Tài liệu hướng dẫn học tập Toán học 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY

TOÁN HỌC 2
Phân loại: Tài liệu hướng dẫn học tập

Chủ biên: Ths.Đồn Thị Diễm Ly
Thành viên: Ths.Ngơ Lê Hồng Phúc
Ths.Nguyễn Vũ Vân Trang

Bình Dương, 8 /2018


LỜI MỞ ĐẦU

Toán học 2 là một môn học bắt buộc cho sinh viên hệ thường xuyên, liên thông,
chính quy chuyên ngành giáo dục tiểu học của trường ĐH Thủ Dầu Mợt. Đây là mợt
trong những mơn học có nhiều kiến thức trừu tượng so với trình độ của sinh viên tại
trường. Đa số, các giáo trình sinh viên sử dụng để học tập môn học này đều từ các quyển
giáo trình với các kiến thức trình bày chuyên sâu và xuất bản đã lâu. Do vậy, nhu cầu biên
soạn tài liệu hướng dẫn học tập môn Toán 2 để phù hợp với trình độ và sử dụng cho sinh
viên tại trường là rất cần thiết.
Mục tiêu biên soạn nhằm tạo ra một tài liệu học tập môn “ Toán 2” ngắn gọn, đầy
đủ nội dung trong đề cương chi tiết môn học, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập áp dụng
phù hợp với chương trình toán Tiểu học hiện nay để rèn cho người học kỹ năng vận dụng
các kiến thức đó vào việc giải các bài toán ở Tiểu học, từ đó hiểu được sự vận dụng các
kiến thức đang học vào Toán Tiểu học.
Tài liệu được chia làm 3 chương, gồm những nội dung: Cấu trúc đại số (phần lý
thuyết chúng tôi tham khảo, tổng hợp từ [1], [2], [6]); tập hợp số tự nhiên (phần lý thuyết

chúng tôi tham khảo từ [1], [3], [4], [5]); tập hợp số hữu tỉ dương  , tập hợp số hữu tỉ
, tập hợp số thực

(phần lý thuyết chúng tôi tham khảo từ [1], [2], [4]).

Nội dung tài liệu giới thiệu một số kiến thức về cấu trúc đại số, xây dựng tập số tự
nhiên từ bản số tập hợp, xây dựng tập hợp số hữu tỷ theo sơ đồ    , xây dựng
tập hợp số thực dựa trên khái niệm số thập phân và vận dụng các kiến thức về các tập hợp
số vào dạy học các tập hợp số ở Tiểu học. Bên cạnh đó có trình bày lại lý thuyết, các định
lí quan trọng được chứng minh (và một số định lí yêu cầu HS tự tham khảo hoặc chứng
minh), hệ thống ví dụ giải chi tiết và hệ thống bài tập có hướng dẫn giải hoặc đáp số.
Nhóm tác giả mong muốn sinh viên có thể vận dụng các kiến thức đã học giải quyết phần
chứng minh còn lại hoặc dễ dàng tham khảo trong các quyển giáo trình được trích dẫn,
giải quyết các bài tập.
Mặc dù chúng tôi đã cố gắng biên soạn quyển tài liệu này, nhưng chắc chắn sẽ còn
nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của đợc giả để tài liệu được
hoàn thiện hơn.
Bình Dương, tháng 8 năm 2018.
Nhóm tác giả

1


MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1
Chương 1 : CẤU TRÚC ĐẠI SỚ ......................................................................................... 4
§1. PHÉP TỐN HAI NGƠI ........................................................................................... 4
1.1. Nhắc lại khái niệm ánh xạ ..................................................................................... 4
1.2. Phép toán hai ngôi ............................................................................................... 10

1.3. Các phần tử đặc biệt ............................................................................................ 11
§ 2. NỬA NHÓM VÀ NHÓM ....................................................................................... 13
2.1. Nửa nhóm ............................................................................................................. 13
2.2. Nhóm .................................................................................................................... 13
2.3. Nhóm con ............................................................................................................. 15
2.4. Đờng cấu nhóm .................................................................................................... 17
§3. VÀNH VÀ TRƯỜNG .............................................................................................. 20
3.1.Vành ....................................................................................................................... 20
3.2.Trường ................................................................................................................... 26
BÀI TẬP ......................................................................................................................... 29
CHƯƠNG 2 : TẬP HỢP SỚ TỰ NHIÊN .......................................................................... 34
§1 BẢN SỚ CỦA TẬP HỢP .......................................................................................... 34
1.1. Tập hợp tương đương .......................................................................................... 34
1.2. Bản số ................................................................................................................... 35
§2 TẬP SỚ TỰ NHIÊN .................................................................................................. 36
2.1. Tập hợp các số tự nhiên ....................................................................................... 36
2.2. Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên ............................................................ 37
2.3. Quan hệ thứ tự trong tập ................................................................................. 37
§3 LÝ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN ............................... 39
3.1. Phép chia hết và phép chia có dư ........................................................................ 39
3.2. Ước chung lớn nhất ............................................................................................. 40
3.3. Bội chung nhỏ nhất .............................................................................................. 42
3.4. Số ngun tố và hợp số ....................................................................................... 43
§4 HỆ GHI SỚ ................................................................................................................ 45
4.1. Hệ ghi số g  phân .............................................................................................. 45
4.2. Các dấu hiệu chia hết ........................................................................................... 50
§5 NỘI DUNG VÀ CƠ SỞ TỐN HỌC CỦA VIỆC DẠY HỌC MỘT SỚ VẤN ĐỀ
VỀ SỐ TỰ NHIÊN Ở TIỂU HỌC ................................................................................. 51
5.1. Nội dung dạy học số tự nhiên ở Tiểu học .......................................................... 51
5.2. Cơ sở toán học của việc dạy học một số vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học ..... 52

2


BÀI TẬP ......................................................................................................................... 53
CHƯƠNG 3: TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM  , TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ , TẬP
HỢP SỚ THỰC ............................................................................................................. 60
§1.XÂY DỰNG CÁC SỚ HỮU TỈ KHƠNG ÂM. CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP
HỢP SỚ HỮU TỈ ............................................................................................................ 60
1.1. Xây dựng các số hữu tỉ không âm ...................................................................... 60
1.2. Các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ khơng âm. ....................................... 62
§2. QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHƠNG
ÂM  TRONG TỐN TIỂU HỌC .............................................................................. 65
2.1. Quan hệ thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ không âm. ..................................... 65
2.2. Tập hợp số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình môn Toán ở Tiểu
học. ............................................................................................................................ 65
§3. TẬP HỢP SỚ THẬP PHÂN KHƠNG ÂM ............................................................. 69
3.1. Phân số thập phân ................................................................................................. 69
3.2. Số thập phân không âm........................................................................................ 69
3.3. Dạng thu gọn của phân số thập phân .................................................................. 70
3.4. Các phép toán trên số thập phân.......................................................................... 70
3.5. Quan hệ thứ tự trong tập số thập phân ................................................................ 71
3.6. Số thập phân vô hạn tuần hoàn ............................................................................ 72
§4. SỚ THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TIỂU HỌC ................. 73
4.1. Hình thành khái niệm số thập phân .................................................................... 73
4.2. So sánh số thập phân ........................................................................................... 73
4.3. Các phép toán về số thập phân ............................................................................ 74
4.4. Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm ........................................................................ 74
4.5. Giải toán về số thập phân .................................................................................... 74
§5. TẬP HỢP SỚ HỮU TỈ VÀ TẬP HỢP SỐ THỰC .................................................. 76
5.1. Tập hợp số hữu tỉ. ................................................................................................ 76

5.2. Tập hợp số thực.................................................................................................... 77
BÀI TẬP ......................................................................................................................... 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 83

3


Chương 1 : CẤU TRÚC ĐẠI SỚ
§1. PHÉP TỐN HAI NGƠI
1.1.Nhắc lại khái niệm ánh xạ
1.1.1.Ánh xạ
Định nghĩa 1.1. Mợt ánh xạ f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho mỗi
phần tử x thuộc X tương ứng với một phần tử xác định y thuộc Y, kí hiệu y = f(x). Ta viết:

f : X Y
hay
x
f ( x)

f
X 
Y
x
f ( x)

X gọi là tập nguồn hay miền xác định và Y gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f.
Vậy

f : X Y
(1)

 x  X , y  Y : y  f ( x)
là ánh xạ  
x
f ( x)
x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) (2)
Lưu ý. Mỗi phần tử x của X có mợt và chỉ một phần tử f(x) nhưng mỗi phần tử y của Y
chưa chắc có xX thỏa y=f(x).
Ví dụ 1.1. Giả sử X ={1, 2, 3, 4} và Y = {x, y, z, t}. Cho các tương ứng từ X đến Y trong
lược đờ hình bên dưới
X

Y

X

Y

▪1

°x

▪1

°x

▪2

°y

▪2

°y

▪3

°z

▪3

°z

▪4

°t

▪4

°t

▪

B

Y

▪a

°x

▪b

°y

▪c

°z

▪d

°t

▪

a)

b)

▪
▪

X

▪

▪

▪

c)

Hình 1

▪

▪

Trong đó, hình 1a), phần tử 4 của X khơng có phần tử tương ứng trong Y, do đó tương
ứng này khơng thỏa điều kiện (1) của định nghĩa ánh xạ; Hình 1b), phần tử 2 của X ứng
với hai phần tử x, t của Y nên tương ứng
▪ này không thỏa điều kiện (2) của định nghĩa ánh
▪

▪

4


xạ; Tương ứng ở hình 1c) là ánh xạ vì mỗi phần tử thuộc X xác định một và chỉ mợt phần
tử tḥc Y.
Ví dụ 1.2. Mợt người có quy ước giữa màu sắc về trang phục khi đi làm với các ngày
trong tuần như sau:
Hai
xanh
Ba
vàng
xanh
Tư
Năm
trắng
Sáu

xanh
đỏ
Bảy
Rõ ràng tương ứng trên xác định một ánh xạ từ tập A={hai, ba, tư, năm, sáu, bảy} đến tập
hợp B={xanh, vàng, trắng, đỏ}.
Ví dụ 1.3. Với X  Y  .
Tương ứng
f: 
,
x
x2
là ánh xạ từ

đến

vì mỗi x 

xác định một và chỉ một y 

thỏa y = x+2.

1.1.2. Một số ánh xạ đặc biệt
• Ánh xạ hằng: là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x thuộc X đều cho ảnh tại
một phần tử duy nhất y0 thuộc Y. Tức là, với y0 Y cho trước ta có ánh xạ hằng:
f : X Y
x
y0
• Ánh xạ đờng nhất: là ánh xạ f từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X,
ta có f(x) = x, kí hiệu 1X hay idX . Cụ thể, ta có:

id X : X  X
x

x

• Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập A  X vào X sao cho f(x)= x với mọi x  A.
1.1.3. Ảnh và tạo ảnh
Định nghĩa 1.2. Cho f : X  Y là một ánh xạ, x  X tùy ý, A là tập con X và B là
tập con của Y. Khi đó, ta định nghĩa:
a) f(x) là ảnh của x qua ánh xạ f hay giá trị của ánh xạ f tại điểm x; x được gọi là
nghịch ảnh hay tạo ảnh của y với y là giá trị của ánh xạ f tại điểm x.
b) Tập con của Y gồm tất cả các ảnh của mọi phần tử thuộc A gọi là ảnh của A qua
ánh xạ f, ký hiệu là f(A). Vậy f ( A)   f (a) | a  A .

5


c) Tập con của X gồm tất cả các tạo ảnh của mọi phần tử thuộc B gọi là tạo ảnh toàn
phần của B qua ánh xạ f, ký hiệu là f 1 ( B) . Vậy :

f 1 ( B)   x  X | f ( x)  B .
Nếu B là tập chỉ có mợt phần tử {b}, thì ta viết f 1 (b) thay cho f 1 ({b}) và

f 1 (b)   x  X | f ( x)  b .
Ví dụ 1.4. Cho A = {-1, 0, 1}; B = {-1, - 2}; C = {3} và ánh xạ

f:


x

3x  2

Khi đó f(A) = {-1, 2 , 5}; f(B) = {-1, - 4}; f(C) = {11}

2 1
4


1 
và f 1 ( A)  -1, - ,-  ; f 1 ( B)  1,   ; f 1 (C )  f 1 (3)   .
3 3
3


3
1.1.4. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh
Định nghĩa 1.3. Ánh xạ f : X  Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi y thuộc Y tồn tại
nhiều nhất một x thuộc X sao cho y= f(x).
Từ định nghĩa ta suy ra:
Ánh xạ f : X  Y là đơn ánh khi và chỉ khi x1 , x2  X , x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ),
hay
Ánh xạ f : X  Y là đơn ánh khi và chỉ khi x1 , x2  X , f ( x1 )  f ( x2 ) thì x1  x2 .
Lưu ý. Nếu ánh xạ f được cho dưới dạng y=f(x) thì ta có thể chứng minh f là đơn ánh
bằng cách xét phương trình y=f(x), trong đó x xem là ẩn và y là tham số. Nếu phương trình
này có khơng quá mợt nghiệm x  X với mọi y  Y thì f là một đơn ánh.
Ví dụ 1.5.
1. Ánh xạ đồng nhất
id X : X  X

x

x

là một đơn ánh.
2. Ánh xạ
f: 

x3

x

là một đơn ánh, vì x1 , x2  , x1  x2 thì x13  x23 .
3. Ánh xạ
f : \ 0 

x

1
x
6


là một đơn ánh, vì với x1 , x2 
4. Ánh xạ

\ {0}, x1  x2 thì

1 1
 .
x1 x2



f:
x

x2

không phải là đơn ánh vì –2 và 2 có cùng mợt ảnh là 4, nói cách khác, tờn tại
x1 , x2  , x1  x2 mà f ( x1 )  f ( x2 ).
Định nghĩa 1.4. Ánh xạ f : X  Y được gọi là toàn ánh nếu f ( X )  Y , tức là, với
mọi y thuộc Y tồn tại ít nhất một x thuộc X sao cho y = f(x).
Lưu ý. Nếu phương trình y=f(x) ln có nghiệm x  X với mọi y  Y thì f là một toàn
ánh.
Ví dụ 1.6.
1. Ánh xạ đồng nhất idX là một toàn ánh.
2. Ánh xạ
f: 

x3

x

là một toàn ánh, vì phương trình x3  y ln có nghiệm x 

3

y với mọi y  .

3. Ánh xạ

f : \ 0 

x

1
x

không phải là toàn ánh, vì phương trình

1
 y, y 
x

có nghiệm khi và chỉ khi y  0 .

Định nghĩa 1.5. Ánh xạ f : X  Y được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là
toàn ánh, tức là, với mọi y  Y tồn tại duy nhất phần tử x  X sao cho y=f(x).
Vậy f là một song ánh nếu và chỉ nếu f là tương ứng một-một giữa hai tập hợp.
Lưu ý. Nếu phương trình y = f(x) có duy nhất nghiệm x  X với mọi y  Y thì f là một
song ánh.
Ví dụ 1.7.
1. Ánh xạ đồng nhất idX là một song ánh vì nó là vừa là đơn ánh vừa toàn ánh.
2. Cho A ={1, 2, 3} và B = {x, y, z} là hai tập hợp. Khi đó, giữa A và B tồn tại song
ánh .

7


A B
1

x
2
y
3
z
3. Tương tự, ánh xạ
f: 

x

x3

cũng là một song ánh.
• Minh họa bằng lược đờ Venn.

▪
▪
▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

Đơn ánh

▪ nhưng khơng toàn
ánh

▪

Song ánh

Toàn ánh nhưng không đơn
▪
ánh

▪

1.1.5. Tích ánh xạ ▪
Định nghĩa 1.6. Cho hai ánh xạ f : X  Y và g : Y  Z . Khi đó, ánh xạ
X Z

x

▪

go ( f ( x))

được gọi là tích của ánh xạ f và ánh xạ g, kí hiệu g f ▪hay gf.
Ví dụ 1.8. Cho các ánh xạ f :

 ,x

2 x, g :

 ,x

2x 1.

Khi đó, ánh xạ tích g f và f g được xác định bởi:

g f ( x)  g ( f ( x))  g (2 x)  4 x  1,
và f g ( x)  f ( g ( x))  f (2 x  1)  2  2 x  1  4 x  2.
Nhận xét.
a) Phép tích ánh xạ khơng có tính giao hoán, nghĩa là g f  f g.
b) Nếu f : X  Y là mợt ánh xạ bất kì thì ta ln có f id X  idY f  f .
Định lí 1.1. Giả sử f : X  Y , g : Y  Z là các ánh xạ. Khi đó
i)

Nếu f, g là đơn ánh thì ánh xạ tích g f là một đơn ánh.

8


ii)
iii)

Nếu f, g là hai toàn ánh thì ánh xạ tích g f là một toàn ánh.
Nếu f, g là hai song ánh thì ánh xạ tích g f là một song ánh.

Chứng minh.
Giả sử g f : X  Z là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g .
i)

Với mọi x1 , x2  X , giả sử x1  x2 . Do f là đơn ánh, ta suy ra f ( x1 )  f ( x2 ).

Mặt khác, g là đơn ánh nên g ( f ( x1 ))  g ( f ( x2 )) hay g f ( x1 )  g f ( x2 ).
Vậy g f là đơn ánh.

ii)

Vì g là toàn ánh, nên với mọi z  Z , tồn tại y  Y sao cho g(y) = z. Mặt khác, f

cũng là toàn ánh, nên với mọi y  Y , có x  X sao cho y = f(x). Suy ra, với mọi z  Z, tồn
tại x  X sao cho g f (x) = g(f(x)) = g(y) = z.
Vậy g f là toàn ánh.
iii) Suy ra từ i) và ii).■
1.1.6. Ánh xạ ngược
Định nghĩa 1.7. Cho f : X  Y và g : Y  Z là hai ánh xạ thỏa g f  id X và

f g  idY . Khi đó, g được gọi là ánh xạ ngược của f, kí hiệu g = f -1.
Nhận xét.
• Từ định nghĩa, ta suy ra f cũng là ánh xạ ngược của g.
• Khơng phải bất kì ánh xạ nào cũng có ánh xạ ngược.
Định lí sau cho chúng ta điều kiện tồn tại ánh xạ ngược.
Định lí 1.2. Ánh xạ f : X  Y có mợt ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.
Chứng minh. Bạn đọc tham khảo chứng minh trong [2].
Nhận xét. Nếu f : X  Y , x
được xác định bởi y

f ( x) có ánh xạ ngược là f 1 : Y  X thì ánh xạ f 1

f 1 ( y)  x , với f(x) = y.

Ví dụ 1.9.
1. Ta có tương ứng sau là song ánh:

f: 

x

x3

Ta có

f ( x)  x 3  y 

x 3 y

Do đó f có ánh xạ ngược là:

f 1 :
y


3

y

Dễ dàng kiểm tra được f

f 1  id và f 1 f  id .
9


2. Xét song ánh sau (ví dụ 7) :
f : 0,     1,1

x
cos x
Ta có
f ( x)  cos x  y  x  arccos y, y  [1,1]; x  [0,  ]
Do đó ánh xạ ngược của f là:
f 1 :  1;1  0,  

y

arc cos y

Dễ dàng kiểm tra được f

f 1  id[1,1] và f 1 f  id[0, ] .

1.1.7. Tích Descartes của hai tập hợp
Định nghĩa 1.8. Tích Descartes của hai tập A và B là tập hợp gờm các phần tử có
dạng (a, b) sao cho a  A và b  B . Kí hiệu là A  B.
Vậy A  B  {(a, b) | a  A, b  B} .
Hai phần tử (a, b) và (a’, b’) là bằng nhau khi và chỉ khi a = a’ và b = b’.
Ví dụ 1.10. Cho A = {1, 2, 3} và B = {4, b}. Khi đó

A  B  {(1,4),(1, b),(2,4),(2, b),(3,4),(3, b)} .
Và B  A  {(4,1),(b,1),(4,2),(b,2),(4,3),(b,3)} .
1.2. Phép toán hai ngôi
Định nghĩa 1.9. Cho X là một tập khác rỗng. Mợt phép tốn hai ngơi trên tập hợp X là
mợt ánh xạ T như sau:
T : XX  X
( a, b)

T ( a, b)
Phần tử T(a, b) được gọi là cái hợp thành của a và b hay kết quả của phép toán T, kí
hiệu aTb.
Người ta thường dùng các kí hiệu +, ., *, … để chỉ cái hợp thành của a và b. Khi đó,
aTb được kí hiệu tương ứng là a+b, a.b, a*b, ...
Phép toán hai ngôi kí hiệu bằng dấu “+” được gọi là phép cộng, a+b được gọi là tổng
của a và b.
Phép toán hai ngôi kí hiệu bằng dấu “.” được gọi là phép nhân, a.b được gọi là tích của
a và b.
Ví dụ 1.11.
1. Phép cộng, nhân thông thường các số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỉ, các số
thực là các phép toán hai ngôi trên các tập hợp , , , .

10


2. Phép trừ các số tự nhiên không phải là phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên
.
3. Phép chia các số thực không phải phép toán hai ngôi trên tập các số thực .
4. Phép chia các số thực khác 0 là phép toán hai ngôi trên tập các số thực khác không


.
Định nghĩa 1.10. Cho tập hợp X với phép toán hai ngôi *. Ta định nghĩa:
a) Phép toán * có tính giao hốn nếu và chỉ nếu x, y  X , x * y  y * x.
b) Phép toán * có tính kết hợp nếu và chỉ nếu x, y, z  X ,( x  y )  z  x  ( y  z ).
1.3. Các phần tử đặc biệt
1.3.1. Phần tử trung hịa
Định nghĩa 1.11. Cho * là mợt phép toán hai ngôi trên tập X, phần tử eX được gọi
là phần tử trung hòa đối với phép toán * nếu và chỉ nếu x  X , e  x  x  e  x.

Định lý 5. Nếu trong tập X có phần tử trung hịa đối với phép toán * thì phần tử trung
hịa đó là duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử e và e’ là hai phần tử trung hòa đối với phép toán *. Vì e là phần tử trung hòa
của phép toán * nên e*e’=e’. Mặt khác, e’ cũng là phần tử trung hòa của phép toán * nên
e*e’=e. Từ đó suy ra e=e’.■
Ví dụ 1.12.
1. Trên các tập hợp

, , , ta có 0 là phần tử trung hịa đối với phép cợng thơng
thường các số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỉ và các số thực.
2. Trên các tập hợp , , , ta có số 1 là phần tử trung hịa đối với phép nhân thơng
thường các số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỉ và các số thực.
3. Trên tập hợp các số tự nhiên
hòa.

, với phép toán a * b  ab khơng có phần tử trung

1.3.2. Phần tử đối xứng
Định nghĩa 1.12. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi * và e là phần tử trung
hòa của X đối với phép toán *. Phần tử bX được gọi là phần tử đối xứng của aX đối
với phép toán * nếu b*a = a*b = e.
Định lý 1.3. Cho tập hợp X với phép toán hai ngơi * có tính chất kết hợp, có phần tử
trung hịa là e. Nếu b và b’ là hai phần tử đối xứng của phần tử aX thì b = b’.
Chứng minh.
Giả sử aX có hai phần tử đối xứng là b và b’. Khi đó, ta có a*b’ = e và b*a = e.
Do * có tính chất kết hợp nên ta có e*b’=(b*a)*b’ = b*(a*b’) = b*e = e*b . Vậy b’=b.■
11

Ví dụ 1.13.
1. Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có số 0 là có phần tử đối xứng và phần tử đối
xứng của 0 là 0.
2. Đối với phép cộng các số nguyên, mỗi số nguyên a  có phần tử đối xứng là
a  .
3. Đối với phép nhân các số nguyên, mọi số nguyên khác 1 và -1 đều khơng có phần tử
đối xứng trong ; phần tử đối xứng của 1 và -1 là chính nó.
4. Đối với phép nhân các số hữu tỉ, mọi số hữu tỉ q 
là

1

q

khác 0 đều có phần tử đối xứng

.

1.3.3. Qui ước và kí hiệu
• Đối với phép toán cợng “+”:
•• Phần tử trung hịa được gọi là phần tử khơng, kí hiệu là 0.
•• Phần tử đối xứng của x được gọi là phần tử đối của x, kí hiệu là – x.
• Đối với phép toán nhân “.”:
•• Phần tử trung hịa được gọi là phần tử đơn vị, kí hiệu là e hoặc 1.
•• Phần tử đối xứng của x được gọi là phần tử nghịch đảo của x, kí hiệu là x 1.
1.4. Phép tốn cảm sinh
Định nghĩa 1.13. Cho * là mợt phép toán hai ngôi trên tập X và A là một tập con khác
rỗng của X. A được gọi là tập con ổn định đối với phép toán * nếu với mọi a, b thuộc A thì
a*b thuộc A, tức là a, b  A : a  b  A. .
Ví dụ 1.14.

1. Tập hợp S ={1, -1} là tập con ổn định của tập các số nguyên

đối với phép nhân.

2. Tập hợp các số tự nhiên
là tập con ổn định của tập các số nguyên
cộng và đối với phép nhân. Nhưng nó khơng ổn định đối với phép trừ.
3. Tập A  2 x | x 

đối với phép

 là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép cộng và

đối với phép nhân.
4. Tập B  2 x  1| x 



là tập con ổn định đối với phép nhân các số nguyên nhưng

nó không ổn định đối với phép cộng các số nguyên.
Định nghĩa 1.14. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi * và A là một tập con ổn
định đối với phép toán * của X. Khi đó ánh xạ :
: X  X  X
(a; b)
a b
cảm sinh với ánh xạ

12

' : A  A  A
(a; b) a  ' b  a  b
Ta nói *’ là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán * của X và thường kí hiệu phép
toán cảm sinh như phép toán của X.
Ví dụ 1.15.
1. Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh của phép cộng các số tự nhiên.
2. Phép cộng các số nguyên cảm sinh ra phép cộng các số nguyên là bội của mợt số
ngun m cho trước.
§ 2. NỬA NHÓM VÀ NHÓM
2.1. Nửa nhóm
Định nghĩa 2.1. Tập hợp X khác rỗng với phép toán hai ngôi * được gọi là nửa nhóm
nếu phép toán * có tính kết hợp trên X. Kí hiệu (X, *).
Nếu phép toán * trên X giao hoán thì (X, *) được gọi là nửa nhóm giao hoán.
Nếu nửa nhóm (X, *) có phần tử trung lập thì (X, *) được gọi là một vị nhóm.
Ví dụ 2.1.
1.
2.




,. ,  ,   với phép cộng và nhân các số tự nhiên thơng thường, là các vị nhóm.

,   với phép trừ các số nguyên thông thường, khơng phải là nửa nhóm.

Định nghĩa 2.2. Trong nửa nhóm (X, .), với mọi x, y, z  X ta có  xy  z  x  yz  và
được kí hiệu chung là xyz, gọi là tích của 3 phần tử x, y, z theo thứ tự đó. Bằng quy nạp, ta
định nghĩa tích của n phần tử x1 , x2 ,..., xn  X , n  3 là x1 x2 ...xn  ( x1 x2 ...xn1 ) xn .
Định nghĩa 2.3. Trong mợt nửa nhóm (X,.), tích của n phần tử đều bằng a  X , được

gọi là lũy thừa n của một phần tử a, kí hiệu a n . Ta có quy tắc a m .a n  a m n ;  a m   a mn .
n

Trong nửa nhóm (X, +), tổng của n phần tử a  X gọi là bợi n của a, kí hiệu na. Ta có
quy tắc ma + na = (m+n)a; n(ma) = mna.
2.2. Nhóm
Định nghĩa 2.4. Tập hợp X với phép toán hai ngôi * là một nhóm nếu thỏa các điều
kiện sau:
i) (X, *) là nửa nhóm.
ii) Phép toán * có phần tử trung hòa, tức là:  e X,  a X : e*a = a*e = a.
iii) Mọi phần tử thuộc X đều có phần tử đối xứng, tức là: aX, a’X :
a’*a=a*a’=e.

13


Định nghĩa 2.5.
a) Nhóm (X, *) được gọi là nhóm giao hoán hay aben nếu phép toán * giao hoán.
b) Nếu nhóm X là tập hữu hạn có n phần tử thì X được gọi là nhóm có cấp n.
c) Nếu X là tập vơ hạn phần tử thì nhóm X được gọi là nhóm có cấp vô hạn.
Ví dụ 2.2.

1. Vị nhóm  ,   khơng có cấu trúc nhóm vì các số tự nhiên khác 0 đều khơng có

phần tử đối xứng.
2. Tập hợp các số ngun với phép toán cợng thơng thường là mợt nhóm, phần tử
trung hòa là 0; x  , phần tử đối của x là –x.
3. Tập hợp các số hữu tỉ khác 0 với phép nhân thơng thường là mợt nhóm, phần tử
1

đơn vị là 1; x   , phần tử nghịch đảo của x là .
x
4. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên
với phép toán hai ngôi
x  y  x  y  1, trong đó phép cộng trừ ở vế phải là phép cộng trừ thông thường các số
ngun, là mợt nhóm aben.
Giải.
Thật vậy, với x, y, z 

tùy ý, ta có:

 x  y   z   x  y  1  z  x  y  1  z  1  x  y  z  2
x   y  z   x   y  z  1  x  y  z  1  1  x  y  z  2
Suy ra  x  y   z  x   y  z  . Do đó, phép toán * có tính kết hợp trên

.

Giả sử e là phần tử trung hòa của phép toán *.
Khi đó, với mọi x  , ta có:
xe  e x  x

 x  e 1  e  x 1  x
 e 1
Thử lại, ta có x 1  1 x  x, x  , do đó 1 là phần tử trung hịa của phép toán *.
Với mọi x  , phần tử nghịch đảo của x là 2 – x vì

x  (2  x)  x  2  x  1  1 và (2  x)  x  2  x  x  1  1 .
Với mọi x, y  , ta có:

x  y  x  y 1  y  x 1  y  x .

Do đó, phép toán * giao hoán.
Vậy



, là mợt nhóm aben.

Định lí 2.1. Trong nhóm X, với phép toán  , ta có:

14


i)

Phần tử trung hòa là duy nhất.

ii) Phần tử đối xứng của x  X là duy nhất và  x 1   x.
1

iii) Phương trình ax=b (xa=b), a, bX, có nghiệm duy nhất x  a 1b ( x  ba 1 ).
iv) Với mọi x, y  X , ta có  xy   y 1 x 1.
1

v) Với mọi x, y, z  X , ta có
• xy  xz kéo theo y = z (luật giản ước bên trái)
• yx = zx kéo theo y = z( luật giản ước bên phải)
Chứng minh.
i) Giả sử e và e’ là hai phần tử trung hòa của phép toán  .
Khi đó, ta có e là phần tử trung hòa nên e  e '  e '. Mặt khác, e’ cũng là phần tử trung hịa
nên e  e '  e. Do đó, suy ra e = e’. Vậy phần tử trung hòa là duy nhất.

ii) Giả sử x1 , x2 là hai phần tử đối xứng của x  X . Khi đó, ta có:

x1 x  e và xx2  e với e là phần tử trung hòa của phép toán  .
Do đó, x1  x1e  x1 ( xx2 )  ( x1 x) x2  ex2  x2 . Vậy phần tử đối xứng của x  X là duy
nhất.
Mặt khác, ta có x1x  xx1  e . Vậy  x 1   x.
1



 



iii) Ta có a a 1b  aa 1 b  b, do đó x  a 1b là mợt nghiệm của phương trình
ax=b. Giả sử t là nghiệm nào đó của ax=b. Khi đó, ta có at=b.





Suy ra a 1b  a 1 (at )  a 1a t  t . Vậy phương trình ax=b, a, bX, có nghiệm duy
nhất x  a1b.
Chứng minh tương tự cho phương trình xa=b.
iv) Với mọi x, y  X , ta có

 xy   y 1x1   x  yy 1  x1  xex1  xx1  e









và y 1x1  xy   y 1 x1x y  y 1ey  yy 1  e .
Theo định nghĩa phần tử đối xứng ta suy ra  xy   y 1 x 1.
1

v) Với mọi x, y, z  X , ta có xy  xz .









Suy ra x 1  xy   x 1  xz  hay x 1 x y  x 1x z . Do đó, y = z.
Làm tương tự ta được điều cần chứng minh.■
2.3. Nhóm con
15


Định nghĩa 2.6. Cho (X, *) là nhóm. Mợt tập con A của X được gọi là ổn định đối với
phép toán * khi và chỉ khi với x, yA, x*yA.
Ví dụ 2.3.
Tập

1.



,   là mợt nhóm và

toán cợng trên
2.

là tập con của

, ta có

ổn định đối với phép

.

S  {1; 1} là tập con của nhóm



,   và S không ổn định với phép cộng trên

vì 1  1  0  S.
Định nghĩa 2.7. Một tập con A ổn định đối với phép toán * của nhóm (X,*) được gọi là
nhóm con của X nếu (A, *) là mợt nhóm, kí hiệu A  X .
Ví dụ 2.4.
1.



ổn định đối với phép toán cợng trên

2.
nhóm
3.

,    ,    ,  .



,   vì



nhưng



,   khơng phải nhóm con của

,   khơng phải nhóm.

S  {1; 1}  

*

,. .

Định lí 2. Nếu A là nhóm con của nhóm (X, *) và e là phần tử trung hòa của X thì e  A
và e cũng là phần tử trung hịa của nhóm A.
Chứng minh.
Ta có A là nhóm con của nhóm X. Giả sử e’ là phần tử trung hịa của A.
Khi đó, với mọi a  A ta có ae '  e ' a  a. Mặt khác, e là phần tử trung hòa của X nên ta
cũng có ae  ea  a. Từ đó suy ra ae '  ae hay e = e’.■
Định lí 3. Cho A là một tập con khác rỗng của nhóm (X, .). Các điều kiện sau tương
đương:
i) (A, .) là mợt nhóm con của (X, .).
ii) a, b  A, ab  A, a 1  A.
iii) a, b  A, ab 1  A.
Chứng minh.
i) ii) Ta có A là nhóm con của nhóm X nên A là nhóm, do đó ta có ii).
i) iii) Với mọi a, b  A, theo ii) ta có b1  A . Mặt khác, cũng theo ii) ta suy ra

ab1  A.
iii)  i) Gọi e là phần tử trung hòa của nhóm X. Vì A≠ϕ nên tờn tại a  A . Do đó, ta có
e  a a 1  A . Mặt khác, với mọi a  A và e  A thì theo iii) ta có ea 1  A . Mà
1

1

1

a  ea 1 , do đó a  A thỏa aa  a 1a  e. Từ đây ta suy ra với mọi a, b  A thì

b1  A , do đó theo iii) thì ab  A. Tức A là ổn định với phép nhân trong X. Hơn nữa, A là
16

tập con của X và phép nhân trong X có tính kết hợp nên phép nhân cảm sinh trên A cũng
có tính kết hợp. Vậy A là nhóm với phép nhân trên X, do đó A là nhóm con của X.■
Ví dụ 2.5. Chứng minh rằng 5  {5k | k  } là mợt nhóm con của nhóm ( , ) .
Giải.
Theo định lí trên ta sẽ chứng minh 5 
Dễ thấy 5 

, 5   và a, b  5 , a  b  5 .

. Mặt khác 0  5.0  5 , do đó 5  . Hơn nữa, với mọi a, b  5 , ta

có a  5m, b  5n với m, n  5 . Khi đó, a  b  5m  5n  5(m  n)  5 vì m  n  .
Vậy 5

là nhóm con của nhóm ( , ) .

2.4.Đờng cấu nhóm
2.4.1.Định nghĩa và ví dụ.
Định nghĩa 2.8. Cho hai nhóm ( X , ),(Y , ). Một ánh xạ f : X  Y được gọi là một
đồng cấu nhóm nếu và chỉ nếu f ( x  y )  f ( x) f ( y ), với mọi x, y  X .
Nếu X =Y thì đồng cấu f : X  X được gọi là tự đồng cấu trên X.
Nếu f vừa là đồng cấu vừa là đơn ánh thì f được gọi là đơn cấu.
Nếu f vừa là đồng cấu vừa là toàn ánh thì f được gọi là toàn cấu.
Nếu f vừa là đồng cấu vừa là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu.
Ví dụ 2.6.
1. Cho (X, .), (Y, .) là hai nhóm nhân và eY là phần tử trung hòa của Y. Ánh xạ
f : X Y ,

x

eY

là một đồng cấu vì x, y  X , f ( xy )  eY  eY eY  f ( x) f ( y ) và gọi là đồng cấu tầm
thường.
2. Cho  A,.  ( X ,.) . Ánh xạ

j:A X ,
a a
là một đơn cấu vì a, b  A, j (ab)  ab  j (a) j (b) và j là một đơn ánh. Ta gọi j là đơn cấu
chính tắc.
3. Cho nhóm nhân (X, .). Ánh xạ

id X : X  X ,
x

x

là một tự đẳng cấu vì x, y  X , id X ( xy )  xy  id X ( x)id X ( y ) và idX là một song ánh. Ta
gọi idX là tự đẳng cấu đồng nhất.
17


4. Chứng minh rằng tương ứng

f:

 ,
x 7x

là một đơn cấu từ nhóm



,   vào chính nó.

Giải.
Với mọi x  , suy ra tồn tại y  7 x  .
Với mọi x1 , x2  , ta có

x1  x2
 7 x1  7 x2
 f ( x1 )  f ( x2 )
Do đó f là mợt đơn ánh.
Mặt khác, với mọi x, y  , ta có f ( x  y)  7( x  y)  7 x  7 y  f ( x)  f ( y).
Vậy f là một đơn cấu.
2.4.2.Các tính chất của đồng cấu nhóm.
Định lí 2.4. Tích của hai đờng cấu nhóm là mợt đờng cấu nhóm.
Chứng minh.
Giả sử f : X  Y và g : Y  Z là các đờng cấu nhóm nhân. Khi đó, với mọi
x1 , x2  X , ta có

gf ( x1 x2 )  g  f ( x1 x2 )   g  f ( x1 ) f ( x2 )   g  f ( x1 )  g  f ( x2 )   gf ( x1 ) gf ( x2 ) .
Suy ra gf là mợt đờng cấu nhóm.■
Định lí 2.5. Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ nhóm nhân X vào nhóm nhân Y,
eX , eY lần lượt là các phần tử đơn vị của X và Y . Khi đó:

i) f (eX )  eY .
ii) f ( x 1 )  [ f ( x)]1 , x  X .
Chứng minh.
i)

Ta có eY f (eX )  f (eX )  f (eX .eX )  f (eX ) f (eX ).

Do đó, eY f (eX )  f (eX ) f (eX ).
Theo luật giản ước ta suy ra f (eX )  eY .
ii) Với mọi x  X , ta có:
f ( x 1 ) f ( x)  f ( x 1 x)  f (eX )  eY

Và f ( x) f ( x 1 )  f ( xx 1 )  f (eX )  eY
Từ định nghĩa phần tử nghịch đảo ta suy ra [ f ( x)]1  f ( x 1 ). ■
18


Định lí 2.6. Cho f : X  Y là mợt đờng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là nhóm con
của X và B là nhóm con của Y. Khi đó, ta có:
i)
f(A) là nhóm con của Y.
ii) f -1(B) là nhóm con của X.
Chứng minh.
i)

Ta có f ( A)   f (a) | a  A . Vì A là nhóm con của X nên eX  A , do đó

eY  f (eX )  f ( A). Vậy f ( A)  .
Lấy tùy ý b1 , b2  f ( A). Suy ra tồn tại a1 , a2  A sao cho b1  f  a1  , b2  f  a2  . Khi
đó, ta có b1b2 1  f  a1  f  a2   f  a1  f  a21   f  a1a21  . Vì A là nhóm con của X nên
1

a1a21  A , do đó b1b2 1  f  a1a21   f  A . Vậy f(A) là nhóm con của Y.
ii) Ta có f 1 ( B)   x  X | f ( x)  B. Vì B là nhóm con của Y nên eY  B, do đó

f  eX   eY  B , suy ra eX  f 1 ( B ) . Vậy f 1 ( B)  .
Lấy tùy ý x1 , x2  f 1 ( B) . Khi đó, ta có f  x1  , f  x2   B . Mà B là nhóm con của Y nên

f  x1   f  x2    B. Mặt khác, ta có f  x1 x21   f  x1  f  x21   f  x1   f  x2   . Suy ra
1

1

f  x1 x21   B, do đó x1 x21  f 1  B  .
Vậy f 1 ( B) là nhóm con của Y. ■
2.4.3.Ảnh và hạt nhân của đồng cấu nhóm.
Định nghĩa 2.9. Cho f : X  Y là mợt đờng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Ta định nghĩa:
i)

Ảnh

của

đồng

cấu

Imf  f ( X )   f ( x) | x  X .
ii)

f,

kí

hiệu

là

Imf ,

là

tập

được

xác

định

Hạt nhân của đồng cấu f, kí hiệu K er f , là tập được xác định bởi

K er f  f 1  eY   x  X | f ( x)  eY  .
Định lí 2.7. Cho f : X  Y là mợt đờng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Khi đó:
i)
f là mợt toàn cấu khi và chỉ khi Imf = Y.
ii) f là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {eX}.
Chứng minh.
i) Theo định nghĩa của toàn ánh, ta có f là toàn ánh khi và chỉ khi f(X) =Y. Do đó,
chứng minh được i).
ii) Giả sử f là một đơn cấu. Ta chứng minh Kerf = {eX}.

19

Thật vậy, với mọi x  K er f , ta có f ( x)  eY  f (eX ) . Vì f là đơn ánh nên suy ra

x  eX , do đó K er f  {eX }. Mặt khác, ta có f (eX )  eY nên eX  K er f , tức là
{eX }  K er f . Vậy Kerf = {eX}.
Ngược lại, giả sử Kerf = {eX}. Ta chứng minh f là đơn ánh.
Thật vậy, với mọi x1 , x2  K er f sao cho f ( x1 )  f ( x2 ) . Ta suy ra f ( x1 )  f ( x2 )   eY .
1

Mà f là đờng cấu nhóm nên ta có f ( x1 )  f ( x2 )   f ( x1 ) f ( x21 )  f ( x1 x21 ) . Do đó
1

f ( x1 x21 )  eY . Điều này nghĩa là x1 x21  K er f  {eX } , tức là x1 x21  eX hay x1  x2 . Suy
ra f là đơn ánh. Vậy f là một đơn cấu. ■
Ví dụ 2.7. Cho ánh xạ f :

 ,x

2 x từ nhóm



,   vào chính nó.

a)

Chứng minh rằng f là mợt tự đờng cấu nhóm trên

b)
c)

Tìm Imf, Kerf .
f có phải đơn cấu nhóm, toàn cấu nhóm khơng?



,  .

Giải.
a) Với mọi x1 , x2  , ta có f ( x1  x2 )  2( x1  x2 )  2 x1  2 x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . Do đó, f là
mợt tự đờng cấu nhóm trên
b) Ta có





,  .

,   là nhóm với phần tử trung hịa là 0. Theo định nghĩa, ta có:

Imf   f ( x) | x 
K er f   x 

  2 x | x    2
| f ( x)  0   x  | 2 x  0  0

c) Vì Imf 

nên f không phải toàn cấu.

Và K er f  {0} nên f là đơn cấu.
§3. VÀNH VÀ TRƯỜNG
3.1.Vành
3.1.1.Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 3.1. Vành là một tập hợp X được trang bị hai phép toán cộng và nhân
thỏa các điều kiện sau:
i) (X, +) là mợt nhóm aben.
ii) (X, .) là mợt nửa nhóm.
iii)
Phép nhân phân phối với phép cợng, tức là: với mọi x, y, z  X ta có
x( y  z )  xy  xz; ( y  z ) x  yz  zx.
Định nghĩa 3.2.

20


lập.

i) Vành (X, +, .) được gọi là vành giao hốn nếu phép nhân có tính giao hoán.
ii) Vành (X, +, .) được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân trong X có phần tử trung

Ví dụ 3.1.
1. , ,
2.



với phép cộng và nhân thông thường là các vành giao hoán, có đơn vị.

, ,. với phép cợng và nhân thơng thường khơng phải vành vì

phải nhóm.
3. Trên tập các số nguyên



,   không

cho hai phép toán cộng và nhân như sau:

a  b  a  b  1; a  b  a  b  ab

với phép cộng và nhân ở vế phải là phép cộng và nhân thông thường các số nguyên.
Chứng minh rằng với hai phép toán ở trên là một vành giao hoán, có đơn vị.
Giải.
 Ta chứng minh ( ,  ) là mợt nhóm aben.
Thật vậy, với x, y, z 

tùy ý, ta có:

x  y  x  y 1  y  x 1  y  x

Suy ra phép tính  có tính chất giao hoán.
( x  y)  z  ( x  y  1)  z  1  x  ( y  z  1)  1  x  ( y  z )

Do đó phép tính  có tính chất kết hợp.
Giả sử e là phần tử trung hịa của phép toán 
Khi đó x  ta có x  e  e  x  x  e  1  e  x  1  x  e  1
Thử lại, ta có x  (1)  x  (1)  1  (1)  x  1  (1)  x  x , do đó  1 là phần tử trung

hịa của phép toán 
x  , phần tử đối của x là  x  2 vì
x  ( x  2)  x  ( x  2)  1  ( x  2)  x  1  ( x  2)  x  1

Vậy ( ,  ) là mợt nhóm aben.
 Ta chứng minh ( ,) là mợt vị nhóm giao hoán.
Thật vậy, với x, y, z 

tùy ý, ta có:

x  y  x  y  xy  y  x  yx  y  x

Suy ra phép tính  có tính chất giao hoán.
( x  y)  z  ( x  y  xy )  z  ( x  y  xy ) z  x  ( y  z  yz )  x( y  z  yz )  x  ( y  z )

Suy ra phép tính  có tính chất kết hợp.
x 

, phần tử đơn vị là 0 vì x  0  x  0  x.0  0  x  0.x  0  x  x

Do đó ( ,) là mợt vị nhóm giao hoán.
 Ta chứng minh phép tính  có tính chất phân phối với phép tính  .
21


Thật vậy, với x, y, z 

tùy ý, ta có:

x  ( y  z )  x  ( y  z  1)  x( y  z  1)  ( x  y  xy )  ( x  z  xz )  1  ( x  y)  ( x  z )

Do đó phép tính  có tính chất phân phối với phép tính 
Kết luận: với hai phép toán ở trên là mợt vành giao hoán, có đơn vị.
Nhận xét.
• Phần tử trung hòa của phép nhân thì kí hiệu là e hoặc 1 và được gọi là phần tử đơn
vị của vành X.
• Vành (X, +, .) cũng là mợt nhóm cợng aben nên nó có tất cả các tính chất của nhóm
cợng aben, tức là:
•• Phần tử trung hịa của phép cợng là duy nhất, kí hiệu là 0 và được gọi là phần tử
khơng của X.
•• Phần tử đối xứng, đối với phép cộng của x là duy nhất, kí hiệu là –x và được gọi là
phần tử đối của x.
Định lí 3.1. Cho X là vành. Khi đó, với mọi x, y, z  X ta có:

i) 0.x  x.0  0
ii) ( x) y  x( y )   xy;( x)( y )  xy
iii) x( y  z )  xy  xz; ( y  z ) x  yx  zx
Chứng minh.
i) Ta có 0 + 0 = 0.
Do đó, x  X ta suy ra (0  0) x  0 x .
Luật phân phối trên vành cho ta 0 x  0 x  0 x
Luật giản ước đối với phép cộng suy ra 0 x  0 .
Chứng minh tương tự ta cũng được x0  0.
ii) Với mọi x, y, z  X , ta có

( x) y  xy  ( x  x) y  0 y  0 .
Do đó, ta suy ra ( x) y   xy. Chứng minh tương tự, ta có x( y )   xy.
Mặt khác, ta có

( x)( y)  ( xy)  ( x)( y)  ( x) y  ( x)( y  y)  ( x)0  0

Do đó ( x)( y)  xy.
iii)

Với mọi x, y, z  X , ta có

x( y  z )  x ( y  ( z ))  xy  x( z )  xy  xz.
Tương tự, ta cũng chứng minh được ( y  z) x  yx  zx. ■

22


3.1.2. Ước của không - Miền nguyên.
Định nghĩa 3.3. Cho X là một vành giao hoán, phần tử 0  a  X được gọi là ước của
0 nếu tồn tại b  X và b  0 sao cho ab = 0.
Ví dụ 3.2. Vành

4

 {0, 1, 2, 3} với phép cộng và phép nhân cho trong bảng sau :

+

0

1

2

3



0

1

2

3

0

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

1

2

3

0

1

0

1

2

3

2

2

3

0

1

2

0

2

0

2

3

3

0

1

2

3

0

3

2

1

Trong vành

ta có 2  0 nhưng 2.2  0 , do đó 2 là ước của 0.

4

Định nghĩa 3.4. Miền ngun là mợt vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn mợt
phần tử và khơng có ước của 0.
Ví dụ 3.3.
1. Vành các số nguyên
2. Vành

4

là một miền ngun.

ở ví dụ trên khơng phải miền ngun vì nó có ước của khơng.

Định lí 3.2. Vành giao hoán X có nhiều hơn mợt phần tử, có đơn vị là mợt miền
ngun khi và chỉ khi trong X có luật giản ước, tức là a, b, c  X , nếu a  0 và ab  ac
thì b=c.
Chứng minh.
Chiều thuận. Giả sử X là miền nguyên và a, b, c  X , a  0 sao cho ab  ac . Khi đó,
cợng hai vế đẳng thức với – ac và luật phân phối ta suy ra a(b  c)  0 . Vì X khơng có
ước của 0 và a  0 nên b – c = 0 hay b = c.
Chiều ngược lại. Giả sử X có luật giản ước và với mọi a, b  X , sao cho ab  0.
Suy ra ab = a0. Do đó, a =0 hoặc a  0 . Nếu a  0 thì theo luật giản ước ta suy ra b = 0.
Vậy X có ước của 0 hay X là miền nguyên.■
3.1.3. Vành con.
Định nghĩa 3.5. Cho X là vành. Tập con A của X ổn định đối với hai phép toán trong

X, tức là x  y  A và xy  A với mọi x, y  A, được gọi là vành con của X nếu A cùng
với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành.
Ví dụ 3.4.
1.
là một vành con của vành số hữu tỉ ( , ,.) với phép cộng và nhân thông
thường, vì



ổn định với hai phép toán cộng và nhân và



, ,. là một vành.

2. {0} và X là hai vành con tầm thường của vành X.
23


Định lí 3.3. Giả sử A là tập con khác rỗng của mợt vành X. Khi đó, A là vành con của
X khi và chỉ khi với mọi x, y  A, ta có x  y  A và xy  A .
Chứng minh.
Chiều thuận. Giả sử A là vành con của vành X. Khi đó, theo định nghĩa vành con
với mọi x, y  A, ta có xy  A và x  y  A . Mặt khác, A là vành con thì A cũng là vành,
do đó A là nhóm với phép cợng, ta suy ra với mọi x  A thì  x  A. Từ đây, ta suy ra với
mọi x, y  A thì  y  A, do đó x  y  A.
Ngược lại. Giả sử với mọi x, y  A, ta có x  y  A và xy  A .
Vì A   nên tồn tại a  A . Khi đó, ta có 0  a  a  A .
Mặt khác, với mọi x  A ta có  x  0  x  A .
Khi đó, với mọi x, y  A thì  y  A , do đó x  y  A . Suy ra A là nhóm con của X. Hơn

nữa, X là nhóm cợng aben nên A là nhóm con aben của X.
Đặc biệt, A là tập con ổn định của X nên các phép toán cảm sinh trên A cũng có tính kết
hợp và phân phối. Vậy A là một vành con của X. ■
Ví dụ 3.5. Chứng minh rằng tập 2  {2n | n  } là vành con của vành các số
nguyên .
Giải.
Ta có 2 

và 0  2 , do đó 2  .
Với mọi x, y  2 , tồn tại n1 , n2  2

x  y  2n1  2n2  2  n1  n2   2
Vậy 2

là một vành con của

sao cho x  2n1 , y  2n2 . Khi đó, ta có

và xy  2n1.2n2  2  2n1n2   2 .

.

3.1.4. Đồng cấu vành.
Định nghĩa 3.6. Một ánh xạ f : X  Y từ vành X đến vành Y được gọi là đồng cấu
vành nếu với mọi a, b  X , f (a  b)  f (a)  f (b) , f (a.b)  f (a). f (b) .
Nếu X =Y thì đồng cấu f được gọi là một tự đồng cấu của X.
Nếu đồng cấu f đồng thời là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì f được gọi là đơn cấu
(toàn cấu, đẳng cấu).
Ví dụ 3.6.
1. Ánh xạ

id X : X  X
x

x

là tự đẳng cấu đồng nhất.
2. Cho A là vành con của vành X. Ta có đơn cấu chính tắc:
24