Giáo trình Giải tích hàm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1011.36 KB, 212 trang )
Mở đầu
Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giải
tích Hàm đợc tác giả biên soạn trong chơng trình xây dựng bộ giáo trình hoàn
chỉnh cho sinh viên hệ Đại học s phạm ngành Toán Trờng Đại học Tây Bắc.
Học phần Giải tích Hàm hiện nay đang đợc giảng dạy tại Trờng Đại học
Tây Bắc trong năm đơn vị học trình. Điều kiện tiên quyết là sinh viên đà học
xong các học phần Lý thuyết tập hợp và Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính
vi phân - tích phân hàm một biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến,
Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân. Khi biên soạn giáo trình
này, chúng tôi đà chú ý nhiều đến yếu tố s phạm để đảm bảo cho việc trình bày
các vấn cơ bản vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo đợc hàm lợng kiến
thức cần thiết nhất, đồng thời chúng tôi chú ý nhiều đến việc hình thành cho sinh
viên những phơng pháp và kĩ năng cần thiết của môn học thông qua kĩ thuật
chứng minh các định lý, mệnh đề quan trọng và qua việc su tầm, phân loại một
hệ thống bài tập phong phú kèm theo hớng dẫn giải và lời giải chi tiết. Ngoài
ra, nội dung của giáo trình là một đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt
chẽ với nhiều kiến thức toán học quen thuộc nên chúng tôi có thể tin tởng giáo
trình sẽ trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu đối với sinh viên trong quá trình học
tập.
Nhân dịp giáo trình đợc đa vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn đối
với những ngời thầy tôn kính đà dạy dỗ trực tiếp cũng nh gián tiếp qua những
tài liệu quý báu của họ mà tác giả đà sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo chính
của giáo trình, qua đó tác giả đà đợc trang bị những tri thức, phơng pháp luận
và sự tự tin sẵn sàng chia sẻ những kinh nghiệm và tri thức trong NCKH dẫn
đến một trong các kết quả của sự dạy dỗ đó là chính là sự ra đời của giáo trình
này. Tác giả xin cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin,
trờng Đại học Tây Bắc đà dạy thực nghiệm và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp
3
hoàn thiện giáo trình. Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản
lý khoa học và Quan hệ quốc tế, các đồng nghiệp và sinh viên Khoa Toán - Lý
- Tin trờng Đại học Tây Bắc về sự giúp đỡ quý báu cũng nh sự tạo điều kiện
thuận lợi để giáo trình này đợc đa và sử dụng. Do kinh nghiệm khoa học của
tác giả còn nhiều hạn chế, chắc chắn tài liệu không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong muốn tiếp tục nhận đợc nhiều góp ý để tác giả hoàn thiện
giáo trình, góp phần tốt hơn trong việc nâng cao chất lợng giảng dạy và học tập
của sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Trờng Đại học Tây Bắc.
Sơn La, tháng 12 năm 2007
Tác giả
Phạm Minh Thông
4
Mục lục
1
Không gian định chuẩn và không gian Banach
9
1
Định nghĩa vµ vÝ dơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1
Chuẩn trên không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . .
11
1.3
Tập compact trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 13
1.4
Mét sè vÝ dơ vỊ kh«ng gian Banach . . . . . . . . . . . . . 14
2
3
4
Kh«ng gian các hàm khả tích bậc p
1 . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1
Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2
Bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1
Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2
Chuỗi hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ánh xạ tun tÝnh liªn tơc .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1
Định nghĩa và các tính chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2
Kh«ng gian L(E; F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3
Mét sè vÝ dơ vỊ ¸nh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . 39
5
5
6
7
Không gian con và không gian thơng . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1
Kh«ng gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2
Tæng trùc tiÕp t« p« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3
Siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4
Không gian thơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1
Kh«ng gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 52
6.2
Không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bài tập chơng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm
1
Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1
2
3
4
64
Nưa chn liªn tơc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1
Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2
Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Định lý Hahn- Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1
Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực . . . 73
3.2
Định lý Hahn- Banach đối với không gian vector phức . . 76
3.3
Một số hệ quả quan trọng của định lý Hahn-Banach . . . . 79
Bài tập chơng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Toán tử trong không gian Banach
84
6
1
Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2
To¸n tư compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3
Toán tử hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4
Phỉ cđa to¸n tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5
4.1
Một số khái niệm cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2
Phỉ cđa to¸n tư trong kh«ng gian Banach . . . . . . . . . . 96
4.3
Phỉ cđa to¸n tư compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Bµi tËp ch−¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert
1
116
Dạng hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.1
Định nghĩa và các tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . 116
1.2
Hai bất đẳng thức quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2
Tích vô hớng và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3
HÖ trùc giao, trùc chuÈn vµ phÐp chiÕu trùc giao . . . . . . . . . . 124
3.1
HƯ trùc giao vµ trùc chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.2
PhÐp chiÕu trùc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4
Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert . . . . . . . 131
5
C¬ së trùc chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6
Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 138
7
Toán tử tự liên hợp và toán tử compact trong không gian Hilbert . 143
7.1
Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . 143
7
7.2
8
Toán tử tự liên hợp compact- Định lý Hilbert-Schmidt . . . 148
Bài tập chơng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5 Hớng dẫn giải bài tập
157
1
Chơng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2
Ch−¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3
Ch−¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4
Ch−¬ng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8
Chơng 1
Không gian định chuẩn và không
gian Banach
Trong suốt tài liƯu nµy chóng ta kÝ hiƯu K lµ tr−êng sè thực R hoặc trờng
số phức C và các không gian vector đợc nói đến đều là không gian vector trên
trờng K.
1 Định nghĩa và ví dụ
1.1 Chuẩn trên không gian vector
Định nghĩa 1.1. Hàm xác định trên không gian vector E đợc gọi là một chuẩn
trên E nếu thoả mÃn các điều kiện sau:
1) (x)
0 với mọi x ∈ E vµ ρ(x) = 0 ⇒ x = 0,
2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) víi mäi λ ∈ K vµ víi mäi x ∈ E,
3) ρ(x + y)
ρ(x) + ρ(y) víi mọi x, y E.
Khi thoả mÃn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi ®iỊu kiƯn:
1’) ρ(x)
0 víi mäi x ∈ E, th× ρ đợc gọi là một nửa chuẩn trên E.
9
Mệnh đề 1.2. Giả sử là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi x, y E ta cã:
|ρ(x) − ρ(y)|
ρ(x − y)
(3’)
Chøng minh. Cho x, y ∈ E, tõ ®iỊu kiƯn 3) ta cã:
ρ(x) = ρ(x − y + y)
ρ(x − y) + ρ(y)
suy ra
ρ(x) − (y)
(x y)
()
Thay đổi vai trò của x và y và kết hợp với điều kiện 2) ta nhận đợc
(y) − ρ(x)
ρ(y − x) = ρ(x − y)
Cuèi cïng, tõ (∗) vµ (∗∗) ta cã |ρ(x) − ρ(y)|
(∗∗)
ρ(x − y).
Tõ các tính chất của chuẩn và định nghĩa khoảng cách chúng ta có mệnh đề
sau:
Mệnh đề 1.3. Nếu là một chuẩn trên E thì công thức:
d(x, y) := (x y), (x, y E)
(1.1)
xác định một khoảng cách trên E thoả mÃn:
x, y, z E, K,
d(x + z, y + z)
d(λx, λy)
= d(x, y),
= |λ|d(x, y)
(1.2)
Khoảng cách d xác định bởi công thức (1.1) đợc gọi là khoảng cách sinh bởi
chuẩn .
Cho E là không gian véc tơ và a, b K. Ta gọi tập hợp sau đây là đoạn với
các mút a, b:
[a, b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, 0
10
t
1}
Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian vector E đợc gọi là:
a) Tập lồi nếu [a, b] X víi mäi a, b ∈ X.
b) TËp c©n nÕu λx ∈ X víi mäi x ∈ X vµ víi mäi λ ∈ K mµ |λ|
1.
c) TËp hót nÕu víi mỗi x E đều tồn tại số > 0 sao cho λx ∈ X víi mäi
λ ∈ K mà ||
.
Mệnh đề 1.5. Giả sử là một nửa chuẩn trên E. Khi đó các tập hợp:
B = {x ∈ E : ρ(x) < 1}, B = {x ∈ E : (x)
1}
là lồi, cân, hút.
Chứng minh. Trớc tiên ta chứng minh B là tập lồi, cân và hút: Cho a, b ∈ B
vµ 0
t
1. Ta cã:
ρ(ta + (1 − t)b)
ρ(ta) + ρ((1 − t)b) = tρ(a) + (1 − t)(b) < t + 1 t = 1
Mặt khác, ρ(λx) = |λ|ρ(x)
ρ(x) < 1. Suy ra B lµ låi và cân.
Cuối cùng, nếu x E thì do x B, : || <
1
nên B là tập hút.
(x) + 1
Việc chứng minh B là lồi, cân và hút hoàn toàn tơng tự.
1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.6. Không gian vector E cùng với một chuẩn xác định trên E
đợc gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Một không gian tuyến tính định chuẩn thờng gọi ngắn gọn là không gian
định chuẩn.
Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn thì với mỗi x E ta viết
(x) = x và gäi sè x lµ chn cđa vector x.
11
Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E là một không gian metric với
khoảng cách d sinh bởi chuẩn xác định bởi công thức:
d(x, y) := x y , x, y E.
Nh vậy, trong không gian định chuẩn, khi nói tới các khái niệm về giới hạn
của d·y ®iĨm, d·y Cauchy, vỊ tËp më, tËp ®ãng, vỊ giới hạn của ánh xạ giữa các
không gian định chuẩn và các khái niệm liên quan khác thì chúng ta hiểu đó chính
là những khái niệm tơng ứng trong không gian metric với khoảng cách sinh bởi
chuẩn của không gian.
Định nghĩa 1.7. Không gian tuyến tính định chuẩn E đợc gọi là không gian
Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric
đầy.
Mệnh đề 1.8. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x x là liên
tục đều trên E.
Chứng minh. Trớc hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh
xạ liên tục đều giữa các không gian metric. Cho > 0 bất kì, chän δ = ε. Khi
®ã, theo mƯnh ®Ị 1.3, víi mäi x, y ∈ E, nÕu d(x, y) = x − y < δ th×
| x − y |
x − y = d(x, y) = δ = ε.
Chøng tá hµm . : E R liên tục đều trên E.
Mệnh đề 1.9. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vec tơ trong E
là liên tục:
Chứng minh. Nhờ các đánh giá dới đây
(x + y) (x0 + y0 )
λx − λ0 x0
x − x0 + y − y0
|λ| x − x0 + |λ − λ0 | x0
12
víi chó ý E × E hay K × E đợc xét nh không gian metric tích của các không
gian metric với khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn và khoảng
cách trên K là khoảng cách Euclide thông thờng.
1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.10. Tập con X trong không gian định chuẩn E đợc gọi là:
a) tập bị chặn nếu: sup{ x : x X} < +.
b) tập hoàn toàn bị chặn nếu: Với mọi > 0 tồn tại tập hữu h¹n A ⊂ E sao
cho
(∀x ∈ X)(∃y ∈ A) | x y <
X
B(y, )
yA
Tập con hữu hạn A E thoả mÃn b) gọi là một - lới hữu hạn của X.
c) tập compact nếu: mọi dÃy {xn } ⊂ X cã mét d·y con {xnk } héi tơ tíi mét
phÇn tư x ∈ X.
NhËn xÐt 1. NÕu X là tập hoàn toàn bị chặn trong E thì với mỗi > 0 đều có
thể chọn cho X một - lới hữu hạn A gồm toàn các phÇn tư cđa X.
ThËt vËy, cho ε > 0 cã thể chọn cho X một /2 lới hữu hạn A ⊂ E. Khi ®ã
X=
ε
B(y, ) ∩ X =
2
y∈A
y∈A
ε
B(y, ) ∩ X
2
ở đây
B y,
= {x E : x y < } , A = {y ∈ A : B(y, ) X = }
2
2
2
Với mỗi y A , chän zy ∈ B(y, 2ε ) ∩ X. Ta kiÓm lại {zy : y A } X là - lới
hữu hạn của X. Cho x X, chọn y ∈ A ®Ĩ x−y < 2ε . Suy ra B(y, 2 )X =
nên y A và
x zy
x − y + y − zy <
13
ε ε
+ =ε
2 2
Nhận xét 2. Mọi tập hoàn toàn bị chặn đều là tập bị chặn. Thật vậy, nếu X là
tập hoàn toàn bị chặn thì với = 1 tồn tại x1, x2, . . . , xn lµ ε - lới hữu hạn của
X. Giả sử x X tuỳ ý, chän 1
x
k
n ®Ĩ x − xk < 1. Suy ra
xk + x − xk
max xk | + 1
xk + 1
1 k n
Do ®ã
sup x
n∈X
max xk + 1 < +∞
1 k n
Vậy X là tập bị chặn.
Đối với không gian định chuẩn, đặc trng Hausdorff của tập compact đợc
phát biểu bởi định lý sau đây:
Định lý 1.11 (Hausdorff). Tập con X trong không gian Banach E là compact
nếu và chỉ nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn.
1.4 Một sè vÝ dơ vỊ kh«ng gian Banach
VÝ dơ 1. Kh«ng gian Euclide n- chiều
Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn là tích Descartes của n lần trờng vô h−íng
K:
Kn := {x = (x1 , x2, . . . , xn ) : x1 , x2, . . . , xn K}
Với mỗi x = (x1 , x2, . . . , xn ) ∈ Kn , ta đặt:
n
|xi |
x =
2
1
2
.
(1)
i=1
Ta sẽ chứng tỏ công thức (1) xác định một chuẩn trên Kn , gọi là chuẩn Euclide.
Thật vậy, hiển nhiên hàm x x thoả mÃn các tiên đề 1) và 2) trong định nghĩa
chuẩn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski sau đây
n
|ai bi|
i=1
1
2
n
|ai |2
i=1
|bi |2
.
i=1
14
1
2
n
chúng ta có thể chứng minh tiên hàm . thoả mÃn điều kiện 3) trong định nghĩa
chuẩn:
Thật vậy, với mọi x = (x1, x2, . . . , xn ), y = (y1 , y2, . . . , yn ) ∈ Kn ta cã:
n
n
|xi + yi |2
n
n
(|xi | + |yi|)2 =
i=1
i=1
n
|x2i | + 2
i=1
n
|x2i | + 2
i=1
⎛
=⎝
|x2i |
i=1
n
+
i=1
i=1
1
2
n
|x2i |
.
|yi2|
i=1
1
2
n
|yi2|
+
i=1
n
|x2i |
n
|xi yi| +
⎞2
i=1
|yi2| ⎠
i=1
chøng tá
x+y
x + y víi mäi x, y Kn
Nh vậy, hàm . thoả mÃn cả ba điều kiện trong định nghĩa chuẩn nên nó là
một chuẩn trên Kn - gọi là chuẩn Euclide, đồng thời Kn với chuẩn Euclide là một
không gian định chuẩn - gọi là không gian Euclide n chiều.
Cuối cùng, với x = (x1, . . . , xn ) ∈ Kn , y = (y1, . . . , yn ) ∈ Kn ta cã:
max |xi − yi |
1 i n
x−y
n. max |xi − yi |.
1 i n
nªn x − y → 0 ⇔ ∀i = 1, n, |xi − yi | → 0, suy ra, sù héi tơ trong Kn lµ sự hội
tụ theo toạ độ và một dÃy là dÃy Cauchy trong Kn khi và chỉ khi tất cả các dÃy
toạ độ của nó đều là dÃy Cauchy trong K. Lại do K là không gian metric đầy
suy ra Kn là không gian đầy. Vậy Kn là không gian Banach.
Ví dụ 2. Không gian các hàm liên tục
Ký hiệu C[a; b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b]. Đặt:
f = sup{|f(x)| : x [a, b]}, f ∈ C[a; b]
DƠ dµng thÊy r»ng hµm f f xác định một chuẩn trên không gian C[a; b]
và với chuẩn đó, C[a; b] trở thành một không gian định chuẩn.
15
Ta sẽ kiểm lại C[a; b] là một không gian Banach: Cho {fn } lµ mét d·y Cauchy
trong C[a; b], khi ®ã víi mäi sè ε > 0 cho tr−íc, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
với mọi m, n ∈ N∗ , m, n
n0 ta ®Ịu cã:
fn − fm = sup
x∈[a;b]
fn (x) − fm (x) < ε
Suy ra
n0 ) |fn (x) − fm (x)|
(∀m, n
ε víi mäi x [a, b].
(1.3)
Nh vậy với mỗi x [a, b] cố định, dÃy số {fn (x)} là một dÃy Cauchy trong K.
Do K là không gian metric đầy nên dÃy đó hội tụ trong K. Đặt
f(x) = lim fn (x) K, x [a, b]
n
ta đợc hàm số f : [a; b] → K. Ta sÏ chØ ra f C[a; b] và dÃy {fn } hội tụ đến
f trong C[a; b], nghÜa lµ fn − f → 0. Thật vậy, giả sử x0 [a; b] là điểm tuỳ
ý, ta chứng minh f liên tục tại x0 . Trong (1.3) bằng cách cố định x [a, b] và
n
n0 , cho m ta đợc
|fn (x) f(x)|
ε víi mäi x ∈ [a, b] vµ n
n0
(1.4)
Cho x0 ∈ [a; b], n = n0 ta cã
|fn0 (x0) − f(x0 )|
(1.5)
Vì fn0 liên tục tại x0 nên tồn tại δ > 0 sao cho víi mäi x ∈ [a; b]
|x − x0| < δ ⇒ |fn0 (x) − fn0 (x0)| <
(1.6)
Từ các bất đẳng thức (1.4), (1.5) và (1.6) ta suy ra: Víi mäi x ∈ [a; b] thoả mÃn
|x x0| < ta đều có:
|f(x) f(x0 )|
|f(x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0)| + |fn0 (x0) − f(x0 )| < 3ε
Chøng tá f liên tục tại x0. Vì x0 [a; b] là điểm tuỳ ý ta suy ra f liên tục trên
đoạn [a; b], nghĩa là f C[a; b].
16
Còng tõ (1.4) suy ra fn − f = sup |fn (x) − f(x)|
x∈[a,b]
ε víi mäi n
n0 .
Chøng tá lim fn − f = 0, nghÜa lµ d·y {fn } hội tụ đến f trong C[a; b].
n
Ví dụ 3. Không gian các hàm bị chặn
Giả sử S là tập tuỳ ý. Ký hiệu
B(S) là không gian tất cả các hàm bị chặn
trên S, tức là sup{|f(s)| : s S} < +. Đặt
f := sup{|f(s)| : s S} < +,
Có thể thấy công thức (1.7) xác định một chuẩn trên
không gian định chuẩn. Hơn nữa, có thể chỉ ra
f B(S)
(1.7)
B(S), do đó B(S) là một
B(S) là không gian Banach.
Ví dụ 4. Không gian các dÃy khả tổng bậc p. KÝ hiÖu
∗
KN = {x = (x1 , x2, . . . , xn , . . .) : xn K, n N }
là tập hợp tất cả các dÃy số của K. Với mỗi số thực p
1 tuỳ ý, ký hiệu lp là
tập hợp tất cả các d·y sè kh¶ tỉng bËc p:
∗
lp = {x = (xn ) ⊂ KN :
∞
|xn |p < +∞}
n−1
Chóng ta sÏ chøng tỏ lp là một không gian Banach với chuẩn xác định bởi
công thức:
x
p
|xn |
:=
1
p
p
,
x = (x1, x2 , . . . , xn , . . .) ∈ lp.
(1.8)
n=1
§Ĩ chøng minh lp là không gian vector và công thức (1.8) thực sự xác định một
chuẩn trên lp , trớc tiên, chúng ta cần chứng minh các bổ đề quan trọng sau đây:
Bổ đề 1.12. Nếu p, q > 1 với
1
p
+
1
q
.
= 1 th× víi mäi α, β ∈ R+ ta cã:
αp β q
+
p
q
17
(1.9)
Chøng minh. Tr−íc hÕt, nÕu α = 0 hc β = 0 thì bổ đề hiển nhiên đúng. Giả
sử > 0, β > 0. XÐt hµm sè
f(t) =
tp t−q
+
p
q
, (t > 0)
Do f (t) = t−q−1 (tp+q −1) = 0 ⇔ t = 1 vµ f (t) < 0 trên khoảng (0; 1), f (t) > 0
trên khoảng (1; +) nên f có giá trị cực tiểu là f(1) =
tp tq
+
p
q
1
Thay t = α q .β
−1
p
1
p
+
1
q
= 1. Nh− vËy
1 với mọi t > 0
vào bất đẳng thức trên ta đợc
p
q
q . 1 p .1
+
p
q
1
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với và lu ý rằng
ta ®−ỵc
αp β q
+
p
q
p
q
+ 1 = p,
q
p
+ 1 = q,
α.β
Bỉ ®Ị 1.13 (Bất đẳng thức Holder). Cho p, q R, p, q > 1,
1
p
+
1
q
= 1. Khi ®ã,
nÕu (xn ) ∈ lp, (yn ) ∈ lq th×:
∞
∞
|xn yn |
|xn |
n=1
p
1
p
∞
|yn |
.
n=1
q
1
q
(1.10)
n=1
Gän hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu trong công thức (1.8) ta cã:
∞
|xn yn |
x p. y p.
(1.11)
n=1
Chøng minh. HiÓn nhiên bổ đề đúng nếu x
chứng minh trờng hợp x
bổ ®Ị 1.12 cho α =
|xn |
x p
p
> 0, y
vµ β =
|xn yn |
x p y
|yn |
y q
q
q
p
= 0 hc y
q
= 0. Vậy chỉ cần
> 0. Với mỗi số tự nhiên n
ta đợc
1 |xn |p 1 |yn |q
+
p x pp q y qq
18
1, ¸p dơng
Lấy tổng hai vế theo n ta đợc
n=1
|xn yn |
x
p
y
1
p x
q
Suy ra
∞
∞
1
.
|xn | +
q y
p n=1
p
∞
∞
|xn yn |
|xn |
n=1
.
q n=1
1
p
p
|yn |q =
|yn |
.
n=1
1 1
+ =1
p q
1
q
q
n=1
Bổ đề 1.14 (Bất đẳng thøc Minkowski). Cho p ∈ R, p
1. NÕu x, y lp thì
x + y lp và
x+y
x
p
p
+ y
p
Chứng minh. Từ bất đẳng thức
|xn + yn |p
(|xn | + |yn |)p
2p max{|xn |p, |yn |p }
2p (|xn |p + |yn |p ), ∀n
ta cã
∞
|xn + yn |
p
∞
p
∞
p
|xn | +
2
n=1
n=1
1
|yn |p < +
n=1
Suy ra x + y lp.
Bất đẳng thức Minkowski hiển nhiên đúng với p = 1.
Giả sử p > 1, chän q > 1 ®Ĩ
1
p
+
1
q
= 1. Do q(p 1) = p và do trên ta có
|xn + yn |(p−1)q =
n=1
NghÜa lµ (|xn +
yn |p−1 )∞
n=1
|xn + yn |p < +
n=1
lq . áp dụng bất đẳng thức Holder tíi (xn ) ∈ lp vµ
(|xn + yn |p−1 ) ∈ lq víi l−u ý thªm r»ng
∞
|xn |.|xn + yn |
p1
1
q
=
p1
p
ta đợc
x
|xn + yn |
p
n=1
n=1
= x
p
n=1
19
(p1)q
|xn + yn |p
p1
p
1
q
T−¬ng tù ta cã
∞
|yn |.|xn + yn |
∞
p−1
y
q
n=1
|xn + yn |p
p1
p
n=1
Từ các bất đẳng thức trên ta nhận đợc:
|xn + yn |
∞
p
|xn |.|xn + yn |
n=1
p−1
∞
+
n=1
|yn |.|xn + yn |p−1
n=1
∞
( x
p
|xn + yn |
+ y p)
p
p1
p
n=1
Chia hai vế bất đẳng thức trên cho
x+y
Mệnh đề 1.15. Nếu p
n=1
p
|xn + yn |p
= x
p
p1
p
ta đợc:
+ y p.
1 thì lp là một không gian Banach.
Chứng minh. Trớc hết, hiển nhiên .
thoả mÃn điều kiện thứ nhất trong định
p
nghĩa chuẩn. Cho x, y lp và K theo bổ đề 1.14 ta có x + y lp và hiển
nhiên x := (xn ) ∈ lp, ®ång thêi ta cã
∞
λx
p
p
|λ| .|xn|
=
p
1
p
∞
= |λ|.
n=1
Nh− vËy .
p
|xn |
p
1
p
= ||. x
p
n=1
thoả mÃn điều kiện thứ hai trong định nghĩa chuẩn. Sử dụng bất
đẳng thức Minkowski ta có .
p
thoả mÃn điều kiện còn lại. Vậy lp là một không
gian định chuẩn với chuẩn . p.
Bây giờ ta chứng minh lp là không gian Banach: Cho {x(k)}
k=1 là dÃy Cauchy
trong lp, x(k) = (xn )∞
n=1 , khi ®ã, víi mäi sè ε > 0 cho tr−íc, tån t¹i sè tù nhiªn
(k)
k0 sao cho víi mäi k, l ∈ N∗ : k, l
k0 ta ®Ịu cã: Suy ra, víi mäi m ∈ N∗ ta cã:
m
x
(k)
−x
(l)
|x(k)
n
=
n=1
20
−
p
x(l)
n |
1
p
< ε.
Suy ra, víi mäi m
1 vµ k, l
k0 ta cã:
m
x
(k)
−x
(l)
|x(k)
n
=
−
p
x(l)
n |
1
p
< ε.
(1.12)
n=1
(k)
1 d·y {xn }k
Tõ (1.12) suy ra víi mäi n
không gian Banach nên tồn tại xn = lim
k
1
là dÃy Cauchy trong K. Vì K là
(k)
xn ,
n N . §Ỉt x = (xn )∞
n=1 , ta sÏ
chøng tá r»ng x ∈ lp vµ x(k) → x trong lp. Trong (1.12), cố định m
1 và k
k0
cho l ta ®−ỵc
m
p
|x(k)
n − xn |
1
p
1, ∀k
ε víi mäi m
k0
n=1
suy ra
∞
|x(k)
n
− xn |
1
p
p
ε, (∀k
k0 )
n=1
Chøng tá (xn 0 − xn )∞
n=1 ∈ lp . áp dụng bất đẳng thức Minkovski cho các d·y
(k )
0
(xn 0 )∞
− x n )∞
n=1 ∈ lp , (xn
n=1 lp ta đợc:
(k )
(k )
|xn |
p
1
p
n=1
0) p
|x(k
n |
1
p
0)
|x(k
n
+
n=1
x(k) − x
p
1
p
< +∞
n=1
suy ra x ∈ lp . Còng tõ (1.12), cố định k
điều này chứng tỏ x(k) x
xn |
p
p
k0 và cho l ta đợc
,
k
k0
0 khi k → ∞, nghÜa lµ x(k) → x trong lp.
Ví dụ 5. Không gian l và không gian c0
Đặt
l = {(xn ) ∈ KN : sup |xn | < +∞} vµ c0 = {(xn ) ∈ l∞ : lim xn = 0}.
n
n
Khi đó, l =
B(N ) không gian các hàm bị chặn trên N nên l là không gian
Banach với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên l .
Có thể chứng minh rằng c0 là không gian con đóng của l nên c0 cũng là
không gian Banach.
21
1
2 Không gian các hàm khả tích bậc p
Cho X là tập đo đợc Lebesgue trong Rk và là độ đo Lebesgue trên - đại
số
L các tập đo đợc Lebesgue trên Rk .
Với mỗi p
1, ký hiệu Lp (X) là tập tất
cả các hàm khả tích (Lebesgue) bậc p trên X (hai hàm tơng đơng xem là một)
|f|p dμ < +∞}
Lp (X) = {f : x → R đo đợc :
X
Chúng ta sẽ chứng tỏ Lp (X) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi
công thức:
f
p
1
p
|f|p d
:=
X
Việc chứng minh Lp (X) là không gian vector và hàm Lp (X)
f : f
p
R
là một chuẩn hoàn toàn tơng tự nh đối với không gian lp các dÃy khả tổng bËc
p, thay cho phÐp lÊy tỉng lµ phÐp lÊy tÝch phân. Trớc hết chúng ta chứng minh
các bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Minkowski trong Lp (X) bởi các Bổ
đề sau đây.
2.1 Bất đẳng thức Holder
Định lý 2.1. Gi¶ sư p, q > 1 sao cho
1
p
+ 1q = 1. Khi ®ã víi mäi f ∈ Lp (X), g ∈
Lq (X), ta cã
|f|p dμ
|f.g|dμ
X
1
p
X
|g|q dμ
1
q
(2.1)
X
Hay víi nh÷ng ký hiƯu đà nêu thì
fg
1
f
p
g
q
Chứng minh. Nếu f = 0 hoặc g = 0 thì f = 0 h.k.n hoặc g = 0 h.k.n. Suy
ra f.g = 0 h.k.n. và do đó fg
1
= 0. Vậy bất đẳng thức Holder là đúng trong
22
trờng hợp này. Xét trờng hợp f
bổ đề 1.12 với
> 0,
g
q
> 0. Với mỗi x X áp dụng
|f(x)|
|g(x)|
và =
f p
g q
=
ta đợc
p
1 |f(x)|p 1 |g(x)|q
+
p f pp
q g qq
|f(x)g(x)|
f p g q
Lấy tích phân hai vế theo độ ®o μ ta cã
1
f
p
g
q
1
p f
|f(x)g(x)|dμ
X
Hay
fg
f
p
g
p
p
p
p
1 |f
p |f
1
q
p
p
|f(x)|pdμ +
X
1 |g
q |g
q
q
q
q
=
f
g
q
+
1
q g
q
q
|g(x)|q d
X
1 1
+ =1
p q
Suy ra
fg
1
p
Bất đẳng thức đợc chứng minh.
2.2 Bất đẳng thức Minkowski
Bổ đề 2.2. Nếu f, g ∈ Lp (X), p
1 th× f + g ∈ Lp (X) vµ λf ∈ Lp (X) víi mäi
λ ∈ K. Ngoµi ra
f +g
p
f
p
+ g
p
vµ
λf
p
= |λ| f
p
Chøng minh. Do
|f(x) + g(x)|p
(|f(x)| + |g(x)|)p
2p max(|f(x)|p , |g(x)|p)
2p (|f(x)|p + |g(x)|p), ∀x ∈ X
nªn
|f + g|p dμ
X
2p
|f|p dμ + 2p
X
|g|p dμ < +∞
X
23
(2.2)
Suy ra f + g ∈ Lp (X). HiĨn nhiªn f Lp (X) và
f
p
= || f
p,
K
Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:
f +g
f
p
p
+ g
p
Trớc hết do (p − 1)q = p nªn
(|f + g|p−1 )q dμ =
X
|f + g|p dμ < +∞
X
Suy ra |f + g|p1 Lq (X). áp dụng bất đẳng thức Holder tíi f vµ |f + g|p−1
víi l−u ý r»ng (p − 1)q = p
|f|.|f + g|p−1 dμ
X
1
p
|f|p dμ
|f + g|p dμ
X
p−1
p
X
Hay
|f(x) f + g|p−1 dμ
f
p
f +g
p−1
p
|g(x) f + g|p−1 dμ
g
p
f +g
p1
p
X
Tơng tự
X
Các bất đẳng thức trên cho ta
f +g
p
p
|f(x) + g(x)|p dμ
=
X
|f(x) f + g|p−1 dμ +
X
f
suy ra f + g
p
f
p
|g(x) f + g|p−1 dμ
X
p
f +g
p−1
p
+ g
+ g p.
24
p
f +g
p−1
p
Định lý 2.3. Lp (X) là không gian Banach với chn
f
p
p
|f(x)| dμ
=
1
p
(2.3)
X
Chøng minh. Bỉ ®Ị 2.2 chøng tá Lp (X) là không gian vector và hàm f f
p
là một chuẩn trên Lp (X), ở đây cần chú ý phần tư 0 ∈ Lp (X) chÝnh lµ hµm bÊt
kú b»ng không h.k.n. trên X. Bây giờ ta chứng minh Lp (X) là đầy, muốn vậy
chỉ cần chứng minh mọi chuỗi trong Lp (X) hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Thật vậy,
cho chuỗi
n=1
fn trong Lp (X) với
n=1
trị hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n
fn
p
< +. Ta có thể xem fn nhận giá
1, đặt
n
|fk (x)|, x X
gn (x) =
k=1
Khi đó gn ∈ Lp (X) vµ
n
gn
∞
fk
p
p
C :=
fk
p
< +∞
n=1
k=1
Suy ra
gnp (x)dμ
C p víi mäi n
1
X
Bëi v× víi mäi x ∈ X, d·y số gn (x) đơn điệu tăng nên tồn tại
|fk (x)| víi mäi x ∈ X
g(x) = lim gn (x) =
n→∞
k=1
Do đó g và g p là đo đợc. Theo bổ ®Ò Fatou ta cã
g p (x)dμ =
X
lim gnp (x)dμ
n→∞
X
gnp (x)dμ
lim
n→∞
Cp
X
BÊt đẳng thức này suy ra g p và vị vậy g là hữu hạn h.k.n. Nh vậy tồn tại tập
N ⊂ X víi μ(N) = 0 sao cho
∞
|fk (x)| < +∞ víi mäi x ∈ X \ N
g(x) =
k=1
25
Suy ra chuỗi
n=1
fn hội tụ h.k.n. đến hàm đo đợc f. Hơn nữa
|f(x)|pd
X
|g(x)|p d
Cp
X
Nói cách khác f Lp (X). TiÕp theo chóng ta chøng minh
trong Lp (X). Cã thĨ xem f hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n
n
n=1
fn hội tụ tới f
1 đặt
p
fk (x) f(x) , x X
hn (x) =
k=1
Khi đó {hn } là dÃy các hàm đo đợc hội tụ h.k.n. đến 0 và
|fk (x)| + f(x)|
|hn (x)|
p
2p g p (x), h.k.n
k=1
Do g p kh¶ tÝch, theo định lý Lebesgue và qua giới hạn dới dấu tích phân ta đợc
|hn (x)|d = 0
lim
n
X
n
Do đó limn
k=1
fk f
p
= limn
X
|
n
k=1
fk (x) f(x)|p d = 0.
3 Chuỗi trong không gian định chuẩn
3.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi
Định nghĩa 3.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn và {xn }nN là một dÃy
các phần tử cđa E. Ta gäi tỉng h×nh thøc sau:
∞
x1 + x2 + . . . + xn + . . . =
xn
n=1
là một chuỗi trong không gian định chuẩn E.
26
(3.1)
Phần tử xn đợc gọi là phần tử tổng quát của chuỗi (3.1).
Với mỗi n N, phần tử sn = x1 + x2 + . . . + xn đợc gọi là tổng riêng thứ
n và dÃy {sn }nN đợc gọi là dÃy tổng riêng của chuỗi (3.1).
Định nghĩa 3.2. Nếu dÃy các tổng riêng {sn } hội tụ tới phần tử s E thì chuỗi
(3.1) đợc gọi là hội tụ về s và s đợc gọi là tổng của chuỗi. Kí hiệu là:
xn = s.
n=1
Trờng hợp ngợc lại, ta nói chuỗi (3.1) là phân kỳ.
Mệnh đề 3.3. Nếu chuỗi (3.1) hội tụ thì phần tử tổng quát dần đến 0, tức là
lim xn = 0
n
Chứng minh. Giả sử
n=1
xn = s, khi đó, gọi {sn } là dÃy tổng riêng của chuỗi
thì theo định nghĩa ta có lim sn = s. Do xn = sn − sn−1 víi mäi n > 1 nªn
n→∞
lim xn = lim [sn − sn−1 ] = lim sn − lim sn−1 = s s = 0
n
n
n
n
Định lý 3.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi
n=1
xn trong không gian Banach E hội
tụ khi và chỉ khi
( > 0)(∃n0) | (∀n
n0 ), (∀p
1) xn+1 + . . . + xn+p <
Thật vậy, vì E là không gian Banach nên chuỗi hội tụ nếu và chỉ nếu dÃy các
tổng riêng sn của nó là dÃy Cauchy, tức lµ
∀ε > 0, ∃n0 , ∀n > n0 , ∀p
1 : sn+p − sn = xn+1 + . . . + xn+p < ε.
27
