ĐỀ THI OLYMPIC SINH VIÊN TOÁN TOÀN QUỐC MÔN ĐẠI SỐ NĂM 2007 potx

ĐỀ THI OLYMPIC SINH VIÊN TOÁN TOÀN QUỐC
MÔN ĐẠI SỐ NĂM 2007
Bài 1:
Cho
(
)
ij
A a
=
là ma trận vuông cấp
n
có các tính chất sau
2007, {4,20}, , , 1, ,
ii ij
a a i j i j n
= ∈ ≠ =
.
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính
Ax 0
=


Bài 2:
Giả sử
,
A B
là các ma trận vuông cấp
( 2)
n n
≥
thỏa mãn điều kiện

AB aA bB 0
+ + =
với
, , 0
a b R ab
∈ ≠
.Chứng minh rằng
AB BA
=


Bài 3:
Biết rằng ma trận
A
cấp
n
có dạng
(
)
ij
A a
=
trong đó
ij
a i j, i, j 1, ,n
= + =
.
Tính hạng của ma trận A

Bài 4:

Tìm tất cả các đa thức
( )
P x
với hệ số thực sao cho
1
1 ( ) ( ( 1) ( 1))
2
P x P x P x
+ = + + −


Bài 5:
Cho ma trận
1 0 0
0 2 1 0
0 0 2 1
0 0
2
0 2
A
−
 
 
−
 
=
 
−
 
 

Tìm tất cả các ma trận vuông
X
cấp 4 sao cho
AX XA
=


Bài 6:
Giả sử A
d
a
b
c
 
=
 
 
là ma trận vuông cấp 2 khả nghịch.Chứng minh rằng nếu B là ma trận
vuông cấp 2 khả nghịch thì ma trận D cấp 4 được xác định bởi hệ thức
aA bB
D
cA dB
 
=
 
 
cũng khả nghịch.