Giáo trình Toán cao cấp 1

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
TS. NGUYỄN ĐỨC TÍNH (Chủ biên)
ThS. NGUYỄN THANH HUYỀN, Ths. NGUYỄN DUY PHAN

GIÁO TRÌNH

TỐN CAO CẤP 1
DÀNH CHO BẬC ĐẠI HỌC
(Lưu hành nội bộ)

QUẢNG NINH, NĂM 2017



LỜI NĨI ĐẦU
Giáo trình Tốn Cao Cấp 1, bậc Đại học được biên soạn dành cho đối tượng là sinh
viên, giảng viên bậc đại học, cao đẳng trường Đại học Cơng nghiệp Quảng Ninh. Giáo
trình được biên soạn theo nội dung đề cương chi tiết mơn Tốn Cao Cấp 1, bậc Đại học
của nhà trường.
Cuốn giáo trình được biên soạn với mục đích cung cấp cho sinh viên tài liệu sát với
đề cương mơn học, có nhiều dạng bài tập phong phú đáp ứng yêu cầu của các môn học
chuyên ngành.
Cấu trúc của giáo trình gồm 4 chương. Mỗi chương đều trình bày các phần lý
thuyết, bài tập, ví dụ phong phú và phần bài tập luyện tập cuối chương. Phần lý thuyết
được trình bày chi tiết giúp người đọc hiểu sâu về vấn đề để có thể áp dụng làm bài tập.
Phần bài tập ví dụ minh họa phong phú, đa dạng. Cuối mỗi chương đều có bài tập luyện
tập.
Chương 1 giới thiệu các kiến thức về phép tính giải tích hàm một biến. Phần này
được trình bày tương đối sâu, hoàn thiện và đầy đủ các nội dung như giới hạn, tính liên
tục, đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi.

Chương 2 trình bày kiến thức cơ bản về phép tính giải tích hàm nhiều biến như
giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân và cực trị tự do của hàm nhiều biến.
Chương 3 trình bày phép tính tích phân bội, bao gồm định nghĩa, tính chất, các
phương pháp tính và ứng dụng của tích phân hai lớp và tích phân ba lớp.
Chương 4 trình bày kiến thức cơ bản về tích phân đường loại 1 và tích phân đường
loại 2, bao gồm định nghĩa, các tính chất, cách tính tích phân và mối liên hệ giữa hai loại
tích phân đường loại 1 và loại 2.
Để sử dụng giáo trình hiệu quả, người đọc cần đọc kĩ tất cả nội dung lý thuyết theo
trình tự, cấu trúc giáo trình để hiểu các vấn đề được trình bày trong giáo trình một cách
lơgic, đọc các bài tập, ví dụ minh họa và làm bài tập phần luyện tập cuối chương.
Trong q trình biên soạn, chúng tơi đã nhận được sự giúp đỡ quý báu của nhiều
đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Công
nghệ và Hợp tác Quốc tế cùng đội ngũ giảng viên khoa Khoa học Cơ bản của trường Đại
học Công nghiệp Quảng Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho giáo trình được hồn thiện.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng từ nhóm tác giả biên soạn, song cuốn giáo trình khơng
tránh khỏi các hạn chế. Nhóm tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía bạn
đọc để giáo trình được hồn thiện hơn.
Chủ biên và các tác giả.

1


2


Chương 1
PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1.1. Hàm số
1.1.1. Định nghĩa ánh xạ và hàm số
1.1.1.1. Ánh xạ

a. Định nghĩa
Ánh xạ từ tập E khác rỗng tới tập F là một qui luật f liên hệ giữa E và F sao cho
khi nó tác động vào một phần tử x bất kỳ của E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử y của F.
Ký hiệu là f : E  F
x

y  f ( x)

E gọi là tập nguồn, F gọi là tập đích, y gọi là ảnh của x; x gọi là nghịch ảnh của y qua ánh
xạ f.

f
x

y

F

E
Hình 1-1

Như vậy để có ánh xạ phải có tập nguồn E, tập đích F, một quy luật xác định f ,
quy tắc này thỏa mãn điều kiện: ứng với mỗi x bất kỳ của E tồn tại duy nhất một y của F
sao cho y  f ( x) .
Ví dụ E là tập hợp các thương hiệu xe hơi nổi tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’,
‘Mercedes’}, F là tập hợp tên một số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’, ,’Anh’}, f
là quy luật cho tương ứng mỗi thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe. Rõ ràng quy
luật này thỏa mãn tính tồn tại, duy nhất (mỗi hãng xe thuộc tập E có duy nhất một tên
nước xuất xứ tương ứng của tập F). Khi đó ta có ánh xạ f từ E đến F, và ta có thể viết
f(‘Lexus’) =‘Nhật Bản’, f(‘Ford’) =‘Hoa Kì’, f(‘Mercedes’) =‘Đức’.

Tập hợp f(E)={ y  F |  x  E, y = f(x)} gọi là ảnh của E qua ánh xạ f.
Ánh xạ f : E  F gọi là đơn ánh nếu f(x1) = f(x2)  x1= x2 , tức là không tồn tại
phần tử nào của F có 2 nghịch ảnh.

3


x1

y

x2
Hình 1-2. Đơn ánh

Ánh xạ f : E  F gọi là toàn ánh nếu yF, xE: y = f(x); tức là mọi phần tử
của F đều có nghịch ảnh.

Hình 1-3a. Ánh xạ là tồn ánh

Hình 1-3b. Ánh xạ khơng là toàn ánh

Ánh xạ f : E  F gọi là song ánh nếu f là toàn ánh và là đơn ánh. Tức là mọi phần
tử của F đều có nghịch ảnh và nghịch ảnh là duy nhất.

.
Hình 1-4. Song ánh

Ánh xạ f trong ví dụ thực tế vừa nêu trên là đơn ánh và khơng là tồn ánh, vì vậy
cũng không là song ánh.
b. Ánh xạ ngược

Cho ánh xạ

f :E F
là song ánh. Khi đó mỗi phần tử y = f(x) với y thuộc
x
y  f ( x)

4


F đều là ảnh của một và chỉ một phần tử x trong E. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi
phần tử y trong F với một và chỉ một phần tử x trong E. Phép tương ứng đó xác định một
ánh xạ từ F sang E, ánh xạ này được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f .
g:F E
y
x  g ( y)

Ta gọi ánh xạ

với đặc điểm x  g ( y )  y  f ( x) , là ánh xạ ngược của ánh xạ f.
viết

Tuy nhiên, ta thường kí hiệu phần tử ảnh là y, nghịch ảnh là x, vậy hàm số có thể
g:F  E
x

y  g ( x)

Ánh xạ ngược g của ánh xạ f thường kí hiệu g=f-1.
Trở lại ví dụ thực tế trên, nếu E là tập hợp các thương hiệu xe hơi nổi tiếng,

E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F là tập hợp tên một số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’,
‘Hoa Kì’}, f là quy luật cho tương ứng mỗi thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe.
Khi đó ta có một song ánh f từ E đến F. Ta có thể viết f-1(‘Nhật Bản’) =‘ Lexus’, f-1(‘Hoa
Kì’) =‘ Ford’, f-1(‘Đức’) =‘ Mercedes’.
Khi tập nguồn và tập đích là các tập số, ta có khái niệm hàm số. Hàm số là trường hợp
đặc biệt của ánh xạ.
1.1.1.2. Hàm số
a. Định nghĩa
Cho E  R; F  R; E   ; F   ; Một ánh xạ f từ E vào F, f :E→F được gọi là một
hàm số (thực) của biến số (thực).
Ký hiệu :

f : E→F
xf(x)

X gọi là tập xác định của f, ký hiệu Df
f(X)=  f(x), x  X  gọi là tập giá trị của f ; ký hiệu Rf
x gọi là đối số hoặc biến số độc lập, f(x) gọi là hàm số hoặc biến số phụ thuộc.
Đôi khi người ta ký hiệu hàm số ngắn gọn là x f(x) hoặc y = f(x).
Trong chương trình mơn Tốn ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam : Nếu E,
F là tập con của tập số thực thì hàm số được gọi là hàm số thực, nếu E, F là tập con của
tập số phức thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức, nếu X là tập con của tập số tự
nhiên thì hàm số được gọi là hàm số số học(Ví dụ: Hàm Euler   n  (phi hàm Euler)
biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma
σ(n) biểu diễn tổng tất cả các ước của số tự nhiên n...
Trong chương trình, ta chỉ nghiên cứu sâu về khái niệm hàm số thực.
Ví dụ.
5

1) y=x là hàm đồng nhất thường ký hiệu id(x).
2) y=c; c lµ h»ng sè; gäi lµ hàm hằng sè.
3) y=E(x) (hoặc y=[x]), với E(x) là số nguyên lớn nhất không v- ợt quá x, gọi là hm phn
nguyờn, vy [2,13]=2, [-2,13]=-3.
4) y = 2x2+x+1 lµ hµm sè bËc 2.
1

5) y = sgn(x) víi sgn(x) = 0 nếu
1
 nếu

x0
x0
x0

gäi lµ hàm số dấu của x (đọc là xicnum).
0 nu x là số vô tỉ
1 nếu x là số hữu tỉ

6) y = D(x) víi D(x) = 

gäi lµ hµm sè Dirichlet

Có bốn cách biểu thị một hàm số : bằng công thức, bằng bảng, bằng đồ thị và bằng
lời. Nếu một hàm số được biểu thị bằng nhiều cách thì ta có thể hiểu về nó rõ hơn. Ta
thường gặp các hàm số được biểu thị bằng công thức y=f(x) rồi từ đó xác định được đồ
thị của nó, trong đó đồ thị của hàm số được định nghĩa như sau:

b. Đồ thị hàm số
Đồ thị của hàm số y=f(x) là một tập hợp các điểm trong mặt phẳng có toạ độ

(x; f(x)) , với x  Df .
1.1.2. Một số lớp hàm số đặc biệt và các hàm số sơ cấp cơ bản.
1.1.2.1. Một số lớp hàm số có tính chất đặc biệt
a. Hàm số chẵn, lẻ
Hàm y = f(x) xác định trên Df là hàm chẵn nếu:
) x  D f   x  D f

) f ( x)  f ( x), x  D f

Hàm y = f(x) xác định trên Df là hàm lẻ nếu
) x  D f   x  D f

) f ( x)   f ( x), x  D f

Hàm chẵn

Hàm lẻ
Hình 1-5.
6


b. Hàm tuần hoàn
Cho hàm số y = f(x) xác định trên X gọi là hàm tuần hoàn trên X nếu tồn tại t >0
sao cho với mọi x  X thì x + t  X và f (x + t) = f(x).
Nếu có số dương T nhỏ nhất trong các số t xác định như trên thì T gọi là chu kỳ hàm số
tuần hồn f(x).
Ví dụ hàm y=sinx, y=cosx tuần hồn với chu kì T= 2π. Hàm y = sin3x tuần hoàn
với chu kỳ T= 2π/3. Hàm Dirichlet D(x) là hàm tuần hồn nhưng khơng có chu kỳ.

Hình 1-6. Đồ thị hàm tuần hồn y = sin3x trên [ ;  ]

c. Hàm số đơn điệu Hàm y=f(x) gọi là hàm tăng trên X nếu với mọi x1 , x2  X , x1  x2
thì f(x1)  f(x2).
Hàm y=f(x) gọi là tăng ngặt trên X nếu với mọi x1 , x2  X , x1< x2 thì f(x1) < f(x2).
Hàm y=f(x) gọi là hàm giảm trên X nếu với mọi x1 , x2  X , x1  x2 thì f(x1)  f(x2).
Hàm y=f(x) gọi là giảm ngặt trên X nếu với mọi x1 , x2  X , x1<x2 thì f(x1) > f(x2).
Hàm tăng hoặc giảm gọi là hàm đơn điệu; Hàm tăng ngặt hoặc giảm ngặt gọi là hàm đơn
điệu ngặt.

d. Hàm số bị chn
Hàm số f(x) gọi là bị chặn trên trong X nÕu tån t¹i sè B sao cho víi mäi x X, f(x) B.
Hàm số f(x) gọi là bị chặn d- ới trong X nếu tồn tại số A sao cho víi mäi x  X, f(x)  A.
Hµm số f(x) gọi là bị chặn trong X nếu tồn tại các số A, B sao cho với mọi x  X,
A  f(x)  B.
e. Hàm sè hợp
Cho ¸nh x¹ f : X  Y ; g: Y  R . Ta gọi ánh xạ h : X  R
x

hợp của hàm f và g, ký hiệu h = g f .
7

y  g ( f ( x))

là hàm


Ví dụ, hàm số h(x) = sin (x2+1) là hàm số hợp g(f(x)), trong đó g(t) = sin(t),
f(x) = (x2 +1). Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều
trường hợp có thể khiến các tính tốn giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn
giản hơn.

f. Hàm ngược
Cho song ¸nh f : X  Y ; X, Y  R. Ánh xạ ngược

f-1 : Y  X
y

ngược của f, ký hiệu y = f-1 (x).

x  f 1 ( y) gọi là hàm

Nếu f−1(x) tồn tại ta nói hàm số f(x) là khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là
điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là nếu f(x) là song ánh thì ta ln tìm
được hàm ngược f−1(x).
Ví dụ. Cho hàm f : R \ 2  R \ 0
x

Ta có y 

y

1
2 x

1
1
x
 2 . Hàm ngược của hàm số trên là hàm
2 x
y

f-1 : R\{0}  R \ 2
y

x

1
2
y

Tuy nhiên, ta thường kí hiệu biến số là x, hàm số là y, vậy có thể viết hàm ngược là:
f-1 : R\{0}  R \ 2
x

y

1
2
x

Đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = f-1(x) trên cùng mặt phẳng Oxy đối xứng nhau
qua đ- ờng phân giác của góc phần t- thø I vµ thứ III

Hình 1-7. Đồ thị hàm y 

1
1
và y   2 trên cùng hệ tọa độ.
x
2 x

8


1.1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
a. Hàm lũy thừa y = x  với   R ;
Miền xác định Df phụ thuộc vào  Đồ thị hàm lũy thừa trong một số trường hợp
đặc biệt :
b. Hàm mũ

y = ax (0
Df= R ; Rf= R*+
a > 1 hàm đồng biến; 0< a < 1 hàm nghịch biến; đồ thị y = ax luôn đi qua điểm (0;1)

a>1

0< a < 1

Hình 1-8. Đồ thị hàm mũ

c. Hàm lôgarit: y = logax (0 Df =R+* ; Rf=R
a >1 hàm đồng biến; 0Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 0) và đối xứng với đồ thị hàm mũ qua đường thẳng
y = x.
d. Các hàm lượng giác
y = sinx, y = cosx, y = tanx (kí hiệu cũ là y=tgx), y = cotx (kí hiệu cũ là y=cotgx ).
Trong đó, y = sinx, y = cosx là các hàm tuần hồn chu kì 2  , tập xác định R, tập giá trị là
đoạn [-1,1] ; y = tanx, y = cotanx là các hàm tuần hoàn chu kì  .
 (2k  1)


, k  Z  , tập giá trị là R.
 2


Hàm y = tanx có tập xác định là R \ 

Hàm y = cotanx có tập xác định là R \ k , k  Z  , tập giá trị là R.

9


Hình 1-9. Đồ thị hàm số y=sinx

Hình 1-10. Đồ thị hàm số y=cosx

Hình 1-11. Đồ thị hàm số y=tanx

Hình 1-12. Đồ thị hàm số y=cotx
10


e. Các hàm lượng giác ngược
Hàm arcsin
Hàm arcsin (đọc là ác-sin) là hàm ngược của hàm
  
f :   ;    1;1 , x
 2 2

y  sin x

  
Ký hiệu là arcsin:  1;1    ;  , x
 2 2

y  arcsinx


   
,

1 
 y=arcsin x
y
Vậy 

 2 2  . Ví dụ: arc sin1  , arc sin 
2
2 6
 x   1;1
 x  sin y


Hình 1-13. Đồ thị y=arcsin

Hình 1-14. Đồ thị y=arcsin và y=sinx trên cùng hệ trục
Hàm arccosin
Hàm arccos (đọc là ác –côsin) là hàm ngược của hàm
f : 0;     1;1
x

y  cos x
11


Ký hiệu là arccos:  1;1  0;  
x

y  arccos x

1 
 y  arcco s x
 y   0,  

. Ví dụ: arccos1  0 , arccos 
2 3
 x   1;1
 x  cos y

Vậy 

Hình 1-15. Đồ thị y=arccosx

Hàm arctan
Hàm arctan (đọc là ác-tang) là hàm ngược của hàm
   
f:  ; R
 2 2

y  tanx

x

  
Ký hiệu là arctan: R    ; 
2 2


x



y  arctan x


  
 y  arctan x
y   , 

 2 2
Vậy  x  R
 x  tany


Hình 1-16. Đồ thị y=arctanx
12


Hàm arccot
Hàm arccot (đọc là ác-côtang) là hàm ngược của hàm

f :  0;    R
x

y  cotx

Ký hiệu là arccot: R   0;  
y  arc cot x

x


   
, 
 y  arccotx
y 
Vậy 

 2 2 .
x  R
 x  coty


Hình 1-17. Đồ thị y= arccotx

Nhận xét. Từ định nghĩa ta có:
sin (arcsinx)= x, cos(arccosx)= x, với mọi x   1;1 .
tan(arctanx)= x, cot(arccotx)= x, với mọi x  R.
  
arcsin(sinx) = x, với mọi x    ;  .
 2 2

arccos(cosx) = x, với mọi x   0;   .
   
, .
 2 2

arctan(tanx) = x, với mọi x  

arccot (cotx) = x, với mọi x   0;   .
Tính chất
1) sin (arccosx) = cos(arcsinx) = 1  x 2 , với mọi x   1;1 .
13


2) arcsinx + arccosx =


2

3) arctanx + arccotx =


, với mọi x  R.
2

, với mọi x   1;1 .

Chứng minh
1) Đặt t= arccosx, x   1;1 . Khi đó t thuộc đoạn  0;   và cost=x
Do t thuộc đoạn  0;   nên sint= 1  (cost)2  1  x 2 .

Tương tự ta chứng minh cos(arcsinx) = 1  x 2 , với mọi x   1;1 .
  
2) Đặt t= arcsinx, x   1;1 . Khi đó t thuộc đoạn   ;  và sint=x.
 2 2




  
-t) nên ta có thể viết cos( -t)=x, do t thuộc đoạn   ;  nên -t thuộc
2
2
2
 2 2



đoạn  0;   .Vậy -t=arccosx, tức là t + arccosx =
hay arcsinx + arccosx = .
2
2
2

Từ sint= cos(

Tương tự ta có thể dễ dàng chứng minh tính chất còn lại.
f. Hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo bởi một số hữu hạn các phép toán số học(
Cộng, trừ, nhân, chia) đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.
3

x

Ví dụ h(x)  sin x 2 , g(x)  x3   4, f (x)  1  x 2  x3  ...  x5 là các hàm sơ cấp,
nhưng biểu thức 1  x 2  x3 .....  x n  ... không phải hàm sơ cấp (là một chuỗi hàm).
1.1.3. Giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân hàm một biến (Sinh viên tự đọc)
1.1.3.1. Giới hạn của dãy số
a. Định nghĩa dãy, dãy con
xn  x(n) gọi là một dãy số thực vô hạn (gọi

Định nghĩa 1.1.3.1. Ánh xạ x : N *  R , n
tắt là dãy số)

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: x1, x2,,xn,…trong đó xn=x(n) hoặc
viết là  xn  .
x1 gọi là số hạng đầu.
xn gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy.

 xn  : x1, x2…,xn,…. Từ dãy này ta tách ra dãy  xn  :
,…chỉ gồm các phần tử của dãy  xn  , với các chỉ số n1, n2,…, nk,… là các số

Định nghĩa 1.1.3.2. Cho dãy số
xn1 , xn2 ,…, xnk

k

tự nhiên thỏa mãn n1< n2<…14

x 
nk

gọi là dãy con được trích ra từ


dãy  xn  .
Định nghĩa 1.1.3.3. Dãy số  xn  gọi là hội tụ nếu tồn tại a  R, sao cho với mọi  >0 bé
tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho n  n0 thì xn  a < ε.
Khi đó ta nói dãy  xn  hội tụ về a hay a là giới hạn của dãy  xn  và viết  xn   a ,
n   hay lim xn  a
n 

Dãy số  xn  gọi là phân kỳ nếu nó khơng hội tụ.
Ta nói

 xn  là dương vô cùng (khi n tăng vô hạn) và viết

lim xn   nếu
n 

M , n0 n  n0 thì x n  M

Ta nói

 xn  là âm vô cùng (khi n tăng vô hạn) và viết

lim xn   nếu
n 

M , n0 n  n0 thì x n  M
1

n

Ví dụ. Chứng minh rằng lim  0 .
n 

1

Thật vậy, cho trước  >0 bé tuỳ ý, ta chỉ cần chọn số tự nhiên n0 > . Khi đó, n  n0

thì xn  0 

1
1
1 1
0  
  . Vậy lim  0 .
n

n
n
n n0

b. Các tính chất của dãy số hội tụ
Định lý 1.1.3.1.
1) Dãy số  xn  hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất
2) Dãy số  xn  hội tụ thì nó giới nội (bị chặn).
Chứng minh
1) Giả sử: lim xn  a1 và lim xn  a2 và  là một số dương bé tuỳ ý.
n 

n 



Khi đó  n1 ; n2  N* sao cho n  n1  |xn - a1| < và n  n2  |xn -a2|<
2

2

Gọi n0 = max{n1; n2} hiển nhiên ta có n  n0 thì
 
|a1 - a2| = |a1-xn + xn - a2|  |a1-xn |+ |xn - a2| < + = 
2

2

Bất đẳng thức đúng với mọi  >0  |a1 - a2| = 0 hay a1 = a2 .
Định lý 1.1.3.2. Cho 2 dãy số hội tụ (xn) và (yn) với lim xn  x ; lim yn  y .
n 

Khi đó:
15

n 


1) lim( xn  yn )  x  y
n 

2) lim(cxn )  cx và lim(c  xn )  c  x

n 

n 

3) lim( xn yn )  xy
n 

4) lim

1 1
 với yn  0 ; y  0
yn y

5) lim

xn x
 với yn  0 ; y  0
yn y

n 

n 

Ta sẽ chứng minh 4)
Theo định nghĩa lim yn  y ta suy ra với   0 bé tùy ý, tồn tại n1  N* sao cho n  n1
n 

ta có |yn - y| <

y

2

2

Mặt khác, do

yn  y thì ta cũng có
yn  y  yn  y nên suy ra nếu lim
n 

lim yn  y . Vậy với 1  0 bé tùy ý ta có y  1  yn  y  1 với n đủ lớn. Chọn
n

1 

y
y
 yn
, ta suy ra tồn tại n2  N * sao cho n  n2 thì
2
2
Gọi n0 = max{n1; n2}, khi đó n  n0 ta có

Vậy

y y
 y2
1 1



 = n
yn . y 2. y 2 . 1
yn y
2

1
1
 khi n   .
yn
y

Từ đây ta cũng dễ dàng chứng minh 5)
Định lý 1.1.3.3.
1) Cho 2 dãy số hội tụ (xn) và (yn) với lim xn  x ; lim yn  y nếu xn  yn với n thì
n 
n 
x  y.
2) Cho 3 dãy số (xn), (yn), (zn) với lim xn  lim zn  a , nếu xn  yn  zn với n thì
n 
n 
lim yn  a .
n 

Ví dụ 1. Tìm giới hạn của dãy số un=

sin 2 n  n
.
n 1

Giải.

Ta có sin 2 n  n <1+ n  un <

1 n
1 n
Suy ra 0 un <
→0 khi n  
n 1
n 1

16


do đó limun= 0.
Định lý 1.1.3.4. Cho (xn) là dãy đơn điệu tăng. Khi đó, nếu (xn) bị chặn trên thì nó hội tụ,
nếu (xn) khơng bị chặn trên thì lim xn   .
n 

Cho (xn) là dãy đơn điệu giảm. Khi đó, nếu (xn) bị chặn dưới thì nó hội tụ, nếu (xn)
khơng bị chặn dưới thì lim xn   .
n 

 a ; b 

Định nghĩa 1.1.3.4. Dãy các đoạn thẳng

n

n

được gọi là dãy các đoạn thắt nếu thỏa

mãn hai điều kiện:
1)  an1; bn1    an ; bn  , n .
2) lim(bn  an )  0 .
n 

Định lý 1.1.3.5. ( Cantor)
Cho một dãy các đoạn thắt

 a ; b  khi đó tồn tại duy nhất một điểm c chung cho
n

n

mọi đoạn, nghĩa là tồn tại một số thực duy nhất c  an ; bn  , n .
Định lý 1.1.1.6. (Bolzano-Veiestrass)
Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ.
Định lý 1.1.3.7. Dãy số (xn) hội tụ nếu và chỉ nếu mọi dãy con của nó đều hội tụ và có
chung một giới hạn.



Ví dụ dãy  sin

2n
(4n  1) 
n 

) và  sin
  hội tụ

 phân kỳ vì có hai dãy con là (sin
2
2
2 



tới các giới hạn khác nhau.

Định nghĩa 1.1.3.5. Dãy số (xn) được gọi là dãy cơ bản (dãy Côsi) nếu
  0, n0  N * ; n, m  n0 : xn  xm   .

Bổ đề Dãy Côsi là một dãy giới nội.
Định lý 1.1.3.8. (Tiên đề hội tụ Côsi)
Dãy số thực (xn) hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản.
Một vài giới hạn đặc biệt
1) lim q n

0 nếu q  1 .

2) lim qn

 nếu q>1.

n

n

 1
3) lim 1  

n 
 n

n

e.

1.1.3.2. Giới hạn của hàm số
a. Các định nghĩa
17


Định nghĩa 1.1.3.6. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) vµ điểm x0  (a; b) (f(x) có
thể khơng xác định tại điểm x0). Ta nói rằng f(x) có giới hạn là A khi x dÇn x0 nếu với mọi
dãy  xn   x0 thì  f  xn   A
Ký hiÖu: lim f ( x)  A ( hc f  x   A,  x  x0  )
x  xo

Có thĨ định nghĩa theo ngôn ngữ (ε;δ) nh- sau:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) vµ điểm x0  (a; b) (f (x) có thể khơng xác
định tại điểm x0). Ta nói rằng f(x) có giới hạn là A khi x dần đên x0 nu vi mi > 0, tồn
tại δ > 0 sao cho khi 0  x  x0 < δ thì f ( x)  A < ε.
Định nghĩa 1.1.3.7. Ta nói f(x) có gii hn l khi x dần n x0 và viết lim f ( x)  
x  xo

nếu với mọi M > 0, tồn tại δ > 0 sao cho 0  x  x0 < δ thì f(x) > M.
Ta nói f(x) có giới hạn là  khi x dần đn x0 và vit lim f ( x)   nếu với mọi
x  x0

M > 0 tồn tại δ > 0 sao cho 0  x  x0 < δ thì f(x) < - M.

Định nghĩa 1.1.3.8. Ta nói rằng f(x) có giới hạn là A khi x dần n + và vit l
lim f ( x)  A nếu với mọi ε > 0 tồn tại N > 0 ®đ lín sao cho khi x > N thì f ( x)  A < ε.

x 

Ta nói rằng f(x) có giới hạn là A khi x dần n - và vit l lim f ( x)  A nếu với
x 

mọi ε > 0 tồn tại N> 0 ®đ lín sao cho khi x < -N thì f ( x)  A < ε.
Định nghĩa 1.1.3.9. Cho y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x0  [a,b]. Số L gọi là giới
hạn trái của f(x) tại x0 nếu với mọi ε > 0; tồn tại δ > 0 sao cho 0Ký hiệu: lim f ( x)  f ( xo )  L .
x  xo

Tương tự ta định nghĩa giới hạn phải
lim f ( x)  f ( xo )  L

x  xo

Định lý 1.1.3.9. Điều kiện cần và đủ để lim f  x   L là lim f ( x)  lim f ( x)  L .
x  x0

x  xo

x  xo

b. Các định lí về giới hạn
Định lý 1.1.3.10. Giới hạn của hàm số (nếu có) là duy nhất.
Định lý1.1.3.11. Nếu lim f ( x) =L thì trong lân cận nào đó của điểm a hàm f(x) bị chặn.
xa

Định lý 1.1.3.12. Giả sử lim f ( x) = L khi đó :
xa

Nếu L  c thì với mọi x trong lân cận đủ bé của a, f  x   c .
Nếu L  c thì với mọi x trong lân cận đủ bé của a, f  x   c .
18


Định lý 1.1.3.13. Gi¶ sư f  x   g  x  , x   a; b  , x0   a; b  vµ tån tại các giới hạn
lim f x và lim g  x  . Khi đó, lim f  x   lim g  x  .

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

Định lý 1.1.3.14. (Nguyên lí kẹp)
Giả sử f ( x)  g ( x)  h( x), x  (a; b) ; x0  [a,b]. Khi đó, nếu lim f ( x)  lim h( x)  L
x  x0

x  x0

thì lim g ( x)  L .
x  x0

Định lý 1.1.3.15.(Các phép tính đại số của hàm số có giới hạn

1) lim f ( x) = L  lim f ( x)  L .
x  x0

x  x0

2) lim f ( x) = 0  lim f ( x)  0 .
x  x0

x  x0

3) Giả sử lim f ( x) = L1, lim g ( x) =L2 (L1, L2 hữu hạn, a hữu hạn hoặc
x  x0

Khi đó ta có:

x  x0

vơ hạn)

lim(c. f ( x)) = c.L1

x  x0

lim( f ( x)  g ( x)) = L1+ L2

xx0

lim( f ( x).g ( x)) = L1L2

x  x0

lim

x  x0

L
f(x)
= 1 ( L2  0) .
g ( x) L2
1
x

1
x

1
x

Vậy không thể viết lim( sinx.cos )  lim sinx.lim cos vì lim cos khơng tồn tại.
x 0

Các giới hạn dạng lim

x  x0

định

f  x
với
g  x

x 0

x 0

x 0

lim g  x  = lim f  x  =0 gọi là giới hạn dạng vô

x  x0

x  x0

0
.
0

Tương tự ta có các giới hạn dạng vơ định


, 0.,   ,1 , 00 ,  0 ...


Giới hạn lim  f ( x)  g ( x)  gọi là giới hạn dạng vô định    nếu f ( x), g ( x) cùng
xa

tiến về  hoặc cùng tiến về  khi x tiến tới a.
Giới

hạn

lim( f ( x).g ( x))
x a

gọi

là

giới

hạn

dạng

vô

định

0.

lim f ( x)  0, lim g ( x)   hoặc lim f ( x)  , lim g ( x)  0 .
x a

x a

x a

Giới hạn lim
x a

x a


f ( x)
gọi là giới hạn dạng vô định nếu lim f ( x)  , lim g ( x)  
x a
x a

g ( x)

19

nếu


Giới hạn lim f ( x) g ( x ) gọi là giới hạn dạng vô định 00 nếu lim f ( x)  0, lim g ( x)  0
x a

x a

ví dụ lim x

x a

x

x 0

Giới hạn lim f ( x) g ( x ) gọi là giới hạn dạng vô định 0 nếu lim f ( x)  , lim g ( x)  0
x a

x a

ví dụ lim x

1
x

x  0

x a

.

Định lý 1.1.3.16 .(Giới hạn của hàm đơn điệu)
Cho f : R  R là hàm đơn điệu tăng. Khi đó nếu f(x) bị chặn trên thì lim f ( x)  L
x 

(L hữu hạn), nếu f(x) khơng bị chặn trên thì lim f ( x)   .
x 

Cho f : R  R là hàm đơn điệu giảm. Khi đó nếu f(x) bị chặn dưới thì
lim f ( x)  L (hữu hạn), nếu f(x) khơng bị chặn dưới thì lim f ( x)   .
x 

x 

Định lý 1.1.3.17. (Giới hạn của hàm hợp)
Cho 2 hàm số f : X  Y và g : Y  R; ta có hàm hợp g f : X  R , nếu
lim f ( x ) = b và lim g ( y)  c thì lim g ( f ( x)) = c.

xa

xa

y b

Chứng minh
Do lim g ( y)  c nên   1 , với mọi y: 0 < |y - b| < 1  |g(y)-c| <  , lim f ( x)  b nên   ,
xa

y b

với mọi x: 0 < |x - a| <   | y- b| <  1 . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
c. Một số giới hạn đặc biệt
1) lim
x 0

sin x
1
x
1
x

2) lim(1  ) x  e (e  2,71828).
x 

1.1.3.3. Hàm số liên tục
a. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.3.10. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng  a; b  . Ta nói rằng f(x)
liên tục tại điểm x0   a; b  nếu lim f ( x)  f ( x0 ) .

x  x0

Định nghĩa 1.1.3.11. (Hàm liên tục một phía )
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập X chứa x0 . Ta nói f(x) liên tục trái (phải) tại
điểm x0 nếu
lim f ( x)  f ( x0  )  f ( x0 )  lim f ( x)  f ( x0  )  f ( x0 ) 
 xx 0


x  x 0

Định nghĩa 1.1.3.12. (Điểm gián đoạn )
20


Hàm y = f(x) gọi là gián đoạn tại x = x0 nếu nó khơng liên tục tại x0.
Ta có ba tình huống gián đoạn:
1) f(x) khơng xác định tại x0
2) Không tồn tại lim f ( x)
x  x0

3) Tồn tại lim f ( x) = L  f ( x0 ) .
x  x0

Nếu f  x0   và f  x0   tồn tại, hữu hạn và f  x0    f  x0   thì x0 gọi là điểm gián

đoạn loại một, f  x0    f  x0   gọi là bước nhảy của f  x  tại x0 . Điểm gián đoạn không
phải gián đoạn loại một gọi là điểm gián đoạn loại hai.
Định nghĩa 1.1.3.13. (Liên tục trên khoảng và trên đoạn)
Hàm y = f(x) xác định trên (a;b) gọi là liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi

điểm x  (a; b).
Hàm y = f(x) xác định trên  a; b gọi là liên tục trên  a; b nếu nó liên tục trên (a;b)
và liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.
Định nghĩa 1.1.3.14. (Liên tục đều)
Hàm y = f(x) xác định trên (a; b) gọi là liên tục đều trên (a; b) nếu mọi ε > 0 tồn
tại δ >0 sao cho: x1; x2  (a; b), x1  x2 < δ thì f ( x1 )  f ( x2 ) < ε
b. Các tính chất
Tính chất 1.
Nếu f(x), g(x) là những hàm liên tục trên (a; b) thì f(x) + g(x); f(x).g(x); c.f(x);

f  x
, với g(x)  0 đều là những hàm liên tục trên (a; b).
g  x

Nếu hàm số f : X  Y liên tục tại x0  X và g : Y  R liên tục tại y0 = f  x0  thì
hàm hợp g f : X  R liên tục tại x0 .
Tính chất 2. (Định lí về giá trị trung gian)
Cho f(x) xác định và liên tục trên (; β) nếu có hai điểm af(a)f(b)< 0. Khi đó  c  (a;b) sao cho f(c) = 0.
Hệ quả. Nếu f(x) xác định và liên tục trên (a ;b), khi đó hàm f(x) lấy tất cả các giá trị từ
f(a) đến f(b).
Tính chất 3. (Định lí Veierstrass)
Cho f(x) xác định và liên tục trên khoảng đóng  a; b . Khi đó f(x) giới nội (bị chặn)

trên  a; b và đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn  a; b .
Tính chất 4 (Định lí Heine)
21


Cho f(x) xác định và liên tục trên khoảng đóng, giới nội

đều trên  a; b .

a; b . Khi đó f(x) liên tục

Tính chất 5. Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó.
Mệnh đề:
log a (1  x)
ln(1  x)
= logae (0=1
x 0
x 0
x
x

1) lim

a x 1
ex  1
= lna (0=1
x 0
x 0
x
x

2) lim

1   
3) lim

x0



1





Ví dụ 2.
Cho lim u( x) =1; lim v( x) =  . Chứng minh rằng lim  u( x) 
x  x0

xx0

 2x  3 
 a . Áp dụng tính lim 

x 1
 x5 

x2

x  x0

Áp dụng tính: lim 1  sin x 

 x2 1 
và lim  2 

x  x  1



x 0

lim u ( x ) 1v ( x )

=e

x  x0

1
x

v( x)

3x

2

Giải.
1)Áp dụng tính chất giới hạn của hàm hợp ta có
lim  u( x) 

x  x0

v( x)

=e

lim v x  ln u ( x )

xxo

Do u ( x)  1 khi x  x0 nên u  x  1  0 , x  x0
Suy ra ln u  x    ln 1+u  x  1 u  x  1, x  x0
Vậy lim  u( x) 

v( x)

x  x0

=e

1

2) lim(1  sin x) x = e

lim v x  ln u ( x )

xx0

lim

x0

sinx
x

x 0

=e

lim u ( x ) 1v ( x )

xx0

.

e
 x2 1



2

1.3 x
lim 
lim 2 .3 x2

x2  1 2
x  2
+) lim( 2 )3 x = e  x 1   e x x 1 = e-6
x  x  1
2

Ví dụ 3. Cho lim u  x   a, lim u  x   b,0  a, b   .
x  x0

x  x0

Chứng minh rằng: lim u  x 
x  x0

v x 

b

22


 2x  3 
 2x  3  5
x  2)  3 . Vậy lim 
lim 

  , lim(
x

1
x

1
x 1
 x5 
 x5  6

x2

5
 ( )3
6

1.1.3.4. Đạo hàm hàm số một biến
a. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b). Ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x0  (a; b)
f ( x)  f ( x0 )
nếu tồn tại giới hạn xlim
=A (A hữu hạn). Số A được gọi là đạo hàm của
 x0
x  x0
hàm số y = f(x) tại điểm x  x0 và ký hiệu f ( x0 ) .
Ý nghĩa hình học
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì tiếp tuyến tại điểm  x0 ; f  x0   của đồ thị
hàm số y=f(x) có hệ số góc bằng f ( x0 ) .
Nếu xlim
x

0

f ( x)  f ( x0 )
=  , ta nói tại x0 hàm số y= f(x) có đạo hàm vô cùng, tiếp
x  x0

tuyến tại điểm  x0 ; f  x0   của đồ thị hàm số y=f(x) song song với trục tung.
Nhận xét:
+) Nếu đặt x  x0  x thì biểu thức định nghĩa trở thành
lim

x 0

f  x  x   f  x0 
x

f '  x0  .

+) Biểu thức định nghĩa có thể viết
f  x0  x   f  x 

f '  x0  x  o  x  .

+) Nếu f ( x) có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 .
Tương tự như khái niệm về giới hạn phải, trái tại điểm x0, ta xây dựng các khái
niệm về đạo hàm phải, đạo hàm trái tại điểm x0
f ( x0 )  lim
x  x0

f ( x0 )  lim
xx

0

f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0

f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0

f ( x ) có đạo hàm tại x0  f / ( x0 )  f / ( x0 )

Nếu f / ( x0 )  f / ( x0 ) , x 0 gọi là điểm góc của f  x  .
Ví dụ 4. Cho f  x  = x2. Tính đạo hàm hàm số tại điểm x0=1.
Giải.
23