SKKN Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm đạt kết quả tốt trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh

TÊN ĐỀ TÀI

MỐT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI NHẰM ĐẠT
KẾT QUẢ TỐT TRONG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
--------

TÊN ĐỀ TÀI

MỐT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI NHẰM ĐẠT
KẾT QUẢ TỐT TRONG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Lĩnh vực:

Tốn học

Nhóm tác giả:

Lê Thị Quỳnh Phương

Năm thực hiện:

2021-2022

Số điện thoại:

0982983599


MỤC LỤC
Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................... 1
2.1. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................... 1
2.2. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................... 1
3. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................... 1
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 2
6. Đóng góp mới củа đề tài .............................................................................. 2
Phần II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. Cơ sở lí luận và thực tiễn ............................................................................. 3
1. Cơ sở lí luận .................................................................................................. 3
1.1. Phương pháp dạy học tích cực là gì .............................................................................3
1.2. Đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học tích cực ............................................3
1.3. Một số phương pháp dạy học tích cực trong mơn Toán ........................................4
1.3.1. Phương pháp dạy học đặt vấn đề và giải quyết vấn đề ...................... 5
1.3.1.1. Khái niệm ............................................................................................. 5
1.3.1.2. Cách tiến hành ..................................................................................... 5
2. Cơ sở thực tiễn .............................................................................................. 6
2.1. Thuận lợi .................................................................................................... 6
2.2. Khó khăn .................................................................................................... 6
II. Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm đạt kết quả cao trong kỳ thi
học sinh giỏi cấp tỉnh. ...................................................................................... 7
1. Biện pháp tâm lý........................................................................................... 7
1.1. Tạo cảm giác các em đã "đúng đắn" khi chọn mơn Tốn .................... 7
1.2. Tạo áp lực cạnh tranh ............................................................................... 8

1.3. Tạo cảm giác học toán "rất dễ" ............................................................... 8


1.4. Khen và chê đúng lúc ................................................................................ 9
1.5. Tạo cho học sinh cảm giác luôn phải phấn đấu không ngừng .............. 9
2. Biện pháp sử dụng phương pháp dạy học tích cực - phương pháp dạy học đặt
vấn đề và giải quyết vấn đề trong quá trình bồi dưỡng HSG mơn tốn. ... 10
3. Kinh nghiệm để học tốt mơn Tốn ............................................................ 10
3.1. Tóm tắt đề bài trước khi giải .................................................................. 10
3.2. Tìm các hướng đi mới .............................................................................. 10
3.3. Tự rút ra bài học của riêng mình ........................................................... 10
3.4. Học toán từ những sai lầm ...................................................................... 10
3.5. Làm thật nhiều bài tập ............................................................................ 11
3.6. Tự giác học ................................................................................................ 11
III . Thực nghiệm sư phạm ............................................................................. 11
1.Thực nghiệm sư phạm ................................................................................. 11
1.1. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................ 11
1.2. Nội dung dạy học thực nghiệm ............................................................... 11
1.2.1 Chuyên đề hệ phương trình .................................................................. 11
1.2.1.1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.................................. 11
1.2.1.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số .................... 14
1.2.1.3 Hệ phương phương trình có một phương trình giải được ............. 17
1.2.1.4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ. ................... 28
1.2.1.5 Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số. .......................... 29
1.2.1.6 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá. ....................... 31
1.2.2 Bài tập tự luyện ...................................................................................... 33
2. Kết quả thực nghiệm ................................................................................... 36
3. Đánh giá kết quả thực nghiệm .................................................................... 3
Phần III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

1. Kết luận ........................................................................................................ 36
2. Kiến nghị ...................................................................................................... 37
PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................... 38
PHẦN V: PHỤ LỤC ....................................................................................... 38

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu viết tắt

Đọc là

THPT

Trung học phổ thông

HSG

Học sinh giỏi

GV

Giáo viên

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

HS

Học sinh

TNTHPT

Tốt nghiệp trung học phổ thông


Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Tốn học có vai trị và vị trí quan trọng trong đời sống và khoa học kỹ thuật,
giúp chúng giải quyết một số bài tốn trong các mơn học khác một cách nhanh chóng
và hiệu quả nhất là các mơn Lý, Hóa, Sinh, Cơng nghệ. Dù ở thời xa xưa hay thời
hiện đại thì việc bồi dưỡng nhân tài ln đặt lên hàng đầu. Từ đó đào tạo ra những
con người năng động sáng tạo, hiền tài là nguyên khí quốc gia tương lai của đất nước
của dân tộc. Trên cương vị là giáo viên dạy toán đã hơn 19 năm tôi nhận thấy làm
thế nào để học sinh không sợ mơn tốn, sau đó thích học tốn là một vấn đề không
đơn giản. Đối với đa số học sinh việc học tốn là giống cực hình, đặc biệt là các em
vùng miền núi, vùng khó khăn như trường THPT Lê Lợi. Chính vì vậy mà số lượng
học sinh giỏi tốn cấp tỉnh ở chúng tơi là rất ít. Do đó bồi dưỡng học sinh giỏi là một
việc làm thường xuyên và cấp thiết đối với các trường học nói chung và đối với
Trường THPT Lê Lợi nói riêng. Nó tạo điều kiện cho người giáo viên qua đó bồi
dưỡng cho mình vốn kiến thức sâu rộng hơn, phong phú hơn. Đối với học sinh thông
qua việc học nhằm tạo cho mình niềm say mê ham hiểu biết, giúp cho các em rèn
luyện óc tư duy sáng tạo, trí thơng minh, đức tính kiên trì chịu khó tìm tịi, khám phá
tạo tiền đề cho việc trở thành nhân tài sau này. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi phải
mang lại hiệu quả thiết thực cho học sinh, cho giáo viên vì vậy tôi đã áp dụng sáng
kiến “Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm đạt kết quả tốt trong kỳ
thi học sinh giỏi cấp tỉnh”.
Thông qua sáng kiến này, tôi muốn cùng trao đổi với đồng nghiệp về một số
biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi, cũng như trao đổi kinh nghiệm trong dạy mơn

Tốn để việc dạy học đạt hiệu quả cao hơn.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
- Tâm lý của học sinh đối với việc học mơn Tốn
- Các dạng tốn trong cấu trúc đề HSG tỉnh
2.2. Phạm vi nghiên cứu
- Tâm lý của học sinh đối với việc học môn Toán tại Trường THPT Lê Lợi
- Các dạng toán trong cấu trúc đề HSG tỉnh những năm gần đây
3. Mục đích nghiên cứu
Tác giả muốn làm rõ về một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn
đạt được hiệu quả cao, đặc biệt hình thành cho HS các năng lực như: Năng lực giao
tiếp, năng lực tự học và tự chủ, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.
Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ mơn Tốn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
1


- Xây dựng hệ thống phương pháp để dạy học sinh
- Thiết kế, tổ chức dạy học sinh giải các dạng toán trong cấu trúc đề HSG tỉnh
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: phân tích, tổng hợp lí luận nhằm tìm hiểu
cơ sở lí luận của đề tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: nắm bắt thông tin học sinh, thống kê,
thực nghiệm sư phạm...
6. Đóng góp mới củа đề tài
Đề tài sử dụng biện pháp tâm lý để học sinh khơng "sợ" học mơn tốn.
Định hướng thiết kế giáo án và tổ chức dạy bồi dưỡng học sinh giỏi theo
hướng phát triển năng lực.
Có thể làm nguồn tài liệu tham khảo tốt cho GV trong việc đổi mới phương

pháp dạy học.
Định hướng lựa chọn ngành nghề cho học sinh sau này.

2


Phần II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. Cơ sở lí luận và thực tiễn
1. Cơ sở lí luận
Tốn là một trong những mơn học khơng được u thích nhất trên thế giới.
Nhưng kể cả khi chúng ta không làm việc với toán. Toán học vẫn liên quan trực tiếp
đến cuộc sống của chúng ta. Sự thật là, việc tập trung vào tính tốn nhanh, ghi nhớ
và các vấn đề trừu tượng khiến nhiều người cảm thấy mơn tốn nhàm chán hoặc
khơng phải là thứ mà họ cần. Đối với những học sinh đặc biệt sợ hãi mơn tốn thì
việc “gợi lên” niềm u thích khơng phải là việc dễ dàng.
Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn là một q trình "gian khó" và lâu dài. Cần phải
bồi dưỡng hứng thú và tính tích cực, tự chủ - tự học độc lập nghiên cứu của học sinh.
GV cần phát hiện sớm các em học sinh có tố chất để bồi dưỡng và tạo nguồn từ lớp
đầu cấp học. Cách tốt nhất bồi dưỡng hứng thú cho học sinh là hướng dẫn các em
giải các bài tốn từ dễ đến khó; từ đơn giản đến phức tạp. Nhiều học sinh thời gian
đầu chưa bộc lộ rõ năng lực của mình nhưng sau quá trình được dìu dắt đã trưởng
thành rất vững chắc và đạt thành tích cao. GV phải làm cho HS nhận thức đúng về
tầm quan trọng của học tập mơn Tốn từ đó các em u thích mơn học, say mê trong
học tập và ham học hỏi.
Để có đội tuyển HSG chất lượng phải có lộ trình bồi dưỡng và biết thừa kế
qua các năm học trước vì thế người thầy phải ln ln có ý thức tự rèn luyện, tích
lũy tri thức và kinh nghiệm, trau dồi chuyên môn, luôn xứng đáng là “người soi
đường”, "truyền lửa" cho học sinh. GV biết lựa chọn những trang Web hữu ích nhất,
dễ sử dụng, bài giảng của thầy cô giáo nào hay, chuyên đề hay, để giới thiệu cho học
sinh tham khảo thêm.

GV phải thường xun tìm tịi các tài liệu, tiếp nhận lĩnh hội kiến thức nâng
cao đồng thời phải biết vận dụng các phương pháp dạy học tích cực vào cơng tác bồi
dưỡng HSG.
1.1. Phương pháp dạy học tích cực là gì?
Phương pháp dạy học tích cực chính là một phương pháp dạy học mà giáo
viên sẽ đóng vai trị là người đưa ra những gợi ý mở về một vấn đề nào đó, sau đó
sẽ thảo luận cùng với học sinh để tìm được ra mấu chốt của vấn đề này và những thứ
liên quan.
Nền tảng của phương pháp này là sự sự chủ động tìm tịi, sáng tạo, tư duy của học
sinh, giáo viên chỉ là một người gợi mở ra vấn đề và dẫn dắt học sinh.
Nói theo một cách khác, với phương pháp dạy học này giáo viên sẽ không
truyền đạt hết tất cả kiến thức mà mình có cho học sinh mà sẽ chỉ truyền đạt kiến
thức thơng qua những dẫn dắt sơ khai để kích thích học sinh tìm hiểu và khám phá
những kiến thức đó.
3


Muốn dạy học theo phương pháp này thì giáo viên phải là những người thực
sự có bản lĩnh, giỏi chuyên mơn và có cả sự nhiệt tình, hoạt động hết công suất trong
công tác giảng dạy.
1.2. Đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học tích cực
Đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học tích cực hay cịn gọi là nguyên
tắc của phương pháp này chính là:
- Dạy học chủ yếu thông qua các hoạt động của học sinh
Điều này có nghĩa là trong những tiết học, học sinh chính là những đối tượng
chủ yếu tiến hành khai phá kiến thức. Do đó, giáo viên cần phải làm như thế nào để
gợi mở vấn đề cho học sinh ở một mức độ nhất định tác động đến tư duy và khuyến
khích học sinh trong lớp tìm hiểu và bàn luận về vấn đề đó.
- Chú trọng đến những phương pháp tự học
Nếu GV muốn chủ động áp dụng phương pháp dạy học tích cực thì GV sẽ cần

phải loại bỏ suy nghĩ cầm tay chỉ việc học đọc cho học sinh chép… như những
phương pháp giảng dạy thông thường khác.
Với phương pháp dạy học tích cực, GV sẽ hướng dẫn cho học sinh những
phương pháp tự học và rèn luyện để tìm ra một phương pháp học tốt nhất để học
sinh có thể tự mình nắm bắt những kiến thức mới. Và đương nhiên những kiến thức
mới được tiếp thu sẽ được giáo viên kiểm định lại để chắc chắn rằng những kiến
thức đó đã là kiến thức chuẩn hay chưa?
- Ưu tiên những phương pháp học nhóm
Với phương pháp dạy học tích cực, giáo viên sẽ phải biết cách chia lớp thành
những nhóm nhỏ và giúp đỡ các học sinh phối hợp với nhau để tìm ra phương pháp
học tốt nhất.
- Chốt lại tất cả những kiến thức đã học
Sau mỗi buổi học, giáo viên sẽ là người chịu trách nhiệm tổng hợp lại tất cả
những kiến thức mà học sinh đã tìm hiểu được, đồng thời giải đáp những vấn đề mà
học sinh vẫn còn thắc mắc, cùng trao đổi và chốt lại kiến thức cho cả buổi học ngày
hơm đó.
Chính vì thế, điều quan trọng nhất ở đây vẫn chính là giáo viên phải biết cách
vận dụng phương pháp dạy học tích cực để giúp cho học sinh có thể nhanh chóng
thích nghi với phương pháp học tích cực, chủ động này.
1.3. Một số phương pháp dạy học tích cực trong mơn Tốn
Để dạy học tốt mơn tốn GV thường áp dụng một số phương pháp dạy học
tích cực sau:

4


- Vấn đáp hay còn được gọi là đàm thoại. Đây chính là phương pháp mà giáo
viên sẽ là người đặt ra câu hỏi và học sinh sẽ trả lời trực tiếp hoặc có thể cùng nhau
tranh luận để hiểu được vấn đề của nội dung bài học.
- Phương pháp hoạt động nhóm

Giáo viên sẽ chia HS ra làm những nhóm nhỏ. Tùy theo mục đích, u cầu
của bài học và các nhóm sẽ được phân chia một cách ngẫu nhiên hoặc có chủ đích,
các nhóm sẽ được duy trì ổn định hoặc sẽ thay đổi trong từng tiết học, được giao
khác nhiệm vụ hoặc cùng một nhiệm vụ.
- Phương pháp đặt vấn đề và giải quyết vấn đề
Trong một bài toán việc phát hiện sớm vấn đề và đưa ra những phương pháp
giải quyết hợp lý chính là một kỹ năng đảm bảo cho sự thành cơng.
Chính vì thế cần phải tập dượt trước cho học sinh biết các phát hiện và đưa ra phương
pháp giải quyết những vấn đề gặp phải trong q trình học tập. Đây khơng còn đơn
giản là một phương pháp dạy học đơn thuần mà đã trở thành một mục tiêu cao cả
của giáo dục và đào tạo.
Trong đề tài này tác giả áp dụng phương pháp dạy học đặt vấn đề và giải
quyết vấn đề để dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi mơn tốn.
1.3.1. Phương pháp dạy học đặt vấn đề và giải quyết vấn đề
1.3.1.1. Khái niệm
Dạy học giải quyết vấn đề (GQVĐ) là cách thức tổ chức dạy học, trong đó
học sinh được đặt trong một tình huống có vấn đề mà bản thân học sinh chưa biết
cách thức, phương tiện cần phải nỗ lực tư duy để giải quyết vấn đề.
Dạy học GQVĐ có những đặc điểm sau:
- HS được đặt vào tình huống có vấn đề chứ khơng phải được thơng báo dưới
dạng tri thức có sẵn. Vấn đề được đưa ra giải quyết cần vừa sức và gợi được nhu cầu
nhận thức ở HS.
- HS không những được học nội dung học tập mà còn được học con đường và
cách thức tiến hành dẫn đến kết quả đó. Nói cách khác, HS được học cách phát hiện
và GQVĐ.
1.3.1.2. Cách tiến hành
Bước 1: Nhận biết vấn đề
GV đưa người học vào tình huống có vấn đề hoặc GV có thể gợi ý người học
tự tạo ra tình huống có vấn đề. Phát biểu vấn đề dưới dạng “mâu thuẫn nhận thức”,
đó là mâu thuẫn giữa những cái đã biết với những cái chưa biết và HS muốn tìm tịi

để giải quyết vấn đề mâu thuẫn đó.
Bước 2: Lập kế hoạch giải quyết vấn đề
5


HS đề xuất giả thuyết của vấn đề, đưa ra các phương án và lập kế hoạch để
giải quyết vấn đề theo giả thuyết đã đặt ra.
Bước 3: Thực hiện kế hoạch
Thực hiện kế hoạch GQVĐ. Đánh giá việc thực hiện giả thuyết đặt ra đã đúng
chưa, nếu đúng thì chuyển sang bước tiếp theo, nếu chưa đúng thì quay trở lại bước
2 để chọn giả thuyết khác.
Bước 4: Kiểm tra đánh giá và kết luận
GV tổ chức cho học sinh rút ra kết luận về cách GQVĐ trong tình huống đã
được đặt ra, từ đó HS lĩnh hội được tri thức, kỹ năng của bài học hoặc vận dụng
được những kiến thức, kỹ năng trong môn học để giải quyết vấn đề trong thực tiễn.
2. Cơ sở thực tiễn
2.1. Thuận lợi
- Được sự chỉ đạo, quan tâm, kịp thời của Đảng ủy, BGH, nhà trường có những kế
hoạch cụ thể, lâu dài trong công việc bồi dưỡng HSG.
- Trường có cơ sở vật chất khang trang, trang thiết bị phục vụ tương đối đầy đủ giúp
cho việc dạy và học đạt kết quả tốt.
- Giáo viên tổ Toán - Tin có trình độ chun mơn vững vàng, có nhiều kinh nghiệm
trong công tác bồi dưỡng HSG.
- Học sinh hiếu học, có tính tự giác cao, cần cù chịu khó.
- Một số phụ huynh quan tâm đến chất lượng học sinh giỏi mơn Tốn.
2.2. Khó khăn
- Đầu vào học sinh khá thấp, chỉ vài em được điểm 9 mơn Tốn khi thi vào 10, ngoài
ra các em khi học lớp 9 cũng không được đi dự thi HSG cấp Tỉnh.
- Đa số giáo viên dạy bồi dưỡng vừa phải bảo đảm chất lượng đại trà, vừa phải hoàn
thành chỉ tiêu chất lượng mũi nhọn do vậy cường độ làm việc tương đối căng thẳng,

việc đầu tư cho công tác bồi dưỡng HSG cũng có phần bị hạn chế.
- Học sinh vừa phải hồn thành chương trình chính khóa vừa phải học chương trình
bồi dưỡng HSG nên đã ảnh hưởng khơng nhỏ đến quá trình học tập cũng như kết
quả.
- Vì tính chất của kỳ thi HSG cấp tỉnh mơn Tốn nên lượng kiến thức yêu cầu vừa
rộng vừa sâu, kỹ năng yêu cầu phải từ mức độ 2 trở lên có nhiều phần rất khó đối
với học sinh vùng miền núi, trường huyện, trong lúc đó nguồn học sinh có khả năng
học tốt lại quá ít và những em như thế thường phải tham gia học bồi dưỡng một lúc
2 môn nên kết quả thi học sinh giỏi chưa cao.
-Trong ba năm gần đây do đại dịch Cô vid 19 nên việc bồi dưỡng HSG cũng gặp rất
nhiều khó khăn vì các em vừa học trực tuyến vừa học trực tiếp, việc tiếp cận kiến
6


thức cơ bản cũng như nâng cao không hiệu quả, công tác bồi dưỡng trực tiếp bị gián
đoạn, thêm vào đó vì dịch bệnh nên lịch thi HSG cũng phải thay đổi dẫn đến tâm lý
mệt mỏi,hụt hẫng cho giáo viên bồi dưỡng cũng như đội tuyển thậm chí có nhiều em
không muốn tiếp tục tham gia bồi dưỡng để đi thi.
-Trong những năm gần đây đề thi TNTHPT môn Tốn phần điểm 8 trở lên khơng
sát với cấu trúc của đề thi HSG của tỉnh như hiện hành nữa nên nhiều em có năng
lực học tốt khơng cịn mặn mà với mục tiêu vào đội tuyển Toán để đi dự thi HSG
cấp tỉnh mà thay vào đó các em có xu hướng ưu tiên chọn các mơn khác có lợi hơn
và nhẹ đầu hơn như :Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học, Sinh học,…
-Nhiều phụ huynh có con học khá giỏi hiện nay khơng muốn con mình tham gia vào
đội ''gà chọi'' như trước đây nữa mà họ có xu hướng định hướng cho con tham gia
các trải nghiệm thực tế, học các kỹ năng mềm do đó việc hình thành và đào tạo đội
tuyển càng gặp nhiều khó khăn và thử thách.
Từ những cơ sở lý luận và thực tiễn trên thì để tăng hứng thú học tập và góp
phần rèn luyện năng lực cho học sinh giỏi, kích thích thầy và trị sáng tạo, đồng thời
góp phần nâng cao kết quả thi HSG cấp tỉnh mơn Tốn tơi đã áp dụng đề tài “Một

số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm đạt kết quả tốt trong kỳ thi học sinh
giỏi cấp tỉnh” vào giảng dạy tại trường THPT Lê Lợi.
II. Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm đạt kết quả cao trong kỳ thi
học sinh giỏi cấp tỉnh.
1. Biện pháp tâm lý.
Không thể phủ nhận được tầm quan trọng của toán học đối với cuộc sống đang
diễn ra hàng ngày. Theo khảo sát ở nhiều trường THPT có một nhận định được đưa
ra: “Tốn học nhàm chán là do học sinh chưa biết cách hiểu nó. Chưa đi sâu và tìm
hiểu những điều thú vị đã vội bỏ cuộc. Thế giới toán học cũng như thế giới sống của
chúng ta. Nó ln chứa đựng hàng ngàn điều kì bí chưa kịp khai thác. Kiên nhẫn rèn
luyện và chờ đợi thì món q bất ngờ sẽ xảy đến.”
Vậy để giúp học sinh học tốt môn tốn thì người GV phải nắm được tâm tư
nguyện vọng của các em. Từng bước sử dụng biện pháp tâm lý để các em tự tin bản
thân trong hành trình chinh phục mơn tốn.
1.1. Tạo cảm giác các em đã "đúng đắn" khi chọn mơn Tốn
Vào lớp 10 nguồn mơn Toán rất hiếm do một số em xuất sắc hầu như đã đi
học ở trường chuyên Phan Bội Châu, trường chun Đại học vinh…chỉ cịn những
em khá ở lại. Tốn lại là một mơn khó, lượng kiến thức khổng lồ nên đa số các em
rất e ngại, lưỡng lự khi được GV chọn để bồi dưỡng. Các em cảm thấy mơn Tốn có
sức nặng mà khi học bồi dưỡng khó lịng vượt qua được. Chính vì vậy GV bồi dưỡng
phải gặp trực tiếp từng em, tìm hiểu năng lực, sở trường. GV phải biết được các em
thiếu cái gì, cần cái gì, hổng kiến thức nào, học thấy phần nào hay, phần nào khó để
7


dần định hướng cho các em. Giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy lựa chọn học mơn
Tốn là lựa chọn "đúng đắn":
- Thi tốt nghiệp nhất thiết phải có mơn tốn
- Nhiều khối ngành thi Đại học đều có mơn tốn
- Một số trường Đại học tốp đầu lấy điểm mơn Tốn làm chỉ số phụ

- Thời đại cơng nghiệp 4.0 đang diễn ra, nghề nghiệp liên quan đến tốn chiếm
70,5% trong xã hội. Do đó Tốn học đang làm chủ vị thế trong hiện tại và tương lai.
1.2. Tạo áp lực cạnh tranh
Đội tuyển toán phải là những HS có tố chất, bền bỉ, ham học hỏi, khơng ngừng
phấn đấu vươn lên. Do vậy khi lựa chọn nguồn cần thực hiện như sau:
B1. Ra bài kiểm tra để đánh giá năng lực từng em
B2. Chọn những em đủ năng lực và những em chưa đủ năng lực nhưng u
thích mơn tốn để làm nguồn bồi dưỡng.
Đội tuyển tốn chỉ có 3 HS nhưng ban đầu bồi dưỡng thì GV nên lấy nhiều
hơn 3 (có thể lấy đến 5-7 em) làm dự phịng.
B3. Trong q trình bồi dưỡng GV phải luôn nhắc nhở rằng tất cả các em ở
đây đều có cơ hội ngang nhau khi lựa chọn vào đội tuyển. Khơng phải bạn nào có
điểm cao trong bài kiểm tra năng lực là đương nhiên được chọn. GV nói rõ đây chỉ
là bước đầu và để vào được đội tuyển thì các em phải trải qua một quá trình "gian
khó" và lâu dài.
1.3. Tạo cảm giác học tốn "rất dễ"
GV cần phải dạy đầy đủ phần lý thuyết không được bỏ qua những điều cơ bản
mà lý thuyết cung cấp. Nếu không nắm vững định nghĩa, định lý những điều cơ bản
thì HS chỉ có thể giải được những bài tốn ở mức độ khơng q khó và khi biến tấu
đi một chút thì HS lại gặp khó khăn trong cách giải của mình. Một bài tốn khó, toán
mẹo là tổng hợp của những bài đơn giản. Nếu HS khơng nắm vững điều cơ bản đó
để giải tốn một cách từ từ thì HS khó có thể đạt được điểm cao ở mơn Tốn.
Khi dạy GV cho HS làm quen với các dạng bài tập cơ bản, khi HS đã tìm được
niềm đam mê thì lúc tiếp cận với các bài tốn khó sẽ khơng cịn nỗi sợ hãi với môn
học này đồng thời sẽ tạo cho HS động lực để tiếp cận những bài khó hơn và khó hơn
nữa. Những buổi đầu GV cần cho HS rèn luyện nhiều những bài đơn giản để học
sinh đỡ bị "ngợp". Ở mỗi dạng bài tập cụ thể, GV hướng dẫn HS làm quen với nhiều
bài tập để thành thạo các bước và phương pháp giải. Thực hành nhiều lần, HS sẽ tạo
cho mình được một thói quen tốt cũng như kinh nghiệm khi tiếp cận với bất cứ dạng
bài nào, ở mức độ nào. Có như vậy HS mới cảm thấy học toán là "rất dễ".

8


1.4. Khen và chê đúng lúc
Trong quá trình bồi dưỡng một số em nhỉnh hơn thường ra vẻ ta đây với những
bạn còn lại. Nếu GV chỉ chăm chăm khen kết quả làm bài những em này rất dễ dẫn
đến tình trạng; em giỏi ngày càng tự cao, em yếu hơn ngày càng tự ti vì vậy sẽ kéo
theo hệ lụy mất tính thi đua trong học tập. Em giỏi thì nghĩ mình là nhất khơng ai
hơn được, em yếu hơn nghĩ mình khơng theo kịp nên khơng muốn phấn đấu nữa dẫn
đến chán nản.
Do đó người GV phải "tinh" trong khen và chê
- Nếu một bài toán mà cả HS giỏi hơn và HS yếu hơn đều làm được thì GV
gọi HS yếu hơn lên trình bày và sau đó dùng những lời khen để động viên, khích lệ
những em này. Qua những lời khen những HS yếu hơn cảm thấy GV khơng ưu ái
một ai, mình vẫn được thầy cơ chú ý và mình vẫn có cơ hội vào đội tuyển.
- Nếu một bài toán mà cả HS giỏi hơn và HS yếu hơn đều không giải được thì
GV gọi HS giỏi hơn lên trình bày lời giải. Những chỗ nào mà HS giỏi hơn khơng
giải được thì GV phải hướng dẫn nhấn mạnh và "nắn" để những em này thấy rằng
tốn học là biển cả mênh mơng những kiến thức mình biết chỉ là rất nhỏ. Từ đó các
em sẽ hết ra vẻ ta đây và chú trọng vào tìm tịi, học hỏi khám phá hơn.
- Nếu một bài tốn mà HS giỏi hơn giải được cịn HS yếu hơn khơng giải được
thì GV gọi HS giỏi hơn lên trình bày lời giải. Trong trường hợp này GV phải chuẩn
bị được một số cách để giải bài tốn, đặc biệt trong đó phải có cách giải hay, ngắn
gọn. Khi HS trình bày lời giải xong GV nhận xét động viên sau cùng đưa ra lời giải
hay ngắn gọn vừa để học sinh tham khảo, học hỏi cũng vừa để thể hiện cái uy. Có
như thế HS mới phục GV xem GV là thần tượng và càng yêu thích mơn tốn hơn.
1.5. Tạo cho học sinh cảm giác luôn phải phấn đấu không ngừng
Sau từng khoảng thời gian bồi dưỡng bài bản GV ra đề cho học sinh làm để
kiểm tra năng lực. Đề bài với độ khó tương đương đề HSG tỉnh nhưng phải ln có

câu chốt sao cho HS không thể giải được hết. Đề không được khó quá, khó quá sẽ
làm các em bị "ngợp". Đề phải đảm bảo toàn bộ HS tham gia bồi dưỡng có thể làm
được từ 50%-85%. Có như vậy HS mới không ngừng phấn đấu học hỏi để ngày càng
tiến bộ.
2. Biện pháp sử dụng phương pháp dạy học tích cực - phương pháp dạy học đặt
vấn đề và giải quyết vấn đề trong q trình bồi dưỡng HSG mơn tốn.
Mỗi năm Sở đều cơng bố cấu trúc đề thi HSG, hơn nữa trong những năm gần
đây do ảnh hưởng của dịch bệnh Coovid 19 nên cấu trúc đề HSG cũng thay đổi
hàng năm theo thời điểm thi, theo xu hướng mới. Vì vậy GV bồi dưỡng phải thường
xuyên cập nhật thông tin để nắm bắt tinh thần cũng như cấu trúc mới để dựa vào cấu
trúc này có kế hoạch bồi dưỡng, đồng thời sưu tập một số đề trong những năm trước
để phân ra các chuyên đề.Từ đó chuẩn bị một cách chu đáo từng chuyên đề để bồi
dưỡng cho học sinh.
9


Để dạy một chuyên đề cho học sinh giáo viên phải vận dụng linh hoạt phương
pháp dạy học đặt vấn đề và giải quyết vấn đề. Mỗi chuyên đề giáo viên cung cấp và
yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức nền (định nghĩa, định lý, hệ quả, công thức,hệ
thống các kỹ năng để giải các dạng toán trong chuyên đề…), đây là những kiến thức
căn bản để giải quyết các vấn đề từ đơn giản đến phức tạp trong từng bài toán.
Trong các chuyên đề GV phải dẫn dắt HS phát hiện ra tình huống có vấn đề,
sau đó đưa ra các phương án GQVĐ, rồi đánh giá, kết luận phương án HS đã chọn.
Giáo viên đóng vai trị là người tổ chức, soi đường cho học sinh. Các tình huống có
vấn đề phải đi theo kiểu bậc thang để học sinh khỏi bị "ngợp".
Khi bồi dưỡng một chuyên đề nào đó xong thì GV phải cho HS hệ thống lại
theo sơ đồ tư duy các dạng các kỹ năng xử lý, đồng thời yêu cầu các em dựa trên các
ví dụ ở các dạng bài tự mình thiết kế các bài tương tự rồi giải. Sau đó GV cho HS
làm bài kiểm tra chuyên đề để các em nắm vững kiến thức kỹ năng đã học và quen
với tâm lý làm bài.

Ngoài việc áp dụng các biện pháp trên tác giả còn truyền đạt lại một số
kinh nghiệm của bản thân nhằm giúp các em học tốt môn tốn.
3. Kinh nghiệm để học tốt mơn Tốn
3.1. Tóm tắt đề bài trước khi giải
Tóm tắt đề bài giúp HS dễ dàng nhận biết được dữ liệu đề cung cấp, tiết kiệm
thời gian và tránh bỏ sót dữ liệu cần thiết cho việc giải bài. Ngồi việc giải bài đúng
thì việc trình bày cẩn thận, tỉ mỉ sẽ giúp các em đạt điểm số trọn vẹn.
3.2. Tìm các hướng đi mới
Nếu khi làm bài mà HS bế tắc vì khơng tìm được hướng đi. Hãy nói với các
em thử nhiều cách và nhiều phương pháp,
Khi sử dụng nhiều cách để giải nó vừa giúp HS có thêm kỹ năng kinh nghiệm
khi làm bài mà cịn giúp tìm được hướng giải phù hợp với mỗi dạng bài cụ thể.
3.3. Tự rút ra bài học của riêng mình
Mỗi khi hồn thành bài tập, các em hãy làm một việc cuối cùng là xem xét
các bài tập mình vừa giải xem phương pháp nào thích hợp, dấu hiệu nhận biết từng
dạng bài. Hãy ghi chú những điều đó vào bên cạnh hoặc vào bất kỳ chỗ nào mà bạn
cảm thấy sẽ giúp bạn nhớ nhất. Sau mỗi chương, mỗi phần các em hãy ôn tập để
không bị dồn bài nhé. Đó là cách làm khoa học và hiệu quả cho những người đam
mê với tốn.
3.4. Học tốn từ những sai lầm
Khơng riêng gì với mơn Tốn, với bất kì mơn nào nếu gặp lỗi sai thì các em
nên có những ghi chú riêng để khi có thời gian thì xem lại, lỗi đó là gì, cách khắc
phục ra sao… Các em hãy cố gắng tự trả lời những thắc mắc đó, nếu khơng trả lời
10


được thì bạn bè, thầy cơ chính là những “người soi đường” đắc lực cho các em trong
những tình huống này.
3.5. Làm thật nhiều bài tập
Ông cha ta xưa vẫn có câu: “Trăm hay khơng bằng tay quen”. Trong Tốn học

cũng vậy, sau khi ghi nhớ được các định nghĩa, lý thuyết thì các em cần phải làm
thật nhiều bài tập liên quan để có thể hiểu sâu sắc. Làm cho đến khi trở thành kỹ
năng kỹ xảo thì mới thành công.
3.6. Tự giác học
Trong thời gian trên lớp, những gì thầy cơ giáo giảng các em đều hiểu nhưng
đến khi làm bài tập thì bạn lại khơng thể tự mình làm được. Để thực sự chiếm lĩnh
được kiến thức tốn học thì các em hãy đặt mục tiêu tự học cho mình. Khi quên lý
thuyết các em phải tìm kiếm tài liệu để ghi chép nghiền ngẫm lại. Bài tập thầy cơ mà
ra ít, bài khơng đủ khó thì phải tự mình tìm kiếm thêm, hiện nay có rất nhiều sách
tham khảo hoặc vào tra mạng Internet.
III . Thực nghiệm sư phạm
1.Thực nghiệm sư phạm
1.1. Đối tượng thực nghiệm
Đội tuyển toán của Trường THPT Lê Lợi
1.2. Nội dung dạy học thực nghiệm
Tác giả soạn và giảng dạy từng chuyên đề theo phương pháp dạy học phát
hiện vấn đề và giải quyết vấn đề . Bồi dưỡng HSG là một quá trình lâu dài bắt đầu
từ vào 10 cho đến khoảng giữa kỳ 2 lớp 11 hoặc giữa kỳ 1 của lớp 12 ( Hai năm gần
đây) với lượng kiến thức đồ sộ. Vì vậy những gì tác giả soạn và giảng dạy cho học
sinh khơng thể trình bày hết trong khuôn khổ đề tài. Sau đây là một minh họa của
một trong số các chuyên đề liên quan đến cấu trúc đề thi HSG tỉnh hàng năm.
1.2.1 Chuyên đề hệ phương trình
Trước hết trong chương trình chính khóa GV phải củng cố cho HS các kiến
thức cơ bản về các hằng đẳng thức đáng nhớ, các phương pháp giải các dạng hệ
phương trình cơ bản thường gặp để làm kiến thức nền. Từ các kiến thức nền GV
từng bước trang bị cho học sinh các phương pháp thường dùng để giải các hệ phương
trình từ đơn giản cho đến phức tạp bằng phương pháp dạy học GQVĐ.
1.2.1.1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
x  y  2

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: 

3
3
 x  y  26

( Chế từ bài 45a, SGK nâng cao đại số 10)
11


-Phân tích: Bài tốn này chỉ mức độ cơ bản, nếu quan sát đặc điểm phương trình
đầu thì ta có thể rút x theo y rồi thế vào phương trình sau sẽ thu được phương trình
một ẩn giải được( Kiểu thế từng ẩn), nếu quan sát đặc điểm phương trình sau thì vế
trái có dạng hằng đẳng thức, sau khi viết ra sẽ thấy có cụm chung là x-y ở cả 2
phương trình nên ta có cách giải khác là thế cụm x-y ở phương trình trên xuống
phương trình dưới( Kiểu thế cụm)
-Lời giải:
+) Cách 1: Kiểu thế từng ẩn
x  y  2
x  2  y
x  2  y
x  2  y


 2
 3
3
3
3
2

3
3
 x  y  26
(2  y)  y  26
8  12 y  6 y  y  y  26
6 y  12 y  18  0
 x  3
x  2  y


y 1
  y  1  
  x  1
  y  3


  y  3

+) Cách 2: Kiểu thế cụm biểu thức chung
x  y  2
x  y  2
x  y  2
x  y  2


 2
 3
3
2
2

2
2
2
 x  y  26
( x  y )( x  xy  y )  26
 2.( x  xy  y )  26
 x  xy  y  13
  x  1

x  y  2
x  y  2
x  y  2
 x  ( y )  2
 y  3

 2



2
 x  3
 x (  y )  3
( x  y )  3 xy  13 (2)  3 xy  13 3 xy  9

  y  1

-Đánh giá, so sánh lời giải, rút kinh nghiệm: Với hệ phương trình mà có 1 phương
trình bậc nhất 2 ẩn thì ta có thể thực hiện kiểu thế từng ẩn và chọn ẩn có hệ số +1
hoặc -1 để rút. Kiểu thế cụm biểu thức chung thì ta phải biển đổi cả 2 phương trình
của hệ để xuất hiện cụm biểu thức chung , sau đó thực hiện thế cụm biểu thức chung

đó. Trong ví dụ 1, kiểu thế từng ẩn đơn giản hơn.
4 x  9 y  6

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 

2
3x  6 xy  x  3 y  0

( Trích bài 3.50b sách bài tập nâng cao đại số 10)
12


-Phân tích: Ví dụ 2 này khó hơn ví dụ 1 do phương trình đầu hệ số của x và y đều
khác +1 và -1. Tuy nhiên nhìn vào đặc điểm của cả 2 phương trình thì ta vẫn có thể
giải nó bằng cả 2 kiểu thế như trên.Nhưng kiểu thế nào hay hơn?
-Lời giải:
+) Cách 1: Kiểu thế từng ẩn
6  4x
6  4x


y
y




x
y
4

9
6



9
9


 2
3 x  6 xy  x  3 y  0
3 x 2  6 x. 6  4 x  x  3. 6  4 x  0
3 x 2  2 x. 6  4 x  x  6  4 x  0


9
9
3
3
  x  2

6  4x

  y  14
y 

  
9
9


2

 x  5x  6  0
  x  3
  y  2

+) Cách 2: Kiểu thế cụm biểu thức chung là 9y
4 x  9 y  6
4 x  9 y  6
4 x  9 y  6

 2
 2
2
3x  6 xy  x  3 y  0
3.3x  3.6 xy  3.x  3.3 y  3.0
9 x  2 x.9 y  3 x  9 y  0
  x  2

  y  14
9
6
4
9
6
4
y
x
y
x







9
 2
 2
  

9 x  2 x.(6  4 x)  3x  6  4 x  0
x  5x  6  0
  x  3
  y  2

-Đánh giá, so sánh lời giải, rút kinh nghiệm: Cách 2 sẽ càng hay hơn nếu ta thay
hệ số của x và y ở phương trình đầu bằng những số lớn hơn.
 y 2  3 xy  4(1)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau  2
2

 x  4 xy  y  1(2)

-Phân tích: Phương trình đầu của hệ là phương trình bậc nhất với ẩn x nên ta có thể
thực hiện rút x theo y rồi thế vào phương trình sau, mặt khác nếu để ý tính đẳng cấp
của các phương trình trong hệ thì ta có thể thực hiện thế cụm từ phương trình dưới
lên phương trình trên để cân bằng bậc và đưa về phương trình thuần nhất đẳng cấp
bậc hai.
-Lời giải: Thế 1  x 2  4 xy  y 2 vào (1) ta có:

13


y 2  3xy  4.( x 2  4 xy  y 2 )
 ( y 2  3xy )  (4 x 2  16 xy  4 y 2 )  0

 3 y 2  4 x 2  13 xy  0  ( 3 y 2  12 xy )  ( xy  4 x 2 )  0
 3 y ( y  4 x )  x ( y  4 x )  0
 y  4x  0
 y  4x
 ( y  4 x )( x  3 y )  0  

x  3y  0
x  3y

+) TH1: Với y = 4x ta có hệ phương trình:
 y 2  3 xy  4
 y  4x
 y  4x



2
2
2
 y  4x
(4 x )  3 x.4 x  4
16 x  12 x  4
 x  1
 y  4x


 y  4x

y  4
 2
  x  1  
  x  1
4 x  4

  x  1  
  y  4

+) TH2: Với x = 3y ta có hệ phương trình:
 y 2  3 xy  4
x  3y
 x  3. y
: VN
 2


2
x  3y
 y  3.3 y. y  4
 8 x  4

+) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (1;4), (-1;-4).
-Đánh giá, rút kinh nghiệm:Với hệ phương trình đẳng cấp thì ta phối hợp 2 phương
trình của hệ để cân bằng bậc, từ đó dẫn đến 1 phương trình thuần nhất đẳng cấp biến
đổi được về tích và sẽ thực hiện thế từng ẩn được.
1.2.1.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

 x 2  3 x  2 y
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau:  2
 y  3 y  2 x

( Trích bài 46c sách giáo khoa nâng cao đại số 10 trang 100)
-Phân tích: Ta có thể rút y từ phương trình đầu rồi thế xuống phương trình sau,
tuy nhiên dựa vào tính chất đối xứng của 2 phương trình trong hệ ta có thể giải bằng
cách trừ 2 phương trình để đưa về phương trình tích, sau đó giải bằng phương pháp
thế.
14


-Lời giải:
+) Cách 1: Kiểu thế từng ẩn

x 2  3x

x2  3x
y


 x  3 x  2 y
y 
2
 2

2
 2
2
 y  3 y  2 x

( x  3 x ) 2  3. x  3 x  2 x
( x 2  3 x ) 2  2.3.( x 2  3 x )  4.2 x


2
2
2

 x  0


x2  3x
 y  0
y


  x  1
2
2
2




x  3x
x  3x
 x  0
 y  2
y 
y 




2
2

 x 4  6 x 3  3 x 2  10 x  0
 x ( x 3  6 x 2  3 x  10)  0  x  1
 x  5


 x  5
  y  5


 x  2
 x  2

  y  1

+) Cách 2: Phối hợp 2 phương trình bằng phương pháp cộng đại số, thế
Lấy (1) - (2) ta có:
( x 2  3x)  (y2  3 y)  2 y  2 x  x 2  y 2  3x  3 y  2 y  2 x  0
 x 2  y 2  x  y  0  ( x  y )( x  y)  ( x  y)  0
x  y  0
y  x
 ( x  y )( x  y  1)  0  

 x  y 1  0
 y  1 x

+) TH1: y = x ta có hệ phương trình:
 x  0
y  x

y  x
y  x
y  x

y  0
 2
 2
  x  0  
 2
 x  5
 y  3y  2x
 x  3x  2 x
x  5x  0
 x  5




  y  5

+) TH2: y = 1- x ta có hệ phương trình:
 y  1 x
 y  1 x
 y 1 x
y 1 x


 2
 2
   x  1 
 2
 x  3x  2 y
 x  3x  2  2 x
x  x  2  0
 x  2


  x  1

 y  2
 x  2

  y  1

+) Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0;0), (5;5), (-1;2), (2;-1)
-Đánh giá, so sánh lời giải, rút kinh nghiệm:Với hệ phương trình mà có một
phương trình là phương trình bậc nhất đối với một ẩn nào đó ta có thể thực hiện kiểu

15


thế từng ẩn, Với hệ phương trình mà khi đổi vai trị các ẩn cho nhau thì phương trình
này trở thành phương trình kia (Hệ phương trình đối xứng loại II) ta trừ 2 phương
trình cho nhau sẽ đưa về phương trình tích sau đó giải các trường hợp bằng phương
pháp thế.
 xy  x  y  1 (1)

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau: 

3
3
2
4 x  y  12 x  9 x  6 y  7 (2)

-Phân tích: Quan sát hệ phương trình ta thấy: phương trình (2) là phương trình bậc
cao với cả 2 ẩn x và y. Phương trình (1) là phương trình bậc nhất với riêng ẩn x và
ẩn y. Do đó để giải quyết bài tốn này ta có thể thực hiện theo một trong 2 hướng:
Hướng 1: Từ phương trình (1) rút ẩn x theo y hoặc y theo x rồi thế vào phương trình
(2). Với hướng giải quyết này thì phép biến đổi cồng kềnh phức tạp có thể dẫn tới
phương trình bậc cao nghiệm lẻ, khó giải.
Hướng 2: Kết hợp 2 phương trình của hệ để được một phương trình có thể biến đổi
về dạng tích. Tuy nhiên nếu cộng hoặc trừ đơn thuần 2 phương trình theo vế thì ta
vẫn khơng giải được. (Đây chính là tình huống có vấn đề).
-Lời giải: Quan sát các hệ số và bậc của các hạng tử có trong phương trình (2) ta
cần nhân 2 vế phương trình (1) với -3 rồi cộng với phương trình (2) theo vế ta được:
 xy  x  y  1 (1)
 xy  x  y  1

 3
3
2
3.(1)  (2)
4 x  y  12 x  9 x  6 y  7 (2)
 xy  x  y  1
 xy  x  y  1
 3


2
3
3
3
4 x  12 x  12 x  y  3xy  3 y  4
4( x  1)  y  3xy  3 y  0
 xy  x  y  1
 xy  x  y  1


3
3
3
3
2
4( x  1)  y  3xy  3 y ( xy  x  y )  0
4( x  1)  y  3 y ( x  1)  0

  xy  x  y  1

 xy  x  y  1
 x  y 1  0


2
  xy  x  y  1
( x  y  1)(2 x  2  y)  0

  2 x  2  y  0


5  17
 x 
4
 
 y  1  x

1  17
 2
y



2
  x  x  2  0(VN )



y  2x  2
5  17
 
 x 
2
  2 x  5 x  1  0
4


1  17
 y 


2
 

-Đánh giá, rút kinh nghiệm: Từ kết quả bài toán ta thấy việc rút thế từng ẩn trong
bài này là không tối ưu.
16


1.2.1.3. Hệ phương phương trình có một phương trình giải được
* Hệ phương trình có 1 phương trình biến đổi được về dạng tích
 x3  4 x 2  yx  4 y
Ví dụ 6:Giải hệ phương trình sau: 

( x  3) 10  y  y  x  12

- Phân tích: Quan sát hệ phương trình ta thấy: phương trình đầu là phương trình bậc
cao với cả 2 ẩn x và y. Phương trình sau là phương trình bậc có chứa căn thức và hai
ẩn x, y . Do đó để giải quyết bài tốn này ta xuất phát từ phương trình đầu và làm
giảm bậc của nó bằng cách biến đổi về dạng tích.
-Lời giải: ĐK: 10  y  0
Ta có x3  4 x 2  yx  4 y  ( x3  xy)  (4 x 2  4 y )  0  ( x  4)( x 2  y )  0
+)TH1: x=-4 thay vào phương trình sau ta có:
8  y  0
(4  3) 10  y  y  (4)  12  10  y  8  y  
 y6
2
10  y  (8  y)

+) TH2: y  x 2 thay vào phương trình sau ta có:

 x  3
( x  3) 10  x 2  x 2  x  12  ( x  3) 10  x 2  ( x  4)( x  3)  
2
 10  x  x  4(VN )

Khi x=-3 ta có y=9
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (-3;9) và (-4;6)
-Đánh giá,rút kinh nghiệm: Bài toán này việc biến đổi về tích phương trình đầu khơng
khó, tuy nhiên do chủ quan và kiến thức cơ bản không chắc nên nhiều em khi giải
quên đặt điều kiện xác định, điều kiện khi thực hiện bình phương hai vế của phương
trình.
2
 x  3 x  2  2 y (2 x  2 y  3)  0
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau: 
2
 xy  y  3 y  1  0

( Chế từ bài 3.51b sách bài tập nâng cao đại số 10 trang 66)

17


-Phân tích: Quan sát hệ phương trình ta thấy: phương trình đầu là phương trình bậc
cao với cả 2 ẩn x và y. Phương trình sau là phương trình bậc nhất với ẩn x. Do đó để
giải quyết bài tốn này ta có thể thực hiện theo một trong 2 hướng:
Hướng 1: Từ phương trình sau rút ẩn x theo y rồi thế vào phương trình đầu. Với
hướng giải quyết này thì phép biến đổi cồng kềnh phức tạp có thể dẫn tới phương
trình bậc cao nghiệm lẻ, khó giải.
Hướng 2: Từ phương trình thứ nhất biển đổi về dạng tích của 2 biểu thức bậc nhất
với cả x và y. Với hướng giải quyết này ta có thể chuyển hệ phương trình đã cho trở

về hệ cơ bản và thực hiện thế được.
 x 2  3 x  2  2 y (2 x  2 y  3)  0
 x 2  3 x  2  4 xy  4 y 2  6 y  0
-Lời giải:Ta có 


2
2
 xy  y  3 y  1  0

 xy  y  3 y  1  0

 x  2 y  1  0

2
( x  2 y  1)(x  2 y 2)  0
( x  2 y )  3(x  2 y)  2  0
  xy  y  3 y  1  0



2
2
x  2 y 2  0
 xy  y  3 y  1  0
 xy  y  3 y  1  0
 
2
  xy  y  3 y  1  0
2

  x  3  2 2

  y  1  2

  x  3  2 2

  x  1  2 y
  x  1  2 y
 y  1  2

 2
2
y
y
y
y
y
(
1
2
)
3
1
0








2
1
0
y








   x  3  5
x  2  2 y
x  2  2 y
 
 
 
 y  1  5
 (2  2 y ) y  y 2  3 y  1  0
  y 2  y  1  0
2


  x  3  5

 y  1  5
 

2

-Đánh giá, rút kinh nghiệm:Trong bài này nếu thực hiện giải theo hướng 1 thì sẽ
khó hơn vì dẫn tới phương trình bậc bốn có 4 nghiệm lẻ. Ngồi ra để làm giảm bậc
của một phương trình trong hệ ta biến đổi nó về dàng tích bằng cách biến đổi hằng
đẳng thức, tách nhóm thêm bớt hoặc xem phương trình đó là phương trình bậc 2 một
ẩn rồi tính đen ta( đen ta có dạng bình phương).
* Hệ phương trình có 1 phương trình biến đổi được về dạng tích nhờ kỹ năng Delta
chính phương
18


3 x 2  3 x y  3 y 2  9 x  3 y  4  0 (1)
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau:  2
3 y  6 xy  2 x  10 y  3  0 (2)

-Phân tích: Ta nhận thấy phương trình (1) bậc hai với x và y, nhưng phương trình
(2) là bậc nhất với ẩn x nên ta có thể có các hướng giải sau:
Hướng 1: Rút x từ phương trình (2) thế vào phương trình (1), hướng này biến đổi
phức tạp, mất thời gian, dễ nhầm lẫn và dẫn tới phương trình bậc cao nghiệm lẻ.
Hướng 2: Từ một trong 2 phương trình ta biến đổi về dạng tích để làm giảm bậc để
việc thế đơn giản và tránh dẫn tới phương trình bậc cao. Nhưng vấn đề là biến đổi
phương trình nào về tích? Để trả lời cho câu hỏi này ta sử dụng kỹ năng ''đặc biệt
hóa''. Nhận thấy nếu một trong hai phương trình đưa được về tích thì nó phải đúng
với mọi x, y. Nên ta đặc biệt hóa nó với x=0 thì (1) trở thành 3 y 2  3 y  4  0 (VN),
(2) trở thành 3 y 2  10 y  3  0  (3 y  1)( y  3)  0 . Vì vậy ta có thể biến đổi (2) thành
tích nhờ kỹ năng Delta chính phương.
-Lời giải:
3 y 2  6 xy  2 x  10 y  3  0  3 y 2  2(3x  5) y  (2 x  3)  0
 x  9 x 2  24 x  16  (3x  4)2

3 x  5  (3 x  4) 1


y

3
3
2
Do đó 3 y  2(3x  5) y  (2 x  3)  0  
 y  3 x  5  (3x  4)  2 x  3

3

2

x

1
16
+) Với y  thay vào (1) ta có 3 x 2  10 x   0   3
3
3
x  8

3

+) Với y= 3x+3 thay vào (1) ta có: 15x2  27 x  31  0 ( Vô nghiệm)
2 1
3 3

8 1
3 3

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: ( ; ) , ( ; )
 y 4  16 y 2  15  2 x(3 y 2  4 x  17)
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau:  2
2

( y  2 x  15)( 5 x  1  y  x  3)  14

( Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An- Bảng A Toán 12 năm 2021-2022)
19


-Phân tích: Nhìn vào hệ phương trình ta thấy phương trình thứ hai có hai biểu thức
căn phức tạp chưa thể xử lý. Vì vậy ta sẽ tập trung phân tích biến đổi phương trình
đầu về dạng tích để làm giảm bậc và có thể thực hiện thế được để đưa về phương
trình một ẩn.Trong trường hợp này ta sử dụng kỹ năng Delta chính phương, coi đó
là phương trình bậc hai ẩn y2.
1
5

- Lời giải: ĐK x   , ta có:
y 4  16 y 2  15  2 x(3 y 2  4 x  17)  y 4  2(3 x  8) y 2  (8 x 2  34 x  35)  0
 ' x  (3x  8) 2  (8 x 2  34 x  15)  x 2  14 x  49  ( x  7) 2

+) TH1: y 2  4x  15 thay vào phương trình thứ hai ta có:
6 x( 5 x  1  5 x  18)  14  6 x.

Với x  

17
 14  7( 5 x  1  5 x  18)  51x  0(*)
5 x  1  5 x  18

1
1
1
1
thì VT(*)= 7( 5 x  1  5 x  18)  51x  7( 5.  1  5.  18)  51.  0
5
5
5
5

nên (*) vô nghiệm.
+) TH2: y 2  2x  1 thay vào phương trình thứ hai ta có:
(4 x  14)( 5 x  1  3 x  4)  14  (2 x  7)( 5 x  1  3 x  4)  7
 (2 x  7)(2 x  3)  7( 5 x  1  3 x  4)
 [7 5 x  1  (5 x  7)]  [(7 3 x  4  (3 x  14)]-4x 2  28 x  0
175 x  25 x 2
63 x  9 x 2

-4x 2  28 x  0
7 5 x  1  (5 x  7) 7 3 x  4  (3 x  14)
25
9
 4]  0
 (7 x  x 2 )[


7 5 x  1  (5 x  7) 7 3 x  4  (3 x  14)


7 x  x 2  0
x  0



25
9

 4  0(VN )
x  7
 7 5 x  1  (5 x  7) 7 3 x  4  (3x  14)

+) Với x=0 ta có y 2  1  y  1
+) Với x=7 ta có y 2  15  y   15
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là ( x; y )  {(0;1), (0; 1), (7; 15), (7;  15)}

20