Luận án tiến sĩ HUS một số lớp nghiệm tường minh của phương trình truyền sóng phi tuyến 62 46 01 05

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------------------------------------------------

NGUYỄN HUY HOÀNG

MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SĨNG PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

HÀ NỘI - 2012

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------------------------------------------------

NGUYỄN HUY HOÀNG

MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SĨNG PHI TUYẾN

Chun ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số:
62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn
2. PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn

HÀ NỘI - 2012

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Bảng ký hiệu

vi

Mở đầu

1

1 LỚP NGHIỆM N -SOLITON KHƠNG TÁN XẠ CỦA HAI
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHƠNG
GIAN

17
1.1 Phương trình Korteweg-de Vries . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ . . . . .
18
1.1.2 Quy luật tiến hóa của các đa thức tán xạ Mj (x, t) .
27
1.1.3 Một lớp nghiệm N -soliton không tán xạ của phương
trình Korteweg-de Vries trên nửa trục . . . . . . . .
37
1.1.4 Các ví dụ về nghiệm N -soliton khơng tán xạ của
phương trình Korteweg-de Vries trờn na trc . . .
40
1.2 Phng trỡnh Schrăodinger phi tuyến . . . . . . . . . . . . .
46
1.2.1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ . . . . .
47
1.2.2 Biểu diễn của các hàm F (x, t) và G(x, t) . . . . . .
58
1.2.3 Quy luật tiến hóa của các đa thức tán xạ pj (x, t) .
64
1.2.4 Một lớp nghiệm N -soliton khơng tán xạ của phương
trình Schrăodinger phi tuyn trờn na trc . . . . .
71
1.2.5 Các ví dụ về nghiệm N -soliton khơng tán x ca
phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn trờn na trc .
76
2 NGHIỆM WRONSKIAN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HỖN
HỢP MKDV-SG TRÊN CẢ TRỤC KHÔNG GIAN
81

iv

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2.1

2.2

Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp và nghiệm
Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp .
2.1.2 Nghiệm Wronskian với hệ phương trình điều kiện suy
rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Hệ phương trình điều kiện chính tắc . . . . . . . .
Các lớp nghiệm tường minh của phương trình mKdV-sG .
2.2.1 Ma trận Γm là ma trận đường chéo thực . . . . . .
2.2.2 Ma trận Γm là một khối Jordan thực cấp m . . . .
2.2.3 Ma trận Γm là một khối Jordan dạng thực cấp hai
2.2.4 Ma trận Γ được xây dựng từ các khối Jordan dạng
thực cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Ma trận Γm là một khối Jordan dạng thực cấp 2n

82
83
86
96
98
99
105

112
117
123

Kết luận và kiến nghị
132
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . 133
Danh mục các cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận
án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Tài liệu tham khảo

135

v

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bảng ký hiệu
Đơn vị ảo. i2 = −1
Phần ảo của số phức ρ
Liên hợp của số phức a
Tập hợp các số thực
Tập hợp các số phức
Tổng các tất cả các phần tử trên đường chéo chính
của ma trận vng A
det A
Định thức của ma trận A
W (φ)

Định thức Wronskian theo biến x (cấp N ) có
cột đầu tiên là φ = (φ1 , φ2 , . . . , φN )T
L(t)
Toỏn t Schrăodinger ph thuc tham s vo bin t
D(t)
Toỏn tử Dirac phụ thuộc tham số vào biến t
S(t)
Tập dữ liu tỏn x ca toỏn t Schrăodinger L(t) hoc
tp d liệu tán xạ của tốn tử Dirac D(t)
ACloc [0, ∞)
Khơng gian các hàm số liên tục
tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞)
2
ACloc ([0, ∞), C ) Không gian các hàm véc tơ hai chiều
liên tục tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞)
2
L (0, ∞)
Không gian các hàm khả tích bậc hai trên (0, ∞)
2
2
L ((0, ∞), C )
Khơng gian các hàm véc tơ hai chiều khả
tích bậc hai trên (0, ∞)
sign σ
Dấu của phép thế σ.
i
Im ρ
a
¯
R

C
tr A

Res
ρ=ρj

X1

Thặng dư tại điểm ρj
m

Tập hợp (ε1 , ε2 , . . . , εm ) εj = ±1,

εj = 1
j=1
m

X2

Tập hợp (ε1 , ε2 , . . . , εm ) εj = ±1,

εj = −1
j=1

vi

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỞ ĐẦU

Trong các phương trình đạo hàm riêng mơ tả q trình truyền sóng có
một nhóm phương trình truyền sóng phi tuyến có tên là các phương trình
soliton.
Về nguồn gốc vật lý, các phương trình này được dẫn ra từ một loạt
bài toán thuộc nhiều lĩnh vực như cơ học chất lỏng, quang học phi tuyến,
vật lý plasma và lý thuyết dây ([3, 20, 39]). Mỗi phương trình thuộc nhóm
này đều thừa nhận một lớp nghiệm đặc biệt được xác định tường minh và
các nghiệm đó mơ tả sự lan truyền, tương tác phi tuyến của những sóng
đơn có tốc độ, biên độ không đổi. Tốc độ và biên độ của chúng được bảo
toàn ngay cả sau khi xảy ra sự tương tác. Với đặc tính vật lý như vậy các
sóng này được gọi là các soliton. Thuật ngữ soliton được sử dụng lần đầu
tiên bởi V. E. Zabusky và M. D. Kruskal năm 1965 trong một cơng trình
nghiên cứu của hai ơng về bài tốn Fermi-Pasta-Ulam và phương trình
Korteweg-de Vries trong Vật lý plasma ([42]). Trước đó, sóng soliton được
quan sát lần đầu tiên trong thực tế bởi J. S. Russell vào năm 1834 dưới
dạng một sóng nước xuất hiện và lan truyền trên một kênh nước nông ở
Edingburgh, Scotland (xem [3, 46]).
Trong các phương trình soliton mơ tả q trình lan truyền sóng trong
một chiều khơng gian và một chiều thời gian có bốn đại diện tiêu biểu sau
đây:
Phương trình Korteweg-de Vries là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
ut + 6uux + uxxx = 0,

(1)

trong đó u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 là ẩn hàm phải tìm, ut , ux . . . là ký hiệu
các đạo hàm riêng của u. Biến x là biến khơng gian, biến t là biến thời
gian. Phương trình Korteweg-de Vries được dẫn ra năm 1895 từ nghiên
cứu của D. J. Korteweg và một học trị của ơng là G. de Vries về q trình
lan truyền của sóng nước nơng trên kênh hẹp có đáy phẳng;

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Phng trỡnh Schră
odinger phi tuyn l phng trỡnh
iut = uxx + 2|u|2 u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 .

(2)

Phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn c dn ra t bài tốn truyền sóng
quang học;
Phương trình Korteweg-de Vries biến dạng là phương trình
ut + 6u2 ux + uxxx = 0, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 .

(3)

Phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (modified Korteweg-de Vries
equation - viết tắt: mKdV) được dẫn ra bởi R. G. Miura trong bài báo
mở đầu cho một chuỗi các nghiên cứu về phương trình Korteweg-de Vries
và các mở rộng ([32]). Trên thực tế phương trình (3) có quan hệ chặt chẽ
với phương trình (1). Thật vậy nếu v(x, t) là nghiệm của (3) thì u(x, t) =
v(x, t) ± vx (x, t) là nghiệm của (1) ([3, 32]);
Phương trình sine-Gordon là phương trình
uxt = sin u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 .

(4)

Phương trình sine-Gordon xuất hiện khá sớm từ đầu thế kỷ 19 và ban đầu

nó được đưa ra trong các nghiên cứu về các mặt giả cầu trong hình học vi
phân (xem [38]).
Trong Vật lý người ta cũng dẫn ra các phương trình soliton mơ tả q
trình truyền sóng trong hai hoặc ba chiều không gian (xem [4, 20]). Tuy
nhiên trong khuôn khổ các kết quả nghiên cứu của Luận án chúng tơi
khơng đề cập đến các phương trình này.
TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU
Có nhiều phương pháp tốn học đã được sử dụng để nghiên cứu các
phương trình soliton. Hai phương pháp trong số đó có liên quan mật thiết
và được sử dụng trong Luận án này là phương pháp bài toán tán xạ ngược
và kỹ thuật Wronskian.
Phương pháp bài toán tán xạ ngược là phương pháp giải bài toán
Cauchy trên tồn trục khơng gian (x ∈ (−∞, ∞)) đối với các phương trình
soliton trong lớp các hàm giảm nhanh. Phương pháp này được hình thành
từ một chuỗi bài báo với khởi đầu là kết quả trên phương trình truyền sóng
nước nơng Korteweg-de Vries (1) (xem [1, 2, 5, 10, 11, 21, 43, 44, 45]).
2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Trong phương pháp này chúng ta liên kết ẩn hàm u(x, t) của các phương
trình soliton (1) và (2) với th v tng ng ca cỏc toỏn t tuyn tớnh
Schrăodinger và toán tử Dirac, mà là các toán tử vi phân theo biến x, trong
đó t đóng vai trị là tham số. Từ đó sử dụng các kết quả đã biết của bài
toán tán xạ đối với các toán tử này chúng ta xây dựng được lời giải của
bài toán Cauchy.
Lời giải của bài tốn Cauchy đối với phương trình Korteweg-de Vries
cụ thể như sau. Chúng ta xét toán tử Schrăodinger
d2

L(t)y = 2 y + u(x, t)y,
dx

(5)

vi bin thi gian t được coi là một tham số tự do.
Theo kết quả của bài toán tán xạ thuận, từ thế vị u(x, t) nào đấy là
hàm giảm nhanh, nhận giá trị thực, chúng ta xác định được một tập hợp
có dạng
S(t) = r(t, k), k ∈ R; iκ1 , iκ2 , . . . , iκN ; C1 (t), C2 (t), . . . , CN (t) .

(7)

với κj > 0, Cj (t) > 0 với mọi j = 1, 2, . . . , N . Tập S(t) được gọi là tập
dữ liệu tán xạ của toán tử L(t). Toán tử L(t) chỉ có các giá trị riêng đơn
là −κ21 , −κ22 , . . . , −κ2N (Chúng ta xét bài toán trong lớp đẳng phổ, tức là
trường hợp các giá trị riêng của tốn tử khơng phụ thuộc vào biến t). Các
giá trị Cj (t) là giá trị liên quan tới chuẩn của hàm riêng tương ứng với
giá trị riêng −κ2j , j = 1, 2, . . . , N . Thành phần còn lại của tập dữ liệu tán
xạ là hàm r(t, k) được gọi là hệ số phản xạ của tốn tử. Có thể tham
khảo các mô tả chi tiết hơn về tập dữ liệu tán xạ S(t) trong các tài liệu
[3, 5, 7, 13, 39, 46].
Đảo lại, từ một tập hợp S(t) nào đấy có cấu trúc như (7), bài tốn tán
xạ ngược đã đưa ra một sơ đồ để xây dựng một hàm số u(x, t) sao cho khi
thế hàm u(x, t) nhận c vo toỏn t Schrăodinger (5) thỡ d liu tỏn xạ
của tốn tử đó lại chính là S(t) (xem [3, 5, 7, 46]). Khâu then chốt trong
bài toán ngược là việc giải một phương trình tích phân kỳ dị có tên là
phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko. Sự tồn tại nghiệm và tính duy
nhất nghiệm của phương trình này đã được khẳng định trong các khơng
gian hàm được sử dụng trong bài tốn tán xạ. Tuy nhiên việc tính tường

minh nghiệm của phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko mới chỉ thực
hiện được trong một vài tình huống. Trong số các tình huống này có một
trường hợp đặc biệt là tập S(t) chứa hệ số phản xạ r(t, k) = 0 với mọi
3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


k ∈ R (ứng với một giá trị nào đấy của t). Thế vị u(x, t) được tính ra theo
bài toán tán xạ ngược trong trường hợp này được gọi là thế vị không phản
xạ. Thế vị không phản xạ ca toỏn t Schrăodinger (5) cú biu din nh
sau (xem [11] và [3, 46]):
∂2
u(x, t) = 2 2 ln det(I + A(x, t)),
∂x

(8)

ở đây I là ma trận đơn vị cấp N , ma trận A(x, t) vuông cấp N và có các
phần tử là
Cj (t)Cn (t)e−(κj +κn )x
Ajn =
.
(9)
κj + κn
Đến đây, khi thế vào (5), hàm u(x, t) nói trên mà là nghiệm của phương
trình Korteweg-de Vries (1) thì người ta sẽ nhận được quy luật tiến hóa
theo biến thời gian t tập dữ liệu tán xạ S(t). Từ đó, lời giải bài tốn Cauchy
trong lớp thế vị khơng phản xạ được xây dựng theo quy trình gồm ba bước
như sau:

Bước 1, tính tốn tập dữ liệu tán xạ ứng với t = 0 từ giá trị ban đầu
u(x, 0) mà thuộc lớp thế vị không phản xạ. Kết quả ta nhận được tập hợp
S(0) = r(0, k) ≡ 0, k ∈ R; iκ1 , iκ2 , . . . , iκN ; C1 (0), C2 (0), . . . , CN (0) .
(10)
Bước 2, xây dựng phương trình tiến hóa để tính tốn dữ liệu tán xạ S(t).
Nếu u(x, t) được xác định bởi (8) là nghiệm của phương trình Korteweg-de
Vries (1) thì người ta đã chứng minh rằng: dữ liệu tán xạ S(t) có quy luật
tiến hóa như sau
S(t) = r(t, k) ≡ 0, k ∈ R; iκ1 , iκ2 , . . . , iκN ;
3

3

3

C1 (0)e−4κ1 t , C2 (0)e−4κ2 t , . . . , CN (0)e−4κN t ,

(11)

trong đó, C1 (0), C2 (0), . . . , CN (0) là các số thực dương nào đó.
Bước 3, phục hồi lại hàm u(x, t) bởi công thức (8) từ dữ liệu tán xạ
S(t) trong (11). Hàm u(x, t) nhận được là nghiệm của bài tốn Cauchy
đối với phương trình Korteweg-de Vries (1). Lớp nghiệm này mô tả sự lan
truyền và tương tác của N sóng nước đơn độc và được gọi là nghiệm N solion khơng phản xạ của phương trình (1). Chúng ta có nhận xét rằng lớp
nghiệm này nhận giá trị thc.
S gii bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh Schrăodinger phi tuyến (2)
là hoàn toàn tương tự.
4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Chúng ta xét toán tử Dirac
D(t) = −i

−1 0 d
0
−iu(x, t)
+
,
0 1 dx
−i¯
u(x, t)
0

(12)

với thế vị u(x, t) là hàm số nhận giá trị phức và thuộc lớp hàm giảm nhanh,
biến thời gian t được coi là một tham số tự do. Đối với tốn tử Dirac có
thế vị giảm nhanh, kết quả của bài toán tán xạ thuận là tập dữ liệu tán
xạ
S(t) = {b(t, k), b(t, k), k ∈ R; λj , λj , Cj (t), Cj (t), j = 1, 2, . . . , N }, (13)
trong đó các đại lượng λj , j = 1, 2, . . . , N nằm trên nửa mặt phẳng trên
của mặt phẳng phức (Im λj > 0) và chúng tạo thành phổ rời rạc của toán
tử D(t) ([46]). Các đại lượng Cj (t), j = 1, 2, . . . , N là đại lượng liên quan
đến chuẩn của hàm riêng ứng với phổ rời rạc. Đặc tính của tập dữ liệu tán
xạ S(t) trong (13) đã được mô tả chi tiết trong các tài liệu [3, 7, 46]. Từ
một tập hợp S(t) có cấu trúc như (13), bài toán tán xạ ngược đã đưa ra
một sơ đồ xây dựng một hàm số u(x, t) sao cho khi thế hàm u(x, t) này
vào (12) thì tập dữ liệu tán xạ của tốn tử D(t) lại chính là S(t). Khi

b(t, k) = 0 với mọi k ∈ R (ứng với một giá trị nào đấy của t), thì bài toán
tán xạ ngược cũng giải được tường minh và thế vị u(x, t) nhận được trong
trường hợp này được gọi là thế vị không phản xạ. Hơn nữa, thế vị khơng
phản xạ của tốn tử Dirac có biểu diễn là
u(x, t) =

∂2
ln det(I + A(x, t)A(x, t)),
∂x2

(14)

ở đây I là ma trận đơn vị cấp N , ma trận A(x, t) vng cấp N và có các
phần tử là
Cn (t)e−2iλn x
.
(15)
Ajn =
λj − λn
Bài tốn Cauchy đối với phương trình (2) được giải theo một sơ đồ
hoàn toàn giống như đối với phương trình Korteweg-de Vries (1). Kết quả
tính tốn về tiến hóa của dữ liệu tán xạ đối với một thế vị không phản xạ
u(x, t) mà là nghiệm của phương trình (2) là:
S(t) ={b(t, k) ≡ 0, b(t, k) ≡ 0, k ∈ R; λj , λj ,
2

2

Cj (0)e4iλj t , Cj (0)e−4iλj t , j = 1, 2, . . . , N },

(16)

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


trong đó, C1 (0), C2 (0), . . . , CN (0) là các số phức nào đó.
Thế Cj (t) từ (16) vào (14) ta thu được một lớp nghiệm tng minh
ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn (2). Lp nghim này mô tả sự
lan truyền và tương tác của N sóng soliton đơn và được gọi là nghiệm
N -soliton khơng phn x ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn.
Trờn na trc, chúng ta cũng có các bài tốn biên-giá trị ban đầu đối
với các phương trình soliton ([9], [14]-[17], [40, 41]). Một vấn đề được đặt
ra là có thể sử dụng được hay khơng phương pháp bài tốn tán xạ ngược
để giải bài toán nêu trên. Cấu trúc của dữ liệu tỏn x ca cỏc toỏn t
Schrăodinger v Dirac trờn na trục x > 0 sẽ được mô tả tương ứng trong
các Tiểu mục 1.1.1 và 1.2.1 dưới đây. Yếu tố then chốt của việc sử dụng
kết quả của bài toán tán xạ để nghiên cứu phương trình soliton chính là
việc xây dựng được quy luật tiến hóa của tập dữ liệu tán xạ theo thời gian.
Kết quả về quy luật tiến hóa đối với dữ liệu tán xạ của bài tốn tồn trục
được đưa ra trên cơ sở tính giảm nhanh của u(x, t) khi x −→ ±∞. Khi
chuyển về xét bài tốn nửa trục các kết quả của tồn trục nhận được khi
cho x −→ −∞ khơng cịn hiệu lực nữa. Việc sử dụng điểm x = 0 cho thấy
trong phương trình tiến hóa của tập dữ liệu tán xạ chứa các đại lượng
u(0, t), ux (0, t) hoặc cả uxx (0, t). Việc cho biết toàn bộ các giá trị này sẽ
làm bài toán biên-giá trị ban đầu trở thành quá xác định. Ở một cách nhìn
khác, chúng ta cần đưa ra cách tính ux (0, t) hoặc uxx (0, t), ... theo các giá
trị u(x, 0) và u(0, t) và đây là một bài tốn khó (xem [9], [14]-[17]). P. L.
Vu đã đưa ra một phương án trong hai bài báo [40, 41] và giải được bài

toán biên giá trị ban đầu trên nửa trục trong một trường hợp đặc biệt.
Trong phương án này ông đã đưa ra thêm một điều kiện đủ có tính kỹ
thuật để tính tốn tiến hóa của dữ liệu tán xạ. Để minh họa cho kết quả
nhận được, trong hai bài báo đó P. L. Vu đã đưa ra lớp thế vị không tán
xạ (lớp tương tự với thế vị không phản xạ) và lấy ví dụ về nghiệm của
phương trình soliton trong lớp hàm này.
Lớp thế vị không tán xạ của toỏn t Schrăodinger trờn na trc c P.
L. Vu xõy dựng trong bài báo [41] là lớp hàm số sau đây
u(x, t) = 2

∂2
ln(det B(x, t)),
∂x2

(17)

ở đây, ma trận B(x, t) = I + A(x, t) vuông cấp N và A(x, t) có các phần

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


tử là

∞

Mj (x + ξ, t)ei(ρj +ρn )ξ dξ, j, n = 1, 2, . . . , N.

Ajn =

(18)

x

Thêm nữa, trong công thức (18), các đại lượng ρ1 , ρ2 , . . . , ρN là N số phức
(cho trước) nằm trên nửa mặt phẳng Im ρ > 0, các đại lượng M1 (x, t),
M2 (x, t), . . . , MN (x, t) là N đa thức của biến không gian x và các hệ số của
đa thức phụ thuộc tự do vào biến thời gian t. Các đa thức Mj (x, t), j =
1, 2, . . . , N được gọi là các đa thức chuẩn ([24, 41]). Trong bài báo [41], P.
L. Vu mới chỉ xây dựng hai ví dụ về nghiệm của phương trình Korteweg-de
Vries ứng với N = 1 và N = 2 và các đa thức M1 (x, t), M2 (x, t) chỉ được
xét với giả thiết chúng là các đa thức có bậc 0 theo x. Vấn đề cịn tồn
tại đối với thế vị không tán xạ (17) là việc tìm quy luật tiến hóa của các
đa thức chuẩn M1 (x, t), M2 (x, t), . . . , MN (x, t) (mà khơng ràng buộc gì về
bậc đa thức) khi giả thiết u(x, t) là nghiệm không tán xạ của phương trình
Korteweg-de Vries (1).
Lớp thế vị khơng tán xạ trên nửa trục của toán tử Dirac mà liên kết
với nghiệm của phương trình (2) được P. L. Vu đưa ra trong [40] là lớp
hàm số có dạng như sau:
u(x, t) =

G(x, t)
.
F (x, t)

(19)

Trong (19) hàm F (x, t) là định thức của ma trận A kích thước 2N × 2N :
I M

M I

F (x, t) = det A = det
M=

1

− Mlj (x, t)e 2 (kl +kj+N )x

,

(20)

N

1

l,j=1

, M = M lj (x, t)e 2 (kj +kl+N )x

N

,
l,j=1

∞

Mlj (x, t)e

1
2 (kl +kj+N )x

1

pl (x + ξ, t)e 2 (kl +kj+N )ξ dξ,

=

(21)

x
−
với I là ma trận đơn vị cấp N và kj = 2iλ+
j , kj+N = −2iλj . Thêm nữa,
−
−
+
λ+
j , λj , j = 1, 2, . . . , N là N cặp số phức liên hợp với nhau (λj = λj ) và
Im λ+
j > 0 với mọi j = 1, 2, . . . , N . Các đại lượng p1 (x, t), p2 (x, t), . . . , pN (x, t)
là N đa thức đối với biến không gian x với các hệ số phụ thuộc tự do vào
biến thời gian t. Chúng ta gọi các đa thức p1 (x, t), p2 (x, t), . . . , pN (x, t) là
các đa thức chuẩn của toán tử Dirac ([37, 40]).

7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Tiếp theo trong (19), hàm G(x, t) xác định bởi
N
1

det A(j+N ) e 2 kj+N x ,

G(x, t) = −2

(22)

j=1

trong đó A(j+N ) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ j + N
bởi cột
0, 0, . . . 0, −¯
p1 (2x, t)e

1
2 k1+N x

, −¯
p2 (2x, t)e

1
2 k2+N x

, . . . , −¯
pN (2x, t)e

1
2 k2N x

T

.

Trong bài báo [40], P. L. Vu cũng chỉ mới đưa ra một ví dụ ứng với N = 1
và chỉ xét đa thức p1 (x, t) trong trường hợp nó có bậc 0 theo x. Do đó, vấn
đề cịn tồn tại đối với thế vị khơng tán xạ (19) là việc tìm quy luật tiến
hóa của các đa thức chuẩn p1 (x, t), p2 (x, t), . . . , pN (x, t) (mà khơng ràng
buộc gì về bậc đa thức) khi giả thiết u(x, t) là nghim ca phng trỡnh
Schrăodinger phi tuyn (2).
Tip theo, chỳng tụi tổng quan một vấn đề có liên quan đến nội dung
nghiên cứu khác của Luận án. Năm 1979, J. Satsuma đã biểu diễn được
một lớp nghiệm N -soliton của phương trình Korteweg-de Vries dưới dạng
một định thức Wronskian. Để mơ tả cụ thể hơn, chúng ta xét định thức
Wronskian
(N −1)
φ1 φ1,x . . . φ1
(N −1)
φ2 φ2,x . . . φ2
.
(23)
f (x, t) = .
..
..
...
..
.

.
(N −1)
φN φN,x . . . φN
Để thuận tiện chúng ta gọi các phần tử φ1 (x, t), φ2 (x, t), . . . , φN (x, t) trên
cột thứ nhất là các phần tử sinh của định thức Wronskian (23). Các phần
tử còn lại của định thức Wronskian là các đạo hàm riêng theo biến x của
(l)
∂lφ
phần tử sinh (φj = ∂xlj ).
Đối với phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (3), N. C. Freeman
và J. J. C. Nimmo đã chọn các phần tử sinh của định thức Wronskian (23)
là ([33])
3

3

φj (x, t) = (1 − i)Cj1 ekj x−4kj t + (1 + i)Cj2 e−kj x+4kj t , j = 1, 2, . . . , N, (24)
trong đó, i2 = −1 và kj , Cj1 , Cj2 , j = 1, 2, . . . , N là các hằng số thực. Với
định thức Wronskian f (x, t) có các phần tử sinh được chọn theo (24) thì
8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


hàm số
u(x, t) = i

∂
f (x, t)
ln

∂x f (x, t)

chính là nghiệm N -soliton của phương trình Korteweg-de Vries biến dạng
(3) (Ở đây, hàm f (x, t) là liên hợp phức của hàm f (x, t)).
Đối với phương trình sine-Gordon (4), N. C. Freeman và J. J. C. Nimmo
đã chọn các phần tử sinh của định thức Wronskian (23) là ([33])
kj x− 4k1 t

φj (x, t) = Cj1 e

j

−kj x+ 4k1 t

+ iCj2 e

j

, j = 1, 2, . . . , N,

(25)

trong đó, kj , Cj1 , Cj2 , j = 1, 2, . . . , N là các hằng số thực. Với định thức
Wronskian f (x, t) có các phần tử sinh được chọn theo (25) thì hàm số
u(x, t) = 2i ln

f (x, t)
f (x, t)

chính là nghiệm N -soliton của phương trình sine-Gordon (4).

Điểm then chốt trong chứng minh chính là các hàm sinh φj được sử
dụng như nghiệm của một hệ quá xác định và khá đặc biệt các phương
trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất sau đây:
φjx = kj φj ,

(26a)

φjt = −4αφjxxx +

β
φj ,
4kj

(26b)

trong đó, phương trình (3) ứng với trường hợp α = 1, β = 0 và phương
trình (4) ứng với trường hợp α = 0, β = 1.
Để thuận tiện, hệ phương trình như vậy đối với các phần tử sinh của
định thức Wronskian được gọi là hệ phương trình điều kiện. Cách xây dựng
nghiệm tường minh theo phương án này được gọi là kỹ thuật Wronskian
và nó đã được sử dụng cho khá nhiều phương trình soliton ([6, 8, 19], [23],
[33]-[36], [47]-[51]). Chúng ta gọi các nghiệm của phương trình soliton được
xây dựng từ các định thức Wronskian là nghiệm Wronskian. Sau một chuỗi
nghiên cứu về phương trình Korteweg-de Vries ([25]-[29]),W. X. Ma đã liên
tục mở rộng các lớp nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries bằng cách
thay đổi hệ phương trình điều kiện đối với định thức Wronskian. Tuy vậy,
việc mở rộng này mới chỉ được thực hiện với phương trình Korteweg-de
Vries, Boussinesq và hệ phương trình lưới của Toda ([23], [25]-[29], [50]).
Do đó, việc mở rộng hệ phương trình điều kiện để tính tốn các nghiệm
9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Wronskian tường minh mới của phương trình Korteweg-de Vries biến dạng
(3) và của phương trình sine-Gordon (4) là một việc cần thiết và có ý
nghĩa.
Từ sự tương đồng trong việc sử dụng kỹ thuật Wronskian trên hai
phương trình (3), (4), năm 2003 D. J. Zhang đã xét phương trình truyền
sóng phi tuyến sau đây
uxt + α

3 2
u uxx + uxxxx = β sin u,
2 x

α, β ∈ R.

(27)

Phương trình (28) chứa cả hai phương trình Korteweg-de Vries biến dạng
(3) và phương trình sine-Gordon (4) như hai trường hợp riêng. Rõ hơn, khi
α = 1, β = 0 phương trình (27) sẽ là
3
uxt + u2x uxx + uxxxx = 0
2
mà được đưa về phương trình (3) bằng cách đặt v(x, t) = 12 ux (x, t). Khi
α = 0, β = 1 phương trình (27) sẽ chính là phương trình (4). Vì thế, phương
trình (27) được gọi là phương trình hỗn hợp Korteweg-de Vries biến dạng
và sine-Gordon, viết tắt là phương trình mKdV-sG ([38, 49]).

Để xây dựng nghiệm Wronskian cho phương trình (27), D. J. Zhang đã
đưa ra hệ phương trình điều kiện dạng đơn giản như sau
φjx = kj φj ,

(28a)

φjt = −4αφjxxx +

β
φj .
4kj

(28b)

Việc mở rộng hệ phương trình điều kiện để xây dựng các lớp nghiệm
Wronskian mới cho hai phương trình Korteweg-de Vries biến dạng và sineGordon là một công việc vẫn chưa được thực hiện. Chúng ta thấy rằng, cơng
việc này có thể thực hiện theo phương án mở rộng hệ phương trình điều
kiện (28a), (28b) để xây dựng nghiệm của phương trình hỗn hợp mKdV-sG
(27) và đây là một tồn tại cần giải quyết. Nếu đưa ra được các lớp nghiệm
mới của phương trình hỗn hợp mKdV-sG (27) thì chúng ta cũng nhận được
các lớp nghiệm của hai phương trình riêng rẽ Korteweg-de Vries biến dạng
(3) và sine-Gordon (4).
NỘI DUNG VÀ MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Luận án bao gồm hai nội dung nghiên cứu chính. Nội dung thứ nhất là
khảo sát hai lớp thế vị không tán xạ (17) và (19) để đưa ra từ hai lớp này
10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

các nghiệm N -soliton tường minh tương ứng của phương trỡnh Kortewegde Vries (1) v phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn (2). Nội dung thứ hai
là xây dựng nghiệm tường minh của các phương trình Korteweg-de Vries
biến dạng (3) và sine-Gordon (4) theo kỹ thuật Wronskian. Tuy nhiên, do
các tính tốn chi tiết đối với cả hai phương trình (3) và (4) có nhiều tương
đồng nên chúng tơi gộp chúng thành việc xây dựng nghiệm cho phương
trình hỗn hợp mKdV-sG (27) theo kỹ thuật Wronskian.
Trong nội dung nghiên cứu thứ nhất, mục tiêu của chúng tôi là xác
định quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn Mj (x, t) trong (18) sao
cho thế vị không tán xạ (17) là nghiệm của phương trình Korteweg-de
Vries (1). Tiếp theo là xác định quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn
pj (x, t) trong (21) sao cho thế vị không tán xạ (19) l nghim ca phng
trỡnh Schrăodinger phi tuyn (2). Sau đó, với quy luật tiến hóa của các đa
thức chuẩn, chúng tơi sẽ tìm nghiệm N -soliton tường minh tương ng ca
phng trỡnh Korteweg-de Vries v phng trỡnh Schrăodinger phi tuyến
trong lớp thế vị không tán xạ.
Trong nội dung nghiên cứu thứ hai, mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi
là xây dựng hệ phương trình điều kiện đối với các phần tử sinh của định
thức Wronskian, để từ đó xây dựng nghiệm Wronskian tường minh mới
cho phương trình mKdV-sG (27). Hệ phương trình điều kiện được chúng
tơi đưa ra là mở rộng đáng kể so với hệ đơn giản (28a), (28b) của D. J.
Zhang ([49]).
CÁCH TIẾP CẬN MỤC TIÊU VÀ CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA
LUẬN ÁN
Mục tiêu thứ nhất của Luận án là tìm quy luật tiến hóa của các đa
thức chuẩn Mj (x, t) và pj (x, t) tương ng vi cỏc toỏn t Schrăodinger v
Dirac trờn na trc x > 0.
Việc tìm nghiệm trên nửa trục x > 0 của phương trình Korteweg-de
Vries trong lớp thế vị khơng tán xạ (17), (18) được xét trong hai trường
hợp N = 1 và N ≥ 2.
Trường hợp N = 1 đã được chúng tôi giải quyết triệt để. Chúng tôi xây

dựng điều kiện cần và đủ đối với đa thức chuẩn M1 (x, t) để thế vị không
tán xạ (17) cũng là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries. Kết quả
nhận được là đa thức M1 (x, t) có quy luật tiến hóa: nó là đa thức bậc
khơng theo biến x và phụ thuộc vào t như sau
3

M1 = −kCe−k t , k = 2iρ1 ,

(29)

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


với C là hằng số phức nào đó.
Trường hợp N ≥ 2 là số nguyên dương tuỳ ý được chúng tôi giải quyết
trên cơ sở đưa thêm vào một giả thiết có tính kỹ thuật (Giả thiết (1.1.42),
trang 34). Kết quả nhận được là tương tự với trường hợp N = 1, các đa
chuẩn Mj (x, t) có quy luật tiến hóa: chúng là các đa thức bậc 0 theo x và
phụ thuộc vào t như sau
3

Mj = −kj Cj e−kj t , kj = 2iρj ,

(30)

với Cj là hằng số phức nào đó (j = 1, 2, . . . , N ).
Trên cơ sở kết quả về quy luật tiến hóa của dữ liệu tán xạ, một lớp
nghiệm u(x, t) tường minh khơng tán xạ của phương trình (1) được mơ tả

trong Định lý 1.1.5.
Tương tự, việc tìm nghim phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn trong
lp th v khụng tán xạ (19) − (22) cũng được chia thành hai trường hợp
N = 1 và N ≥ 2.
Trường hợp N = 1 chúng tơi tìm được quy luật tiến hóa đối với đa
thức chuẩn p1 (x, t) là
2

p1 = Ceik1 t , k1 = 2iλ+
1,

(31)

với C là hằng số phức nào đó.
Trường hợp N ≥ 2 là số nguyên dương tuỳ ý, chúng tôi đưa vào một
giả thiết kỹ thuật đối với các số phức λ+
j (Giả thiết (1.2.51), trang 67)
và chứng minh được rằng các đa thức chuẩn pj (x, t) có quy luật tiến hóa:
chúng là các đa thức bậc 0 theo x và phụ thuộc vào t theo công thức
2

pj = Cj eikj t , kj = 2iλ+
j ,

(32)

với Cj là các hằng số phức nào đó (j = 1, 2, . . . , N ).
Trên cơ sở kết quả về quy luật tiến hóa của dữ liệu tán xạ, một lớp
nghiệm u(x, t) tường minh khơng tán xạ của phương trình (2) được mơ tả
trong Định lý 1.2.5.

Mục tiêu thứ hai của Luận án là tìm nghiệm tường minh cho phương
trình mKdV-sG (27) theo kỹ thuật Wronskian. Trong bài báo [49], D. J.
Zhang đã chứng minh rằng nếu các phần tử sinh của định thức Wronskian
(23) là nghiệm của hệ phương trình (28a), (28b) thì hàm số u(x, t) được
xây dựng theo công thức sau
f¯(x, t)
u(x, t) = 2i ln
,
f (x, t)

(33)

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


là một nghiệm của phương trình mKdV-sG ([33, 49]).
Để mở rộng lớp nghiệm Wronskian nói trên, chúng tơi xét véc tơ hàm
φ = (φ1 , φ2 , . . . , φN )T là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
tổng quát hơn sau đây
¯
φx = Aφ,

(34a)

β
φt = −4αφxxx + A−1 φ¯ + Bφ.
4

(34b)

trong đó A(t) = (ajl (t))N ×N , B(t) = (bjl (t))N ×N là các ma trận thực chỉ
phụ thuộc biến t sao cho A(t) là không suy biến và
At + AB − BA = 0.
Chúng tôi chứng minh được rằng hàm số u(x, t) được cho bởi (33)
thông qua giá trị f (x, t) của định thức Wronskian (23) vẫn là nghiệm của
phương trình (27), nếu chúng ta lấy các phần tử sinh φ = (φ1 , φ2 , . . . , φN )T
là nghiệm của (34a), (34b). Tiếp theo, chúng tôi đưa hệ phương trình
(34a), (34b) về dạng chính tắc trong đó ma trận A là ma trận dạng Jordan
thực và B là ma trận khơng. Hệ chính tắc sau đó được phân rã thành các
hệ con độc lập. Nghiệm tổng quát của từng hệ con được mô tả một cách
đầy đủ và tạo thành một khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều trên R.
Từ đó chúng tơi tính được các lớp nghiệm Wronskian tường minh mới cho
phương trình mKdV-sG (27).
CẤU TRÚC LUẬN ÁN
Bên cạnh các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án
được cấu trúc bởi hai chương chính:
Chương 1: Trình bày các kết quả về nghiệm khụng tỏn x ca hai phng
trỡnh Korteweg-de Vries v Schrăodinger phi tuyến trên nửa trục không gian.
Chương này được chúng tôi cấu trúc thành hai Mục 1.1 và 1.2. Các kiến
thức chuẩn bị của chương này được chúng tơi trình bày trong các Tiểu
mục 1.1.1 và 1.2.1. Nội dung của của hai tiểu mục này là những mô tả
vắn tắt về cặp bài toán tán xạ thuận và ngược trên na trc ca toỏn t
Schrăodinger, toỏn t Dirac v mụ tả lớp thế vị khơng tán xạ của hai tốn
tử này.
Mục 1.1 trình bày về việc tìm nghiệm của phương trình Korteweg-de
Vries trong lớp thế vị khơng tán xạ của toỏn t Schrăodinger. Sau cỏc ni
dung ca Tiu mc 1.1.1, trong Tiểu mục 1.1.2 chúng tơi trình bày hai
13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


định lý chính là Định lý 1.1.3 và Định lý 1.1.4. Định lý 1.1.3 phân tích
thế vị khơng tán xạ (17) tương ứng với số lượng giá trị kỳ dị là N = 1.
Kết quả định lý này là quy luật tiến hóa đối với đa thức M1 (x, t) mà nó
được chỉ ra là điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ (17) là nghiệm
của phương trình Korteweg-de Vries. Kết quả đó cụ thể là M1 (x, t) phải
có bậc 0 đối với x và phụ thuộc vào t theo công thức (29). Định lý 1.1.4
đưa ra điều kiện cần cho thế vị không tán xạ (17) là nghiệm của phương
trình Korteweg-de Vries khi số lượng giá trị kỳ dị là N ≥ 2 tùy ý và N
giá trị kỳ dị này tuân theo Giả thiết (1.1.42). Điều kiện nhận được là quy
luật tiến hóa của các đa thức chuẩn Mj (x, t) và nó được mô tả trong (30).
Trong Tiểu mục 1.1.3 chúng tôi chỉ ra rằng kết quả nhận được của Định
lý 1.1.4 cũng chính là điều kiện đủ và kết quả này được mô tả trong Định
lý 1.1.5. Tiểu mục 1.1.4 bao gồm các ví dụ về nghiệm của phương trình
Korteweg-de Vries nhận được từ hai Định lý 1.1.3 và 1.1.5.
Mục 1.2 trình by v vic tỡm nghim ca phng trỡnh Schrăodinger
phi tuyn trong lớp thế vị khơng tán xạ của tốn tử Dirac. Sau các nội
dung của Tiểu mục 1.2.1, trong Tiểu mục 1.2.2, chúng tôi đưa ra các công
thức biểu diễn hàm F (x, t) trong (20) và G(x, t) trong (22) theo các hàm
số mũ của biến x. Trong Tiểu mục 1.2.3, chúng tôi chỉ ra rằng, khi số cặp
giá trị kỳ dị là N = 1 thì điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ (19) l
nghim ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn l a thc chuẩn p1 (x, t)
phải tiến hóa theo cơng thức (31). Kết quả này được phát biểu và chứng
minh trong Định lý 1.2.3. Trong Tiểu mục 1.2.3, chúng tôi cũng xét trường
hợp số cặp giá trị kỳ dị là N ≥ 2 tùy ý và N cặp giá trị kỳ dị này thỏa
mãn Giả thiết (1.2.51). Định lý 1.2.4 mô tả điều kiện cần để thế vị không
tán xạ (19) là nghim ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn. iu kin

ny chớnh là các đa thức chuẩn pj (x, t) phải tiến hóa theo cơng thức (32).
Trong Tiểu mục 1.2.4 chúng tơi chỉ ra rằng kết quả nhận được của Định
lý 1.2.4 cũng chính là điều kiện đủ và kết quả này được mô tả trong Định
lý 1.2.5. Tiểu mục 1.2.5 bao gm cỏc vớ d v nghim ca phng trỡnh
Schrăodinger phi tuyến nhận được từ hai Định lý 1.2.3 và 1.2.5.
Chương 2: Trình bày các kết quả về nghiệm của phương trình hỗn hợp
mKdV-sG được xây dựng theo kỹ thuật Wronskian. Chương này được
chúng tôi cấu trúc thành hai Mục 2.1 và 2.2. Các kiến thức chuẩn bị của
chương này được chúng tơi trình bày trong các Tiểu mục 2.1.1. Nội dung
của tiểu mục này mô tả vắn tắt về phép đổi biến Hirota, hệ song tuyến tính
ứng với phương trình mKdV-sG và nghiệm Wronskian của D. J. Zhang.
14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Mục 2.1 trình bày về việc mở rộng hệ phương trình điều kiện. Cụ thể là
chúng tơi lấy hệ phương trình (34a), (34b) để thay thế cho hệ (28a), (28b).
Việc chỉ ra rằng hàm số u(x, t) được cho bởi (33) thông qua giá trị f (x, t)
của định thức Wronskian (23) vẫn là nghiệm của phương trình (27) được
chúng tôi phát biểu và chứng minh trong Định lý 2.1.2. Thay vì tính tốn
các nghiệm của phương trình mKdV-sG (27) từ hệ phương trình điều kiện
(34a), (34b), chúng tơi chỉ ra rằng có thể chuyển hệ phương trình điều kiện
(34a), (34b) về một dạng gọn hơn mà vẫn không làm thu hẹp lớp nghiệm
đó của phương trình mKdV-sG (27). Hệ phương trình điều kiện ở dạng
này được gọi là hệ chính tắc, mà nó chính là hệ (34a), (34b) với A được
thay bằng ma trận hằng Γ có dạng chính tắc Jordan thực và B được thay
bằng ma trận không (B = 0).
Mục 2.2 trình bày về việc giải tường minh hệ phương trình điều kiện
dạng chính tắc. Với kết quả tính nghiệm của hệ phương trình điều kiện dạng

chính tắc, chúng tơi tính được giá trị của định thức Wronskian f (x, t) và
tính được nghiệm u(x, t) của phương trình mKdV-sG theo (33). Hệ phương
trình điều kiện dạng chính tắc có thể phân rã thành các hệ con độc lập
mà vẫn ở dạng (34a), (34b) trong đó thay cho Γ là các trường hợp khác
nhau của khối Jordan thực. Tương ứng với các khối Jordan thực khác nhau
chúng tơi trình bày các kết quả thu được của Luận án trong năm tiểu mục
của Mục 2.2.
Các kết quả tính định thức Wronskian f (x, t) của Luận án được mô tả
trong bốn mệnh đề gồm Mệnh đề 2.2.1 và từ Mệnh đề 2.2.3 đến Mệnh đề
2.2.5. Chúng ta cũng xác định được ở đây hai trường hợp của hàm f (x, t)
trong (23) dưới dạng định thức Wronskian kép (xem các trang 109, 128).
Trong Tiểu mục 2.2.4 chúng tôi cũng đã xây dựng hàm f (x, t) trong trường
hợp ma trận Γ chứa n khối Jordan 2 × 2 ứng với n cặp giá trị riêng phức
đơn liên hợp. Định thức Wronskian (23) trong trường hợp Γ chứa các khối
Jordan thuộc về các dạng khác nhau là vẫn có thể tính tốn được tường
minh. Tuy nhiên các tính tốn chi tiết sẽ phức tạp hơn những tính tốn
trong trường hợp đã nêu cụ thể ở trên.
Tương ứng với các tính tốn về định thức Wronskian f (x, t) chúng tôi đã
xây dựng được các lớp nghiệm tường minh cho các phương trình mKdV-sG
(27), mKdV (3) và sine-Gordon (4). Các kết quả này được mô tả trong các
Định lý 2.2.1, 2.2.3, 2.2.5, 2.2.6 và 2.2.8. Một số ví dụ đã được chúng tôi
đưa ra để minh họa cho các trường hợp được xét và hầu hết là các kết quả
tính tốn mới. Trong số đó, các ví dụ cụ thể thuộc các Tiểu mục 2.2.4, 2.2.5
15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


là các ví dụ có q trình tính tốn khá cơng phu.
Các kết quả chính của Luận án đã được công bố trong 4 bài báo ([1]-[4])

và 1 tiền ấn phẩm ([5]), trong đó bài báo [4] và bài báo [3] chứa các kết
quả riêng rẽ tương ứng cho các phương trình mKdV và sG. Nội dung của
Luận án đã được báo cáo tại các Xêmina:
- Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường đại
học Khoa học Tự nhiên (ĐHKHTN), Đại học Quốc gia (ĐHQG) Hà Nội.
- Xêmina của Phịng Phương trình Vi phân, Viện Tốn học, Viện Khoa
học và Cơng nghệ Việt Nam.
- Hội nghị quốc tế về Giải tích phức "The 17th International Conference on
Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications", 1-3,
August, 2009, Ho Chi Minh City, Viet Nam.
- Hội nghị quốc tế "The 4th International Conference on Research and
Education in Mathematics", 21-23 October 2009, Kuala Lumpur, Malaysia.

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chương 1
LỚP NGHIỆM N -SOLITON
KHƠNG TÁN XẠ CỦA HAI
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG GIAN
Nội dung chương này là các nghiên cứu về việc tính tốn các nghiệm khơng
tán x ca hai phng trỡnh Korteweg-de Vries v Schrăodinger phi tuyến.
Lớp hàm mà chúng tơi tìm kiếm các nghiệm cho hai phương trình trên là
lớp thế vị khơng tán xạ ca toỏn t Schrăodinger v toỏn t Dirac. Trong
cỏch tip cận này, chúng tôi sử dụng các kết quả đã biết về bài toán tán
xạ trên nửa trục. Cụ thể hơn là chúng tôi sử dụng kết quả về bài toán tán
xạ của V. È. Lyantse đối với toán tử Schrăodinger, kt qu v bi toỏn tỏn

x ca L. P. Nizhnik và P. L. Vu đối với toán tử Dirac.
Trong Mục 1.1 chúng tôi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N -soliton không
tán xạ tường minh nhận giá trị phức cho phương trình Korteweg-de Vries
ut + 6uux + uxxx = 0, x > 0.
Các kết quả thuộc mục này của Luận án đã được công bố trong bài báo
[1] (trong "Danh mục các cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến
Luận án").
Kế tiếp trong Mục 1.2 chúng tôi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N -soliton
không tán xạ tng minh nhn giỏ tr phc cho phng trỡnh Schrăodinger
17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


phi tuyến
iut = uxx + |u|2 u, x > 0.
Các kết quả mục này của Luận án đã được công bố trong bài báo [2] (trong
"Danh mục các cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận án").

1.1

Phương trình Korteweg-de Vries

Trong mục này chúng tơi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N -soliton không tán
xạ tường minh cho phương trình Korteweg-de Vries
ut + 6uux + uxxx = 0, x > 0, −∞ < t < ∞.

(1.1.1)

trong đó ẩn hàm u(x, t) là hàm giá trị phức. Chúng tôi giới hạn việc tìm

nghiệm u(x, t) của phương trình Korteweg-de Vries trong một lớp hàm số
mà là lớp thế vị khụng tỏn x ca toỏn t Schrăodinger.
Trong bn tiu mc của mục này, ba Tiểu mục 1.1.2, 1.1.3 và 1.1.4 trình
bày các kết quả nghiên cứu của Luận án, Tiểu mục 1.1.1 mô tả các kiến
thức chuẩn bị bao gồm các kết quả nghiên cứu trước đây của V. È. Lyantse
v P. L. Vu v toỏn t Schrăodinger trờn na trục (ở đây biến không gian
x thuộc nửa trục dương [0, ∞)). Các kết quả của chúng tôi trong hai Tiểu
mục 1.1.2 và 1.1.3 là điều kiện cần và đủ để thế vị khơng tán xạ u(x, t) của
tốn tử Schrăodinger cng l nghim ca phng trỡnh Korteweg-de Vries.
Cỏc kt quả này sẽ được thể hiện cụ thể trong ba Định lý 1.1.3, 1.1.4
và 1.1.5. Nội dung Tiểu mục 1.1.4 trình bày các ví dụ cụ thể về nghiệm
của phương trình Korteweg-de Vries được xác định theo hai Định lý 1.1.3
và 1.1.5.

1.1.1

Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ

Nội dung chính của tiểu mục này là các kiến thức chuẩn bị của Mục 1.1
và không chứa kiến thức mới. Chúng tơi sẽ trình bày tóm tắt các kết quả
nghiên cứu của V. È. Lyantse về cặp bài toán tán xạ thuận và tán xạ
ngược đối với toán tử Schrăodinger trờn na trc dng (x [0, )). Sau
ú chúng tôi giới thiệu công thức mô tả thế vị không tán xạ của P. L. Vu.
Các kết quả này đã được chứng minh chi tiết trong các tài liệu trích dẫn.
Bởi vậy chúng tơi chỉ giới thiệu kết quả mà khơng trình bày chứng minh.
18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

A. Bài toán tán xạ thuận trên nửa trục
Xét toán t Schrăodinger L(t) c cho bi cụng thc
d2
L(t)y = 2 y + u(x, t)y,
dx

(1.1.2a)

với miền xác định là không gian con trù mật sau đây của L2 (0, ∞)
Dom(L(t)) ={y(., t) ∈ L2 (0, ∞) ∩ ACloc [0, ∞),
dy
∈ ACloc [0, ∞), Ly ∈ L2 (0, ∞), y(0) = 0},
dx

(1.1.2b)

trong đó, ACloc [0, ∞) là tập hợp các hàm y(x) liên tục tuyệt đối địa phương
trên nửa khoảng [0, ∞). Ở đây, biến thời gian t là một tham số tự do. Hàm
thế vị u(x, t) được giả thiết là hàm liên tục, nhận giá trị phức và là hàm
giảm nhanh theo đánh giá
∞

eεx |u(x, t)|dx < ∞

(1.1.2c)

0

với ε > 0 nào đấy cho trước. Do u(x, t) nhận giá trị phức nên tốn tử L(t)
được xét nói chung khơng phải là toán tử tự liên hợp.

Bài toán tán xạ thuận là bài toán thứ nhất trong cặp bài toán tán xạ
([22, 30, 31]). Trong bài toán tán xạ thuận, một tập hợp đặc biệt được xây
dựng từ toán tử Schrăodinger L(t) v tp ny c gi l d liu tán xạ của
tốn tử L(t). Dưới đây chúng tơi sẽ trình bày quá trình xây dựng dữ liệu
tán xạ của toán tử L(t).
Từ toán tử L(t) được nêu ra ở trên chúng ta xét phương trình vi phân
d2 y
+ u(x, t)y = −ρ2 y,
2
dx

(x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞, ∞).

(1.1.3)

trong đó λ = −ρ2 là tham số phổ.
Nếu phương trình (1.1.3) có nghiệm khơng tầm thường y(x, t, ρ) thuộc
không gian L2 (0, ∞) sao cho y(x, t, ρ) ∈ Dom(L) thì λ = −ρ2 là một giá
trị riêng của tốn tử L(t). Phương trình vi phân (1.1.3) là phương trình
vi phân cấp hai nên tập nghiệm của nó là một khơng gian tuyến tính hai
chiều. Sau đây chúng ta sẽ đưa ra một cơ sở của không gian hai chiều này
gồm hai nghiệm riêng của (1.1.3).
19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Phương trình (1.1.3) có một nghiệm ký hiệu là e(x, t, ρ) và được xây
dựng theo điều kiện tiệm cận
lim e−iρx e(x, t, ρ) = 1.

x→+∞

(1.1.4)

Căn cứ vào điều kiện (1.1.4) và sử dụng phương pháp biến thiên hằng số
chúng ta chuyển được bài toán (1.1.3) − (1.1.4) về phương trình tích phân
∞

e(x, t, ρ) = eiρx +

sin ρ(ξ − x)
u(ξ, t)e(ξ, t, ρ)dξ.
ρ

x

ε
Nếu ρ là một số phức thuộc nửa mặt phẳng Im ρ > − thì sự tồn tại nghiệm
2
của phương trình tích phân trên đã được chỉ ra bằng cách sử dụng phương
pháp xấp xỉ liên tiếp. Tính duy nhất nghiệm của bài tốn (1.1.3) − (1.1.4)
cũng đã được chứng minh. Chúng ta mô tả kết quả này bằng bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.1. ([24, 30, 31]). Giả sử hàm thế vị u(x, t) thỏa mãn điều kiện
ε
(1.1.2c). Khi đó trên nửa mặt phẳng Im ρ > − tồn tại duy nhất một
2
nghiệm e(x, t, ρ) của phương trình (1.1.3) thỏa mãn điều kiện tiệm cận
ε
(1.1.4). Hơn nữa, e(x, t, ρ) là hàm chỉnh hình theo biến ρ khi Im ρ > − .

2
Cùng với nghiệm e(x, t, ρ), phương trình (1.1.3) cũng có một nghiệm
e˜(x, t, ρ) trong miền Im ρ > 0 với điều kiện tiệm cận
lim eiρx e˜(x, t, ρ) = 1.

x→+∞

(1.1.5)

Trên nửa mặt phẳng Im ρ > 0 hai hàm e(x, t, ρ) và e˜(x, t, ρ) hình thành
một cơ sở của khơng gian tuyến tính hai chiều ứng với tập các nghiệm của
(1.1.3). Do e˜(x, t, ρ) với Im ρ > 0 là hàm tăng nhanh theo hàm mũ khi
x → +∞ nên e˜(x, t, ρ) ∈ L2 (0, ∞), mặt khác e(x, t, ρ) với Im ρ > 0 là hàm
giảm nhanh nên e(x, t, ρ) ∈ L2 (0, ∞). Suy ra, nếu λ = −ρ2 là một giá trị
riêng của L(t) thì hàm riêng tương ứng là e(x, t, ρ) và theo điều kiện biên
ta phải có đẳng thức e(0, t, ) = 0.
nh ngha 1.1.1. Cho toỏn t Schrăodinger L(t) được xác định theo
(1.1.2a)−(1.1.2c) và hàm e(x, t, ρ) là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1.3)−
(1.1.4). Chúng ta gọi số phức ρ = 0 nằm trong nửa mặt phẳng Im ρ ≥ 0 là
giá trị kỳ dị của toán tử L(t) nếu e(0, t, ρ) = 0.
20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add