Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP

TOÁN CAO CẤP A1

Biên soạn: ThS. Nguyễn Thị Linh
ThS. Huỳnh Ngọc Diễm
ThS. Bùi Thị Ngọc Hân

Bình Dương, 03/2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP

TỐN CAO CẤP A1

Bình Dương, 03/2018


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

Chương 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

 
Vi tích phân (vi phân và tích phân) nghiên cứu về những đại lượng biến thiên, 
được sử dụng rộng rãi trong các ngành khoa học và kỹ thuật, xuất phát từ những vấn 

đề  mà  chúng  ta  đã  được  học  (như  vận  tốc,  gia  tốc,  dòng  điện  trong  mạch,…).  Nếu 
những đại lượng thay đổi một cách liên tục, chúng ta cần phép vi tích phân để tìm hiểu 
xem chuyện gì đã xảy ra với đại lượng ấy. Vi tích phân được nghiên cứu độc lập bởi 
một  nhà  khoa  học  người  Anh  tên  Issac  Newton  và  một  nhà  khoa  học  người  Đức  là 
Gottfried Leibnitz. 
 

 
 
Ở  chương  này  chúng  ta  sẽ  tìm  hiểu  về  phép  tính  vi  phân,  cịn  phép  tính  tích 
phân ta sẽ đề cập ở chương 2. Nhìn chung, vi phân là phép tính giúp chúng ta tìm tốc 
độ thay đổi của đại lượng này so với đại lượng khác (nhiệt độ thay đổi trong thời gian 
nhất định, vật tốc của 1 vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định, sự gia tăng 
dân số trong khoảng thời gian nhất định, …). 
 
Có rất nhiều ứng dụng của phép vi phân trong khoa học và kỹ thuật đặc biệt là 
trong ngành Vật lí (vận tốc, gia tốc của vật thể chuyển động thẳng hay chuyển động 
cong, khảo sát trạng thái chuyển động của vật thể,…). Vi phân cịn được dùng trong 
việc phân tích về tài chính, kinh tế. Một ứng dụng quan trọng của vi phân đó là tối ưu 
hóa phạm vi, để dễ hình dung ta nói một cách đơn giản đó là tìm điều kiện để giá trị 
lớn nhất (hay nhỏ nhất) xảy ra. Điều này rất quan trọng trong kinh doanh (để tiết kiệm 
chi tiêu, gia tăng lợi ích) và cả trong kỹ thuật (để giá tiền nhỏ nhất, vật liệu sử dụng ít 
nhất). 

A. Lý thuyết và các ví dụ minh họa
1.1. Giới hạn của dãy số thực

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

1


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

1.1.1. Các định nghĩa

Định nghĩa 1. Một  ánh  xạ f đi  từ  tập  các  số  nguyên  dương  * vào  tập  số  thực  

 f :

*

   , theo đó với mỗi số nguyên dương  n  * cho tương ứng với duy nhất 

một  số  thực  xn   .  Mỗi  ánh  xạ  như  vậy  xác  định  một  dãy số thực như  sau: 

x1 , x2 ,..., xn ,...  viết gọn là  xn  . Số  xn  được gọi là số hạng tổng quát. 

Ví dụ 1. 
a)  Cho  một  hàm  số  f : *     được xác 
định  như  sau:  f  n   xn  1  3n .  Khi  đó 
ta có: 

x1  4,  x2  7,  x3  10,  x4  13,  x5  16,...

Như vậy ta có dãy số sau: 

4,  7,  10,  13,  16....,  1  3n,  ....  

Với số hạng tổng quát  xn  1  3n . 
 
 

 
 





b)  xn   1, 2, 3,2, 5,..., n ,... là một dãy số với số hạng tổng quát là xn  n . 

 

 1 1 1 1
 2 3 4 5

1
n




c) an   1, , , , ,..., ,...  là một dãy số với số hạng tổng quát là an 

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

1
. 
n

2


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

 

Định nghĩa 2. Dãy  xn  được gọi là hội tụ về số thực L nếu   0, N  N     

sao cho  n  N  thì  xn  L   . Và khi đó  L được gọi là giới hạn của dãy số  xn  , 
kí hiệu: 

lim xn  L  hay  xn  L  khi  n   . 
n

 
Ví dụ 2. 

1
 0 . 
n n

a) Chứng minh rằng  lim

2n
 0 .  

n n 2  1

b) Chứng minh rằng  lim

c) Chứng minh rằng dãy số sau đây hội tụ về 2017. 

1
1
1
1
1
2018,  2017  ,  2017  ,  2017  ,  2017  ,  .... , 2017  ,  ...  
2
3
4
5
n
Giải.
a)   0  cho trước  ta cần chỉ ra tồn tại số nguyên  N  sao cho  n  N  thì 

1
1
 0    n  . Vậy với mọi 
n

1
  cho trước ta chỉ cần chọn  N  là số nguyên lớn hơn  , khi đó  n  N ta có: 

xn  0   .  Nhận thấy nếu  xn  0    nghĩa là 



n

1



hay 

1
  (đpcm). 
n

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

3


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

b)   0  cho trước,ta cần chỉ ra tồn tại số nguyên  N  sao cho  n  N  thì 

2n
2n 2
2
2
2n

 2  , mà    n  . Vậy với mọi    
  . Nhận thấy rằng  2
n 1 n
n
n

n 1
2

2

cho trước ta chỉ cần chọn  N    , khi đó  n  N ta có: 
 

n

2





2
2n
  2
  (đpcm). 
n
n 1

2

 

2

Lưu ý.     là phần nguyên của số .


c) Ta có  xn  2017 

1
1
 xn  2017  . Ta cần chứng minh
n
n

  0,  N  N       sao cho  n  N  thì  xn  2017 

1
  
n

1

Thật vậy, với mọi    cho trước ta chọn  N    , khi đó  n  N ta có: 
 

n

1





1
  (đpcm).
n

Định nghĩa 3. Giới hạn tại vô cực: 

lim xn    E  0,  N  E    sao cho  n  N  E  thì  xn  E . 
 

n

lim xn    E  0,  N  E    sao cho  n  N  E  thì  xn   E . 
 

n

 

Ví dụ 3. Chứng minh rằng  lim a n     (a  1) . 
n

Giải. Ta cần chứng minh E  0,  N  E   sao cho  n  N  E   thì  a n  E .  
Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

4


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến
n
n
Nhận thấy rằng để a  E  ln a  ln E  n ln a  ln E  n 

ln E
.  
ln a

ln E 
, khi đó n  N  E   ta có: 
 ln a 

Vậy   E  0  ta chọn  N  E   

n

ln E
 a n  E  (đpcm). 
ln a

Cách khác: Ta đặt  a  1  t    t  0  . Ta có 

n  n  1 2
t  ...  t n  1  nt .  Với  mọi  E  0   cho  trước  nếu 
2
E 1

 E  1
1  nt  E  n 
. Vậy ta chọn  N  E   
, khi đó  n  N  E   ta có: 
t
 t 
a n  1  t   1  nt 
n

n

E 1
 1  nt  E  a n  E  (đpcm). 
t

Định nghĩa 4. 
Dãy   xn   được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực  a  sao cho  xi  a,  i   . 
Dãy   xn   được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực  a  sao cho  xi  a,  i   . 
Dãy   xn   được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là nếu 
tồn tại số thực  a  sao cho  xi  a,  i   . 
Định nghĩa 5. 
Dãy   xn   được gọi là đơn điệu tăng nếu  xi  xi 1 ,  i   . 
Dãy   xn   được gọi làđơn điệu giảm nếu  xi  xi 1 ,  i   . 
1.1.2. Các tiêu chuẩn về giới hạn của dãy số
a. Tiêu chuẩn hội tụ 1: Nếu  yn  xn  zn ,  n  n0 với  n0  là số tự nhiên lớn hơn 0 
nào đó, và lim yn  lim zn  a  thì  lim xn  a . 
n

n 

n

 
Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

5


Ví dụ 4. Từ 

Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

1
 0 ta có: 
n

a) 

cosn
1 cosn 1
 0  vì   
  
n
n
n
n

b) 

1
1 1
 0  vì  0  n   
n
2
2
n

c)   1

n

1
1
1
n 1
 0  vì     1   
n
n
n n

b. Tiêu chuẩn hội tụ 2 (tiêu chuẩn Cauchy): điều kiện cần và đủ để dãy   xn   có giới 
hạn là

  0,  N  N      : xn p  xn    n  N ,  p   . 
c. Tiêu chuẩn hội tụ 3:
- Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ.  
- Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 
- Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 

d. Tính chất và các phép tốn:
Cho   xn   và   yn   hội tụ, khi đó: 
1. Nếu  yn  xn thì  lim yn  lim xn  
n

n

n

n 

2. lim  xn  yn   lim xn  lim yn  
n

3. lim  xn . yn   lim xn .lim yn  
n

n

 xn
 yn

4. lim 
n

n 

xn
 lim
n 


với lim yn  0  

n
yn
 lim
n

e. Một số giới hạn cơ bản của dãy số:

1
 0 (với   0 ).                         2.  lim n n p  1 (với mọi p   ). 

n n
n

1.  lim

1
 0 (với   0 ). 
n ln  n

3. lim

 

2

p

    4.  lim n a0  a1n  a2 n  ...  a p n  1  
n

                                                                                                           (với mọi p   ). 
5.  lim n   1  với     0 . 

6.   lim q n  0  với   q  1 . 

n 

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

n

 

6


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

n

1

7.  lim 1    e . 
n
n


 5 
Ví dụ 5. Tìm giới hạn  lim
n

n

 6n
. 
2n  7 n

n
 5  n 
5


6     1
n
n
  1
5  6n

 6 

6
6

Giải. lim n
 lim
 lim   .lim 
 0.1  0 . 

n
n
n
n 2  7
n 
n  7
n 




2
2


 
7 n    1
  1
7
7




n

1.2. Giới hạn của hàm số
x2  1
 khơng xác định tại  x  1 . Một câu hỏi được đặt ra 
x 1

là hàm số này sẽ có giá trị như thế nào khi  x gần sát với 1. Để trả lời câu hỏi này ta 
Ta biết rằng hàm số  f ( x) 
phân tích như sau: 
Với mọi  x  1  ta có: 

x 2  1  x  1 x  1
f ( x) 

 x  1 
x 1
x 1
Như  vậy,  đồ  thị  của  hàm  f ( x)   chính  là  đồ  thị  của  hàm  y  x  1   nhưng  loại  bỏ  đi 
điểm  1,2   như hình vẽ. 

 
Mặc dù  f (1)  khơng xác định nhưng rõ ràng nhìn vào đồ thị ta thấy rằng chúng ta có 
thể “làm cho giá trị của  f ( x)  càng gần về 2 theo ý muốn bằng cách chọn  x  đủ gần 
1”. Ta có bảng số liệu cụ thể sau: 

Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1

 

7


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

 

Một  cách  tổng  quát,  giả  sử I là  một  lân  cận  chứa  x0   và f ( x)   xác  định  trên I \  x0  . 
Nếu  f ( x)  gần với số  L  một cách tùy ý (gần như chúng ta muốn) với tất cả các x  đủ 
gần  x0 , thì ta nói  f ( x)  có giới hạn là  L  khi  x  tiến về  x0  và viết: 

lim f  x   L  

x  x0

Cụ thể ở ví dụ trên ta nói  f ( x)  có giới hạn là  2  khi  x  tiến về 1  và viết: 

x2  1
 2 
lim f  x   2  hoặc  lim
x 1
x 1 x  1
Chú ý. Giới hạn của hàm số khơng phụ thuộc vào việc hàm số đó có xác định tại điểm 
đang xét hay khơng, cũng khơng phụ thuộc vào giá trị của hàm số tại điểm đang xét là 
bao nhiêu. Ví dụ ta xét ba trường hợp như hình sau:  

 
Ta thấy hàm  f ( x)  2  khi  x  1  mặc dù  f  không xác định tại 1. Hàm  g ( x)  2  
khi  x  1  mặc dù  g (1)  2 . Và chỉ có hàm  h( x)  là có giới hạn khi  x  1  bằng với 
giá trị của nó tại  x  1 , nghĩa là  lim h( x )  2  h(2) . Những hàm số như  h( x)  được 
x 1

gọi là hàm số liên tục mà chúng ta sẽ nói sau ở mục sau, mục 1.3. 

Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1

 

8


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

Những định nghĩa mà chúng ta vừa nói ở trên nhằm mục đích gần gũi để các bạn dễ 
hình dung, đó là những định nghĩa “khơng chính thức”, khái niệm “gần” hay “đủ gần” 
phụ thuộc rất nhiều yếu tố. Đối với một kĩ sư chế tạo pít tơng, thì “gần” có thể có ý 
nghĩa  là  một  vài  phần  nghìn  inch,  nhưng  đối  với  một  nhà  thiên  văn  nghiên  cứu  các 
thiên hà xa xơi thì “gần” có thể có ý nghĩa là trong vịng một vài nghìn năm ánh sáng. 
Do đó chúng ta cần một định nghĩa chính xác mà chỉ có ngơn ngữ tốn học mới làm 
được điều đó. Bây giờ ta sẽ nghiên cứu các định nghĩa chính xác đó của giới hạn qua 
mục 1.2.1 sau đây. 
1.2.1.Các định nghĩa
a. Giới hạn hàm số 
Định nghĩa 6. Cho I   là  một  lân  cận  chứa  x0   và  hàm  số 

I \  x0  .  Ta nói hàm số = ( )có giới hạn là khi dần về

= ( )  xác  định  trên 

 L   ; L      luôn  tồn  tại  một  khoảng   x0   ; x0     
x   x0   ; x0     I \  x0   thì  f ( x)   L   ; L    . 
Kí hiệu  ( ) →  khi  →

 nếu với mọi khoảng 
sao  cho  với  mọi 

 hoặc lim f  x   L . 

x  x0

Hay: 

lim ( ) =
→

⟺ (∀ > 0, ∃ > 0: 0 < | −

|<

⟹ | ( ) − | < ) 

 
Ví dụ 6. Cho hàm số f  x   5 x  3 . Chứng minh rằng  lim f ( x)  2 . 
x 1

Giải. Để chứng minh  lim f ( x)  2 , thì với mọi    0 ta cần chỉ ra tồn tại số   sao cho 
x 1

với mọi   thỏa  0  x  1    thì f  x   2   . 
Với mọi   0 ,| ( ) − 2| < khi và chỉ khi: 
|5 − 3 − 2| <

⟺ 5| − 1| <

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

⟺ | − 1| < /5. 

9


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

Vậy ta chọn  = /5, khi đó với mọi   thỏa | − 1| <
Vậy  lim f ( x)  2 . 
x 1

= /5 thì | ( ) − 2| < . 

Ví dụ 7. Chứng minh rằng lim x  1 . 
x 1

Giải. Với mọi  > 0 ta cần chỉ ra tồn tại số   sao cho với mọi   thỏa  0 < | − 1| <  
thì | ( ) − 1| < . 

Với > 0, thì 

| ( ) − 1|    | x − 1|   

x 1
x 1

   x 1  

Vậy chọn  = , khi đó với mọi   thỏa | − 1| <

Ví dụ 8. Chứng minh rằng  lim x 2  1 . 
x 1





x 1    

=  thì | ( ) − 1| < . 

Giải. Với mọi  > 0 ta cần chỉ ra tồn tại số   sao cho với mọi   thỏa 0 < | − 1| <  
thì | ( ) − 1| < . 
Ta xét với  x  thuộc khoảng mở tâm 1, bán kính 1, nghĩa là  x   0,2  . Ta có : 
| ( ) − 1| = |

 
3 

− 1| = | + 1|| − 1| < 3| − 1|    

Vậy chọn    min  ,1  khi đó với mọi   thỏa | − 1| <  thì | ( ) − 1| < . 
Nhận xét. Trong trường hợp 



3

 1 ,  nếu ta chỉ chọn   

đúng nữa, vì có thể | − 1| <   nhưng  x   0,2  . 
Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1

 



3

 thì BĐT     khơng cịn 

10


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

Định nghĩa 7. Cho  I   là  một  lân  cận  chứa  x0   và  hàm  số 

I \  x0  . Ta có: 

lim ( ) = +∞ ⟺ (∀
→

lim ( ) = −∞ ⟺ (∀
→

lim ( ) = ∞ ⟺ (∀
→

|<

> 0, ∃ > 0: 0 < | −

> 0, ∃ > 0: 0 < | −

|<

|<

> 0, ∃ > 0: 0 < | −

= ( )  xác  định  trên 
⟹ ( )>

) 

⟹ | ( )| >

) 

⟹ ( ) < − ) 

 
Ví dụ 9. 
a) Cho hàm số f  x   1 / x 2 . Chứng minh rằng lim f  x    . 
x 0

b) Cho hàm số  f  x   1 / x . Chứng minh rằng  lim f  x    . 
2

x 0

c) Cho hàm số  f  x   k / x . Chứng minh rằng  lim f  x    . 
2

x 0

Giải. 
a) Với 

> 0, ta có : 
( )>

⟺ 1/

>

⟺

⟺ | | < 1/√ . 

< 1/

Vậy chọn  = 1/√ , khi đó với mọi   thỏa | | < 1/√  thì  ( ) >
b) Với 

> 0, ta có : 
( ) < − ⟺ −1/

<−

⟺

. 

⟺ | | < 1/√ . 

< 1/

Vậy chọn  = 1/√ , khi đó với mọi   thỏa | | < 1/√  thì  ( ) < − . 
c) Với 

> 0, ta có : 
| ( )| >

Vậy chọn  =

Định nghĩa 8.

⟺| /

|>

⟺

< | |/

| |/ , khi đó với mọi   thỏa | | <

⟺| |<

| |/

| |/ . 

thì | ( )| >

. 

 Cho hàm số  = ( ) xác định trong (−∞, ) ∪ ( , +∞) 
lim ( ) =
→

⟺ (∀ > 0, ∃

> 0: | | >

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

⟹ | ( ) − | < ) 
11


lim ( ) = ∞ ⟺ (∀
→

lim ( ) = +∞ ⟺ (∀
→

Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

> 0, ∃

lim ( ) = −∞ ⟺ (∀
→

> 0, ∃

> 0, ∃

→

( )=

lim

( ) = −∞ ⟺ (∀

lim
→

( )=

lim

( ) = −∞ ⟺ (∀

lim

→

→

⟺ (∀ > 0, ∃

( ) = +∞ ⟺ (∀

> 0, ∃

 Cho hàm số  = ( ) xác định trong (−∞, ) 
lim
→

Ví dụ 10. 

→

⟺ (∀ > 0, ∃

( ) = +∞ ⟺ (∀

> 0:

> 0, ∃

> 0, ∃

⟹ | ( ) − | < ) 

<−

> 0:

) 

⟹ ( ) < − ) 

>

<−

> 0:

⟹ ( )>

>

> 0:

) 

⟹ | ( ) − | < ) 

>

> 0:

) 

⟹ ( ) < − ) 

> 0: | | >

> 0:

> 0, ∃

⟹ ( )>

> 0: | | >

 Cho hàm số  = ( ) xác định trong ( , +∞) 
lim

⟹ | ( )| >

> 0: | | >

<−

⟹ ( )>

) 

⟹ ( ) < − ) 

1
. Chứng minh rằng  lim f  x   1 . 
x 

x
b) Cho hàm số  f  x   x . Chứng minh rằng  lim f  x    . 

1. a) Cho hàm số  f  x   1 

x 

c) Cho hàm số  f ( x)  x 4 . Chứng minh rằng  lim f  x    . 
x 

d) Cho hàm số  f ( x)   x . Chứng minh rằng  lim f  x    . 
4

x 

2. a) Cho hàm số  f  x  

1
. Chứng minh rằng  lim f  x   0 . 
x 
2x

b) Cho hàm số  f  x   2 x  1 . Chứng minh rằng  lim f  x    . 
x 

c) Cho hàm số f  x   x3 . Chứng minh rằng lim f  x    . 
x 

3.a) Cho hàm số  ( ) = 2 . Chứng minh rằng lim f  x   0 . 
x 

b) Cho hàm số f  x    x3 . Chứng minh rằng lim f  x    . 
x 

c) Cho hàm số  f  x   x3 . Chứng minh rằng lim f  x    . 
x 

Giải. 

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

12


1.  a)  Với   0 , f  x   1   ⟺ 1 

Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

1
1
1
 1   ⟺   ⟺ x  .  Vậy  chọn 
x
x


m  1 /  , khi đó với mọi   thỏa x  m  1 /   thì  f  x   1   . 

b) Với 

> 0, | ( )| >

Vậy chọn 
c) Với 

d) Với 

> 0,  ( ) >
=

4

=

4

⟺

>

⟺| |>

b) Với 

1

  

 thì  ( ) < − . 

<−

⟺

>

=

( )>

⟺

Vậy chọn 

=

M 1
. 
2

>

3

⟺

.  Chứng  minh  rằng  lim
>

M 

3

M , khi đó với mọi   thỏa  >
⟺

b) Với 

>

>

→

( ) = +∞.  Với 

 thì  ( ) >

> 0, 

. 

< log 2  . 

= | log 2  |, khi đó với mọi   thỏa  < −  thì | ( ) − 0| < . 

> 0,  ( ) >
=

3

=

3

⟺

⟺

3

M . 

M , khi đó với mọi   thỏa  >

> 0,  ( ) < −

Vậy chọn 

M . 

M 1
, khi đó với mọi   thỏa thì f  x    M . 
2

⟺2 <

Vậy chọn 

4

 thì  f  x   0   . 

3. a) Với  > 0, | ( ) − 0| <

 Vậy chọn 

⟺| |>

. 

1
1
1
  ⟺ 2 x  ⟺ x  log 2 .  Vậy  chọn
x
2



> 0,  f  x    M ⟺ 2 x  1   M ⟺ x 

c)  Cho  hàm  số  ( ) =

c) Với 

M 

4

M , khi đó với mọi   thỏa | | >

⟺−

khi đó với mọi   thỏa  >

Vậy chọn 

. 

 thì  ( ) >

2.  a)  Với   0 , f  x   0   ⟺

m  log 2

 thì | ( )| >

M , khi đó với mọi   thỏa | | >

> 0,  ( ) < −

Vậy chọn 

. 

, khi đó với mọi   thỏa | | >

=

Vậy chọn 

⟺| |>

⟺−

<−

⟺

>

M , khi đó với mọi   thỏa  >

b. Giới hạn một phía 

Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1

 

 thì  ( ) >

3

. 

M 

 thì  ( ) < − . 

13


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

Định nghĩa 9. Cho  I   là  một  lân  cận  chứa  x0   và  hàm  số 

= ( )  xác  định  trên 

I \  x0  . Ta có: 

 Hàm số = ( )có giới hạn trái là L khi dần về  nếu với mọi  > 0, tồn tại 
> 0 sao cho với mọi   thỏa 0 < − <  thì | ( ) − | < . Kí hiệu  
lim ( ) =  
→

Vậy  
lim
→

( )=

⟺ (∀ > 0, ∃ > 0: 0 <

−

<

⟹ | ( ) − | < ) 

 
 Hàm số = ( ) có giới hạn phải là L khi  dần về  nếu với mọi  > 0, tồn 
tại  > 0 sao cho với mọi   thỏa 0 < − <  thì | ( ) − | < . Kí hiệu  
lim ( ) =  
→

Vậy  
lim
→

( )=

⟺ (∀ > 0, ∃ > 0: 0 <

−

<

⟹ | ( ) − | < ) 

 
Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

14

Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

Ví dụ 11.  
a) Cho hàm số f  x  
b) Cho hàm số f  x  

x
. Chứng minh rằng  lim f  x   1 . 
x0
x

x
x

. Chứng minh rằng  lim f  x   1 . 
x 0

Giải. 
a)  Với  > 0,  thì  ta  chọn    là  một  số  lớn  hơn  khơng  bất  kì  khi  đó  với  mọi    thỏa 
0<

− 0 <  thì  f  x   1 

x
x

 1  1  1  0   (đpcm). 

b)  Với  > 0,  thì  ta  chọn    là  một  số  lớn  hơn  khơng  bất  kì  khi  đó  với  mọi    thỏa 
<  thì  f  x   1 

0<0−

x
x

 1  1  1  0   (đpcm). 

Tương tự ta có các định nghĩa sau : 

Định nghĩa 10. Cho  I   là  một  lân  cận  chứa  x0   và  hàm  số  = ( )  xác  định  trên 

I \  x0  . Ta có: 
lim
→

lim
→

lim
→

lim
→

lim
→

lim
→

( ) = ∞ ⟺ (∀

( ) = +∞ ⟺ (∀

( ) = −∞ ⟺ (∀
( ) = ∞ ⟺ (∀

( ) = +∞ ⟺ (∀

( ) = −∞ ⟺ (∀

> 0, ∃ > 0:  I \  x0   (

− ,

) ⟹ | ( )| >

 I \  x0   (

− ,

) ⟹ ( ) < − ) 

 I \  x0   (

> 0, ∃ > 0:

> 0, ∃ > 0:

> 0, ∃ > 0:  I \  x0   ( ,

− ,

 I \  x0   ( ,

> 0, ∃ > 0:

+ ) ⟹ | ( )| >

 I \  x0   ( ,

> 0, ∃ > 0:

Chú ý. Nếu lim f  x   lim f  x  thì tồn tại  lim f  x  và  
x x0

x  x0

x  x0

 

)⟹ ( )>

+ )⟹ ( )>

) 

) 

) 

) 

+ ) ⟹ ( ) < − ) 

 

lim f  x   lim f  x   lim f  x   

x  x0

x  x0

x  x0

Ví dụ 12.  
a) Cho hàm số  f  x  

k
(k là hằng số). Chứng minh rằng 
x 1
lim f  x   lim f  x     
x 1

x 1

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

15


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

b) Cho hàm số  f  x  

1
. Chứng minh rằng lim f  x     và  lim f  x    .
x 1
x 1
x 1

c) Cho hàm số  f  x  

1
 . Chứng minh rằng  lim f  x    và  lim f  x    . 
x 1
x 1
x 1

Giải. 
a)  M  0,  

k
k
M 
 sao cho với mọi  x  thỏa  0  1  x   ta có: f  x  

x 1
M

Vậy  lim f  x    . 
x 1

M  0,  

k
k
 M . 
 sao cho với mọi  x  thỏa  0  x  1    ta có:  f  x  
M
x 1

Vậy lim f  x    . 
x 1

b)  M  0,  

f  x 

1
 sao cho với mọi  x  thỏa  0  1  x    ta có: 
M

1
M 
x 1

Vậy  lim f  x    . 
x 1

∀

> 0, ∃ =

( )=

c) ∀

1
< − .  Vậy  lim f  x    . 
x 1
x 1

> 0, ∃ =

( )=
∀

1
> 0sao cho với mọi  x  thỏa  0  x  1    ta có:  
M

1
< −  .Vậy  lim f  x    . 
x 1
x 1

> 0, ∃ =

( )=

1
> 0 sao cho với mọi  x  thỏa  0  1  x    ta có: 
M

1
> 0 sao cho với mọi  x  thỏa  0  x  1    ta có: 
M

1
>
x 1

. Vậy  lim f  x    . 
x 1

Một số giới hạn cơ bản

sin x
tan x
 lim
 1 
x 0
x 0
x
x

1  cos x 1
  
x0
x2
2

1.  lim

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

2.  lim

 

16


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

arctan x
arcsin x
 lim
 1 
x0
x0
x
x

4.  lim  tan x  lim cot x    

3.  lim

x

5.  lim  tan x  lim cot x    
x



x

2

x 



2

8.  lim arctan x  
x

x



2

6.  lim tan x  lim cot x    

x 0

7.  lim tan x  lim cot x    
x

x0



2

9.  lim arctan x 
x 


2


2

; lim arccotx    
x 

; lim arccotx  0  
x 

Với  a  1 : 

 

10.  lim a x  ;

lim a x  0     

x 

x 

11.  lim log a x  ;

lim log a x      

x0

x 

Với  0  a  1 : 
12.  lim a x  0;

lim a x      

x 

x 

13.  lim log a x  ;

lim log a x      

x0

x

Một số công thức khác (0 <

14. lim
→

15. lim
→

16. lim
→

log (1 + )
−1

→

18. lim
→

= ln ;

(1 + ) − 1

17. lim 1 +

=

1

= 0;

1
;
ln

≠ 1 và  ∈ ℝ) 

lim
→

ln(1 + )

lim
→

=  

= lim(1 + ) =  
→

lim
→

1.2.2. Một số tính chất

−1

ln

= 1 

= 1 

= 0,

> 0, ∀  

Định lý 1. Giả sử các hàm số ( ), ( ) có giới hạn trong cùng một quá trình
hoặc → ∞). Để đơn giản cách viết, ta khơng nêu
hoặc →
( →
hoặc →
q trình đó trong những khẳng định sau đây (với , ∈ ℝ): 
1.  ( ) → , ( ) →  thì  ( ) ± ( ) →

± . 

2.  ( ) → , ( ) → ∞ thì  ( ) + ( ) → ∞ (dấu của  ( )). 

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

17


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

3.  ( ) → +∞, ( ) → +∞ thì  ( ) + ( ) → +∞. 

4.  ( ) → −∞, ( ) → −∞ thì  ( ) + ( ) → −∞. 

5.  ( ) → , ( ) →  thì  ( ). ( ) → . . 
6.  ( ) →

≠ 0, ( ) → ∞ thì  ( ). ( ) → ∞ (dấu của tích). 

7.  ( ) → ∞, ( ) → ∞ thì  ( ). ( ) → ∞ (dấu của tích). 
8.  ( ) → , ( ) →

≠ 0 thì 
( )

9.  ( ) → , ( ) → ∞ thì 

10.  ( ) →

( )

( )

( )

( )

12.  ( ) →  thì | ( )| → | |. 
13.  ( ) →

Ví dụ 13.  

→ . 

→ 0. 

≠ 0, ( ) → 0 thì 

11.  ( ) → ∞, ( ) →  thì 

( )

( )

( )

→ ∞ (dấu của thương). 

→ ∞ (dấu của thương). 
( )

> 0, ( ) →  thì [ ( )]

→

. 

1
x 1

x 2   1 . 
a)  lim

lim
x  2 x 2  2
x 
2
2
2  2
x
1

2

1
x 1
x   . 
b)  lim
 lim
x  2 x  2
x 
2
2 
x
x

2

1

1
x

x 1
 lim
 0 . 
x  2 x 2  2
x 
2
2 x 
x

c)  lim

m
 n    khi  m  n
2
m

a  a1 x  a2 x  ...  am x
Tổng quát ta có:  lim 0
  0   khi  m  n  
2
n
x  b  b x  b x  ...  b x
0
1
2
n
     khi  m  n



1


d)  lim  1  x  x 
x0



x2

1

 e  1  vì  lim 1  x  x  e . 
0

x 0

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

18


x 2 1

e)  lim e

2 x 2  2

x 



1
2

Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

x2  1
1
  . 
2
x  2 x  2
2

 e  vì  lim

Các dạng vơ định 
Giả sử các hàm số  ( ), ( ) có giới hạn trong cùng một q trình. Khi đó: 

1. Nếu  ( ) → +∞, ( ) → −∞ thì ta nói  ( ) + ( ) có dạng vơ định ∞ − ∞. 
2. Nếu  ( ) → 0, ( ) → ∞ thì ta nói  ( ). ( ) có dạng vơ định 0. ∞. 
3. Nếu  ( ) → 0, ( ) → 0 thì ta nói 

( )

 có dạng vơ định  . 

( )

( )

4. Nếu  ( ) → ∞, ( ) → ∞ thì ta nói 

 có dạng vơ định  . 

( )

( )

5. Nếu  ( ) → 0, ( ) → 0 thì ta nói [ ( )]

6. Nếu  ( ) → +∞, ( ) → 0 thì ta nói [ ( )]

7. Nếu  ( ) → 1, ( ) → ∞ thì ta nói [ ( )]

 có dạng vơ dịnh 0 . 
( )

( )

 có dạng vơ định ∞ . 

 có dạng vơ định 1 . 

Quy ước. Để thuận tiện trong việc trình bày các bài tập ở phần sau, chúng tơi quy 
ước như sau: 

Giả sử các hàm số  ( ), ( ) có giới hạn trong cùng một q trình A (A có thể hữu 
hạn hoặc vơ cùng). Khi đó, nếu  ( ) → ∞, ( ) → ∞ (hoặc  ( ) → +∞, ( ) → +∞ 
hoặc  ( ) → −∞, ( ) → −∞)  thì  ta  viết  lim f  x   lim g  x      (hoặc 
xA

x A

lim f  x   lim g  x     hoặc  lim f  x   lim g  x    ).
xA

x A

xA

xA

Ví dụ 14.  
x2

1

1
 x  1
x  ,  lim x 1 x , … 
, 
Giới hạn dạng vô định 1 :  lim 
lim
1

sin

x


 x 0
x  x  1
x 1





Giới hạn dạng vô định ∞ :  lim x  2
x 

x



1
x

1
x

,  lim x ,  lim  tan x 
x 

x



2 cosx

… 

2

1 
1
,  lim ln x  ln  x 2  1 , … 
 x

x  x
e  1  x




Giới hạn dạng vô định ∞ − ∞:  lim 



Nhận xét. Khi tính giới hạn có dạng ∞ − ∞, nhiều bạn viết ngay đáp số là 0 vì nghĩ 
rằng đó là hai "đại lượng bằng nhau" trừ nhau dĩ nhiên ra 0! Hoặc khi tính giới hạn có 
dạng 0. ∞ có bạn  cũng  ra  0 ngay  vì0  nhân cho  mấy  cũng  bằng 0! Đó  là một số  cách 
hiểu sai trong rất nhiều cái sai của chúng ta. Cũng như có nhiều bạn từng hỏi là"1 mũ 
mấy cũng là 1 mà tại sao lại là vơ định?" Các bạn lưu ý rằng ở đây "giới hạn" nghĩa là 
tiến  tới  giá  trị  đó,  chứ  bản  thân  nó  khơng  bằng  giá  trị  đó.  Ví  dụ  với  giới  hạn dạng 

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

19


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

x2

x 1
 x  1
,  ở  đây  khi  x     thì 
  chỉ  tiến  tới  1  chứ  giá  trị  của 
1 như  lim 

x  x  1
x 1


chúng khơng phải là 1nên suy nghĩ 1 mũ mấy cũng là 1 và viết ngay đáp án là một sai 
lầm cơ bản, các bạn thử bấm máy 1,0001999999 xem đáp án có gần số 1 khơng? 
Tóm  lại  các giới  hạn ở dạng  vơ định  ta khơng thể thay thế giá  trị của    vào  hàm  số 
( ) rồi tính đáp án một cách "tùy tiện" mà phải áp dụng những tính chất, những định 
lí về giới hạn của hàm số để phân tích và đưa ra kết quả. Chúng ta sẽ trở lại những bài 
tốn này ở mục B. 
Định lý 2 (định lý kẹp)
Giả sử g ( x)  f ( x)  h( x) với mọi x thuộc một khoảng mở chứa c (có thể khơng
thỏa tại c ) và lim g ( x)  lim h( x)  L . Khi đó ta có lim f ( x)  L .
x c

x c

2
2
Ví dụ 15.  Vì   x  x sin

lim x 2 sin
x 0

1
 0 . 
x

x c

1
 x 2   với  mọi  x và  lim   x 2   lim x 2  0   nên  ta  có 
x 0
x 0
x

 

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

20

Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

1.2.3. Vơ cùng bé – Vô cùng lớn
a. Vô cùng bé (VCB) 

Định nghĩa 11. Cho hàm số  ( ) xác định trong lân cận của   (có thể khơng xác định 
tại  ). Khi đó  ( ) được gọi là vơ cùng bé khi dần đến , nếu 
lim ( ) = 0 
→

Ví dụ 16.

a) Khi  → 0 thì sin , tan , ln(1 + ) ,

b) Khi  → 1 thì sin( − 1), ln ,

c) Khi  → +∞ thì  

, 3

− 1,

− 1, … là các VCB. 

,

+

,… là các VCB. 

1 x 1
,
,… là các VCB. 
x2 x2  2 x

Định nghĩa 12 (so sánh hai VCB). Cho  ( ), ( ) là  các VCB khi  dần đến  . Giả 
sử  lim
xa

f  x
 k . Khi đó : 
g  x

 Nếu  = 0  thì  ( )  được  gọi  là  VCB cấp cao hơn ( ),  kí  hiệu  ( ) =
0 ( ) . 
 Nếu  = ∞ thì  ( ) được gọi là VCB cấp thấp hơn ( )(lúc này ( ) là VCB
cấp cao hơn ( )). 

∈ ℝ∗  thì  ( ) và  ( ) được gọi là VCB ngang cấp. Đặc biệt  = 1 thì ta nói 
( ) và  ( ) là hai VCB tương đương, kí hiệu  ( )~ ( ). 

Ví dụ 17.

a) Khi  → 0 thì 1 − cos
Vì ta có : 

= 0( ),

= 0(

1  cos x
1  cos x
 lim x.
 0.1  0 . 
x 0
x 0
x
x2
sin 3 x
lim
 limsin 2 x  0 . 
x 0 sin x
x 0
x3
lim 2  lim x  0 . 
x 0 x
x 0
x2
lim  lim x  0 . 
x 0 x
x 0

),

= 0(

),

= 0( ). 

lim

b) Từ một số cơng thức giới hạn cơ bản ta có : 
Khi  → 0ta có sin

1 − cos ~

/2. 

~ tan

~ ln(1 + ) ~

− 1 ~ , sin

Tổng quát hơn, với   là một hàm theo  , khi  → 0 ta có: 

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

 

~

,tan

~

, 

21


sin

~ tan

Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

~ ln(1 + ) ~

− 1 ~ , sin

b. Vô cùng lớn (VCL) 

, 1 − cos

~

~

/2. 

Định nghĩa 13. Cho hàm số  ( ) xác định trong lân cận của   (có thể khơng xác định 
tại  ). Khi đó  ( ) được gọi là vô cùng lớn khi dần đến , nếu 
lim ( ) = ∞ 
→

Nhận xét. Cho hàm số  ( ) xác định trong lân cận của điểm   (có thể khơng xác định 

tại điểm  ) và  ( ) ≠ 0. Khi đó  ( ) là VCL khi  →  khi và chỉ khi

1
 là VCB 
f ( x)

khi  → . 
Ví dụ 18.

a) Khi  → 1 thì 

1
1
, 2
là các VCL. 
1 x x 1

b) Khi  → −∞ thì 

+

+ 1, 

x2  1
là các VCL. 
x

Định nghĩa 14 (so sánh hai VCL). Cho  ( ), ( ) là  các VCL khi  dần đến  . Giả 
sử  lim
xa

f  x
 k . Khi đó: 
g  x

 Nếu  = ∞  thì  ( )  được  gọi  là  VCL cấp cao hơn ( ),  kí  hiệu  ( ) =
0 ( )  
 Nếu  = 0 thì  ( ) được gọi là VCL cấp thấp hơn ( )(lúc này ( ) là VCL
cấp cao hơn ( )). 

∈ ℝ∗  thì  ( ) và  ( ) được gọi là VCL ngang cấp. Đặc biệt  = 1 thì ta nói 
( ) và  ( ) là hai VCL tương đương, kí hiệu  ( ) ~ ( ). 

Ví dụ 19. 

a) Khi  → +∞ thì 1 +

= 0(1 − ),

= 0(

b) Khi  → 1 thì 1/(1 − ) = 0 1/(1 − ) . 

). 

c) Khi  → +∞ thì 2 + 1 ~ 2 − 2. 

c. Ứng dụng VCB và VCL tính giới hạn 
Cho  ( ), ( ) là VCB (VCL).  

Quy tắc thay thế VCB (VCL) tương đương.
Nếu  ( ) ~

lim
→

( ) và  ( ) ~

( ) khi  →  thì 

( ). ( ) = lim
→

( ).

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

( ) ; lim
→

 

( )
= lim
→
( )

( )
 
( )

22


Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

Ví dụ 20.

1 2
x
1  cos x
2  1 . Vì khi  x  0  ta có: 1  cos x  1 x 2 ,  và

lim
a) lim
x 0 sin 2 x
x 0 x 2
2
2
sin 2 x  x 2 . 

x3  2 x  1
x3
x


lim
lim
  . 
b) lim

x
x 3 x 2
x 3
x  3x 2
Vì khi  x    ta có: x3  2 x  1  x3  và  x  3x 2  3x 2
Chú ý. Quy tắc thay thế lượng VCB (VCL) tương đương khơng hồn tồn đúng cho 
tổng hoặc hiệu, tức là có thể 
lim
→

Thật vậy, 
1. Xét  ( ) =
Nhưng 

→

2. Xét  f  x  

→

+ 3; ( ) = −

( )=
lim

( ) ± ( ) ≠ lim

+3~

=

( )  

( )±

+ 1. Ta có khi → +∞ thì  

( ) và  ( ) = −

+1~ −

( ) + ( ) = lim 4 = 4 ≠ 0 = lim
→

→

1
1
; g  x   . 
x
ln 1  x 

Ta có  → 0 thì ln(1 + ) ~ ,nên f ( x) 

=

( )+

( ) 
( )  

1
1
~  f1  x   
ln 1  x  x

Nhưng ta có 
lim
→

( ) − ( ) = lim
= lim
→

1−

→

1
1
− ln(1 + )
− ln(1 + )
−
= lim
 
= lim
→
→
ln(1 + )
ln(1 + )

=

2

→

2 (1 + )

1 1
   0 . 
x 0
x x

Còn  lim  f1  x   g  x     lim 
x 0

lim

= lim
→

1
1
= . 
2(1 + ) 2

Tuy nhiên, ta có các kết quả sau: 
+ Nếu  ( ), ( ) cùng dương hoặc cùng âm trong lân cận của   thì 
lim

→

( ) + ( ) = lim

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

→

 

( )+

( )  

23