SKKN Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số nhằm nâng cao chất lượng đại trà trong kỳ thi TN THPT Quốc gia
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (842.85 KB, 48 trang )
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:
RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI NHANH BÀI
TOÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐẠI TRÀ TRONG
KỲ THI TN THPT QUỐC GIA
Giáo viên: Nguyễn Thị Minh Tần
Tổ: Toán – Tin
ĐT: 0396965377
Lĩnh vực: Toán học
NĂM HỌC 2021-2022
PHỤ LỤC
Trang
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1
1.1. Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích của đề tài
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1
1.5. Những điểm mới của SKKN
2
PHẦN II: NỘI DUNG
2
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
2
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
2
III. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
3
IV. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
3
4.1. Khái niệm cực trị hàm số
3
4.2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
4
4.3. Các thuật ngữ cần nhớ
5
V. VÍ DỤ MINH HOẠ
5
Dạng 1. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số
5
Dạng 2. Tìm cực trị và giá trị cực trị
17
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị, hàm số đạt cực trị tại x0
19
Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thoả mãn.....
23
Bài tập tự luyện
39
VI. HIỆU QUẢ CỦA SKKN
43
PHẦN III. KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo
44
45
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình giải tích 12 việc ứng dụng kiến thức đạo hàm để tìm cực
trị của một hàm số f ( x) là phần kiến thức cơ bản mà đa số học sinh làm được ở
mức độ vận dụng thấp. Tuy nhiên từ năm học 2019-2020 đến nay là các năm học
gặp nhiều khó khăn do dịch bệnh COVID-19 xảy ra. Trong tình hình học sinh phải
nghỉ học dài hạn để phịng ngừa dịch COVID-19, ngành Giáo dục tỉnh Nghệ An
đang hướng dẫn các trường thực hiện việc ôn tập kiến thức cho học sinh các cấp để
các em không “bỡ ngỡ” khi trở lại học bình thường trong thời gian tới đặc biệt lưu
ý các khối lớp cuối cấp và có đưa ra ra những giải pháp hợp lí dạy học trong toàn
Tỉnh. Sở GD&ĐT đã chỉ đạo các trường học tận dụng triệt để mạng Internet, mạng
xã hội, kênh phát sóng ôn tập của đài truyền hình…để hướng dẫn học sinh các khối
lớp cập nhật, ôn tập kiến thức. Cùng với thực hiện các giải pháp phòng, chống dịch
COVID-19, tập thể sư phạm trường THPT Đô Lương 3 luôn nỗ lực đảm bảo hoạt
động giáo dục của nhà trường được duy trì chất lượng giáo dục đại trà một cách
hiệu quả. Với mục đích là xây dựng một chuyên đề để bồi dưỡng cho học sinh và
quan trọng hơn là nhằm mục đích bồi dưỡng chun mơn cho chính bản thân mình,
tơi xin mạnh dạn đưa ra đề tài “Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán
trắc nghiệm phần cực trị của hàm số nhằm nâng cao chất lượng đại trà trong kỳ
thi TN THPT Quốc gia”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài giúp học sinh cũng cố kiến thức phần cực trị của hàm số,
xây dựng một hệ thống bài tập theo từng cấp độ để học sinh tiếp nhận kiến thức
một cách nhẹ nhàng. Làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp tìm
cực trị của hàm số, biết quy lạ về quen, rèn luyện tư duy sáng tạo và phát triển kỹ
năng giải bài tốn trắc nghiệm hàm số nhanh và chính xác. Ngồi ra cũng tìm hiểu
những khó khăn của học sinh trong học tập tốn lớp 12, bước đầu tìm ra những
biện pháp giúp học sinh khi thực hành giải toán trắc nghiệm góp phần nâng cao
chất lượng dạy học và kết quả trong kỳ thi TN THPT Quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu một số kỹ năng, phương pháp giải bài toán trắc
nghiệm phần cực trị của hàm số. Đối tượng hướng đến là học sinh khối 12, học
sinh ôn thi THPT Quốc Gia và giáo viên dạy toán bậc THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài trong q trình nghiên cứu tơi
đã sử dụng các phương pháp sau:
- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
1
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
- Thu thập thơng tin và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu
SGK lớp 12
- Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu
- Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến biện pháp giúp đỡ học sinh yếu
kém trong học tập mơn tốn ở lớp cuối cấp THPT, trong đó chú trọng sách
giáo khoa, sách giáo viên, chương trình giảm tải tốn lớp 12 để nắm chuẩn
kiến thức, kỹ năng trong dạy học mơn tốn ở khối lớp này.
- Tìm hiểu thực tế qua việc giảng dạy, giải đề thi thử THPT Quốc Gia
1.5. Những điểm mới của SKKN
- Hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức căn bản về việc giải nhanh,
chính xác một số dạng bài tập trắc nghiệm phần cực trị của hàm số và một số
“mẹo” khi giải tốn trắc nghiệm nhằm giúp học sinh có hứng thú học tập
mơn Tốn.
- Đưa ra hệ thống bài tập vận dụng phương pháp giải trên.
PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong chương trình giải tích 12 việc ứng dụng kiến thức đạo hàm để tìm cực trị
của một hàm số f ( x) là phần kiến thức cơ bản mà đa số học sinh làm được ở mức
độ vận dụng thấp. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy để thu được hiệu quả cao
địi hỏi người giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học
sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh
cần truyền thụ. Với tinh thần trên tôi đã nghiên cứu chương trình SGK, tài liệu
tham khảo và phân thành các dạng tốn và với mỗi dạng tìm phương pháp giải
nhanh giúp học sinh tiết kiệm thời gian khi làm đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Năm học 2020-2021 trường THPT Đơ Lương 3 khối 12 có 12 lớp. Sau khi thi
khảo sát chất lượng lần 1. Căn cứ vào kết quả thi BCM, Ban giám hiệu đã phân
luồng học sinh khối 12 theo các lớp sau:
+ Lớp chống liệt gồm: 12C1
+ Các lớp chống trượt gồm: 12C2, 12C3, 12C4, 12C5, 12C6
+ Các lớp ĐH, CĐ gồm: 12A1, 12A2, 12A3, 12A4, 12A5, 12A6
Tôi được Ban giám hiệu phân công dạy 3 lớp 12C1, 12C5, 12C6 kết quả thi
khảo sát chất lượng lần 1 là:
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
2
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Điểm 9-10
Lớp
Số HS
12C1
Điểm 7-8
Điểm 5-6
Điểm <5
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
44
0
0%
0
0%
0
0%
44
100%
12C5
41
0
0%
13
31,7%
19
46,3%
9
22,0%
12C6
37
0
0%
14
37,8%
17
45,9%
6
16,3%
III. THỰC TRẠNG CỦA ĐỂ TÀI
Qua thực tế dạy ôn thi tốt nghiệp các lớp được phân công, đặc biệt lớp 12C1
tôi nhận thấy:
- Hầu hết các em lớp 12C1 đều có một nguyên nhân chung là: kiến thức ở các lớp
dưới bị hổng; khơng có phương pháp học tập; tự ti, rụt rè, thiếu hào hứng trong học
tập.
- Ở mỗi học sinh yếu bộ mơn tốn đều có nguyên nhân riêng, rất đa dạng. Có thể
chia ra một số loại thường gặp là:
+ Do quên kiến thức cơ bản, kỹ năng tính tốn yếu.
+ Do chưa nắm được phương pháp học, năng lực tư toán học kém phát triển.
+ Do lười học.
+ Do do điều kiện khách quan tác động, học sinh có hồn cảnh đặc biệt...
- Xác định rõ một trong những nguyên nhân trên đối với mỗi học sinh là điều quan
trọng. Công việc tiếp theo là giáo viên có biện pháp để xố bỏ dần các ngun
nhân đó, nhen nhóm lại lịng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đối với việc học
mơn Tốn.
IV. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
4.1. Khái niệm cực trị hàm số :
Cho hàm số y f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là ; b là
) và điểm x0 (a; b) .
a) Nếu tồn tại h 0 sao cho f ( x) f ( x0 ) với mọi x ( x0 h; x0 h) và
x x0 thì ta nói học số f ( x) đạt cực đại tại x0 .
b) Nếu tồn tại h 0 sao cho f ( x) f ( x0 ) với mọi x ( x0 h; x0 h) và
x x0 thì ta nói học số f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
3
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Chú ý:
1. Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực
đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị
cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fC Ð ( fCT ) , còn điểm M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi
là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại
(giá trị cực tiểu) cond gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị
của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y f ( x) có đạo hàm trên
khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f '( x0 ) 0 .
y
Điểm cực đại
Điểm cực tiểu
Điểm cực tiểu
x
O
4.2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số y f ( x) liên tục trên khoảng K ( x0 h; x0 h) và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0 , với h 0 .
a) Nếu f '( x) 0 trên khoảng ( x0 h; x0 ) và f '( x) 0 trên khoảng ( x0 ; x0 h)
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f ( x) .
b) Nếu f '( x) 0 trên khoảng ( x0 h; x0 ) và f '( x) 0 trên khoảng ( x0 ; x0 h)
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x) .
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f x . Tìm các điểm tại đó f x bằng 0 hoặc f x không
xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Định lý 2: Giả sử hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng
( x0 h; x0 h) , với h 0 . Khi đó:
a) Nếu f '( x0 ) 0, f "( x0 ) 0 thì x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f '( x0 ) 0, f "( x0 ) 0 thì x0 là điểm cực đại.
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
4
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Áp dụng định lí 2, ta có quy tắc 2 để tìm các điểm cực trị của một hàm số.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f x . Giải phương trình f x 0 và ký hiệu xi i 1,2,3,..., n
là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f x và f xi .
Bước 4. Dựa vào dấu của f xi suy ra tính chất cực trị của điểm xi .
4.3. Các thuật ngữ cần nhớ
- Điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số là x0 , giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số
là f ( x0 ) (hay yC Ð hoặc yCT ). Điểm cực đại của đồ thị hàm số là M ( x0 ; f ( x0 ))
- Nếu M ( x0 ; f ( x0 )) là điểm cực trị của đồ thị hàm số
y( x ) 0
y f ( x)
M
(
x
;
y
)
y
f
(
x
)
V. VÍ DỤ MINH HOẠ
Dạng 1. SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
a) Cho bảng biến thiên
Ví dụ 1: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên
sau:
và có bảng biến thiên như
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Hàm số có đúng một cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 .
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1 .
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
5
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Lời giải.
Do hàm số xác định tại x 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x
qua x 0 nên hàm số đạt cực đại tại x 0 .
Do hàm số xác định tại x 1; y ' 1 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang
âm khi x qua x 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1 . Chọn D.
Mở rộng: Trong bảng biến thiên của ví dụ 1, ta thay đổi như sau:
Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên
x
và có bảng biến thiên như sau:
1
0
y'
0
y
-1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có đúng một cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 .
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1 .
Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài toán bằng cách thay đổi giả thiết để học sinh từ
đó có thể tự mình phát triển thành các câu hỏi khác từ bài tập của giáo viên.
Ví dụ 2: Cho hàm số y f x liên tục tại x0 và có bảng biến thiên
x
y'
x0
x1
x2
0
y
Khi đó hàm số đã cho có:
A. Hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
B. Một điểm cực đại, khơng có điểm cực tiểu.
C. Một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.
D. Một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
6
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Lời giải.
Chú ý rằng: Hàm số khơng có đạo hàm tại x0 nhưng liên tục tại x0 thì hàm số vẫn
đạt cực trị tại x0 . Do đó đáp án D đúng. Chọn D.
x3
x2
Ví dụ 3: Cho hàm số f x 4 m 5 2m x m2 3, với m là tham
3
2
2
x 4x 5
có đồ thị C và bảng biến thiên sau:
số thực. Hàm số g x
x2
Tìm m sao cho hàm số f x đạt cực trị ít nhất tại một điểm mà điểm đó lớn
hơn 1.
m 2
5
5
A. m 2.
B.
C. m .
D. m .
2
2
m 2
Lời giải.
Xét phương trình f ' x x 2 4 m x 5 2m 0
x2 4 x 5
x 4x 5 m x 2 g x
m.
x2
Ta có nghiệm của f ' x 0 cũng là hoành độ giao điểm của g x m.
Khi đó từ bảng biến thiên ta có YCBT m 2. Chọn A.
b) Cho f ' x hoặc đồ thị của f ' x
2
Ví dụ 1: Cho f ' x x x 1 x 1 , hỏi số điểm cực trị của hàm số y f x .
2
A. 1.
Lời giải.
3
B. 2.
C. 3.
D. 4.
x 0
f ' x 0 x x 1 x 1 0 x 1
x 1
Do x 1 là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số.
Do x 0 là nghiệm đơn nên là điểm cực trị của hàm số.
Do x 1 là nghiệm bội lẻ nên là điểm cực trị của hàm số.
2
3
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
7
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Nhận xét: Như vậy học sinh có thể tự cho mình các ví dụ tương tự. Qua ví dụ này
nhấn mạnh cho học sinh cách nhận dạng số điểm cực trị của hàm số y f ( x) khi
biết hàm số đạo hàm của nó là số cực trị bằng số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ
của phương trình f '( x) =0.
Ví dụ 2: Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên khoảng K . Cho đồ thị của hàm số
f ' x trên khoảng K như sau:
y
x
-1
2
O
Số điểm cực trị của hàm số f x trên K là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f ' x 0 chỉ có một nghiệm đơn và hai
nghiệm kép nên f ' x chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn này. Do đó suy ra hàm số
f x có đúng một cực trị. Chọn A.
Ta cịn có thể khai thác tiếp ví dụ 2 theo các hướng khác nhau để được các
câu hỏi từ ví dụ 3 đến ví dụ 6 như sau:
Ví dụ 3: Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên khoảng K . Cho đồ thị của hàm số
f ' x trên khoảng K như sau:
y
0
x
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2022 trên K là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
8
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y ' f ' x ; y ' 0 có ba nghiệm đơn nên y '
đổi dấu khi qua nghiệm đơn này. Do đó suy ra hàm số y f x 2022 có ba điểm
cực trị. Chọn C.
Ví dụ 4: Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên khoảng K . Cho đồ thị của hàm số
f ' x trên khoảng K như sau
y
2
1
0 1
-
x
2
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 x 2022 trên K là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải.
y ' f ' x 2
phương trình y ' 0 f ' x 2
Số nghiệm của phương trình y ' 0 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f ' x
và y 2
y
2
1
-
0 1
2
x
y 2
-2
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y ' 0 có hai nghiệm đơn và một
nghiệm kép. y ' đổi dấu khi qua hai nghiệm. Do đó suy ra hàm số
y f x 2 x 2022 có hai điểm cực trị. Chọn C.
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
9
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Ví dụ 5: Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên
như sau:
y
. Cho đồ thị của hàm số f ' x
2
0
-2
x
1
-1
1
Số điểm cực trị của hàm số y f x x 2 x 2022 là:
2
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải.
y ' f ' x x 1. Phương trình y ' 0 f ' x x 1
Số nghiệm của phương trình y ' 0 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f ' x
và y x 1
y
y x 1
2
x1
-2
0
1
x
-1
Dựa vào đồ thị trên ta thấy phương trình y ' 0 có ba nghiệm x1; 2;1
Trong đó x 2 là nghiệm kép ( y '( x) không đổi dấu qua nghiệm đó)
1
Do đó suy ra hàm số y f x x 2 x 2022 có hai điểm cực trị. Chọn B.
2
Học sinh có thể khó khăn trong q trình xét dấu y ' , giáo viên có thể gợi
mở bằng câu hỏi: Đường thẳng y x 1 chia mặt phẳng thành 2 miền, hãy xác
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
10
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
định dấu mỗi miền? Từ đó giúp học sinh nhớ lại kiến thức cũ và căn cứ vào đó xác
định được dấu y ' .
Ví dụ 6: Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên
như sau:
. Cho đồ thị của hàm số f ' x
y
x
4
0
-3
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải.
y ' 2 x. f ' x 2
x 0
x 0
x 0
2
y' 0
x 3 ( L)
2
x 2
f ' x 0 2
4
x
Dấu y ' :
x
y'
2
-
0
0
+
0
2
-
0
+
Do đó suy ra hàm số y f x 2 có ba điểm cực trị. Chọn C.
Trong các bài toán trắc nghiệm yêu cầu giải nhanh thì y ' 0 có 3 nghiệm đơn nên
kết luận hàm số có 3 điểm cực trị
c) Cho đồ thị của y f x
Ví dụ 1: Hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số có mấy
điểm cực trị:
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
11
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
y
x
O
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Lời giải.
Căn cứ vào sự đi lên đi xuống của đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn A.
Từ các phép biến đổi đồ thị hàm số chúng ta có thể cho học sinh tìm ra số cực trị
của hàm mới.
Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên , hàm số y f x đồ
thị như hình vẽ:
y
x
0
Số điểm cực trị của hàm số y f x là:
A.3.
B.4.
C.7.
D.0.
Lời giải.
Từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra đồ thị hàm số y f x .
y
x1
x2
0
x3
x4
x
Đồ thị hàm số y f x có 7 điểm cực trị. Chọn C.
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
12
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Qua ví dụ này tôi cho học sinh nhắc lại cách vẽ đồ thị hàm số y f ( x) . Từ
đó nhìn vào đồ thị các em sẽ biết được số cực trị của hàm y f ( x) khi biết đồ thị
hàm số y f ( x)
Ví dụ 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên
, hàm số y f x đồ
thị như hình vẽ:
y
x
0
Số điểm cực trị của hàm số y f x là:
A.0.
B.2.
C.4.
D.5.
Lời giải.
Từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra đồ thị hàm số y f x .
y
0
x
Đồ thị hàm số y f x có 5 điểm cực trị. Chọn D.
Từ ví dụ này tơi cũng cho các em nhắc lại cách vẽ đồ thị hàm số y f ( x ) .
Từ đồ thị hướng dẫn tìm cơng thức tổng qt số cực trị của hàm y f ( x ) bằng số
cực trị có hoành độ dương của hàm số y f ( x) nhân 2 +1.
Ví dụ 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên
thị như hình vẽ:
, hàm số y f x đồ
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
13
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
y
3
2
-1
1
0
x
2
-1
-2
Số điểm cực trị của hàm số y 2 f x 3 là:
A.3.
B.5.
C.7.
D.9.
Lời giải.
Từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra đồ thị hàm số y 2 f x 3
y=|2f(x)-3|
y
6
5
4
3
2
1
-1
0
1
2
3
4
x
5
-1
-2
-3
-4
Đồ thị hàm số y 2 f x 3 có 7 điểm cực trị. Chọn C.
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
14
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Thông thường khi gặp các dạng này tơi hướng dẫn học trị dùng phương pháp
ghép trục để giải đa số các em đều giải tốt
Cách 2:
x 1
x 0
'
'
'
các nghiệm đơn
Đặt u 2 f ( x) 3 u f ( x) u 0
x a
x 2
x
u ' x
+
-1
0
0
0
a
0
+
2
0
+
u x
3
1
1
-7
7
f u
3
1
1
Dựa vào bảng ta thấy hàm số đã cho có 7 cực trị
Ví dụ 5: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên
thị như hình vẽ:
, hàm số y f x đồ
y
3
2
-1
1
0
2
x
-1
-2
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
15
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Số điểm cực trị của hàm số y f x 1 là:
2
A. 7.
B. 9.
C. 11.
D. 13.
Lời giải.
Đặt u x f 2 x 1
u ' x 2 f x . f ' x
f
u ' x 0
f
x x1
x x
2
x x3
u ' x 0 có các nghiệm đơn.
x 0
x 1
' x 0
x 0
x x4
x 2
x
u ' x
x1
0 +
-1
0
u x
0
x2
0 + 0
3
-1
x3
0 +
3
-1
x4
0
2
0
+
8
-1
3
Suy ra đồ thị hàm số y f x 1
2
y
8
7
6
5
4
3
2
1
x1
-1
x2
0
x3
x4
x
2
-1
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
16
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Đồ thị hàm số y f x 1 có 13 điểm cực trị. Chọn D.
2
Ngồi ra trong q trình dạy học tơi có hướng dẫn học sinh về “PHƯƠNG PHÁP
GHÉP TRỤC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN SỐ NGHIỆM HAY SỐ
CỰC TRỊ …..”
Cách 2:
Cụ thể bài này dùng ghép trục đa số các em đều làm tốt cụ thể tôi làm như sau
y f x 1
x1
x
0 +
u ' x
2
-1
0
0
x2
0 + 0
x3
0 +
u ( x)
x4
0
2
0
+
8
3
1
-1
3
1
3
1
-1
-1
Dựa vào bảng ta thấy đồ thị y f x 1 có 13 điểm cực trị
2
Như vậy học sinh có thể tự đặt ra các câu hỏi khác cho mình dựa trên các phép
biến đổi đồ thị hoặc có thể cho tham số vào để hỏi số cực trị.
Dạng 2. TÌM CỰC TRỊ VÀ GIÁ TRỊ CỰC TRỊ
a) Phương pháp giải
PP tự luận: Lập bảng biến thiên của hàm số y f x từ đó tìm điểm cực
trị của hàm số, giá trị cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số.
PP trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, tính giá trị đạo hàm của hàm số
y f x tại các giá trị lân cận của x x0 để xác định dấu của f x khi x
qua x0 , từ đó biết x0 là điểm cực đại hay điểm cực tiểu của hàm số.
b) Các ví dụ:
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y x 4 x3 x 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
3
A. Hàm số có giá trị cực tiểu là 0.
2
5
B. Hàm số có hai giá trị cực tiểu là và .
3
48
C. Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu.
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
17
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
2
5
và giá trị cực đại là .
3
48
Hướng dẫn giải:
D. Hàm số có giá trị cực tiểu là
2
y x 4 x3 x 2
3
TXĐ D , y 4 x3 2 x 2 2 x
x 0
y 0 x 1
1
x
2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp án B.
Sai lầm thường gặp của học sinh là
- Nhầm lẫn giữa giá trị cực trị với điểm cực trị nên chọn A
- Nhầm sang trường hợp hàm số là hàm bậc 4 trùng phương chỉ có 1 giá trị cực tiểu
nên chọn C.
Ví dụ 2: Tọa độ điểm cực đại của hàm số y x3 3x 2 4 là
A. (2;4).
B. (2;0).
C. (0; 4).
D. (0;4).
Hướng dẫn giải:
Tập xác định: D
x 0
; y 6 x 6 ;
y 3x 2 6 x ; y 0
x
2
y 0 6 0 xCĐ 0, yCĐ 4; y(2) 6 0 xCT 2; yCT 0
Vậy điểm cực đại là 0;4 .
Có thể lập bảng biến thiên để kết luận.
Trong q trình giảng dạy tơi có kết hợp Casio hướng dẫn các em tìm cực
trị những dạng tốn tương tự ví dụ 2 nên đối tượng học sinh trung bình các em đều
làm được
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
18
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 3x 2 1 C . Đường thẳng đi qua điểm A 1;1 và
vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của C có phương trình là
A. y x.
B. y 2 x 3.
C. x 4 y 5 0.
D. x 2 y 3 0.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: TXĐ D .
y 3x 2 6 x.
1
Ta có: y x 1 . y 2 x 1.
3
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y 2 x 1.
1
Đường thẳng d vng góc d : y x b.
2
1
3
1
3
Do A 1;1 d 1 b b . Vậy d : y x . Hay d : x 2 y 3 0.
2
2
2
2
Trong quá trình dạy học liên quan đến hàm bậc 3 tơi đã hướng dẫn học trị
viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba nên khi gặp
dạng này vận dụng vào các em sẽ giải tốt.
Cách 2: Ta có: y 3x 2 6 x.
x 0
y 0
x 2
Tọa độ hai điểm cực trị: B(0;1), C (2; 3)
Hệ số góc của đường thẳng BC là: k BC
yC yB
2 Hệ số góc của đường
xC xB
1
1
thẳng cần tìm kd . PTĐT d: y ( x 1) 1 x 2 y 3 0 .
2
2
Dạng 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ, HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
TẠI x0
3.1. Tìm m để hàm số có cực trị:
a) Điều kiện để hàm số bậc 3 y ax3 bx 2 cx d ( a 0 ) có cực trị:
Ta có y 3ax 2 2bx c
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt
b2 4ac 0 .
b) Điều kiện để hàm số f ( x) ax 4 bx2 c(a 0) có cực trị
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
19
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Trường hợp 1: ab 0 . Khi đó f x vơ nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
f x có nghiệm duy nhất x 0 và f x đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0
f chỉ có một cực trị.
Trường hợp 2: ab 0 . Khi đó f x có hai nghiệm phân biệt khác 0
f x có ba nghiệm và f x đổi dấu liên tiếp khi x đi qua ba nghiệm
này f ba cực trị.
Một số cơng thức áp dụng giải tốn cực trị hàm số f ( x) ax 4 bx2 c(a 0)
f có một cực trị ab 0 .
f có ba cực trị ab 0 .
a 0
.
f có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu
b
0
a 0
.
f có đúng một cực trị và cực trị là cực đại
b
0
a 0
.
f có hai cực tiểu và một cực đại
b 0
a 0
.
f có một cực tiểu và hai cực đại
b 0
f có ba cực trị ab 0 .
x 0
Khi đó y 0
x b
2a
Với
x 0 y c
và
ab2 b2
b
b2 4ac
x
y 2
c
2a
4a
2a
4a
4a
b2 4ac .
Vậy
đồ
thị
hàm
số
có
b
b
A 0; c , B ; , C ; .
2a 4a
2a 4a
ba
điểm
cực
trị
b4
b
b
;
2
BC
.
Tính được AB AC
16a 2 2a
2a
Ví dụ 1: Hàm số y x3 mx 2 có cả cực đại và cực tiểu khi.
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
20
với
là
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
A. m 0 .
B. m 0 .
C. m 0 .
D. m 0 .
Lời giải
y 3x 2 m . Hàm số y x3 mx 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi
y 0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m 0 . Chọn A
Ví dụ 2: Cho hàm số y m 2 x3 mx 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có
cực trị?
A. 0 m 2 .
B. m 1 .
C. m 2 m 0 . D. m 1 .
Lời giải
Tập xác định D
.
Tính y 3 m 2 x 2 m . Cho y 0 3 m 2 x 2 m 0 1 .
+ TH1: Xét m 2 y 2 0 x nên hàm số đã cho khơng có cực trị.
+ TH2: Xét m 2
m 2
Hàm số có cực trị khi 0 m m 2 0
.
m 0
Vậy m 2 m 0 . Chọn C.
Ví dụ 3: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
y mx 4 m2 x 2 2022 có 3 điểm cực trị?
A. m 0 .
C. m
B. m 0 .
D. Không tồn tại giá trị của m .
\ {0} .
Lời giải
Tập xác định D
.
Tính y 4mx3 2 xm2 .
m 0
a 0
Để hàm số có 3 điểm cực trị khi
m 0 .Chọn B.
3
a.b 0 8m 0
3.2. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0
Điều kiện để hàm số y f ( x) đạt cực trị tại x0 :
y '( x0 ) 0
+ x0 là điểm cực đại
y ''( x0 ) 0
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
21
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
y '( x0 ) 0
+ x0 là điểm cực tiểu
y ''( x0 ) 0
1
Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 m 1 x 2 m2 2m x 1 ( m là tham số). Tìm
3
tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2 .
A. m 1 .
B. m 0 .
C. m 2 .
D. m 3 .
Lời giải
Tập xác định D
.
Tính y x 2 – 2 m 1 x m2 2m ; y 2 x – 2m 2 .
Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 2
m 0 ( n)
y 2 0
m 2 2m 0
m 2 (l ) .
m
2
2
0
y
2
0
m 1
Vậy m 0 là giá trị cần tìm. Chọn B.
Ví
dụ
2:
Với
giá
trị
nào
của
tham
số
y 2(m2 3)sin x 2m sin 2 x 3m 1 đạt cực đại tại x
3
m
thì
hàm
.
A. Khơng tồn tại giá trị m .
B. m 1 .
C. m 3
D. m 3, m 1.
Lời giải
Tập xác định D
.
Tính y 2 m2 3 cos x 4m cos 2 x ; y 2 3 m2 sin x 8m sin 2 x .
Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x
3
ta có
m 3 (n)
2
y 3 0
m
m
3
2
0
m 1 (l )
.
2
m
m
3
3
4
3
0
m
2
7
y
0
3
m 2 7
Vậy m 3 là giá trị cần tìm. Chọn C.
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
22
số
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số”
Ví dụ 3: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y m 1 x 4 m2 2 x 2 2022
đạt cực tiểu tại x 1.
A. m 2 .
B. m 1 .
C. m 2 .
D. m 0 .
Lời giải
Tập xác định D
.
Tính y 4 m 1 x3 – 2 m2 2 x ; y 12 m 1 x 2 – 2m2 4 .
y 1 0
Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 1
y 1 0
m 2 ( n)
2m2 4m 0
.
m 0 (l )
2
2m 12m 8 0
3 5 m 3 5
Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Chọn C.
Ngồi ra trong q trình dạy học tơi hố trợ các e cách giải máy tính CASIO
tìm cực trị, nên các e có thể rút ngắn thời gian trong giải bài tốn trắc nghiệm
Dạng 4. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA
MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
4.1. Cực trị của hàm số y ax3 bx 2 cx d a 0
Bài tốn 1: Tìm điều kiện cuả tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn hệ thức
cho trước.
Phương pháp:
- Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
- Phân tích hệ thức để áp dụng Vi-et cho phương trình bậc hai.
Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3 m 1 x 2 9 x 2m2 1 C . Tìm giá trị của m để
đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 sao cho x1 x2 2
A. m 1
B. m 3
m 1
C.
m 3
D. m
Lời giải
Cách tự luận:
Ta có y ' 0 x2 2 m 1 x 3 0 . ĐK có 2 điểm cực trị ' m 1 3 0
2
Khi đó
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3
23
