Luận văn thạc sĩ HUS dãy số và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ ĐỨC VIỆT

DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội, Năm 2014

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ ĐỨC VIỆT

DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:
60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS .TS . VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội, Năm 2014

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Lời nói đầu

Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình tốn THPT. Các bài
tốn liên quan đến dãy số thường là những bài tốn khó, thường gặp trong các kì thi
học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh, thành phố, quốc gia, khu vực và quốc tế. Các dạng
toán về dãy số rất phong phú và đa dạng nên khó phân loại và hệ thống hóa thành
các chuyên đề riêng biệt. Nội dung và mục tiêu của luận văn : “ Dãy số và các bài
toán liên quan “ là hệ thống lại một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng
quát của dãy số, chứng minh sự tồn tại giới hạn của dãy số, tìm giới hạn của dãy số,
ứng dụng của dãy số trong việc giải một số bài tốn liên quan thơng qua các ví dụ
minh họa và tổng qt hóa các kết quả đơn giản.
Bố cục của luận văn gồm 3 chương
Chương I.Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy
Chương này trình bày các khái niệm, cơng thức và tính chất cơ bản về cấp số cộng ,
cấp số nhân ,công thức tổng quát của dãy, một số dạng tốn tìm số hạng tổng qt
của dãy sử dụng tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân và một số bài toán liên quan
đến cấp số cộng và cấp số nhân.
Chương II.Giới hạn dãy
Chương này trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về giới hạn dãy số và hệ
thống các ví dụ minh họa về chứng minh sự tồn tại của giới hạn dãy số, tìm giới hạn
dãy số. Một số các phương pháp tìm giới hạn dãy số.
Chương III. Các bài toán về số học và dãy
Chương này trình bày các bài tốn liên quan đến số học và dãy số trong các kì thi

học sinh giỏi tỉnh, thành phố và Olympic 30/4 thông qua các ví dụ minh họa.

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Vũ Đỗ Long.
Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cơ giáo
Khoa Tốn-Cơ-Tin học và Semina Phương pháp tốn sơ cấp của Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét góp ý cho bản luận văn
này.
Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, động viên cổ vũ và
tọa điều kiện để tác giả có thể hồn thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng và nghiêm túc trong quá trình học tập và
nghiên cứu khoa học, song trong q trình thực hiện khơng tránh khỏi những sơ
suất. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô
giáo và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn này được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 21 tháng 10 năm 2014

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Mục lục
Lời nói đầu ............................................................................................................. 0
Lời cảm ơn ............................................................................................................. 2
Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy. ................... 4
1.1 Khái niệm cơ bản ........................................................................................... 4
1.1.1 Cấp số cộng ............................................................................................. 4
1.1.2 Cấp số nhân ............................................................................................. 4
1.1.3 Công thức tổng quát của dãy................................................................... 5
1.1.4 Cách xác định dãy số ............................................................................... 5
1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng .............................................................................. 5
1.1.6 Dãy số bị chặn ........................................................................................ 6
1.1.7 Dãy số tuần hoàn .................................................................................... 6
1.1.8 Dãy số dừng ........................................................................................... 6
1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một
số dạng dãy số đặc biệt. ....................................................................................... 6
1.3 Các bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân. ................................................... 29
Chương II. Giới hạn dãy ..................................................................................... 44
2.1 Khái niệm cơ bản ......................................................................................... 44
2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy ........................................................ 45
2.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của dãy, chuyển qua giới hạn......... 45
2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp ..................................................... 56
2.2.3 Phương pháp sử dụng thế lượng giác ..................................................... 62
2.3.4 Phương pháp so sánh giới hạn dãy ......................................................... 68
2.3.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn dãy ........... 74
Chương III. Các dạng bài toán khác về dãy số .................................................. 77
3.1 Bài toán về số học của dãy số ....................................................................... 77
3.2 Ứng dụng dãy số vào bài tốn tính tổng các số hạng .................................... 85
3.3 Ứng dụng dãy số vào bài toán phép đếm ...................................................... 87
3.4 Bài toán về bất đẳng thức dãy số .................................................................. 88
Kết luận ................................................................................................................ 94

Tài liệu tham khảo ............................................................................................... 95
3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức
tổng quát của dãy.
1.1 Khái niệm cơ bản
1.1.1 Cấp số cộng
Định nghĩa 1: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vơ hạn), trong đó kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số
khơng đổi d , nghĩa là
 u n  là cấp số cộng  n  2, un  un1  d . Số d được gọi là công sai của cấp số
cộng.
Định lý 1 : Nếu cấp số cộng  u n  có số hạng đầu u1 và cơng sai d thì số hạng tổng
quát u n được xác định bởi công thức u n  u1   n  1 d , n  2
Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là
trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
u u
uk  k 1 k 1 , k  2
2
Định lý 3: Cho cấp số cộng  u n  , đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó:

Sn 

 u1  un  n
2

 2u1   n  1 d  n

hay Sn  
2

1.1.2 Cấp số nhân
Định nghĩa 1:Dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn)
 u n  là cấp số nhân  n  2, un  un1.q .
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và cơng bội q thì số hạng tổng quát
un được xác định bởi công thức u n  u1.q n 1 , n  2 .
Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu
và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u k2  u k 1.u k 1 , k  2
(hay uk  uk 1.uk 1 ).

4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định lý 3: Cho cấp số nhân  u n  với công bội q  1 .
Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó Sn 

u1 1  q n 

1 q
Chú ý: Nếu q  1 thì cấp số nhân là u1, u1,..., u1 ,...
Khi đó Sn  n.u1
1.1.3 Cơng thức tổng qt của dãy
Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương
là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
u: *

Kí hiệu:

* được gọi

n  u n

Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là số hạng của dãy số
u1  u 1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)
…
u n  u  n  được gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát của dãy).
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển

u1, u2 ,..., un ,...
Mỗi hàm số u xác định trên tập M  1, 2,..., m với mỗi m * được gọi là một
dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 ,..., um trong đó u1 là số hạng đầu,
um là số hạng cuối.
1.1.4 Cách xác định dãy số
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
n 1
VD: Cho dãy số  u n  với un 
3n  1
Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cho dãy số bằng quy nạp).

u1  1
un  2un1  1, n  2

VD: Cho dãy số  un  : 

1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng
Dãy số  u n  được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu un1  un , n  1 .

Dãy số  u n  được gọi là dãy đơn điệu không giảm nếu un1  un , n  1 .

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Dãy số  u n  được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu un1  un , n  1 .
Dãy số  u n  được gọi là dãy đơn điệu không tăng nếu un1  un , n  1 .
1.1.6 Dãy số bị chặn
Dãy số  u n  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu M  : un  M , n  1 .
Dãy số  u n  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu m  : un  m, n  1 .
Dãy số  u n  được gọi là dãy số bị chặn nếu M , m  : m  un  M , n  1
1.1.7 Dãy số tuần hoàn
Dãy số  u n  được gọi là dãy số tuần hoàn với chu kì k nếu unk  un , n  1
1.1.8 Dãy số dừng
Dãy số  u n  được gọi là dãy số dừng nếu
n0  : un  c, n  n0 ( c là hằng số, gọi là hằng số dừng ).

1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng
quát của một số dạng dãy số đặc biệt.
Ví dụ 1.1

u1  2
Xác định công thức tổng quát của dãy  un  : 
un  3un1  1, n  2
Giải:
Trong bài tốn trên ta gặp khó khăn vì dãy  u n  không phải là cấp số cộng hay cấp
số nhân để ta áp dụng trực tiếp công thức của số hạng tổng qt. Nếu khơng có  1
xuất hiện ở vế trái thì dãy  u n  sẽ là một cấp số nhân với công bội q  3 . Ta sẽ

tìm cách làm mất  1 và chuyển dãy  u n  về cấp số nhân.

un  k  3 un1  k   un  3un1  k  3k
1
2
1
1

 un   3 un1  
2
2

5

v 
1
Đặt: vn  u n    1
2
2
vn  3vn 1 , n  2
 1  k  3k  k 

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Dãy  vn  là một cấp số nhân với công bội q  3
5
 vn  v1.q n 1  .3n1

2
1 5 n 1 1
Vậy un  vn   .3  , n  1
2 2
2
Bài toán 1.1

u1  x0
Xác định công thức tổng quát của dãy  un  : 
 a, b  0
un  a.un1  b, n  2
Giải:
Trường hợp 1: a  1 thì dãy  u n  là cấp số cộng có cơng sai d  b nên
u n  u1   n  1 d  x0   n  1 b
Trường hợp 2: a  1

Ta đặt un  k  a  un1  k   un  aun1  k  ak

b
ab
b
ab
b
b



1 a
a 1 1 a a 1 a 1
b

b 
ab
b

 un 
 a  un1 

Khi đó: un  a.un 1 

a 1 a 1
a 1
a 1 

b

b
v1  x0 
Đặt: vn  un 

a 1
a 1 
v

a
.
v
n 1
 n
b  n1


Dãy  vn  là cấp số nhân có cơng bội q  a  vn  v1.q n1   x0 
 .a
a 1 

b
b  n1
b
a n1  1

n 1
  x0 
.
a


x
.
a

b
, n  1
Vậy un  vn 

0
a 1 
a 1
a 1
a 1
Ta phân tích b  k  ak  k 

u1  x0
Kết quả 1.1: Dãy  un  : 
 a, b  0
un  a.un1  b, n  2
 x0   n  1 b,
a 1

thì có cơng thức số hạng tổng quát là un  
a n1  1
n 1
x
.
a

b
, a 1
 0
a 1


u1  2
un  2un1  3n  1, n  2

Ví dụ 1.2: Xác định cơng thức tổng quát của dãy  un  : 

Giải:
Để tìm cơng thức tổng qt của dãy số trên ta tìm cách làm mất 3n1 để chuyển về
dãy số là một cấp số nhân.
7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ta đặt un   an  b   2 un 1  a  n  1  b 

 un  2un1  an  b  2  a  n  1  b 
 3n  1  an  b  2 a  n  1  b

a  b  2 a  3

Cho n  1, n  2 ta có hệ 

b

5

b  5
 un  3n  5  2 un1  3  n  1  5
v1  10
Đặt: vn  un  3n  5  
vn  2vn1 , n  2
Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  2
 vn  v1 .q n 1  10.2 n 1 ,  n  2

Vậy công thức tổng quát của u n  10.2 n 1  3n  5, n  1 .

u1  2
Ví dụ 1.3: Tìm công thức tổng quát của dãy  un  : 
un  un1  2n  1, n  2
Giải:

Xét f  n   2 n  1 là đa thức bậc 1 đối với n
Đặt un  g  n  un1  g  n  1
suy ra f  n   g  n   g  n  1 , trong đó g  n  là đa thức bậc 2 đối với n có hệ số
2
tự do bằng 0. Từ đó có g  n  an  bn
2

 2n  1   an2  bn  a  n 1  b  n 1


 a  b  1 a  1

 g  n   n2  2n
Cho n  0, n  1 ta được hệ: 
a  b  3
b  2
2

 un   n2  2n  un1   n 1  2  n 1 


v1  1
2
Đặt: vn  un   n  2n   
vn  vn1 , n  2
Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  1
 vn  v1 .q n 1  v1  1,  n  2

Vậy công thức tổng quát của u n  n 2  2 n  1,  n  1 .

8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài tốn 1.2: Xác định cơng thức tổng qt của dãy
u  x
 un  :  1 0
un  a.un 1  f  n  , n  2
,trong đó f  n  là một đa thức bậc k theo n .
Giải:
Đặt un  g  n   a un1  g  n  1 
Ta viết f  n   g  n   ag  n  1 (*)
với g  n  cũng là một đa thức theo n . Khi đó

un  a.un1  g  n   ag  n  1  un  g  n   a un1  g  n  1 
v  u1  g 1  x0  g 1
Đặt: vn  un  g  n    1
vn  a.vn 1 , n  2
Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  a

 vn  v1.q n1   x0  g 1  .a n1 , n  1
Vậy công thức tổng quát của un   x0  g 1  .a n1  g  n  , n  1 .
Như vậy trong lời giải trên ta chỉ cần xác định được đa thức g  n  là bài toán được
giải quyết trọn vẹn. Đa thức g  n  được xác định như sau:
Nếu a  1 thì g  n   ag  n  1 là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g  n  một
bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g  n  , mà f  n  là đa thức bậc k nên
để có (*) ta chọn g  n  là đa thức bậc k  1 , có hệ số tự do bằng 0. Khi đó ta được
hệ gồm k  1 phương trình, giải hệ này ta tìm được g  n  .
Nếu a  1 thì g  n   ag  n  1 là đa thức cùng bậc với g  n  nên ta chọn g  n  là

đa thức bậc k , trong đẳng thức (*), ta cho k  1 giá trị n bất kì, ta được hệ gồm
k  1 phương trình, giải hệ này ta tìm được g  n  .
Như vậy ta đi đến kết quả sau đây
Kết quả 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy
u  x
 un  :  1 0
un  a.un 1  f  n  , n  2
,trong đó f  n  là một đa thức bậc k theo n .
Giải:
Đặt un  g  n   a un1  g  n  1 

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ta viết f  n   g  n   ag  n  1 với g  n  cũng là một đa thức theo n .
Nếu a  1 thì g  n  là đa thức bậc k  1 , có hệ số tự do bằng 0.
Nếu a  1 thì g  n  là đa thức bậc k .
Khi đó un  a.un1  g  n   ag  n  1  un  g  n   a un1  g  n  1 
v  u1  g 1  x0  g 1
Đặt: vn  un  g  n    1
vn  a.vn 1 , n  2
Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  a

 vn  v1.q n1   x0  g 1  .a n1 , n  1
Vậy công thức tổng quát của un   x0  g 1  .a n1  g  n  , n  1 .

u1  1
Ví dụ 1.4: Tìm cơng thức tổng quát của dãy  un  : 

n
un  3un 1  2 , n  2
Giải:
Ta đưa dãy  un  về cấp số nhân công bội q  3 bằng cách viết
u n  k .2 n  3  u n 1  k .2 n 1   u n  3u n 1  k .2 n  3k .2 n 1

 2n  k.2n  3k.2n1
Cho n  1 thì 2  2k  3k  k  2 .
Khi đó u n  2.2 n  3  u n 1  2.2 n 1 

v1  5
n
Đặt vn  un  2.2  
vn  3.vn1 , n  2
Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  3
 vn  v1 .q n 1  5.3 n 1 ,  n  2

Vậy công thức tổng quát của u n  5.3n 1  2.2 n , n  1 .
Bài tốn 1.3: Xác định cơng thức tổng quát của dãy
u  x
 un  :  1 0
n
un  a.un 1  b. , n  2
Giải:
n
Ta thấy cách giải của bài toán then chốt ở chỗ ta phân tích được biểu thức b. ,
sau đó chuyển dãy  un  về cấp số nhân là bài toán giải xong. Ta xét các trường hợp
sau:
Trường hợp 1: a   thì u n   .u n 1  b. n

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


n
n
n1
Ta phân tích:   n.    n 1 .

Khi đó u n   u n 1  bn n  b  n  1  n 1  u n  bn n   u n 1  b  n  1  n 1 

v1  x0  b
n
Đặt: vn  un  bn  
vn   vn1 , n  2
Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  

 vn  v1.qn1   x0  b  . n1, n  2
Vậy công thức tổng quát của

un   x0  b  . n1  bn n  x0 n1  b  n 1  n , n  1 .
Trường hợp 2: a  
Ta phân tích  n  k n  ak n 1    k  ak    k   a   k 
n

n

Khi đó u n  au n 1  b  au n 1  bk  abk

n 1


 a

 u n  bk  a  u n 1  bk n 1 
n

v1  x0  bk
n
Đặt: vn  un  bk  
vn  avn1 , n  2
Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  a

 vn  v1.qn1   x0  bk  an1, n  2
Vậy công thức tổng quát của dãy  un  là:

b  n1 b n

un   x0  bk  .a n1  bn n   x0 
a 
 , n  1 .
  a 
 a

Kết quả 1.3: Xác định công thức tổng quát của dãy
u  x
 un  :  1 0
n
un  a.un 1  b , n  2

Ta làm như sau:
n
n
n1
Nếu a   thì ta phân tích   n.    n 1 . ,
n1
n
khi đó un  x0  b  n  1  , n  1

n

n

n1

Nếu a   thì ta phân tích   k  ak ,
b  n1 b n

a 
 , n  1
khi đó un   x0 
  a 
 a


11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Ví dụ 1.5: Tìm cơng thức tổng qt của dãy
u  2
 un  :  1
n
n
un  5un1  2.3  6.7  12, n  2
Giải:
Đặt un  k.3n  l.7 n  a  5 un1  k.3n1  l.7 n1  a 









 u n  5u n 1   k .3n  l .7 n  a   5  k .3n 1  l .7 n 1  a 

 u n  5u n 1   k .3n  5k .3n 1    l .7 n  5l .7 n 1    a  5a 

Suy ra

12  5a  a  a  3  12  5  3    3   3  5.3
n

n

n1

2. 3  k.3  5k.3
n

n1

6.7  5l.7

. Cho n  1  k  3
 l.7 . Cho n  1  l  21
n

 u n  3.3n  21.7 n  3  5  u n 1  3.3n 1  21.7 n 1  3 

v1  157
vn  5vn1, n  2

n
n
Đặt vn  un  3.3  21.7  3  

Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  5
 vn  v1.q n 1  157.5n 1 ,  n  2

Vậy công thức tổng quát của u n  157.5 n 1   3.3n  21.7 n  3  ,  n  1

u1  1
Ví dụ 1.6: Tìm cơng thức tổng quát của dãy  un  : 
n
un  2un 1  3  n, n  2
Giải:

Đặt un   k.3n  g  n    2 un1   k.3n1  g  n  1 



 u n  2u n 1   k .3  2 k .3
n

n 1



   g  n   2 g  n  1


 n  g  n   2 g  n  1
Suy ra 
n
n 1
n
3  k .3  2k .3
Với  n  g  n   2 g  n  1 ,
trong đó g  n   an  b  n  an  b  2  a  n  1  b 
Cho n  1, n  2 ta được
a  b  1  a  1
a  b  2b  1


 g n  n  2

b  2

b  2
b  2a  2  a  b   2
n

n1

Với 3  k.3

 2k.3n . Cho n  1  k  3  3n  2.3.3n1  3.3n
12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


 u n  3.3n  n  2  2  u n 1  3.3n 1   n  1  2 

v1  11
n
Đặt vn  un  3.3  n  2  
vn  2vn1 , n  2
Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  2
 vn  v1 .q n 1   11.2 n 1 ,  n  2

Vậy công thức tổng quát của u n  11.2 n 1  3.3n  n  2, n  1
Kết quả 1.4: Để xác định công thức tổng quát của dãy
u1  x0
 un  : 
n
un  a.un 1  b  f  n  , n  2
n

,trong đó f  n  là đa thức bậc k theo n , ta phân tích  và f  n  như trong Kết
quả 1.2 và Kết quả 1.3.

u0  1, u1  3
Ví dụ 1.7: Tìm cơng thức tổng qt của dãy  un  : 
un  5un1  6u n2 , n  2
Giải:
Từ giả thiết un  5un1  6un 2  0
n

Đặt u n  a  x1   b  x2 
n2

Ta có ax1

x

2
1

n

 5x1  6  bx2n2  x22  5x2  6  0
 x1  2
 x2  3

2
Ta chọn x1 , x2 là nghiệm của phương trình x  5x  6  0  

n

n

Suy ra un  a.2  b.3

u  a  b   1
 a  6
Mặt khác  0

b  5
u1  2a  3b  3
n

n

Vậy ta có cơng thức tổng qt của dãy  un  là un  6.2  5.3 , n  1
Kết quả 1.5: Để tìm cơng thức tổng qt của dãy

u0  a0 , u1  a1
,trong đó a, b
un  a.un1  bun2  0, n  2
như sau:

 un  : 

2

và a  4b  0 thì ta làm

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2

Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình: x  ax  b  0 (đây là phương trình đặc
trưng của dãy).
k  l  u0
Nếu x1  x2 thì u n  kx1n  lx2n , trong đó k, l là nghiệm của hệ 
.
 x1k  x2l  u1

l   u0
k  l  u1

n1
Nếu x1  x2   thì un   kn  l   , trong đó k, l là nghiệm của hệ 

u0  1, u1  2
Ví dụ 1.8: Tìm cơng thức tổng qt của dãy  un  : 
un1  4un  un1 , n  1
Giải (Ta áp dụng Kết quả 1.5)
x  2  5
Xét phương trình đặc trưng: x 2  4 x  1  0   1
 u n  kx1n  lx2n
 x2  2  5
k  l  1
1
k l 

Do u0  1, u1  2 nên k, l là nghiệm của hệ 
2
 2  5 k  2  5 l  2
n
n
1
Vậy u n   2  5  2  5  , n  0 .

2 





 

 





u0  1, u1  3
Ví dụ 1.9: Tìm cơng thức tổng qt của dãy  un  : 
un1  4un  4un1 , n  1
Giải (Ta áp dụng Kết quả 1.5)
n1
Xét phương trình đặc trưng: x 2  4 x  4  0  x1  x2  2  un   kn  l  2
l  2.1
k  1


Do u0  1, u1  2 nên k, l là nghiệm của hệ 
k  l  3 l  2
n1
Vậy un   n  2 2 , n  1 .

Ví dụ 1.10: Tìm cơng thức tổng quát của dãy
u  1, u1  3
 un  :  0
2
un  5un 1  6un 2  2n  2n  1, n  1
Giải
Ta phân tích:
2

2

2n2  2n  1   kn2  ln t   5 k  n  1  l  n  1  t   6 k  n  2  l  n 1  t 

 


14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


19k  7l  2t  1
k  1



Cho n  0, n  1, n  2 ta có hệ 7k  5l  2t  5  l  8
k  3l  2t  13 t  19


 un  5un1  6un2
2
2
  n2  8n  19   5  n  1  8  n  1  19  6  n  2   8  n  1  19




2
 un   n 2  8 n  19    5 un1   n  1  8  n  1  19 









2



 6 un 2   n  2   8  n  1  19   0




v0  20, v1  25
2
Đặt vn  un  n  8n  19  
vn  5vn1  6vn2  0, n  2





 x1  2
2
Xét phương trình đặc trưng: x  5x  6  0  
 vn   3 n   2 n
 x2  3
Do v0  20, v1  25 nên  ,  là nghiệm của hệ

    20
  15

 vn  15.3n  35.2n

3  2  25   35
Vậy u n  15.3n  35.2 n  n 2  8 n  19, n  0 .
Bài tốn 1.5: Xác định cơng thức tổng quát của dãy
u , u
 un  :  0 1
un  aun 1  bun  2  f  n  , n  2
2

,trong đó f  n  là đa thức bậc k theo n và a  4b  0 , ta làm như sau:
Giải:
Ta phân tích f  n   g  n   ag  n  1  bg  n  2 
Ta đặt vn  u n  g  n 

(1)

v  u0  g  0  , v1  u1  g 1
Ta có được dãy số  vn  :  0
vn  avn 1  bv n  2  0, n  2
Đây chính là dãy số mà ta xét ở Kết quả 1.5
Do vậy ta xác định được công thức tổng quát của dãy  vn  từ đó xác định được

công thức tổng quát của dãy  un  .

15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vấn đề còn lại là ta xác định được đa thức g  n  ở (1)
Vì f  n  là đa thức bậc k nên ta phải chọn g  n  sao cho
g  n   ag  n  1  bg  n  2  cũng là một đa thức bậc k theo n . Khi đó ta chỉ cần
thay k  1 giá trị bất kì của n vào (1) ta sẽ xác định được g  n  .
m
m1
Giả sử g  n  amn  am1n  ...  a1n  a0  am  0 là đa thức bậc m . Khi đó hệ

m

m1

số của x và x trong vế phải của (1) là:
am 1  a  b  và 
  a  2b  mam  1  a  b  am1 
Do đó:
2
i) Nếu phương trình: x  ax  b  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì
1  a  b  0 nên vế phải (1) là một đa thức bậc m .
2
ii) Nếu phương trình: x  ax  b  0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một
nghiệm bằng 1 thì 1  a  b  0 , khi đó vế phải (1) là một đa thức bậc m  1 .
2
iii) Nếu phương trình: x  ax  b  0 có nghiệm kép x  1 thì a  2, b  1 nên vế
phải của (1) là một đa thức bậc m 2 .
Vậy để chọn g  n  ta chú ý như sau:
i)Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt khác 1, hoặc có nghiệm kép
khác 1 thì ta chọn g  n  là đa thức cùng bậc với f  n  .
ii) Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
bằng 1 thì ta chọn g  n   nh  n  , trong đó h  n  là đa thức cùng bậc với f  n  .
2
iii)Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép bằng 1thì ta chọn g  n  n h  n ,
trong đó h  n  là đa thức cùng bậc với f  n  .

Kết quả 1.6: Tìm cơng thức tổng qt của dãy
u , u
 un  :  0 1
un  aun 1  bun  2  f  n  , n  2
2
, trong đó f  n  là một đa thức bậc k theo n và a  4b  0 .

Ta làm như sau:
Xét g  n  là một đa thức bậc k theo n :

g  n  ak nk  ak 1nk  ...  a1k  a0
2

Nếu phương trình đặc đặc trưng: x  ax  b  0 có hai nghiệm phân biệt
khác 1 (hoặc có nghiệm kép khác 1) , ta phân tích:
f  n   g  n   ag  n  1  bg  n  2  rồi ta đặt vn  u n  g  n  .

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2

Nếu phương trình đặc đặc trưng: x  ax  b  0 có hai nghiệm phân
biệttrong đó có một nghiệm bằng 1, ta phân tích:
f  n   ng  n   a  n  1 g  n  1  b  n  2  g  n  2  rồi ta đặt vn  u n  ng  n  .
2

Nếu phương trình đặc đặc trưng: x  ax  b  0 có nghiệm kép bằng 1, ta
2
2
phân tích: f  n   n 2 g  n   a  n  1 g  n  1  b  n  2  g  n  2 
2
rồi ta đặt vn  un  n g  n .

Ví dụ 1.11: Tìm cơng thức tổng quát của dãy

u  1, u1  4
 un  :  0
un  3un1  2un2  2n  1, n  1
Giải

 x1  1
2
Xét phương trình đặc trưng: x  3x  2  0  
 x2  2
Ta phân tích: 2n  1  n  kn  l   3  n  1 k  n  1  l   2  n  2   k  n  2   l 

5k  l  1 k  1

3k  l  3 l  6

Cho n  0, n  1 ta có hệ 
 un  3un 1  2un 2

 n   n  6   3  n  1 
  n  1  6   2  n  2    n  2   6 





 un  n  n  6    5 un 1   n  1  n  1  6 





 2 un  2   n  2   n  2   6   0

v0  1, v1  11
Đặt vn  un  n  n  6  
vn  3vn1  2vn2  0, n  2
 vn   2 n   1n
Do v0  1, v1  11 nên  ,  là nghiệm của hệ
    1
  10

 vn  10.2n  9

2    11   9
Vậy u n  5.2 n 1  n 2  6 n  9, n  0 .
Ví dụ 1.12: Tìm cơng thức tổng quát của dãy

17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


u0  1, u1  3

 un  : 

n
un  4un1  3un 2  5.2 , n  1

Giải

n
n
n1
n2
Ta phân tích: 2  a.2  4a.2  3a.2
Cho n  2 ta được 4  4a  8a  3a  a  4

 2n  4.2n  4. 4 .2n1  3. 4 .2n2
 un  4un 1  3un  2  5  4.2n  4. 4  .2n1  3.  4  .2n  2 
  un  5.4.2n   4  un 1  5.4.2n 1   3  un  2  5.4.2n 2   0

v0  19, v1  43
n
Đặt vn  un  5.4.2  
vn  4vn1  3vn2  0, n  2

 x1  1
 x2  3

2
Xét phương trình đặc trưng: x  4 x  3  0  

 v n   .3 n   .1n

Do v0  19, v1  43 nên  ,  là nghiệm của hệ

    19
  12

 vn  12.3n  7  4.3n1  7


3    43   7
Vậy u n  4.3n 1  5.2 n  2  7,  n  0 .
Bài tốn 1.6: Xác định cơng thức tổng qt của dãy
u , u
a 2  4b  0 
 un  :  0 1

n
un  a.un1  b.un 2  c. , n  2
Giải:
n
n
n1
n2
Ta phân tích:   k  ak  bk
Cho n  2 thay vào (1) ta được k  2  a  b    2  k 

(1)



2

, khi 
  a  b
2
khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng x  ax  b  0 (2)
Khi đó, ta đặt vn  u n  k .c n , ta có dãy
v  u  kc, v1  u1  kc

 vn  p.x1n  q.x2 n , trong đó x1 , x2 là nghiệm của
 vn  :  0 0
vn  avn1  bvn2  0
phương trình đặc trưng (2).
Từ đó ta có u n  p. x1n  q.x2n  kc. n
2

2

Nếu x   là một nghiệm của phương trình đặc trưng (2), tức là   a  b  0 thì
n
n
n1
n 2
ta sẽ phân tích   kn  ak  n 1   bk  n  2 
18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add



a
với   
2  a
2

Cho n  2 ta sẽ được  2  2k 2  ak  k 

Khi đó u n  px1n  qx2 n  kcn. n
a

Ta xét trường hợp x     là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2). Khi
2
2
2
n
2 n
đó ta phân tích   kn   ak  n  1  n1  bk  n  2   n 2
Cho n  2 ta sẽ được  2  4k 2  ak  k 


1
a
 do   
4  a 2
2

Khi đó u n  px1n  qx2 n  kcn 2 . n
Vậy ta đi đến kết quả sau:

Kết quả 1.7: Tìm cơng thức tổng qt của dãy
u , u
 un  :  0 1
n
un  aun1  bun 2  c. , n  2
Để xác định công thức tổng quát của dãy  un  ta làm như sau:
2

Xét phương trình đặc trưng: x  ax  b  0 (1)
Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  thì
2

.
u n  p. x1n  q. x2n  kc. n , trong đó k  2
  a  b
Nếu phương trình (1) có nghiệm đơn x   thì


a
với    .
2  a
2
1


Nếu phương trình (1) có nghiệm kép x   thì un   p  qn  cn2  n .
2


u n  px1n  qx2 n  kcn. n , trong đó k 

Ví dụ 1.13: Tìm cơng thức tổng quát của dãy
u  1, u1  3
 un  :  0
n
un  5un 1  6un 2  5.2 , n  2
Giải:

x  2
2
Xét phương trình đặc trưng: x  5x  6  0  
x  3

Ta có x  2   là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng.
Khi đó u n  p.2 n  q.3n  5k .n.2 n , trong đó k 


2

 2
2  a 2.2  5

 u n  p.2 n  q.3n  10.n.2 n
19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


u0  1
p  q 1
 p  26

Do 
nên ta có hệ 
2 p  3q  20  3 q  25
u1  3
n
n
Vậy u n  26.2  25.3  10.n.2 n ,  n  0
Ví dụ 1.14: Tìm cơng thức tổng qt của dãy
u  1, u1  3
 un  :  0
n

un  4un1  4un 2  3.2 , n  2
Giải:
2
Xét phương trình đặc trưng: x  4x  4  0  x  2 là nghiệm kép
Ta có x  2   là nghiệm kép của phương trình đặc trưng.
3 

Khi đó un   p  qn  n2  .2n
2 

u0  1
p 1
p 1

Do 
nên ta có hệ 
 p  q  0 q  1
u1  3
Vậy u n   3n 2  2 n  2  .2 n 1 , n  0
Bằng cách xây dựng tương tự ta đi đến kết quả sau:
Kết quả 1.8: Tìm cơng thức tổng quát của dãy

u0 , u1, u2
un  aun1  bun2  cun3  0, n  3
Để tìm cơng thức tổng quát của dãy trên ta xét phương trình đặc trưng:

 un  : 

x3  ax2  bx  c  0
Nếu phương trình đặc trưng có 3 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 thì

u n   .x1n   .x2 n   .x3 n . Từ u0 , u1, u2 ta giải hệ và tìm được  ,  ,  .
Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm đơn và một nghiệm kép x1  x2  x3 thì

un     n .x1n   .x3n . Từ u0 , u1, u2 ta giải hệ và tìm được  ,  ,  .
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm bội 3 tức là x1  x2  x3 thì
u n     n   n 2  x1n . Từ u0 , u1, u2 ta giải hệ và tìm được  ,  ,  .
Ví dụ 1.15: Tìm cơng thức tổng qt của dãy
u  0, u2  1, u3  3
 un  :  1
un  7un1  11un2  5u n3 , n  4
Giải:
Xét phương trình đặc trưng:
20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


 x1  x2  1
2
x3  7 x2  11x  5  0   x  1  x  5  0  
 x3  5
n
n
Khi đó un     n .1   .5
13

   16
    5  0

3



Do u1  0, u2  1, u3  3 nên ta có hệ   2   25  1    
4
 g  3  125  3


1

  80

13 3
1
Vậy un    n  .5n , n  1
16 4
80
Ví dụ 1.16: Tìm cơng thức tổng qt của dãy  un  ,  vn 

u0  2, un  2un1  vn1
, n  1

v0  1, vn  un1  2vn1
Giải:
Ta có: un  2un1  vn1  2un1  un2  2vn2

 2un1  un2  2  un1  2un2   4un1  3un2
 un  4un1  3un2  un  4un1  3un2  0
x  1
2
Phương trình đặc trưng: x  4 x  3  0  

x  3
 u n   .1n   .3n     .3n



1



2

  2
u0  2
  3  5
1 3
Do 
nên ta có hệ 

 u n   .3n
2 2
u1  2u0  v0  5
    2
  3

1 3
 1 3 
 vn  un1  2un    .3n1   2   .3n 
2 2
 2 2 
1 3

1 3
    3n 1  2.3n      3n1  2.3n 
2 2
2 2
1 3
   .3n
2 2
1 3
Kết luận: un   .3n , n  1
2 2
1 3
vn    .3n ,  n  1
2 2

21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


 xn  p.xn1  q. yn1 , x1
Kết quả 1.9: Cho dãy  xn  ,  yn  : 
 yn  r. yn1  s.xn1 , y1
Để xác định công thức tổng quát của dãy  xn  ,  yn  ta làm như sau:
Ta biến đổi được: xn   p  s  xn 1   ps  qr  xn  2  0
Từ đây ta xác định được xn , thay vào hệ đã cho ta có được yn .
Để ý rằng: ta có thể tìm cơng thức tổng qt của dãy trên theo cách đưa thêm vào
tham số phụ  ,  như sau





q r
. yn1 
 xn   yn   p   s   xn1 
s  p




x   y  p   s  x  q   r .y 

  n1
n
 n
 s  p n1 


q r

   s  p

Ta chọn  ,  : 
  q   r
s  p


 xn   yn   p   s   xn1   yn1 

 xn   yn   p   s   xn1   yn1 
 xn   yn   p   s n 1  x1   y1 


n 1
 xn   yn   p   s   x1   y1 
Giải hệ này ta tìm được  xn  ,  yn  .

u1  1

Ví dụ 1.17: Tìm cơng thức tổng qt của dãy  un  : 
2un1
un  3u  4 , n  2
n 1

Giải:
1 3un1  4 3
1

 2
Ta có
un
2un1
2
un1
Đặt vn 

v1  1
1
5.2 n 1  3
2



 vn 
 un 
3
n 1
un
2
5.2  3
vn  2  2vn 1

22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


u1  2

Ví dụ 1.18: Tìm cơng thức tổng qt của dãy  un  : 
9un1  24
un  5u  13 , n  2
n1

Giải:
Bài tốn này khơng cịn đơn giản như bài tốn trên vì ở trên tử số cịn có hệ số tự
do, do vậy ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy, ta đưa vào dãy
phụ bằng cách đặt un  xn  t , thay vào công thức truy hồi, ta có:
9 xn  9t  24
xn  t 
5 xn1  5t  13
 xn

9  5t  xn1  5t 2  22t  24


5 xn1  5t  13

Ta chọn t : 5t 2  22t  24  0  t  2  x1  4
xn1
1
3
 xn 
  5
5 xn1  3
xn
xn1

1 11.3n 1  10
4

 xn 
n 1
xn
4
11.3  10
n 1
22.3  24
 u n  xn  2 
, n  1
11.3n 1  10



u1  

Kết quả 1.10: Cho dãy  un  : 
p.un1  q
un  r.u  s , n  2
n 1

Để tìm cơng thức tổng quát của dãy  un  ta làm như sau:
Đặt: un  xn  t , thay vào cơng thức truy hồi của dãy ta có:
p  rt  xn 1  rt 2   p  s  t  q
p.xn 1  pt  q

xn 
t 
r.xn 1  rt  s
r.xn 1  rt  s
2
Ta chọn t : rt   p  s  t  q  0 .

Khi đó

1
1
 a.
b .
xn
xn1

Từ đây ta tìm được cơng thức

1
, suy ra u n .
xn

Ví dụ 1.19: Tìm cơng thức tổng qt của hai dãy

23

LUAN VAN CHAT LUONG download : add