SKKN Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp Xác suất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
----------

SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC

TÊN ĐỀ TÀI
GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT

LĨNH VỰC: TỐN HỌC
MƠN: TỐN

NĂM HỌC: 2021 - 2022


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 3
----------

SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC
TÊN ĐỀ TÀI
GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TỐN HỌC CHO HỌC SINH
THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT

LĨNH VỰC: TỐN HỌC
MƠN: TỐN

GIÁO VIÊN: NGUYỄN THỊ QUỲNH HOA
SỐ ĐIỆN THOẠI: 0975753996

NĂM HỌC: 2021 - 2022


MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................... 1
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU..................................................................... 3
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC. ................. 3
I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN THPT ......................... 3
II. U CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC ........................................... 3
III. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY
VÀ HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG THPT ........................................... 5
B. GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY
VÀ LẬP LUẬN TỐN HỌC THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC
SUẤT......................................................................................................................... 6
I. BIỆN PHÁP 1. HƯỚNG DẪN VÀ TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH
KHẢ NĂNG NHÌN BÀI TỐN DƯỚI NHIỀU GĨC ĐỘ KHÁC NHAU ĐỂ TÌM
ĐƯỢC NHIỀU PHƯƠNG ÁN GIẢI QUYẾT KHÁC NHAU. ............................... 6
II. BIỆN PHÁP 2. TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH THĨI QUEN
KHƠNG SUY NGHĨ RẬP KHN, MÁY MĨC, KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO
CÁC DẠNG BÀI CĨ SẴN ĐỂ HÌNH THÀNH TƯ DUY LOGIC, XỬ LÍ LINH
HOẠT TRƯỚC NHỮNG TÌNH HUỐNG MỚI. ................................................... 11
III. BIỆN PHÁP 3. KHUYỄN KHÍCH VÀ TẠO ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỌC
SINH TỰ XÂY DỰNG BÀI TOÁN MỚI DỰA TRÊN CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP
– XÁC SUẤT CƠ BẢN NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO. .............. 14
IV. BIỆN PHÁP 4. ĐƯA RA MỘT SỐ BÀI TỐN MANG TÍNH
THỰC TIỄN VỀ CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT NHẰM TẠO CƠ HỘI ĐỂ HỌC
SINH TRẢI NGHIỆM, ÁP DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN. .................. 38
C. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI. 42
1. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm ....................................... 42

2. Thực nghiệm sư phạm .............................................................................. 42
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .............................................................. 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 46


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài.
Môn Tốn ở trường phổ thơng mang ý nghĩa là mơn học cơng cụ, song nó
cũng là mơn học rèn luyện được nhiều năng lực cho học sinh đặc biệt là năng lực tư
duy và lập luận. Người ta thường nói mơn Tốn là mơn “thể thao trí tuệ”. Dạy Tốn
khơng phải là đơn thuần cung cấp một vài công cụ tính tốn cho các mơn học khác
mà người giáo viên phải biết truyền cảm hứng và ngọn lửa đam mê cho các thế hệ
học sinh, tạo sự hào hứng cho các bạn trẻ yêu toán. Để làm được như vậy thì trong
q trình dạy học tốn chúng ta cần làm tơn lên vẻ đẹp của tốn học và làm nó hấp
dẫn hơn. Vẻ đẹp của Tốn học sẽ được tơn lên nếu như giáo viên dạy toán biết khai
thác một bài tốn dưới nhiều khía cạnh cho học sinh và gắn liền với thực tiễn. Một
trong những chủ đề Toán học có nhiều ứng dụng trong các mơn khoa học khác cũng
như trong thực tiễn cuộc sống là Tổ hợp - Xác suất. Các bài toán trong chủ đề phong
phú và đa dạng, có nhiều phương pháp giải khác nhau. Dù nội dung của chủ đề Tổ
hợp - Xác suất khó và dễ mắc sai lầm thì thời gian để dạy phần này lại khá ít, đồng
thời việc khai thác các tiềm năng của chủ đề để phát triển các năng lực cho học sinh
còn khá eo hẹp. Các bài tập về Tổ hợp - Xác suất trong sách giáo khoa chỉ đơn thuần
là các bài toán rất cơ bản, chủ yếu vận dụng trực tiếp các công thức ở mức độ nhận
biết và thông hiểu. Tuy nhiên, nếu biết khai thác một cách khéo léo có thể biến đổi,
chuyển hóa các bài tốn đó sang mức vận dụng, vận dụng cao và thậm chí có thể
đưa vào đề thi học sinh giỏi cấp Tỉnh. Qua thực tế giảng dạy và qua tìm hiểu các đề
thi tốt nghiệp THPT, đề minh họa đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử tốt nghiệp
THPT của các trường trên cả nước, đề thi học sinh giỏi các tỉnh tơi thấy có rất nhiều
bài toán hay về Tổ hợp - Xác suất mà gốc ban đầu có thể khai thác từ bài tốn cơ
bản. Để học sinh có thể học tốt hơn phần Tổ hợp - Xác suất, làm chủ được kiến thức

của chủ đề này thì các em cần được học tập, rèn luyện các kiến thức và kỹ năng trong
chủ đề theo định hướng phát triển năng lực, góp phần hình thành và phát triển các
năng lực tốn học nói chung và năng lực tư duy và lập luận tốn học nói riêng. Đó
chính là lý do mà tơi chọn viết đề tài: “Góp phần hình thành và phát triển năng
lực tư duy và lập luận tốn học cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề Tổ hợp Xác suất”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích của đề tài là đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức, rèn luyện
kỹ năng giải toán trong chủ đề Tổ hợp - Xác suất cho học sinh theo định hướng hình
thành và phát triển một số năng lực tư duy và lập luận. Một số biện pháp đề xuất:
- Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh khả năng nhìn bài tốn dưới nhiều góc
độ khác nhau để tìm được nhiều phương án giải quyết khác nhau.
- Tập luyện cho học sinh thói quen khơng suy nghĩ rập khn, máy móc,
khơng phụ thuộc vào các dạng bài có sẵn để hình thành tư duy logic, xử lí linh hoạt
trước những tình huống mới.
1


- Khuyến khích và tạo điều kiện để học sinh tự xây dựng bài toán mới dựa
trên các bài toán Tổ hợp - Xác suất cơ bản nhằm phát triển tư duy sáng tạo.
- Đưa ra một số bài toán mang tính thực tiễn về chủ đề Tổ hợp - Xác suất
nhằm tạo cơ hội để học sinh trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, năng lực toán học. Kỹ năng thiết kế các hoạt
động học tập theo định hướng phát triển năng lực.
- Nghiên cứu các kỹ năng, năng lực chủ yếu khi giải toán về Tổ hợp - Xác suất.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài.
4. Giả thuyết khoa học
- Nếu thiết kế được các hoạt động học tập phù hợp, hệ thống được các kỹ năng
giải toán Tổ hợp - Xác suất, lựa chọn được các ví dụ, phân tích, tìm ra phương pháp
giải và xây dựng được hệ thống câu hỏi bài tập theo hướng phát triển năng lực thì sẽ

giúp cho học sinh học tốt chủ đề Tổ hợp - Xác suất, góp phần phát triển năng lực
cho học sinh nói chung, năng lực tư duy và lập luận tốn học nói riêng, nâng cao
chất lượng dạy học ở trường phổ thông.
5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Dạy học theo định hướng phát triển năng lực.
- Học sinh lớp 11.
- Giáo viên giảng dạy toán THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận
- Điều tra quan sát và thực nghiệm sư phạm.
7. Đóng góp của đề tài
- Về mặt lý luận: Đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho
học sinh trong giải toán Tổ hợp – Xác suất.
- Về mặt thực tiễn: Sử dụng sáng kiến để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên
và học sinh khi dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất nhằm nâng cao hiệu quả dạy học
môn Tốn ở trường THPT.
- Tính mới của đề tài là đưa ra được hệ thống các biện pháp nhằm hình thành
và phát triển một số năng lực toán học, đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận của
học sinh thông qua chủ đề Tổ hợp - Xác suất. Trong mỗi biện pháp, tác giả đã trình
bày các ví dụ minh họa, phân tích làm rõ những lưu ý, hiệu quả trong quá trình sử
dụng các biện pháp đã đề xuất. Các biện pháp này cần được thực hiện đồng bộ trong
quá trình dạy học để bổ sung, hỗ trợ nhau trong việc phát triển năng lực tư duy và
lập luận toán học cho học sinh.
2


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TỐN HỌC.
I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN THPT
Chương trình mơn Tốn giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau:

– Hình thành và phát triển năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của
năng lực tính tốn. Năng lực tốn học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư
duy và lập luận tốn học; năng lực mơ hình hố toán học; năng lực giải quyết vấn đề
toán học; năng lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học
tốn, góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi.
– Có những kiến thức, kỹ năng tốn học phổ thơng, cơ bản, thiết yếu; phát
triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên mơn giữa mơn Tốn và các
mơn học khác như Vật lí, Hố học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Công nghệ,...; tạo cơ
hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế.
– Hình thành và phát triển các đức tính kỷ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt,
độc lập, sáng tạo, hợp tác, thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Tốn.
– Có hiểu biết tương đối tổng qt về những ngành nghề liên quan đến toán
học làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm
hiểu những vấn đề liên quan đến tốn học trong suốt cuộc đời.
Mơn Tốn cấp trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ
yếu sau:
a) Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt:
sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách
thức khác nhau nhằm giải quyết vấn đề; sử dụng được các mơ hình tốn học để mơ
tả các tình huống, từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mơ
hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh
giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá
cho vấn đề tương tự; sử dụng thành thạo công cụ, phương tiện học toán, biết đề xuất
ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện, học liệu mới phục vụ việc tìm tịi, khám
phá và giải quyết vấn đề tốn học.
b) Hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chung và những
phẩm chất đặc thù mà giáo dục toán học đem lại: tính kỹ luật, kiên trì, chủ động, linh
hoạt; độc lập, hợp tác; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học tốn.
c) Góp phần giúp học sinh có những hiểu biết làm cơ sở cho định hướng nghề
nghiệp sau Trung học phổ thông.

II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC
Thơng qua chương trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành và phát triển các
đức tính kiên trì, kỷ luật, trung thực, hứng thú và niềm tin trong học Tốn; đồng thời
hình thành và phát triển được các năng lực chung, đó là tự chủ, tự học; năng lực giao
3


tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Đặc biệt, học sinh cần hình
thành và phát triển các năng lực Toán học, đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận
toán học.
Năng lực là tập hợp toàn bộ các kỹ năng, kiến thức, khả năng, hành vi của một
người có thể đáp ứng đối với một cơng việc nhất định nào đó, đây cũng là một trong
những yếu tố quan trọng nhất để cá nhân có thể hồn thành một việc nào đó hiệu quả
hơn so với người khác.
Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học bao gồm: năng lực tư duy và lập
luận tốn học; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học;
năng lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện toán học.
Theo Từ điển Tiếng Việt, “Tư duy là q trình nhận thức, phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật hiện tượng”
(Hồng Phê, 1998). Phó giáo sư Nguyễn Thanh Hưng (Đại học Đà Nẵng) cho rằng:
“tư duy là giai đoạn cao của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra quy luật
của sự vật bằng các hình thức như biểu tượng, phán đốn, suy lí,… Đối tượng của
tư duy là những hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu. Các thao tác tư duy chủ yếu gồm:
phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, …”
Theo Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn, một trong những biểu hiện
quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện được tương đối
thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt
trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan
sát” (Bộ GD-ĐT, 2018). Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
- So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp;

diễn dich.
- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận.
- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học.
Từ các bài toán Tổ hợp - Xác suất quen thuộc, học sinh có thể tự tìm lời giải
cho các bài tốn tương tự, tìm ra được sự khác nhau giữa các bài tốn và cao hơn là
có thể phát biểu các bài toán mới.
Lập luận là hoạt động sử dụng ngơn từ bằng cơng cụ ngơn ngữ, người nói
hoặc viết đưa ra những lí lẽ, dẫn chứng để người nghe hoặc đọc đến một kết luận
khẳng định hoặc phủ định (một vấn đề nào đó) mà người nói hoặc viết muốn đạt tới.
Lập luận là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy toán học và
là một thành phần của năng lực toán học, tập trung vào khả năng của học sinh thực
hiện hoạt động suy luận và chứng minh (hoặc bác bỏ). Từ đó lựa chọn đúng đắn đối
tượng, cách thức và kết quả quy luật toán học khi học toán. Cấu trúc của năng lực tư
duy và lập luận toán học của học sinh trong học Toán bao gồm 5 thành tố:
- Kỹ năng lập luận để xác định cấu trúc bài toán và phân chia trường hợp;
4


- Kỹ năng lập luận để nhận diện bài toán và kiến thức có liên quan;
- Kỹ năng lập luận để tìm đốn và lựa chọn đường lối giải;
- Kỹ năng lập luận để thực hiện quá trình giải;
- Kỹ năng lập luận để đánh giá quá trình giải và nghiên cứu sâu bài toán.
III. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY
VÀ HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG THPT
Để có tìm hiểu vần đề này, chúng tơi đã tiến hành khảo sát tìm hiểu về phía
học sinh. Chúng tơi đã phát phiếu khảo sát cho 200 học sinh 11 của nhiều trường
THPT trên địa bàn để các em phát biểu những ý kiến của bản thân sau khi các em
đã học xong chương 2, Tổ hợp - Xác suất, Toán 11. Nội dung khảo sát như sau:
Phiếu khảo sát
Họ và tên học sinh............................................................................................

Lớp 11 ..................Trường...............................................................................
Hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ơ trống trong bảng có
câu trả lời phù hợp với em
Nội dung

Có

Khơng/
chưa

(1) Em có u thích học mơn Tốn khơng?
(2) Khi giải tốn Tổ hợp - Xác suất, em có thường xuyên bị
hiểu nhầm bài, giải sai bài khơng ?
(3) Em có gặp khó khăn khi học chủ đề Tổ hợp - Xác suất khơng?
(4) Em có biết học Tổ hợp - Xác suất để làm gì không?
(5) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Tổ hợp - Xác suất vào
trong cuộc sống chưa?
(6) Em có thể dùng kiến thức Tổ hợp - Xác suất để giải quyết
một số vấn đề trong thực tiễn chưa ?
Qua thăm dò ý kiến học sinh, giáo viên ở một số trường THPT trên địa bàn,
chúng tôi thu được một số kết quả chung như sau:
- 76% học sinh được hỏi gặp khó khăn khi học chủ đề Tổ hợp – Xác suất,
nhiều học sinh thường hiểu nhầm đề bài, giải sai bài toán Tổ hợp – Xác suất.
- 81% học sinh được hỏi chưa biết học Tổ hợp – Xác suất để làm gì, chưa
biết được ý nghĩa của Tổ hợp – Xác suất.
- Nhiều giáo viên đã chuyển dần từ việc dạy học truyền thống sang dạy học
hình thành và phát triển năng lực, nhưng có đến 56% giáo viên gặp khó khăn vì thiếu
5

tài liệu, chưa biết cách thiết kế bài giảng để dạy học theo định hướng phát triển năng
lực. Một số giáo viên chậm thay đổi, đang dạy học theo phương pháp cũ.
- Nội dung Tổ hợp - Xác suất trong chương trình trung học phổ thơng bao
gồm các mạch kiến thức: Quy tắc đếm; Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp; Nhị thức Niu
– tơn; Phép thử và biến cố; Xác suất của biến cố với thời lượng 14 tiết. Thời gian
giành cho nội dung này chưa nhiều.
- Trên cơ sở tăng cường ứng dụng thực tiễn, giảm nhẹ lý thuyết, các nhà khoa
học đã cụ thể hóa tư tưởng của định hướng để thiết kế sách giáo khoa nói chung,
sách giáo khoa bộ mơn Tốn nói riêng. Qua tìm hiểu các cán bộ quản lý giáo dục và
giáo viên cho thấy thực trạng dạy học Tốn vẫn cịn những tồn tại sau:
+ Ứng dụng, thực hành chưa thực sự chú trọng. Nhiều giáo viên còn quan
niệm rằng: những tri thức đó chỉ nhằm mục đích ơn tập nội dung phần lý thuyết đã
học sau từng bài, từng chương. Do đó, dạy học mảng tri thức này chưa đúng hướng.
+ Quan điểm hoạt động hóa người học của các nhà khoa học giáo dục và các
nhà sư phạm thể hiện trong sách giáo khoa chưa được các giáo viên đứng lớp thực
hiện một cách nghiêm túc. Nhiều giáo viên thực hiện chỉ dẫn của sách giáo khoa về
tổ chức các hoạt động cho giáo viên một cách miễn cưỡng, giáo viên mới chỉ dạy
cho học sinh những gì có trong sách mà khơng cho học có cơ hội quan sát và tự thao
tác các hoạt động, nhất là các hoạt động phản ánh quy trình vận dụng kiến thức Toán
học vào đời sống thực tiễn.
+ Mạch toán ứng dụng trong sách giáo khoa được thiết kế một cách có hệ
thống nhằm trang bị cho người học các tri thức như xác suất, thống kê, đạo hàm...
có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, giáo viên chưa
thực sự chú trọng thích đáng với vai trị của nó, thâm chí có nơi, có lúc cịn bị cắt
giảm một cách tùy tiện vì lí do là: “không thuộc vào phần thi cử. Tư tưởng của sách
giáo khoa tốn có chiều hướng tăng cường vận dụng vào thực tiễn, tuy nhiên các bài
tốn có nội dung thực tiễn chưa nhiều, dẫn đến học sinh ít có cơ hội được bồi dưỡng
năng lực Tốn học hóa tình huống thực tiễn. Như vậy, chủ trương tránh tình trạng
“quá tải” trong nội dung lý thuyết của chương trình nhằm cho học sinh có điều kiện
rèn luyện một số năng lực quan trọng khác nhưng lại vấp phải tình trạng “quá tải”

về năng lực giáo viên nhằm đảm nhận nhiệm vụ mới. Ngồi ra, một số giáo viên cịn
vấp phải một rào cản tâm lý khác, đó là thói quen với những cơng việc vốn đã “thuộc
lịng” nên rất ngại sự thay đổi. Như vậy để phù hợp với cấu trúc mới, giáo viên cần
thay đổi cách tổ chức và phương pháp dạy học.
B. GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY
VÀ LẬP LUẬN TỐN HỌC THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP –
XÁC SUẤT
I. BIỆN PHÁP 1. HƯỚNG DẪN VÀ TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH
KHẢ NĂNG NHÌN BÀI TỐN DƯỚI NHIỀU GĨC ĐỘ KHÁC NHAU ĐỂ
TÌM ĐƯỢC NHIỀU PHƯƠNG ÁN GIẢI QUYẾT KHÁC NHAU.
6


Chủ đề Tổ hợp – Xác suất có nhiều bài tập đa dạng và phong phú, có thể nhìn
nhận ở các góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn nhận có thể tạo ra những cách giải khác
nhau. Trong quá trình dạy học, việc tập luyện cho học sinh nhìn nhận bài tốn theo
nhiều hình thức khác nhau sẽ rèn luyện được tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn và độc
đáo của tư duy. Để tìm được nhiều cách giải cho một bài toán, trước hết học sinh
cần nắm vững các kiến thức cơ bản và các phương pháp giải toán. Đồng thời, bằng
tư duy lập luận, học sinh sẽ trình bày được các cách để giải bài toán.
Cách thức thực hiện: Giáo viên đưa ra các bài tốn có thể giải bằng nhiều
cách, nhiều phương pháp khác nhau. Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài tốn đó,
hướng dẫn học sinh các cách nhìn nhận khác nhau để đưa ra các lời giải khác nhau
cho bài toán.
Sau khi đưa ra các lời giải thì so sánh để nhận xét về ưu điểm, nhược điểm
của từng cách giải, từ đó đưa ra lời giải tối ưu nhất.
Ví dụ 1.1. (Câu 2.27 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao)
Cho hai đường thẳng a, b song song. Xét tập H có 30 điểm khác nhau, trong
đó trên đường thẳng a có 10 điểm và trên đường thẳng b có 20 điểm của H. Có bao
nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập H?

Phân tích: Mỗi tam giác được tạo nên từ ba điểm không thẳng hàng. Trong
giả thiết bài tốn có tập hợp các điểm thẳng hàng và các điểm khơng thẳng hàng.
Vậy thì có thể nhìn nhận theo hai hướng, đó là chọn trực tiếp ba điểm thỏa mãn điều
kiện không thẳng hàng hoặc chọn ba điểm bất kì rồi loại trừ các trường hợp ba
điểm thẳng hàng.
Cách 1. (Giải trực tiếp)
- Một tam giác được tạo thành là một cách chọn 3 điểm không thẳng hàng
trong các điểm thuộc 𝑎 và 𝑏.
Chọn 3 điểm không thẳng hàng có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng 𝑎 và 1 điểm thuộc đường
2
1
thẳng 𝑏 có: 𝐶10
. 𝐶20
= 900 cách chọn.
Trường hợp 2: Chọn 1 điểm thuộc đường thẳng 𝑎 và 2 điểm thuộc đường
1
2
thẳng 𝑏 có: 𝐶10
. 𝐶20
= 1900 cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng có: 900 + 1900 = 2800 tam giác được tạo thành.
Cách 2. (Gián tiếp)

3
- Số cách chọn 3 điểm trong số 30 điểm đã cho là: 𝐶30
= 4060

- Vì 3 điểm thẳng hàng khơng tạo thành tam giác nên số cách chọn 3 điểm

3
3
thẳng hàng trên 𝐶10
+ 𝐶20
= 1260

- Số tam giác tạo thành từ 30 điểm thẳng hàng đó là: 4060 − 1260 = 2800
tam giác.
7


Trong ví dụ trên, bài tốn khá đơn giản nên việc lựa chọn phương pháp trực
tiếp hay gián tiếp đều thuận lợi. Tuy nhiên, một số bài tốn, việc tính trực tiếp lại
khá nhiều trường hợp dài dòng trong khi tính gián tiếp lại đơn giản hơn.
Ví dụ 1.2. Một lơ hàng có 30 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm bị lỗi còn lại
là sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 5 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để
lấy được ít nhất 2 sản phẩm tốt.

Phân tích: Đối với bài tốn tính xác suất của các biến cố, luôn nghĩ đến 2 khả
năng giải quyết bài tốn. Đó là tính trực tiếp các kết quả thuận lợi cho biến cố và
tính biến cố đối. Nếu tính trực tiếp có nhiều khả năng xảy ra và có nguy cơ sót trường
hợp thì nên nghĩ đến việc tính biến cố đối. Tùy theo giả thiết đã cho mà có sự lựa
chọn cách giải phù hợp.
Lời giải:
5
= 142506.
- Số phần tử của không gian mẫu là: 𝑛(Ω) = 𝐶30

- Trong 30 sản phẩm có 6 sản phẩm bị lỗi nên có 30 − 6 = 24 sản phẩm tốt.

Cách 1. (Tính trực tiếp)

- Gọi 𝐶 là biến cố “trong 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm tốt”.
- Các trường hợp thuận lợi cho biến cố 𝐶 là:

2
+ 2 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm lỗi: Có 𝐶24
. 𝐶63 = 5520 cách lấy.

3
. 𝐶62 = 30360 cách lấy.
+ 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm lỗi: Có 𝐶24

4
. 𝐶61 = 63756 cách lấy.
+ 4 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm lỗi: Có 𝐶24
5
+ 5 sản phẩm tốt: Có 𝐶24
= 42504 cách lấy.

- Do đó: 𝑛(𝐶) = 5520 + 30360 + 63756 + 42504 = 142140.
- Xác suất của biến cố 𝐶 là:
𝑃(𝐶) =

Cách 2. (Tính gián tiếp)

𝑛(𝐶) 142140 23690
=
=
𝑛(Ω) 142506 23751

- Gọi 𝐶 là biến cố “trong 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm tốt” thì 𝐶̅ là
biến cố “trong 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 1 sản phẩm tốt”. Các trường hợp
thuận lợi cho biến cố 𝐶̅ là khơng có sản phẩm tốt hoặc có 1 sản phẩm tốt.
1
- Ta có: 𝑛(𝐶̅ ) = 𝐶65 + 𝐶64 . 𝐶24
= 366.
- Xác suất của biến cố 𝐶̅ là:
𝑃(𝐶̅ ) =

366
61
𝑛(𝐶̅ )
=
=
𝑛(Ω: 142506 23751

- Suy ra, xác suất của biến cố 𝐶 là:

8


23690
61
=
23751 23751
Qua ví dụ trên, chúng ta thấy rằng đối với bài tốn xác suất, việc tính biến cố
đối là vấn đề cần được quan tâm trong quá trình giải tốn. Nhiều bài tốn, tính trực
tiếp rất dài dịng và dễ thiếu trường hợp, nhưng nếu xét biến cố đối thì vấn đề lại
đơn giản hơn nhiều.

𝑃(𝐶) = 1 − 𝑃(𝐶̅ ) = 1 −

Ví dụ 1.3. Một hộp đựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Có
bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có đủ 3 màu.

Phân tích: Nếu học sinh trung bình và chưa được rèn luyện nhiều, thì đứng
trước bài toán này sẽ lập tức xét các trường hợp xảy ra để có được các cách lấy 6
viên bi có đủ 3 màu. Sau khi học sinh giải xong, giáo viên đặt ra câu hỏi có hướng
giải quyết nào nữa không? Nếu số bi lấy ra không phải là 6 mà là 8 bi hoặc nhiều
hơn thì việc xét các trường hợp xảy ra để có đủ 3 màu là bao nhiêu? Từ đó có hướng lựa
chọn cách giải phù hợp.
Lời giải:

Cách 1: (Trực tiếp)
- Ta thấy: 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2 nên các trường hợp lấy
ra 6 viên bi có đủ 3 màu là:
Trường hợp 1: Một loại lấy ra 4 bi, hai loại còn lại mỗi loại 1 bi.

- Số cách lấy là: 𝐶71 . 𝐶51 . 𝐶44 + 𝐶71 . 𝐶54 . 𝐶41 + 𝐶74 . 𝐶51 . 𝐶41 = 875 cách.

Trường hợp 2: Loại thứ nhất lấy ra 1 bi, loại thứ hai lấy 2 bi và loại thức ba
lấy 3 bi.
- Số cách lấy là:

𝐶71 . 𝐶52 . 𝐶43 + 𝐶71 . 𝐶53 . 𝐶42 + 𝐶72 . 𝐶51 . 𝐶43 + 𝐶72 . 𝐶53 . 𝐶41 + 𝐶73 . 𝐶51 . 𝐶42 +
𝐶73 . 𝐶52 . 𝐶41 = 4410
Trường hợp 3: Mỗi loại lấy 2 viên.

- Số cách lấy là: 𝐶72 . 𝐶52 . 𝐶42 = 1260.

- Tổng số cách lấy 6 viên bi có đủ 3 màu là: 875 + 4410 + 1260 = 6545.
Cách 2: (Gián tiếp)

6
= 8008.
- Số cách lấy 6 viên bi trong 16 viên bi là: 𝐶16

- Ta tính số cách lấy bi khơng đủ 3 màu:

6
Trường hợp 1: Lấy 6 bi gồm xanh và đỏ. Số cách lấy là: 𝐶12
= 924.

6
= 462.
Trường hợp 2: Lấy 6 bi gồm xanh và vàng. Số cách lấy là: 𝐶11

Trường hợp 3: Lấy 6 bi gồm vàng và đỏ. Số cách lấy là: 𝐶96 = 84.

9


- Vì số bi xanh là 7 > 6 nên cách lấy 6 bi xanh được tính hai lần ở trường hợp
1 và 2.
- Vậy số cách lấy 6 viên bi có đủ 3 màu là:

8008 − (924 + 462 + 84) + 𝐶76 = 6545

Đối với ví dụ này, việc tính trực tiếp khá nhiều trường hợp xảy ra nhưng lại
rõ ràng, dễ hiểu hơn. Cịn với cách tính gián tiếp nhìn cơng thức thì gọn hơn nhưng

địi hỏi học sinh phải có kỹ năng lập luận để phân chia trường hợp. Nếu bài tốn
trên, thay vì lấy 6 viên bi, ta lấy 8 viên bi thì cách thứ 2 sẽ có ưu thế vượt trội. Khơng
có cách nào là phù hợp cho mọi bài tốn, vì thế trong quá trình giảng dạy, giáo viên
cần định hướng cho học sinh suy nghĩ, phân tích bài tốn một cách chặt chẽ, nhìn
ra dấu hiệu bản chất trong từng bài để tìm ra cách giải phù hợp.
Ví dụ 1.4. (Đề học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Nghệ An năm 2015 – 2016)
Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tâp hợp 𝐴 =
{1; 2; 3; … ; 20}. Tính xác suất để trong ba số được chọn khơng có hai số tự nhiên
liên tiếp.

Phân tích: Khi gặp bài tốn này thì hầu hết học sinh đều nghĩ đến việc tìm
biến cố đối và rõ ràng trong trường hợp này chỉ có 2 khả năng xảy ra là có 2 số tự
nhiên liêp tiếp và 3 số tự nhiên liên tiếp. Tuy nhiên, để đếm số các khả năng xảy ra
nếu không cẩn thận cũng dễ dẫn đến sai lầm. Vậy vấn đề đặt ra là ta có thể tính trực
tiếp được không. Nếu chọn ra 3 số tự nhiên mà khơng có hai số tự nhiên liên tiếp thì
các số đó sẽ phải thỏa mãn điều kiện nào.
Cách 1: (Biến cố đối)

3
= 1140.
- Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ 𝐴: 𝑛(Ω) = 𝐶20

- Gọi 𝐵 là biến cố ba số được chọn khơng có hai số tự nhiên liên tiếp thì 𝐵̅ là
biến cố ba số được chọn có 3 số tự nhiên liên tiếp hoặc có 2 số tự nhiên liên tiếp.
- Xét các trường hợp xảy ra của biến cố 𝐵̅
Trường hợp 1: Chọn 3 chữ số tự nhiên liên tiếp.

+ Có 18 cách chọn là: {1,2,3}, {2,3,4}, … , {18,19,20}.
Trường hợp 2: Chọn 3 số có đúng 2 số liên tiếp.
*) Chọn 1 trong hai phần tử {1;19}: 2 cách.

+ Với mỗi cách chọn phần tử trên, ta có 1 cách chọn phần tử liền sau đó.

+ Chọn phần tử thứ ba không liên tiếp với 2 phần tử đã chọn: 17 cách (vì phải
bỏ đi phần tử liền sau phần tử thứ 2).
*) Chọn 1 phần tử trong tập {2;3;4;...;18}: 17 cách.
+ Với mỗi cách chọn trên, ta có 1 cách chọn phần tử thứ hai liền sau nó.

10


+ Để chọn phần tử thứ 3 không liên tiếp, ta cần bỏ đi phần tử liền trước phần
tử 1 và liền sau phần tử 2: 16 cách.
Suy ra có 17.2 + 17.16 = 306 cách chọn 3 phần tử có đúng hai chữ số liên tiếp.
- Số kết quả thuận lợi cho biến cố 𝐵 là: 𝑛(𝐵) = 18 + 306 = 324.

- Xác suất của biến cố 𝐵 là:

𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐵̅) = 1 −

Cách 2. (Trực tiếp)

324
68
=
1140 95

3
= 1140.
- Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ 𝐴: 𝑛(Ω) = 𝐶20

- Gọi 𝐵 là biến cố ba số được chọn khơng có hai số tự nhiên liên tiếp.

- Giả sử ta tìm được các số 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 sao cho trong ba số đó khơng có hai số
tự nhiên liên tiếp. Khơng mất tính tổng quát, giả sử 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 . Vì ba số đó khơng
liên tiếp nên:
1 ≤ 𝑎 < 𝑏 + 1 < 𝑐 + 2 ≤ 20

- Suy ra số cách chọn bộ 3 số 𝑎, 𝑏, 𝑐 bằng số cách chọn ra 3 phân tử phân biệt
3
trong 18 số {1; 2; 3; … ; 18}. Do đó: 𝑛(𝐵) = 𝐶18
= 816.
- Xác suất của biến cố 𝐵 là:

𝑃(𝐵) =

𝑛(𝐵)
816
68
=
=
𝑛(Ω) 1140 95

Với bài tốn trên thì hầu hết học sinh sẽ làm theo cách 1 mà không nghĩ đến
cách 2. Tuy nhiên, nếu đào sâu suy nghĩ, vận dụng linh hoạt đường lối giải quyết
vấn đề ở một số lớp bài tốn khác ta sẽ có một cách giải mới đầy sáng tạo. Trong
quá trình dạy học, giáo viên thường xuyên rèn luyện học sinh cách nhìn nhận một
vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau.
II. BIỆN PHÁP 2. TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH THĨI QUEN
KHƠNG SUY NGHĨ RẬP KHN, MÁY MĨC, KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO

CÁC DẠNG BÀI CĨ SẴN ĐỂ HÌNH THÀNH TƯ DUY LOGIC, XỬ LÍ LINH
HOẠT TRƯỚC NHỮNG TÌNH HUỐNG MỚI.
Một trong những thuộc tính quan trọng của tư duy là tính mềm dẻo. Tính mềm
dẻo thể hiện ở khả năng dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, không
suy nghĩ rập khn, khơng áp dụng máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng
đã có, đã biết vào hồn cảnh mới, điều kiện mới mà trong đó có những yếu tố thay
đổi. Vì vậy, biện pháp này nhằm rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy.
Cách thức thực hiện: giáo viên phải linh hoạt, mềm dẻo trong gợi mở vấn đề
để học sinh từ những kiến thức đã có có thể tổng hợp các cơng cụ để giải quyết bài
tốn, khơng áp đặt để học sinh suy nghĩ cứng nhắc, máy móc và bắt chước theo một
hướng giải quyết nào. Giáo viên cũng cần khuyến khích học sinh sáng tạo đưa ra các
11


hướng giải quyết, đưa ra các dấu hiệu tương ứng gợi mở để học sinh phát hiện ra
phương pháp.
Ví dụ 2.1. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
Phân tích: Khi đề cập đến bài tốn chia hết cho 3, điều đầu tiên học sinh nghĩ
đến là tổng các chữ số chia hết cho 3 và đi tìm bộ 3 số có tổng chia hết cho 3. Để
tổng chia hết cho 3 thì tổng có thể bằng 3, 6, 9, 12, 15, 18. Đi tìm các bộ số có tổng
là các trường hợp trên thì sẽ có rất nhiều khả năng xảy ra và rất dễ bỏ sót trường hợp.
Vì vậy, giáo viên nên dẫn dắt học sinh suy nghĩ theo hướng khác. Hướng dẫn học
sinh phân tích một số trường hợp ba số có tổng chia hết cho 3 được tạo từ các chữ
số như thế nào, các chữ số đó có chia hết cho 3 hay khơng và nếu khơng chia hết thì
chia 3 dư bao nhiêu. Từ đó gợi ý đến việc chia tập hợp đã cho thành các tập hợp chia
hết cho 3, chia 3 dư 1 và chia 3 dư 2 rồi thành lập số từ các bộ đó.
Lời giải:

- Ta chia các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8 thành 3 bộ:

𝐴 = {0; 3; 6} gồm các số chia hết cho 3.

𝐵 = {1; 4} gồm các số chia 3 dư 1.

𝐶 = {2; 5; 8} gồm các số chia 3 dư 2.

- Để lập được số chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Lấy 3 số từ tập 𝐴. Có: 2.2! = 4 số.
Trường hợp 2: Lấy 3 số từ tập 𝐶. Có 3! = 6 số.

Trường hợp 3: Lấy từ tập 𝐴, 𝐵, 𝐶 mỗi tập 1 số.

+ Khả năng 1: Lấy số 0 từ tập 𝐴. Có: 𝐶21 . 𝐶31 . 2.2! = 24 số.

+ Khả năng 2: Số lấy từ tập 𝐴 khác 0. Có 𝐶21 . 𝐶21 . 𝐶31 . 3! = 72 số.
Vây, có 4 + 6 + 24 + 72 = 106 số thỏa mãn yêu cầu.

Qua ví dụ này, học sinh sẽ rèn luyện được tư duy mềm dẻo, biết nhìn nhận các
bài tốn một cách linh hoạt.
Ví dụ 2.2. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.

Phân tích: Khi đề cập đến số chia hết cho 9 ta thường nghĩ đến dấu hiệu chia
hết cho 9, đó là tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9. Trong nhiều bài toán nếu
chỉ áp dụng mỗi dấu hiệu đó thì chưa đủ giải quyết vấn đề. Giáo viên dẫn dắt gợi ý
mối liên hệ giữa các số đó, hai số liên tiếp thỏa mãn điều kiện đề ra có mối liên hệ thế
nào với nhau, có tìm được số bé nhất, số lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài ra khơng …
Đơi khi, cần linh hoạt tìm ra mối liên hệ khác giữa các số đó để giải quyết bài toán.
Lời giải:

12


- Số lẻ nhỏ nhất có 6 chữ số và chia hết cho 9 là: 100017 và số lẻ lớn nhất có
6 chữ số và chia hết cho 9 là: 999999.

- Để lập các số lẻ tiếp theo số 100017 có 6 chữ số và chia hết cho 9 ta chỉ cần
cộng số đó với 18. Khi đó ta có một cấp số cộng với 𝑢1 = 10017, 𝑢𝑛 = 999999,
cơng sai 𝑑 = 18.
- Ta có:

𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1)𝑑 ⇔ 999999 = 100017 + (𝑛 − 1). 18
⇔ 𝑛 = 50000.

- Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.

Ví dụ 2.3. (Đề thi học sinh giỏi Quảng Bình năm 2021 – 2022) Gọi A là tập
hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác
suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.
Phân tích: Với bài tốn này học sinh cũng có thể vận dụng cách làm như ví
dụ trên. Tuy nhiên, việc tìm cấp số cộng trong trường hợp này hơi phức tạp. Nhưng
nếu hỏi học sinh biểu diễn số chia hết cho 7 có dạng như thế nào thì chắc chắn sẽ
nhiều học sinh làm được. Đó cũng là một cách nhìn khác đối với bài tốn chia hết.
Lời giải:

- Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: 99999 − 10000 + 1 = 90000.

- Gọi số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là:
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑1.

̅̅̅̅̅̅̅ + 1 = 7. 𝑎𝑏𝑐𝑑
̅̅̅̅̅̅̅ + 3. 𝑎𝑏𝑐𝑑
̅̅̅̅̅̅̅ + 1 chia hết cho 7 khi
- Ta có: ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑1 = 10. 𝑎𝑏𝑐𝑑
̅̅̅̅̅̅̅ + 1 chia hết cho 7.
và chỉ khi 3. 𝑎𝑏𝑐𝑑
̅̅̅̅̅̅̅ + 1 = 7ℎ(ℎ ∈ ℕ). Ta có: 𝑎𝑏𝑐𝑑
̅̅̅̅̅̅̅ = 2ℎ + ℎ−1 là số nguyên khi
- Đặt 3. 𝑎𝑏𝑐𝑑
3
̅̅̅̅̅̅̅
và chỉ khi ℎ = 3𝑡 + 1(𝑡 ∈ ℕ) ⇒ 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 7𝑡 + 2.
̅̅̅̅̅̅̅ ≤ 9999 nên 1000 ≤ 7𝑡 + 2 ≤ 9999 ⇔ 998 ≤ 𝑡 ≤ 9997
- Mà 1000 ≤ 𝑎𝑏𝑐𝑑
⇒ 𝑡 ∈ {143, 144, … , 1428}

7

7

- Mỗi cách chọn 𝑡 cho ta một số thỏa mãn yêu cầu bài ra. Suy ra, số các số
chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là: 1428 − 143 + 1 = 1286.
- Xác suất cần tìm là:

643
1286
=
≈ 0,014
90000 45000

Qua các ví dụ trên, học sinh được rèn luyện thói quen khơng suy nghĩ rập
khn, máy móc, khơng bị phụ thuộc vào các dạng bài có sẵn. Từ đó giúp học
sinh phát triển tư duy logic, khả năng linh hoạt trong những tình huống mới. Qua
các hoạt động trên, học sinh có khả năng phân tích, so sánh các bài tốn với
nhau từ đó giải thích, điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề. Đây chính là một

13


trong các thành phần của năng lực tư duy và lập luận tốn học.
III. BIỆN PHÁP 3. KHUYỄN KHÍCH VÀ TẠO ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỌC
SINH TỰ XÂY DỰNG BÀI TOÁN MỚI DỰA TRÊN CÁC BÀI TOÁN TỔ
HỢP – XÁC SUẤT CƠ BẢN NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO.
Bài toán mới có thể là bài tốn hồn tồn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào
sâu những bài tốn đã biết. Thực ra, khó có thể tạo ra một bài tốn hồn tồn khơng
có quan hệ gì về nội dung hay về phương pháp với những bài toán đã có. Ta có thể
xét một số con đường dẫn đến bài tốn mới từ bài tốn ban đầu, đó là:
- Lập bài toán tương tự với bài toán ban đầu;
- Lập bài toán đảo của bài toán ban đầu;
- Thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu.
Tùy theo đối tượng học sinh mà lựa chọn con đường phát triển bài toán phù hợp.
1. Xây dựng bài toán mới bằng thao tác tư duy tương tự hóa.
- Tương tự thường được hiểu là giống nhau, như nhau. Những vấn đề tương
tự là những vấn đề thường được nghiên cứu cùng với nhau, có liên quan chặt chẽ
với nhau. Ví dụ như khi xét một đa giác, ta quan tâm đến các đối tượng tam giác, tứ
giác, ngũ giác ...
- Những đối tượng tương tự thường là những đối tượng có tính chất giống
nhau, có vai trị như nhau. Chẳng hạn như tam giác vuông, tam giác đều, tam giác
tù đều là các trường hợp riêng của tam giác; hay đoạn thẳng, vectơ đều có mối liên
quan khi được tạo ra từ hai điểm ...

- Vấn đề tương tự của hai bài tốn có thể xem xét dưới các khía cạnh sau:
+ Chúng có đường lối giải, phương pháp giải giống nhau.
+ Nội dung của chúng có những nét giống nhau, có giả thiết như nhau hoặc
có hoặc có kết luận như nhau.
+ Chúng đề cập đến những đối tượng có tính chất giống nhau.
Ví dụ 3.1.1. Cho 2 đường thẳng 𝑑1 , 𝑑2 song song với nhau. Trên đường
thẳng 𝑑1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng 𝑑2 cho 8 điểm phân biệt. Hỏi có
thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho.
Lời giải:

- Một tam giác được tạo thành là một cách chọn 3 điểm không thẳng hàng
trong các điểm thuộc 𝑑1 và 𝑑2 .
- Chọn 3 điểm khơng thẳng hàng có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng 𝑑1 và 1 điểm thuộc đường
2
thẳng 𝑑2 có: 𝐶10
. 𝐶81 = 360 cách chọn.
14


Trường hợp 2: Chọn 1 điểm thuộc đường thẳng 𝑑1 và 2 điểm thuộc đường
1
thẳng 𝑑2 có: 𝐶10
. 𝐶82 = 280 cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng có: 360 + 280 = 640 tam giác được tạo thành.

Sau khi học sinh giải xong, giáo viên đặt ra một số câu hỏi có thể hướng dẫn
học sinh trả lời:
- Bài tốn đã cho tương tự với bài tốn nào?

- Có thể mở rộng bài tốn này theo các hướng nào? Ngồi tam giác ra thì các
điểm đã cho có thể lập được các hình gì?
- Có thể thay đổi giả thiết, điều kiện nào, có thể thêm điều kiện gì?
Trả lời các câu hỏi đó có thể đi đến các bài toán mới.

Bài toán 3.1.1.1. Cho hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 song song. Trên đường thẳng 𝑎
có 10 điểm phân biệt và trên đường thẳng 𝑏 có 20 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập
được bao nhiêu hình thang mà 4 đỉnh của mỗi hình thang lấy từ 30 điểm đã cho.
Lời giải:

- Mỗi hình thang được tạo thành bằng cách lấy hai điểm thuộc đường thẳng a
và hai điểm thuộc đường thẳng b.
2
2
- Số hình thang tạo thành là: 𝐶10
. 𝐶20
= 8550

Bài tốn trên có sự tạo thành của hình thang. Câu hỏi đặt ra là nếu muốn tạo
thành hình bình hành hay hình chữ nhật thì với giả thiết hai đường thẳng song song
có thể lập được hay khơng. Nếu khơng có thể thay đổi giả thiết ban đầu như thế nào
để có thể hình thành được các hình bình hành và các hình chữ nhật. Với suy nghĩ
hình bình hành được tạo thành từ hai cặp đường thẳng song song cắt nhau, hình
chữ nhật được tạo thành từ hai cặp đường thẳng song song vng góc với nhau, ta
có thể thiết lập được bài tốn mới như thế nào?
Bài toán 3.1.1.2. Trong mặt phẳng cho 10 đường thẳng song song cắt 20
đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành tạo thành từ các
đường thẳng trên.
Lời giải:
- Mỗi hình bình hành được tạo thành là một cách chọn 4 đường thẳng trong

đó có 2 đường thẳng song song này cắt hai đường thẳng song song kia.
2
2
- Vậy số hình bình hành là: 𝐶10
. 𝐶20
= 8550.

Hình bình hành được tạo thành khi lấy 2 đường thẳng song song và 2 đường
thẳng cắt 2 đường thẳng song. Với hướng suy luận đó, gợi ý cho học sinh thay đổi
giả thiết để hình thành bài tốn tạo nên hình chữ nhật.

15


Bài tốn 3.1.1.3. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành
từ 10 đường thẳng song song với nhau và 20 đường thẳng vng góc với 10 đường
thẳng song song đó.
Lời giải:

- Mỗi hình chữ nhật được tạo thành là một cách chọn 4 đường thẳng trong đó
có 2 đường thẳng song song này vng góc với hai đường thẳng song song kia.
2
2
- Vậy số hình chữ nhật là: 𝐶10
. 𝐶20
= 8550.

Trong các bài toán trên chỉ có 2 đường thẳng song song, nếu thêm 1 hay
nhiều đường thẳng song song nữa thì có giải được khơng, có cần thêm điều kiện gì
khơng. Lưu ý điều kiện để 3 điểm tạo thành tam giác.

Bài toán 3.1.1.4. Cho ba đường thẳng 𝑎, 𝑏, 𝑐 đôi một song song. Xét tập 𝐻 có
45 điểm khác nhau, trong đó trên đường thẳng 𝑎 có 10 điểm, trên đường thẳng 𝑏 có
15 và trên đường thẳng 𝑐 có 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó
thuộc tập 𝐻 biết 3 điểm tùy ý lấy lần lượt trên trên các đường thẳng 𝑎, 𝑏, 𝑐 đều không
thẳng hàng?
Lời giải:

3
- Số cách chọn 3 điểm trong số 45 điểm đã cho là: 𝐶45
= 14190

- Vì 3 điểm thẳng hàng không tạo thành tam giác nên số cách chọn 3 điểm
3
3
3
thẳng hàng trên là: 𝐶10
+ 𝐶15
+ 𝐶20
= 1715

- Số tam giác tạo thành từ 45 điểm đó là: 14190 − 1715 = 12475 tam giác.

Ví dụ 3.1.2. Trong mặt phẳng cho tập 𝐻 có 20 điểm phân biệt sao cho khơng
có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được:
a) Bao nhiêu đoạn thẳng mà các đầu mút của nó thuộc tập điểm đã cho.

b) Bao nhiêu vectơ khác vectơ – khơng mà các đầu mút của nó thuộc tập điểm
đã cho.
c) Bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho.
d) Bao nhiêu tứ giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho.

Lời giải:
a) Mỗi cách lấy hai điểm trong số 20 điểm đã cho tạo thành một đoạn thẳng.
2
= 190.
Số đoạn thẳng có thể lập được là: 𝐶20

b) Cách 1. Mỗi cách lấy hai điểm thuộc tập 𝐻 ta lập được hai vectơ. Số cách
2
2
. Vậy số vectơ có thể lập được là: 2. 𝐶20
= 380 vectơ.
lấy hai điểm từ tập 𝐻 là 𝐶20
Cách 2. Mỗi điểm bất kì trong tập 𝐻 có thể nối với 19 điểm cịn lại để tạo thành các
vectơ. Trong tập 𝐻 có 20 điểm nên số vectơ có thể lập được là: 20.19 = 380 vectơ.
c) Mỗi cách lấy ba điểm trong tập 𝐻 ta lập được một tam giác. Số tam giác có
3
= 1140.
thể lập được là: 𝐶20
16


d) Mỗi cách lấy bốn điểm trong tập 𝐻 ta lập được một tứ giác. Số tứ giác có
4
thể lập được là: 𝐶20
= 4845.

Hướng dẫn học sinh mở rộng bài tốn trong khơng gian 𝑂𝑥𝑦𝑧 . Ngồi các đối
tượng như trong hình học phẳng: đường thẳng, vectơ, tam giác ... thì trong khơng
gian ta xét thêm các đối tượng nào nữa?
Bài tốn 3.1.2.1. Trong khơng gian cho 10 điểm trong đó khơng có 3 điểm

nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm;

b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm;
c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên;

d) Nếu trong 10 điểm trên khơng có 4 điểm nào đồng phẳng thì có bao nhiêu
tứ diện được tạo thành.
Lời giải:

a) Mỗi đường thẳng được tạo thành là một cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 10 điểm.
2
= 45.
- Vậy số đường thẳng tạo thành là: 𝐶10

b) Mỗi vectơ được tạo thành là một cách chọn có thứ tự 2 điểm bất kỳ trong
10 điểm.
2
- Vậy số vectơ nối từng cặp điểm là: 𝐴10
= 90.

c) Một tam giác được tạo thành là một cách chọn 3 điểm không thẳng hàng
trong 10 điểm.
3
- Vậy số tam giác là: 𝐶10
= 120.

d) Một tứ diện được tạo thành là một cách chọn 4 điểm phân biệt không đồng
phẳng trong 10 điểm.
4

- Vậy số tứ diện là : 𝐶10
= 210.

Trong bài toán trên, các điểm đã cho khơng có 4 điểm nào đồng phẳng. Nếu
như có thêm các điểm đồng phẳng thì bài tốn tìm số mặt phẳng, số tứ diện có giải
quyết được khơng và giải quyết như thế nào?
Bài tốn 3.1.2.2. Trong khơng gian cho 20 điểm trong đó có 8 điểm đồng
phẳng, số cịn lại khơng có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi:
a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau được tạo thành từ 20 điểm đó?

b) Có bao nhiêu tứ diện được tạo thành từ 20 điểm đó?

Lời giải:

a) Một mặt phẳng xác định khi biết 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.

3
= 1140.
- Số mặt phẳng xác định bởi 3 điểm trong 20 điểm là: 𝐶20

17


- Trong 20 điểm có 8 điểm đồng phẳng thì 8 điểm này chỉ xác định một mặt
phẳng và số cách chọn 3 điểm trong 8 điểm này là 𝐶83 = 56.
- Vậy số mặt phẳng cần tìm là: 1140 − 56 + 1 = 1085.

b) Mỗi tứ diện được tạo thành là một cách chọn 4 điểm phân biệt không đồng
phẳng trong 20 điểm.
4

= 4845.
- Số cách chọn 4 điểm trong 20 điểm là: 𝐶20

- Trong các cách chọn đó có 𝐶84 = 70 cách chọn 4 điểm mà khơng tạo thành
tứ diện. (Vì 4 điểm này đồng phẳng).
- Vậy có 4845 − 70 = 4775 tứ diện được tạo thành.

Trong bài toán trên, các điểm được cho chưa có nhiều ràng buộc. Nếu ta thêm
điều kiện cho các điểm ban đầu, ta cũng sẽ tạo nên bài toán mới.
Bài toán 3.1.2.3. Cho lăng trụ lục giác đều 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. 𝐴′ 𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′. Hỏi có
tất cả bao nhiêu hình chóp tứ giác có 5 đỉnh là đỉnh của lăng trụ.

Phân tích: Hình chóp tứ giác được tạo thành từ 4 điểm đồng phẳng không
thẳng hàng và 1 điểm không thuộc mặt phẳng chứa 4 điểm đó. Từ đó, chia các nhóm
điểm có tính chất giống nhau rồi từ đó phân ra các dạng để giải quyết bài tốn.
Lời giải:

- Hình chóp có 5 đỉnh tạo thành từ 5 đỉnh của hình lăng trụ khi ta chọn 4 đỉnh
đồng phẳng và 1 đỉnh không đồng phẳng với 4 đỉnh đã chọn.

Trường hợp 1: 4 đỉnh thuộc {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹} và 1 đỉnh chọn từ
{𝐴′, 𝐵′, 𝐶′, 𝐷′, 𝐸′, 𝐹′} và ngược lại 1 đỉnh thuộc {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹} và 4 đỉnh chọn từ
{𝐴′, 𝐵′, 𝐶′, 𝐷′, 𝐸′, 𝐹′}.
Trường hợp này có 2. 𝐶64 . 6 = 180 hình chóp.

Trường hợp 2: 4 đỉnh được chọn từ một cạnh thuộc {𝐴𝐵, 𝐶𝐹, 𝐷𝐸} và một cạnh
thuộc {𝐴′𝐵′, 𝐶′𝐹′, 𝐷′𝐸′} hoặc một cạnh thuộc {𝐵𝐶, 𝐷𝐴, 𝐹𝐸} và một cạnh thuộc
{𝐵′𝐶′, 𝐷′𝐴′, 𝐹′𝐸′} hoặc một cạnh thuộc {𝐶𝐷, 𝐵𝐸, 𝐷𝐹} và một cạnh thuộc
{𝐶′𝐷′, 𝐵′𝐸′, 𝐷′𝐹′} và 1 đỉnh trong 8 đỉnh còn lại của lăng trụ.
Trường hợp này có 3.9.8 = 216 hình chóp.

Trường hợp 3: 4 đỉnh được chọn từ 1 cạnh thuộc {𝐴𝐶, 𝐹𝐷} và một cạnh thuộc
{𝐴′𝐶′, 𝐹′𝐷′} hoặc 1 cạnh thuộc {𝐵𝐷, 𝐴𝐸} và 1 cạnh thuộc {𝐵′𝐷′, 𝐴′𝐸′} hoặc 1 cạnh
thuộc {𝐶𝐸, 𝐵𝐹} 1 cạnh thuộc {𝐶′𝐸′, 𝐵′𝐹′} và 1 đỉnh trong 8 đỉnh cịn lại của lăng trụ.
Trường hợp này có tất cả 3.4.8 = 96 hình chóp.

- Vậy số hình chóp thỏa mãn u cầu bài tốn là: 180 + 216 + 96 = 492
hình chóp.

18


2. Xây dựng bài toán mới bằng thao tác tư duy lập bài tốn đảo.
Ví dụ 3.2.1. Cho 2 đường thẳng 𝑑1 , 𝑑2 song song với nhau. Trên đường thẳng
𝑑1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng 𝑑2 cho 8 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập
được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho.

Trong ví dụ trên, giả thiết cho số điểm và từ đó ta tìm ra được số tam giác.
Vậy có thể lật ngược vấn đề, đặt ra câu hỏi là nếu biết số tam giác tạo thành, liệu
có thể suy ra được số đỉnh trên mỗi đường thẳng song song hay khơng. Nhìn vào ví
dụ 3.2.1 ta thấy nếu trên cả hai đường thẳng đều chưa biết số điểm thì bài tốn có
hai ẩn với một phương trình nên trong trường hợp này khơng giải quyết được. Chính
vì vậy ta có thể cho biết số điểm trên một đường thẳng, tổng số tam giác tạo thành
và từ đó suy ra số điểm trên đường thẳng cịn lại.

Bài tốn 3.2.1.1 Cho hai đường thẳng 𝑑1 và 𝑑2 song song với nhau. Trên
𝑑1 có 10 điểm phân biệt, trên 𝑑2 có 𝑛 điểm phân biệt (𝑛 ≥ 2). Biết có 2800 tam
giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm 𝑛 ?
Lời giải:

Tam giác cần lập thuộc hai loại:

Loại 1: Tam giác có một đỉnh thuộc 𝑑1 và hai đỉnh thuộc 𝑑2 .
1
- Loại này có 𝐶10
. 𝐶𝑛2 tam giác.

Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc 𝑑2 và hai đỉnh thuộc 𝑑1 .
2
- Loại này có 𝐶10
. 𝐶𝑛1 tam giác.

- Theo bài ra ta có:

1
2
. 𝐶𝑛2 + 𝐶10
. 𝐶𝑛1 = 2800
𝐶10
𝑛(𝑛 − 1)
⇔ 10.
+ 45𝑛 = 2800
2

⇔ 10.

Vậy, 𝑛 = 20.

𝑛(𝑛 − 1)
+ 45𝑛 = 2800

2

⇔ 𝑛2 + 8𝑛 − 560 ⇔ 𝑛 = 20.

Ví dụ 3.2.2. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Xét bộ gồm 5 đường thẳng song song với
𝐴𝐵, 7 đường thẳng song song với 𝐵𝐶 và 8 đường thẳng song song với 𝐴𝐶 trong đó
khơng có 3 đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được:
a) Bao nhiêu tam giác?

b) Bao nhiêu hình thang (khơng kể hình bình hành)?
c) Bao nhiêu hình bình hành ?

19


Giả thiết bài toán trên cho số lượng các đường song song với mỗi cạnh, ta
tính ra được số tam giác, số hình thang hay hình bình hành. Nếu lật ngược vấn đề,
cho biết số tam giác, số hình thang hay số hình bình hành tạo thành ta có tính được
số đường song song ban đầu hay khơng?
Bài tốn 3.2.2.1. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Xét bộ gồm 5 đường thẳng song song
với 𝐴𝐵, 7 đường thẳng song song với 𝐵𝐶 và 𝑛 đường thẳng song song với 𝐴𝐶 trong
đó khơng có 3 đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng có 4930 hình thang được lập
từ 𝑛 + 12 đường thẳng nói trên. Tìm 𝑛 ?
Lời giải:

- Mỗi hình thang khơng phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường
thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm cịn lại.
- Số hình thang là: 𝐶52 . 𝐶71 . 𝐶𝑛1 + 𝐶51 . 𝐶72 . 𝐶𝑛1 + 𝐶51 . 𝐶71 . 𝐶𝑛2 = 175𝑛 + 35𝐶𝑛2 .

- Mỗi hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng song song thuộc

nhóm này và hai đường thẳng nữa thuộc nhóm khác.
- Số hình bình hành là: 𝐶52 . 𝐶72 + 𝐶72 . 𝐶𝑛2 + 𝐶52 . 𝐶𝑛2 = 210 + 31𝐶𝑛2 .
- Theo bài ra ta có:

175𝑛 + 35𝐶𝑛2 + 210 + 31𝐶𝑛2 = 4930

Vậy, 𝑛 = 10.

⇔ 33𝑛2 + 142𝑛 − 4720 = 0
⇒ 𝑛 = 10.

Trong bài toán trên ta lại tiếp tục bớt đi một giả thiết về số đường thẳng song
song với đường thẳng 𝐵𝐶 và cho biết số hình thang hoặc hình bình hành tạo thành.
Khi đó, có thể tính được số đường song song với 𝐴𝐵 hoặc 𝐴𝐶 hay khơng hay chỉ tìm
được mối liên hệ giữa các số lượng đó. Ta xét bài toán sau.

Bài toán 3.2.2.2. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Xét bộ gồm 5 đường thẳng song song
với 𝐴𝐵, 𝑚 đường thẳng song song với 𝐵𝐶 và 𝑛 đường thẳng song song với 𝐴𝐶 trong
đó khơng có 3 đường thẳng nào đồng quy (𝑚, 𝑛 ∈ ℕ; 𝑚 ≥ 2, 𝑛 ≥ 2). Biết rằng có
225 hình bình hành được lập từ 𝑚 + 𝑛 + 5 đường thẳng nói trên. Tìm tất cả các bộ
số (𝑚, 𝑛) thỏa mãn đề bài ?
Lời giải:

- Mỗi hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng song song thuộc
nhóm này và hai đường thẳng nữa thuộc nhóm khác.
2
2
+ 𝐶52 . 𝐶𝑛2 + 𝐶𝑚
. 𝐶𝑛2 .
- Số hình bình hành là: 𝐶52 . 𝐶𝑚

2
2
- Theo bài ra ta có 𝐶52 . 𝐶𝑚
+ 𝐶52 . 𝐶𝑛2 + 𝐶𝑚
. 𝐶𝑛2 = 225

2
2
+ 10𝐶𝑛2 + 𝐶𝑚
. 𝐶𝑛2 − 100 = 325
⇔ 10𝐶𝑚
2
⇔ (𝐶𝑚
+ 10)(𝐶𝑛2 + 10) = 325

20


2
- Vì 𝑚 ≥ 2, 𝑛 ≥ 2 nên 𝐶𝑚
+ 10 ≥ 11, 𝐶𝑛2 + 10 ≥ 11. Do đó, trong trường
hợp này 325 chỉ có một cách phân tích 325 = 13.25.

𝐶 2 + 10 = 13
𝐶 2 + 10 = 25
- Từ đó suy ra: { 𝑚2
hoặc { 𝑚2
𝐶𝑛 + 10 = 25
𝐶𝑛 + 10 = 13

⇒{

𝑚=3
𝑚=6
hoặc {
𝑛=6
𝑛=3

- Vậy có hai cặp số thỏa mãn là (𝑚; 𝑛) = (3; 6) hoặc (𝑚; 𝑛) = (6; 3)

Nhìn lại bài tốn 3.2.2.1, 3.2.2.2 ta thấy nếu chỉ có một ẩn thì ta dễ dàng tìm
ra số bộ đường thẳng cịn thiếu đó. Nhưng nếu là hai ẩn thì việc tìm ra hai bộ đường
thẳng đó sẽ khó khăn hơn, và nếu số hình bình hành tạo ra càng nhiều thì sẽ có nhiều
trường hợp xảy ra đối với cặp số (𝑚; 𝑛). Đó là điều mà ta cần lưu ý khi xây dựng
các bài toán để phù hợp với các đối tượng học sinh.
Ví dụ 3.2.3. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Tìm số cạnh, số đường chéo của đa
giác đó.

Khi cho một đa giác đều, có rất nhiều câu hỏi có thể đặt ra trong bài tốn
này. Đó là số cạnh, số đường chéo, số tam giác (cân, đều, vng, nhọn, tù), số hình
chữ nhật, hình vng… có thể lập được. Ngược lại, nếu biết số lượng các đối tượng
đó hoặc mối liên hệ giữa các số lượng đó ta có thể suy ra số đỉnh đa giác.
Bài toán 3.2.3.1. Cho một đa giác đều 𝑛 đỉnh 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 3). Tìm 𝑛 biết rằng
đa giác đã cho có 27 đường chéo.
Lời giải:

- Số đường thẳng tạo thành từ 𝑛 đỉnh của đa giác là: 𝐶𝑛2

- Trong các đường thẳng đó có 𝑛 đường thẳng là cạnh của đa giác, suy ra số
đường chéo là: 𝐶𝑛2 − 𝑛.

- Theo đề ra ta có:

𝐶𝑛2 − 𝑛 = 27
𝑛!
⇔
− 𝑛 = 27
2! (𝑛 − 2)!
𝑛(𝑛 − 1)
⇔
− 𝑛 = 27
2
⇔ 𝑛2 − 3𝑛 − 54 = 0

Vậy 𝑛 = 9.

⇔[

𝑛 = 9 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛)
𝑛 = −6 (𝑙𝑜ạ𝑖)

Bài toán 3.2.3.2. Cho đa giác lồi có 𝑛 cạnh. Xác định 𝑛 để đa giác có số đường
chéo gấp đơi số cạnh.
21


Lời giải:
- Số đường thẳng đi qua hai đỉnh bất kì của đa giác là: 𝐶𝑛2 .

- Trong các đường thẳng đó có 𝑛 đường thẳng chứa cạnh của đa giác.
- Suy ra số đường chéo của đa giác là: 𝐶𝑛2 − 𝑛.

- Theo đề ra ta có:

𝐶𝑛2 − 𝑛 = 2𝑛
𝑛!
⇔
− 𝑛 = 2𝑛
2! (𝑛 − 2)!
𝑛(𝑛 − 1)
⇔
−3=0
2
⇔𝑛=7

- Vậy đa giác có 7 cạnh.

Bài tốn 3.2.3.3. Cho đa giác lồi (𝐻) khơng có ba đường chéo nào đồng quy.
Gọi 𝑚 là số giao điểm của hai đường chéo nằm bên trong (𝐻) và 𝑝 là số vectơ khác
vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối lấy từ các đỉnh của (𝐻). Hỏi (𝐻) có bao
𝑚
5
nhiêu cạnh biết = .
Lời giải:

𝑝

4

- Giả sử (𝐻) có 𝑛 cạnh tương ứng có 𝑛 đỉnh.

- Số tứ giác tạo thành từ 𝑛 đỉnh của đa giác là: 𝐶𝑛4 .

- Mỗi tứ giác tạo thành có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm nằm trong (𝐻).

- Vậy số giao điểm của hai đường chéo nằm trong (𝐻) bằng số tứ giác tạo
thành, do đó 𝑚 = 𝐶𝑛4 .

- Số vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối lấy từ các đỉnh của
(𝐻) là: 𝑝 = 𝐴2𝑛 .
- Theo đề ra ta có:

𝐶𝑛4 5
𝑚 5
= ⇔ 2=
𝐴𝑛 4
𝑝 4
⇔ 4. 𝐶𝑛4 = 5. 𝐴2𝑛

𝑛 ≥ 4, 𝑛 ∈ ℕ
𝑛!
𝑛!
⇔{
= 5.
4.
(𝑛 − 2)!
4! (𝑛 − 4)!
𝑛 ≥ 4, 𝑛 ∈ ℕ
5
⇔ {1
=
6 (𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

22