SKKN Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua một số bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI - THPT THANH CHƯƠNG 1
--------

SÁNG KIẾN
TÊN ĐỀ TÀI:
“GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT
VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH THƠNG QUA MỘT SỐ BÀI
TỐN THỰC TIỄN LIÊN QUAN ĐẾN KIẾN THỨC
MƠN TỐN LỚP 10”
Lĩnh vực:

Tốn học

Nhóm thực hiện:

Nguyễn Văn Tuấn
Trường THPT Lê Lợi
Nguyễn Cảnh Tài
Trường THPT Thanh Chương 1

Năm thực hiện:

2021

Đơn vị:

THPT Lê Lợi
THPT Thanh Chương 1

Số điện thoại:

0338638316 - 0945756777

Email:



Nghệ An, năm 2022


MỤC LỤC
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ.............................................................................

Trang 3

1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 3
1.2. Mục đích của đề tài............................................................................. Trang 4
1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... Trang 4
1.4. Giới hạn của đề tài.............................................................................

Trang 4

1.5. Nhiệm vụ của đề tài ..........................................................................

Trang 4

1.6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... Trang 4
1.7. Bố cục của đề tài ...............................................................................

Trang 4

Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU....................................................

Trang 6

Chương 1. Cơ sở lý thuyết và thực tiễn....................................................

Trang 6

1.1. Khái niệm...........................................................................................

Trang 6

1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực............................................................... Trang 6
1.3. Thực trạng của đề tài..........................................................................

Trang 6

1.4. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 7
1.5. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 7
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh
thơng qua một số bài tốn thực tiễn liên quan đến kiến thức mơn Tốn Trang 8
lớp 10
2.1. Một số kiến thức cơ bản...................................................................... Trang 8
2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn cho học
sinh lớp 10 thông qua việc vận dụng mô hình hóa tốn học trong dạy Trang 13
học chủ đề “Hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai”
2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10
thông qua việc vận dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải một số Trang 27
bài tốn có nội dung thực tiễn và liên mơn

2.4. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10
thông qua việc vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vào giải một số
bài tốn có nội dung thực tiễn

Trang 36

2


Chương 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu.......... Trang 45
Phần III. KẾT LUẬN.............................................................................. Trang 47
PHỤ LỤC.................................................................................................. Trang 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... Trang 50

3


Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành
Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ
mục tiêu cụ thể về giáo dục phổ thơng, trong đó có mục tiêu: Hình thành năng lực
cơng dân, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. Nội
dung trọng tâm được thể hiện trong Nghị quyết này là “chuyển nền giáo dục nặng
về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và
năng lực”.
Chương trình tổng thể Ban hành theo Thơng tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày
26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục tốn học hình thành và phát triển cho học sinh
những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố
cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận tốn học, năng lực mơ hình hố toán học, năng

lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng
cụ và phương tiện toán học”. Trong số những năng lực chung, giải quyết vấn đề là
năng lực hết sức quan trọng cần được hình thành cho học sinh để giải các bài tốn
bậc THPT. Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể cũng chỉ ra: “Năng lực là
thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học
tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và
các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành cơng
một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ
thể”.
Giáo dục toán học gắn với thực tiễn là một xu hướng của hoạt động giáo dục
toán học trong nhà trường hiện nay của Việt Nam và nhiều nước trên thế giới. Xu
hướng này gắn liền với quan điểm học đi đơi với hành, lí luận gắn liền với thực
tiễn; thể hiện mức độ cao nhất về sự chiếm lĩnh các kiến thức của người học mà
mọi quá trình giáo dục đều hướng tới. Thực tế hiện nay, trong các trường THPT
giáo viên bộ mơn Tốn vẫn chưa giành sự quan tâm nhiều tới các bài toán thực tiễn
liên quan đến kiến thức mơn Tốn nói chung và mơn Tốn lớp 10 nói riêng. Vì
vậy, việc nghiên cứu một cách hệ thống và sâu sắc về phát triển năng lực giải quyết
vấn đề cho học sinh bậc THPT thông qua một số bài toán thực tiễn là một việc làm
cần thiết, như là một bước chuẩn bị hết sức quan trọng cho việc thực hiện thành
công định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục Việt Nam của Nghị quyết
số 29.
Chương trình giáo dục phổ thơng mới năm 2018 sẽ được áp dụng cho lớp 10
năm học 2022 - 2023. Giáo viên là nòng cốt quyết định cho chất lượng giáo dục, vì
thế sự thay đổi chất lượng giáo dục phải bắt nguồn từ sự thay đổi của chính đội
ngũ này. Nhận thức về dạy học tốn gắn với sự phát triển các năng lực cốt lõi,
năng lực chung của mơn Tốn là một trong những giải pháp đầu tiên nhằm thực
hiện hóa mục tiêu giáo dục trong giai đoạn đổi mới.
4

Với những lí do nêu trên, chúng tơi lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển
năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thơng qua một số bài tốn thực tiễn liên
quan đến kiến thức mơn Tốn lớp 10 ”.
1.2. Mục đích của đề tài
- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
- Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 10.
- Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp
trường khối 10.
- Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT.
1.4. Giới hạn của đề tài
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh
khi dạy các chủ đề hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai, hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn, hệ thức lượng trong tam giác, qua đó góp phần phát triển năng lực
giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo cho học sinh lớp 10.
1.5. Nhiệm vụ của đề tài
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề.
- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của các chủ đề hàm số bậc
hai và bất phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, hệ thức lượng
trong tam giác chương trình mơn Tốn lớp 10.
- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn có nội thực tiễn bằng cách
vận dụng các kiến thức về hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai, hệ phương
trình bậc nhất ba ẩn, hệ thức lượng trong tam giác, từ đó góp phần phát triển năng lực
giải quyết vấn đề cho học sinh.
- Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ một số bài tốn có nội dung thực tiễn bằng cách
vận dụng các kiến thức về hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai, hệ phương
trình bậc nhất ba ẩn, hệ thức lượng trong tam giác, góp phần phát triển khả năng
sáng tạo cho học sinh.
1.6. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp điều tra quan sát.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
1.7. Bố cục của đề tài

5


Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình
bày trong 3 chương.
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho
học sinh thơng qua một số bài tốn thực tiễn liên quan đến kiến thức mơn Tốn lớp
10.
Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu.

6


Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn
1.1. Khái niệm
- Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện,
cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá
nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành cơng một loại hoạt động
nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”
lực là:

- Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng

+ Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện
của người học.
+ Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc
tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,...
+ Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự
thành công trong hoạt động thực tiễn.
1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực
- Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và
phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:
+ Những năng lực chung được hình thành, phát triển thơng qua tất cả các
môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và
hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.
+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua
một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngơn ngữ, năng lực
tính tốn, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm
mĩ, năng lực thể chất.
- Theo chương trình GDPT mơn Tốn năm 2018, u cầu cần đạt về năng
lực đặc thù là: Mơn Tốn góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực
tốn học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần
cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận tốn học; năng lực mơ hình hố tốn học;
năng lực giải quyết vấn đề tốn học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng
cơng cụ, phương tiện học tốn.
1.3. Thực trạng của đề tài
Chúng ta đã biết Tốn học là một mơn học được phát triển xuất phát chủ yếu
từ thực tiễn và nhu cầu giải quyết một số nội dung của các mơn học khác như: Vật
lý, Hóa học, Sinh học, Tin học,... Qua nghiên cứu chúng tơi thấy rằng Chương
trình tổng thể giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 rất quan tâm, chú trọng vào
7

việc khai thác các kiến thức đã học vào giải quyết các bài tốn có nội dung thực
tiễn và liên mơn. Tuy nhiên trong sách giáo khoa hiện hành cịn có một số tồn tại
sau:
- Các bài tốn có nội dung thực tiễn và liên môn chưa xuất hiện nhiều trong
các sách giáo khoa, sách bài tập mơn Tốn bậc THPT nói chung và mơn Tốn 10
nói riêng (mới chỉ tập trung ở một số chủ đề).
- Khi giảng dạy các chủ đề mơn Tốn 10, giáo viên thường ít liên hệ tốn
học với thực tiễn và các mơn học khác, hơn nữa giáo viên thường ít chú trọng hoạt
động vận dụng các kiến thức về mơn Tốn vào giải và xây dựng một số bài toán
thực tiễn và liên môn, dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo của
học sinh bị hạn chế.
1.4. Cơ sở lý thuyết
1.4.1. Kiến thức cơ bản về Đại số lớp 10:
Hàm số bậc hai, bất phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
1.4.2. Kiến thức cơ bản về Hình học lớp 10:
Hệ thức lượng trong tam giác.
1.4.3. Các bài tốn có nội dung thực tiễn và liên môn.
1.5. Cơ sở thực tiễn
Qua khảo sát thực tế của học sinh trường THPT Lê Lợi, trường THPT Thanh
Chương 1 hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và khả
năng sáng tạo (nhiều em có điểm mơn Tốn tuyển sinh vào 10 chưa đạt 1,0 điểm). Các
bài tốn có nội dung thực tiễn, liên môn thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.
Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải
thông qua vài bước chuyển đổi.
Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, chúng tôi thấy rằng khi ra
những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Cụ thể
tháng 12 năm 2020, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Chúng tôi cho học
sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau:
Điểm 9-10

Điểm 7-8

Điểm 5-6

Điểm <5

Số
HS

SL

TL(%)

SL

TL(%)

SL

TL(%)

SL

TL(%)

10A1-TC1

42

4

9,52%

18

42,86%

18

42,86%

2

4,76%

10D1-TC1

42

1

2,38%

12

28,57%

17

40,48%

12

28,57%

10A1-LL

42

4

9,52%

16

38,1%

20

47,62%

2

4,76%

10A5-LL

42

0

0%

10

23,81%

18

42,86%

14

33,33%

Lớp

8


Chương 2.
Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh
thông qua một số bài tốn thực tiễn liên quan đến kiến thức mơn Toán lớp 10
2.1. Một số kiến thức cơ bản
2.1.1. Hàm số bậc hai
a. Bảng biến thiên của hàm số bậc hai
Bảng biến thiên hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c  a, b, c  ; a  0 
TH1. Nếu a  0

TH2. Nếu a  0

b. Đồ thị của hàm số bậc hai
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đồ thị của hàm số bậc hai
y  ax 2  bx  c  a  0  là một đường cong parabol  P  :


 b
- Có đỉnh I   ;   ;
 2a 4a 
- Có trục đối xứng là đường thẳng x  

b
;
2a

- Bề lõm quay lên trên nếu a  0 , quay xuống dưới nếu a  0 ;
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c .
TH1. Nếu a  0

TH2. Nếu a  0

9


Ví dụ 1.1: Cho hàm số bậc hai y  f  x   ax 2  bx  c có đồ thị là đường

cong parabol có đỉnh là I  2;1 và đi qua điểm A 1; 8 . Hãy xác định giá trị của
các hệ số a, b, c .
Lời giải

Theo giả thiết, ta có hệ phương trình:

 b
  2a  2
0
 4a  b


1  4a  2b  c  4a  2b  c  1 .
8  a  b  c

a  b  c  8


Sử dụng máy tính giải hệ phương trình ta được: a  1; b  4; c  3 .
Vậy ta có: y  f  x    x 2  4 x  3 .
2.1.2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
a. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ có dạng

a1 x  b1 y  c1z  d1

a2 x  b2 y  c2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
trong đó x, y, z là ba ẩn, ai , bi , ci , di là các số thực cho trước gọi là các hệ số.
Ở đây các hệ số ai , bi , ci i  1,2,3 không đồng thời bằng 0 .
Mỗi bộ ba số  x0 ; y0 ; z0  thỏa mãn đồng thời cả ba phương trình của hệ gọi

là một nghiệm của hệ phương trình.
Giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là tìm tất cả các nghiệm của nó.
b. Một số phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Phương pháp 1: Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp
Gauss
Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ta có thể sử dụng các phép biến đổi
tương đương để đưa nó về hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác, từ đó tìm
nghiệm của hệ.
Ví dụ 1.2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

 x  2 y  z  4 1

 x  2 y  2z  9  2

2 x  y  z  2  3
Lời giải
10


Bước 1. Khử số hạng chứa x
Trừ theo vế của phương trình (1) cho
phương trình (2), rồi thay phương trình
mới vào vị trí của phương trình thứ hai

 x  2 y  z  4

 4 y  3 z  13
2 x  y  z  2


Nhân hai vế của phương trình (1) với 2
rồi trừ theo vế cho phương trình (3), sau
đó thay phương trình mới vào vị trí
phương trình thứ ba

 x  2 y  z  4

 4 y  3z  13  4 

 3 y  z  6  5

Bước 2. Khử số hạng chứa y
Nhân hai vế của phương trình (4) với 3,
nhân hai vế của phương trình (5) với 4,
rồi trừ theo từng vế hai phương trình
vừa tìm được và thay phương trình mới
vào vị trí phương trình thứ ba

 x  2 y  z  4

 4 y  3z  13  4   A

 5 z  15  5 


Bước 3. Giải hệ phương trình (A) có dạng tam giác, ta được nghiệm
 x; y; z   1; 1;3 .
Phương pháp 2: Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn
Hiện nay, cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, người ta đã sản xuất

ra những chiếc máy tính cầm tay nhỏ gọn, dễ dàng sử dụng để hỗ trợ việc tính
tốn.
Có nhiều loại máy tính cầm tay có thể giúp tìm nghiệm của hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn một cách dễ dàng. Chẳng hạn, ta có thể thực hiện trên máy tính
Casio 570VN-PLUS như sau
Ví dụ 1.3: Giải hệ phương trình sau bằng cách sử dụng máy tính Casio
570VN-PLUS

x  3y  2z  5

 x  2 y  3z  4
3x  y  z  2

Cách sử dụng máy tính
Thứ tự bấm các nút trên máy tính

Hiện thị của màn hình

MODE  5  3

11


1    3    2    5  
 1    2    3    4  
 3    1    1    2  







58 57 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y; z    7;  ;   .
5
5

Chú ý: Đối với các hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vơ nghiệm hoặc vơ số
nghiệm. Sau khi thực hiện tương tự như ví dụ 1.3, ta nhận được kết quả hiển thị
trên màn hình máy tính cầm tay Casio 570VN-PLUS như sau
Hệ phương trình vơ nghiệm

Hệ phương trình có vơ số nghiệm

2.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác bất kỳ
Cho tam giác ABC , ta đặt BC  a, CA  b, AB  c ; Ký hiệu ma , mb , mc lần
lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C , ha , hb , hc lần lượt là
các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C , R, r lần lượt là bán kính đường trịn
ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác, SABC là diện tích của tam giác ABC , p là nửa
chu vi của tam giác ABC .
a. Định lý côsin

a2  b2  c2  2bc.cosA , b2  a2  c2  2ac.cos B , c2  a2  b2  2ab.cos C
Ý nghĩa của định lý côsin: Tính được độ dài của một cạnh bất kỳ khi biết độ
dài của hai cạnh kia và góc xen giữa hai cạnh đó.
b. Hệ quả của định lý cơsin
12

b2  c 2  a 2
a 2  c2  b2
a 2  b2  c 2
cosA 
, cos B 
, cos C 
2bc
2ac
2ab
Ý nghĩa của hệ quả định lý cơsin: Tính được góc bất kỳ trong tam giác khi
ta biết độ dài của ba cạnh.
c. Công thức đường trung tuyến

ma 
2

2  b2  c 2   a 2

4
d. Định lý sin

, mb 
2

2  a 2  c 2   b2
4

, mc 
2

2  a 2  b2   c 2
4

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
e. Cơng thức tính diện tích của tam giác

1
1
1
SABC  aha  bhb  chc
2
2
2
1
1
1
 bc sin A  ac sin B  ab sin C
2
2
2
abc

4R

 pr


p  p  a  p  b  p  c 

Ví dụ 1.4: Cho tam giác
ABC có AB  5, AC  3 và
A  1200 .

a) Tính độ dài cạnh BC .
b) Tính cos B .
Lời giải
a) Áp dụng định lý cơsin cho tam giác ABC ta có

BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos A
Thay số ta có: BC 2  52  32  2.5.3.cos1200  49 . Do đó BC  49  7 .
b) Áp dụng hệ quả của định lý coossin cho tam giác ABC ta có

BC 2  AB 2  AC 2
cos B 
2 BCAB
72  52  32 13
 .
Thay số vào ta có: cos B 
2.7.5
14
13


Ví dụ 1.5: Cho tam giác ABC có

A  1200 , B  450 và AC  20 .
Tính độ dài cạnh BC và bán kính
R của đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC
Lời giải
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có:

BC
CA

 2R .
sin A sin B
CA.sin A 20.sin1200

 10 6 ;
Do đó: BC 
sin B
sin 450

R

CA
20

 10 2 .
2.sin B 2.sin 450

2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn cho học
sinh lớp 10 thơng qua việc vận dụng mơ hình hóa toán học trong dạy học chủ
đề “Hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai”

Trong dạy học Tốn, hoạt động MHH toán học sẽ giúp học sinh phát triển
các thao tác tư duy và kĩ năng giải quyết vấn đề. Thơng qua hoạt động MHH tốn
học, HS hiểu được mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn và các mơn học khác.
Dưới đây, chúng tơi trình bày việc vận dụng quy trình MHH tốn học trong dạy
học chủ đề Hàm số thơng qua các ví dụ sau:
Ví dụ 2.1 (sưu tầm, có bổ sung): Khi
một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ
cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo
của quả bóng là một cung parabol trong mặt
phẳng với hệ tọa độ Oxy , trong đó x là thời
gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được
đá lên; y là độ cao (tính bằng mét) của quả
bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ
cao 0,5m. Sau đó 1 giây, quả bóng đạt độ cao
6,3m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 4m
(xem hình 1).
a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ
cao y theo thời gian x và có phần đồ thị trùng
với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống
Hình 1. Mơ hình bài tốn bóng đá
trên.

14


b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần
nghìn).
c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác đến
hàng phần trăm)?
Để giải bài tốn này, chúng tơi sẽ hướng dẫn học sinh MHH bài tốn thơng

qua các bước sau:
- Bước 1 (tìm kiếm và chuyển đổi): Giáo viên hướng dẫn nhóm học sinh
phân tích và nắm được vấn đề thực tiễn như sau:
+ Quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy , vì vậy hàm số biểu thị độ cao y theo thời gian x là một hàm số bậc hai và có
phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng.
+ Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol.
- Bước 2 (tìm lời giải): Giả sử y  ax 2  bx  c  a  0  . Các nhóm thảo
luận và tìm các hệ số a, b, c như sau:
Quả bóng được đá lên từ độ cao 0,5m, nghĩa là: f  0  c  0,5 .
Sau đó 1 giây nó đạt độ cao 6,3m nên: f 1  a  b  0,5  6,3 .

Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 4m, nghĩa là: f  2  4a  2b  0,5  4 .
Học sinh thu gọn các hệ thức trên rút ra hệ phương trình bậc nhất:

a  b  5,8
.

2a  b  1,75
Giải hệ phương trình học sinh thu được kết quả: a  
Vậy, hàm số cần tìm là: y  

81
197
, b
.
20
20

81 2 197

1
x 
x .
20
20
2

Tiếp theo, học sinh tìm độ cao lớn nhất của quả bóng: Độ cao lớn nhất của
quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol, cụ thể: ymax  6,489  m .
Học giải phương trình bậc hai:



 x1  2,48  TM 
81 2 197
1
x 
x 0
.
20
20
2
 x2  0,05  KTM 

Như vậy, quả bóng chạm đất sau khoảng thời gian là 2,48 giây.
- Bước 3 (diễn giải): Sau khi giải bài tốn và tìm được nghiệm, giáo viên
hướng dẫn học sinh đưa ra nhận xét: Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một
cung parabol trong mặt phẳng. Ta có thể xác định được vị trí của quả bóng (cả về
độ cao so với mặt đất, lẫn khoảng cách so với vị trí quả bóng được đá lên) ở một
15

thời điểm bất kì trong quá trình chuyển động và sau bao lâu thì quả bóng chạm đất
(tung độ của đỉnh đồ thị hàm số bằng 0).
- Bước 4 (kiểm chứng): Việc xác định được quỹ đạo của chuyển động khơng
chỉ giúp học sinh xác định được vị trí của quả bóng tại một thời điểm bất kì, mà
cịn giúp học sinh dự kiến được thời gian quả bóng rơi xuống đất, cũng như tính
được khoảng cách từ vị trí đá đến vị trí quả bóng rơi xuống. Những kết quả tìm
được đều thỏa mãn điều kiện và hợp lí với bài tốn thực tiễn.
Ví dụ 2.2 (bài tốn về cổng Ác-xơ) (sưu
tầm): Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-i (Mĩ),
ta sẽ thấy một cái cổng lớn đó là cổng Ác-xơ.
Giả sử lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân
cổng đi qua gốc O ( x và y tính bằng mét), chân
kia của cổng ở vị trí A162;0 . Biết một điểm
M trên cổng có tọa độ (10; 43).

Hình 2. Cổng Ác-xơ

a) Tìm hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Ác-xơ.
b) Tính chiều cao của cổng (tính từ đỉnh cao nhất trên cổng đến mặt đất, làm
tròn kết quả đến hàng phần chục) (xem hình 2).
Để giải bài tốn này, chúng tơi sẽ hướng dẫn học sinh MHH bài tốn thơng
qua các bước sau:
- Bước 1 (tìm kiếm và chuyển đổi): GV chia lớp thành các nhóm và yêu cầu
các nhóm quan sát hình ảnh cổng Ác-xơ. Các nhóm thảo luận và đưa ra dự đốn
rằng hình dạng cổng giống như một phần của đường parabol.
Sau đó, giáo viên yêu cầu các nhóm tìm dạng biểu diễn của đường parabol
đó. Các nhóm thảo luận, đưa ra cách xác định phương trình biểu diễn.
- Bước 2 (tìm lời giải): các nhóm dựa theo quan sát và các dữ kiện đề bài

đưa ra để tìm dạng biểu diễn của parabol là một hàm số bậc hai.
Các nhóm thảo luận và đưa ra hàm số cần tìm có dạng:
y  ax 2  bx  c  a  0  .
Điểm O  0;0 thuộc parabol, nên c  0 .
Điểm A162;0 thuộc parabol nên ta có: 0  1622 a  162b .
Điểm 10;43 thuộc parabol nên ta có: 43  102 a  10b .

43

a


162a  b  0

1520

Giải hệ phương trình: 
.
100
10
43
3483
a
b



b 

760

16


Vậy, phương trình của parabol là: y  

43 2 3483
x 
x.
1520
760

Sau đó, nhóm học vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và tìm chiều cao của cổng
dựa vào đồ thị của hàm số như sau (xem hình 3):

Hình 3. Đường parabol biểu diễn hình dạng cong Ác-xơ
Cuối cùng, nhóm HS quan sát đồ thị vừa vẽ và rút ra kết luận: chiều cao của
cổng bằng tung độ của đỉnh parabol.
Khi đó:   b2  4ac 

 282123
12131289
 
 185,6 .
577600
4a
1520

- Bước 3 (diễn giải): Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol.
Vậy, trong trường hợp này chiều cao của cổng Ác-xơ là gần bằng 185,6  m .
- Bước 4 (kiểm chứng): Trên thực tế có rất nhiều cơng trình được thiết kế có

hình dạng tương tự như cổng Ác- xơ. Những kết quả tìm được đều thỏa mãn điều
kiện và phù hợp với thực tiễn.
Sau khi học sinh đã được làm quyen với cách MHH bài tốn thực tiễn, giáo
viên có thể hướng dẫn học sinh giải và xây dựng một số bài toán có nội dung thực
tiễn:
Ví dụ 2.3 (sáng tác): Khi một quả
bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao
nào đó rồi rơi xuống. Hình 4 minh họa
quỹ đạo của quả bóng là một phần của
cung parabol trong mặt phẳng tọa độ
Oth , trong đó t là thời gian (tính bằng
giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và
h là độ cao (tính bằng mét) của quả
bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá
từ mặt đất. Sau khoảng 2,5 s , quả bóng
lên đến vị trí cao nhất là 12,5 m .

Hình 4

a) Tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị
trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống này.
17


b) Tính độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 4 s .
c) Sau bao nhiêu giây thì quả bóng chạm đất kể từ khi đá lên?
Lời giải
a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao h  m theo thời gian t  s  là:

h  f  t   at 2  bt  c  a  0  .

Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ mặt đất, nghĩa là f  0  c  0 , do

đó f  t   at 2  bt .

Sau 2,5 s , quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 12,5 m nên

 b 5
b  5a
b  5a
a  2
 
.



 2a 2
6,25
2,5
12,5
6,25
12,5
10
a
b
a
b








 f  2,5  12,5 

Vậy f  t   2t 2  10t .
b) Độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 4 s là:

h  f  4   2.42  10.4  8  m  .
c) Cách 1. Quả bóng chạm đất (trở lại) khi độ cao h  0 , tức là:

t  0
t 5.
 2
2t  10t  0
Vì thế sau 5 s quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên.
Cách 2. Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một phần của cung parabol
5
có trục đối xứng là đường thẳng t  . Điểm xuất phát và điểm qủa bóng chạm đất
2
5
(trở lại) đối xứng với nhau qua đường thẳng t  . Vì thế sau 5 s quả bóng sẽ chạm
2
đất kể từ khi đá lên.
Ví dụ 2.4
tầm): Một
huống trong
luyện pháo
được mơ tả

hình 5:

(sưu
tình
huấn
binh
như

Hình 5

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , khẩu đại bác được biểu thị bằng điểm O  0;0 và bia
mục tiêu được biểu thị bằng đoạn thẳng MN với M  2100;25 và N  2100;15 .
Xạ thủ cần xác định parabol y  a 2 x 2  10ax  a  0  mô tả quỹ đạo chuyển động

18


của viên đạn sao cho viên đạn bắn ra từ khẩu đại bác phải chạm vào bia mục tiêu.
Tìm giá trị lớn nhất của a để xạ thủ đạt được mục đích trên.
Lời giải
Tại vị trí x  2100 , độ cao của viên đạn là:

y  a2 .21002  10a.2100  4410000a2  21000a .
Viên đạn chạm được vào bia mục tiêu khi và chỉ khi a thỏa mãn các bất
phương trình sau:

2100 

10
5;  4410000a2  21000a  25 6 ;  4410000a2  21000a  15 7 

a

+)  5 

1
1
 1 
. Vì a  0 nên a   0;
.
 210  a 

210
a
210



+)  6  4410000a2  21000a  25  0   2100a  5  0 . Bất phương
trình này đúng a  0 .
2

+)  7   4410000a2  21000a  15  0 

1
10
1
10

a


420 2100
420 2100

 1
10 1
10 
 a


;
.
420
2100
420
2100


Do

1
10
1
10
1
nên

 0 và


420 2100

420 2100 210

10 1
10   1
10 1
10 
 1   1
0;
;
;







 
.

 210   420 2100 420 2100   420 2100 420 2100 
Vì thế, viên đạn chạm được vào bia mục tiêu khi và chỉ khi

 1
10 1
10 


;
a

.
420
2100
420
2100


Vậy giá trị lớn nhất của a là

1
10
.

420 2100

Ví dụ 2.5 (sưu tầm): Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot
biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét)
(hình 6). Một quả bóng được đá lên từ điểm A 0;0,2 và chuyển động theo quỹ
đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5m sau 1 giây và đạt độ cao 6m
sau 2 giây.
a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng.
19


b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?
Lời giải
a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo quả bóng
là: h  at 2  bt  c  a  0  . Theo giả thiết đồ thị đi qua
các điểm  0;0,2 , 1;8,5 ,  2;6 , nên ta có:

a.02  b.0  c  0,2 c  0,2
c  0,2
 2


a.1  b.1  c  8,5  a  b  8,3  a  5,4
a.22  b.2  c  6
2a  b  2,9 b  13,7




Hình 6

Vậy h  5,4t 2  13,7t  0,2 .
b) Quả bóng chưa chạm đất khi
5,4t 2  13,7t  0,2  0  5,4t 2  13,7t  0,2  0



13,7  192,01
13,7  192,01
t 
.
10,8
10,8

Do t  0 nên ta có: 0  t 

13,7  192,01

.
10,8

Vậy trong khoảng từ 0 s đến dưới

13,7  192,01
s thì bóng vẫn chưa chạm
10,8

đất.
Ví dụ 2.6 (sưu tầm). Hai bạn
An và Bình trao đổi với nhau. An
nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói
rằng cổng Trường Đại học Bách
khoa Hà Nội (hình vẽ) có dạng một
parabol, khoảng cách giữa hai chân
cổng là 8m và chiều cao của cổng
tính từ một điểm trên mặt đất cách
chân cổng 0,5m là 2,93m . Từ đó
tớ tính ra được chiều cao của cổng
parabol đó là 12m .
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói:

Hình 7. Cổng trường Đại học Bách
khoa Hà nội

Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở
trên là khơng chính xác.

20

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường
Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác khơng
nhé!
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxy (hình
8) sao cho một chân trụ tháp đặt tại
gốc tọa độ, chân cịn lại đặt trên tia
Ox . Khi đó trụ tháp là một phần của
đồ
thị
hàm
số
dạng
2
y  ax  bx  a  0 .
Do khoảng cách giữa hai chân
trụ tháp khoảng 8m , nên ta có:

b 8
  b  8a 1
2a 2
Do chiều cao của trụ tháp tính
từ điểm trên mặt đất cách chân trụ

Hình 8

tháp 0,5m là 2,93m , nên parabol đi qua điểm  0,5;2,93 , do đó ta có:

1
1
0,52 a  0,5b  2,93  a  b  2,93  a  2b  11,72 (2)
4
2
Thay (1) vào (2), ta có: a  16a  11,72  a  
Vậy y  

11,72
93,76
.
b 
15
15

11,72 2 93,76
x 
x.
15
15

Chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (so với mặt đất) là:
h  y  4  12,5013 m .
Vậy kết quả của bạn An tính chưa chính xác.
Ví dụ 2.7 (sưu tầm). Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên
thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song (minh họa
như hình 9). Hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:
- Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng
nhau.
- Nhịp cầu dài 30m.

- Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

21


Hình 9.
Lời giải

Hình 10.
văng.

Trước hết ta tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp ở một bên của cầu
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Phương trình của parabol biểu diễn hình dạng của thành cầu có dạng:

y  ax 2  0,8  a  0  .
Theo giả thiết, ta có parabol đi qua điểm 15;5 , nên ta có:

5  152.a  0,8  a 

7
.
375

Vậy phương trình của parabol là: y 

7 2
x  0,8 .
375

Do tính đối xứng của parabol, nên trước hết chúng ta tính chiều dài tổng
cộng của 10 dây cáp phía bên phải.
Do khoảng cách giữa các dây bằng nhau và nhịp cầu dài 30m, nên khoảng
30
cách giữa 2 dây cáp liền kề là:
 1,5m .
20
Tổng chiều dài của 10 dây cáp bên phải là:

7
1,52  32  4,52  62  7,52  92  10,52  122  13,52  152   0,8.10

375

 24,17  m
Tổng chiều dài các dây cáp
0,8  24,17.2  49,14  m .

ở một bên của cầu văng là:

Tổng chiều dài các dây cáp của cầu văng là: 49,14.2  98,28 m .
Tổng chiều dài các dây cáp tính thêm 5% của cầu văng là:
98,28  98,28.0,05  103,194 m .

22


Ví dụ 2.8 (sáng tác): Một chiếc cổng
như hình vẽ, trong đó CD  6m , AD  4m ,
phía trên cổng có dạng hình parabol. Người

ta cần thiết kế cổng sao cho những chiến xe
container chở hàng với bề ngang thùng xe là
4m , chiều cao là 5, 2m có thể đi qua được
(chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc
thùng xe và thùng xe có dạng hình hộp chữ
nhật). Hỏi đỉnh I của parabol (theo mép dưới
của cổng) cách mặt đất tối thiểu là bao
nhiêu?
Hình 11
A. 6,13m .

B. 6,14m .

C. 6,15m .

D. 6,16m .

Lời giải

Hình 12
Gọi O là trung điểm của AB , K là điểm thuộc đoạn thẳng OA sao cho
OK  2m .
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình của đường cong parabol
có dạng y  ax2  c .
Theo giả thiết ta có parabol đi qua  2;1,2 ,  3;0 nên ta có:

6




a
4a  c  1,2 
25

.

54
9a  c  0
c 
 2,16

25
Vậy đỉnh I của parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là
6,16m . Chọn đáp án D.
Ví dụ 2.9 (sáng tác): Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe
gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh
23


doanh xe máy điện với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán ra với
giá là 31triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong
một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe
đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm
1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm
200 chiếc Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực
hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.
A. 30 triệu đồng.

B. 29 triệu đồng.

C. 30,5 triệu đồng.

D. 29,5 triệu đồng.

Lời giải
Gọi x (triệu) đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá;
 0  x  4 .
Khi đó:
Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là 31  x  27  4  x (triệu đồng).
Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là 600  200x (chiếc).
Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là

f  x    4  x  600  200x   200 x2  200 x  2400 .
Bảng biến thiên của hàm số f  x   200 x 2  200 x  2400 trên đoạn 0;4 :

Vậy max f  x   2450  x 
0;4

1
.
2

Vậy giá mới của chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao
nhất. Chọn đáp án C.
Ví dụ 2.10 (sáng tác): Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc
v ( km / h ) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị của hàm số vận tốc như hình 13.
Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần
của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung,
khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính
vận tốc v của vật tại thời điểm t  3 .

24


A. v 

121
km / h .
4

B. v 

31
km / h .
4

C. v 

89
km / h .
4

D. v 

61
km / h .
4
Hình 13

Lời giải
Giả sử v  t   at 2  bt  c  t  0 

Ta có:

5


a


v  0  c  4
4a  2b  5
4



v  2   4a  2b  c  9   4a  b  0   b  5 .

 c4
 c4
b




2
2a


5
 v  t    t 2  5t  4
4

Vận tốc của vật tại thời điểm t  3 là: v  3 

31
 km / h  . Chọn đáp án B.
4

Ví dụ 2.11 (Đề mẫu tư duy ĐHBKHN mơn Tốn năm 2022): Một nhà máy
sản xuất bóng đèn trang trí với chi phí sản xuất 12 USD mỗi bóng đèn. Nếu giá bán
mỗi bóng đèn là 20 USD thì nhà máy dự định bán được 2000 bóng mỗi tháng. Nếu
cứ tăng giá bán mỗi bóng đèn lên 1 USD thì số bóng đèn bán được mỗi tháng giảm
đi 100 bóng đèn. Để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất, giá bán mỗi bóng đèn là
A. 26 USD.

B. 27 USD.

C. 24 USD.

D. 22 USD.

Lời giải
Gọi x (USD) là số tiền mà nhà máy sản xuất dự định tăng giá bán cho mỗi
bóng đèn  x  0  .
Khi đó:
Lợi nhuận thu được khi bán mỗi chiếc bóng đèn là:
25