LỜI GIẢI bài tập GIẢI TÍCH 1 (TRƯỜNG đại học BÁCH KHOA hà nội)

lOMoARcPSD|2935381

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
-------------------------

LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58
( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ )

Hà Nội, 9/2013

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

LỜI NÓI ĐẦU
Sau hơn hai ngày vất vả làm ngồi làm đống bài tập giải tích I của K58 này
thì có một sự buồn nhẹ là người mình đã mệt lừ :-(. Trong quá trình đánh
máy khơng tránh khỏi sai sót và có thể lời giải cịn chẳng đúng nữa =))
mong được các bạn góp ý để mình sửa cho đúng :D ( nói thể thơi chứ sai
thì mặc xác chứ lấy đâu time mà sửa với chả sủa nữa :v). Trong này còn
một số bài mình chưa làm được :-( vì học lâu rồi nên cũng chẳng nhớ nữa
:D. Hy vọng nó sẽ giúp cho các bạn K58 và những ai học cải thiện, học lại
mơn này có được điểm "F " =))
Chúc các bạn học tốt !

2

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

Chương 1
HÀM MỘT BIẾN SỐ
1.1-1.5. Dãy số, hàm số, giới hạn và liên tục
1. Tìm tập xác định của hàm số
a. y = 4 log (tan x)



cos x = 0



tan x ≥ 1



 log (tan x) ≥ 0

2x

b. y = arcsin 1+x



x≥
 cos x = 0
⇔
⇔
x=
 tan x ≥ 1

π
4

+ kπ

π
2

+ kπ







 1+x=0

 x = −1

⇔
⇔
 −1 ≤ 2x ≤ 1

 −1 − x ≤ 2x ≤ 1 + x


1+x


⇔ − 31 ≤ x ≤ 1
c. y =

(k ∈ Z)

x = −1

 3x ≥ −1
x≤1

√

x
sin πx





x≥0

x≥0
x≥0
x≥0
⇔
⇔
⇔
x∈
x=k
 πx = kπ
 sin πx = 0
/Z

c. y = arccos (2 sin x)

−1 ≤ 2 sin x ≤ 1 ⇔ − 21 ≤ sin x ≤ 12

− π6 + 2kπ ≤ x ≤ π6 + 2kπ

(k ∈ Z)
⇔
7π
5π
6 + 2kπ ≤ x ≤ 6 + 2kπ

2. Tìm miền giá trị của hàm số
a. y = log (1 − 2 cos x)
ĐK: cos x <

1
2

⇔

π
3

+ 2kπ < x <

5π
3

+ 2kπ

Mặt khác ta có 1 − 2 cos x ∈ (0, 3] ⇒ y ∈ (−∞, log 3]
x
b. y = arcsin log 10

3

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

ĐK


x>0
π π
⇒y∈ − ,
 log x ≤ 1
2 2
10

3. Tìm f (x) biết
a. f x +

1
x

Đặt t = x +

= x2 +
1
x

1
x2

(|t| ≥ 2)

⇒ t 2 = x2 +
b. f

x
1+x

Đặt t =

1
1
+ 2 ⇒ t2 − 2 = x2 + 2 ⇒ f (x) = x2 − 2
2
x
x

= x2

x
1+x

(t = 1)
⇒x=

x2
t2
t
⇒
f
(x)
=
⇒ x2 =
1−t
(1 − t)2
(1 − x)2

4. Tìm hàm ngược của hàm số
a. y = 2x + 3
D=R
x=
b.

y−3
2

⇒ hàm ngược của hàm y = 2x + 3 là y =

x−3
2 .

1−x
1+x

D = R \ {−1}
y=

1−y
1−x
⇔ y + yx = 1 − x ⇔ x =
1+x
1+y

Suy ra hàm ngược của hàm

1−x
1+x

là y =

1−x
1+x

c. y = 12 (ex + e−x ) , (x > 0)
D = [0, +∞)

4

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

Đặt t = ex (t > 0)
y=

1
2

t+

1
t

∆′ = y 2 − 1

t=y+
⇒
t=y−

⇒ ex = y +

⇔ t2 − 2yt + 1 = 0
y2 − 1
y 2 − 1,

(loại)

y2 − 1

Suy ra hàm ngược
y = ln x +

x2 − 1

5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a. f (x) = ax + a−x , (a > 0)
f (x) = a−x + ax = −f (x)

Suy ra hàm f (x) là hàm chẵn
√
b. f (x) = ln x + 1 + x2
f (−x) = ln −x +

√

2

2

+1+x
√
1 + x2 = ln −x
= − ln x +
x+ 1+x2

√

1 + x2

= −f (x)
Suy ra hàm f (x) là hàm lẻ.
c. f (x) = sin x + cos x
f (−x) = sin(−x) + cos(−x) = − sin x + cos x = f (x) và −f (x) suy ra f (x)

không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

6. Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f (x) nào xác định trong một khoảng
đối xứng (−a, a), (a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng
tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ.
Chứng minh. Giả sử
f (x) = g(x) + h(x)

5

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

(1)


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

trong đó g(x) là hàm chẵn và h(x) là hàm lẻ. Khi đó
f (−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x)

(2)

(1) + (2) ta được
f (x) + f (−x) = 2g(x) ⇒ g(x) =

f (x)+f (−x)
2

f (x) − f (−x) = 2h(x) ⇒ h(x) =

f (x)−f (−x)
2

(1) − (2) ta được

7. Xét tính tuần hồn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có)
a. f (x) = A cos λx + B sin λx
Gọi T là chu kỳ. Với mọi x ta có
f (x + T ) = f (x)
⇔ A cos λ (x + T ) + B sin λ (x + T ) = A cos λx + B sin λx
⇔ A cos λx cos λT − A sin λx sin λT + B sin λx cos λT + B sin λT cos λx
= A cos λx + B sin λx
nên cos λT = 1 ⇒ λT = 2kπ ⇒ T =
và

2π
λ

2kπ
λ

là chu kỳ nhỏ nhất.

b. f (x) = sin(x2 )
Ta có

(k + 1) π −

√

kπ = √

π
√

(k+1)π+ kπ

f (x) không tuần hoàn.

→ 0 khi k → +∞ Suy ra hàm

c. f (x) = sin x + 12 sin 2x + 13 sin 3x
Ta có
sin x tuần hồn chu kỳ 2π
sin 2x tuần hoàn chu kỳ π
sin 3x tuần hoàn chu kỳ

2π
3

Suy ra f (x) tuần hoàn chu kỳ là BCNN của 2π, π, 2π
3 là 2π.
6

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

d. f (x) = cos2 x
Ta có f (x) =

1+cos 2x
2

⇒ f (x) tuần hồn chu kỳ 2π

1.6-1.7 Giới hạn hàm số
8. Tìm giới hạn
100

−2x+1
a. lim xx50 −2x+1
x→1

100

L

99

−2
−2x+1 =
lim 100x
lim xx50 −2x+1
50x49 −2 =

98
49
48 = 24
x→1

n
n
n−1
(x−a)
lim (x −a )−na
,n ∈ N
2
(x−a)
x→a
n
n
n−1
(x−a)
lim (x −a )−na
2
(x−a)
x→a
n−2
n−1
L
L
n(n−1)an−2
−nan−1 =
= lim nx 2(x−a)
=
lim n(n−1)x
2
2
x→a
x→a

x→1

b.

9. Tìm giới hạn
√ √
x+ x+ x
√
a. lim
x+1
x→+∞
√ √
√
x+ x+ x
√
lim
= lim √xx = 1
x+1
x→+∞
x→+∞
√
3
b. lim
x3 + x2 − 1 − x
x→+∞
√
lim 3 x3 + x2 − 1 − x
x→+∞

= lim √
3
x→+∞

x3 +x2 −1−x3
√
2
(x3 +x2 −1) +x 3 x3 +x2 −1+x2

1
x2
2 = 3
3x
x→+∞
√
√
m
n
1+βx
lim 1+αx−
x
x→0
√
√
m
1+αx− n 1+βx
lim
x
x→0
√

√
m
n
1+βx−1
1+αx−1
= lim
−
lim
x
x
x→0
x→0

= lim

c.

β
α
m√− n
√
m
n
lim 1+αx x 1+βx−1
x→0
√
√
m
1+αx n 1+βx−1
lim

x
x→0
√
√
√
n
1+βx[ m 1+αx−1]+ n 1+βx−1
= lim
x
x→0 √
√
√
m
n
n
1+βx[ 1+αx−1]
1+βx−1
+
lim
= lim
x
x
x→0
x→0

=

d.

=

α
m

+

β
n
7

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

10. Tìm giới hạn
a. lim

x→∞

sin x−sin a
x−a

L
sin x−sin a =
lim cos x

x−a
x→∞
x→∞

lim

= cos a
√
√
sin x + 1 − sin x

b. lim

x→+∞

Ta có

sin

√

x + 1 − sin

= 2 sin

√

√

x+1− x

2

√

x

cos

√

√
x+1+ x
2

1
√ 1 √ <
√
<
≤ 2 sin 2 √x+1+
x+1+ x
x)
(
√
√
Suy ra lim sin x + 1 − sin x = 0

1
√
2 x

→0

x→+∞

c. lim

√

x→0

√
cos x− 3 cos x
sin2 x
x→0
√
√
3
cos x−1
x−1
= lim sin2 x − lim cos
2
sin
x
x→0
x→0
cos x−1
√
− lim sin2 x √cos
= lim sin2 x(cos√x−1
2 x+ cos x+1

cos
x+1)
(
)
x→0
x→0
(−x2 /2)
(−x2 /2)
1
= lim x2 .2 − lim x2 .3 = − 12
x→0
x→0
x cos 2x cos 3x
lim 1−cos 1−cos
x
x→0

lim

d.

√
cos x− 3 cos x
sin2 x

√

x cos 2x cos 3x
lim 1−cos 1−cos
x

x→0

x cos 2x−cos x cos 2x cos 3x
= lim 1−cos x+cos x−cos x cos 2x+cos
1−cos x
x→0

2x)
2x(1−cos 3x)
1−cos x
lim cos x(1−cos
+ lim cos x cos1−cos
= lim 1−cos
x + x→0
1−cos x
x
x→0
x→0
2
2
4x
2
9x
2
( /)
( /)
= 1 − lim x2 2 − lim x2 2 = 14
/
/

x→0
x→0
11. Tìm giới hạn
x−1
x+1

x2 −1
x2 +1

a. lim
x→∞


 lim

x→∞


 lim

x→∞

x2 −1
x2 +1
x−1
x+1

=1
=1

⇒ lim

x→∞

x2 −1
x2 +1

x−1
x+1

=1

8

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

b. lim+

cos

x→0

lim

x→0+

lim

hiep. giapvan@ gmail. com

√

cos

x

√

x = lim+ (cos

ln(1+cos
x

√

x→0
x−1)

lim

√
cos

1
x

x) = e

√

x−1
x

=e
=e
=e
c. lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x))
x→0+

x→0+

ln(cos
x
+
x→0

lim

lim

x→0+

−x/2
x

√

x)

1

= e− 2

x→∞

lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x))

x→∞

x
x
sin ln(x+1)−ln
= 2 lim cos ln(x+1)+ln
2
2
x→∞
ln(1+ x1 )
= 2 lim cos ln x(x+1)
sin
2
2
x→∞

Do cos

ln x(x+1)

2

bị chặn và lim sin
x→∞

ln(1+ x1 )
2

= 0 nên

lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) = 0
√
√
d. lim n2 ( n x − n+1 x) , x > 0
x→∞
√
√
2
lim n2 ( n x − n+1 x) = lim n2 x1/(n+1) x1/(n +n) − 1
x→∞
x→∞
1/(n2 +n)
x
−1
2
= lim n2n+n x1/n+1 1 (n2 +n) = ln x
/
x→∞
Do
2

lim n2n+n = 1
x→∞

x→∞

1

lim x n+1 = 1
x→∞
1
n2 +n)
x /(
−1
lim
= ln x
1/(n2 +n)
x→∞
12. Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương khơng?
√
α(x) = x + x và β(x) = esin x − cos x
Ta có

√
√
4
α(x)
=
x
+
x

∼
x khi x → 0+

 esin x − 1 ∼ sin x ∼ x
 1 − cos x ∼

x2
2

⇒ β(x) = esin x − 1 + 1 − cos x ∼ esin x − 1 ∼ sin x ∼ x

Suy ra α(x) và β(x) không tương đương.
1.8 Hàm số liên tục
9

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

khi x → 0+


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

13. Tìm a 
để hàm số liên tục tại x = 0
x
 1−cos

nếu x = 0
x2
a. f (x) =
a
nếu x = 0

Hàm f (x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi lim f (x) = a hay
x
lim 1−cos
2
x
x→0


=

1
2

x→0

=a

 ax2 + bx + 1
với x ≥ 0
b. g(x) =
 a cos x + b sin x với x < 0
Ta có

g(0) = a.02 + b.0 + 1 = 1

lim g(x) = lim− (a cos x + b sin x) = a

x→0−

x→0

lim+ g(x) = lim− ax2 + bx + 1 = 1

x→0

x→0

Hàm g(x) liên tục tại x = 0 khi

lim g(x) = lim− g(x) = g(0) ⇒ a = 1

x→0+

x→0

14. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loain gì của hàm số
a. y =

8
1−2cot gx

• x → 0− ⇒ cot x → −∞ ⇒ 2cot x → 0 ⇒ lim− 1−28cot x = 8
x→0

• x → 0+ ⇒ cot x → +∞ ⇒ 2cot x → +∞ ⇒ lim− 1−28cot x = 0
x→0

Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại I
b. y =

sin x1
1

e x +1

Chọn xn =

1
nπ

→ 0−

Do đó sin xn = sin(nπ) = 0 ⇒ lim−
x→0

Chọn xn =

−1
2nπ+ π2

sin x1
1

e x +1

=0

→ 0−

Suy ra sin xn = sin xn = sin −2nπ −
Suy ra không tồn tại lim−
x→0

sin x1

π
2

= −1 ⇒ lim−
x→0

1

e x +1

Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại II
c. y =

eax −ebx
, (a
x

= b)
10

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

sin x1
1

e x +1

= −1


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

lim− y = lim+ y = lim y = lim e
x→0
x→0
bx
lim e x−1 − lim e x−1
x→0
x→0

x→0

x→0

=

ax

ax

−ebx
x

=a−b

Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại I
1.9. Đạo hàm và vi phân
15. Tìmđạo hàm của hàm số

1−x
khi



f (x) =
(1 − x)(2 − x) khi



 x−2
khi



−1

khi


f ′ (x) =
2x + 3
khi



1
khi

x<1
x<1
x>2
x<1
x<1
x>2

16. Với 
điều kiện nào thì hàm số
 xn sin 1 khi x = 0
x
f (x) =
0
khi x = 0

(n ∈ Z)

a. Liên tục tại x = 0

Để hàm liên tục tại x = 0 thì lim xn sin x1 = 0
x→0

Vì sin

1
x

n

≤ 1 ⇒ lim x sin
x→0

1
x

b. Khả vi tại x = 0
∆f
∆x→0 ∆x

lim

f (0+∆x)−f (0)
∆x
∆x→0

= lim

= 0 ⇒ lim xn = 0 ⇒ n > 0

x→0

1
= lim (∆x)n−1 sin ∆x
=0
∆x→0

⇒n−1>0⇒n>1

c. Có đạo hàm liên tục tại x = 0
Với mọi x = 0 ta có
f ′ (x) = nxn−1 sin x1 −

xn
x2

cos x1 = xn−2 n sin x1 − cos x1

f (x) có đạo hàm tại x = 0 khi

lim f ′ (x) = 0 ⇔ lim xn−2 n sin x1 − cos x1 = 0 ⇒ n > 2

x→0

x→0

17. Chứng minh rằng hàm số f (x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một

hàm số liên tục và ϕ(a) = 0, không khả vi tại điểm x = a.
11

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

Chứng minh.
 Ta có
 (x − a) ϕ(x) x ≥ a
f (x) =
 (a − x) ϕ(x) x < a

 ϕ(x) + (x − a) ϕ′ (x) x ≥ a
′
⇒ f (x) =
 −ϕ(x) + (a − x) ϕ′ (x) x < a
⇒ f+ ′ (a) = ϕ(a), f− ′ (a) = −ϕ(a)

Do ϕ(a) = 0 ⇒ f+ ′ (a) = f− ′ (a) Suy ra hàm f (x) khơng có đạo hàm tại

x = a nên khơng khả vi tại x = a.

18. Tìm vi phân của hàm số
a. y = a1 arctan xa , (a = 0)
1
a

dy =

′

arctan xa dx =

dx
x2 +a2

b. y = arcsin xa , (a = 0)
′

dy = arcsin xa dx =
c. y =

1
2a

1
2a

dy =

x−a
x+a

ln

, (a = 0)

x−a
x+a

ln

d. y = ln x +

√ dx
a2 −x2

′

dx =

√

x2 + a
√
dy = ln x + x2 + a2

dx
x2 −a2
′

dx =

√ dx
x2 +a2

19. Tìm
a.

b.

c.

d
d(x3 )

x3 − 2x6 − x9

d
d(x3 )

x3 − 2x6 − x9 = 1 − 4x3 − 3x6

d
d(x2 )

sin x
x

d
d(x2 )

sin x
x

=

x cos x−sin x
2x3

d(sin x)
d(cos x)
d(sin x)
d(cos x)

= − cot x
12

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

20. Tính gần đúng giá trị của biểu thức
a. lg 11
Đặt f (x) = log x

x0 = 10, ∆x = 1

f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )∆x ≈ log 10 +
b.

7

1
.1 ≈ 1, 042
10 ln 10

2−0,02
2+0,02

Đặt f (x) =

2−x
2+x

7

x0 = 0, ∆x = 0, 02

⇒ ln f (x) = 71 [ln (2 − x) − ln (2 + x)]
⇒

f ′ (x)
f (x)

1
2−x

= − 17

1

⇒ f ′ (x) = − 47 4−x
2
Suy ra

+

1
2+x

7

2−x
2+x

1
= − 74 4−x
2

f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )∆x ≈

7

2−0 4 1
−
2 + 0 7 4 − 02

2−0
≈ 0, 9886
2+0

21. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
a. y =

x2
1−x ,

tính y (8)

Ta có
y

(n)

=

Với k ≥ 3 thì x2
y (8) =
=

8

Cnk x2

k=0
1 (8)
x2 1−x

(k)
(k)

+ 8.2x

n

(n)

1
x
1−x
2

Cnk

=
k=0

x

2 (k)

1
1−x

= 0 nên
1 (8−k)
1−x
1 (7)
1−x

+ 56.

1 (6)
1−x

2x.7!
6!
x2 .8!
9 +
8 +
7
(1−x)
(1−x)
(1−x)
2
2
8!
= (1−x)
= x .8!+2x.7!(1−x)+6!(1−x)
9
9
(1−x)
b. y = √1+x
, tính y (100)
1−x

=

13

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

(n−k)


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

=
=

(100)

√1+x
1−x

y (100) =
=

hiep. giapvan@ gmail. com

√1
1−x

= (1 + x)

(100)

+ 100

√1
1−x

(99)

(1+x)199!!
100.197!!
+ 299 (1−x)
100 √
99 √
2100 (1−x)
1−x
1−x
(199(1+x)+100.2(1−x)).199.197!!
100 √
2100 (1−x)
1−x
(399−x)197!!
100 √
2100 (1−x)
1−x
2 2x
(10)

c. y = x e , tính y

(10)

y (10) = x2 e2x

= x2 e2x

(10)

+ 20x e2x

(9)

+ 90 e2x

(8)

= 210 x2 e2x + 20x.29 e2x + 90.28 e2x
29 e2x 2x2 + 20x + 45
d. y = x2 sin x, tính y (50)
y (50) = x2 sin x
= x2 sin x +

(50)

50π
2

= x2 (sin x)(50) + 100x(sin x)(49) + 2450(sin x)(48)

+ 100x sin

49π
2

+ 2450 sin

48π
2

= −x2 sin x + 100x cos x + 2450 sin x

22. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
a. y =

x
x2 −1

Ta có
y=

x
x2 −1

⇒ y (n) =
=

1
2

=

1
2

b. y =

1
x+1

1
2

1 (n)
x+1

−

1
x−1
(n)

+

+

1
−x+1

n!
(−1)(n) (x+1)
n+1 −

1
x2 −3x+2

⇒ y (n) =
x
c. y = √3 1+x
x
√
3
1+x

1 (n)
x−1
(n)

n!
n+1
(−x+1)

1
1
−x+1 − −x+2
(n)
(n)
1
1
−
−x+1
−x+2

1
x2 −3x+2

y=

y=

1
x+1

1
2

=

=

= n!

1
n+1
(−x+1)

−

1
n+1
(−x+2)

, x = 1, 2

1

= (1 + x)− 3 x
1

y (n)= (1 + x)− 3 x

(n)

1

= (1 + x)− 3

(n)

1

x + n (1 + x)− 3

ta có

14

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

(n−1)


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

(n)

1

(1 + x)− 3

− 43 . . . − 3n−2
3

= − 31

= (−1)n 31n (1.4 . . . (3n − 2))
(n−1)

1

(1 + x)− 3

= − 13

1
(1+x)

n−1

(−1)
3n

(1+x)

1

1
(1+x)

n+ 1
3

n− 2

(1+x) 3
3n+2x

(1.4 . . . (3n − 5))

1
n+ 3

n+ 1
3

− 34 . . . − 3n−2
3

1
= (−1)n−1 3n−1
(1.4 . . . (3n − 5))

⇒ y (n) =

1

(1+x)

n+ 1
3

d. y = eax sin(bx + c)

, n ≥ 2, x = −1

y ′ = aeax sin (bx + c) + beax cos (bx + c)
Đặt sin ϕ = √a2b+b2 , cos ϕ = √a2a+b2
√
⇒ y ′ = a2 + b2 eax (sin (bx + c) cos ϕ + cos (bx + c) sin ϕ)
1

= a2 + b2 2 eax sin (bx + c + ϕ)
Sử dụng quy nạp chứng minh y (n) = a2 + b2

n
2

eax sin (bx + c + nϕ)

Thật vậy với n = 1,đúng. Giả sử đúng với n = k tức là
y (k) = a2 + b2

k
2

eax sin (bx + c + kϕ)

(∗)

Ta sẽ chứng minh
y (k+1) = a2 + b2

k+1
2

eax sin (bx + c + (k + 1) ϕ)

Đạo hàm 2 vế của (∗) ta được
y (k+1) = y (k)

′

= a2 + b 2

k
2

eax (a sin X + b cos X)

trong đó X := bx + c + kϕ.
Mặt khác

a sin X+b cos X =

a2 + b2 sin (X + ϕ) = a2 + b2

1
2

sin (bx + c + (k + 1) ϕ)

Suy ra
y (k+1) = a2 + b2

k+1
2

eax sin (bx + c + (k + 1) ϕ)

15

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

1.10. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
23. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dương

khơng thể có q 2 nghiệm thực nếu n chẵn, khơng có q 3 nghiệm thực
nếu n lẻ.
Chứng minh. Gọi Pn (x) := xn + px + q.
⇒ Pn′ (x) = nxn−1 + p. Đa thức Pn (x) có n nghiệm thực hoặc phức phân

biệt hoặc trùng nhau và đa thức Pn′ (x) có n − 1 nghiệm thực hoặc phức

phân biệt hoặc trùng nhau.Nghiệm của đa thức đạo hàm là nghiệm của
phương trình xn−1 = − np . Phương trình này chỉ có 1 nghiệm thực khi n

chẵn và khơng có q 2 nghiệm thực khi n lẻ. Do đó, nếu n chẵn và Pn (x)
có 3 nghiệm thực phân biệt x1 , x2 , x3 thì áp dụng định lý Rolle vào [x1 , x2 ]

và [x2 , x3 ] sẽ suy ra được đa thức Pn′ (x) có ít nhất 2 nghiệm thực (vơ lý
với lập luận trên). Tương tự với trường hợp n lẻ.

24. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng

f (b)−f (a)
g(b)−g(a)

=

f ′ (c)
g ′ (c)

không áp

dụng được đối với các hàm số
f (x) = x2

g(x) = x3 ,

−1 ≤ x ≤ 1

Giả thiết cơng thức Cauchy cần có g ′ (x) = 0. Ở đây g ′ (x) = 0 tại x = 0.
Vì vậy khơng thể áp dụng cơng thức Cauchy với hàm các hàm số này được.
25.Chứng minh bất đẳng thức
a. |sin x − sin y| ≤ |x − y|

Xét hàm số y = sin t trên [x, y], theo công thức Lagrange ta có

tứ là

f (y) − f (x)
= f ′ (c) c ∈ (x, y)
y−x

sin y − sin x = (y − x) cos c ⇒ |sin y − sin x| = |y − x| |cos c|
16

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

vì |cos c| ≤ 1 nên |sin x − sin y| ≤ |x − y| (đpcm)

b.

< ln ab <

a−b
a

a−b
b ,

0
Xét hàm số f (x) = ln x, x ∈ [b, a], b > 0. Theo công thức Lagrange ta có
f (a) − f (b) = (a − b)f ′ (c),

b
tức là
1
a
1
⇒ ln = (a − b)
c
b
c

ln a − ln b = (a − b)
vì b

a−b a−b a−b
<
<
a
c
b
Suy ra
a−b
a a−b
< ln <
a
b
b
26. Tìm giới hạn
a. lim

x+

x→+∞

x→+∞

= lim

x→+∞

= lim

x→+∞

lim

x→1

c. lim

1
x+

1+

x
x−1

x→1

√

x−

√

x

√
√
x+ x+ x− x
√ √
x+ x

√ √ √
x+ x+ x+ x
√
1+ x1
= 21
√

lim

b. lim

x+

1
ln x

−

x
x−1
1

1
+1
x2

−

L

L

ln x−x+1 =
ln x+1−1 =
= lim x(x−1)
lim ln
lim
ln x
x+1− 1

1
ln x

x→1

x→1

x

x→1

1
x
1
1
x + x2

e x −cos x1

x→∞ 1−

√

1− x12

1

ex = 1 +
1−

1
x2

1
x

+

1
2x2

=1−

1
x2

+ o1

1
2x2

+ o2

1
x2

1
x2
1+ x1 + 2x12 +o1 ( x12 )−1+ 12 . x12 −o3 ( x12 )

cos x1 = 1 − 12 . x12 + o3
1

⇒

e x −cos x1

1−

√

⇒ lim

1− x12

=

1

e x −cos x1

x→∞ 1−

√

1− x12

1−1− 2x12 +o2 ( x12 )

= lim

x→∞

1
x
1
2x2

=∞
17

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

=

1
2


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

d. lim e

x

x→0

lim e

hiep. giapvan@ gmail. com

sin x−x(1+x)
x3

x

x→0
L

sin x−x(1+x)
x3

= lim e

x

sin x+ex cos x−2x−1
3x2

L

x

sin x+ex cos x+ex cos x−ex sin x−2
6x

x→0

= lim e
x→0

L

= lim 2e
x→0

x

cos x−2ex sin x
6

1
3

=

e. lim tan πx
2 ln(2 − x)

x→1

L

ln(2−x)
= lim
lim tan πx
2 ln(2 − x) = lim cot πx
x→1

x→1

x→1

2

1
x sin x

h. lim 1 − atan2 x

−1
2−x
−1
π
2 sin2 ( πx )
2

x→0

2

lim 1 − atan x

x→0

=e

2x
lim −atan
x
sin
x
x→0

1
x sin x

2

= lim 1 − atan x

2sin2 ( πx
2 )
π(2−x)
x→1

= lim

=

2
π

−1
−atan2 x
x sin x . atan2 x

x→0

= e−a

27. Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x → 0
f (x) =
Ta có

1
sin3 x

−

1
x3

−

a
x2

−

b
x

x3 − sin3 x 1 + ax + bx2
f (x) =
x3 sin3 x

Tại lân cận x = 0
3

sin x = x − x3! + o x3

3
 x3 x − x3 + o x3
= x6 + o x6
3!
⇒
 sin3 x 1 + ax + bx2 = x3 + ax4 + b −

1
2

x5 + cx6 + o x6

trong đó c là hệ số của x6 .

ax4 + b − 21 x5 + cx6 + o x6
⇒ f (x) =
x6 + o (x6 )

Để tồn tại giới hạn hữu hạn thì a = 0, b = 21 .
28. Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f ′′ (x) trên
(a, b). Chứng minh rằng với mọi x ∈ (a, b) có thể tìm được ít nhất một

điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (x) − f (a) −

f (b)−f (a)
b−a (x

− a) =

(x−a)(x−b) ′′
f (c)
2

18

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

Chứng minh. Đặt
ϕ(x) := f (x) − f (a) −

Suy ra
ϕ′ (x) = f ′ (x) −

f (b) − f (a)
(x − a)(x − b)
(x − a) −
λ
b−a
2
f (b) − f (a)
a+b
−λ x−
b−a
2

Lấy x0 ∈ (a, b), xác định λ từ điều kiện:
ϕ(x0 ) := f (x0 ) − f (a) −

(x0 − a)(x0 − b)
f (b) − f (a)
(x0 − a) −
λ=0
b−a
2

Khi đó, có ϕ(x0 ) = ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Theo giả thiết và định nghĩa ϕ(x) thì
ϕ(x) liên tục khả vi trên [a, b]. Khi đó theo định lý Rolle với x ∈ [a, x0 ] do
đó tồn tại c1 ∈ (a, x0 ) sao cho ϕ′ (x) = 0. Tương tự tồn tại c2 ∈ (x0 , b) sao

cho ϕ′ (x) = 0.

Theo giả thiết f (x) có đạo hàm cấp 2 nên ϕ(x) cũng có đạo hàm cấp
2 và ϕ′ (x1 ) ϕ′ (c2 ) = 0 nên theo định lý Rolle tồn tại c ∈ (c1 , c2 ) sao cho
ϕ′′ (x) = 0, tức là ϕ′′ (x) = f ′′ (x) − λ = 0 hay
f (x) − f (a) −

f (b) − f (a)
(x − a)(x − b) ′′
(x − a) =
f (c)
b−a
2

29. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
a. y = x3 + x
y ′ > 0∀x nên hàm tăng với mọi x.
b. y = arctan x − x

y ′ ≤ 0∀x nên hàm giảm với mọi x.

30. Chứng minh bất đẳng thức

a. 2x arctan x ≥ ln 1 + x2 với mọi x ∈ R
19

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

b. x −

x2
2

hiep. giapvan@ gmail. com

≤ ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0

31. Tìm cực trị của hàm số
a. y =

3x2 +4x+4
x2 +x+1
x+1
x2 +x+1

y =3+

⇒ y′ =

−x(x+2)
2
(x2 +x+1)

Dấu của y ′ là dấu của −x(x + 2).
y ′ = 0 khi x = 0, x = −2.
ymin = y(−2) =

8
3

ymax = y(0) = 4.

b. y = x − ln(1 + x)

Miền xác định: x > −1.

y′ =

x
1+x

y ′ = 0 khi x = 0 và y ′′ (0) > 0 do đó
ymin = y(0) = 0.
32. Khảo sát hàm số
a. y =

2−x2
1+x4

b. y =

4

√
3

x3 − x2 − x + 1

d. y = √x−2
x2 +1

 x = 2t − t2
f.
 y = 3t − t3

+8
c. y = xx3 +1

 x=1−t
e.
 y = 1 − t2

g. r = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b)

h. r =

√ a
, (a
cos 3ϕ

> 0)

Chương 2
TÍCH PHÂN
2.1. Tích phân bất định
1. Tính các tích phân

√
x xdx
a.
1 − x12
√
1 − x12
x xdx =
√
1 − sin 2xdx
b.

3

x4 − x

−5
4

7

dx = 71 x 4 + 4x

−1
4

20

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

+C

lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

c.

√
1 − sin 2xdx =
(sin x − cos x)2 dx =

 sin x − cos x, sin x ≥ cos x
=
 − sin x + cos x, sin x < cos x

e.

√

x2 + 1 = t ⇒ x2 = t2 − 1 ⇒ xdx = tdt

1
1
1
1
t−1
√dx
= x2 √xdx
= (t2tdt

−1)t = 2
t−1 − t+1 dt = 2 ln t+1
x x2 +1
x2 +1
√
2
1
+C
= 2 ln √xx2 +1−1
+1+1
xdx
3/2
(x2 −1)
−1
d(x2 −1)
xdx
1
1
2
2
. (−2) + C = √x−1
+C
3 = 2
3 = 2. x − 1
2 −1
(x2 −1) 2
(x2 −1) 2
5
3(x+5)

=

−

dx = 31 (5 ln |x + 5| − 2 ln |x + 2|) + C

2
3(x+2)

dx
2
2
(x+a) (x+b)

Nếu a = b.
dx
−1
+C
4 =
(x + a)
3(x + a)3

dx
=
(x + a)2 (x + b)2
Nếu a = b.
1
2
(x+a) (x+b)

g.

1
1
2
(b−a) x+a

1 2
x+b

2

=

=

1
2
(b−a)

1
2
(x+a)

1
1
− 2 x+a
x+b +

=

1
2
(b−a)

1
2
(x+a)

−

⇒

dx
2
2
(x+a) (x+b)

2
b−a

=

−

1
x+a

1
2

(b−a)

−

−1
x+a

sin x sin(x + y)dx
sin x sin(x + y)dx =

1
2
(x+b)
1
x+b

−

+

2
b−a

1
2
(x+b)

ln

x+a

x+b

−

1
x+b

+C

(cos y − cos (2x + y)) dx

= 21 x cos y − 14 sin (2x + y) + C
x
h. 1+sin
dx
sin2 x
1+sin x
dx
sin2 x

=

1
sin2 x

2. Tính các tích phân
a.

+C

xdx
(x+2)(x+5)

xdx
(x+2)(x+5)

f.

|sin x − cos x| dx

√dx
x x2 +1

Đặt

d.

hiep. giapvan@ gmail. com

+

1
sin x

dx = − cot x − ln |sin x| + C

arctan xdx
21

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

Đặt

 u = arctan x
b.


 du = dx 2
1+x
⇒
 v=x

 dv = dx
⇒

arctan xdx = x arctan x −
√ x+2
dx
x2 −5x+6
√ x+2
dx
x2 −5x+6

=

√

=

√

c.

1
2

=

x2 − 5x + 6 +

xdx
1+x2

√ 2x−5 dx + 1
2
x2 −5x+6
dx
9
+
2
2
(x− 25 ) − 14

x2 − 5x + 6 + 29 ln x − 52 +

√

√ xdx
x2 +x+2

√ xdx
x2 +x+2

=

√

=

1
2

√ 2x+1 dx − 1
2
x2 +x+2
dx
− 12
2
(x+ 12 ) + 74

x2 + x + 2

= x arctan x − 12 ln 1 + x2 + C

√ 9dx
x2 −5x+6

C

x2 − 5x + 6 + C

√ dx
x2 +x+2

+C

√
x2 + x + 2 − 12 ln x + 12 + x2 + x + 2 + C
√
d. x −x2 + 3x − 2dx
√
√
= − 12 (−2x + 3) −x2 + 3x − 2dx + 23
−x2 + 3x − 2dx
√
1
3 2
= − 31 −x2 + 3x − 2 + 23
4 − x − 2 dx
√
x− 3 √
x− 3
= − 31 −x2 + 3x − 2 + 23 2 2 −x2 + 3x − 2 + 18 arcsin 2 2
=

e.

√

dx
2
(x2 +2x+5)
dx
2
(x2 +2x+5)

dx

=

2

((x+1)2 +4)
Đặt t = x + 4. Tích phân trở thành
dx
2
(x2 +2x+5)
dt
2
(t2 +4)

=

dx

2
((x+1)2 +4)

=
1
4

dt
(t2 +4)

= 81 arctan 2t −

1
8

= 81 arctan 2t +

1 t
8 t2 +4

=

1
16

f.

arctan 2t +

−

1
4

t2 dt
2
(t2 +4)

t (t22tdt
2 + C
+4)
−

1 t
8 t2 +4

1
8

dt
t2 +4

+C

+C

sinn−1 x sin(n + 1)xdx

Đặt
22

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

+C


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com

sinn−1 x sin(n + 1)xdx =

I=

sinn−1 x sin nx cos xdx +

=

Ta có
sinn−1 x sin nx cos xdx =
= n1 sinn x sin nx −

sinn−1 x (sin nx cos x + cos nx sin x) dx
sinn x cos nxdx

sin nxd

n

1
n sin x

cos nxsinn xdx

⇒ I = n1 sinn x sin nx −

cos nxsinn xdx +

cos nxsinn xdx

= n1 sinn x sin nx + C
g. e−2x cos 3xdx
Ta có

e−2x cos 3xdx = e−2x (A cos 3x + B sin 3x) + C
lấy đạo hàm 2 vế ta được
e−2x cos 3xdx = e−2x (A cos 3x + B sin 3x) + C
e−2x cos 3x = e−2x [(−2A + B) cos 3x − (2B + 3A) sin 3x]


 A=−2
 −2A + B = 1
13
⇒
⇒
B= 3
 2B + 3A = 0
13

1
cos 3x +
⇒ e−2x cos 3xdx = e−2x − 13
h. x2 ln xdx

3
13

sin 3x + C

dx
arcsin2 xdx = xarcsin2 x − 2 x arcsin x √1−x
2
√
= xarcsin2 x + 2 arcsin xd 1 − x2
√
= xarcsin2 x + 2 1 − x2 arcsin x − 2 dx
√
= xarcsin2 x + 2 1 − x2 arcsin x − 2x + C

3. Lập cơng thức truy hồi tính In
a. In =

xn ex dx

Đặt

23

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()

lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

hiep. giapvan@ gmail. com



 du = nxn−1 dx
 xn = u
⇒
 v = ex
 dv = ex dx
⇒ I n = e x xn − n

b. In =

dx
cosn x
dx
1
cosn−2 x cos2 x

In =

xn−1 ex dx = ex xn − nIn−1
d(tan x)
cosn−2 x

=

=

tan x
cosn−2 x

− (n − 2)

sin2 x
cosn x dx

=

sin x
cosn−1 x

− (n − 2)

1
cosn x

=

sin x
cosn−1 x

− (n − 2) In − (n − 2) In−2

−

1
cosn−2 x

dx

sin x n−2
1
n−1 cosn−1 x n−1 In−2

⇒ In =

2.2. Tích phân xác định
4. Tính các đạo hàm
a.

y
d
dx
d
dx

b.

d
dy
d
dy

c.

d
dx
d
dx

2

et dt
x
y
x
y

2

2

2

2

2

et dt = ey y ′ − ex x′ = −ex

2

2

et dt
x
y
x
x3
x2
x3
x2

2

et dt = ey y ′ − ex x′ = ey

2

√ dt
1+t4
√ dt
1+t4

=

2

√ 3x
1+x12

−

√ 2x
1+x6

5. Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn
a. lim

n→∞

1
nα

1
n
n→∞

= lim
b. lim

1
n
n→∞
1
n→∞ n

= lim

1
1
1
nα+β + nα+2β + · · · + nα+(n−1)β , (α, β

1
n−1
α+β
dx
1
1
=
α+βx = β ln α
α+ kβ
n
k=0
0
1
1 + n + 1 + n2 + · · · + 1 + nn
1√
n
√
k
1+ n =
1 + xdx = 32 2 2 − 1
k=1
0

+

> 0)

6. Tính các giới hạn

24

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()


lOMoARcPSD|2935381

Facebook: Badman

sin x √

a. lim+

0
sin x √

lim

tan tdt

0
tan x √

x→0

sin tdt

tan tdt

0
tan x √

x→0+

hiep. giapvan@ gmail. com

sin tdt

L

= lim
+
x→0

√

cos x tan(sin x)
√
sin(tan x)
cos2 x

√
tan(sin x) L
= lim
= lim+ √
+
0

sin(tan x)

x→0

x

b. lim

x

x→+∞

=1

2

0

lim

x→0

(arctan t) dt
√
x2 +1

x→+∞
0

sin x
tan x

2

(arctan t) dt
2
L
(arctan x)
√
=
lim
x
x2 +1
x→+∞ √x2 +1

=

π2
4,

√ x
2
x→+∞ x +1

lim

=1

7. Tính các tích phân sau
a.

e
1/e

e

|ln x| (x + 1) dx
1

1/e

|ln x| (x + 1) dx = −
2

= − (x+1)
ln x
2
2

e
4

=
b.

e
1

−

1
4e2

1

1
1/e

− 2e +

1/e
2

+
1/e

(x+1) dx
2x

+

(x+1)
2

2

ln x (x + 1) dx
1
e

e

1

1

ln x −

2

(x+1) dx
2x

5
2

(x ln x)2 dx

e

e

2

(x ln x) dx =
1
3

= − e3 −
3

5e
27
3π/2

=

c.

e

ln x (x + 1)dx +

−

2
3

2

ln xd
1

e
1

=

e
x3 2
ln
x
3
1

3

x3
3

ln xd

x3
3

= − e3 −

2
3

x3
3

−

2
3
e

e

x2 ln xdx

1

ln x −
1

1
3

3

x2 dx

1

2
27

dx
2+cos x

0

Đặt t = tan x2
d.

π/6

sin2 x cos x
2 dx
(1+tan2 x)

0
π/6

sin2 x cos x
2 dx
2
0 (1+tan x)
π/6
2
5

π/6

=
0

sin xcos xdx =

=

0

sin2 x cos x
2 dx
(1/cos2 x)
π/6
2
0

sin x 1 − sin2 x

2

cos xdx

25

Downloaded by EBOOKBKMT VMTC ()