Bài giảng chuyên đề kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG
1) a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca , a, b, c  R .
a+b
2) a.b  
 , a, b  0
 2 
2

an + bn  a + b 

10)
 ,với a, b  0 , n  N * .
2
 2 
n

11) a + b + c
2

 a+b+c
3) a.b.c  
 , a, b  0
3



2

2

(a + b + c)

3

3

, a, b  R .

12) ( a + b + c )  3 ( ab + bc + ca ) , a, b  R
2

13) a3 + b3  ab ( a + b ) , a, b  0

1 1
4) ( a + b )  +   4 , a, b > 0
a b

5)

2

14) a 4 + b 4  ab ( a 2 + b 2 ) , a, b  0

1 1
4
, a, b > 0

+ 
a b a+b

15) a5 + b5  a2b2 ( a + b ) , a, b  0

1 1 1
6) ( a + b + c )  + +   9 , a, b, c > 0
a b c

3( a + b )
, a, b  R
16) a + ab + b 
4

1 1 1
9
7) + + 
, a, b > 0
a b c a+b+c

17)

a2 + b2  a + b 

8)
 , a, b  R.
2
 2 

18) (1 + a)(1 + b)  1 + ab , a, b  0

2

a 2 − ab + b2 1
 , a, b  R, a 2 + b2  0
2
2
3
a + ab + b

(

2

)

2

(

)

3

19) (1 + a)(1 + b)(1 + c)  1 + 3 abc , a, b, c  0

a 3 + b3  a + b 

 ,với a, b  0 .
2

 2 
3

9)

2

2

20)

1
1
2
, với ab  1.
+

2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho x , y , z  0 . Chứng minh rằng: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2  3 ( x + y + z )
Giải
3( a + b )
, a, b (*).
 Ta ln có bất đẳng thức: a + ab + b 
4
2

2

2

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Thật vậy (*)  4a 2 + 4ab + 4b 2  3 ( a 2 + 2ab + b 2 )  a 2 − 2ab + b 2  0  ( a − b )  0 (luôn đúng).
2

Dấu “=” xảy ra  a = b.

3( x + y )
3
x + xy + y 
=
( x + y)
4
2
2

 Áp dụng (*) ta có:

2

2

Tương tự ta có: y 2 + yz + z 2 

3
( y + z ) và
2

z 2 + zx + x 2 

3
( z + x)
2

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2 

3
( 2x + 2 y + 2z ) = 3 ( x + y + z ) , (đpcm)
2

x = y

Dấu “=” xảy ra   y = z  x = y = z.
z = x


Bài 2. Cho a , b , c  0 thỏa

1 2 3
+ +  1 . Chứng minh rằng:
a b c

b 2 + 2ab + 4a 2
4c 2 + 6bc + 9b 2
9a 2 + 3ac + c 2
+
+
 3
ab
bc
ca
Giải

 Ta có VT =
=
1
a

b 2 + 2ab + 4a 2
4c 2 + 6bc + 9b 2
9a 2 + 3ac + c 2
+
+
a 2b 2
b 2c 2
c2a2
1 2 4
4 6 9
9 3 1
+ + 2+ 2+ + 2+ 2+ + 2
2

a ab b
b bc c
c ac a
2
b

3
c

 Đặt x = ; y = ; z =  x, y, z  0. Ta có: VT = x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2
Theo bài 1 ta có:

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2  3 ( x + y + z )

 1 2 3
Mặt khác 3 ( x + y + z ) = 3  + +   3.1 = 3. Do đó VT  3 = VP, (đpcm).
a b c
1 2 3
a = 3
= =
x = y = z
1 2 3 1

 a b c

 = = =  b = 6.
Dấu “=” xảy ra   1 2 3  
1
2
3

1
+
+
=
 a b c
 + + =1 a b c 3
c = 9

 a b c

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
y 2 + 2x2
z2 + 2 y2
x2 + 2 z 2
+
+
 3
xy
yz
zx

Bài 3. Cho x , y , z  0 và xy + yz + zx = xyz . Chứng minh rằng:
Giải
 Ta luôn có bất đẳng thức: a + b + c
2

2

2

(a + b + c)


2

3

, a, b (*).

(

Thật vậy (*)  3a 2 + 3b 2 + 3c 2  a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca

)

 ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 ) + ( c 2 − 2ca + a 2 )  0  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 (luôn đúng).
2

2

2

Dấu “=” xảy ra  a = b = c.

 Áp dụng (*) ta có:
Tương tự ta có:

y 2 + 2x2
=
xy

y 2 + x2 + x2

xy

z2 + 2 y2
1 zx + 2 yx và

yz
3 xyz

( y + x + x)
3
xy

2

=

1 y + 2x
1 yz + 2 xz
=
3 xy
3 xyz

x2 + 2 z 2
1 xy + 2 zy


zx
3 xyz

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
y 2 + 2 x2
z2 + 2 y2
1  yz + 2 xz zx + 2 yx xy + 2 zy  1 3 ( xy + yz + zx )
3xyz
x2 + 2z 2
.
+
+

+
+
=
= 3 (đpcm).

=
xy
yz
zx
xyz
xyz 
xyz
3  xyz
3
3.xyz

x = y
y = z

 x = y = z = 3.
Dấu “=” xảy ra  
z = x
 xy + yz + zx = xyz

Bình luận: Nếu khơng có giả thiết xy + yz + zx = xyz thì bất đẳng thức trở thành:
3 ( xy + yz + zx )
y 2 + 2x2
z2 + 2 y2
x2 + 2 z 2
. Đến đây tùy theo sự sáng tạo của người ra đề ta có
+
+

xy
yz
zx
xyz

nhiều bài tốn mới rất thú vị.
1) Hướng 1: Rút gọn mẫu ở 2 vế được bất đẳng thức đơn giản.

3 ( xy + yz + zx )
1 1 1
= 3  + + .
xyz
x y z

1 1 1
9
+ + 
3) Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ
x y z x+ y+z

2) Hướng 2: Biến đổi

4) Hướng 4: Cho thêm các điều kiện như x + y + z  1; xyz  3;...

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương x, y, z thỏa

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

1
1
1
+
+
 2020 .
x+ y y+z z+x

y 2 + 2 x2
z2 + 2 y2
x2 + 2 z 2
+

+
.
xy
yz
zx

Giải
 Ta ln có bất đẳng thức: a + b + c
2

2

2

(a + b + c)


2

, a, b (*).

3

(

Thật vậy (*)  3a 2 + 3b 2 + 3c 2  a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca

)

 ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 ) + ( c 2 − 2ca + a 2 )  0  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 (luôn đúng).

2

2

2

Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
 Áp dụng (*) ta có: y + 2 x = y + x + x
2

2

2

Chứng minh tương tự ta có:
P

31 2 1 2 1 2
 + + + + + 
3 x y y z z x

P

33 3 3
 + + 
3 x y z

2

3

2

( y + 2x )
=
3

2



y 2 + 2 x2
1 y + 2x
31 2

=
 + 
3 x y
xy
3 xy

x2 + 2 z 2
31 2

 + 
zx
3  z x

(1)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức

 2020 

( y + x + x)


z2 + 2 y2
3 1 2

 +  và
yz
3  y z

1 1 1
 P  3 + + 
x y z

được 2020 

2

1 1
4
1
11 1
+ 
  +  dấu “=” xảy ra khi a = b ta
. Hay
a b a+b

a+b 4 a b 

1
1
1
11 1 1 1 1 1
+
+
  + + + + + 
x+ y y+ z z+ x 4 x y y z z x

1
1
1
11 1 1
1 1 1
+
+
  + +   + +  4040 ( 2)
x+ y y+ z z+ x 2 x y z 
x y z

Từ (1) và ( 2)  P  4040 3 . Dấu " = " xảy ra khi x = y = z =

4040
3

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4040 3 , khi x = y = z =

4040
.
3

)  x1 + y1 + z1   32  y +x z + z +y x + x +z y  .

(

Bài 5. Cho x, y, z  0. Chứng minh rằng: x3 + y 3 + z 3 

3



3

3







Giải
+) Ta ln có bất đẳng thức: a + b  ab(a + b), a, b  0 (*).
3

3

(

)

(

)

Thật vậy (*)  ( a + b ) a 2 − ab + b 2 − ab(a + b)  0  (a + b) a 2 − 2ab + b 2  0

 ( a + b )( a − b )  0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra  a = b.
2

+) Áp dụng (*) ta có:  x + y  xy( x + y)
3

3

 y + z  yz( y + z)
3

3

 z3 + x3  zx( z + x)

(

)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: 2 x3 + y 3 + z 3  xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx( z + x),(**).
+) Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có:

(

1
1 1
1
1
1 1
3
+ 3 + 3  33 3 3 3  3 + 3 + 3 
, (***).
3
x
y
z
x y z
x
y
z
xyz
3
 xy( x + y) + yz ( y + z ) + zx( z + x)
)  x1 + y1 + z1   xyz

3
3

3
+) Nhân vế theo vế (**) và (***) ta có: 2 x + y + z 



3

3

3



 1 1 1  3 y + z z + x x+ y 
 ( x3 + y 3 + z 3 )  3 + 3 + 3   
+
+
 , (đpcm).
y z  2 x
y
z 
x
+) Dấu “=” xảy ra  x = y = z.
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:

1
1
1
1
+

+

x3 + y 3 + xyz y 3 + z 3 + xyz z 3 + x3 + xyz xyz
Giải
+) Ta ln có bất đẳng thức: a + b  ab(a + b), a, b  0 (*).
3

(

3

)

(

)

Thật vậy (*)  ( a + b ) a 2 − ab + b 2 − ab(a + b)  0  (a + b) a 2 − 2ab + b 2  0

 ( a + b )( a − b )  0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
2

+) Áp dụng (*) ta có:

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
z
1

1
3
3

=
 x + y + xyz  xy ( x + y ) + xyz = xy ( x + y + z )  3
3
x + y + xyz xy ( x + y + z ) xyz ( x + y + z )

1
1
y
x


và 3
3
3
z + x + xyz xyz ( x + y + z )
y + z + xyz xyz ( x + y + z )

 Tương tự ta có:
+) Khi đó

3

x+ y+z
1
1
1

1
+ 3 3
+ 3
, (đpcm).

=
3
3
x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz ( x + y + z ) xyz
3

+) Dấu “=” xảy ra  x = y = z.
Bài 7. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng:

x3 + y 3 + 1
+
xy

y3 + z3 + 1
+
yz

z 3 + x3 + 1
3 3
zx

Giải
+) Ta ln có bất đẳng thức: a + b  ab(a + b), a, b  0 (*).
3

3

(

)

(

)

Thật vậy (*)  ( a + b ) a 2 − ab + b 2 − ab(a + b)  0  (a + b) a 2 − 2ab + b 2  0

 ( a + b )( a − b )  0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
2

+) Áp dụng (*) ta có:

▪

xy ( x + y ) + 1

x3 + y 3 + 1

xy

xy

▪ Tương tự ta có:

=

y3 + z3 + 1

yz

xy ( x + y ) + xyz
xy

x+ y+z
và
yz

=

xy ( x + y + z )
xy

z 3 + x3 + 1

zx

=

x+ y+z
xy

x+ y+z
zx

+) Cộng vế theo vế các kết quả trên ta có:

x3 + y 3 + 1
+
xy

 1
y3 + z3 + 1
z 3 + x3 + 1
1
1 
+
 x+ y+ z
+
+

 xy
yz
zx
yz
zx 


+) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 1

1
1 
1 
x+ y+z
+

+
 3 3 xyz .  3 3

 = 3 3, (đpcm).
 xy

xyz
yz
zx




+) Dấu “=” xảy ra  x = y = z.

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
1
1
1
1 1 1
Bài 8. Cho x, y, z  0 và thỏa mãn + + = 4 . Chứng minh rằng:
+
+
1.
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
x y z

Giải

+) Ta ln có bất đẳng thức:

Thật vậy (*) 

1 1
4
, a, b > 0 (*).
+ 
a b a+b

4
a+b

 (a + b)2  4ab  a 2 − 2ab + b2  0  (a − b)2  0, (luôn đúng).
ab
a+b

Dấu “=” xảy ra  a = b.
+) Áp dụng (*) ta có:

1
1
1
4
1 1
1 
=
= .

 
+
.
2 x + y + z ( x + y) + ( x + z ) 4 ( x + y) + ( x + z ) 4  x + y x + z 

Tiếp tục áp dụng (*) ta có:
Do đó:

1 1
1  1 4
4  1 1 1 1 1 1 2 1 1
+
+

= 
  + + + =  + + 
4  x + y x + z  16  x + y x + z  16  x y x z  16  x y z 

1
1
1
1 1 1 2
1 1 2 1
1 2 1 1
  + +  và
  + +  . Tương tự ta có:
  + + 
2 x + y + z 16  x y z 
x + y + 2 z 16  x y z 
x + 2 y + z 16  x y z 

+) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta có:

1
1
1
1 4 4 4
+
+
  + + 
2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2 z 16  x y z 

1
1
1
11 1 1
1 1 1
+
+
  + +  , mà theo giả thiết: + + = 4 . Do đó ta có bất
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4  x y z 
x y z
1
1
1
đẳng thức trở thành: 
+
+
 1, (đpcm).
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z



Dấu “=” xảy ra  x = y = z.

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
 3
4 5 3
2
1 
+ +  4
+
+
.
x y z
 x+ y y+z z+x

Bài 9. Cho x, y, z  0. Chứng minh bất đẳng thức:

Giải
+) Ta ln có bất đẳng thức:
Thật vậy (*) 

1 1
4
, a, b > 0 (*).
+ 
a b a+b

4
a+b

 (a + b)2  4ab  a 2 − 2ab + b2  0  (a − b)2  0, (luôn đúng).
ab
a+b

Dấu “=” xảy ra  a = b.
+) Áp dụng (*) ta có: 

3
3 4
31 1 
= .
  + 
x+ y 4 x+ y 4 x y 



2
2 4
2 1 1
= .
  + 
y + z 4 y + z 4 y z 



1

1 4
11 1
= .
  + 
z + x 4 z + x 4 z x 

 3  1 1  2  1 1  1  1 1 
 3
2
1 
+
+
  4   +  +  +  +  + 
 x+ y y+z z+x
 4  x y  4  y z  4  z x 

Từ các kết quả trên ta có: 4 

 3
2
1  4 5 3
 4
+
+
  + + , (đpcm).
+
+
+
x
y

y
z
z
x

 x y z
Dấu “=” xảy ra  x = y = z.
Bài 10. (Chun tốn tỉnh Bình Phước 2020)
a) Cho a, b  0. Chứng minh rằng:

a 2 − ab + 3b 2 + 1 

1 1 1
+ +  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a b c

b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

P=

1
( a + 5b + 2 ) .
4

1
a 2 − ab + 3b2 + 1

+

1

b2 − bc + 3c 2 + 1

+

1
c 2 − ca + 3a 2 + 1

Giải

a) Cho a, b  0. Chứng minh rằng:

a 2 − ab + 3b 2 + 1 

1
( a + 5b + 2 ) , (*).
4

Ta có (*)  16 ( a 2 − ab + 3b2 + 1)  ( a + 5b + 2 )  15a 2 + 23b2 − 26ab − 4a − 20b + 12  0 .
2

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
 13 ( a − b ) + 10 ( b − 1) + 2 ( a − 1)  0 (luôn đúng).
2

2

2

Dấu “=” xảy ra  a = b = 1.
b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

P=

1
a 2 − ab + 3b2 + 1

 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: P 
 Ta ln có bất đẳng thức:
Thật vậy (**) 

1 1 1
+ +  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a b c
+

1
b2 − bc + 3c 2 + 1

+

1
c 2 − ca + 3a 2 + 1

4
4
4
+

+
a + 5b + 2 b + 5c + 2 c + 5a + 2

1 1
4
+ 
, x, y > 0 (**).
x y x+ y

x+ y
4

 ( x + y)2  4 xy  x 2 − 2 xy + y 2  0  ( x − y) 2  0, (luôn đúng).
xy
x+ y

Dấu “=” xảy ra  x = y.
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:

4
1
1

+
a + 5b + 2 a + b + 2 4b

(1)

4
1

1

+
b + 5c + 2 b + c + 2 4c

( 2)

4
1
1

+
c + 5a + 2 c + a + 2 4a

(3)

1
1
1

 11 1 1
+
+
Từ (1) , ( 2) , ( 3) ta có: P  
+  + + 
 a+b+2 b+c+2 c+a+2 4 a b c 

(***)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:

1
1 1
1  1 1  1 1  1 
 
+    + + 
a + b + 2 4  a + b 2  4 4  a b  2

( 4)

1
1 1
1  1 1  1 1  1 
 
+     + + 
b + c + 2 4  b + c 2  4 4  b c  2

( 5)

1
1 1
1  1 1  1 1  1 
 
+     + + 
c + a + 2 4  c + a 2  4 4  c a  2

( 6)

3 1 1 1 3 3
3 3

Từ (***) , ( 4) , ( 5) , ( 6) ta được: P   + +  +  .3 + = .
8 a b c  8 8
8 2

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Vậy giá trị lớn nhất của P là

3
đạt được khi a = b = c = 1 .
2

Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016)
Cho các số dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

3(b + c) 4a + 3c 12(b − c)
+
+
.
2a
3b
2a + 3c

Giải
 Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy (**) 

1 1

4
+ 
, x, y > 0 (*).
x y x+ y

x+ y
4

 ( x + y)2  4 xy  x 2 − 2 xy + y 2  0  ( x − y) 2  0, (luôn đúng).
xy
x+ y

Dấu “=” xảy ra  x = y.

 3b + 3c
  4a + 3c   12b − 12c

+ 2 + 
+ 1 + 
+ 8
 2a
  3b
  2a + 3c


 Ta có: P + 11 = 

1
4 
 1

= ( 4a + 3b + 3c) 
+
+

 2a 3b 2a + 4c 

4 
16
 4
+
= 16
  (4a + 3b + 3c)
4a + 3b + 3c
 2a + 3b 2a + 3c 

 Áp dụng (*) ta có: P + 11  (4a + 3b + 3c) 

3

Vậy P nhỏ nhất bằng 5 , dấu bằng xảy ra chẳng hạn (a, b, c) =  ,1,1 .
2

Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

a3 + b3
b3 + c3
c3 + a 3
.
P= 2

+
+
a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2
Giải
 Ta ln có bất đẳng thức:

x 2 − xy + y 2 1
 , x; y; z  0 (*).
x 2 + xy + y 2 3

x 2 − xy + y 2 1
  3 ( x 2 − xy + y 2 )  x 2 + xy + y 2  2( x − y )2  0, (luôn đúng).
Thật vậy (*) 2
2
3
x + xy + y
Dấu “=” xảy ra  x = y.

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
 Áp dụng (*) ta có:
Tương tự ta có:

a3 + b3
a2 − ab + b2 1
=
+
 (a + b) .

(
)
a
b
a2 + ab + b2
a2 + ab + b2 3

1
b3 + c3
1
c3 + a 3
và

+
(
)
b
c
 (c + a) .
2
2
2
2
3
b + bc + c
3
c + ca + a

Từ các kết quả trên ta có: P =

2
a3 + b3
b3 + c3
c3 + a3
+
+
 (a + b + c).
2
2
2
2
2
2
3
a + ab + b b + bc + c c + ca + a

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2
2
2
(a + b + c)  .3 3 abc = .3 3 1 = 2  P  2.
3
3
3

a = b = c
 a = b = c = 1.
Dấu “=” xảy ra  
abc = 1

Vậy min P = 2 khi (a, b, c) = (1,1,1) .
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b là các số dương thỏa mãn điều kiện ab  1.
Chứng minh rằng:

1
1
+
+ 2020ab  2021 .
1+ a 1+ b
Giải

 Ta ln có bất đẳng thức:

Thật vậy (*) 

1
1
2
, (*).
+

1 + a 1 + b 1 + ab

2+a+b
2

 ( 2 + a + b ) 1 + ab  2 (1 + a )(1 + b )
(1 + a )(1 + b ) 1 + ab

(

)

 2 + 2 ab + a + a ab + b + b ab  2 + 2a + 2b + 2ab

(

) (

) (

)

 2 ab − 2ab + a ab − a + b ab − b  0



(

a− b

)(
2

)

ab − 1  0 (ln đúng vì a , b  0 ; ab  1).

 Áp dụng (*) ta có: 

Đặt

1
1
2
+
+ 2020ab 
+ 2020ab
1+ a 1+ b
1 + ab

ab = t ( 0  t  1) . Ta cần chứng minh

2
+ 2020t 2  2021
1+ t

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

 ( t − 1) ( 2020t 2 + 4040t + 2019 )  0 (luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra khi t = 1 hay a = b = 1 .

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1
1

1 
 1
+ +  3
+
+

a b c
 a + 2b b + 2c c + 2a 

Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

bc
ac
ab
.
+ 2
+ 2
2
2
a b + a c b a + b c c a + c 2b
2

Bài 16. (Chuyên tốn Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn:

a2
b2
c2
1 2021
+
+


.
a + b + b + c + c + a = 2021 . Chứng minh rằng:
b+c a +c a +b 2
2
2

2

2

2

2

2

Bài 17. (Chun tốn Hải Phịng 2020) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 5 .

Chứng minh

x
x +5
2

+

y
y +5
2

+

3z

(

6 z2 + 5

)



2 6
3

.

Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020)
Cho x, y, z  0 . Chứng minh bất đẳng thức

xy
1 + yz

+

2 yz
1
+
 2.

xy + yz
1 + xy

Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất

1
1
+
của biểu thức: S = ( a + b ) 
2
2
b 2 − ab + 2a 2
 a − ab + 2b


.


Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai)
1
Cho −  a, b, c 
3

1 + a2
1 + b2
1 + c2
6
. Chứng minh
+
+

 .
2
2
2
1 + 3b + c 1 + 3c + a 1 + 3a + b
5

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

1
ab
bc
ca
+
+
 (a + b + c)
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4

Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc  1. Chứng minh rằng:

a
b + ac
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

c + ab

c

+

a + bc



3
2

1 1 1
+ +  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b c

1

P=

b

+

a 2 − ab + 3b2 + 1

+

1
b2 − bc + 3c 2 + 1

1

+

c 2 − ca + 3a 2 + 1

Bài 24. Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng

a 2 + b2 b2 + c2 c2 + a 2 3(a 2 + b2 + c2 )
+
+

a+b
b+c
c+a
a+b+c
Bài 25. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
x2
8 x + 3 y + 14 xy
2

2

+

y2
8 y + 3z + 14 yz
2

2

+

z2
8 z + 3x + 14 xz
2

2



x+ y+z
5

Bài 26. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M=

a2 + 4a + 1 b2 + 4b + 1 c2 + 4c + 1
+
+
a2 + a
b2 + b
c2 + c

Bài 27. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh rằng:

a 3 + b3
b3 + c 3
c3 + a3

1 1 1
+
+
 + +
2
2
2
2
2
2
ab ( a + b ) bc ( b + c ) ac ( c + a ) a b c

Bài 28. Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng:

ab
bc
ca
+ 5 5
+ 5
 1.
5
a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca
5

Bài 29. Cho x, y, z  0 thỏa xy + yz + zx = 3xyz .Chứng minh rằng:

x3
y3
z3
1 1 1 1

+
+
 . + +  .
2
2
2
z+x x+ y
y+z
2 x y z

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: M =

a +1
b +1
c +1
.
+ 2
+ 2
a + 2a + 2 b + 2b + 2 c + 2 x + 2
2

Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x2 + y2 + z 2 = 3xyz . Chứng minh:

x2
y2

z2
+
+
 1.
y+2 z+2 x+2

Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=

1
1
1
+ 2
+ 2
4 x − yz + 2 4 y − zx + 2 4 z − xy + 2
2

Hết

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG
1) a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca , a, b, c  R .

a+b
2) a.b  
 , a, b  0
 2 

an + bn  a + b 

10)
 ,với a, b  0 , n  N * .
2
 2 
n

2

 a+b+c
3) a.b.c  
 , a, b  0
3



11) a + b + c
2

2

2

(a + b + c)



2

3

, a, b  R .

3

1 1
4) ( a + b )  +   4 , a, b > 0
a b

5)

1 1
4
, a, b > 0
+ 
a b a+b

1 1 1
6) ( a + b + c )  + +   9 , a, b, c > 0
a b c

7)

1 1 1
9

, a, b > 0
+ + 
a b c a+b+c

a2 + b2  a + b 

8)
 , a, b  R. .
2
 2 

12) ( a + b + c )  3 ( ab + bc + ca ) , a, b  R
2

13) a3 + b3  ab ( a + b ) , a, b  0
14) a 4 + b 4  ab ( a 2 + b 2 ) , a, b  0
15) a5 + b5  a2b2 ( a + b ) , a, b  0
3( a + b )
, a, b  R
16) a + ab + b 
4
2

2

17)

2

a 2 − ab + b2 1

 , a, b  R, a 2 + b2  0
2
2
a + ab + b
3

2

a 3 + b3  a + b 

9)
 ,với a, b  0 .
2
 2 

(

)

2

18) (1 + a)(1 + b)  1 + ab , a, b  0

(

3

)

3

19) (1 + a)(1 + b)(1 + c)  1 + 3 abc , a, b, c  0

20)

1
1
2
, với ab  1.
+

2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho x , y , z  0 . Chứng minh rằng:
Bài 2. Cho a , b , c  0 thỏa

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2  3 ( x + y + z )

1 2 3
+ +  1 . Chứng minh rằng:
a b c

b 2 + 2ab + 4a 2

4c 2 + 6bc + 9b 2
9a 2 + 3ac + c 2
+
+
 3
ab
bc
ca
y 2 + 2x2
z2 + 2 y2
x2 + 2 z 2
+
+
 3
xy
yz
zx

Bài 3. Cho x , y , z  0 và xy + yz + zx = xyz . Chứng minh rằng:

Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương x, y, z thỏa

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

1
1
1
+
+
 2020 . Tìm

x+ y y+z z+x

y 2 + 2 x2
z2 + 2 y2
x2 + 2 z 2
+
+
.
xy
yz
zx

)  x1 + y1 + z1   32  y +x z + z +y x + x +z y  .

(

Bài 5. Cho x, y, z  0. Chứng minh rằng: x3 + y 3 + z 3 



3

3

3







Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:

1
1
1
1
+ 3 3
+ 3

3
3
x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz
Bài 7. Cho x, y, z nlà các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng:
3

x3 + y 3 + 1
+
xy

y3 + z3 + 1
+
yz

z 3 + x3 + 1
3 3
zx

1

1
1
1 1 1
Bài 8. Cho x, y, z  0 và thỏa mãn + + = 4 . Chứng minh rằng:
+
+
1.
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
x y z
Bài 9. Cho x, y, z  0. Chứng minh bất đẳng thức:

 3
4 5 3
2
1 
+ +  4
+
+
.
x y z
 x+ y y+z z+x

Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020)
a) Cho a, b  0. Chứng minh rằng:

a 2 − ab + 3b 2 + 1 

b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

1

( a + 5b + 2 ) .
4

1 1 1
+ +  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a b c

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
1

P=

a − ab + 3b + 1
2

2

+

1
b − bc + 3c + 1
2

2

+

1
c − ca + 3a 2 + 1
2

Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho các số dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =

3(b + c) 4a + 3c 12(b − c)
+
+
.
2a
3b
2a + 3c

Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Tìm giá

a3 + b3
b3 + c3
c3 + a 3
.
trị nhỏ nhất của P = 2
+
+
a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b là các số dương thỏa mãn điều kiện ab  1.
Chứng minh rằng:

1
1

+
+ 2020ab  2021 .
1+ a 1+ b

Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1
1
1 
 1
+ +  3
+
+

a b c
 a + 2b b + 2c c + 2a 

Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

bc
ac
ab
.
+ 2
+ 2
2
2
a b + a c b a + b c c a + c 2b
2

Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn:

a2
b2
c2
1 2021
+
+

.
a + b + b + c + c + a = 2021 . Chứng minh rằng:
b+c a +c a +b 2
2
Bài 17. (Chun tốn Hải Phịng 2020) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 5 .
2

2

2

Chứng minh

2

x
x2 + 5

2

+

2

y
y2 + 5

+

3z

(

6 z2 + 5

)



2 6
3

.

Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020) Cho x, y, z  0 . Chứng minh bất đẳng thức :

xy
1 + yz

+

2 yz
1
+
 2.
xy + yz
1 + xy

Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất

1
1
+
của biểu thức: S = ( a + b ) 
2
2
b 2 − ab + 2a 2
 a − ab + 2b

1
Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai) Cho −  a, b, c 
3


.


. Chứng minh:

Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

1 + a2
1 + b2
1 + c2
6
+
+

2
2
2
1 + 3b + c 1 + 3c + a 1 + 3a + b
5

ab
bc
ca
1
+
+
 (a + b + c)
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606


Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc  1. Chứng minh rằng:
a
b + ac
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

a − ab + 3b + 1
2

c

+

c + ab

a + bc

3
2



1 1 1
+ +  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b c

1

P=

b

+

2

+

1
b − bc + 3c + 1
2

2

1

+

c − ca + 3a 2 + 1
2

Bài 24. Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

a 2 + b2 b2 + c2 c2 + a 2 3(a 2 + b2 + c2 )
+
+

a+b
b+c
c+a
a+b+c
Bài 25. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
x2
8 x + 3 y + 14 xy
2

2

y2

+

8 y + 3z + 14 yz
2

2

+

z2
8 z + 3x + 14 xz
2

2



x+ y+z
5

Bài 26. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M=

a2 + 4a + 1 b2 + 4b + 1 c2 + 4c + 1

+
+
a2 + a
b2 + b
c2 + c

Bài 27. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh rằng:

a 3 + b3
b3 + c 3
c3 + a3
1 1 1
+
+
 + +
2
2
2
2
2
2
ab ( a + b ) bc ( b + c ) ac ( c + a ) a b c

Bài 28. Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng:

ab
bc
ca
+ 5 5
+ 5

 1.
5
a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca
5

Bài 29. Cho x, y, z  0 thỏa xy + yz + zx = 3xyz ..Chứng minh rằng:

x3
y3
z3
1 1 1 1
+
+
 . + +  .
2
2
2
z+x x+ y
y+z
2 x y z

Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
a +1
b +1
c +1
.
+ 2
+ 2
thức: M = 2
a + 2a + 2 b + 2b + 2 c + 2 x + 2

Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x2 + y2 + z 2 = 3xyz . Chứng minh:

x2
y2
z2
+
+
 1.
y+2 z+2 x+2

Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=

1
1
1
+ 2
+ 2
4 x − yz + 2 4 y − zx + 2 4 z − xy + 2
2

Hết

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606