(Luận văn thạc sĩ) Khảo sát hiệu quả của tấm phẳng điều khiển dòng chảy qua tiết diện cầu bằng phương pháp số

LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai
công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 10 năm 2012
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

ii


CẢM TẠ
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Xây Dựng và Cơ Học
Ứng Dụng và khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy trƣờng Đại học Sƣ Phạm Kỹ Thuật
TP.Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ, hƣớng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi để
tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy TS. Phan Đức Huynh, dù rất
bận rộn với công việc giảng dạy nhƣng thầy vẫn luôn dành thời gian quan
tâm, hƣớng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tơi trong suốt q trình thực hiện luận
văn. Tơi cũng chân thành cám ơn thầy ThS. Nguyễn Hồng Sơn đã nhiệt
tình giúp đỡ tơi trong suốt q trình nghiên cứu.

iii


TĨM TẮT
Dầm chính cầu dây văng dễ bị dao động do gió, nhƣ xốy hoặc rung xoắn.
Đặc biệt hiện nay các cầu dây văng đƣợc thiết kế ngày càng dài hơn và nhẹ
hơn thì mức độ ảnh hƣởng càng trở nên nghiêm trọng. Tấm phẳng đã đƣợc
sử dụng rộng rãi nhƣ các thiết bị giảm xóc khí động học. Việc lắp đặt tấm
phẳng lên dầm chính của cầu dây văng, nhằm mục đính ngăn chặn sự kích
thích xốy và rung xoắn.

Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phƣơng pháp biên nhúng để khảo
sát hiệu quả của tấm phẳng điều khiển dòng chảy qua tiết diện cầu. Kết quả
cho thấy tấm phẳng có tác dụng ổn định khí động học rất tốt tới cầu dây
văng.

iv


ABSTRACT

The study of the aerodynamic stability of long-span suspension bridge is very
important in design state. One of control methods is to change the flow over the
bridge deck, so that the aerodynamic forces will be changed. This study investigates
the effectiveness of control surface attached to bridge deck by using the immersed
boundary method. The results show that the values of the aerodynamic forces are
reduced after controlling the control surfaces.

v


MỤC LỤC
TRANG TỰA
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI
LÝ LỊCH CÁ NHÂN ................................................................................................ i
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................... ii
CẢM TẠ ................................................................................................................. iii
TÓM TẮT ............................................................................................................... iv
ABSTRACT ..............................................................................................................v
MỤC LỤC ............................................................................................................... vi
KÝ HIỆU KHOA HỌC ........................................................................................ viii

DANH SÁCH CÁC BẢNG .................................................................................... ix
DANH SÁCH CÁC HÌNH .......................................................................................x
Chƣơng 1. TỔNG QUAN .......................................................................................1
1.1 GIỚI THIỆU CHUNG .............................................................................1
1.2 LỊCH SỬ NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC ........................2
1.3 PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG IBM ...................................................4
1.4 NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN ..............................................................5
Chƣơng 2. TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG .......................6
Chƣơng 3. PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG .....................8
3.1 PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG ........................................................8
3.2 PHƢƠNG PHÁP SỐ ...............................................................................9
3.2.1 Rời rạc không gian và thời gian ............................................................9
3.2.2 Giải vật thể ..........................................................................................10
3.2.3 Giải hệ phƣơng trình Navier-stokes ....................................................11
3.2.3.1 Sử lý phi tuyến độ nhớt ....................................................................11
3.2.3.2 Hiệu chỉnh áp suất ............................................................................12
3.2.3.3 Lƣới so le .........................................................................................13

vi


3.2.3.3.1 Đạo hàm xấp xỉ .............................................................................14
3.2.3.3.2 Điều kiện biên ...............................................................................16
3.2.3.3.3 Phƣơng trình poisson ....................................................................18
3.3 BIÊN CỨNG ..........................................................................................19
Chƣơng 4. CẤU TRÚC HÀM DIRAC DELTA .................................................21
Chƣơng 5. KẾT QUẢ TÍNH TỐN ....................................................................26
5.1 SỐ LIỆU TÍNH TỐN VÀ LẬP TRÌNH .............................................26
5.2 KẾT QUẢ TÍNH TỐN VÀ NHẬN XÉT ...........................................28
Chƣơng 6. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ........................................42

6.1 KẾT LUẬN ............................................................................................42
6.2 HƢỚNG PHÁT TRIỂN .........................................................................43
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................44
THE 2012 INTERNATIONAL CONFERENCE ON GREEN TECHNOLOGY
AND SUSTAINABLE DEVELOPMENT .............................................................45
NUMERICALLY STUDY EFFECTIVENESS OF CONTROL SURFACE ON
AERODYNAMIC OF BRIDGE DECK BY USING IMMERSED BOUNDARY
METHOD ................................................................................................................46
INVESTIGATING THE FLOW OVER BRIDGE DECK CONTROLLED BY
CONTROL SURFACES BY USING IMMERSED BOUNDAY METHOD .......51

vii


KÝ HIỆU KHOA HỌC


Xs, t    X s, t , Y s, t    X k , Yk  là hàm vecto đƣợc cho bởi tọa độ của các điểm

trên biên Γ(nhƣ là một hàm của độ dài cung s và thời gian t). k=0,1,2,…,m-1


F  Fx s, t , Fy s, t  là lực biên (boundary force density)



Us, t   U s, t ,V s, t   U k ,Vk  là vận tốc của điểm lƣới Lagrangian



f   f x x, t , f y x, t là lực vật thể đƣợc tích hợp vào phƣơng trình Navier-Stokes



x  x, y  là tọa độ theo lƣới Eulerian



ux, t   ux, t , vx, t  là vận tốc của lƣu chất ( theo 2 chiều x, y)



px, t  là áp suất của lƣu chất.



 là khối lƣợng riêng của lƣu chất



 là độ nhớt

 u* là vận tốc trung gian (trƣờng vận tốc)
 ∇p là gradient áp suất.
 

2 2

x 2 y 2

là toán tử Laplace

  
 grap     , 
 x y 

 (.) xem nhƣ là một ký hiệu và đƣợc dùng : (  .) thay vì
(với grap,div là các hàm đƣợc sử dụng trong toán tử laplace)
 Lb là chiều dài của đƣờng cong khép kín Γ
 𝛿 𝐱 − 𝐗 𝑠, 𝑡

= 𝛿 𝑥 − 𝑋 𝛿 y − Y là hàm Dirac Delta.

viii

div = ∇.=

δ δ
+
δx δy


DANH SÁCH CÁC BẢNG
Bảng 5.1: Các hệ số tính tốn ................................................................................27
Bảng 5.2: Kí hiệu các hệ số trong biểu đồ..............................................................27
Bảng 5.3: Kết quả hệ số cản CD .............................................................................37
Bảng 5.4: Kết quả hệ số nâng CL ............................................................................38
Bảng 5.5: Kết quả hệ số moment CM......................................................................40

ix

DANH SÁCH CÁC HÌNH
Hình 1.1: Kích thƣớc tiết diện cầu ...........................................................................2
Hình 1.2: Kích thƣớc và vị trí tấm phẳng lắp đặt lên tiết diện cầu ..........................3
Hình 1.3: Ảnh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu khơng có tấm phẳng ...........3
Hình 1.4: Ảnh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu có lắp đặt tấm phẳng ...........3
Hình 2.1: Biểu diễn lƣới chứa vật thể biên nhúng ...................................................6
Hình 3.1: a) Biểu đồ lƣu chất – hệ thống biên nhúng
b) Rời rạc Eulerian (chấm sáng) và lƣới Lagrangian (chấm đen) ...........................10
Hình 3.2: Lƣới so le ...............................................................................................13
Hình 4.1: Rời rạc hàm Dirac delta .........................................................................25
Hình 5.1: Kích thƣớc tính tốn tiết diện cầu khơng có tấm phẳng ........................26
Hình 5.2: Kích thƣớc tính tốn tiết diện cầu lắp đặt tấm phẳng với góc θ=300 ....26
Hình 5.3: Dịng chảy qua tiết diện cầu tại góc tới α là 00 ......................................28
Hình 5.4: Dịng chảy qua tiết diện cầu tại thời gian t = 6.6s ..................................31
Hình 5.5: Áp suất cho cầu khơng có tấm phẳng với góc tới α = 00 .......................33
Hình 5.6: Áp suất cho cầu lắp đặt tấm phẳng θ=300 với góc tới α = 00 .................33
Hình 5.7: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số cản và góc tới α..........................................37
Hình 5.8: Biểu đồ giữa hệ số nâng và góc tới α .....................................................39
Hình 5.9: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số moment và góc tới α ..................................40

x


Chƣơng 1

TỔNG QUAN
1.1 GIỚI THIỆU CHUNG
Dầm chính cầu dây văng dễ bị dao động do gió, như xốy hoặc rung xoắn.

Đặc biệt hiện nay các cầu dây văng được thiết kế ngày càng dài hơn và nhẹ hơn thì
mức độ ảnh hưởng càng trở nên nghiêm trọng. Tấm phẳng đã được sử dụng rộng rãi
như các thiết bị giảm xóc khí động học. Việc lắp đặt tấm phẳng lên dầm chính của
cầu dây văng, nhằm mục đính ngăn chặn sự kích thích xốy và rung xoắn. Đã có
nhiều thí nghiệm được thực hiện, nhưng vẫn còn một số tồn tại chưa giải quyết
được. Mức độ hiệu quả của tấm phẳng, vị trí lắp đặt tấm phẳng cho hiệu quả tốt
nhất, và những hình ảnh giải thích cho sự hiệu quả đó. Việc thử nghiệm thường tốn
rất nhiều thời gian, tiền bạc nhưng lại cho kết quả chưa thực sự chính xác. Thí
nghiệm phụ thuộc quá nhiều vào điều kiện thí nghiệm, cũng như những tác động
khơng chính xác từ phía con người.
Trước sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử cũng như ngành tin học, việc
ứng dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài
toán cơ học trở nên phổ biến và cần thiết bởi những tính năng vượt trội của nó (giải
quyết nhanh và cho kết quả chính xác). Vì vậy nhiều phương pháp tính số đã và
đang phát triển mạnh mẽ và trở thành một công cụ hữu hiệu khơng thể thiếu được
khi giải quyết các bài tốn khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn,
phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, các phương pháp khơng
lưới, thể tích hữu hạn...).
Trong lĩnh vực tính tốn động lực học lưu chất (Computational Fluid
Dynamics-CFD) hay tương tác giữa lưu chất và kết cấu (Fluid-Structure InteractionFSI) đã có sự tiến bộ đáng kể về phương pháp tính tốn chính xác và hiệu quả đối
với những hình dạng phức tạp bất kỳ hay biên di chuyển. Phương pháp biên nhúng
(Immersed Boundary Methods - IBMs) gần đây đã được đưa ra để áp dụng đối với
những dạng hình học phức tạp hay biên di chuyển trong khi u cầu tính tốn ít hơn

1


so với các phương pháp khác mà vẫn đảm bảo được sự chính xác. Những ưu điểm
chính của IBMs là tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi
hay biên di chuyển.

IBMs lần đầu tiên được giới thiệu bởi Peskin (1972). Ứng dụng của IBMs là tập
trung chủ yếu vào dòng chảy với sự di chuyển của các biên và mơ phỏng dịng chảy
xung quanh những vật thể có dạng hình học phức tạp.
Trong nghiên cứu này tác giả sử dụng phương pháp số là phương pháp biên
nhúng (IBM) để khảo sát hiệu quả của tấm phẳng, điều khiển dòng chảy qua tiết
diện cầu. Tính tốn và lập trình với sự hỗ trợ của phần mềm matlab.
1.2 LỊCH SỬ NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC
Ảnh hưởng của tấm phẳng đến sự ổn định khí động học của cầu dây văng
được thí nghiệm bởi 3 nhà khoa học người Nhật: Shinichi MIYACHI, Masahiro
YONEDA và Katsuya EDAMOTO.
Mặt cắt ngang của mơ hình cầu sử dụng để thí nghiệm trong hầm gió được
thể hiện trong hình 1.1

Hình 1.1: Kích thước tiết diện cầu
Chiều rộng của tấm phẳng lắp đặt ở mặt bên của mơ hình là b = 20 mm. Thí
nghiệm được thực hiện bằng cách thay đổi góc θ như trong hình 1.2 với góc θ = 300
và góc θ = 450.

2


Hình 1.2: Kích thước và vị trí tấm phẳng lắp đặt lên tiết diện cầu
Thí nghiệm mơ phỏng dùng một luồng khói được thổi liên tục với tốc độ gió
là u = 5 m/s. Kết quả thử nghiệm trên hai mơ hình cầu khơng có tấm phẳng hình 1.3
và cầu có lắp đặt tấm phẳng hình 1.4 với góc thổi là α = + 30.

Hình 1.3: Ảnh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu khơng có tấm phẳng

Hình 1.4: Ảnh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu có lắp đặt tấm phẳng
Sau khi tiến hành thí nghiệm với hai loại trên, ba nhà khoa học người nhật đã

đưa ra một số kết luận chính như sau.

3


1. Tấm phẳng có hiệu quả cải thiện sự ổn định khí động lực chống lại sự kích thích
xốy của cầu.
2. Tấm phẳng được lắp đặt với góc θ = 300 có tác dụng tốt cho ổn định khí động học
chống lại rung xoắn.
3. Hiệu quả của tấm phẳng chống rung xoắn có thể được đánh giá bởi giá trị
dCM/ dα trong các thí nghiệm khí động lực.
Thí nghiệm trên đã chứng minh được tấm phẳng có hiệu quả tốt chống lại
rung xoắn. Mức độ ổn định khí động học được đánh giá bởi giá trị độ dốc của hệ số
moment dCM/ dα càng lớn thì ổn định khí động học càng cao.
1.3 PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG IBM
Việc tính tốn cho các bài tốn thực tế hiện nay đã có rất nhiều phương pháp
được sử dụng và nói chung các phương pháp này đều phải sử dụng đến việc chia
lưới. Tuy nhiên, đối với những bài tốn mà hình dạng vật thể phức tạp thì việc chia
lưới theo những cách thơng thường sẽ tạo nên một sự khó khăn và một chí phí lớn
cho q trình tính tốn.
Theo đó cần phải tìm ra một phương pháp mà việc chia lưới là đơn giản hơn để
phân tích một cách có hiệu quả cho việc tính tốn, và hiện nay nhiều nước và nhiều
nhà khoa học trên thế giới đang nghiên cứu một phương pháp mà việc chia lưới rất
là đơn giản bằng cách chia lưới trực tiếp trên các ô vuông của lưới Cartesian.
Phương pháp đó có tên là “Phương pháp nhúng biên ” (Immersed Boundary
Method).
Phương pháp Immersed Boundary (IB) lần đầu tiên được sử dụng và phát triển
bởi Peskin (1972) để nghiên cứu lưu lượng máu quanh van tim. Đặc trưng phân biệt
của phương pháp này là toàn bộ việc mô phỏng được tiến hành trực tiếp trên lưới
Cartesian, mà khơng phụ thuộc vào hình dạng của vật thể. Từ khi Peskin giới thiệu

phương pháp này, thì nhiều phương thức tiếp cận về phương pháp này được đưa ra
nghiên cứu và phát triển khơng ngừng. Có khá nhiều phương thức khác nhau sử
phương pháp lưới Cartesian, mà phát triển ban đầu là việc mơ phỏng dịng chảy

4


không nhớt trên lưới Cartesian khi được nhúng vào một vật thể có hình dạng phức
tạp (Berger & Aftosmis 1998, Clarkeet 1986, Zeeuw & Powell 1991). Các phương
pháp này sau đó đã được mở rộng để mơ phỏng dịng chảy nhớt tỉnh (Udaykumar
1996, Ye 1999). Về sau các ứng dụng của phương pháp này liên quan đến các bài
toán chất lỏng tương tác chất lỏng hoặc chất lỏng tương tác với khí đã được phát
triển bởi Andersone(1998) và Scardovelli & Zaleski (1999). Đối với phương pháp
IB thì các cơng trình nghiên cứu trong nước vẫn chưa lớn mạnh và còn mang tính
khởi đầu.
IBM đã được pháp triển từ 1972 nên đã và đang có rất nhiều cơng trình nghiên
cứu và bài báo về chúng. Trong nghiên cứu này tác giả dựa trực tiếp vào các bài báo
khoa học quốc tế và một số tài liệu đã có về IBM để tìm hiểu và phát triển.
Sau khi nghiên cứu lý thuyết, tác giả sử dụng sự trợ giúp của phần mềm Matlab
để tính tốn và lập trình.
1.4 NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN
Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn:
-

Vận dụng phương pháp biên nhúng để tính tốn, mơ phỏng động học tương tác
giữa lưu chất và tiết diện cầu. Sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab tính tốn và
lập trình.

-

Tính lực nâng, lực cản, moment, áp suất, và mô phỏng dòng chảy qua tiết diện
cầu.

-

Xác định mức độ hiệu quả ổn định khí động học của tấm phẳng đối với tiết diện
cầu.

-

Xác định vị trí lắp đặt tấm phẳng cho hiệu quả ổn định khí động học tốt nhất.

-

Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả thực hiện. Nêu lên các vấn
đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng chưa được giải quyết và đề xuất
hướng phát triển của đề tài.

5


Chƣơng 2:

TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG
IMMERSED BOUNDARY METHOD (IBM)
2.1 PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG
Phương pháp biên nhúng là phương pháp trong tính tốn động lực học chất lỏng.
Mơ hình và mơ phỏng hệ thống trong đó các cấu trúc đàn hồi (hoặc màng) tương tác
với dòng chảy chất lỏng. Xử lý biên đàn hồi thay đổi dòng chảy của chất lỏng và
đồng thời chất lỏng di chuyển làm biên đàn hồi biến dạng cấu trúc và dòng chảy

chất lỏng, gây ra một số vấn đề thách thức đối với mô phỏng số. Phương pháp biên
nhúng được thể hiện trong hệ lưới Euler kết hợp với các cấu trúc trong hệ lưới
Largange.

Hình 2.1: Biểu diễn lưới chứa vật thể biên nhúng
Phương pháp biên nhúng là xây dựng một bài toán và phương pháp giải quyết
các vấn đề động lực học lưu chất. Trong phương pháp này, các phương trình động
lực học chất lỏng được sử dụng, để mô tả không chỉ chất lỏng mà còn phần tử đàn
hồi nhúng mà nó tương tác. Các phương trình chất lỏng được giải quyết trên một
mạng lưới cố định Euler và các lực đàn hồi được tính tốn từ một đại diện Larange
của vật thể đàn hồi nhúng. Vật thể di chuyển tự do thông qua các hệ thống lưới. Hai
thành phần Euler/Largange được liên kết bởi một hàm Dirac delta. Chức năng của
hàm này được sử dụng để áp dụng các lực đàn hồi chất lỏng và nội suy vận tốc chất
lỏng ở các điểm đại diện của vật thể đàn hồi.

6


Phương pháp IMB kết hợp cả cơng thức tốn học và một chương trình số. Việc
xây dựng tốn học sử dụng một hỗn hợp của các biến Euler và Largange, có liên
quan bởi các phương trình tương tác. Trong đó các chức năng của hàm Dirac
Delta đóng một vai trị nổi bật.
Lợi thế lớn của phương pháp này khi so sánh với các phương pháp số khác là để
mô phỏng một vật thể nhúng cố định hoặc di chuyển, với bất kỳ hình dạng hình học,
sử dụng một mạng lưới Cartesian cố định (Euler lưới).
Ưu điểm của phương pháp IBM:
 Sử dụng phương pháp chia lưới giống như phương pháp sai phân hữu hạn
là chia lưới trên toàn miền. Chia lưới trên tồn miền có lợi hơn các
phương pháp khác là có thể chia lưới cho các vật có cấu trúc phức tạp.
 Tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi hay biên

di chuyển.

7


Chƣơng 3

PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG

3.1 PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG
Cơng thức tốn được kết hợp giữa biến Euler và biến Lagrange. Biến Euler
được xác định trên hệ tọa độ Đềcác cố định. Biến Lagrange được xác định trên một
đường cong. Đường cong này di chuyển tự do qua hệ tọa độ Đềcác cố định. Các
phương trình tương tác của chương trình số phụ thuộc hàm xấp xỉ Dirac Delta.
Chúng ta xét mơ hình chất lỏng khơng nén được trong miền  hai chiều có chứa
một biên nhúng là một đường cong khép kín  (Hình 3.1a). Hình dạng của biên
nhúng được cho bởi tham số: Xs,t , 0  s  Lb , X0, t   XLb , t  . Trong đó Lb là
chiều dài của đường cong  , và Xs, t  là hàm vector chỉ vị trí các điểm nút trên
đường cong  với chiều dài s và thời gian t. Biên nhúng được cho bởi một lực đơn.
Lực này được kết hợp lại thành lực vật thể f trong hệ phương trình Navier-Stokes.
Khi đó hệ phương trình Navier-Stokes được giải để xác định vận tốc dòng chảy của
miền lưu chất  . Khi đó biên nhúng tương tác với dịng lưu chất, vận tốc của nó
phải phù hợp với điều kiện biên khơng trượt. Phương trình động lượng của hệ thống
được xác định như sau:

ρ

∂
u
+ ρ(u.∇)u +∇p = μΔu + f

∂
t

(3.1)

u  0

(3.2)

Với x  x, y  và X   X , Y  , ux, t   ux, t , vx, t  là vận tốc lưu chất và px, t  là
áp suất của miền lưu chất. Các hệ số  và  là khối lượng riêng và độ nhớt của lưu
chất. Lực vật thể tác dụng lên miền lưu chất là f x, t    f x x, t , f y x, t  hay

f x, t    Fs, t  x  Xs, t ds

(3.3)



8


Với Fs, t   Fx s, t , Fy s, t  là lực vật thể tại các điểm nút của biên nhúng và

 x  Xs, t    x  X   y  Y  là hàm Dirac delta. Chuyển động của biên nhúng
được xác định bởi

Xs, t 
 Us, t   uXs, t , t    ux, t  x  Xs, t dx
t



(3.4)

Phương trình (3.3) và (3.4) biểu diễn tương tác giữa biên nhúng và lưu chất. Trong
phương trình (3.3) lực vật thể được áp dụng cho lưu chất giống như biên nhúng.
Phương trình (3.4) thì biên nhúng được xác định bởi vận tốc miền lưu chất.
Hai tính chất then chốt mà chúng ta cần áp đặt là  x  Xs, t  (chương 4)

  x  Xs, t dx  1

(3.5)

 x  Xs, t  x  Xs, t dx  0

(3.6)





Những tính chất này rất quan trọng giữ cho mọi giá trị thực X thay đổi không đơn
thuần X   .
Lực vật thể được suy ra như sau

 f x, t dx    Fs, t  x  Xs, t dsdx   Fs, t ds





(3.7)



3.2 PHƢƠNG PHÁP SỐ
3.2.1 Rời rạc không gian và thời gian.
Phương pháp biên nhúng kết hợp Eulerian-Lagrangian bằng phương pháp sai
phân hữu hạn tính tốn cho tương tác giữa lưu chất và biên nhúng. Một ví dụ thiết
lập 2D với một biên nhúng là một đường cong khép kín được biểu diễn trong hình
3.1b. Hai vấn đề của lưới tính tốn: Một ơ trung tâm lưới Đề Các cho biến
Eulerian, và một tập hợp các điểm nút cho biến Lagrangian.

9


Cho miền lưu chất  f  [0, l x ]  [0, l y ] và N x  N y
Lưới Eulerian với h  hx  hy là khoảng cách lưới, và hx  hy  l x / N x  l y / N y . Với
uij biểu thị giá trị biến u tại điểm thứ (i,j). Chúng ta thiết lập N b điểm lưới
Lagrangian (Biên nhúng được chia thành s  Lb / N b ). Với Fk là giá trị của biến F
tại điểm lưới thứ k. Vị trí của điểm lưới thứ k Lagrangian là giá trị Xk. Chúng ta sử
dụng biến phía trên để biểu diễn biến tại các bước thời gian; Như vậy

u n x  ux, nt  và X n s   Xs, nt  .

a)

b)

Hình 3.1: a) Biểu đồ lưu chất – hệ thống biên nhúng. b) Rời rạc Eulerian (chấm

sáng) và lưới Lagrangian (chấm đen)
3.2.2 Giải vật thể
Lực vật thể được tính tốn tại những điểm điều khiển. Sau đó lực này được trải
rộng trên những điểm lưới Đề Các bởi hàm Dirac Delta.

fin, j   Fkn t  h xin, j  Xin, j sk
Nb

(3.8)

k 1

Với  h x  là hàm hai chiều Dirac, delta.

 h x  

1  x  y
    
h2  h   h 

(3.9)

Với  là hàm liên tục được xây dựng trong chương 4 như sau:

10







1
2
 8 3  2 r  1  4 r  4r ,

1
 r    5  2 r   7  12 r  4r 2 ,
8
0,




0  r 1
1 r  2

(3.10)

2 r

Hệ phương trình Navier–Stokes với các giới hạn lực khi đó được giải để tìm áp
suất pin, j 1 và trường vận tốc uin,j1 tại điểm lưới Đề Các sử dụng phương pháp sai
phân hữu hạn trong hệ thống lưới so le [3]. Trường vận tốc được nội suy để tìm ra
vận tốc tại điểm điều khiển.

dX nk 1 / dt  U nk 1   u in,j1 h x i , j  X nk 1 h 2

(3.11)

i, j

3.2.3 Giải hệ phƣơng trình Navier-stokes
Xét phương trình Navier-Stokes cho bài tốn khơng nén được trong khơng gian hai
chiều (hệ phương trình (3.1)-(3.2)) là

 u
 p   u   u  u  f

 t

  u  0

(3.12)

 u
 u 2 uv 
  2u  2u 
p


 2  2   f x










 x


t

x

y
y 


 x

 v
 uv v 2 
  2v  2v 
p
    2  2   f y
 
    

y
y 
y 
 x
 x
 t
 u v
0

 
 x y

(2.13)

Chúng ta tìm lời giải tại n  1 bước thời gian bằng ba cách tiếp cận sau:
st

3.2.3.1 Xử lý phi tuyến độ nhớt
Các điều kiện phi tuyến về độ nhớt được xử lý như sau:

11


u  u n
 n 1 n
n
n




u


u

u  f
 t




 u n 1  u 
1
  p n 1


 t
n

1
  u  0



(3.14)

3.2.3.2 Hiệu chỉnh áp suất
Trường vận tốc trung gian ( u  ) được hiệu chỉnh bởi gradient áp suất p n 1 để thực
hiện tính không nén được.

u n 1  u 
1
  p n 1
t


(3.15)

Áp suất được ký hiệu là p n 1 , phương trình trên được viết lại như sau:

1 n 1 1 
1
u  u   p n 1
t
t


(3.16)

Áp dụng tính phân kỳ (   ) cho hai vế của phương trình trên ta được hệ phương
trình tuyến tính:

1
1
1
  u n 1    u    p n 1
t
t



1



p n 1  

(3.17)

1
  u
t

(3.18)

(Bởi vì   u n 1  0 )
Đây là phương trình Poisson cho áp suất p n1 tại thời gian n  1 . Nói tóm lại
st

n  1st bước thời gian gồm các bước sau.
 Bước 1: Tính F    u từ vận tốc u n , v n .
 Bước 2: Giải phương trình Poisson (3.18) để tìm áp suất p n1 .

12


 Bước 3: Tính trường vận tốc u n 1 , v n 1  sử dụng u n 1  u  

t



p n 1 với giá

trị áp suất p n1 được tính ở bước hai.
3.2.3.3 Lƣới so le
Khi giải phương trình Navier-Stokes, miền lưu chất  f thường dùng lưới so le. Đối
với lưới này thì áp suất p có vị trí giữa ơ. Vận tốc theo phương ngang u tại trung
điểm cạnh thẳng đứng của ô. Vận tốc theo phương thẳng đứng v tại trung điểm cạnh

nằm ngang của ô.
Xét n x  n y ô lưới, khi nói đến trường áp suất p, vận tốc u và v thì phải xét đến
những điểm bên trong và biên của ô lưới. Bất cứ điểm nào nằm bên trong miền
chính là những điểm bên trong, trong khi những điểm bên trên hoặc bên ngoài biên
là những điểm biên. Như trong hình 3.2 chấm đen là điểm trung tâm, trong khi
chấm sáng là điểm biên.

Hình 3.2: Lưới so le

13


3.2.3.3.1 Đạo hàm xấp xỉ
 Đạo hàm cấp 2
Tại điểm nằm bên trong ui , j chúng ta xấp xỉ toán tử Laplace:

ui 1, j  2ui , j  ui 1, j ui , j 1  2ui , j  ui , j 1
  2u  2u 
ui , j   2  2  

y  i , j
h2
h2
 x

(3.19)

vi 1, j  2vi , j  vi 1, j vi , j 1  2vi , j  vi , j 1
  2v  2v 
vi , j   2  2  


y  i , j
h2
h2
 x

(3.20)

 Đạo hàm bậc nhất
Một đạo hàm bậc nhất trong một điểm lưới có thể xấp xỉ bởi trung tâm của ô.

ui 1, j  ui 1, j
 u 
  
2h
 x  i , j

(3.21)

Tóm lại chúng ta khơng quan tâm tới vị trí của

u
tại vị trí ui , j , nhưng thay vì điều
x

kiện này chúng ta muốn giá trị nằm giữa những điểm ui 1, j và ui , j . Khi đó xấp xỉ:

ui 1, j  ui , j
 u 


 
h
 x  i  1 , j

(3.22)

2

 Thành phần phi tuyến (sai phân trung tâm)
Thành phần phi tuyến là một khoảng không gian nhất định, nơi mà sự rời rạc trên
lưới so le không làm việc trực tiếp. Chẳng hạn như thành phần uv thì khơng được
xác định trực tiếp khi mà u và v nằm ở hai vị trí khác nhau. Việc giải quyết là làm
cho các đối số lùi về một bước, để cập nhật u, chúng ta cần u 2 / x và uv / y .
Nếu mà dòng chảy trên mỗi bước thời gian là so sánh chậm, chúng ta sử dụng rời
rạc trung tâm lưới so le giống như trước đó. Nó yêu cầu u 2 phải được xác định tại
trung tâm của ô, và uv phải được xác định tại các góc của ơ.

14


 ui , j  ui 1, j
 
2


u 
2

1
i , j

2

u i , j  1



2

(3.23)

ui , j  ui , j 1

(3.24)

2

2

v i  1 , j 





vi , j  vi 1, j

2

(3.25)

2

Tương tự cho các thành phần v. Tất cả những gì chúng ta cần làm là nạp một giữ
liệu mới giữa trung bình hai điểm. Sử dụng gạch ngang bên trên với mũ x chỉ dẫn số
lượng giá trị trung bình theo phương ngang, và sử dụng gạch ngang bên trên với mũ
y chỉ dẫn số lượng giá trị trung bình theo phương thẳng đứng. Chúng ta có thể viết
lại cho các thành phần phi tuyến như sau:

u  u
u x  u y v x


t
x
y

(3.26)

v  v
u y v x  v y 


t
x
y

(3.27)

2

2

Với

u 



u 



x

1
i , j
2

y

i, j

1
2

ui 1, j  ui , j
2
ui , j 1  ui , j
2

v 
x

1
i , j
2

v 
y

i, j

1
2




vi 1, j  vi , j
2
vi , j 1  vi , j

(3.28)

2

 Thành phần phi tuyến (sai phân tiến)
Khi một vấn đề đối lưu khuếch tán với một thành phần đối lưu cưỡng bức được rời
rạc sử dụng phương pháp sai phân trung tâm, vấn đề ổn định được đặt ra khi khoảng
cách lưới h là q thơ. Thì kết quả của phương pháp số sẽ có sai số so với kết quả

giải tích. Phương pháp sai phân trung tâm là phù hợp nếu số lượng chuyển đổi
không quá lớn cho mỗi bước thời gian. Đối với những dịng chảy nhanh hoặc bước
thời gian lớn thì rời rạc sẽ gần hơn so với việc áp dụng sai phân tiến. Sự chuyển đổi

15


giữa sai phân trung tâm và sai phân tiến bằng việc sử dụng một hệ số γ ∈ [0, 1]
được xác định như sau:







  min 1.2  t  max max ui , j , max vi , j ,1
i, j

i, j

(3.29)

Giá trị của γ là một thành phần lớn nhất của các ô lưới, làm cho vận tốc có thể dịch
chuyển trong mỗi bước thời gian, được nhân với 1.2, và mũ 1. Hệ số 1.2 được lấy từ
nhiều lần thử nghiệm cho sự chính xác của phương pháp sai phân tiến [3].
Tổ hợp tuyến tính giữa sai phân trung tâm và sai phân tiến được thực hiện đầy đủ
theo các bước sau:

u~ 



u~ 



x

1
i , j
2

y

i, j

1
2

ui 1, j  ui , j
2
ui , j 1  ui , j

v~ 
x

v~ 
y

i, j 

2

vi 1, j  vi , j



1
i , j
2

1
2



2
vi , j 1  vi , j

(3.30)

2

Sử dụng tổ hợp tuyến tính giữa 2 phương trình (3.26) và (3.27) có được:



 u
u  u


t



x 2

  u x u~ x
x



  u v
y

x

  v x u~ y



y

 

2
 u y v x   u y v~ x  v y    v y v~ y
v  v



t
x
y



(3.31)

(3.32)

Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng điều này sẽ trở thành sai phân trung tâm cho γ=0
và bảo toàn cho sai phân tiến cho γ =1.
3.2.3.3.2 Điều kiện biên
Áp dụng điều kiện biên một cách chính xác địi hỏi phải hết sức tỉ mỉ. Từ một vài
điểm nằm trên một biên của lưới so le trong khi các điểm khác thì biên nằm giữa
chúng. Tại những điểm nằm trên biên thì giá trị của nó được xác định trực tiếp, Như
u nằm tại biên phía tây và đơng, và v tại phía bắc và nam của biên. Chúng ta phải
xác định một giá trị giữa hai điểm là giá trị trung bình của hai điểm đó. Biên phía

16