Hệ phương trình vi phân pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (302.41 KB, 29 trang )
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng
Ngày 8 tháng 3 năm 2011
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Định nghĩa
Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1 là hệ có dạng:
dy
1
dx
= f
1
(x, y
1
, , y
n
)
dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, , y
n
)
(1)
trong đó x là biến số độc lập, y
1
, y
2
, , y
n
là các hàm số phải tìm.
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho hệ phương trình vi phân (1).
Giả sử các hàm số f
i
(x, y
1
, , y
n
) cùng với các đạo hàm riêng
∂f
i
(x, y
1
, , y
n
)
∂y
j
, i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n, liên tục trong một miền D
trong R
n+1
.
Giả sử
x
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
là một điểm thuộc D.
Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = x
0
có một nghiệm duy
nhất của hệ (1) thỏa mãn các điều kiện
y
1
x=x
0
= y
0
1
, y
2
x=x
0
= y
0
2
, , y
n
x=x
0
= y
0
n
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc
Nghiệm tổng quát của hệ (1) là bộ n hàm số
y
i
= ϕ
i
(x, C
1
, C
2
, , C
n
) , i = 1, 2, , n trong đó C
1
, C
2
, , C
n
là các
hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau:
1, Nó thỏa mãn hệ (1) với mọi giá trị của C
1
, C
2
, , C
n
;
2, Với mọi điểm
x
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
ở đó các điều kiện của định lý tồn tại
và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được một bộ giá trị
C
1
= C
0
1
, C
2
= C
0
2
, , C
n
= C
0
n
sao cho các hàm số
y
i
= ϕ
i
(x, C
1
, C
2
, , C
n
) thỏa mãn các điều kiện ban đầu
y
i
|
x=x
0
= y
0
i
, i = 1, 2, , n
Nghiệm riêng của hệ (1) là nghiệm có được bằng cách cho C
1
, C
2
, , C
n
trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định
C
1
= C
0
1
; C
2
= C
0
2
; , C
n
= C
0
n
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp khử
Một hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có thể đưa được về một
phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm số chưa biết bằng cách
khử những hàm số chưa biết còn lại từ những phương trình của hệ. Giải
phương trình vi phân cấp cao đó, rồi tìm những hàm số chưa biết còn lại.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
y
= 5y + 4z
z
= 4y + 5z
Lấy đạo hàm hai vế phương trình đầu ta được:y
= 5y
+ 4z
Thay z
bởi vế phải của phương trình sau, ta được y
= 5y
+ 16y + 20z
Từ phương trình đầu suy ra z =
1
4
(y
− 5y). Thế vào phương trình trên
ta được y
− 10y
+ 9y = 0
Nghiệm tổng quát của phương trình này là: y = C
1
e
x
+ C
2
e
9x
. Tính y
rồi thế vào phương trình đầu ta được z = −C
1
e
x
+ C
2
e
9x
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp khử
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
dx
dt
= y
dy
dt
= x
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
dx
dt
= 3x − 2y
dy
dt
= 2x − y
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
y
= y + z
z
= y + z + x
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
y
=
y
2
z
z
=
1
2
y
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp lập tổ hợp giải tích
Trong một số trường hợp, có thể tổ hợp các phương trình của hệ lại để
được một phương trình vi phân dễ giải.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
y
= z
z
= y
Cộng hai vế phương trình: y
+ z
= y + z ⇒ y + z = C
1
e
x
Trừ hai vế phương trình: y
− z
= −(y − z) ⇒ y − z = C
2
e
−x
Từ đó suy ra y =
1
2
(C
1
e
x
+ C
2
e
−x
) ; z =
1
2
(C
1
e
x
− C
2
e
−x
)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
y
= y
2
+ yz
z
= z
2
+ yz
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Định nghĩa
Hệ tuyến tính thuần nhất hệ số hằng là hệ có dạng:
dy
1
dx
= a
11
y
1
+ a
12
y
2
+ + a
1n
y
n
dy
n
dx
= a
n1
y
1
+ a
n2
y
2
+ + a
nn
y
n
(2)
Nếu y
1
, y
2
, , y
n
là nghiệm của hệ (2), dùng ký hiệu vecto
Y có các
thành phần y
1
, y
2
, , y
n
để chỉ nghiệm ấy.
Nếu
Y
1
,
Y
2
, ,
Y
m
là những nghiệm của hệ (2) thì mọi tổ hợp của chúng
dạng
C
1
Y
1
+ C
2
Y
2
+ + C
m
Y
m
cũng là nghiệm của hệ ấy.
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải
Tìm nghiệm của hệ dưới dạng
y
1
= p
1
e
λx
, y
2
= p
2
e
λx
, , y
n
= p
n
e
λx
(3)
trong đó p
1
, p
2
, , p
n
, λ là những số phải xác định. Sau khi thế (3) vào
(2), ta được hệ phương trình sau đối với p
1
, p
2
, , p
n
:
(a
11
− λ) p
1
+ a
12
p
2
+ + a
1n
p
n
= 0
a
21
p
1
+ (a
22
− λ) p
2
+ + a
2n
p
n
= 0
a
n1
p
1
+ a
n2‘
p
2
+ + (a
nn
− λ) p
n
= 0
(4)
Đó là hệ thuần nhất phải có nghiệm khác không, do đó định thức của ma
trận các hệ số phải bằng không.
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải
a
11
− λ a
12
a
1n
a
21
a
22
− λ a
2n
a
n1
a
n2‘
a
nn
− λ
= 0 (5)
Phương trình (5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2). Các
nghiệm của phương trình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ.
Ta xét các khả năng sau:
TH1: Nếu phương trình đặc trưng (5) có n nghiệm thực phân biệt
λ
1
, λ
2
, , λ
n
.
Ứng với mỗi giá trị riêng λ
k
, từ hệ (4) ta xác định giá trị riêng
p
1k
, p
2k
, , p
nk
, k = 1, 2, , n Khi đó hệ phương trình vi phân có n
nghiệm:
y
11
= p
11
e
λ
1
x
, y
21
= p
21
e
λ
1
x
, , y
n1
= p
n1
e
λ
1
x
y
12
= p
12
e
λ
2
x
, y
22
= p
22
e
λ
2
x
, , y
n2
= p
n2
e
λ
2
x
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải
a
11
− λ a
12
a
1n
a
21
a
22
− λ a
2n
a
n1
a
n2‘
a
nn
− λ
= 0 (5)
Phương trình (5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2). Các
nghiệm của phương trình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ.
Ta xét các khả năng sau:
TH1: Nếu phương trình đặc trưng (5) có n nghiệm thực phân biệt
λ
1
, λ
2
, , λ
n
.
Ứng với mỗi giá trị riêng λ
k
, từ hệ (4) ta xác định giá trị riêng
p
1k
, p
2k
, , p
nk
, k = 1, 2, , n Khi đó hệ phương trình vi phân có n
nghiệm:
y
11
= p
11
e
λ
1
x
, y
21
= p
21
e
λ
1
x
, , y
n1
= p
n1
e
λ
1
x
y
12
= p
12
e
λ
2
x
, y
22
= p
22
e
λ
2
x
, , y
n2
= p
n2
e
λ
2
x
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải
a
11
− λ a
12
a
1n
a
21
a
22
− λ a
2n
a
n1
a
n2‘
a
nn
− λ
= 0 (5)
Phương trình (5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2). Các
nghiệm của phương trình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ.
Ta xét các khả năng sau:
TH1: Nếu phương trình đặc trưng (5) có n nghiệm thực phân biệt
λ
1
, λ
2
, , λ
n
.
Ứng với mỗi giá trị riêng λ
k
, từ hệ (4) ta xác định giá trị riêng
p
1k
, p
2k
, , p
nk
, k = 1, 2, , n Khi đó hệ phương trình vi phân có n
nghiệm:
y
11
= p
11
e
λ
1
x
, y
21
= p
21
e
λ
1
x
, , y
n1
= p
n1
e
λ
1
x
y
12
= p
12
e
λ
2
x
, y
22
= p
22
e
λ
2
x
, , y
n2
= p
n2
e
λ
2
x
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải
Hệ nghiệm đó được gọi là hệ nghiệm cơ bản. Từ hệ nghiệm cơ bản có
thể xây dựng nghiệm tổng quát của hệ bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính.
y
1
= C
1
y
11
+ C
2
y
12
+ + C
n
y
1n
y
2
= C
1
y
21
+ C
2
y
22
+ + C
n
y
2n
y
n
= C
1
y
n1
+ C
2
y
n2
+ + C
n
y
nn
TH2: Phương trình đặc trưng có s nghiệm thực λ
1
, λ
2
, , λ
s
lần lượt
bội l
1
, l
2
, , l
s
(l
1
+ l
2
+ + l
s
= n) Khi đó nghiệm của (2) có dạng:
y
1
= p
11
(x)e
λ
1
x
+ p
12
(x)e
λ
2
x
+ + p
1s
(x)e
λ
s
x
y
2
= p
21
(x)e
λ
1
x
+ p
22
(x)e
λ
2
x
+ + p
2s
(x)e
λ
s
x
y
n
= p
n1
(x)e
λ
1
x
+ p
n2
(x)e
λ
2
x
+ + p
ns
(x)e
λ
s
x
trong đó p
ik
(x) là các đa thức bậc l
k
− 1(k = 1, 2, , s; i = 1, 2, , n)
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải
Các hệ số của đa thức phụ thuộc n hằng số tùy ý C
1
, C
2
, , C
n
. Dựa vào
hệ phương trình (2) có thể tìm được các hệ số đó bằng phương pháp hệ
số bất định.
TH3: Nếu phương trình đặc trưng có các nghiệm phức, xây dựng nghiệm
tổng quát dưới dạng thực tương tự như đối với phương trình vi phân
tuyến tính cấp hai hệ số hằng, nghĩa là lấy các nghiệm riêng là phần thực
và phần ảo của nghiệm riêng phức tương ứng.
Ví dụ 1
Giải hệ
dx
dt
= 6x − 12y − z
dy
dt
= x − 3y − z
dz
dt
= −4x + 12y + 3z
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Ví dụ
Giải: Phương trình đặc trưng
6 − λ −12 −1
1 −3 − λ −1
−4 12 3 − λ
= 0 ⇔ λ
3
−6λ
2
+11λ = 0 ⇔ λ
1
= 1, λ
2
= 2, λ
3
= 3
Véc tơ riêng ứng với λ = 1 là (2, 1, −2);
Véc tơ riêng ứng với λ = 2 là (7, 3, −8);
Véc tơ riêng ứng với λ = 3 là (3, 1, −3)
Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình:
x = 2C
1
e
t
+ 7C
2
e
2t
+ 3C
3
e
3t
y = C
1
e
t
+ 3C
2
e
2t
+ C
3
e
3t
z = −2C
1
e
t
− 8C
2
e
2t
− 3C
3
e
3t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Ví dụ
Ví dụ 2
Giải hệ
y
= y − z
z
= y + 3z
Giải: Phương trình đặc trưng
1 − λ −1
1 3 − λ
= 0 ⇔ λ
2
− 4λ + 4 = 0 ⇔ λ
1
= λ
2
= 2
Do đó tìm nghiệm dưới dạng:
y = (ax + b) e
2x
z = (cx + d ) e
2x
Thế vào phương trình được:
2ax + 2b + a = (a − c)x + b − d
2cx + 2d + c = (a + 3c)x + (b + 3d)
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Ví dụ
Đồng nhất hệ số hai vế ta được:
2a = a − c
2b + a = b − d
2c = a + 3c
2d + c = b + 3d
Cho a = C
1
, b = C
2
ta được c = −C
1
, d = −(C
1
+ C
2
)
Vậy nghiệm tổng quát là
y = (C
1
x + C
2
) e
2x
z = − (C
1
x + C
1
+ C
2
) e
2x
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Ví dụ
Ví dụ 3
Giải hệ
y
= 4y − 3z
z
= 3y + 4z
Giải: Phương trình đặc trưng
4 − λ −3
3 4 − λ
= 0 ⇔ λ = 4 ± 3i
Với λ
1
= 4 + 3i có giá trị riêng (1, i);
Với λ
2
= 4 − 3i có giá trị riêng (1, −i);
Vậy nghiệm tổng quát là:
y = e
4x
(C
1
cos 3x + C
2
sin 3x)
z = e
4x
(−C
1
sin 3x + C
2
cos 3x)
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau:
1.
dx
dt
= −x + y + z
dy
dt
= x − y + z
dz
dt
= x + y + z
x = C
1
e
−t
+ C
2
e
2t
+ C
3
e
−2t
y = C
1
e
−t
+ C
2
e
2t
− C
3
e
−2t
z = −C
1
e
−t
+ 2C
2
e
2t
2.
dx
dt
= x − y + z
dy
dt
= x + y − z
dz
dt
= 2x − y
x = C
1
e
t
+ C
2
e
2t
+ C
3
e
−t
y = C
1
e
t
− 3C
3
e
−t
z = C
1
e
t
+ C
2
e
2t
− 5C
3
e
−t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
3.
dx
dt
= 3x + 2z
dy
dt
= y + 2z
dz
dt
= 2x + 2y + 2z
x = −2C
1
e
2t
+ C
2
e
−t
+ 2C
3
e
5t
y = 2C
1
e
2t
+ 2C
2
e
−t
+ C
3
e
5t
z = C
1
e
2t
− 2C
2
e
−t
+ 2C
3
e
5t
4.
dx
dt
= 2x + 5y − z
dy
dt
= 2x − y + 5z
dz
dt
= 2x + 2y + 2z
x = C
1
e
−3t
− 2C
2
+ C
3
e
6t
y = −C
1
e
−3t
+ C
2
+ C
3
e
6t
z = C
2
+ C
3
e
6t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
5.
dx
dt
= 2x
dy
dt
= −2x + 3y − z
dz
dt
= 3x − 2y + 2z
x = 2C
1
e
2t
y = 3C
1
e
2t
+ C
2
e
t
+ C
3
e
4t
z = −C
1
e
2t
+ 2C
2
e
t
− C
3
e
4t
6.
dx
dt
= 2x − 2y
dy
dt
= −2x + y − 2z
dz
dt
= −2y
x = 2C
1
e
t
+ 2C
2
e
4t
+ C
3
e
−2t
y = C
1
e
t
− 2C
2
e
4t
+ 2C
3
e
−2t
z = −2C
1
e
t
+ C
2
e
4t
+ 2C
3
e
−2t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
7.
dx
dt
= x + z
dy
dt
= y + z
dz
dt
= x + y
x = C
1
e
−t
+ C
2
e
t
+ C
3
e
2t
y = C
1
e
−t
− C
2
e
t
+ C
3
e
2t
z = 2C
1
e
−t
+ C
3
e
2t
8.
dx
dt
= 5x − 2y − 2z
dy
dt
= −2x + 6y
dz
dt
= −2x + 4z
x = 2C
1
e
2t
+ C
2
e
5t
+ 2C
3
e
8t
y = C
1
e
2t
+ 2C
2
e
5t
− 2C
3
e
8t
z = 2C
1
e
2t
− 2C
2
e
5t
− C
3
e
8t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
9.
dx
dt
= 3x + y + z
dy
dt
= x + 5y + z
dz
dt
= x + y + 3z
x = C
1
e
2t
+ C
2
e
3t
+ C
3
e
6t
y = −C
2
e
3t
+ 2C
3
e
6t
z = −C
1
e
2t
+ C
2
e
3t
+ C
3
e
6t
10.
dx
dt
= 3x + 2y
dy
dt
= 2x + 2y + 2z
dz
dt
= 2y + z
x = 2C
1
e
5t
− 2C
2
e
2t
+ C
3
e
−t
y = 2C
1
e
5t
+ C
2
e
2t
− 2C
3
e
−t
z = 1C
1
e
5t
+ 2C
2
e
2t
+ 2C
3
e
−t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
11.
dx
dt
= 2x + 3y
dy
dt
= 3x − 6y
dz
dt
= z
x = 3C
1
e
3t
+ C
3
e
−7t
y = C
1
e
3t
− 3C
3
e
−7t
z = C
2
e
t
12.
dx
dt
= 3x − 2y
dy
dt
= −2x + 3z
dz
dt
= 5z
x = C
1
e
−t
− 2C
2
e
4t
− C
3
e
5t
y = 2C
1
e
−t
+ C
2
e
4t
+ C
3
e
5t
z = C
3
e
5t
13.
dx
dt
= x + y + 4z
dy
dt
= 2x − 4z
dz
dt
= −x + y + 5z
x = C
2
e
2t
+ 2C
3
e
3t
y = −4C
1
e
t
+ C
2
e
2t
z = C
1
e
t
+ C
3
e
3t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
14.
dx
dt
= 7x − 2y
dy
dt
= −2x + 6y − 2z
dz
dt
= −2y + 5z
x = C
1
e
3t
+ 2C
2
e
6t
− 2C
3
e
9t
y = 2C
1
e
3t
+ C
2
e
6t
+ 2C
3
e
9t
z = 2C
1
e
3t
− 2C
2
e
6t
− C
3
e
9t
15.
dx
dt
= 3x − 4y + 2z
dy
dt
= x − 7y + 7z
dz
dt
= x − 4y + 4z
x = 2C
1
e
2t
+ C
2
e
−3t
+ C
3
e
t
y = C
1
e
2t
+ 2C
2
e
−3t
+ C
3
e
t
z = C
1
e
2t
+ C
2
e
−3t
+ C
3
e
t
16.
dx
dt
= −3.5x + 7y − 2.5z
dy
dt
= −8x + 13y − 4z
dz
dt
= −10.5x + 15y − 3.5z
x = C
1
e
t
+ C
2
e
3t
+ 1C
3
e
2t
y = C
1
e
t
+ 2C
2
e
3t
+ 4C
3
e
2t
z = C
1
e
t
+ 3C
2
e
3t
+ 9C
3
e
2t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
