SKKN Mối liên hệ giữa một số bài toán hình học không gian và bài toán hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
--------

TÊN ĐỀ TÀI

MỐI LIÊN HỆ GIỮA MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VÀ HÌNH HỌC PHẲNG

Lĩnh vực:

Tốn

Người thực hiện:

Trần Thị Ngọc Hà

Tổ bộ mơn:

Tốn - Tin

Năm thực hiện:

2021-2022

Số điện thoại:

0977.848.162


MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU.......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................. 2
4. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2
7. Đóng góp của đề tài ..................................................................................... 2
B. NỘI DUNG ...................................................................................................... 3
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn ............................................................................ 3
1.1Các kiến thức cơ bản về hình học khơng gian .............................................. 5
1.2 Các kiến thức cơ bản về hình học phẳng...................................................... 6
1.3 Cơ sở thực tiễn.............................................................................................. 8
2. Một số giải pháp ......................................................................................... 10
2.1 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề quỹ tích của một điểm ................ 10
2.2 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề khoảng cách lớn nhất giữa hai
điểm .................................................................................................................. 12
2.3 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề diện tích tam giác, tứ giác .......... 13
2.4 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề tiếp tuyến .................................... 16
2.5 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề trọng tâm tam giác, tứ giác......... 18
2.6 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề trực tâm ...................................... 19
2.7 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề bán kính đường trịn ................... 20
2.8 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề hệ thức lượng ............................. 23
2.9 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề đường tròn ngoại tiếp ................. 26
2.10 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề Vec-tơ ....................................... 31
C. KẾT LUẬN ................................................................................................... 34
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO. ........................................................................... 35


A. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Xu thế của dạy học hiện đại là dạy học theo phương pháp kiến tạo, trải
nghiệm thông qua các hoạt động. Trong hoạt động dựa vào tri thức đã biết để
xây dựng các tri thức mới thì các kiểu giải bài tập tương tự là hoạt động phù hợp
và cần thiết đối với học sinh. Khi dạy học sinh lớp 11 và 12 giải tốn hình học
khơng gian tơi thường gặp các bài tốn tương tự ở hình học phẳng và thực tế có
nhiều bài tốn hình học khơng gian để dễ hiểu chúng ta phải quy về mặt phẳng
để tìm lời giải hoặc minh họa cho học sinh dễ hiểu. Trong quá trình giảng dạy
tơi thường xun đưa ra các gợi ý tìm bài tốn liên quan giữa hình học khơng
gian và hình học phẳng giúp học sinh dễ hiểu về bài tốn hình học khơng gian
hơn, từ đó dần hình thành cho học sinh phương pháp “tương tự hóa”. Muốn giải
một bài toán ta thường thực hiện 2 bước: Huy động kiến thức và tổ chức kiến
thức. Huy động kiến thức là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có
liên quan với bài tốn, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài tốn đã gặp. Do
đó, học sinh phải biết và cần phân tích ý tưởng: ta đã gặp bài toán nào gần gũi
với kiểu bài toán này hay chưa? Polia đã viết một quyển sách chỉ với nội dung
“Giải bài tốn như thế nào”, trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một
điều kiện thiết yếu.
Nhằm giúp các em học sinh lớp 11 và 12 có cách nhìn tồn diện hơn, bản
chất hơn các bài tốn hình học khơng gian, từ đó nâng cao hiệu quả học tập, góp
phần nâng cao chất lượng dạy học để có kết quả tích cực trong kỳ thi THPT
quốc gia cũng như bồi dưỡng học sinh khá - giỏi. Với những lí do như trên, tơi
chọn đề tài:
“Mối liên hệ giữa một số bài tốn hình học khơng gian và bài tốn hình
học phẳng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm ra mối liên hệ giữa các bài tốn hình học khơng gian và hình học
phẳng trong học THPT.

1

Tìm ra phương pháp dạy phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho
học sinh, từ đó nâng cao kiến thức và chất lượng học tập trong tiết học.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài tốn hình học khơng gian và hình học phẳng THPT.
4. Phạm vi nghiên cứu
Tập trung vào tốn hình học khơng gian và hình học phẳng lớp 11.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt mơn hình học lớp 11, 12.
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối
tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường Trung học
phổ thông.
6. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong q trình nghiên cứu
tơi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
• Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
• Phương pháp quan sát (cơng việc dạy- học của giáo viên và học sinh).
• Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn).
• Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và học sinh
thông qua trao đổi trực tiếp).
• Phương pháp thực nghiệm.
7. Đóng góp của đề tài
Đề tài góp phần mang tới cho giáo viên một phần giải pháp giúp các em
học sinh có thể học tốt mơn tốn, đặc biệt là trong tốn hình học phẳng và hình
học khơng gian. Đồng thời, giáo viên biết được hiện trạng của các em hiện nay.
8. Bố cục
1, Cơ sở lý luận và thực tiễn
2, Một số giải pháp
3, Tổ chức thực hiện vào các bài toán

2


B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những
cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với
yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt
Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc
lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá
IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và
đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng
nền văn hoá mới và con người mới” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi
dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao
động có trí thức, có tay nghề”. Mơn Tốn trong trường phổ thơng giữ một vai trị,
vị trí hết sức quan trọng là mơn học cơng cụ nếu học tốt mơn Tốn thì những tri
thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ
để học tốt những môn học khác.
Môn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết mơn Tốn cịn rèn luyện cho
học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Một trong các
mơn học cung cấp cho học sinh nhiều kỹ năng, đức tính, phẩm chất của con
người lao động mới là mơn hình học khơng gian. Để học mơn này học sinh cần
có trí tưởng, kỹ năng trình bày, vẽ các hình trong khơng gian và giải nó. Như
mọi người đều biết, hình học khơng gian là mơn học có cấu trúc chặt chẽ, nội
dung phong phú hơn so với hình học phẳng. Trong q trình dạy học ở trường
phổ thơng để giải quyết một vấn đề của hình học khơng gian nhiều giáo viên đã

chuyển vấn đề đó về hình học phẳng hoặc chia kiến thức của hình khơng gian
thành Rèn luyện tư duy giải tốn hình học khơng gian thơng qua mối liên hệ
giữa hình học phẳng và hình học khơng gian những phần đơn giản hơn mà có
3


thể giải nó trong các bài tốn phẳng. Đó là một việc làm đúng đắn, nhờ nó làm
cho q trình nhận thức, rèn luyện năng lực lập luận, sự sáng tạo, tính linh hoạt
khả năng liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học khơng gian của học sinh.
Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học khơng gian, với cơ sở
là mặt phẳng là một bộ phận của không gian ta chú trọng tách các bộ phận
phẳng ra khỏi khơng gian bằng các hình vẽ (các phần được tách ra thường là
thiết diện, giao tuyến.) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến các bài tốn hình học
phẳng để từ đó giải quyết được bài tốn ban đầu.
Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh rất e ngại học mơn hình
học khơng gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách
quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo
viên củng gặp khơng ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức. Qua nhiều
năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm
giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng
như học tập của học sinh ngày được nâng lên.
Trong chương trình tốn phổ thơng, hình học khơng gian là phần kiến
thức tương đối khó với hầu hết các em học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi.
Bởi để giải quyết tốt các bài toán hình học khơng gian, học sinh khơng những
nắm vững các kiến thức cơ bản của hình học khơng gian, hình học phẳng mà
cịn phải có trí tưởng tượng phong phú, biết cách liên hệ giữa hình học phẳng
với hình học khơng gian. Có nhiều cách để tiếp cận một bài toán mới, một trong
những phương thức hiệu quả là phương pháp tương tự hóa, tức là tìm hiểu xem
bài tốn cần giải quyết có vấn đề gì tương tự với các bài toán mà ta đã giải quyết
trước đây chưa, đó cũng là nguồn gốc của sự sáng tạo. Học sinh thường lúng

túng trước một bài tốn hình học khơng gian ở các mặt: vẽ hình, chưa hiểu rõ
các khái niệm, định lý liên quan và đặc biệt là không nhớ hay phát hiện được các
bài toán tương tự. Trong hình học khơng gian có những bài tốn này là bài tốn
con của bài tốn khác.
Để giải bài tập hình học khơng gian và hình học phẳng một cách thành
thạo thì một trong yếu tố quan trọng là biết kết hợp các kiến thức của hình học
4


khơng gian và hình học phẳng, phải tìm ra mối liên hệ của chúng sự tương tự
giữa hình học phẳng và hình học khơng gian, giúp học sinh ghi nhớ lâu các kiến
thức hình học, vận dụng tốt các kiến thức đã học.
1.1. Các kiến thức cơ bản về hình học không gian
Tất cả các bề mặt như mặt bàn, mặt bảng, mặt hồ phản chiếu cho ta thấy
được hình ảnh của mặt phẳng. Cũng như mặt phẳng thì khơng có bề dày và
khơng có giới hạn. Để vẽ được hình biểu diễn của một hình khơng gian ta dựa
vào các quy tắc sau:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, tương ứng của đoạn
thẳng thì sẽ là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song
song, tương tự của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn các đường nhìn thấy và dùng nét đứt để vẽ
những đường bị che khuất.
1.1.1. Quan hệ song song
Hai mặt phẳng song song khi đáp ứng u cầu khơng có điểm chung thì ta
nói hai mặt phẳng song song với nhau.
- Nếu đường thẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau là a. b và a, b cùng
song song với mặt phẳng (β) thì (α) và (β) song song với nhau.
- Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta chỉ vẽ được một và chỉ

một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì
cũng đồng thời cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến của chúng song song với
nhau.
- Định lý Ta-lét: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến
bất kỳ những đoạn tương ứng tỷ lệ.
Ví dụ: nếu d, d’ là hai cát tuyến bất kỳ cắt ba mặt phẳng song song thì

 α  , β  ,  γ  lần lượt tại các điểm

A,B,C

và A',B',C' thì

AB BC AC
=
=
.
A'B' B'C' A'C'

5


1.1.2. Vectơ trong không gian
Vector trong không gian là đoạn thẳng có hướng nhất định. Ký hiệu là 
chỉ điểm đầu và điểm cuối của đoạn thẳng. Các quy tắc về việc sử dụng vector
trong không gian bao gồm các quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc
trung điểm, quy tắc trung tuyến, quy tắc trọng tâm, quy tắc hình hộp. Tất cả
những kiến thức này chúng ta sẽ được học trong sách giáo khoa hình học 11.
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: trong không gian, ba vectơ được gọi

là đồng phẳng với nhau nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
1.1.3. Quan hệ vng góc
Trong bài tập về quan hệ vng góc cần hiểu được những kiến thức cơ
bản về đường thẳng sẽ vng góc với mặt phẳng khi nào? Những định nghĩa,
tính chất và lý thuyết chung của nó. Cách chứng minh đường thẳng vng góc
với mặt phẳng và chứng minh nó.
1.1.4. Bài tốn về góc
Đối với bài tập về góc cần xác định được các yếu tố về góc giữa hai
đường thẳng chéo nhau. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa cạnh bên
và mặt đáy, cách tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao, góc giữa
đường cao và mặt bên, công thức, lý thuyết về góc giữa hai mặt phẳng,... Nhìn
chung bài tập và kiến thức về hình học khơng gian là rất rộng và bao la. Nếu chỉ
học trong sách giáo khoa thôi là không đủ, học sinh cần phải làm bài tập thường
xuyên và nhiều để rèn luyện kỹ năng về phản xạ với hình khơng gian.
1.2. Các kiến thức cơ bản về hình học phẳng
- Định lý Menelaus
Cho tam giác ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các đường
thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi
FA DB EC
1
FB DC EA

Chú ý : Định lý Menelaus có thể mở rộng cho đa giác lồi n cạnh.
- Định lý Ceva
- Đường thẳng Euler
6


- Đường trịn Euler
Với mọi tam giác ABC bất kì, 9 điểm: trung điểm các cạnh, chân các

đường cao, trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm tam giác với các đỉnh cùng
nằm trên một đường tròn, gọi là đường trịn Euler của tam giác ABC. Đường
trịn Euler có bán kính bằng một nửa bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác và
có tâm là trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác.
- Định lý con bướm
Cho đường tròn (O) và I là trung điểm của một dây cung AB. Qua I dựng
hai dây cung tùy ý MN, PQ sao cho MP, NQ cắt AB tại E, F theo thứ tự. Khi đó
I là trung điểm EF.
- Định lý Ptolemy
Với mọi tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong một đường trịn, ta đều có đẳng
thức AB.CD + AD.BC= AC.BD
Tổng quát : (bất đẳng thức Ptolemy) Với mọi tứ giác ABCD bất kì, ta có
bất đẳng thức AB.CD + AD.BC  AC.BD . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCD
là tứ giác lồi nội tiếp.
- Định lý Stewart
- Đường thẳng Simson
Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam
giác.
Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên các đường thẳng
BC, CA, AB. Khi đó X, Y, Z thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng được gọi
là đường thẳng Simson của điểm M đối với tam giác ABC.
Tổng quát: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳng tam
giác. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên các đường thẳng
BC, CA, AB. Khi đó điều kiện cần và đủ để M nằm trên đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC là X, Y, Z thẳng hàng.
- Đường thẳng Steiner

7

Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Gọi X, Y, Z lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Khi đó X, Y, Z
thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng được gọi là đường thẳng Steiner của điểm
M đối với tam giác ABC. Đường thẳng Steiner luôn đi qua trực tâm tam giác.
- Điểm Miquel của tam giác, tứ giác toàn phần
Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P tương ứng nằm trên các đường
thẳng BC, CA, AB. Khi đó các đường trịn ngoại tiếp các tam giác ANP, BPM,
CMN đồng quy tại điểm Miquel X của M, N, P đối với tam giác ABC. Khi M, N,
P thẳng hàng, ta có X điểm Miquel của tứ giác tồn phần ABCMNP. Khi đó X
nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần
Cho tứ giác toàn phần ABCDEF, điểm Miquel M của tứ giác và tâm
ngoại tiếp các tam giác AEF, CDE, BDF, ABC cùng nằm trên đường tròn
Miquel của tứ giác.
- Định lý Pascal
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F cùng nằm trên một conic bất kì. Gọi G, H, K
theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng (AB,DE), (BC,EF), (CD,FA).
Khi đó G, H, K thẳng hàng.
- Định lý Pappus
Cho hai đường thẳng a, b. Trên a lấy các điểm A, B, C; trên b lấy các
điểm D, E, F. Gọi G, H, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng
(AE,DB), (AF,CD), (BF,CE).
Khi đó G, H, K thẳng hàng. Định lý Pappus là trường hợp suy biến của
định lý Pascal khi conic suy biến thành cặp đường thẳng.
- Bất đẳng thức AM-GM
- Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
- Bất đẳng thức Nesbitt
1.3. Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình dạy học mơn Tốn, nhất là mơn Hình học thì q trình

học tập của học sinh cịn khá nhiều em học tập chưa tốt. Đặc điểm cơ bản của
8


mơn học là rèn luyện tư duy giải tốn hình học khơng gian thơng qua mối liên
hệ giữa hình học phẳng và hình học khơng gian u cầu các em có trí tưởng
tượng phong phú. Cách trình bày chặt chẽ, suy luận logic của một bài hình học
làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tập hình khơng gian.
Ở trường các em học sinh được học sách Hình học cơ bản, các bài tập
tương đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi
khảo sát chất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng
túng cho học sinh. Nhiều em khơng biết cách trình bày bài giải, sử dụng các kiến
thức hình học đã học chưa thuần thục, lộn xộn trong bài giải của mình. Cá biệt
có một vài em vẽ hình q xấu, khơng đáp ứng đươc yêu cầu của một bài giải
hình học. Vậy thì nguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh?
Khi giải các bài tốn hình học không gian các giáo viên và học sinh
thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như là:
+) Học sinh cần phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt khi gặp một bài
tốn hình khơng gian.
+) Do đặc thù mơn hình khơng gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp
thu, sử dụng các kiến thức hình khơng gian là vấn đề khó đối với học sinh.
+) Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình
khơng gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử
dụng trong hình khơng gian, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học
phẳng cho hình khơng gian.
+) Một số bài tốn khơng gian thì các mối liên hệ của giả thiết và kết luận
chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách.
+) Bên cạnh đó cịn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn
động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn
hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do

chính các thầy cơ chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp
truyền đạt kiến thức chưa tôt làm giảm nhận thức của học sinh...v.v.
Học sinh thường suy nghĩ hay giải từ các bài toán liên quan theo dạng
(các loại tứ diện, hình chóp, hình hộp, các cách chứng minh sự vng góc hay
9


song song …) mà không để ý xa hơn là có bài tốn hình phẳng tương tự và giải
các bài tốn này. Học sinh ít suy nghĩ là từ đâu ta có đề tốn này (thực ra đối với
thầy cơ giáo thì việc ra đề bài hồn tồn dựa trên nền tảng lý thuyết cũng như
bài tập các em đã được học. Đề cho học sinh giỏi là đề biến hóa từ một bài tốn
nào đó mà giả thiết bị giấu đi hoặc khai thác một tính chất được tổng quát hóa
hay mở rộng cho đối tượng khác).
2. Một số giải pháp
Đề giải được bài hình học tốt theo tơi nghĩ có một số giải pháp tăng cường
kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là:
Hướng dẫn học sinh vẽ hình trong khơng gian, giải thích các vẽ nhằm
giúp học sinh vẽ hình đẹp, để dần giải quyết các bài tập. Tăng cường vấn đáp
nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình khơng gian như quan hệ
song song của hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng..v..v
Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mơ hình trong khơng
gian, các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS,Geogebra....
Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia
từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu
các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất.
Trong quá trình dạy học tỏi đề ra một hướng giải quyết là “Rèn luyện tư
day giải tốn Hình học cho học sinh thơng qua mối liên hệ giữa hình học phẳng
và hình học khơng gian".
2.1 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề quỹ tích của một điểm
Bài tốn 1: Trong mặt phẳng cho hai nửa đường thẳng q và p cắt nhau tại I. Một

đường thẳng  cắt cả hai đường thẳng q và p. Một đường thẳng di động song
song với  và cắt hai đường thẳng q, p lần lượt tại A và B. Tìm quỹ tích trung
điểm đoạn thẳng AB.
Nhận xét: Bài tốn này có phương pháp giải khá đơn giản và được kết quả: Quỹ
tích trung điểm đoạn thẳng AB là đường thẳng IM trong đó M là trung điểm của
đoạn thẳng AB. (hình 1)

10


p

A
M
I
B
q

Hình 1

Bây giờ ta xét bài tốn tương tự bài tốn này trong khơng gian như sau:
Bài tốn 1': Trong không gian, cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q), có giao tuyến
là đường thẳng d và một đường thẳng  cắt (P) và (Q). Một đường thẳng di
động luôn song song với  cắt (P) và (Q) lần lượt tại A và B. Tìm quỹ tích trung
điểm đoạn thẳng AB.
Giải
Ta xét trường hợp đặc biệt khi đường thẳng di động và song song với 
nằm trong mặt phẳng (R) chứa đường thẳng  và cắt đường thẳng d tại I.
Mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) và (Q) theo hai đường thẳng q và p.
Trong mặt phẳng (R) quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB là đường thẳng IM

như hình vẽ 2.
Cho mặt phẳng (R) di động và song song với chính nó thì đoạn thẳng IM
vạch trên nửa mặt phẳng (d,M) và đó là kết quả bài tốn.
Tóm lại, quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB là nửa mặt phẳng chứa
đường thẳng d và trung điểm của một đoạn thẳng PQ bất kì.
PQ

d

I
A
p



B
M

q

R

Hình 2

11


2.2 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề khoảng cách lớn nhất
giữa hai điểm
Bài toán 2: Trong mặt phẳng, chứng minh rằng độ dài cạnh dài nhất của tam

giác là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên cạnh của tam giác.
Giải:
A

A

M
N

C

B
H

C

B

N

Hình 33
Hình

Hình 44
Hình

Gọi M, N là hai điểm bất kì nằm trên hai cạnh của tam giác ABC . Ta xét
trường hợp đặc biệt:
+ Nếu M và N lần lượt trùng với hai điểm là hai đỉnh của tam giác ABC
thì suy ra MN  max AB, BC, CA

+ Nếu M hoặc N trùng với một đỉnh của tam giác. Giả sử M trùng với A.
- Nếu N thuộc cạnh AB hoặc AC thì hiển nhiên.
- Nếu N thuộc BC:
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC.
Nếu N thuộc đoạn thẳng BH  MN  AB
Nếu N thuộc đoạn thẳng CH  MN  AC
 MN  max AB, BC, CA

+ Nếu M và N không trùng với đỉnh nào của tam giác.
Giả sử M  AB, N  AC . Nối B với N (hình 3)
Như trên suy ra
MN  max AB, BN, NA  max AB, NB, CA  max AB, BC, CA.

Tóm lại ta ln có: MN  max AB, BC, CA.

12


Bây giờ ta xét bài toán tương tự bài toán này trong khơng gian như sau:
Bài tốn 2': Trong khơng gian, chứng minh rằng cạnh dài nhất của tứ diện là
khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên tứ diện.
Nếu bài tốn này trực tiếp giải thì đây có thể nói là một bài tốn khá khó
đối với học sinh phổ thơng. Tuy nhiên nếu ta nhìn bài tốn này ở một góc độ
đơn giản hơn thì ta dễ thấy có một bài tốn trong hình học phẳng tương tự với
bài tốn này khi coi hình tứ diện trong hình học khơng gian tương tự với tam
giác trong hình học phẳng.
A

M
N

B

D

P
Q
C

Hình
Hình 55

Giải
Thật vậy, do M, N nằm trên tứ diện ABCD suy ra M nằm trên ít nhất một
mặt của tứ diện. Giả sử M   ABC  ,N   ACD  (hình 5)
Đường thẳng AM cắt BC tại Q, đường thẳng AN cắt CD tại P.
Áp dụng bài tốn 2, ta có:
MN  max AQ, AP, PQ  max AB, BC, CA, PQ, AP  max AB, BC, CA, BD, CD, AD.

Vậy ta có: MN không lớn hơn cạnh lớn nhất của tứ diện nên cạnh dài nhất của tứ
diện là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên tứ diện. (đpcm)
2.3 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề diện tích tam giác, tứ giác
Bài tốn 3: Trong mặt phẳng, cho góc xOy và một điểm M nằm trong góc đó; 
là một đường thẳng qua M và cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B. Xác định vị trí
đường thẳng  để diện tích tam giác OAB đạt giá trị lớn nhất.

13


Giải:
x

A

P
M
O
B

Q

y

Hình
Hình66
Qua M ta kẻ lần lượt các đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại Q;
song song với Oy cắt Ox tại P. (hình 6)
Vì M cố định nên P và Q cố định.
Do PM//Oy và QM//Ox
suy ra:

OP BM BQ
OP OQ BQ OQ OB
=
=
+
=
+
=
=1 .


AO AB OB
OA OB OB OB OB

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:
2

OP OQ 
OP OQ
+
.
1= 
 OA.OB  4OP.OQ
 4
OA OB
 OA OB 
1
2

Mặt khác, SOAB = OA.OB.sinO  2.OP.OQ.sinO=4SOPQ
Do SOPQ không đổi nên: maxSOAB = 4SOPQ
Dấu bằng có được khi

OP OQ
=
 AB//PQ
OA OB

Từ đó ta có cách dựng: Qua M kẻ các đường thẳng song song với Ox và
Oy, cắt Oy và Ox lần lượt tại P và Q. Qua M kẻ đường thẳng  song song với
PQ thì  là đường thẳng cần dựng.

Nhận xét: Qua lời giải trên ta thấy bước quan trọng nhất là kẻ thêm hình
(MP//Oy và MQ//Ox) và tìm mối liên hệ giữa diện tích của tam giác OAB và

14


diện tích tam giác cố định OPQ . Khai thác phương hướng như vậy, ta giải quyết
bài tốn trong khơng gian như sau:
Bài tốn 3': Trong khơng gian, cho góc tam diện Oxyz và một điểm M nằm
trong góc tam diện; (α) là một mặt phẳng qua M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,
B, C. Xác định vị trí của mặt phẳng   để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị lớn
nhất.
Giải
Qua M kẻ lần lượt các đường thẳng song song với các tia Ox, Oy, Oz;
cắt các mặt phẳng  Oyz  ,  Ozx  ,  Oxy  lần lượt tại các điểm A', B' và C' (hình 4).
Do M cố định nên các điểm A', B' và C' cố định.
O

B'

A'
A

C

R
C'
z

x

Q

M
P
B
y

Hình77
Hình

Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của đường thẳng AM với OA', CM với
OC', BM với OB'. Suy ra P  BC, Q  AB, R  AC.
Lấy các điểm A'',B'',C'' lần lượt đối xứng với các điểm A',B',C' qua điểm M.
Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A0 ,B0 ,C 0 sao cho:
OA0 =MA",OB0 =MB",OC0 =MC"



VOA'B'C' OA 0 .OB0 .OC 0 MA' MB' MC'
=
=
.
.
VOABC
OA.OB.OC
OA OB OC

Mặt khác, ta có

MA' MB' MC' PM MK MQ

+
+
=
+
+
=1
OA OB OC AP BK CQ

15


Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
3

MA' MB' MC' 
MA' MB' MC'
1= 
(*)
+
+
.
.
  27
OA OB OC
 OA OB OC 

Do M cố định suy ra: MA', MB', MC' không đổi
Từ (*) ta có: OA.OB.OC  27.MA'.MB'.MC'
Suy ra: VOABC  VOA'B'C'
 MinVOABC =27VOA'B'C' 

MA' MB' MC'
MR MP MQ 1
=
=
=
=
=

OA OB OC
AR BP CQ 3

 M là trọng tâm tam giác ABC.

Từ đây ta có cách dựng hình của bài tốn:
Gọi  là đường thẳng qua M và song song với Ox cắt mặt phẳng (Oyz) tại A'.
Gọi (α) là mặt phẳng chứa Ox và M cắt mặt phẳng (Oyz) theo đường
thẳng  '  A   '.
3
2

Trên  ' lấy điểm P sao cho A' nằm giữa O và R thõa mãn: OP = OA'
Đường thẳng MR cắt Ox tại A.
Dựng các điểm B, C tương tự với điểm A.
Theo chứng minh thì ta dựng được mặt phẳng  α  qua M cắt Ox,Oy,Oz lần
lượt tại A, B, C để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất. Theo cách dựng thì
mặt phẳng  α  là duy nhất. (đpcm)
2.4 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề tiếp tuyến
Bài toán 4: Trong mặt phẳng, tìm những điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với
một đường trịn cho trước và vng góc với nhau.

Nhận xét: Đây là một bài toán rất đơn giản và dễ dàng ta có kết quả: Quỹ tích
những điểm thỏa mãn bài tốn là một đường trịn đồng tâm với đường trịn đã
cho và có bán kính là 2R .( với R là bán kính đường trịn đã cho).
Với kết quả như vậy ta có thể dự đốn kết quả của bài tốn sau:
Bài tốn 4': Trong khơng gian, tìm quỹ tích những điểm từ đó có thể dựng đến
một mặt cầu cho trước ba tiếp tuyến đôi một vuông góc nhau.
Dự đốn: quỹ tích là một mặt cầu đồng tâm với mặt cầu đã cho.

16


Để chứng minh dự đoán này ta phải chứng minh nếu M là một điểm thuộc
quỹ tích thì OM ln không đổi (O là tâm mặt cầu đã cho).
Giải
Gọi M là một điểm thuộc quỹ tích bài tốn; MA,MB,MC là ba tiếp tuyến từ
M đến mặt cầu cho trước (O;R) . (hình 5)
Ta có: MA=MB=MC và MA  MB, MB  MC, MC  MA
Do đó tam giác ABC là tam giác đều và đường vng góc AI hạ từ A
xuống MO cũng là đường cao của ABC .
Đặt: MA=a ; OA=R ta có: AB2 =MA 2 +MB2 =2a 2
 AB=BC=CA=a 2
2 3
1
2
AB =
AB = a .
 BI= .
3 2
3
3

Mặt khác trong tam giác vng BMO ta có: BM.BO=BI.BO
 MO=

BM.BO a.R. 3 R 6
=
=
BI
2
a. 2



Vậy điểm M thuộc quỹ tích thì nó phải nằm trên mặt cầu  O;


R 6
.
2 

Trong các bài toán toán trên ta đã vận dụng sụ tương tự từ lời giải một bài
tốn trong hình học phẳng để tìm ra lời giải của bài tốn trong hình học khơng
gian. Tuy nhiên có những bài tốn tương tự như nhau nhưng lời, phương pháp
giải lại hoàn tồn khác nhau, có thể trong hình học phẳng thì lại đơn giản nhưng
khi chuyển sang hình học khơng gian thì rất khó. Chính vì lẽ đó mà vận dụng sự
tương tự giữa hình học phẳng và hình học khơng gian để giải các bài tốn trong
hình học khơng gian chỉ là cung cấp thêm một phương pháp suy nghĩ, một
phương pháp giải toán áp dụng cho một số bài tốn hình học khơng gian.
Nếu như trong giải tốn hình học khơng gian nhờ vào tương tự giữa nó
với một bài tốn tương tự trong hình học phẳng địi hỏi học sinh có một kiến

thức vững vàng về hình học phẳng, có trí tưởng tượng hình học khơng gian tốt
thì q trình suy nghĩ từ một bài tốn hình học phẳng rồi đề xuất một bài tốn
tương tự trong hình học khơng gian sau đó tìm cách giải quyết bài tốn mới đó
17


địi hỏi ở học sinh ngồi những kiến thức cần thiết như trên mà cịn cần ở các em
có khả năng nhìn nhận vấn đề dưới từng góc độ và nhiều phương diện khác nhau.
Muốn thực hiện được điều đo trước tiên phải nắm được và hiểu được các yếu tố,
mối quan hệ tương tự có tính chất cơ bản giữa hình học phẳng và hình học
khơng gian. Sau đó là sử dụng các kiến thức hình học khơng gian hoặc áp dụng
tính chất tương tự trong lời giải của bài tốn hình học phẳng để giải bài tốn đặt
ra, nhiều khi bài tốn đặt ra lại rất khó.
Trong điều kiện giảng dạy nếu người thầy giáo khai thác được các vấn đề
đó là đã tạo điều kiện thuận lợi cho sự phát triển năng lực trí tuệ đặc biệt là năng
lực tương tự hóa của học sinh trong khi học hình học khơng gian.
2.5 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề trọng tâm tam giác, tứ
giác
Bài toán 5: Trong mặt phẳng, ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy tại
một điểm và điểm đó các chân mỗi đường trung tuyến bằng

1
chiều dài của
3

đường trung tuyến đó. Giao điểm ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm
tam giác.
Đây là bài tốn cơ bản trong hình học phẳng, bây giờ ta khai thác yếu tố
"đường trung tuyến".
Nhận xét: Nếu ta nhìn đường trung tuyến dưới góc độ: Đường trung tuyến là

đường nối đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện thì ta có khái niệm
đường trọng tuyến trong tứ diện là đường nối đỉnh của tứ diện với trọng tâm của
mặt đối diện. Khi đó ta có bài tốn tương tự:
Bài tốn 5': Trong khơng gian, bốn đường trọng tuyến trong một hình tứ diện
đồng quy tại một điểm, điểm đó các chân mỗi đường bằng

1
độ dài mỗi đường.
4

Giao điểm của bốn đường trọng tuyến trong tứ diện gọi là trọng tâm của tứ diện.
Ta lại xem yếu tố "đường trung tuyến" của tam giác dưới góc độ tương tự
với mặt "trung tuyến" của tứ diện (mặt trung tuyến của tứ diện là mặt phẳng
chứa một cạnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện của tứ diện). Khi đó ta có một
bài tốn tương tự với bài toán 5 như sau:
18


Bài tốn 5": Trong khơng gian, sáu mặt trung tuyến của một tứ diện đồng quy
tại một điểm.
Bây giờ ta xem "đường trung tuyến" trong tam giác dưới một góc độ khác
nữa: Coi nó tương tự với đường nối trung điểm hai cạnh đối diện trong tứ diện
lúc đó ta có bài tốn sau:
Bài tốn 5"': Trong khơng gian, ba đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh
đối diện trong một tứ diện đồng quy tại một điểm.
Nhận xét: Vậy từ bài toán 5 về đường trung tuyến của tam giác, theo từng
góc độ ta có các bài tốn tương tự 5', 5", 5"'. Bây giờ ta xét một bài tốn về
đường cao trong tam giác.
2.6 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề trực tâm
Bài toán 6: Trong mặt phẳng, ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một

điểm. Điểm đó là trực tâm của tam giác.
Nhận xét: Nếu trong tứ diện ta gọi đường cao của tứ diện là đường thẳng đi qua
đỉnh và vuông góc với mặt đối diện của tứ diện, thì đường cao trong tam giác
được coi là tương tự với đường cao của tứ diện. Ta có bài tốn tương tự sau:
Bài tốn 6': Trong khơng gian, bốn đường cao của một tứ diện trực tâm đồng
quy tại một điểm.
Dưới một góc độ khác ta nhìn đường cao trong tam giác tương tự với mặt
cao trong tứ diện trực tâm (mặt cao của tứ diện là mặt phẳng chứa một cạnh của
tứ diện và vng góc với cạnh đối diện. Chỉ tồn tại với tứ diện trực tâm) khi đó
ta có bài tốn tương tự.
Bài tốn 6": Trong khơng gian, sáu mặt cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại
một điểm.
Nhận xét: Bài toán 6 đúng trong tam giác bất kì. Bài tốn 6' và 6" chỉ đúng
trong trường hợp tứ diện trực tâm. Vậy ta có kết luận sau:
"Trong không gian, bốn đường cao, sáu mặt cao của tứ diện trực tâm đồng
quy tại một điểm (Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện).
Từ bài toán trên cho thấy kết quả của tương tự chỉ là "giả thiết", vì vậy
trong dạy học người thầy cần làm rõ cho học sinh biết được tính chất đó, kết quả
19


tương tự có thể đúng hoặc sai, người thầy cần điều chỉnh con đường suy luận
tương tự cho học sinh theo hướng đúng đắn, hợp lí theo tính chất tốn học, giúp
học sinh tìm cách bác bỏ những giả thuyết tương tự sai.
Bây giờ, ta xét một bất đẳng thức liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác
qua bài tốn sau.
2.7 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề bán kính đường trịn
Bài tốn 7: Gọi ha , hb , hc , ma , mb , mc , R lần lượt là độ dài các đường cao; đường
trung tuyến; bán kính đường trịn nội tiếp; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác nhọn ABC . Chứng minh rằng:

ma mb mc
R
+
+
 1+ .
ha hb hc
r

Giải
Gọi A1, B1, C1 và O lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Do tam giác ABC nhọn nên O nằm trong
tam giác.

A

C1

ma

B1
O

B
C

A1
Ta có: AA1  OA + OA1 

m a OA OA1


+
ha
ha
ha

(1)

Tương tự ta có:
m b OB OB1

+
hb
hb
hb

(2)

m c OC OC1

+
hc
hc
hc

(3)

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

20

m a m b m c OA OB OC OA1 OB1 OC1
+
+

+
+
+
+
+
ha hb hc
ha
hb
hc
ha
hb
hc

Û

 1 1 1  OA1 OB1 OC1
ma m b mc
 R + + +
+
+
+
+
ha hb hc
hb

hc
 ha hb hc  ha

mà

1 1 1
a
b
c a+b+c
a+b+c
1
+ + =
+ + =
=
=
h a h b h c 2S 2S 2S
2S
(a+b+c).r r

2SOBC 2SOCA 2SOAB
S +S +S
OA1 OB1 OC1
và
+
+
= a + b + c = OBC OCA OAB =1
2S
2S
2S
ha

hb
hc
SABC
ABC
ABC
ABC
a
b
c

Vậy ta có:

ma mb mc
R
+
+
 1+
ha hb hc
r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi O là trọng tâm của tam giác ΔABC 
ΔABC đều.

Từ bài tốn trên ta suy nghĩ để tìm ra bất đẳng thức tương tự đối với tứ
diện: để có thể sử dụng bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện thì OA1 , OB1 ,
OC1 trong tam giác phải tương tự với các trục của các tam giác là các mặt của tứ

diện. Khi đó ta có AA1 trong tam giác phải tương tự với khoảng cách từ đỉnh
đến tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện với đỉnh đó. Ta có bài tốn tương tự
như sau:

Bài tốn 7': Gọi ha, hb, hc, hd ; ma, mb, mc, md; r; R lần lượt là độ dài các đường
cao; các đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện trong tứ
diện; bán kính mặt cầu nội tiếp; bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác nhọn ABC.
Chứng minh rằng:

ma m b mc md
R
+
+
+
 1+ .
ha hb hc hd
r

Giải
A

O
B
D
A1

C

21


Gọi O, A1, B1, C1, D1 lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm các đường
tròn ngoại tiếp các mặt bên BCD , ACD , ABD , ABC của tứ diện ABCD .
AA1 = ma, BB1 = mb, CC1 = mc, DD1 = md.

Ta có: AA1  OA + OA1 

m a OA OA1

+
ha
ha
ha

(1)

Tương tự ta có:
m b OB OB1

+
hb
hb
hb

(2)

m c OC OC1

+
hc
hc
hc

(3)

m d OD OD1

+
hd
hd
hd

(4)

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có:
ma mb mc md OA OB OC OD OA1 OB1 OC1 OD1











ha hb hc hd
ha
hb
hc
hd
ha
hb
hc

hd



mà

 1 1 1 1  OA OB OC1 OD1
ma mb mc md



 R     1  1 

ha hb hc hd
hb
hc
hd
 ha hb hc hd  ha
OA1 OB1 OC1 OD1
1 1 1 1 1
  
 và



1
ha hb hc hd r
ha
hb
hc

hd

Suy ra:

ma mb mc md
R



 1
(đpcm)
ha hb hc hd
r

Nhận xét: Từ bài toán này ta thấy nếu ta xét tính tương tự: đường trung tuyến
trong tam giác tương tự như đường trọng tuyến của tứ diện thì sẽ cho ta bài tốn
tương tự khơng đúng trong khơng gian, nhưng nếu ta nhìn vào cách giải của bài
tốn 7 thì cho ta kết quả là bài tốn tương tự 7'. Thơng thường nếu ta nhìn vào
bản chất vấn đề, tạm thời bỏ qua các yếu tố bên ngồi thì dễ đưa ta đến kết quả
tương tự đúng. Vì vậy trong dạy học, người thầy cần hướng dẫn học sinh đề xuất
và giải quyết bài tốn mới tương tự với bài tốn hình học phẳng đã biết không
những phải dựa vào yếu tố tương tự giữa hình học phẳng và hình học khơng
gian mà cịn phải quan tâm đến cách giải bài tốn, nhìn vào bản chất của vấn đề
ta sẽ thu được kết quả tốt hơn.

22


2.8 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề hệ thức lượng
Bài tốn 8: Cho ΔABC vng tại A, M là một điểm bất kì trên BC. AM tạo với

2
2
AB, AC các góc theo thứ tự là  và  . Chứng minh cos α + cos β = 1.

Giải:
A

C’
B
M

C

B’

Qua M dựng đường thẳng vng góc với AM, cắt AB, AC lần lượt tại B’ và C’.
Khi đó: cos α=

AM
;
AB'

cos β =

AM
AC'

 cos α+cos β = AM (
2

2

2

1
1
+
)
AB'2 AC'2

= AM 2 .

1
AM 2

=1
(Do ΔAB'C' vng tại A, AM là đường cao)
Bài tốn 8’: Cho hình chóp tam diện vng SABC đỉnh S, M là điểm thuộc miền
trong ΔABC . SM hợp với các cạnh SA, SB, SC các góc theo thứ tự  ,  ,  .
2
2
2
Chứng minh cos α + cos β + cos γ= 1.

Giải:

23