Giáo trình giải tích hàm

Đại học Huế
Trờng Đại học S phạm
NGUYễN HOàNG

Và

LÊ VĂN HạP

Giáo trình

giải tích hàm

Huế - 2014


æ

`.I NOI
´ D
ˆU
-`
LO
A
´
... Va
`o n˘
am 1932, Banach xuˆ
a´t ba’n cuˆ
o´n sa
´ ch “Ly
´ thuyˆ

e t toa
´n
.
.
.
.
.
´
`e ly
`om nh˜
´
e t qua’ d¯u o. c biˆ
´ vˆ
´
tu’ ”, nˆ
o.i dung bao gˆ
u ng kˆ
e t va
`o th`
o i d¯o
´
thuyˆ
e t ca
´ c khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n, d¯˘
a.c biˆ
e.t la
` ca
´ c d¯i.nh ly

´ cu’a Banach
˜ cˆ
d¯a
ong bˆ
o´ trong ca
´ c ba
`i ba
´ o t`
u. n˘
am 1922-1929... Cuˆ
o´n sa
´ ch na
`y la
`m
.
o´n sa
´ ch cu’a Van der Waerden
cho Gia’i tı
´ch ha
`m co
´ mˆ
o.t ta
´ c d¯ˆ
o.ng nhu cuˆ
`e d¯a.i sˆ
vˆ
o´, d¯u.o..c xuˆ
a´t ba’n hai n˘
am tru.´
o.c d¯o

´ . Ca
´ c nha
` gia’i tı
´ch trˆ
en
.
.
.
.
.
.
.
.
´t d¯ˆ
`au nhˆ
´
a
a.n th´
u c d¯u o. c s´
´ p m´
o i va
`
u c ma.nh cu’a phu o ng pha
thˆ
e gi´
o i b˘
.
´ap du.ng chu
´ ng va
`o ca

´ c lı˜nh vu. c kha
´ c nhau; ca
´ c ky
´ hiˆ
e.u va
` thuˆ
a.t ng˜
u.
`ay d¯u’
˜ i, khˆ
cu’a Banach d¯u.o..c chˆ
a´p nhˆ
a.n rˆ
o.ng ra
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n d¯ˆ
`oi ch˘
´
d¯u.o..c go.i la
` khˆ
ong gian Banach rˆ
a’ng bao lˆ
au, ly
´ thuyˆ
e t na
`y tro’.
´t buˆ
`an b˘
tha
`nh mˆ

o.t phˆ
a
o.c trong chu.o.ng trı`nh d¯a.i ho.c...

J. Dieudonne
´ (1981)
Gia’i tı´ch ha
`m la` mˆo.t nga
`nh cu’a gia’i tı´ch toa
´ n ho.c nghiˆen c´
u.u ca
´ c d¯oˆ´i tu.o..ng
ong thu.`o.ng.
o’ng qua
´ t ho.n ca
´ c khˆ
ong gian Rn thˆ
va
` cˆa´u tru
´ c toa
´ n ho.c tr`
u.u tu.o..ng, tˆ
`eu nga
´et qua’ va
´ p cu’a no
´ thˆ
am nhˆ
a.p va
`o nhiˆ
`nh kha

´ c nhau nhu.
Ca
´ c kˆ
` phu.o.ng pha
´et phu.o.ng trı`nh vi phˆ
´et
ly
´ thuyˆ
an thu.`
o.ng, phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha
`m riˆeng, ly
´ thuyˆ
.
.
.
.
.
´en phˆ
` biˆ
an, phu o ng pha
´ p tı´nh,... Ra d¯o` i va
`o nh˜
u ng n˘
am
ca
´ c ba
`i toa
´ n cu. c tri. va
.
.

.
.
´e ky’ 20, d¯´ˆen nay gia’i tı´ch ha
˜ y d¯u o. c nh˜
u ng tha
`nh tu. u quan
d¯`aˆu cu’a thˆ
`m tı´ch lu
.
.
.
´en
`nh chuˆ
a’n mu. c trong viˆe.c nghiˆen c´
u u va
` trı`nh ba
`y ca
´ c kiˆ
tro.ng va
` no
´ d¯˜a tro’ tha
.
´ n ho.c.
th´
u c toa
- a.i ho.c Su. pha.m, d¯u.o..c viˆ
´et
´n D
Gia
´ o trı`nh na

`y da
`nh cho sinh viˆen ca
´ c l´o.p Toa
.
.
- a.i ho.c Su.
`m d¯˜a d¯o.c cho sinh viˆen khoa Toa
´n D
ra trˆen co so’ Ba`i gia’ng gia’i tı´ch ha
-ˆ
´e trong nh˜
`an b˘
˜ ng la
pha.m Huˆ
u.ng n˘
am v`
u.a qua. D
ay cu
` ho.c phˆ
a´t buˆ
o.c cuˆo´i cu`ng
`e mˆon gia’i tı´ch ma` sinh viˆen pha’i ho.c trong chı´nh khoa
vˆ
´.
´et va
`an hu.´
`om 5 chu.o.ng ly
´ thuyˆ
` co
´ phˆ

o.ng dˆ
a˜n gia’i ba
`i
Nˆ
o.i dung gia
´ o trı`nh gˆ
.
.
.
.
´en th´
`nh cho viˆe.c trı`nh ba
`y nh˜
u ng kiˆ
u c co.
tˆ
a.p cu`ng phu. lu.c. Hai chu o ng d¯`aˆu da
ba’n, d¯a.i cu.o.ng cu’a khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n va
` mˆo.t sˆo´ d¯i.nh ly
´ quan trong cu’a gia’i
.
.
´en tı´nh. Ca
`n la.i xe
´ t ca
´ c vˆa´n d¯`ˆe cu. thˆe’ ho.n nhu. ca
´c
tı´ch ha

`m tuyˆ
´ c chu o ng co
p
.
´en
ong gian Hilbert va
` ca
´ c vˆa´n d¯`ˆe liˆen quan d¯´ˆen toa
´ n tu’ tuyˆ
khˆ
ong gian L , khˆ
o.i chu.o.ng trı`nh hiˆe.n ha
`nh cu’a nga
`nh toa
´ n ca
´c
tı´nh. Ca
´ c nˆ
o.i dung na
`y phu` ho..p v´

Typeset by AMS-TEX


2

tru.`
o.ng su. pha.m, d¯u.o..c cho.n lo.c theo phu.o.ng chˆ
am tinh gia’n va
` co. ba’n giu

´ p sinh
´ i nhı`n thˆ
o´ng nhˆ
a´t d¯oˆ´i v´
o.i nga
`nh gia’i tı´ch.
viˆen co
´ d¯u.o..c ca
´en th´
`an gia’i tı´ch
´e th`
` pha
´ t triˆe’n ca
´ c kiˆ
u.c cu’a ca
´ c ho.c phˆ
Mˆ
on ho.c na
`y kˆ
u.a va
.
.
.
`an oˆn la.i ca
´en th´
`e khˆ
o c d¯´o . Do d¯´o sinh viˆen cˆ
´ c kiˆ
u c vˆ
ong gian mˆetric, tˆo pˆ

o,
tru ´
.
´et d¯oˆ. d¯o, tı´ch phˆ
˜ ng nhu mˆo.t sˆo´ ky˜ n˘
ang tı´nh toa
´ n cu’a gia’i tı´ch cˆo’
ly
´ thuyˆ
an cu
- ˆe’ giu
´en th´
d¯iˆe’n. D
´ p sinh viˆen tˆa.p vˆ
a.n du.ng kiˆ
u.c d¯˜a ho.c, cuˆo´i mˆo˜i mu.c co
´ mˆo.t sˆo´
.
.
.
.
.
`an cuˆ
´ ng. Phˆ
o´i co
´ hu ´
o ng dˆ
a˜n va
` gia’i mˆo.t sˆo´ ca
´ c ba

`i tˆ
a.p nhu. la
`
ba
`i tˆ
a.p tu o ng u
´ thˆe’ ho.c tˆo´t ho.n.
nh˜
u.ng go..i ´y d¯ˆe’ sinh viˆen co
´ m o.n ca
´ c d¯`oˆng nghiˆe.p o’. Tˆo’ Gia’i tı´ch Khoa Toa
´ n,
Ca
´ c ta
´ c gia’ xin d¯u.o..c ca
.
.
.
´e d¯˜a d¯´o ng go
´en va
`eu kiˆe.n d¯ˆe’ gia
o ng d¯a.i ho.c Su pha.m Huˆ
´ p ´y kiˆ
` ta.o d¯iˆ
´ o trı`nh
Tru `
.
.
.
.

.
`an in
´ ng tˆ
oi mong nhˆ
a.n d¯u o. c nh˜
u ng phˆe bı`nh, go
´ p ´y d¯ˆe’ nh˜
u ng lˆ
na
`y ra d¯o` i. Chu
´en tˆ
o’ sung va
` ca’i tiˆ
o´t ho.n.
sau gia
´ o trı`nh d¯u.o..c bˆ


3

Chu.o.ng 1
ˆ
ˆ´N T´INH D
ˆ’ N
- I.NH CHUA
KHONG
GIAN TUYE

Kh´
ai niˆe.m khˆ

ong gian tuyˆe´n t´ınh (hay khˆ
ong gian vecto.) l`
a mˆo.t trong nh˜
u.ng
kh´
ai niˆe.m quan tro.ng v`
a co. ba’n cu’a to´
an ho.c hiˆe.n d¯a.i. C´
ac vˆa´n d¯`ˆe cu’a d¯a.i sˆo´
.
.
.
.
y thuyˆe´t d¯i.nh th´
u c, ma trˆ
a.n, hˆe. phu o ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, . . .
tuyˆe´n t´ınh nhu l´
at biˆe’u v`
a tr`ınh b`
ay mˆo.t c´ach nhˆ
a´t qu´
an trˆen ngˆon ng˜
u. v`
a cˆa´u tr´
uc cu’a
d¯u.o..c ph´
.
n
ung ta
am to´

an trˆen c´ac tˆa.p R hay R ch´
khˆ
ong gian vecto . Trong gia’i tı´ch, khi l`
.
.
.
uc sˆo´ ho.c cu’a tˆ
a.p n`
ay. Tuy nhiˆen bu ´
o c v`ao c´ac l˜ınh
kha
´ quen thuˆ
o.c v´o i cˆa´u tr´
.
.
.
.
.
’
ac, ch˘
ang ha.n l´
y thuyˆe´t phu o ng tr`ınh vi phˆ
an, phu o ng tr`ınh t´ıch phˆ
an,
vu. c kh´
.
.
.
`an xˆ
o ng xuyˆen l`

am viˆe.c trˆen tˆa.p c´
ac h`
am sˆo´, ta cˆ
ay du. ng c´
ac cˆa´u
khi pha’i thu `
´en tı´nh d¯ˆe’ thu..c hiˆe.n ca
´ c phe
´ p toa
´ n d¯a.i sˆo´ trˆen tˆa.p c´ac h`am
tr´
uc khˆ
ong gian tuyˆ
- `ˆ
am to´
an gia’i t´ıch d¯u.o..c trˆen c´ac khˆ
ong gian aˆ´y mˆo.t
sˆo´ d¯o´. D
ong th`
o.i, d¯ˆe’ c´o thˆe’ l`
.
.
ung ta pha’i d¯u a cˆa´u tr´
uc mˆetric v`ao cho ch´
ung. Tuy nhiˆen nˆe´u
c´ach tu. nhiˆen ch´
uc khˆ
ong gian vecto. v`
a cˆa´u tr´
uc khˆ

ong gian mˆetric th`ı
nghiˆen c´
u.u riˆeng r˜e cˆa´u tr´
.
.
.
` ng v´
`eu g`ı m´o i. Chu
´ ng ta hy vo.ng r˘
a
o.i su.. kˆe´t ho..p nhˆ
a´t
ta s˜e khˆ
ong thu d¯u o. c d¯iˆ
.
.
.
a´u tr´
uc n`
ay th`ı c´ac vˆa´n d¯`ˆe nghiˆen c´
u u c`
ung nh˜
u ng kˆe´t qua’ m´o.i
d¯.inh gi˜
u a hai cˆ
`an lu.o..t tr`ınh b`
`eu ho.n. C´
ac nˆ
o.i dung d¯o´ s˜e d¯u.o..c lˆ
ay qua c´

ac
s˜e xuˆ
a´t hiˆe.n nhiˆ
.
.
.
ao tr`ınh n`
ay. Mo’ d¯`aˆu, mu.c §1 da
`nh cho viˆe.c ˆon la.i c´ac kh´
ai niˆe.m
chu o ng cu’a gi´
.
´et liˆen quan d¯ˆe´n khˆ
´ c mu.c kha
´ c la` nˆ
o.i dung
v`
a t´ınh chˆ
a´t d¯˜a biˆ
ong gian vecto . Ca
`y.
m´o.i cu’a chu.o.ng na
ˆ
ˆ´N T´INH
§1. KHONG
GIAN TUYE
- i.nh ngh˜ıa. Mˆ
´en tı´nh hay khˆ
1.1 D
o.t khˆ

ong gian tuyˆ
ong gian vecto. X trˆen
o.ng K l`
a mˆo.t tˆ
a.p ho..p kh´
ac trˆ
o´ng X, c´o trang bi. hai ph´ep to´
an cˆo.ng (+)
mˆo.t tru.`
.
.
o ng) nghiˆe.m d¯u
´ ng c´ac tiˆen d¯`ˆe sau:
v`
a ph´ep nhˆan ngo`
ai (nhˆ
an vˆ
o hu ´
`an tu’. (x, y) ∈ X × X
1) (X, +) l`
a mˆo.t nh´
om Abel, ngh˜ıa l`
a: v´
o.i mˆo˜i c˘a.p phˆ
`an tu’. cu’a X k´
o.i mˆo.t phˆ
y hiˆe.u x + y, go.i l`
a tˆ
o’ng cu’a x v`
a y, thoa’ m˜an

cho u
´.ng v´
a. x + y = y + x v´
o.i mo.i x, y ∈ X.
b. (x + y) + z = x + (y + z) v´
o.i mo.i x, y, z ∈ X.
`an tu’. khˆ
`on ta.i phˆ
`an tu’. 0 ∈ X, go.i l`
a phˆ
ong sao cho
c. Tˆ
∀x ∈ X, x + 0 = 0 + x = x.


4

`on ta.i mˆo.t phˆ
`an tu’. k´
`an tu’. d¯ˆ
d. V´
o.i mo.i x ∈ X tˆ
y hiˆe.u −x, go.i l`
a phˆ
o´i cu’a x
sao cho x + (−x) = 0.
o.ng trˆen X, t´
u.c l`a mˆo˜i c˘a.p (α, x) ∈ K × X u
´.ng
2) X c`

ung ph´ep nhˆan vˆ
o hu.´
`an tu’. cu’a X, k´
y hiˆe.u αx, thoa’ m˜an
v´
o.i mˆo.t phˆ
a. α(x + y) = αx + αy v´
o.i mo.i α ∈ K, x, y ∈ X.
b. (α + β)x = αx + βx v´
o.i mo.i α, β ∈ K, x ∈ X.
c. α(βx) = (β α)x = αβx, α, β ∈ K, x ∈ X.
d. ∀x ∈ X, 1x = x.
`an tu’. cu’a X go.i l`
a c´ac vecto., α ∈ K go.i l`
a vˆ
o hu.´
o.ng. Trong gi´
ao
C´ac phˆ
.
.
.
.
.
.
.
.
o ng K l`
a R (tru `
o ng c´

ac sˆo´ thu. c) ho˘a.c C (tru `o ng
tr`ınh n`
ay ta chı’ l`
am viˆe.c v´o i tru `
.
c´ac sˆo´ ph´
u c).
V´ı du..
o.i c´ac ph´ep to´
1. Tˆ
a.p ho..p K n = K × . . . × K v´
an cˆo.ng v`
a nhˆ
an vˆ
o hu.´o.ng:
`an
n lˆ

x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
αx = (αx1 , . . . , αxn )
trong d¯o´ α ∈ K, x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ K n l`
a mˆo.t khˆ
ong gian
-˘
a.c biˆe.t khi n = 1 th`ı K l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto. trˆen ch´ınh n´
o.
vecto.. D
ac d¯a th´

u.c mˆo.t biˆe´n thu..c trˆen R, k´
y hiˆe.u l`
a P v´
o.i ph´ep cˆo.ng hai
2. Tˆ
a.p ho..p c´
o.t sˆo´ v´
o.i d¯a th´
u.c d¯u.o..c x´ac d¯i.nh theo c´
ach thˆ
ong thu.`o.ng
d¯a th´
u.c, ph´ep nhˆan mˆ
c˜
ung l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto..
a´t ca’ c´ac h`
am sˆo´ thu..c ho˘
a.c ph´
u.c x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.t tˆ
a.p A kh´
ac
3. Tˆ
a.p ho..p tˆ
.
an
trˆ
o´ng v´
o i c´ac ph´ep to´

∀x ∈ A, (f + g)(x) = f (x) + g(x),
(λf )(x) = λf (x),
l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto., ta k´
y hiˆe.u l`
a F(A).
4. Tˆa.p ho..p c´
ac d˜ay sˆo´ thu..c (ho˘
a.c ph´
u.c) v´
o.i c´ac ph´ep cˆo.ng v`
a ph´ep nhˆ
an
o.ng d¯u.o..c x´ac d¯.inh theo c´
ach thˆ
ong thu.`
o.ng lˆ
a.p th`
anh khˆ
ong gian vecto., k´
y
vˆ
o hu.´
.
.
o i N l`
a tˆ
a.p c´
ac sˆo´ tu..

hiˆe.u l`
a s. Thˆ
a.t ra, theo k´
y hiˆe.u o’ v´ı du. 3, ta c´o s = F(N), v´
nhiˆen.


5

-ˆ
1.2 D
o.c lˆ
a.p tuyˆ
e´n t´ınh-Co. so’..
a c´ac vecto.
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto. v`
a x1 , x2 , . . . , xn l`
1.2.1. Gia’ su’. X l`
thuˆ
o.c X. Tˆ
o’ng
n

α1 x1 + · · · + αn xn =

αi xi ,
i=1

trong d¯o´ c´ac αi ∈ K d¯u.o..c go.i l`

a mˆo.t tˆ
o’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac vecto. x1 , . . . , xn
v´
o.i c´ac hˆe. sˆ
o´ α1 , . . . , αn .
Cho M l`
a mˆo.t tˆ
a.p con cu’a X. Ta go.i M l`
a mˆo.t tˆ
a.p ho..p d¯ˆ
o.c lˆ
a.p tuyˆe´n t´ınh
`an tu’. {x1 , . . . , xn } ⊂ M va
´ c phˆ
` ca
´ c sˆo´ α1 , . . . , αn ∈ K,
nˆe´u mo.i tˆ
a.p h˜
u.u ha.n ca
´eu
nˆ
n

αi xi = 0

th`ı αi = 0, i = 1, . . . , n,

i=1

trong d¯o´ n l`

a sˆo´ tu.. nhiˆen bˆ
a´t k`
y.
Tru.`
o.ng ho..p M khˆ
ong pha’i l`
a d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh th`ı ta go.i M l`
a phu. thuˆ
o.c
tuyˆe´n t´ınh.
1.2.2. Cho B l`
a mˆo.t tˆ
a.p con kh´
ac trˆ
o´ng cu’a khˆ
ong gian vecto. X. Tˆa.p B
a mˆo.t co. so’. ( hay co. so’. Hamel ) cu’a X nˆe´u:
d¯u.o..c go.i l`
a) B l`
a mˆo.t tˆ
a.p ho..p d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh.
a mˆo.t tˆ
o’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a
b) B sinh ra X, ngh˜ıa l`
a v´
o.i mo.i x ∈ X, x l`
`an tu’. cu’a B :
ac phˆ
mˆo.t sˆo´ h˜
u.u ha.n c´

n

∀x ∈ X

∃ α1 , . . . , αn ∈ K; ∃ x1 , . . . , xn ∈ B

: x=

αi xi

(1.2)

i=1

`e. Gia’ su’. B l`
1.2.3 Mˆ
e.nh d
¯ˆ
a mˆ
o.t co. so’. cu’ a khˆ
ong gian vecto. X. Khi d¯´
o
ac d¯.inh mˆ
o.t c´
ach duy nhˆ
a´t.
biˆe’u diˆ˜e n cu’ a vecto. x ∈ X cho bo’.i (1.2) d¯u.o..c x´
` ng trong tˆ
o.c r˘a
o’ng (1.2)

Ch´
u ´y. Trong ph´
at biˆe’u cu’a mˆe.nh d¯`ˆe n`
ay ta qui u.´
.
.
.
ac nhau t`
u ng d¯oˆi mˆo.t; khˆ
a
ong co
´ m˘a.t c´ac ha.ng tu’ da.ng 0xj v`
c´ac vecto xj kh´
u.a, do tı´nh chˆ
a´t giao hoa
´ n cu’a phe
´ p + nˆen ta khˆ
ong quan tˆ
am d¯ˆe´n th´
u. tu..
ho.n n˜
cu’a c´ac ha.ng tu’..
˜e n kh´
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. c´o hai c´
ach biˆe’u diˆ
ac nhau:
x = α1 x1 + · · · + αn xn = β1 y1 + · · · + βm ym ,
v´
o.i αi = 0, βj = 0, i = 1, . . . , n, j = 1 . . . , m.

6

Ta loa.i bo’ c´ac ha.ng tu’. αj xj v`
a βk yk o’. hai vˆe´ nˆe´u αj = βk v`
a xj = yk . L´
uc
a βk yk c`on la.i o’. hai vˆe´ s˜e xa’y ra ho˘
a.c nˆe´u
a.c xj = yk ho˘
d¯o´ c´ac ha.ng tu’. αj xj v`
`e mˆo.t vˆe´ v`
ac ha.ng tu’. d¯o´ vˆ
a viˆe´t la.i th`
anh
xj = yk th`ı αj = βk . Chuyˆe’n c´
µ1 v1 + · · · + µr vr = 0, 0 < r ≤ n + m.
- iˆ
`eu n`
Do B l`
a mˆo.t tˆ
a.p ho..p d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆen µ1 = · · · = µr = 0. D
ay
a αj ho˘
a.c βk thı` kh´
ac khˆ
ong ho˘
a.c αj − βk = 0.
vˆ

o l´
y v`ı mˆo˜i µk pha’i l`
Bˆay gi`
o. gia’ su’. B l`
a mˆo.t co. so’. cu’a khˆ
ong gian vecto. X v`
a B l`
a tˆ
a.p h˜
u.u ha.n
`an tu’.
`an tu’.. Khi d¯o´ mo.i tˆ
a.p con d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a X c´o tˆ
o´i d¯a k phˆ
c´o k phˆ
`eu d¯o´ nhu. la
´en th´
´en tı´nh!)
` ca
´ ch ˆ
on la.i kiˆ
u.c cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆ
(H˜
ay ch´
u.ng minh d¯iˆ
`eu, sˆo´ phˆ
`an tu’. cu’a B gˆ
`om k phˆ
`an tu’.
L´

uc n`
ay ta n´
oi X l`
a khˆ
ong gian h˜
u.u ha.n chiˆ
`eu cu’a X v`
d¯u.o..c go.i l`
a sˆ
o´ chiˆ
a k´
y hiˆe.u l`
a dim X = k. Nˆe´u X khˆ
ong pha’i l`
a khˆ
ong
.
`eu th`ı ta go.i n´
`eu v`
o l`
a khˆ
ong gian vˆ
o ha.n chiˆ
a viˆe´t dim X = ∞.
gian h˜
u u ha.n chiˆ
- ˆe’ nhˆ
Cho B l`
a tˆ
a.p con cu’a X. D

a.n biˆe´t B l`
a co. so’. cu’a khˆ
ong gian vecto. X,
ta c`on c´o:
- i.nh l´
ong gian vecto. X khi v`
a
1.2.4 D
y. Tˆ
a.p ∅ = B ⊂ X l`
a co. so’. cu’ a khˆ
.
o.c lˆ
a.p tuyˆe´n t´ınh tˆ
o´i d¯a.i (ngh˜ıa l`
a B d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`
a
chı’ khi B l`
a tˆ
a.p ho. p d¯ˆ
nˆe´u M B th`ı M phu. thuˆ
o.c tuyˆe´n t´ınh).
Ch´
u.ng minh.
- iˆ
`eu kiˆe.n cˆ
`an. Cho M
a. D
B. Gia’ su’. x ∈ M v`
ax∈

/ B. Khi d¯o´ theo d¯i.nh
ngh˜ıa co. so’., pha’i c´o x1 , . . . , xn ∈ B, α1 , . . . , αn ∈ K sao cho
n

n

x=

αi xi − 1x = 0.

αi xi hay
i=1

n=1

Hˆe. {x1 , . . . , xn , x} phu. thuˆ
o.c tuyˆe´n t´ınh nˆen M phu. thuˆ
o.c tuyˆe´n t´ınh.
- iˆ
`eu kiˆe.n d¯u’. V´
b. D
o.i x ∈ X, nˆe´u x ∈ B th`ı x = 1x. Nˆe´u x ∈
/ B th`ı do
.
`on ta.i mˆo.t tˆ
B ∪ {x} phu. thuˆ
o.c tuyˆe´n t´ınh nˆen tˆ
o’ ho. p tuyˆe´n t´ınh
α1 x1 + · · · + αn xn = 0
`

sao cho tˆa´t ca’ c´ac α1 , . . . , αn khˆ
ong d¯`oˆng th`
o.i b˘
a ng khˆ
ong. Trong c´ac vecto. xi
n`
ay pha’i c´o m˘a.t vecto. x, ch˘
a khi d¯o´ α1 = 0 v`ı nˆe´u khˆ
ong pha’i
a’ng ha.n x = x1 v`
.
a.y th`ı B s˜e phu. thuˆ
o.c tuyˆe´n t´ınh. Do d¯o´
nhu vˆ
−1
x = x1 = −(α−1
1 α2 x2 + · · · + α1 αn xn ).


7

Vˆ
a.y B l`
a mˆo.t co. so’. cu’a X.
- .inh l´
a mˆ
o.t khˆ
ong gian vecto. v`
a M l`
a mˆ

o.t tˆ
a.p ho..p d¯ˆ
o.c
1.2.5 D
y. Gia’ su’. X l`
.
.
`on ta.i mˆ
lˆ
a.p tuyˆe´n t´ınh trong X. L´
uc d¯´
o tˆ
o.t co so’ B cu’ a X sao cho B ⊃ M.
y hiˆe.u F l`
a tˆ
a.p ho..p tˆ
a´t ca’ c´ac tˆa.p ho..p N d¯oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh
Ch´
u.ng minh. K´
u. tu.. trˆen
trong X ch´
u.a M . Khi d¯o´ F = ∅ v`ı M ∈ F. Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe. th´
F nhu. sau: v´
a chı’ khi N1 ⊂ N2 . Gia’ su’. A ⊂ F l`
o.i N1 , N2 ∈ F, N1 ≤ N2 khi v`
a
.
` ng ho. p cu’a tˆ
a
a´t ca’ c´ac tˆa.p N thuˆ

o.c
mˆo.t tˆ
a.p con s˘
a´p th˘
a’ng cu’a F. Ta d¯a˘. t N0 b˘
a mˆo.t cˆa.n trˆen cu’a A. Do F thoa’ m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a bˆ
o’ d¯`ˆe
A. L´
uc d¯o´ N0 l`
`on ta.i mˆo.t phˆ
`an tu’. tˆ
Zorn nˆen trong F tˆ
o´i d¯a.i B. Vˆ
a.y B l`
a co. so’. pha’i t`ım.
`on ta.i co. so’..
1.2.6 Hˆ
e. qua’. Mo.i khˆ
ong gian vecto. X = {0} d¯`ˆeu tˆ
- i.nh l´
`oi a´p du.ng D
a´y x ∈ X, x = 0 v`
a d¯a˘. t M = {x} rˆ
y 1.2.5.
Ch´
u.ng minh. Lˆ
1.3 Khˆ
ong gian vecto. con.
- i.nh ngh˜ıa. Cho X l`
a M l`

a mˆo.t tˆ
a.p con
1.3.1 D
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto. v`
.
.
.
an cˆo.ng v`
a nhˆ
an vˆ
o hu ´
o ng trˆen X thu he.p
kh´
ac trˆ
o´ng cu’a X. Gia’ su’ c´ac ph´ep to´
.
a
la.i trˆen M c˜
ung l`
am cho M th`
anh mˆ
o.t khˆ
ong gian vecto . Khi d¯o´ ta go.i M l`
a´t la
` khˆ
ong gian con) cu’a X.
mˆo.t khˆ
ong gian vecto. con (hay go.i t˘
- i.nh l´

- iˆ
`eu kiˆe.n cˆ
`an v`
1.3.2 D
y. Cho M l`
a mˆ
o.t tˆ
a.p con kh´
ac trˆ
o´ng cu’ a X. D
a
.
anh mˆ
o.t khˆ
ong gian con cu’ a X l`
a:
d¯u’ d¯ˆe’ M tro’ th`
a. ∀ x, y ∈ M : x + y ∈ M.
b. ∀x ∈ M, ∀α ∈ K : αx ∈ M.
- iˆ
`eu kiˆe.n cˆ
`an hiˆe’n nhiˆen. Do gia’ thiˆe´t, c´ac ph´ep to´
Ch´
u.ng minh. D
an cˆo.ng v`
a
.
.
.
.

o ng l`
a k´ın trˆen M . Ho n n˜
u a, c´ac t´ınh chˆ
a´t cu’a c´ac ph´ep to´
an n`
ay vˆ
a˜n
nhˆ
an vˆ
o hu ´
`an tu’. cu’a M nˆen ta
´ m tiˆen d¯`ˆe cu’a mˆo.t khˆ
ong
c`on d¯u
´ ng khi ta l`
am viˆe.c v´o.i c´ac phˆ
.
.
.
.
.
.
`eu kiˆe.n d¯u’.
u d¯aˆy cho ph´ep ta suy d¯u o. c d¯iˆ
gian vecto d¯u o. c nghiˆe.m d¯´u ng. T`
anh, d¯ˆe’ kiˆe’m tra mˆo.t tˆ
a.p Y n`
ao d¯o´ l`
a khˆ
ong gian

Ch´
u y
´. Trong thu..c h`
`oi
o.i ta thu.`
o.ng nh´
ung n´
o v`
ao trong mˆo.t khˆ
ong gian vecto. d¯a˜ biˆe´t rˆ
vecto., ngu.`
`eu kiˆe.n cu’a d¯i.nh l´
kiˆe’m tra c´ac d¯iˆ
y trˆen.
1.3.3 V´ı du..
∞

`om tˆa´t ca’ c´ac d˜
ay sˆo´ thu..c ho˘
a.c ph´
u.c x = (xn )n sao cho
1. Tˆa.p ho..p l1 gˆ
|xn | < ∞ l`
a mˆo.t khˆ
ong gian con cu’a khˆ
ong gian s c´ac d˜ay sˆo´.

n=1

8

2. Tˆ
a.p ho..p c´
a
ac h`
am sˆo´ liˆen tu.c x´ac d¯i.nh trˆen d¯oa.n [a, b] k´
y hiˆe.u C[a,b] l`
mˆo.t khˆ
ong gian con cu’a khˆ
ong gian c´
ac h`am sˆo´ F([a, b]).
ay sˆo´ thu..c ho˘a.c
3. Tˆ
a.p ho..p l∞ = {x = (xn )n ⊂ K : sup |xn | < ∞} c´ac d˜
n∈N
- ´o la
a.n c˜
ung l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto.. D
ph´
u.c x = (xn )n bi. ch˘
` khˆ
ong gian con cu’a
˜ y sˆo´.
´ c da
khˆ
ong gian vecto. s ca
- i.nh l´

T`
u. D
y 1.3.2 ta c´
o mˆe.nh d¯`ˆe sau.
`e. Giao mˆ
1.3.4 Mˆ
e.nh d
¯ˆ
o.t ho. tu`y ´y c´
ac khˆ
ong gian con cu’ a X l`
a mˆ
o.t khˆ
ong
gian con cu’ a X.
- ˘a.t
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. (Mi )i∈I l`
a mˆo.t ho. c´ac khˆ
ong gian con cu’a X. D
Mi . Ta c´o M kh´
ac trˆ
o´ng v`ı n´
o c´o ch´
u.a vecto. 0. Nˆe´u x, y ∈ M, (t´
u.c
M =
i∈I

l`

a x, y ∈ Mi , ∀i ∈ I), α ∈ K th`ı x + y ∈ Mi , αx ∈ Mi v´
o.i mo.i i ∈ I. Do d¯o´
x + y ∈ M v`
a αx ∈ M. Vˆ
a.y M l`
a khˆ
ong gian con cu’a X.
- i.nh ngh˜ıa. Gia’ su’. A l`
1.3.5 D
a mˆo.t tˆ
a.p con cu’a khˆ
ong gian vecto. X. Luˆ
on
.
’
`on ta.i mˆo.t khˆ
ang ha.n ba’n thˆ
an khˆ
ong gian
luˆ
on tˆ
ong gian con cu’a X ch´
u a A (ch˘
.
ung l`
a mˆo.t khˆ
ong gian con
X). Giao cu’a ho. tˆ
a´t ca’ c´ac khˆ
ong gian con ch´

u a A c˜
ong gian con n`
ay d¯u.o..c goi. l`
a khˆ
ong gian con sinh bo’.i A hay l`
a bao
ch´
u.a A. Khˆ
.
.
y hiˆe.u l`
a A ho˘
a.c span (A). Theo d¯i.nh ngh˜ıa, d¯aˆy
tuyˆe´n t´ınh cu’a A v`
a d¯u o. c k´
.
a.p A. Ta c´o:
l`
a khˆ
ong gian con b´e nhˆ
a´t cu’a X ch´
u a tˆ
`e. Bao tuyˆe´n t´ınh cu’ a tˆ
1.3.6 Mˆ
e.nh d
¯ˆ
a.p A l`
a tˆ
a.p ho..p tˆ
a´t ca’ c´

ac tˆ
o’ ho..p
`an tu’. thuˆ
o.c A.
tuyˆe´n t´ınh cu’ a c´
ac phˆ
-˘
Ch´
u.ng minh. D
a.t M =

n

˜ ra
αi xi | αi ∈ K, xi ∈ A, n ∈ N . Ro
`ng theo
- i.nh l´
D
y 1.3.2, M l`
a khˆ
ong gian con cu’a X. Ho.n n˜
u.a t`
u. A ⊂ M suy ra A ⊂ M.
n
M˘
a.t kh´
ac do xi ∈ A nˆen
αi xi ∈ A v`ı A l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto.. Do d¯´o

i=1
M ⊂ A v`
a t`
u. d¯´o M = A .
i=1

- i.nh nghı˜a. Gia’ su’. M v`
1.3.7 D
a N l`
a hai khˆ
ong gian con cu’a X. Ta ky
´
hiˆe.u Z = M + N = {x + y : x ∈ M, y ∈ N }. L´
uc d¯o´ Z c˜
ung l`
a mˆo.t khˆ
ong gian
˜e d`
a tˆ
o’ng cu’a M v`
a N . Ta dˆ
ang suy ra:
vecto. con cu’a X, d¯u.o..c go.i l`
M +N = M ∪N .
a tˆ
o’ng tru..c tiˆe´p cu’a M
Nˆe´u Z = M + N v`
a M ∩ N = {0} th`ı Z d¯u.o..c go.i l`
v`
a N , k´

y hiˆe.u Z = M ⊕ N. Ta c´o:


9

- i.nh l´
1.3.8 D
y. Cho M, N l`
a c´
ac khˆ
ong gian vecto. con cu’ a X va
` d¯˘
a.t
- iˆ
`eu kiˆe.n ˘
Z = M + N. D
a´t c´
o v`
a d¯u’ d¯ˆe’ Z = M ⊕ N l`
a v´
o.i mo.i z ∈ Z, z d¯u.o..c
o.i da.ng z = x + y v´
o.i x ∈ M, y ∈ N.
biˆe’u diˆ˜e n mˆ
o.t c´
ach duy nhˆ
a´t du.´
Ch´
u.ng minh.
- iˆ

`eu kiˆe.n cˆ
`an. Gia’ su’. Z = M ⊕ N v`
D
o.i x, x ∈
a z = x + y = x + y v´
uc d¯o´ x − x = y − y. V`ı x − x ∈ M, y − y ∈ N nˆen x − x =
M ; y, y ∈ N. L´
a.y x = x v`
ay=y.
y − y ∈ M ∩ N = {0}. Vˆ
- iˆ
`eu kiˆe.n d¯u’. Ta c´o Z = M + N. Gia’ su’. x ∈ M ∩ N. L´
D
uc d¯o´ ta viˆe´t
˜e n, ta suy ra x = 0 ngh˜ıa l`
x = x + 0 = 0 + x. Do t´ınh duy nhˆ
a´t cu’a biˆe’u diˆ
a
M ∩ N = {0} hay Z = M ⊕ N.
ong gian vecto. thu.o.ng.
1.4. Khˆ
ong gian vecto. t´ıch–Khˆ
a n khˆ
ong gian vecto. trˆen c`
ung mˆ
o.t tru.`
o.ng K. K´
y
1.4.1. Cho X1 , . . . , Xn l`
.

`an tu’.
o i c´ac phˆ
hiˆe.u X l`
a t´ıch Descartes cu’a c´ac Xi : X = X1 × . . . × Xn . V´
o.c X v`
a α ∈ K ta d¯i.nh ngh˜ıa
x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) thuˆ
x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
αx = (αx1 , . . . , αxn ).
˜e d`
` ng v´
L´
uc d¯o´ dˆ
ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆ
a´y r˘
a
o.i hai ph´ep to´
an trˆen, X tro’. th`
anh
a X d¯u.o..c go.i l`
a t´ıch (hay t´ıch tru..c tiˆe´p) cu’a n khˆ
ong
mˆo.t khˆ
ong gian vecto. v`
.
gian vecto X1 , . . . , Xn .
1.4.2 Cho X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto. v`
a M l`

a mˆo.t khˆ
ong gian con cu’a n´
o.
Ta d¯.inh ngh˜ıa quan hˆe. sau:
∀ x, y ∈ X, x ≡ y (mod M ) ⇔ x − y ∈ M.
R˜o r`
ang d¯aˆy l`
a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X. Cho x ∈ X. Nˆe´u y ≡
x (mod M ) th`ı y − x ∈ M hay y ∈ x + M . Ngu.o..c la.i nˆe´u z ∈ x + M th`ı z − x ∈ M
a tˆ
a.p
y hiˆe.u x ch´ınh l`
hay z ≡ y (mod M ). Do d¯o´ l´
o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a x, k´
a X/M = {x : x ∈ X}.
x + M = {x + m; m ∈ M }. Ta k´
y hiˆe.u tˆ
a.p thu.o.ng l`
Ch´
uy
´ r˘
a` ng
x ≡ x (mod M ) ⇐⇒ x − x ∈ M,
y ≡ y (mod M ) ⇐⇒ y − y ∈ M,


10

do d¯o´ ta c´o thˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´
an cˆo.ng v`

a nhˆ
an vˆ
o hu.´
o.ng trˆen X/M nhu.
sau
x + y = x + y,
αx = αx,
`an tu’. bˆ
trong d¯o´ x, y l`
a c´ac phˆ
a´t k`
y trong c´
ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng x, y.
Theo ch´
uy
´ trˆen, d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´
an n`
ay l`
a d¯u
´ ng d¯a˘´n v`ı khˆ
ong phu.
thuˆ
o.c v`ao viˆe.c cho.n c´
ac d¯a.i diˆe.n x ∈ x, y ∈ y.
˜e d`
` ng v´
Dˆ
ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆ
a´y r˘
a

o.i c´ac ph´ep to´
an trˆen, X/M tro’. th`
anh mˆ
o.t
.
.
.
.
a khˆ
ong gian vecto thu o ng cu’a X theo khˆ
ong gian con M.
khˆ
ong gian vecto , go.i l`
.
.
`
`an tu’ 0 cu’a X/M ch´ınh l`
´ r˘
a ng phˆ
a tˆ
a.p M.
Lu u y
´
1.5. Anh
xa. tuyˆ
e´n t´ınh.
Cho X, Y
Y, x → Ax. Ta
mo.i x, y ∈ X,

l`
a hai khˆ
ong gian vecto. trˆen tru.`
o.ng K v`
a mˆo.t a´nh xa. A : X →
o.i
go.i A l`
a mˆo.t ´
anh xa. tuyˆe´n t´ınh (hay to´
an tu’. tuyˆe´n t´ınh) nˆe´u v´
α, β ∈ K ta c´o
A(αx + βy) = αAx + βAy.

ao Y , ta k´
y hiˆe.u Im A = A(X) v`
a
Cho A l`
a a´nh xa. tuyˆe´n t´ınh t`
u. X v`
−1
.
.
`an lu o. t a’nh v`
a ha.t nhˆ
an cu’a A. Nˆe´u A l`
a song a´nh ta n´
oi A l`
a
KerA = A (0) lˆ
.

.
a´u v´
o i nhau.
ph´ep d¯a˘’ ng cˆ
a´u tuyˆe´n t´ınh v`
a X, Y l`
a hai khˆ
ong gian vecto d¯a˘’ ng cˆ
Bˆay gi`
o. gia’ su’. A, B : X → Y l`
a hai a´nh xa. tu`
yy
´. Ta c´o c´ac d¯i.nh ngh˜ıa
.
.
o ng:
thˆ
ong thu `
(A + B)x = Ax + Bx,
(αA)x = αAx,
trong d¯o´ α ∈ K, x ∈ X.
˜e d`
` ng nˆe´u A, B l`
Dˆ
ang thˆ
a´y r˘
a
a c´ac ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh th`ı A + B, αA c˜
ung
.

.
l`
a nh˜
u ng a´nh xa. tuyˆe´n t´ınh t`
u X v`
ao Y .
a´t ca’ c´ac ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh t`
u. X v`
ao Y . Khi
K´
y hiˆe.u L(X, Y ) l`
a tˆ
a.p ho..p tˆ
.
.
an v`
u a x´
ac d¯i.nh, L(X, Y ) lˆ
a.p th`
anh mˆ
o.t khˆ
ong gian vecto..
d¯o´ v´
o i hai ph´ep to´
a phiˆe´m
Nˆe´u Y = K (R hay C) l´
uc d¯o´ ´
anh xa. tuyˆe´n t´ınh A : X → K d¯u.o..c go.i l`
a go.i la
` khˆ

ong gian liˆen
y hiˆe.u l`
a X v`
h`
am tuyˆe´n t´ınh trˆen X, c`on L(X, K) d¯u.o..c k´
hiˆe.p d¯a.i sˆ
o´ cu’a khˆ
ong gian X.


11

` TA
ˆP
BAI
.
1.1. Cho X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto., f1 , f2 l`
a hai phiˆe´m h`
am tuyˆe´n t´ınh
u.ng minh r˘
o.i mo.i x ∈ X th`ı f1 (x)f2 (x) = 0. Ch´
a` ng
x´
ac d¯.inh trˆen X. Gia’ su’. v´
f1 ≡ 0 hay f2 ≡ 0.
1.2. Cho X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto. v`

a A : X → X l`
a mˆo.t to´
an tu’. tuyˆe´n
u.ng minh r˘
a` ng I − A l`
a mˆo.t song a´nh. (I l`
a
t´ınh. Gia’ su’. A2 = A ◦ A = 0. Ch´
.
to´
an tu’ d¯`oˆng nhˆ
a´t id.)
1.3. Cho f, f1 , . . . , fn l`
a c´ac phiˆe´m h`
am tuyˆe´n t´ınh trˆen khˆ
ong gian vecto. X.
n
u.ng minh r˘
Gia’ su’. Ker f ⊃ ∩ Ker fi . Ch´
a` ng f l`
a mˆo.t tˆ
o’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac
i=1

f1 , . . . , fn .
ˆ
ˆ´N T´INH D
ˆ’ N.
- I.NH CHUA
§2. KHONG

GIAN TUYE
2.1. C´
ac d
¯i.nh ngh˜ıa.
Cho X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto. v`
a · : X → R l`
a mˆo.t ha
`m sˆo´. Ta go.i
´eu no
˜ n 3 tiˆen d¯`ˆe sau:
ha
`m sˆo´ na
`y la
` mˆo.t chuˆ
a’n trˆen X nˆ
´ thoa’ ma
1. ∀x ∈ X : x ≥ 0; x = 0 khi v`
a chı’ khi x = 0.
2. λx = |λ| x v´
o.i mo.i λ ∈ K, x ∈ X.
3. x + y ≤ x + y , v´
o.i mo.i x, y ∈ X v`
a λ ∈ K (bˆ
a´t d¯a˘’ ng th´
u.c tam
gi´
ac).
a mˆo.t khˆ

ong gian tuyˆe´n t´ınh d¯.inh chuˆ
a’n hay
Khi d¯o´ c˘a.p (X, · ) d¯u.o..c go.i l`
.
ong gian d¯.inh chuˆ
a’n.
go.n ho n khˆ
Nˆe´u tru.`
o.ng K = R (t.u.., C) th`ı ta go.i (X, · ) l`
a khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ
a’n
ong gian d¯.inh chuˆ
a’n ph´
u.c). Sˆ
o´ thu..c x d¯u.o..c go.i l`
a chuˆ
a’n hay d¯ˆ
o.
thu..c (t.u.., khˆ
.
.
`am lˆa˜n vˆ
`e chuˆ
ong c´o su. nhˆ
a’n trˆen X th`ı ta s˜e k´
y
d`
ai cu’a vecto x ∈ X. Nˆe´u khˆ
hiˆe.u t˘

a´t l`
a khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X.
Cho X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n. V´
o.i x, y ∈ X ta d¯a˘. t
d(x, y) = x − y
Khi d¯o´ t`
u. ba tiˆen d¯`ˆe cu’a chuˆ
a’n, ta suy ra ngay d l`
a mˆo.t mˆetric trˆen X. Ho.n
n˜
u.a d c`on tho’a m˜an:
a) d(x + z, y + z) = d(x, y)
b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y)


12

v´
o.i mo.i x, y, z ∈ X, λ ∈ K.
Ngu.o..c la.i cho X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto. v`
a d l`
a mˆo.t mˆetric xa
´ c d¯i.nh trˆen

.
`eu kiˆe.n a) v`
a b). Ta d¯a˘. t
X. Gia’ su’ d thoa’ m˜an thˆem c´ac d¯iˆ
x = d(x, 0)
th`ı r˜
o r`
ang · l`
a mˆo.t chuˆ
a’n trˆen X. Do d¯o´ nˆe´u X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian d¯i.nh
.
chuˆ
a’n th`ı n´
o c˜
ung l`
a mˆo.t khˆ
ong gian mˆetric (v´o i mˆetric sinh ra t`
u. chuˆ
a’n, t´
u.c
a´t ca’ c´ac kh´
ai niˆe.m cu’a khˆ
ong gian mˆetric d¯`ˆeu
l`
a d(x, y) = x − y ). T`
u. d¯aˆy tˆ
- ˆe’ y
` ng c´

ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n. D
´ r˘
a
ac t´ınh chˆ
a´t a) v`
a b) ch´ınh
d¯u.o..c chuyˆe’n cho khˆ
.
.
.
.
an cˆo.ng va
` nhˆ
an vˆ
o hu ´
o ng trˆen X v´
o i ha
`m chuˆ
a’n
l`
a mˆo´i liˆen hˆe. gi˜
u a c´ac ph´ep to´
(mˆetric).
2.2. C´
ac v´ı du..
o. n sˆo´ thu..c (ho˘
a
a.c sˆo´ ph´
u.c) x = (x1 , . . . , xn) l`

2.2.1. Tˆa.p ho..p K n c´ac bˆ
.
a’n
mˆo.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n v´
o i chuˆ
n

|xi |2 ,

x =
i=1

` K n d¯u.o..c go.i l`
a chuˆ
a’n Euclide trong K n va
a khˆ
ong gian
chuˆ
a’n n`
ay d¯u.o..c go.i l`
-˘
`eu. D
Euclide n chiˆ
a.c biˆe.t, khi n = 1 ta c´o K l`
a mˆo.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n v´
o.i

x = |x|.
am sˆo´ liˆen tu.c trˆen [a, b] v´
o.i c´ac ph´ep to´
an cˆo.ng
2.2.2. Tˆa.p ho..p C[a,b] c´ac h`
.
.
.
ac d¯i.nh theo c´
ach thˆ
ong thu `
o ng l`
a mˆo.t khˆ
ong gian vecto..
v`
a nhˆ
an v´
o i mˆo.t sˆo´ x´
u.a, nˆe´u d¯a˘. t
Ho.n n˜
x = max |x(t)|
t∈[a,b]

th`ı n´
o tro’. th`
anh mˆ
o.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n.
a´t ca’ c´ac d˜

ay sˆo´ thu..c hay ph´
u.c bi. ch˘
a.n l`
a mˆo.t khˆ
ong
2.2.3. Tˆa.p ho..p l∞ tˆ
.
a’n
gian d¯.inh chuˆ
a’n v´
o i chuˆ
x = sup |xn |.
n∈N

Khˆ
ong gian n`
ay c`on k´
y hiˆe.u l`
a m.
-ˆ
`e chuˆ
D
o.c gia’ tu.. kiˆe’m nghiˆe.m ba tiˆen d¯`ˆe vˆ
a’n cu’a c´ac v´ı du. n`
ay.


13

2.2.4. K´

y hiˆe.u l2 l`
a tˆ
a.p ho..p tˆ
a´t ca’ c´ac d˜
ay sˆo´ thu..c hay ph´
u.c x = (xn )n sao
∞
-˘
cho
|xn |2 hˆ
o.i tu.. D
a.t
n=1

∞

x =

1
2

|xn |2

,

n=1

l´
uc d¯o´ l2 tro’. th`
anh mˆ

o.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n.
a´t d¯a˘’ ng th´
u.c hiˆe’n
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. x = (xn )n , y = (yn )n ∈ l2 . Ta c´o bˆ
nhiˆen
|xn + yn |2 ≤ (|xn | + |yn |)2 ≤ 2(|xn |2 + |yn |2 ).
∞

V`ı

n=1
∞

|xn |2 < ∞,

∞

n=1
∞
2

|λxn |2 = |λ|
n=1
khˆ
ong gian vecto..
th`ı

|yn |2 < ∞ nˆen

n=1

∞

|xn + yn |2 < ∞. Ngo`ai ra nˆe´u λ ∈ K

n=1

|xn |2 . Vˆ
a.y x + y v`
a λx thuˆ
o.c l2 nˆen l2 lˆ
a.p th`
anh mˆ
o.t

Tiˆe´p theo ta c´
o
∞

|xn |2 = 0 ⇔ xn = 0,

x ≥ 0, x = 0 ⇔
n=1

v´
o.i mo.i n ∈ N nghı˜a la
` x = 0.

ap du.ng bˆ
a´t d¯a˘’ ng th´
u.c Cauchy-Schwarz
Tiˆen d¯`ˆe 2 r˜
o r`
ang. V´
o.i mo.i k ∈ N, ´
ta c´o
k

k
2

(|xn |2 + 2|xn yn | + |yn2 |)

|xn + yn | ≤
n=1

n=1
k

k

k

2

|xn | + 2

≤

|xn

n=1

n=1
k

≤

|xn
n=1

|yn
n=1

k

|2

k

|2

|yn |2

+

2

|2

|yn |2

+
n=1

.

n=1

Ta cho k → ∞ th`ı nhˆ
a.n d¯u.o..c
( x + y )2 ≤ ( x + y )2
Lˆ
a´y c˘an hai vˆe´ ta c´o x + y ≤ x + y hay l`
a bˆ
a´t d¯a˘’ ng th´
u.c tam gi´ac d¯u.o..c
ch´
u.ng minh.


14

2.3. Su.. hˆ
o.i tu. trong khˆ
ong gian d
¯i.nh chuˆ
a’n.

Nhu. d¯a˜ n´
oi o’. trˆen, khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n l`
a mˆo.t khˆ
ong gian mˆetric. Tuy
˜ ng nhu. ta thu.`
o.ng g˘
a.p
nhiˆen do vai tr`
o quan tro.ng cu’a khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n cu
.
.
.
.
`y trong c´ac mˆon ho.c kha
´ c va` ca
´ c ´ap du.ng thu. c tiˆ˜e n nˆen o’ d¯aˆy ta s˜e
d¯oˆ´i tu o. ng na
tr`ınh b`
ay la.i mˆo.t sˆo´ kha
´ i niˆe.m va` tı´nh chˆ
a´t thˆ
ong du.ng aˆ´y theo ky
´ hiˆe.u va
` ngˆ
on
ng˜

u. cu’a chuˆ
a’n.
Cho X la
` mˆo.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n.
o.i tu. d¯ˆe´n x trong khˆ
ong gian X, ky
´ hiˆe.u lim xn = x
1. D˜
ay (xn )n ⊂ X hˆ
n→∞
a
hay xn → x (n → ∞) ngh˜ıa l`
xn − x → 0 (n → ∞)
N´
oi c´ach kh´
ac,
lim xn = x ⇐⇒ (∀ > 0)(∃n0 )(∀n ≥ n0 ) :
n→∞

xn − x <

.

Tu.o.ng tu.. v´
o.i tı´nh chˆ
a´t cu’a gia
´ tri. tuyˆe.t d¯oˆ´i, ta co
´:

∀x, y ∈ X :

x − y

≤

x−y

Thˆ
a.t vˆ
a.y, t`
u. tiˆen d¯`ˆe 3 cu’a chuˆ
a’n suy ra:
x = (x − y) + y ≤ x − y + y

hay

x − y ≤ x−y

Thay d¯oˆ’i vai tr`
o cu’a x v`
a y ta nhˆ
a.n d¯u.o..c
y − x ≤ x−y
Nhu. thˆe´ bˆ
a´t d¯a˘’ ng th´
u.c d¯u.o..c ch´
u.ng minh.
o:
T`

u. d¯aˆy ta c´
2. Nˆe´u xn → x th`ı xn → x . N´oi c´ach kh´
ac, chuˆ
a’n l`
a mˆo.t h`
am sˆo´ liˆen
.
.
.
´ du.ng bˆ
u a ch´
u ng minh ta c´
o
tu.c trˆen X. Ap
a´t d¯a˘’ ng th´
u c v`
xn − x

≤ xn − x → 0

`eu n`
v`
a d¯iˆ
ay kh˘
a’ng d¯i.nh kˆe´t qua’ 2.
´et la.i la
Tı´nh chˆ
a´t trˆen thu.`
o.ng d¯u.o..c viˆ
`

˜ y (xn )n hˆ
da
o.i tu. trong X.

khi n → ∞

lim xn = lim

n→∞

n→∞

xn d¯oˆ´i v´
o.i mo.i


15

3. Mo.i d˜
ay hˆ
o.i tu. th`ı bi. ch˘
a.n. Thˆ
a.t vˆ
a.y, nˆe´u (xn )n hˆ
o.i
o.i tu. d¯ˆe´n x . Do d¯o´ d˜
ay ( xn )n bi. ch˘
a.n.
sˆo´ thu..c ( xn )n hˆ
a.n trong khˆ

ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X.
ngh˜ıa l`
a d˜
ay (xn )n bi. ch˘

tu. d¯ˆe´n x th`ı d˜
ay
- iˆ
`eu n`
D
ay c˜
ung c´o

4. Nˆe´u xn → x0 , yn → y0 th`ı xn + yn → x0 + y0 . Nˆe´u xn → x0 v`
a
oi c´ach kh´
ac, c´ac ph´ep to´
an cˆo.ng va
`
αn → α0 , αn , α0 ∈ K th`ı αn xn → α0 x0 . N´
.
.
o ng X × X → X, K × X → X, (x, y) → x + y v`
a (α, x) → αx la
` ca
´c
nhˆ
an vˆ
o hu ´

´a nh xa. liˆen tu.c.
Thˆ
a.t vˆ
a.y, t`
u. c´ac d¯a´nh gi´
a
(xn + yn ) − (x0 + y0 )

≤

xn − x0 + yn − y0 → 0

αn xn − α0 x0

=

(αn xn − αn x0 ) + (αn x0 − α0 x0 )

≤ |αn | xn − x0 + |αn − α0 | x0 → 0
`eu cˆ
`an ch´
khi n → ∞, ta suy ra d¯u.o..c d¯iˆ
u.ng minh.
- .inh nghı˜a. Cho a ∈ X va
D
` λ ∈ K, λ = 0. Ta go.i ca
´ c ´a nh xa. f, g : X → X
.
.
.

`an lu o. t xa
´ c d¯i.nh bo’ i
lˆ
f (x) = a + x,
g(x) = λx,

v´
o.i mo.i x ∈ X,

´en theo vecto. a va
` phe
´ p vi. tu.. tı’ sˆo´ λ.
la
` phe
´ p ti.nh tiˆ
T`
u. 4) ta suy ra:
5. C´
ac ph´ep ti.nh tiˆe´n theo vecto. a v`
a ph´ep vi. tu.. tı’ sˆ
o´ λ = 0 l`
a c´
ac ph´ep d¯`ˆ
ong
.
phˆ
oi t`
u X lˆen X.
Thˆ
a.t vˆ

a.y, ta thˆ
a´y ngay f, g l`
a song ´
anh v`
a f −1 (x) = −a+x, g −1 (x) = λ−1 x
a liˆen tu.c.
o f −1 , g −1 l`
nˆen f, g c`
ung v´
o.i c´ac ´anh xa. ngu.o..c cu’a n´
Nhˆ
a.n x´et. C´ac t´ınh chˆ
a´t 4 v`
a 5 c˜
ung nˆeu lˆen su.. kˆe´t ho..p gi˜
u.a cˆa´u tr´
uc d¯a.i
a´y gi´
o.i ha.n).
sˆo´ v`
a ph´ep to´
an co. ba’n cu’a gia’i t´ıch (ph´ep lˆ
Ta c´o c´ac hˆe. qua’ sau.
a) Gia’ su’. A l`
a tˆ
a.p mo’. (t.u.., d¯´
ong) trong X th`ı x0 + A = A + x0 = {x0 + a :
ong) trong X.
a ∈ A}, λA = {λa : a ∈ A} l`
a c´

ac tˆ
a.p mo’. (t.u.., d¯´
- iˆ
`eu n`
D
ay suy t`
u. a’nh cu’a mˆo.t tˆ
a.p mo’. (t.u.., d¯o´ng) qua a´nh xa. d¯`oˆng phˆ
oi (ca
´c
.
.
.
.
phe
´ p ti.nh tiˆe´n vecto a, vi. tu. tı’ sˆo´ λ = 0) th`ı mo’ (t.u ., d¯o´ng).


16

b) Cho A mo’., B l`
a tˆ
a.p tu`y ´y trong X th`ı A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
a.t vˆ
a.y,
l`
a tˆ
a.p mo’.. Thˆ
(A + b)
A+B =

b∈B

a` ng ho..p cu’a mˆo.t ho. c´ac tˆa.p mo’. nˆen n´
o l`
a tˆ
a.p mo’..
t´
u.c l`a A + B b˘
2.4. Khˆ
ong gian Banach.
- i.nh ngh˜ıa. Cho (xn )n l`
2.4.1. D
a mˆo.t d˜
ay trong khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X.
` ng (xn )n l`
a mˆo.t d˜
ay Cauchy nˆe´u xn − xm → 0 khi m, n → ∞. Nˆe´u
Nh˘
a´c la.i r˘
a
u. chuˆ
a’n, X tro’. th`
anh khˆ
ong gian mˆetric d¯`aˆy d¯u’ th`ı X d¯u.o..c go.i
v´
o.i mˆetric sinh t`
l`
a khˆ

ong gian Banach. N´
oi c´ach kh´
ac, X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian Banach nˆe´u mo.i d˜
ay
`e mˆo.t d¯iˆe’m cu’a n´
Cauchy trong X d¯`ˆeu hˆ
o.i tu. vˆ
o.
a c´ac khˆ
ong gian Banach.
2.4.2. V´ı du.. C´ac khˆ
ong gian K n , C[a,b] , l2 , . . . l`
L
ong pha’i l`
a khˆ
ong gian Banach.
Khˆ
ong gian C[a,b] khˆ
- i.nh l´
`e bˆ
2.4.3. D
y vˆ
o’ sung mˆ
o.t khˆ
ong gian d
¯i.nh chuˆ
a’n.
` ng c´

Gia’ su’. X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n (khˆ
ong d¯`aˆy d¯u’). B˘a
ach d¯`aˆy
ong gian
d¯u’ ho´
a khˆ
ong gian mˆetric (X, d) trong d¯o´ d(x, y) = x − y ta d¯u.o..c khˆ
˜
˜
˜
`an xˆ
ac
mˆetric d¯`aˆy d¯u’ X va
` X tru` mˆa.t trong X. Tuy nhiˆen trong X cˆ
ay du..ng c´
.
anh khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n, nhˆ
a.n X l`
am khˆ
ong gian vecto.
ph´ep to´
an d¯ˆe’ n´
o tro’ th`
con.
˜ V`ı X = X

˜ nˆen tˆ
`on ta.i c´ac d˜
Lˆa´y x, y ∈ X.
ay (xn )n , (yn )n trong X hˆ
o.i tu.
.
.
.
˜e d`
`
`an lu o. t d¯ˆe´n x, y. Dˆ
a nh˜
u ng d˜
ang thˆ
a´y r˘
a ng (xn + yn )n , (λxn )n l`
ay Cauchy
lˆ
˜
trong X ⊂ X nˆen ta d¯i.nh ngh˜ıa
λx = limλxn , x + y = lim (xn + yn ).
n

n

`
C´o thˆe’ kiˆe’m nghiˆe.m la.i r˘
a ng, c´
ac d¯i.nh ngh˜ıa n`
ay x´

ac d¯i.nh mˆ
o.t c´ach d¯u
´ ng
.
˜
a.n X l`
am khˆ
ong
d¯a˘´n c´
ac ph´ep to´
an d¯a.i sˆo´ d¯ˆe’ biˆe´n X th`
anh khˆ
ong gian vecto , nhˆ
.
.
.
.
˜ d¯u o. c cho
˜ tro’ tha
`nh khˆ
ong gian Banach v´
o i chuˆ
a’n trˆen X
gian con. Ngoa
`i ra X
˜ T´om la.i, ta c´o thˆe’
u.c x = d(x, 0), trong d¯o´ d l`
a mˆetric trˆen X.
bo’.i cˆong th´
pha

´ t biˆe’u d¯i.nh l´
y nhu. sau:
- i.nh l´
D
y. V´
o.i mo.i khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ
a’n khˆ
ong d¯`ˆ
ay d¯u’ X, bao gi`
o. c˜
ung
.
˜
˜ ch´
`on ta.i mˆ
u mˆ
a.t trong X.
tˆ
o.t khˆ
ong gian Banach X
u a X sao cho X tr`


17

˜i trong trong khˆ
2.5. Chuˆ
o
ong gian d

¯i.nh chuˆ
a’n.
Trong d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh ta chı’ d¯i.nh ngh˜ıa d¯u.o..c tˆo’ng h˜
u.u ha.n c´
ac vecto. cu’a
o´n d¯u.a v`
ao kh´
ai niˆe.m “tˆo’ng vˆ
o ha.n” c´
ac vecto. hay
mˆo.t khˆ
ong gian vecto. X. Muˆ
- iˆ
`eu n`
`an pha’i x´et d¯ˆe´n gi´
u.ng tˆ
o’ng h˜
u.u ha.n. D
ay
c`on go.i l`
a chuˆ
o˜i, ta cˆ
o.i ha.n cu’a nh˜
.
.
.
.
.
o i khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ

a’n v`ı trong d¯o´ d¯a˜ xˆ
ay du. ng
co
´ thˆe’ thu. c hiˆe.n d¯u o. c d¯oˆ´i v´
ph´ep to´
an gi´
o.i ha.n.
- i.nh ngh˜ıa. Cho (xn )n l`
a mˆo.t d˜
ay trong khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X.
2.5.1 D
.
.
ac d¯i.nh bo’ i
Ta lˆ
a.p mˆ
o.t d˜
ay m´o i, x´
s1 = x1
s2 = x1 + x2
... = ...
n

sn = x1 + x2 + · · · + xn =

xi
i=1

... ...

...

...
∞

xn .
a mˆo.t chuˆ
o˜i v`
a ta thu.`
o.ng k´
y hiˆe.u chuˆ
o˜i n`
ay l`
a
Khi d¯o´ d˜
ay (sn )n d¯u.o..c go.i l`
n=1
Ta c`on go.i sn l`
a tˆ
o’ng riˆeng th´
u. n cu’a chuˆ
a ha.ng th´
u.c tˆ
o˜i, xn l`
o’ng qu´
at (th´
u. n)
cu’a chuˆ

o˜i aˆ´y.
Chuˆ
o˜i

∞

xn d¯u.o..c go.i l`
o.i tu.. Khi d¯o´ d¯a˘. t
a hˆ
o.i tu. nˆe´u d˜
ay tˆ
o’ng riˆeng sn hˆ

n=1

s = lim sn v`
a go.i s l`
a tˆ
o’ng cu’a chuˆ
o˜i: s =
n→∞
∞

∞

xn . Nhu. vˆ
a.y c`
ung mˆ
o.t biˆe’u th´
u.c

n=1

xn ta v`
u.a d`
ung d¯ˆe’ ky
´ hiˆe.u mˆ
o.t chuˆ
o˜i no
´ i chung, v`
u.a ky
´ hiˆe.u tˆ
o’ng cu’a n´
o khi

n=1

chuˆ
o˜i n`
ay hˆ
o.i tu..
Chuˆ
o˜i

∞

xn d¯u.o..c go.i l`
a hˆ
o.i tu. tuyˆe.t d¯ˆ
o´i nˆe´u chuˆ

o˜i sˆo´ thu..c

n=1

∞
n=1

xn hˆ
o.i tu..

2.5.2 C´
ac t´ınh chˆ
a´t.
`an l´
Phˆ
o.n c´
ac t´ınh chˆ
a´t cu’a chuˆ
o˜i trong khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n giˆ
o´ng v´
o.i
´eu chu
˜ ng vˆ
´ ch ch´
u.ng minh cu
a.y nˆ
´ ng khˆ
ong

tı´nh chˆ
a´t cu’a chuˆ
o˜i sˆo´ thu..c va` ngay ca
.
.
.
.
.
o ng d`
ung.
liˆen quan d¯´ˆen th´
u tu. nhu trong R. Ta nˆeu la.i mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua’ thu `
`o d¯´o ch´
u. khˆ
ong nhˆ
a´t
a) Ta co
´ thˆe’ d¯´a nh sˆ
o´ mˆo.t chuˆ
o˜i t`
u. mˆo.t sˆo´ nguyˆen na
∞
∞
-ˆ
´et la
thiˆ
` t`
u. 1, ch˘
xn . D
oi lu

´ c ta co`n xe
´ t chuˆ
o˜i
xn .
a’ng ha.n
n=n0

n=−∞


18

b) Nˆe´u

∞

∞

xn ,

n=1

`an lu.o..t l`
yn l`
a hai chuˆ
o˜i hˆ
o.i tu., c´o tˆ
o’ng lˆ
a x v`
a y c`on λ

n=1

l`
a mˆo.t sˆo´ th`ı c´ac chuˆ
o˜i
x ± y, λ x.

∞

∞

(xn ± yn ),

n=1

`an lu.o..t c´o tˆ
λxn c˜
ung hˆ
o.i tu. v`
a lˆ
o’ng l`
a

n=1

∞

`on
xn hˆ

o.i tu. th`ı v´
o.i mo.i > 0 d¯`ˆeu tˆ
n=1
a p ∈ N ta c´o bˆ
a´t d¯a˘’ ng th´
u.c.
ta.i n0 ∈ N sao cho nˆe´u n ≥ n0 v`
c) Tiˆ
eu chuˆ
a’n Cauchy. Nˆe´u chuˆ
o˜i

n+p

xm

<

.

m=n+1

`eu kiˆe.n n`
Ngu.o..c la.i nˆe´u d¯iˆ
ay d¯u.o..c thoa’ m˜an v`
a X l`
a khˆ
ong gian Banach th`ı
∞
xn hˆ

o.i tu..
chuˆ
o˜i
n=1

`eu n´
Thˆ
a.t vˆ
a.y, nh˜
u.ng d¯iˆ
oi trˆen ch´ınh l`
a´
ap du.ng tiˆeu chuˆ
a’n Cauchy d¯oˆ´i v´
o.i
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X.
d˜
ay (sn )n trong khˆ
d) Gia’ su’.

∞

xn hˆ
o.i tu.. Khi aˆ´y

n=1

lim xn = lim (sn − sn−1 ) = s − s = 0.
n

n

`an d¯ˆe´n 0 khi n → ∞.
at dˆ
Vˆ
a.y nˆe´u mˆ
o.t chuˆ
o˜i hˆ
o.i tu. th`ı ha.ng th´
u.c tˆo’ng qu´
e) Cho chuˆ
o˜i

∞
n=1

∞

xn hˆ
o.i tu. trong X. Ky
´ hiˆe.u rn =

cu’a chuˆ
o˜i. Ta co
´ rn → 0 khi n → ∞.

`an du. th´
xi la
` phˆ

u. n

i=n+1

- i.nh l´
2.5.3 D
y.
a) Trong khˆ
ong gian Banach X mo.i chuˆ
o˜i hˆ
o.i tu. tuyˆe.t d¯ˆ
o´i d¯`ˆeu hˆ
o.i tu..
’
˜
b) Nˆe´u trong khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ
a n X, mo.i chuˆ
o i hˆ
o.i tu. tuyˆe.t d¯ˆ
o´i d¯`ˆeu hˆ
o.i
tu. th`ı X l`
a mˆ
o.t khˆ
ong gian Banach.
Ch´
u.ng minh.
∞

a) Cho X Banach v`
a
Ta c´o d¯a´nh gi´
a

xn l`
a mˆo.t chuˆ
o˜i trong X sao cho

n=1
n+p

n=1

n+p

xn
m=n+1

∞

≤

xn

<

m=n+1

´ du.ng tiˆeu chuˆ

v´
o.i n d¯u’ l´
o.n v`
a p tu`
yy
´. Ap
a’n Cauchy ta c´
o kˆe´t qua’.

xn hˆ
o.i tu..


19

´ du.ng d¯i.nh ngh˜ıa, v´
b) Bˆay gi`
o. cho (xn )n l`
a mˆo.t d˜
ay Cauchy trong X. Ap
o.i
`
mˆo˜i k ∈ N ta cho.n xnk sao cho nk < nk+1 va
xnk+1 − xnk

≤

1
, k = 1, 2, . . .
2k

` ng chuˆ
C´ac bˆ
a´t d¯a˘’ ng th´
u.c n`
ay ch´
u.ng to’ r˘
a
o˜i
xn1 + (xn2 − xn1 ) + · · · + (xnk+1 − xnk ) + . . .
hˆ
o.i tu. tuyˆe.t d¯oˆ´i. Theo dˆ
a´u hiˆe.u so sa
´ nh, chuˆ
o˜i n`
ay s˜e hˆo.i tu. v`
a go.i x l`
a tˆ
o’ng cu’a
.
n´
o. Nhu vˆ
a.y
x = lim [xn1 + (xn2 − xn1 ) + · · · + (xnk − xnk−1 )] = lim xnk
k→∞

k

`e x th`ı (xn )n c˜
`e x.

D˜
ay Cauchy (xn )n c´o mˆo.t d˜
ay con (xnk )k hˆ
o.i tu. vˆ
ung hˆ
o.i tu. vˆ
o.i mo.i m, n ≥ n0 . M˘
a.t kh´
ac,
Thˆ
a.t vˆ
a.y, cho > 0 s˜e c´o n0 d¯ˆe’ xn − xm < /2 v´
xnk → x nˆen c´o k0 d¯ˆe’ k ≥ k0 th`ı xnk − x < /2. Khi d¯o´ nˆe´u n ≥ max (n0 , nk0 )
th`ı
xn − x ≤ xn − xnk0 + xnk0 − x < /2 + /2 = .
Vˆ
a.y mo.i d˜
ay Cauchy trong X d¯`ˆeu hˆ
o.i tu. nˆen X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian Banach.
2.6 Khˆ
ong gian d
¯i.nh chuˆ
a’n con.
- i.nh ngh˜ıa. Cho (X, · ) l`
2.6.1 D
a mˆo.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n v`

a Y l`
a
.
mˆo.t khˆ
ong gian vecto con cu’a n´
o. L´
uc d¯o´ h`
am · thu he.p lˆen Y c˜
ung l`
a mˆo.t
a’n d¯o´, Y tro’. th`
anh mˆ
o.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n. Ta go.i Y l`
a
chuˆ
a’n v`
a v´
o.i chuˆ
khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ
a’n con (hay v˘
a´n t˘
a´t, khˆ
ong gian con) cu’a khˆ
ong gian d¯i.nh
chuˆ
a’n X.
Khˆ

ong gian con cu’a mˆo.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n c´
o thˆe’ d¯o´ng ho˘
a.c khˆ
ong.
Tuy nhiˆen ta c´o.
- i.nh l´
a mˆ
o.t khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ
a’n v`
a Y l`
a mˆ
o.t khˆ
ong
2.6.2 D
y. Gia’ su’. X l`
ung l`
a mˆ
o.t khˆ
ong gian con d¯´
ong cu’ a
gian con cu’ a n´
o. Khi d¯´
o bao d¯´
ong Y cu’ a Y c˜
X.
`an kiˆe’m tra αx + βy ∈ Y .
a hai sˆ

o´. Ta cˆ
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. x, y ∈ Y , α, β l`
`on ta.i hai d˜
ay (xn )n , (yn )n trong Y sao cho xn → x v`
a yn → y.
V`ı x y ∈ Y nˆen tˆ
.
.
o i mo.i n ∈ N d¯`oˆng th`
o i αxn + βyn → αx + βy. Vˆa.y
L´
uc d¯o´ αxn + βyn ∈ Y v´
αx + βy ∈ Y .


20

Bˆay gi`
o. gia’ su’. M l`
a mˆo.t tˆ
a.p con trong khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X. Ta thu.`o.ng
a go.i l`
a khˆ
ong gian con d¯o´ng cu’a X sinh
quan tˆ
am d¯´ˆen khˆ
ong gian con M v`

bo’.i M .
- i.nh l´
2.6.3 D
y. Nˆe´u X l`
a khˆ
ong gian Banach v`
a Y l`
a mˆ
o.t khˆ
ong gian con
d¯´
ong cu’ a X th`ı ba’ n thˆ
an Y c˜
ung l`
a mˆ
o.t khˆ
ong gian Banach.
ong gian d¯`aˆy d¯u’ X nˆen Y d¯`aˆy d¯u’.
Ch´
u.ng minh. V`ı Y d¯o´ng trong khˆ
2.7 Khˆ
ong gian d
¯i.nh chuˆ
a’n tı
´ch.
` (Y, · 2 ) la
` hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n trˆen cu`ng mˆ
o.t

Cho (X, · 1 ) va
.
.
.
o ng K. Xe
´ t ha
`m sˆo´ · xa
´ c d¯i.nh trˆen khˆ
ong gian vecto tı´ch Z = X × Y, cho
tru `
.
.
u c:
bo’ i cˆong th´
∀ (x, y) ∈ X × Y,

(x, y) = x

1

+ y 2.

˜ ra
Ro
`ng · la
` mˆo.t chuˆ
a’n va
` ta go.i (X × Y, · ) la
` khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ

a’n tı´ch
cu’a X va
` Y.
Nhˆ
a.n xe
´ t.
1. Ta co
´ thˆe’ d¯i.nh nghı˜a tu.o.ng tu.. cho tı´ch n khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n
o.ng K.
X1 , . . . , Xn trˆen cu`ng tru.`
`e (x0 , y0 ) khi va
˜ y (zn )n = (xn , yn )n trong Z hˆ
2. Da
o.i tu. vˆ
` chı’ khi xn → x0
.
.
.
` ng khˆ
`an lu o. t trong X va
´e ta thˆ
va
` yn → y0 lˆ
` trong Y. Nhu thˆ
a´y ngay r˘
a
ong gian
d¯i.nh chuˆ

a’n tı´ch Z = X × Y la
` Banach khi va
` chı’ khi ca’ X va
` Y la
` ca
´ c khˆ
ong
gian Banach.
2.8 Khˆ
ong gian d
¯i.nh chuˆ
a’n thu.o.ng.
Cho X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n v`
a Y l`
a khˆ
ong gian con d¯o´ng cu’a Y .
ac d¯i.nh chuˆ
a’n trong X/Y d¯ˆe’
Khi d¯o´ ta c´o khˆ
ong gian vecto. thu.o.ng X/Y . Ta x´
anh mˆ
o.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n nhu. sau.
n´
o tro’. th`
-˘

Gia’ su’. ξ ∈ X/Y, l´
uc d¯o´ ξ s˜e c´o da.ng l`
a ξ = a + Y v´
o.i a ∈ X. D
a.t
ξ
v`
a kiˆe’m tra

·

= inf x
x∈ξ

l`
a mˆo.t chuˆ
a’n trˆen X/Y. Ta c´o
`on ta.i xn ∈
1) ξ ≥ 0, ξ = 0 tu.o.ng d¯u.o.ng v´
o.i inf x = 0. Nhu. vˆ
a.y tˆ
x∈ξ
a mˆo.t tˆ
a.p d¯o´ng trong X. Do d¯o´ ξ = 0 (t´
u.c l`a ξ = Y ).
ξ, xn → 0 nˆen 0 ∈ ξ v`ı ξ l`


21

2) V´
o.i ξ ∈ X/Y v`
a sˆo´ λ th`ı
λξ = inf y = inf λx = |λ| ξ .
y∈λξ

3) V´
o.i ξ, η ∈ X/Y v`
a
x ∈ ξ, y ∈ η sao cho

x∈ξ

`on ta.i
> 0 bˆ
a´t k`
y, theo t´ınh chˆ
a´t cu’a infimum, tˆ

x ≤ ξ + /2;

y ≤ η + /2.

Do d¯o´
x+y ≤ x + y ≤ ξ + η + .
V`ı x + y ∈ ξ + η nˆen
ξ+η ≤ x+y ≤ ξ + η + .
- iˆ
`eu n`
D

ay d¯u
´ ng v´
o.i mo.i

> 0 nˆen
ξ +η ≤ ξ + η

ngh˜ıa l`
a tiˆen d¯`ˆe th´
u. ba cu’a chuˆ
a’n d¯u.o..c ch´
u.ng minh.
Nhu. vˆ
a.y ta d¯a˜ xˆ
ay du..ng d¯u.o..c khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X/Y , go.i l`
a khˆ
ong
.
.
ong gian con d¯o´ng Y .
gian d¯.inh chuˆ
a’n thu o ng cu’a X theo khˆ
` TA
ˆP
BAI
.
˜ y kiˆe’m tra ca
2.1. Ha

´ c tˆa.p va
` ca
´ c ha
`m cho tu.o.ng u
´.ng la
` ca
´ c khˆ
ong gian d¯i.nh
chuˆ
a’n.
o.i x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X, ta d¯a˘. t x = max
a. X = K n , v´

i=1,...,n

xi .

b. X = c l`
a tˆ
a.p c´
ac d˜
ay sˆo´ thu..c (ho˘
a.c ph´
u.c) hˆ
o.i tu.. V´
o.i x = (xn )n ∈ c d¯a˘. t
x = sup |xn |.
n∈N

o.i

c. X = M [a, b] l`
a tˆ
a.p c´
ac h`am sˆo´ bi. ch˘
a.n o’. trˆen [a, b] v´
x = sup |x(t)|.
t∈[a,b]

a tˆ
a.p c´
ac h`am sˆo´ liˆen tu.c trˆen [a, b] v´
o.i
d. X = C[a,b] l`
b

x =
a

|x(t)|2 dt

1/2

.


22

e. X = l1 l`
a tˆ
a.p ho..p c´

ac d˜ay sˆo´ thu..c (ho˘
a.c ph´
u.c) (xn )n sao cho
∞

∞

|xn | < ∞ v`
a d¯a˘. t

|xn |.

x =

n=1

n=1

2.2. Gia’ su’. (xn )n v`
a (yn )n l`
a hai d˜
ay Cauchy trong khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n
o.i αn = xn − yn hˆ
o.i tu..
a` ng d˜
ay sˆo´ thu..c (αn )n v´
X. Ch´
u.ng minh r˘

2.3. Ch´
u.ng minh r˘
a` ng trong khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X, bao d¯o´ng cu’a h`ınh
`au d¯o´ng B (0, 1).
`au mo’. B(0, 1) l`
a h`ınh cˆ
cˆ
2.4. Cho A, B l`
a hai tˆ
a.p con cu’a khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X. Ch´
u.ng minh
` ng nˆe´u A, B l`
r˘
a
a tˆ
a.p compact th`ı tˆ
a.p A + B c˜
ung l`
a tˆ
a.p compact.
`au mo’. tˆ
a h`ınh cˆ
an k´ınh r trong khˆ
ong gian
am x0 b´
2.5. K´

y hiˆe.u B(x0 , r) l`
.
u.ng
d¯i.nh chuˆ
a’n X v`
a Y l`
a mˆo.t khˆ
ong gian con cu’a X. Gia’ su’ B(x0 , r) ⊂ Y. Ch´
minh X = Y.
`oi nˆe´u
a tˆ
a.p lˆ
2.6. Tˆ
a.p M trong khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X d¯u.o..c go.i l`
∀ x, y ∈ M, ∀ α ∈ [0, 1]

th`ı αx + (1 − α)y ∈ M.

Ch´
u.ng minh
`oi th`ı bao d¯o´ng M c˜
`oi.
a. Nˆe´u M lˆ
ung l`
a mˆo.t tˆ
a.p lˆ
`au d¯o´ng (ho˘
`oi.

b. H`ınh cˆ
a.c mo’.) trong X l`
a tˆ
a.p lˆ
2.7. Kiˆe’m tra c´ac khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n n`
ao o’. b`
ai tˆ
a.p 2.1 l`
a khˆ
ong gian
Banach.
`on
2.8. Ch´
u.ng minh r˘
a` ng khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n X l`
a kha’ ly khi v`
a chı’ khi tˆ
.
.
.
u a trong X sao cho X = M .
ta.i mˆo.t tˆ
a.p d¯ˆe´m d¯u o. c M ch´
2.9. Cho X l`
a mˆo.t khˆ
ong gian Banach v`

a Y l`
a mˆo.t khˆ
ong gian con d¯o´ng cu’a
.
.
.
X. Ch´
u ng minh khˆ
ong gian thu o ng X/Y l`
a Banach.
ˆ´N T´INH LIEN
ˆ TU.C.
´ TU’. TUYE
§3. TOAN
- i.nh ngh˜ıa v`
3.1. D
a c´
ac t´ınh chˆ
a´t co. ba’n.
- ˆe’ nghiˆen c´
o´i quan hˆe. gi˜
u.a hai khˆ
ong gian vecto., ta d¯a˜ x´et d¯ˆe´n ca
´ c ´a nh
D
u.u mˆ
.
.
.
-ˆ

u a chu
´ ng. D
o´i v´
o i c´ac khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n, nh`
o.
xa. (hay to´an tu’ ) tuyˆe´n t´ınh gi˜
d¯u.a v`
ao khoa’ng c´
ach (x´
ac d¯i.nh bo’.i chuˆ
a’n) ta nghiˆen c´
u.u tı´nh chˆ
a´t liˆen tu.c cu’a
u. khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n n`
ay v`
ao khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n
c´ac to´
an tu’. tuyˆe´n t´ınh t`
a t´ınh chˆ
a´t cu’a a´nh xa. liˆen tu.c trong c´ac khˆ
ong
kh´
ac. Nhu. thˆe´ c´ac d¯i.nh ngh˜ıa v`

23

` ng, gia’ su’. X, Y l`
gian mˆetric d¯`ˆeu la.i d¯u.o..c d`
ung o’. d¯aˆy. Nh˘
a´c la.i r˘
a
a hai khˆ
ong
o.i mo.i
anh xa.) A : X → Y l`
a liˆen tu.c ta.i x0 ∈ X nˆe´u v´
gian d¯i.nh chuˆ
a’n, to´
an tu’. (´
`on ta.i sˆo´ δ > 0 sao cho mo.i x ∈ X ma` x − x0 < δ thı` Ax − Ax0 < .
> 0 tˆ
- i.nh nghı˜a na
˜ y: A liˆen tu.c ta.i x0 khi va
o.i tiˆeu chuˆ
a’n qua da
`
D
`y tu.o.ng d¯u.o.ng v´
ay (xn )n ⊂ X, xn → x0 th`ı Axn → Ax0.
chı’ khi v´
o.i mo.i d˜
- i.nh l´
3.1.1 D

y. Cho X, Y l`
a hai khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ
a’n v`
a A : X → Y l`
a
.
.
.
.
.
o c´
ac mˆe.nh d¯`ˆe sau d¯ˆ
ay l`
a tu o ng d¯u o ng.
mˆ
o.t to´
an tu’ tuyˆe´n t´ınh. Khi d¯´
a) A liˆen tu.c (t´
u.c l`
a liˆen tu.c ta.i mo.i x ∈ X).
b) A liˆen tu.c ta.i mˆ
o.t d¯iˆe’m x0 ∈ X.
c) A liˆen tu.c ta.i d¯iˆe’m 0 ∈ X.
`on ta.i mˆ
d) Tˆ
o.t sˆ
o´ M sao cho v´
o.i mo.i x ∈ X ta c´
o Ax ≤ M x .

Ch´
u.ng minh.
a) ⇒ b) l`
a hiˆe’n nhiˆen.
b) ⇒ c) Gia’ su’. xn → 0. Khi d¯o´ xn + x0 → x0 . Do gia’ thiˆe´t b), A liˆen tu.c ta.i
x0 nˆen A(xn + x0 ) → Ax0 hay Axn + Ax0 → Ax0. Vˆa.y Axn → 0 = A(0).
`e t´ınh liˆen tu.c theo ngˆ
`on
c) ⇒ d) D`
ung d¯i.nh ngh˜ıa vˆ
on ng˜
u. , δ : v´
o.i = 1 tˆ
.
.
o i mo.i x ∈ X ma`
ta.i δ > 0 sao cho nˆe´u x ∈ X, x < δ th`ı Ax < 1. Bˆay gi`
o v´
δx
= δ/2 < δ nˆen
x = 0 ta c´o
2 x
A(

δx
)
2 x

≤ 1

hay

Ax

≤

2
x .
δ

Bˆa´t d¯a˘’ ng th´
u.c n`
ay hiˆe’n nhiˆen d¯u
´ ng khi x = 0. Vˆ
a.y t`
u. c) ta c´o d).
d) ⇒ a) Gia’ su’. xn → x trong X. Khi d¯o´ t`
u. d) ta c´
o
Axn − Ax = A(xn − x) ≤ M xn − x → 0 (n → ∞)
nˆen Axn → Ax, ngh˜ıa l`
a A liˆen tu.c ta.i x ∈ X.
- i.nh l´
`eu kiˆe.n d) cu’a D
Nˆe´u d¯iˆ
y 3.1.1 thoa’ m˜an, ta thˆ
a´y A biˆe´n mˆ
o.t tˆ
a.p bi. ch˘a.n
.

trong X th`
anh mˆ
o.t tˆ
a.p bi. ch˘
a.n trong Y . Do d¯o´ khi to´
an tu’ tuyˆe´n t´ınh A thoa’
.
.
.
´en tı´nh bi. ch˘
`eu kiˆe.n n`
a mˆo.t to´
an tu’ tuyˆ
a.n. Nhu. vˆ
a.y
m˜an d¯iˆ
ay th`ı n´
o d¯u o. c go.i l`
.
.
.
’
an tu’ tuyˆe´n t´ınh gi˜
u a hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a n, c´
ac kh´
ai niˆe.m
d¯oˆ´i v´
o i c´ac to´

.
.
.
.
.
o i nhau.
liˆen tu.c v`a bi. ch˘
a.n l`
a tu o ng d¯u o ng v´


24

-˘
´en tı´nh bi. ch˘
Bˆay gi`
o. cho A l`
a mˆo.t to´
an tu’. tuyˆ
a.n t`
u. X v`
ao Y . D
a.t
A = inf {K > 0 : ∀x ∈ X,

Ax ≤ K x .}

v`
a go.i A l`
a chuˆ

a’n cu’a to´
an tu’. A. Theo d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o:
a. Ax ≤ A x , ∀x ∈ X.
b. Nˆe´u c´
o K sao cho v´o.i mo.i x ∈ X m`a Ax ≤ K x th`ı A ≤ K.
T`
u. d¯i.nh nghı˜a ta thˆ
a´y viˆe.c tı´nh toa
´ n chuˆ
a’n cu’a toa
´ n tu’. A la
` kho
´ . Sau d¯aˆy
.
.
´ p tı´nh chuˆ
a’n mˆ
o.t ca
´ ch cu. thˆe’ ho n.
la
` va
`i cˆong th´
u c cho phe
- i.nh l´
a mˆ
o.t to´
an tu’. tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`
u. X v`
ao Y .
3.1.2 D

y. Gia’ su’. A l`
Khi d¯´
o ta c´
o
Ax
= sup Ax = sup Ax .
A = sup
x
x=0
x =1
x ≤1
Ax
-a
Ch´
u.ng minh. D
, β = sup Ax , γ = sup Ax . V´o.i mo.i
˘. t α = sup
x
x=0
x =1
x ≤1
Ax
≤ α hay Ax ≤ α x . Theo d¯i.nh ngh˜ıa th`ı A ≤ α.
x ∈ X \ {0}, ta c´o
x
x
th`ı y = 1. Nhu. vˆ
V´
o.i mo.i x = 0 d¯a˘. t y =
a.y

x
α = sup
x=0

Ax
x
= sup A(
) = sup Ay ≤ sup Ay
x
x
x=0
y =1
y ≤1

hay A ≤ α = β ≤ γ. M˘
a.t kh´
ac
Ax ≤ A

x ≤ A

v´
o.i x ≤ 1 nˆen γ ≤ A . T`
u. d¯o´ A = α = β = γ.
- i.nh l´
a ba khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ
a’n v`
a A:X →Y,
3.1.3 D

y. Gia’ su’. X, Y, Z l`
B : Y → Z l`
a c´
ac ´
anh xa. tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. Khi d¯´
o´
anh xa. C = B ◦ A : X → Z
.
c˜
ung l`
a tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c, d¯`ˆ
ong th`
oi C ≤ B A .
´en tı´nh, liˆen tu.c la` ´a nh xa. tuyˆ
´en
´ c ´a nh xa. tuyˆ
Ch´
u.ng minh. Hiˆe’n nhiˆen tı´ch ca
.
tı´nh, liˆen tu.c. Ngoa`i ra, v´
o i mo.i x ∈ X ta c´o:
Cx = B(Ax) ≤ B
Nhu. vˆ
a.y C bi. ch˘
a.n v`
a C ≤ A

Ax ≤ B

B .

A

x