LUẬN văn THẠC sĩ HAY một số tính chất hữu ích của đường cong hyperbol

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH
CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH
CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số:
60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS. TS. TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2016

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


i

Mục lục
Danh sách hình vẽ

iv

Mở đầu

1

Chương 1. ĐƯỜNG CONG HYPERBOL
1.1 Định nghĩa và các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . .

4
4

1.2
1.3
1.4
1.5

Phương trình chuẩn của hyperbol .

Đường tiệm cận của hyperbol . . .
Hyperbol với tâm là điểm cho trước
Quan hệ với các đường cơnic khác .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

5

8
13
18

1.6
1.7

Tính chất phản xạ của hyperbol . . . . . . . . . . . . .
Một số bài tập ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
23

Chương 2. ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HYPERBOL
33
2.1 Giới thiệu khái quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2
2.3

Hyperbol trong hàng hải . . . . . .
Hyperbol trong kiến trúc, xây dựng
2.3.1 Kiến trúc . . . . . . . . . .
2.3.2 Năng lượng hạt nhân . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

34
38
38
39

2.4

Hyperbol trong Vật lý thiên văn
2.4.1 Khoa học không gian . .
2.4.2 Hyperbol với hệ mặt trời

Hyperbol trong đời sống . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

40
40
42

43

Gương hyperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hệ thống định vị từ xa . . . . . . . . . . . . . .

43
44

2.5

2.5.1
2.5.2

.
.
.
.

.
.
.
.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ii

2.6

2.5.3 Mơ hình hóa bằng hyperbol . . . . . . . . . . .
2.5.4 Nghệ thuật nhiếp ảnh . . . . . . . . . . . . . .
Một số bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
46
47

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

54

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


iii

Danh sách hình vẽ
1.1

Hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Vẽ một Hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Hyperbol với tiêu điểm trên Ox. . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Hyperbol với tiêu điểm trên Oy . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

Đường tiệm cận của hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6

Hyperbol với tiêu điểm trên Ox. . . . . . . . . . . . . . .

9

1.7

Hyperbol với tiêu điểm trên Oy . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.8

Ví dụ 1.2a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.9

Ví dụ 1.2b.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.10 Ví dụ 1.2c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.11 Tâm của hyperbol tại điểm (h, k ) trong hai trường hợp:
trục thực nằm ngang và trục thực nằm dọc. . . . . . . . .

13

1.12 Tâm của hyperbol tại điểm (h, k ) = (2, 2). . . . . . . . .

14

1.13 Các đường tiệm cận của hyperbol tâm là (h, k ).

. . . . .

14

. . . . . .

15

1.15 Ví dụ 1.4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.16 Đồ thị của hyperbol ở Ví dụ 1.4.6. . . . . . . . . . . . . .

17

1.17 Tâm sai e lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.18 Tâm sai e nhỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.19 Thiết diện cônic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.20 Tiêu điểm và đường chuẩn của các đường cônic . . . . . .

20

1.21 Tính chất phản quang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.14 Tìm phương trình chuẩn nhờ đường tiệm cận.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


iv

1.22 Góc tới bằng góc phản xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.23 Hình bài tập 1.7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.24 Hình bài tập 1.7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1

Sao chổi quanh mặt trời. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2

Cung thiên văn St. Louis. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3

Xác định vị trí con tàu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4

Hyperbol với d1 − d2 = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.5

Xác định vị trí con tàu nhờ ba trạm phát tín hiệu. . . . .

36

2.6

Xác định vị trí của vụ nổ trên một nhánh hyperbol. . . .

37

2.7

Hyperbolic paraboloid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.8

Phần hyperbol của vòm. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.9

Tháp làm mát hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.10 Phần hyperbol của vỏ tháp. . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.11 Gương không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.12 Sơ đồ gương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.13 Quỹ đạo của sao chổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.14 Gương hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.15 Hệ thống định vị từ xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.16 Thiết diện hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.17 Tiếng ồn máy bay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.18 Bài tập2.6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.19 Hạt chuyển động bị lệch hướng . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.20 Xác định vị trí vụ nổ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.21 Hai tịa nhà hình hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1

Mở đầu
Các đường cơnic, nói riêng đường hyperbol, đã rất quen thuộc trong
khoa học, ở các trường phổ thông, cũng như trong đời sống. Chúng là mơ
hình cho nhiều q trình vật lý diễn ra trong tự nhiên: quĩ đạo của các
thiên thể hay quĩ đạo của các hạt điện tích (như electron) là các đường
cơnic, nói riêng một số sao chổi chuyển động quanh mặt trời theo quĩ
đạo là một nhánh hyperbol. Trong thực tế, ta cũng thường thấy một số
cơng trình kiến trúc (nhà thờ, trung tâm văn hóa, cung thiên văn, tháp
cao làm mát của nhà máy điện nguyên tử . . . ) hay một số đồ vật có hình
dạng đường cong hyperbol, trong kỹ thuật cịn có các thấu kính, gương
và bánh răng cưa hình hyperbol, . . . Như vậy, đường cong hyperbol có
những tính chất rất đáng chú ý, đã và đang được sử dụng nhiều trong
toán học, vật lý, thiên văn, địa lý, kiến trúc, xây dựng và cả trong kỹ
thuật.
Đề tài luận văn "Một số tính chất hữu ích của đường cong hyperbol "
có mục đích tìm hiểu và trình bày các tính chất của đường cong hyperbol
và một số ứng dụng của đường hyperbol trong khoa học, kỹ thuật và

trong đời sống thường ngày. Luận văn chủ yếu tìm hiểu các định nghĩa,
các khái niệm và các tính chất cơ bản của hyperbol, đặc biệt là tính chất
phản xạ (ánh sáng), cách biểu diễn đại số, các dạng phương trình của
hyperbol, . . . , các ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và đời sống, đặc
biệt là bài toán xác định vị trí tàu thuyền trên biển, vật bay trên không,
xác định nơi xẩy ra tiếng nổ, . . . , cùng với một số bài tập áp dụng đơn
giản.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2

Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo lấy từ
nguồn Internet, không trùng lặp với bất cứ tài liệu tiếng Việt nào đã có
trước đó.
Nội dung luận văn gồm hai chương:
Chương 1 "Đường cong hyperbol " trình bày các định nghĩa và các khái
niệm cơ bản về đường cong hyperbol, cách vẽ một hyperbol, thiết lập
phương trình dạng chuẩn của hyperbol, đường tiệm cận của hyperbol,
cách vẽ đồ thị một hyperbol, quan hệ hyperbol với các đường cơnic khác
và tính chất phản xạ của hyperbol. Cuối chương, nêu một số bài tập ứng
dụng về đường cong hyperbol.
Chương 2 "Áp dụng các tính chất của hyperbol " trình bày một số ứng
dụng thường gặp của đường cong hyperbol trong kỹ thuật (sóng vơ tuyến,
thấu kính, gương, bánh răng), trong kiến trúc xây dựng cơng trình (lâu
đài, nhà thờ, cung điện, tháp làm mát ở nhà máy điện hạt nhân . . . ), quĩ
đạo hyperbol (vệ tinh, sao chổi) trong các ngành thiên văn, địa lý, xác
định vị trí tàu thuyền (trên biển, trên khơng), nơi xẩy ra tiếng nổ. Cuối
chương một số bài tập ứng dụng cũng được chỉ ra.

Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm
hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có
theo chủ đề đặt ra với những lập luận, diễn giải đơn giản, dễ hiểu nhất
có thể và với nhiều ví dụ và hình vẽ minh họa phong phú, cụ thể.
Sau một thời gian cố gắng và nỗ lực làm việc nghiêm túc dưới sự hướng
dẫn của thầy, GS. TS. Trần Vũ Thiệu, đến nay luận văn của tơi đã được
hồn thành. Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và lời
cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã luôn tận tình giúp đỡ tơi trong suốt
q trình làm luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của Khoa ToánTin, Trường Đại học Khoa học Thái Ngun và của Viện Tốn học, Viện
Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


3

Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong q trình tơi học
tập và nghiên cứu.
Tơi xin cảm ơn Trung tâm giáo dục thường xuyên tỉnh Yên Bái, nơi
tôi công tác và giảng dạy, đã luôn tạo mọi điều kiện thuận lợi về thời
gian và tinh thần để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập của mình.
Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình,
bạn bè và các anh chị em đồng nghiệp, những người ln động viên khích
lệ giúp tơi hồn thành luận văn này.

Thái Ngun, tháng 6 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Tuyết Mai

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


4

Chương 1
ĐƯỜNG CONG HYPERBOL
Chương này trình bày các định nghĩa, các khái niệm cơ bản về đường
cong hyperbol, cách vẽ một hyperbol, phương trình chuẩn của hyperbol,
đường tiệm cận của hyperbol và tính chất phản xạ của hyperbol. Xét mối
liên hệ giữa đường hyperbol với các đường cônic khác (elip, parabol). Nội
dung của chương được tham khảo chủ yếu từ [1- 3] và [5].

1.1

Định nghĩa và các khái niệm cơ bản

Có nhiều định nghĩa về hyperbol. Sau đây là một định nghĩa thông
dụng.
Định nghĩa 1.1.1. Một hyperbol (hyperbola) là tập hợp của tất cả các
điểm P trong mặt phẳng sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai
khoảng cách từ P tới hai điểm cố định trong mặt phẳng là một hằng số
dương.
Hai điểm cố định, ký hiệu F và F , được gọi là hai tiêu điểm (focus).
Các giao điểm V và V của đường thẳng đi qua hai tiêu điểm và hai
nhánh của hyperbol gọi là các đỉnh (vertices). Đoạn thẳng V V gọi là
trục thực (transverse axis). Trung điểm của trục thực gọi là tâm (center)
của hyperbol (xem Hình 1.1).
Để vẽ một hyperbol ta dùng thước kẻ, bút chì, đinh ghim và một sợi

dây (xem Hình 1.2). Cắm hai đinh ghim trên một tấm bìa cứng. Những

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


5

Hình 1.1: Hyperbol.

Hình 1.2: Vẽ một Hyperbol.

điểm này tạo thành tiêu điểm của hyperbol. Đặt góc thước kẻ vào tiêu
điểm F sao cho nó có thể xoay tự do quanh điểm này. Lấy một đoạn
dây ngắn hơn chiều dài thước kẻ và buộc chặt một đầu dây vào góc A
của thước kẻ và đầu dây còn lại buộc vào điểm F .
Bây giờ dùng bút chì đẩy sợi dây lên sát vào mép thước kẻ tại điểm

B . Giữ dây căng và xoay thước kẻ quanh F , luôn giữ góc thước kẻ tại
F . Đường cong thu được sẽ là một nhánh của hyperbol. Nhánh còn lại
của hyperbol được vẽ bằng cách thay đổi vị trí của thước kẻ và sợi dây.
Để thấy đường cong vẽ ra thỏa mãn điều kiện của định nghĩa, ta lưu ý
rằng hiệu số khoảng cách BF và BF bằng

BF − BF = BF + BA − BF − BA
= AF − (BF + BA)
= (chiều dài thước kẻ) - (chiều dài sợi dây)
= hằng số dương.

1.2

Phương trình chuẩn của hyperbol

Sử dụng định nghĩa của hyperbol và công thức khoảng cách giữa hai
điểm, ta có thể đưa ra phương trình chuẩn của hyperbol trong hệ tọa độ

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


6

vng góc.

A. Ta bắt đầu bằng một hyperbol trong hệ tọa độ mà cả hai tiêu điểm
nằm trên trục Ox, có tọa độ là F (−c, 0) và F (c, 0) với c > 0, như ở
Hình 1.3.

Hình 1.3: Hyperbol với tiêu điểm
trên Ox.

Hình 1.4: Hyperbol với tiêu điểm
trên Oy.

Để cho tiện, ta biểu diễn hằng số |d1 − d2 | = 2a với a > 0. Ngồi ra
trong hình học phẳng, hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác ln nhỏ
hơn cạnh cịn lại. Áp dụng kết quả này vào Hình 1.3, ta nhận được kết
quả hữu ích sau

|d1 − d2 | = 2a < 2c ⇔ a < c.

(1.1)

Ta sẽ sử dụng (1.1) để rút ra phương trình của hyperbol.
Trở lại Hình 1.3, điểm P (x, y) nằm trên hyperbol khi và chỉ khi

|d1 − d2 | = 2a
⇔ |d(P, F ) − d(P, F )| = 2a
⇔

(x + c)2 + y 2 −

(x − c)2 + y 2 = 2a.

Sau khi khử căn bậc hai và dấu giá trị tuyệt đối bằng cách lấy bình

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


7

phương và rút gọn, ta nhận được

(c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 )

(1.2)

y2
x2
= 1.
(1.3)
⇔ 2− 2

a
c − a2
Ta được phép chia cả hai vế của phương trình (1.2) cho a2 (c2 − a2 ), vì cả
a2 và c2 − a2 đều khác 0. Theo (1.1), a < c nên a2 < c2 và c2 − a2 > 0.
Hằng số a được chọn từ trước.
Để rút gọn phương trình (1.3) hơn nữa, ta đặt

b 2 = c 2 − a2 , b > 0

(1.4)

và thu được phương trình

x2 y 2
−
= 1.
(1.5)
a2 b 2
Từ phương trình (1.5) ta thấy rằng x bị chắn bởi hai giá trị ±a, bởi vì
x2 y 2
−
=1
a2 b2
x2
y2
⇔ 2 = 1 + 2 ≥ 1 ⇔ x2 ≥ a2
a
b
⇔ x ≥ a hoặc x ≤ −a.
Tuy nhiên y không bị chắn, bởi vì

x2 y 2
−
=1
a2 b2
y2
x2
⇔ 2 = 2 − 1 ≥ 0 (do x2 ≥ a2 ).
b
a
Bất đẳng thức cuối được thỏa mãn với mọi y ∈ R.
B. Nếu ta bắt đầu với các tiêu điểm trên trục Oy với F (0, −c) và F (0, c)
như ở Hình 1.4, thay vì trên trục Ox như ở Hình 1.3, thì lập luận tương
tự như trên ta thu được phương trình hyperbol
y 2 x2
−
= 1,
(1.6)
a2 b 2
trong đó, b2 = c2 − a2 , b > 0. Tâm của hyperbol vẫn ở gốc tọa độ, nhưng
trục thực bây giờ là trục Oy .

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


8

1.3

Đường tiệm cận của hyperbol

a2
b
Từ (1.5) ta có y = ± x 1 − 2 . Khi x biến thiên với |x| lớn dần,
a
x
a2
biểu thức 1 − 2 trong căn thức dần tới 1. Cho nên với giá trị |x| lớn
x
phương trình (1.5) có dáng điệu giống với phương trình
b
y = ± x.
a

(1.7)

Các đường thẳng có phương trình (1.7) được gọi là các đường tiệm cận
(asymptotes) của hyperbol có phương trình (1.5). Hyperbol dần đến các
đường thẳng khi điểm P (x, y) trên hyperbol di chuyển xa dần gốc tọa
độ (xem Hình 1.5).

Hình 1.5: Đường tiệm cận của hyperbol.

Hình chữ nhật tâm O với các cạnh độ dài 2a và 2b như ở Hình 1.5 gọi
là hình chữ nhật tiệm cận (asymptote rectangle). Hai đường chéo của
hình chữ nhật tiệm cận chính là hai đường tiệm cận của hyperbol.

• Tương tự, các đường tiệm cận của hyperbol có phương trình (1.6) là
a
y = ± x.

b

(1.8)

Đường phân đơi hình chữ nhật vng góc với trục thực, kéo dài từ một
cạnh của hình chữ nhật tiệm cận tới cạnh kia của hình chữ nhật đó, được
gọi là trục ảo (conjugate axis) của hyperbol.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


9

Nhận xét 1.3.1. Khoảng cách từ tâm tới mỗi tiêu điểm bằng khoảng
cách từ tâm tới một đỉnh của hình chữ nhật tiệm cận, hay đường trịn
có tâm là gốc tọa độ và đi qua tất cả bốn đỉnh của hình chữ nhật tiệm
cận cũng đi qua cả hai tiêu điểm của đường hyperbol.
Chúng ta tóm tắt các kết quả trên đây trong định lý sau để tiện theo
dõi.
Định lý 1.3.2. Phương trình chuẩn của một hyperbol với tâm tại (0, 0):
x2 y 2
1. 2 − 2 = 1.
a
b
Các điểm chắn x: ±a (các đỉnh), khơng có các điểm chắn của y .
Hai tiêu điểm: F (−c, 0), F (c, 0), c2 = a2 + b2 .
Độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b.
b
Đường tiệm cận y = ± x.
a

Trục đối xứng: Ox, Oy , tâm đối xứng: O(0, 0).
y 2 x2
2. 2 − 2 = 1.
a
b
Các điểm chắn x khơng có, các điểm chắn y: ±a.
Hai tiêu điểm: F (0, −c), F (0, c), c2 = a2 + b2 .
Độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b.
a
Đường tiệm cận y = ± x.
b
Trục đối xứng: Ox, Oy , tâm đối xứng: O(0, 0).

Hình 1.6: Hyperbol với tiêu điểm
trên Ox.

Hình 1.7: Hyperbol với tiêu điểm
trên Oy.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


10

Ví dụ 1.3.3. Đường thẳng đi qua tiêu điểm F của một hyperbol và
vng góc với trục thực cắt hyperbol tại hai điểm G và H . Với mỗi một
trong hai phương trình chuẩn của hyperbol tâm tại (0, 0), hãy tìm khoảng
cách từ G tới H theo a và b.
Lời giải. a) Gọi điểm G(c, y ), thay tọa độ điểm G vào (1.5) ta có

y2
c2
c2 − a2
b2
b4
b2
c2 y 2
2
−
=1⇒ 2 = 2 −1=
= 2 ⇒ y = 2 ⇒ |y| = .
a2 b 2
b
a
a2
a
a
a
b2
2b2
Vậy F G = |y| =
và khoảng cách GH = 2F G =
.
a
a
2b2
.
b) Làm tương tự với phương trình (1.6), ta cũng tìm được GH =
a
Ví dụ 1.3.4. Vẽ đồ thị, tìm tọa độ các tiêu điểm và độ dài trục thực,

trục ảo của mỗi hyperbol xác định bởi các phương trình sau
a) 9x2 − 16y 2 = 144;

b)16y 2 − 9x2 = 144;

c)2x2 − y 2 = 10.

Lời giải. a) Ta có

x2 y 2
9x − 16y = 144 ⇔
−
= 1 ⇒ a2 = 16, b2 = 9.
16
9
2

2

Xác định các điểm chắn x: x = ±4. Khơng có điểm chắn y . Vẽ các đường
tiệm cận bằng cách dùng hình chữ nhật tiệm cận. Sau đó vẽ hyperbol
(Hình 1.8).
Ta có c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5. Như vậy hai tiêu điểm là

F (−5, 0) và F = (5, 0). Độ dài trục thực bằng 2a = 2 × 4 = 8. Độ dài
trục ảo bằng 2b = 2 × 3 = 6.
b) Ta có

16y 2 − 9x2 = 144 ⇔

y 2 x2
−
= 1 ⇒ a2 = 9, b2 = 16.
9
16

Xác định các điểm chắn y : y = ±3. Khơng có điểm chắn x. Vẽ các đường
tiệm cận bằng cách dùng hình chữ nhật tiệm cận. Sau đó vẽ hyperbol
(Hình1.9).

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


11

Hình 1.8: Ví dụ 1.2a).

Hình 1.9: Ví dụ 1.2b.)

Điều quan trọng là chú ý rằng trục thực là trục Oy và các tiêu điểm
nằm trên Oy. Ta có

c2 = a2 + b2 = 9 + 16 = 25 ⇒ c = 5.
Như vậy hai tiêu điểm là F (0, −5) và F = (0, 5). Độ dài trục thực bằng

2a = 2 × 3 = 6. Độ dài trục ảo bằng 2b = 2 × 4 = 8.
c) Ta có

x2 y 2
2x − y = 10 ⇔

−
= 1 ⇒ a2 = 5, b2 = 10.
5
10
√
Xác định các điểm chắn x : x = ± 5. Khơng có điểm chắn y . Vẽ
2

2

các đường tiệm cận bằng cách dùng hình chữ nhật tiệm cận. Sau đó vẽ
hyperbol (Hình 1.10). Ta có

c2 = a2 + b2 = 5 + 10 = 15 ⇒ c =

√

15.

√
√
Như vậy hai tiêu điểm là F (− 15, 0) và F = ( 15, 0). Độ dài trục thực
√
√
bằng 2a = 2 5 ≈ 4,47. Độ dài trục ảo bằng 2b = 2 10 ≈ 6,32.
Nhận xét 1.3.5. Khi vẽ một hyperbol, ta thường gặp một sai lầm chung
là vẽ hyperbol ngửa lên, úp xuống mà lẽ ra phải vẽ hyperbol theo hướng
trái - phải, hay ngược lại. Để tránh mắc phải sai lầm này, ta nên xác
định trước các điểm chắn (trên trục Ox hay Oy ) một cách cẩn thận, tức
là trục thực nằm ngang hay dọc.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


12

Hình 1.10: Ví dụ 1.2c).

Định nghĩa 1.3.6. Hai hyperbol có dạng

y 2 x2
x2 y 2
−
= 1 và
−
=1
M N
N M
với M, N > 0, được gọi là các hyperbol liên hợp (conjugate hyperbolas).
Các hyperbol trong Ví dụ 1.3.4 a) và b) là các hyperbol liên hợp.
Chúng có các đường tiệm cận như nhau (xem Hình 1.8 và Hình 1.9).
Ví dụ 1.3.7. Viết phương trình của một hyperbol với các tiêu điểm là
(0, −3) và (0, 3), và các đỉnh có tọa độ (0, −2) và (0, 2).
Lời giải. Trục thực của hyperbol là trục dọc, vì các tiêu điểm và đỉnh
của hyperbol nằm trên trục Oy . Tâm là gốc tọa độ, bởi vì các tiêu điểm
và đỉnh cách đều gốc tọa độ. Các tiêu điểm cách gốc tọa độ 3 đơn vị nên

c = 3. Tương tự, các đỉnh cách gốc tọa độ 2 đơn vị nên a = 2. Để tìm b,
ta sử dụng cơng thức

b2 = c2 − a2 = 32 − 22 = 9 − 4 = 5 ⇒ b =

√

5.

Do trục thực là trục dọc nên phương trình của hyperbol có dạng

y2
x2
y 2 x2
−
=
1
hay
−
= 1.
√
22 ( 5)2
4
5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


13

1.4

Hyperbol với tâm là điểm cho trước

Nếu tâm của hyperbol là điểm (h, k ) trong hệ tọa độ vuông góc thì
phương trình chuẩn (1.5) trở thành

(x − h)2 (y − k)2
−
= 1(trục thực nằm ngang),
a2
b2
và phương trình chuẩn (1.6) trở thành

(y − k)2 (x − h)2
−
= 1(trục thực nằm dọc).
a2
b2
Các đỉnh nằm trên trục thực và cách tâm a đơn vị, các tiêu điểm nằm
trên trục thực và cách tâm c đơn vị (Hình 1.11), hơn nữa ta vẫn có hệ
thức c2 = a2 + b2 .

Hình 1.11: Tâm của hyperbol tại điểm (h, k) trong hai trường hợp: trục thực nằm
ngang và trục thực nằm dọc.

Ví dụ 1.4.1. Viết phương trình của một hyperbol với các tiêu điểm là
(−1, 2) và (5, 2), và các đỉnh có tọa độ (0, 2) và (4, 2).
Lời giải. Tâm hyperbol là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm
nên có tọa độ (2, 2). Hơn nữa, c = 5 − 2 = 3 và a = 4 − 2 = 2. Từ đó,

b2 = c2 − a2 = 9 − 4 = 5.
Hyperbol có trục thực nằm ngang và phương trình chuẩn có dạng như

(x − 2)2 (y − 2)2
sau:
−
= 1.
4
5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


14

Hình 1.12: Tâm của hyperbol tại điểm (h, k) = (2, 2).

• Phương trình của đường tiệm cận của hyperbol: Mỗi hyperbol có hai
đường tiệm cận cắt nhau tại tâm của hyperbol, như vẽ ở Hình 1.13. Các
đường tiệm cận đi qua các đỉnh của một hình chữ nhật với tâm là (h, k )
và độ dài hai cạnh là 2a và 2b. Đoạn thẳng có độ dài 2b nối (h, k − b) và
(h, k + b) (hoặc (h − b, k ) và (h + b, k )) và nằm trên trục ảo gọi là trục
liên hợp (conjugate axis) của hyperbol.

Hình 1.13: Các đường tiệm cận của hyperbol tâm là (h, k).

Phương trình các đường tiệm cận của hyperbol là

b
y = k ± (x − h) (trục thực nằm ngang),
a

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

15

a
y = k ± (x − h) (trục thực nằm dọc).
b
Ví dụ 1.4.2. (Sử dụng các đường tiệm cận để tìm phương trình chuẩn)
Tìm phương trình chuẩn của hyperbol có các đỉnh là (3, −5) và (3, 1) và
có các đường tiệm cận y = 2x − 8 và y = −2x + 4, như vẽ ở Hình 1.14.

Hình 1.14: Tìm phương trình chuẩn nhờ đường tiệm cận.

Lời giải. Ta có tâm của hyperbol là (3, −2). Hơn nữa, hyperbol có trục
thực nằm dọc với a = 3. Từ các phương trình ban đầu, ta có thể xác định
a
a
hệ số góc của các đường tiệm cận là m1 = 2 = và m2 = −2 = − , và
b
b
3
bởi vì a = 3 nên b = = 1, 5. Vậy dạng chuẩn của phương trình là
2

(y + 2)2 (x − 3)2
−
= 1 (trục thực nằm dọc).
32
(1, 5)2

Nhận xét 1.4.3. Cách giải của Ví dụ 1.4.2 cho ta cách xác định phương
trình hyperbol dạng chuẩn dựa vào đường tiệm cận, thay vì biến đổi hệ
tọa độ như đã giới thiệu ở một số tài liệu khác.
Ví dụ 1.4.4. Vẽ hyperbol cho bởi phương trình 4x2 − 3y 2 + 8x + 16 = 0.
Tìm phương trình của đường tiệm cận và các tiêu điểm của hyperbol đó.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


16

Lời giải. Biến đổi phương trình hyperbol ta có

4x2 − 3y 2 + 8x + 16 = 0
⇔ 4(x2 + 2x) − 3y 2 = −16
⇔ 4(x + 1)2 − 3y 2 = −12
(x + 1)2 y 2
⇔−
+
= 1.
3
4
Cuối cùng ta viết phương trình ở dạng chuẩn:

y 2 (x + 1)2
−
= 1.
4
3
Từ phương trình này ta có thể kết luận rằng hyperbol có trục thực

nằm dọc, tâm là (−1, 0), có các đỉnh là (−1, −2) và (−1, 2), có trục ảo
√
√
với hai đầu mút (−1 − 3, 0) và (−1 + 3, 0). Để vẽ hyperbol, ta vẽ
hình chữ nhật qua 4 điểm này. Các đường tiệm cận là các đường thẳng
√
đi qua các đỉnh của hình chữ nhật. Với a = 2 và b = 3 ta có thể kết
luận rằng phương trình của các đường tiệm cận là

2
2
y = √ (x + 1) và y = − √ (x + 1).
3
3
Mặt khác,

c=

√ 2 √
22 + ( 3) = 7,

nên tọa độ các tiêu điểm là

(−1, −2 −

√

7) và (−1, −2 +

√

7).

Hyperbol được vẽ ở Hình 1.17.
Nhận xét 1.4.5. Các bước vẽ đồ thị hyperbol với tâm là (h, k ):
Bước 1. Xác định trục thực của hyperbol nằm ngang hay nằm dọc.
Bước 2. Xác định hai đỉnh của hyperbol: 2 điểm trên trục thực, cách tâm
là a. Xác định hai điểm trên trục ảo, mỗi điểm cách tâm là b.
Bước 3. Vẽ hình chữ nhật có 4 đỉnh là (h − a, k − b),(h − a, k + b),

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


17

Hình 1.15: Ví dụ 1.4.4.

(h + a, k − b) và (h + a, k + b).
Bước 4. Vẽ hai đường tiệm cận của hyperbol bằng cách kéo dài hai đường
chéo của hình chữ nhật trên.
Bước 5. Vẽ hyperbol đi qua hai đỉnh của nó và tiến dần tới các đường
tiệm cận.
Ví dụ 1.4.6. Áp dụng các bước nêu trên để vẽ hyperbol có phương trình

(y − 5)2 (x − 3)2
−
= 1.
4
25

Hình 1.16: Đồ thị của hyperbol ở Ví dụ 1.4.6.

Lời giải. 1. Từ phương trình cho thấy hyperbol có tâm tại (h, k ) = (3,
5), có trục thực là trục Oy và a2 = 4, b2 = 25, tức là a = 2, b = 5.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


18

2. Đỉnh của hyperbol là (h, k − a) = (3, 3) và (h, k + a) = (3, 7). Hai
điểm trên trục ảo (h − b, k ) = (−2, 5) và (h + b, k ) = (8, 5).
3. Vẽ hình chữ nhật đi qua 4 điểm (3, 3), (3, 7), (−2, 5) và (8, 5).
(x − 3)
(x − h)
=5±2
.
4. Vẽ hai đường tiệm cận y = k ± a
b
5
5. Vẽ hyperbol qua hai đỉnh (3, 3), (3, 7) và tiến dần tới các đường
tiệm cận. Kết quả ta được đồ thị vẽ ở Hình 1.16.
Định nghĩa 1.4.7. Tâm sai hay độ lệch tâm (eccentricity) của một
c
hyperbol là e = và do c > a nên e > 1. Nếu tâm sai lớn thì các nhánh
a
của hyperbol gần như bẹt ra (Hình 1.17). Nếu tâm sai càng gần 1 thì các
nhánh sẽ hẹp hơn (Hình 1.18).

Hình 1.17: Tâm sai e lớn.

1.5

Hình 1.18: Tâm sai e nhỏ.

Quan hệ với các đường cônic khác

Các đường cônic (bao gồm đường elip, parabol, hyperbol) đã được biết
từ 200 năm trước Công nguyên và Apollonius là người đầu tiên nghiên
cứu có hệ thống các tính chất của chúng.
Trong tự nhiên, các đường cơnic có một vai trị rất quan trọng, vì
chúng là mơ hình cho nhiều quá trình vật lý xảy ra trong tự nhiên. Có
thể chỉ ra rằng một vật thể bất kỳ dưới tác động của lực vạn vật hấp
dẫn phải có quỹ đạo là một đường cơnic. Các thiên thể hút lẫn nhau với

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


19

lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng (định
luật Newton). Vì thế quỹ đạo của các thiên thể là các đường cônic. Quỹ
đạo của các hạt điện tích (chẳng hạn, êlêctron) cũng là các đường cônic.
Như vậy, từ thế giới vĩ mô đến thế giới vi mơ, các đường cơnic xuất hiện
trong tự nhiên.

Hình 1.19: Thiết diện cơnic.

Các đường cơnic có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau.
Định nghĩa 1.5.1 (Định nghĩa hình học). Các đường trịn, elip, parabol

hay hyperbol có tên gọi chung là thiết diện cônic (conic sections) hay
đường cônic (conic). Đường cơnic là giao tuyến giữa một mặt nón (cone)
trịn xoay hai tầng với một mặt phẳng, theo các góc nghiêng khác nhau
(xem Hình 1.21).
+ Khi giao của mặt nón và mặt phẳng là một đường cong khép kín,
tức là mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh và không song song với đường
sinh nào, thì ta có thiết diện là một elip, trường hợp riêng là một đường
tròn khi mặt phẳng nằm ngang cắt mặt nón, nhưng khơng đi qua đỉnh
của nón.
+ Khi mặt phẳng song song với một đường sinh của mặt nón, đường
cơníc nhận được là một parabol.
+ Khi mặt phẳng cắt cả hai mặt nón có chung đỉnh (đồng thời cắt cả

LUAN VAN CHAT LUONG download : add