Đề Thi Thử Đại Học Khối A Toán 2013 Trường Bà Đình - Lần 1 docx

S GD&T THANH HểA
TRNG THPT BA èNH
THI TH I HC LN 1 NM 2013
Mụn: TON; Khi A, B
Thi gian lm bi: 180 phỳt
Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 im)
Câu I (2,0 im) Cho hm s
2 1
1
x
y
x
+
=

cú

th

l (C)
1.

Kh

o sỏt s

bi

n thiờn v v

th

(C) c

a hm s

.
2.

Tỡm cỏc giỏ tr


m




ng th

ng
3y x m= +
ct (C) ti A v B sao cho trng tõm ca tam giỏc
OAB thuc ng thng
2 2 0x y =
(O l gc ta ).
Cõu II (2,0 điểm)
1. Gii bt phửụng trỡnh
3 2
(3 4 4) 1 0x x x x+ +

2. Gi
i
phửụng trỡnh
cos cos3 1 2 sin 2
4
x x x


+ = + +



Câu III (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn
2
2
0
1 3sin 2 2cos
x
xdx

+

Câu IV (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht,
, 2 2
AB
a AD a= =
.
Hỡnh chiu vuụng gúc ca im S trờn mt phng (ABCD) trựng vi trng tõm tam giỏc BCD.
ng thng SA to vi mt phng (ABCD) mt gúc 45
0

. Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD v
khong cỏch gia hai ng thng AC v SD theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z l cỏc s thc dng. Chng minh bt ng thc
222
2 2 2
2 2 2
1
( )( )( )
x xy y yz z zx
y zx z z xy x x yz y
+ + +
+ +
++ ++ ++

PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
A. Theo chng trỡnh chun
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mt phng Oxy, cho hai ng thng d
1
:
3 5 0x y+ + =
, d
2
:
3 1 0x y+ + =
v im
(1; 2)I
.
Vit phng trỡnh ng thng i qua I v ct d
1

, d
2
ln lt ti A v B sao cho
2 2AB =
.
2. Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) v mt phng (P) cú phng trỡnh
3 2 0x y z+ + =
. Vit phng trỡnh mt phng (Q) l mt phng trung trc ca on AB. Gi
l giao tuyn ca (P) v (Q). Tỡm im M thuc sao cho on thng OM nh nht.
Cõu VII.a (1,0 im) Tỡm s phc z tha món (1 3 )
i z
l s thc v 2 5 1
z
i + =
.
B. Theo chơng trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mt phng Oxy, cho hai ng thng d
1
: 3 5 0
x y+ + =
, d
2
: 3 5 0
x y + =
v im (1; 2)
I
.
Gi A l giao im ca d
1

v d
2
. Vit phng trỡnh ng thng i qua I v ct d
1
, d
2
ln lt ti B
v C sao cho
2 2
1 1
AB AC
+ t giỏ tr nh nht.
2. Trong khụng gian Oxyz, cho
A(1;1;0), B(0;1;1) vaứ C(2;2;1)
v mt phng (P): x + 3y z + 2 = 0
.
Tỡm ta im
M
thuc mt phng (P) sao cho
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
t giỏ tr nh nht.
Cõu VII.b (1,0 im) Gii h phng trỡnh
( )()
( ) ( )
2

1 2
1 2
2log 2 2 log 1 6
log 5 log 4 1
x y
x y
xy y x x
y x
+
+

+ + + =


+ + =


Hết
www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online
Vuihoc24h.vn
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu Ý Nội dung Điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=

−

1,00
TX
Đ
:
{ }
\ 1ℝ
.
2
3
' 0, 1
( 1)
y x
x
−
= < ∀ ≠
−

0,25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( ;1)và(1; )−∞ +∞

1 1
21 21
lim ; lim
1 1
x x
x x
x x

+ −
→ →
+ +
=+∞ =−∞
⇒
− −
TCĐ :
1
x
=

2 1
lim 2
1
x
x
x
→±∞
+
=
⇒
−
TCN :
2y =

0,25
Lập BBT
x
−∞
1

+∞
y’ - -
y
2
−∞
+∞

2
0,25
1
Đồ thị
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-4
-2 2
4
6
1
0,25
trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng
2 2 0x y− − =
(d)
1,00
Pt hoành độ giao điểm:

2 1
3
1
x
x m
x
+
= − +
−
. Với đk
1
x
≠

2
PT 2 1( 1)(3 ) 3 (1 ) 10(1)x x xm x mxm⇔ += − − + ⇔ − + + +=

0,25
D cắt (C) tại A và B ⇔ Pt (1) có 2 nghiệm khác 1
2
11
(1 ) 12( 1) 0
( 1)( 11) 0
1
3 (1 ) 1 0
m
m m
m m
m
m m

>

∆ = + − + >

⇔ ⇔ + − > ⇔


< −
− + + + ≠


0,25
I
2
G
ọ
i x
1
, x
2
là 2 nghi
ệ
m c
ủ
a (1). Khi
đ
ó
1 1 2 2
( ; 3 ), ( ; 3 )A x x m B x x m− + − +
G

ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB
1 2
1 1
, 3
2 6 2
I I I
x x m m
x y x m
+ + −
⇒ = = = − + =

0,25
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
Gọi G là trọng tâm tam giác OAB
2 1 1
;
3 9 3
m m
OG OI G
+ −
 
⇒ = ⇒

 
 
 
1 1 11
2. 2 0
9 3 5
m m
G d m
+ −
 
∈ ⇔ − − = ⇔ = −
 
 
(TM). V
ậ
y
11
5
m = −

0,25
Giả
i b
ấ
t
phöông trình

3 2
(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + ≤

1,00
Đ
i
ề
u ki
ệ
n :
1x ≥ −
.
Đặ
t
2
0
1
1
y
y x
y x
≥

= + ⇔

= +

Bpt tr
ở
thành
3 2 2
(3 4 ) 0
x x y y+ − ≤

0,25
TH 1.
0 1y x
= ⇔ = −
. Th
ỏ
a mãn BPT
TH 2.
0 1y x
> ⇔ > −
. Chia hai vế cho
3
y
ta được
3 2
3 4 0
x x
y y
   
+ − ≤
   
   
.
Đặ
t
x
t
y
=

và gi
ả
i BPT ta
đượ
c
1t ≤

0,25
2
1 0
0
1 1 1
1 0
x
x
x
t x x
y
x x
− ≤ <


≥
≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ + ⇔




− − ≤



0,25
1
1 0
0
1 5
1
2
15 15
2 2
x
x
x
x
− ≤ <


≥
+


⇔ − ≤ ≤



− +

≤ ≤




. Kết hợp
1x > −
ta được
1 5
1
2
x
+
− < ≤
. Vậy tập nghiệm của BPT là S =
1 5
1;
2
 
+
−
 
 
0,25
Giải phöông trình
cos cos3 1 2 sin 2
4
x x x
π
 
+ = + +
 
 

1,00
⇔ = + +2cos2xcosx 1 sin2x cos2x

0,25
⇔ − = +cos2x(2cosx 1) 1 2sinx cosx

⇔ − − = +
2 2 2
(cos x sin x)(2cosx 1) (cosx sin x)


+ =
⇔

− − = +

cosx sinx 0 (1)
(cosx sinx)(2cosx 1) cosx sinx (2)

0,25
 
π π π
⇔ + = ⇔ + = π ⇔ = − + π
 
 
(1) 2 sin x 0 x k x k
4 4 4

0,25
II

2

π

=
= + π


⇔ − − = ⇔ ⇔

 
π

+ =
π π
 

+ = ± + π
 



cosx 0
x k
2
(2) 2cosx(cosx sinx 1) 0
2 cos x 1
x k2
4
4 4

Vậy pt có nghiệm là
π
= − + π
x k
4
,
π
= + π
x k
2
,
= π
x k2

0,25
III
Tính tích phân I =
2
2
0
1 3sin 2 2cos
x xdx
π
− +
∫
1,00
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
2 2 2
2 2

0 0 0
1 3sin 2 2cos (sin 3 cos ) sin 3cos
I x xdx x x dx x x dx
π π π
= − + = − = −
∫ ∫ ∫

0,25
sin 3cos 0 tan 3
3
x x x x k
π
π
− = ⇔ = ⇔ = +

Do
0;
2
x
π
 
∈
 
 
nên
3
x
π
=

0,25
3 2
0
3
sin 3cos sin 3cos
Ixxdxxxdx
π π
π
= − + −
∫ ∫

3 2
0
3
(sin 3cos ) (sin 3 cos )
x x dx x x dx
π π
π
= − + −
∫ ∫
( ) ( )
3 2
0
3
cos 3sin cos 3sin
xx xx
π π
π
=−− +−−
0,25

1 3 1 3
1 3 3 3
2 2 2 2
= − − + + − + + = −

0,25
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC và SD theo a.

1,00
Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Theo GT
( )SH ABCD⊥

Gọi
2 1
2
3 3
O AC BD CH CO AC a AH AC HC a= ∩
⇒
= = =
⇒
= − =

SA tạo với đáy góc 45
0
suy ra
0
45 2SAH SH AH a= ⇒ = =

0,25

Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD thì
3
1 1 4 2
. .2 2 .2
3 3 3
ABCD
V S SH a a a a= = =

0,25
Gọi M là trung điểm của SB. Mặt phẳng (ACM) chứa AC và // SD
Do đó
(; ) (;( )) (;( ))d SD AC d SD ACM d D ACM= =

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó
2 4 2
(0;0;0), ( ;0;0), (0;2 2 ;0), ; ;2 , ( ;2 2 ;0)
3 3
a a
A B a D a S a C a a
 
 
 
 
0,25
IV
5 2 2
; ;
6 3
a a
M a

 
 
 
 
.
( ;2 2 ;0)AC a a=

5 2 2
; ;
6 3
a a
AM a
 
=
⇒
 
 
 

2 2 2
(2 2 ; ; 2 )AC AM a a a∧ = − −
 
M
ặ
t ph
ẳ
ng (ACM)
đ
i qua
đ

i
ể
m
A và có vtpt
(2 2; 1; 2)n = − −

nên có
ph
ươ
ng trình là
0,25
M
H
O
B
D
C
A
S
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
2 2
2 2
2 2 2 0 ( ;( ))
8 1 2 11
a
a
x y z d D ACM
−
− − = ⇒ = =

+ +

Chứng minh
222
2 2 2
2 2 2
1
( )( )( )
x xy y yz z zx
y zx z z xy x x yz y
+ + +
+ + ≥
++ ++ ++
(1)

1,00
Ta có
2 2
( ) ( . . . ) ( )( )y zx z y y x z z z y x z y z z+ + = + + ≤ + + + +
2 2
2 2
1122
()(2) ()(2)
() ()
x xy x xy
xyzy z xyzy z
yzxz yzxz
+ +
⇒ ≥ ⇔ ≥
++ + ++ +

++ ++
0,25
2 2
12 1222
()2 () 2
x xy x xy xz
x x x
xyz yz xyz yz
   
+ + +
= + − = −
   
++ + ++ +
   
2
2
x x
y z x y z
= −
+ + +
. Tương tự, cộng lại ta được
VT (1)
2 2 2
1
2 2 2
xyz
y z z x x y
≥ + + −
+ + +

0,25
2 2 2 2
2( )
2 1 1
2 2 2 3( )
x y z x y z
xy xz yz yx zx zy xy yz zx
 
+ +
= + + − ≥ −
 
+ + + + +
 
0,25
V
Ch
ứ
ng minh
đượ
c
2
( ) 3( )
x y z xy yz zx
+ + ≥ + +
. Suy ra VT (1)
2 1 1≥ − =

Đẳ
ng th
ứ

c x
ả
y ra
x y z
= =

0,25
Vi
ế
t pt
đ
t
đ
i qua I và c
ắ
t d
1
, d
2
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A và B sao cho
2 2AB =
1,00
1 2
(;3 5); (;3 1)A d A a a B d B b b∈ ⇒ − − ∈ ⇒ − −

( 1; 3 3) 0; ( 1; 3 1)IA a a IB b b
= −− − ≠ = −− +
  
I, A, B th
ẳ
ng hàng
1 ( 1)
3 1 ( 3 3)
b k a
IB kIA
b k a
− = −

⇒ = ⇔

−+=−−

 
0,25
N
ế
u
1 1 4a b AB= ⇒ = ⇒ =
(không TM)
N
ế
u
1
3 1 ( 3 3) 3 2

1
b
b a a b
a
−
⇒
− + = − − ⇔ = −
−
0,25
[ ]
2
2 2 2
()3()422 (34)8,AB ba ab t t tba= − + − + = ⇔ + + = = −

2
2
5 12 4 0
2
5
t
t t
t
= −


⇔ + + = ⇔

= −

0,25

1
2 2 2, 4 :5 3 0t b a b a x y= − ⇒ − = − ⇒ = = ⇒ ∆ + − =

2 2 6 8
, :13 11 0
5 5 5 5
t b a b a x y
− −
= ⇒ − = ⇒ = = ⇒ ∆ + − =

0,25
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c ∆ sao cho
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng OM nh
ỏ
nh
ấ
t
1,00
VI.a

2
G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB
3 3 3
; ; . ( 1; 1; 1)
2 2 2
I AB
− −
 
⇒ =−−−
 
 

Pt (Q) là
3
0
2
x y z+ + + =

0,25
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
Đường thẳng ∆ đi qua điểm

7 1
;0;
4 4
I
 
−
 
 
và có vtcp
(2;1;1)u = − −

Pt tham s
ố
c
ủ
a ∆ là
7
2
4
1
4
x t
y t
z t

= − +


= −




= −

0,25
2
7 1 25
2 ; ; . 12 15
4 4 4
M M t t t OM t t
 
∈∆
⇒
−+−− = −+
 
 
0,25
OM nh
ỏ
nh
ấ
t
5 19 5 3
; ;
8 6 8 8
t M
 
=
⇒
− −

 
 

0,25
Tìm s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
(1 3 )i z−
là s
ố thực và
2 5 1
z i
− + =
.

1,00
Giả sử
z x yi
= +
, khi đó (1 3) (1 3)( ) 3 ( 3 )
i z i a bi a b b a i− = − + = + + −

0,25
(1 3 )i z−
là số thực
3 0 3b a b a⇔ − = ⇔ =

0,25
2 2
2 5 1 2 (5 3) 1 ( 2) (5 3) 1z i a a i a a
−+ =⇔ −+ − =⇔ − + − =
0,25
VII.a
2 2
2 6
10 34 29 1 5 17 14 0
7 21
5 5
a b
a a a a
a b
= ⇒ =


⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

= ⇒ =

Vậy
7 21
2 6 ,
5 5
z i z i
= + = +

0,25

Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d
1
, d
2
lần lượt tại B và C sao
cho
2 2
1 1
AB AC
+ đạt giá trị nhỏ nhất

1,00
1 2 1 2
, ( 2;1)d d d d A A⊥ ∩ = ⇒ −

0,25
Gọi H là hình chiếu của A trên BC.
∆
ABC vuông tại A nên
2 2 2
1 1 1
AB AC AH
+ =

0,25
2 2
1 1
AB AC
+
nh

ỏ
nh
ấ
t
2
1
AH
⇔
nh
ỏ
nh
ấ
t
AH⇔
l
ớ
n nh
ấ
t
H I
⇔ ≡

0,25
1
Khi
đ
ó ∆ qua I và có vtpt
( 1; 1)n AI= = − −
 
.

Pt ∆ là 1 0
x y+ + =

0,25
Tìm
M
thu
ộ
c (P) sao cho
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t
1,00
G
ọ
i G là tr
ọ
ng tâm tam giác ABC.
Ch

ứ
ng minh
đượ
c MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2

0,25
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
nh
ỏ
nh
ấ
t

MG
nh
ỏ
nh
ấ
t
M
⇔
là hình chi
ế
u c
ủ
a G trên
(P).
0,25
VI.b
2
Tìm
đượ
c t
ọ
a
độ

4 2
1; ;
3 3
G
 
 

 
0,25
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
Tìm được
22 61 17
; ;
3 3 3
M
 
−
 
 

0,25
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

( )()
( ) ( )
2
1 2
1 2
2log 2 2 log 1 6(1)
log 5 log 4 1 (2)

x y
x y
xy y x x
y x
− +
− +

− + − + + − =


+ − + =


1,00
Đ
k Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

1 1 0 0 1
1 2 0 2 1
x x
y y
≠ − > ≠ <
 
⇔

 
≠ + > − < ≠ −
 
0,25
( ) ( )
1 2
(1) 2log (1 ) 2 2log 1 6
x y
x y x
− +
⇔ − + + − =
( ) ( )
1 2
2 2log 2 2log 1 6
x y
y x
− +
⇔ + + + − = .

0,25
Đặt
1
log ( 2)
x
t y
−
= + ta được
2
2
2 2 6 2 4 2 0 1t t t t

t
⇔ + + = ⇔ − + = ⇔ =

0,25
VII.b
2 1y x+ = −
Thế vào (2) ta được
( ) ( )
1 1 1
2 2
log 2 log 4 1 log 1 1
4 4
x x x
x x
x x x
x x
− − −
+ +
+ − + =⇔ =⇔ =−
+ +

2
2 6 (TM)
4 2 0
2 6 (KTM)
x
x x
x

= −

− − = ⇔

= +


Vậy
2 6, 1 6x y= − = − −

0,25
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn