.5 NỘI DUNG GIÁO TRÌNH
Chương 1 đã trình bày Đại cương về hệ thống điều khiển, qua đó người đọc có
cái nhìn tổng qt về điều khiển tự động. Các chương sau gồm có:
- Chương 2: Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển liên tục, chương này nhằm mục
đích xây dụng mơ hình tốn các đối tượng dùng phương trình vi phân, hàm truyền và
phương trình trạng thái.
- Chương 3: Đặc tính động học, khảo sát đáp ứng thời gian và tần số một số đối
tượng mẫu.
14


ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

- Chương 4: Ổn định hệ thống tự động tuyến tính, xét điều kiện ổn định hệ thống
tuyến tính.
- Chương 5: Chất lượng hệ thống hệ thống tự động, khảo sát các tiêu chuẩn chất
lượng như sai số, thời gian xác lập…
- Chương 6: Thiết kế bộ điều khiển liên tục, là phần quan trọng của giáo trình, sự
dụng kiến thức các chương trước.
- Chương 7: Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển rời rạc, các hệ thống điều khiển
hiện đại đều dùng máy tính hay vi đuều khiển, do đó phần này rất quan trọng.
- Chương 8: Chất lương hệ rời rạc và các phương pháp hiệu chỉnh, chương này
có nội dung tương tự các chương trong hệ liên tục, kế thừa các kiến thức của hệ liên
tục nên khá cô đọng.
- Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến, chương này có tính chất nhập mơn,
cung cấp khái niệm về thiết kế hệ phi tuyến.
Cuối mỗi chương có kết luận, câu hỏi ơn tập và bài tập.
Giáo trình có tính chất cơ sở, tùy trình độ lớp, giảng viên có thể chọn các phần

cần giảng, các phần để sinh viên tự đọc.
Kiến thức được cung cấp qua giáo trình giúp sinh viên có khả năng phân tích và
thiết kế các hệ thống điều khiển thực tế, với sự hỗ trợ các mơn khác như Mạch điện tử,
Lập trình giao tiếp máy tính và ngoại vi, Vi xử lý, Lập trình hệ thống nhúng…
Kiến thức về Điều khiển tự động được bổ sung với môn Điều khiển Tự động
Nâng cao hay các học phần chương trình Cao học.

15


CHƯƠNG 2
MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC
2.1 BIẾN ĐỔI LAPLACE
2.1.1 Định nghĩa
Cho hàm thực f(t) thỏa mãn điều kiện




f (t ) e t dt  

(2.1)

0

với σ là số thực dương, biến đổi Laplace của f(t) được định nghĩa là


F (s) 

 f (t )e

0

 st

dt  L[ f (t )]

(2.2)



s là biến phức, gọi là toán tử Laplace, điều kiện (2.1) được thỏa mãn nếu
f (t )  Met , t  0

2.1.2 Các tính chất của biến đổi Laplace
a/Tuyến tính:
L{a1f1(t)+a2f2(t)}=a1L(f1)+a2L(f2)=a1F1(s)+a2F2(s)

(2.3)

b/ Ảnh của đạo hàm
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


(2.4)

c/ Ảnh của đạo hàm bậc n
 dn

L  n f (t )   s n F ( s)  sn1 f (0)  sn 2 f (1) (0)  .. sf (n 2) (0)  f (n1) (0)
 dt


(2.5)

f(i)(0) là giá trị của đạo hàm bậc i của f(t) ở t=0
d/Ảnh của tích phân

t
 F (s)
L   f ( )d  
s
0

Ảnh của tích phân bậc n là

F (s)
sn

CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

(2.6)

(2.7)

MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

e/ Phép dời trục thời gian
Hàm f(t) bị trễ thời gian T là f(t-T)
f(t-T)=f(t) khi t≥T,
f(t-T)=0 khi t
L f  t  T   e sT F  s 

(2.8)

lim f  t t 0  lim sF  s s

(2.9)

f/ Định lý giá trị ban đầu

g/ Định lý giá trị cuối
lim f  t t   lim sF  s s0

(2.10)

định lý áp dụng cho sF(s) có nghiệm của đa thức mẫu số có phần thực âm
h/ Biến đổi của e

t

f (t )

L{e

t

f (t )}  F (s  )

(2.11)

i/ Ảnh của tích chập
Cho hai hàm f1(t) và f2(t), tích chập (convolution) định nghĩa là


f1 (t )* f 2 (t ) 



f1 ( ) f 2 (t   )d 







f1 (t   ) f 2 ( )d



Biến đổi của tích chập là L{ f1 (t )* f 2 (t )}  F1  s  F2  s 

(2.12)

Ví dụ 2.1: f(t) là hàm xung đơn vị δ(t),
δ(t) = 1, t = 0
δ(t) = 0, t ≠ 0


biến đổi Laplace là U ( s)    (t )e st dt  1
0

Ví dụ 2.2: f(t) là hàm nấc đơn vị u(t),
u(t)=1, t ≥ 0
17