Bài tập Xác Suất Thống Kê BUH

BUH – BMTKT – NNP

BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Dựa theo sách Xác suất & Thống kê. Tác giả: Lê Sĩ Đồng
GV: Nguyễn Ngọc Phụng

PHẦN 1 – XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1.1. Một khách hàng muốn mua một hộp sản phẩm, ông ta chọn ngẫu
nhiên lần lượt từng sản phẩm để kiểm tra, nếu phát hiện ra phế phẩm sẽ dừng
kiểm tra và không mua hộp sản phẩm. Người bán hàng chỉ cho phép kiểm tra
tối đa 3 sản phẩm trong hộp. Giả sử hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm,
tính xác suất khách hàng mua hộp sản phẩm.
Giải.
Gọi A là biến cố khách hàng mua hộp sản phẩm

P ( A) 

8 7 6
 0, 2545
12 1110

1.2. Một hộp có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ, 5 bi xanh và 2 bi vàng .Lấy
ngẫu nhiên ra 3 bi từ hộp. Tính xác suất trong 3 bi lấy ra:
a) có 1 bi đỏ
b) có bi đỏ
c) có tối đa 1 bi đỏ
Giải
a) Gọi A là biến cố trong 3 bi lấy ra có 1 bi đỏ

C31C52  C31C22  C31C21C51 C 2 C31C72

P( A) 
 3  0,525
C103
C10
C1

b) Gọi B là biến cố trong 3 bi lấy ra có bi đỏ
C1

P ( B) 

C31C72  C32C71  C33 C 2 C73
 1  3  0, 7083
C103
C10

c) Gọi C là biến cố trong 3 bi lấy ra có tối đa 1 bi đỏ
5


BUH – BMTKT – NNP

C73  C31C72 C 2 C32C71  C33
P (C ) 
 1
 0,8167
C103
C103
C1

1.3. Có 3 người đi vào một thang máy từ tầng trệt (G) và tịa nhà có tổng
cộng 10 tầng lầu (1-10). Giả sử tịa nhà khơng cho phép người đi thang máy
lên tầng 1-2 (trừ trường hợp vận chuyển hàng hóa), và mỗi người lựa chọn
một tầng (3-10) với khả năng như nhau. Tính xác suất
a) cả 3 người cùng lên một tầng.
Gọi A là biến cố 3 người cùng lên một tầng

P ( A) 

C81.1.1.1 1

8.8.8
64

b) mỗi người lên mỗi tầng khác nhau.
Gọi B là biến cố mỗi người lên mỗi tầng khác nhau

P ( B) 

C81.C71 .C61
 0,65625
8.8.8

c) có 2 người lên cùng một tầng.
Gọi C là biến cố có 2 người lên cùng một tầng

P(C ) 

C81.C32 .C71
 0,328125

8.8.8

d) có 1 người lên từ tầng 8 trở lên.
Gọi D là biến cố có 1 người lên từ tầng 8 trở lên

P( D) 

C31.C31.C51.C51
 0, 4395
8.8.8

1.4. Hộp 1 có 3 bi xanh, 7 bi đỏ, 5 bi vàng;
hộp 2 có 4 bi xanh, 5 bi đỏ, 6 bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 bi. Tính xác suất
a) hai bi lấy ra đều đỏ.
Gọi A là biến cố hai bi lấy ra đều đỏ

P ( A) 
6

7 5
.  0,1556
15 15


BUH – BMTKT – NNP

b) hai bi lấy ra cùng màu.
Gọi B là biến cố hai bi lấy ra cùng màu

P ( B) 

3.4  7.5  5.6
 0,3422
15.15

c) hai bi lấy ra có 1 bi vàng.
Gọi C là biến cố hai bi lấy ra có 1 bi vàng

P (C ) 

5.9  10.6
 0, 4667
15.15

d) hai bi lấy ra có bi vàng.
Gọi D là biến cố hai bi lấy ra có bi vàng

(5.9  10.6)  5.6
 0, 6
15.15
C2
10.9
 1
 0, 6
15.15
C1

P( D) 

1.5. Một hộp gồm có 3 phế phẩm và 9 chính phẩm. Một khách hàng lấy
ngẫu nhiên khơng hồn lại từng sản phẩm cho đến khi lấy được 2 chính
phẩm thì dừng. Tính xác suất việc lựa sản phẩm như trên dừng lại ngay sau
lần lấy thứ 3.
Gọi A là biến cố việc lựa sản phẩm như trên dừng lại ngay sau lần lấy
thứ 3

P( A) 

3 9 8 9 3 8

 0,3273
12 1110 12 1110

1.6. Một cơ sở photocopy có 2 máy hoạt động độc lập.Xác suất trong
một ngày làm việc máy 1, máy 2 lần lượt bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,08.
Tính xác suất trong một ngày làm việc
a) cơ sở có 2 máy đều bị hỏng.
Gọi A là biến cố trong 1 ngày làm việc, cơ sở có 2 máy đều bị hỏng

P( A)  0,1.0,08  0, 008
b) cơ sở có máy bị hỏng.
Gọi B là biến cố trong 1 ngày làm việc, cơ sở có máy bị hỏng
7


BUH – BMTKT – NNP
C1

P( B)  1  (1  0,1)(1  0,08)  0,172

C2

 (0,1.0,92  0,9.0,08)  0,1.0, 08  0,172

c) cơ sở có máy 2 vẫn hoạt động tốt, biết rằng trong ngày đó cơ sở có
máy bị hỏng.
Gọi C là biến cố trong 1 ngày làm việc, cơ sở có máy 2 vẫn hoạt động
tốt

P (C B) 

P ( B.C ) 0,1.0,92

 0,5349
P( B)
0,172

1.7. Có 3 cung thủ cùng bắn độc lập, mỗi người bắn 1 mũi tên vào cùng
một hồng tâm. Xác suất bắn trúng hồng tâm của các cung thủ 1;2;3 tương
ứng là 0,8; 0,75; 0,6. Tính xác suất
a) Hồng tâm bị bắn trúng.
Gọi A là biến cố hồng tâm bị bắn trúng

P( A)  1  (1  0,8)(1  0,75)(1  0, 6)  0,98
b) Hồng tâm bị bắn trúng 2 mũi tên, biết rằng cung thủ thứ nhất đã bắn
trúng hồng tâm.
Gọi B là biến cố hồng tâm bị bắn trúng 2 mũi tên
Gọi D là biến cố cung thủ thứ nhất đã bắn trúng hồng tâm
C1

P ( B / D) 

P( B.D) 0,8.0, 75.(1  0, 6)  0,8.(1  0, 75).0, 6

 0, 45
P( D)
0,8

C2

 0,75.0, 4  0, 25.0, 6  0, 45

c) Cung thủ thứ nhất bắn trúng hồng tâm, biết rằng hồng tâm đã bị bắn
trúng 2 mũi tên.
Gọi A là biến cố cung thủ thứ nhất bắn trúng hồng tâm
Gọi B hồng tâm đã bị bắn trúng 2 mũi tên

P ( A B) 

P ( A.B )
0,8.0, 75.0, 4  0,8.0, 25.0, 6

 0,8
P ( B)
0,8.0, 75.0, 4  0,8.0, 25.0, 6  0, 2.0, 75.0, 6

1.8. Một ngân hàng phát hành 3 loại thẻ A, B, C. Theo thống kê của ngân
hàng cho biết tỉ lệ khách hàng sử dụng các loại thẻ đó tương ứng là 18%,
8

BUH – BMTKT – NNP

24%, 12%, và có 6% khách hàng dùng cả A và B; 4% khách hàng dùng cả B
và C; 3% khách hàng dùng cả A và C; 1% khách hàng dùng cả 3 loại thẻ.
Một khách hàng ngẫu nhiên đến giao dịch tại ngân hàng cho biết chỉ dùng
một trong số các loại thẻ trên. Tính xác suất khách hàng đó sử dụng thẻ B.
Giải
Gọi B là biến cố khách hàng đó sử dụng thẻ B.
Gọi A là biến cố khách hàng chỉ dùng một trong số các loại thẻ trên.

P ( B / A) 

P ( A.B )
15%

 0, 4839
P ( A) 10%  15%  6%

Ghi chú: Các bạn tự vẽ biểu đồ Venn vào bài làm (bắt buộc)
1.9. Tung đồng thời 2 con xúc xắc cân đối. Gọi A là biến cố tổng số
chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là chẵn và B là biến cố tổng số chấm xuất
hiện trên 2 con xúc xắc là lẻ.
a) Hai biến cố A, B có xung khắc với nhau khơng? Hai biến cố A, B có
độc lập nhau khơng? Tại sao?
Giải

A.B    A, B xung khắc nhau
P( A)  0, P( A / B)  0  P( A / B)  P( A)  A, B không độc lập
nhau

b) Gọi C là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc là nhỏ hơn
5. Tính xác suất A xảy ra, biết rằng C đã xảy ra.

1 3
P ( A.C )
2
P( A / C ) 
 6.6 
1 2  3 3
P (C )
6.6
C 2 n( A.C )
1 3
2



n(C ) 1  2  3 3
C1

1.10. Vé số Vietlott Mega 6/45 có luật chơi như sau
- Mỗi vé số được bán với giá 10 ngàn đồng, khách hàng có thể tự chọn 6
số phân biệt hoặc để máy bán vé tự động chọn ngẫu nhiên 6 số phân biệt từ
01 đến 45.
9


BUH – BMTKT – NNP

- Kết quả xổ số là một bộ 6 số phân biệt duy nhất được máy tự động

chọn ngẫu nhiên từ 01 đến 45.
Quy tắc trúng thưởng: Mỗi vé có thể trúng nhiều giải thưởng đồng thời
và không phân biệt thứ tự của các số, các giải như sau
- Mỗi bộ 3 số có mặt trong kết quả xổ số sẽ trúng giải Ba trị giá 30 ngàn
đồng.
- Mỗi bộ 4 số có mặt trong kết quả xổ số sẽ trúng giải Nhì trị giá 300
ngàn đồng.
- Mỗi bộ 5 số có mặt trong kết quả xổ số sẽ trúng giải Nhất trị giá 10
triệu đồng.
- Nếu trùng với bộ 6 số của kết quả xổ số thì sẽ trúng giải Đặc biệt trị
giá 12 tỉ đồng và được tích lũy theo thời gian nếu như khơng có ai trúng giải.
I) Bạn mua 1 vé số loại này, tính xác suất:
a) Bạn trúng được 1 giải Ba.
b) Bạn có trúng giải.
c) Bạn trúng được 1 giải Nhì. Câu hỏi phụ: Khi đó tổng số tiền nhận
thưởng của bạn là bao nhiêu?
d) Bạn trúng được 1 giải Nhất. Câu hỏi phụ: Khi đó tổng số tiền nhận
thưởng của bạn là bao nhiêu?
II) Bạn mua 2 vé số loại này với 12 số hồn tồn phân biệt, tính xác
suất:
a) Bạn có trúng giải.
b) Bạn trúng được 1 giải Ba.
c) Bạn trúng được 2 giải Ba.
d) Bạn trúng được 4 giải Ba.
1.11. Hộp một có 3 bi đỏ, 5 bi xanh và 2 bi vàng. Hộp hai có 4 bi đỏ, 3
bi xanh và 3 bi vàng.
I) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi
a) Tính xác suất lấy được 2 bi không cùng màu đỏ.
b) Giả sử lấy được 2 bi khơng cùng màu đỏ. Tính xác suất 2 bi đó cùng
màu vàng.

Giải
10


BUH – BMTKT – NNP

Gọi A là biến cố lấy được 2 bi không cùng màu đỏ
Gọi B là biến cố 2 bi đó cùng màu vàng

2 3
.
P ( A.B ) P ( B )
P ( B / A) 

 10 10  0, 0682
P ( A)
P ( A) 1  3 . 4
10 10
II) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 2 bi. Tính xác suất trong các bi lấy ra có
2 bi đỏ.
Gọi A là biến cố trong các bi lấy ra có 2 bi đỏ.

P ( A) 

C32 .C62  C31C71 .C41C61  C72 .C42 1

C102 C102
3

1.12. Xác suất để một sinh viên thi đạt yêu cầu môn A ở lần thi thứ nhất

là 0,6. Nếu lần đầu bị trượt thì được thi lại lần hai. Tính xác suất sinh viên
không bỏ thi lần đầu, thi đạt yêu cầu môn A là bao nhiêu? Biết rằng nếu thi
trượt lần thứ nhất thì khả năng thi đạt ở lần thứ hai là 0,8.
Giải
Gọi A là biến cố sinh viên không bỏ thi lần đầu, thi đạt yêu cầu môn A

P( A)  0, 6  (1  0, 6).0,8  0,92

11


BUH – BMTKT – NNP

1.13. Một sinh viên thi TOEIC với mong muốn đạt điểm chuẩn đầu ra
cho văn bằng đại học. Giả sử đã là năm cuối và sinh viên chỉ cịn có thể thi 2
lần nữa ở 2 nơi khác nhau là đến hạn, và sinh viên này đã đăng ký thi ở cả 2
nơi đó.
Cho biết khả năng sinh viên này thi đạt lần đầu ở nơi thứ nhất là 0,45 và
khả năng thi đạt lần sau ở nơi thứ hai là 0,55. Cho dù lần thứ nhất đã thi đạt
yêu cầu thì sinh viên này vẫn tiếp tục thi lần sau ở nơi thứ hai để mong tìm
điểm số cao hơn và khi đó xác suất sinh viên đó thi đạt yêu cầu ở lần sau là
0,6. Tính xác suất
a) Trong 2 lần thi trên, có ít nhất một lần sinh viên đó đạt được điểm
chuẩn đầu ra cho TOEIC.
Giải
Gọi A1, A2 lần lượt là biến cố sinh viên đó thi đạt lần thứ nhất, lần thứ

hai  P( A1 )  0, 45;P( A2 )  0,55;P ( A2 / A1 )  0,6 .

Gọi A là biến cố có ít nhất một lần sinh viên đó đạt được điểm chuẩn

đầu ra cho TOEIC.
C1

P ( A)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 A2 )
 0, 45  0,55  P( A1 ) P( A2 / A1 )  1  0, 45.0, 6  0, 73
C2

P ( A)  P( A1. A2  A1. A2  A1. A2 )  P( A1. A2 )  P( A1. A2 )  P( A1. A2 )
 P( A1 ) P( A2 / A1 )  P( A1 ) P( A2 / A1)  P( A1. A2 )
 0, 45.0, 6  0, 45.(1  P( A2 / A1 ))  P( A1. A2  A1. A2  A1. A2 )
 0, 45  P( A2  A1. A2 )  0, 45  P(A 2 )  P( A1. A2 )
 0, 45  0,55  P( A1 ) P( A2 / A1 )  1  0, 45.0, 6  0, 73
b) Sinh viên đó không đạt điểm yêu cầu ở lần thi sau, dù lần thi đầu đã
đạt được điểm yêu cầu.
Giải

P( A2 / A1 )  1  P( A2 / A1 )  1  0, 6  0, 4

12


BUH – BMTKT – NNP

c). Giả sử trong 2 lần thi đó có ít nhất một lần sinh viên đó đã đạt được
điểm yêu cầu. Tính xác suất sinh viên đó chỉ đạt điểm yêu cầu ở lần thi sau.
Giải
Gọi B là biến cố sinh viên đó chỉ đạt điểm yêu cầu ở lần thi sau.

P( B / A) 

P( A.B) P( A1. A2 ) 0,55  0, 45.0, 6


 0,3836 .
P( A)
0, 73
0, 73

1.14. Một sinh viên muốn hoàn thành khoá học phải thi đậu 3 kỳ thi với
nguyên tắc đậu được kỳ thi trước mới được tham gia thi kỳ sau. Xác suất
sinh viên đó đậu kỳ thi thứ nhất là 0,9. Nếu đậu được kì thi thứ nhất thì xác
suất sinh viên đó đậu kỳ thi thứ hai là 0,85; nếu sinh viên đó đậu kỳ thi thứ
hai thì xác suất sinh viên đó đậu kỳ thi thứ ba là 0,8.
a) Tính xác suất sinh viên đó khơng hồn thành khóa học.
b) Giả sử sinh viên đó khơng hồn thành khóa học, tính xác suất sinh
viên đó không đạt ở kỳ thi thứ ba.
Giải
a) Gọi A là biến cố sinh viên đó khơng hồn thành khóa học
C1

P ( A)  1  0,9.0,85.0,8  0,388
C2

 0,1  0,9.(1  0,85)  0,9.0,85.(1  0,8)  0,388

b) Gọi B là biến cố sinh viên đó khơng đạt ở kỳ thi thứ ba

P( B / A) 

P( A.B) P( B) 0,9.0,85.(1  0,8)



 0,3943
P( A)
P( A)
0,388

1.15. Khả năng sản xuất ra sản phẩm loại A (còn lại là loại B) của một
máy ước tính là 20%. Kiểm tra ngẫu nhiên 10 sản phẩm do máy này sản xuất
gần đây. Tính xác suất trong 10 sản phẩm đó
a) có sản phẩm loại B.
b) có ít nhất 2 sản phẩm loại B, biết rằng có sản phẩm loại B trong số
chúng.
Giải
a) Gọi A là biến cố trong 10 sản phẩm đó có sản phẩm loại B.

P( A)  1  C1010 .0, 210.0,80  0,9999999
13


BUH – BMTKT – NNP

b) Gọi B là biến cố trong 10 sản phẩm đó có ít nhất 2 sản phẩm loại B

P ( B / A) 


P ( A.B ) P ( B)

P ( A)

P ( A)

1   C100 0,80 0, 210  C101 0,810, 29 
0,9999999

 0,999996

1.16. Tín hiệu được phát đi 4 lần từ bên phát A hướng về bên thu B. Cho
biết xác suất B nhận được tín hiệu sau mỗi lần A phát đi tín hiệu là 0,4.
a) Tính xác suất B nhận được tín hiệu đó sau khi A đã phát đi 4 lần.
b) Nếu muốn khả năng B nhận được tín hiệu đó sau khi A đã phát đi n
lần, phải lớn hơn 80% thì A cần phát đi tín hiệu đó ít nhất bao nhiêu lần?
Giải
a) Gọi A là biến cố bên B nhận được tín hiệu sau khi bên A đã phát đi 4
lần

P( A)  1  C40 .0, 40.(1  0, 4) 4  0,8704
b) Gọi A là biến cố bên B nhận được tín hiệu đó sau khi bên A phát đi n
lần

P ( A)  1  Cn0 .0, 40.(1  0, 4) n  1  0,6 n
P ( A)  1  0, 6 n  0,8  0, 6 n  0, 2  n.ln 0, 6  ln 0, 2
ln 0, 2
n
 n  3,151  n  4
ln 0, 6
Vậy: Bên A cần phát đi tín hiệu đó ít nhất 4 lần.

14

BUH – BMTKT – NNP

1.17. Có 10 hộp sản phẩm cùng loại giống nhau, mỗi hộp đều gồm có 6
sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản
phẩm. Tính xác suất trong các sản phẩm lấy ra
a) có sản phẩm loại B.
b) có 3 sản phẩm loại B, biết rằng trong số chúng có sản phẩm loại B.
Giải
a) Gọi A là biến cố trong 10 sản phẩm lấy ra có sản phẩm loại B

P ( A)  1  C100 .0, 40.(1  0, 4)10  0,9940
b) Gọi B là biến cố trong 10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm loại B.

P( B / A) 

P( A.B) P( B) C103 .0, 43.0,67


 0, 2163
P( A)
P( A)
0,9940

1.18. Hai máy cùng sản xuất một loại sản phẩm một cách độc lập. Tỉ lệ
phế phẩm của máy 1, máy 2 lần lượt được ước tính là 0,04; 0,03. Lấy ngẫu
nhiên 5 sản phẩm của máy 1 và 6 sản phẩm của máy 2 để kiểm tra. Tính xác
suất trong 11 sản phẩm lấy ra
a) có phế phẩm.
b) có 2 phế phẩm, biết rằng trong số chúng có phế phẩm.

Giải.
a) Gọi A là biến cố trong 11 sản phẩm lấy ra có phế phẩm.

P ( A)  1  P(A)  1  C55 0,9650, 040.C66 0,97 60, 030
 1  0,965.0,97 6  0,3208
b) Gọi B là biến cố trong 11 sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm.

P ( B / A) 

P ( A.B )
P ( A)

C52 0, 04 20,963.0,97 6  C51 0, 0410,96 4.C61 0, 0310,97 5  0,965.C62 0, 0320,97 4
0,3208
 0,1490


15


BUH – BMTKT – NNP

1.19. Hai vận động viên thi đấu với nhau với những ván đấu độc lập.
Biết rằng ở mỗi ván đấu chỉ có thắng hoặc thua và khả năng A thắng B là 0,4.
Người B tự tin cho người A chọn thi đấu 3 hoặc 5 ván, với quy ước nếu A
chọn 3 ván thì chỉ cần thắng 1 ván là thắng cuộc; còn nếu A chọn 5 ván thì
chỉ cần thắng 2 ván là thắng cuộc.
Theo bạn, A nên chọn thi đấu 3 hay 5 ván để khả năng A thắng cuộc cao
hơn? Giải thích.
Giải.

Gọi A là biến cố người A chọn thi đấu 3 ván và thắng 1 ván.
Gọi B là biến cố người A chọn thi đấu 5 ván và thắng 2 ván.

P ( A)  C31 0, 4.0, 62  0, 432
P (B)  C52 0, 42.0, 63  0,3456
Vậy: Người A nên chọn thi đấu 3 ván để khả năng A thắng cuộc cao hơn.
1.20. Một xí nghiệp có hai phân xưởng 1 và 2; phân xưởng một có 10
máy, phân xưởng hai có 8 máy, tất cả các máy đều hoạt động độc lập. Xác
suất trong một ngày làm việc mỗi máy của phân xưởng 1; 2 bị hỏng tương
tứng là 0,01; 0,008. Tính xác suất trong một ngày làm việc
a) Xí nghiệp có máy hỏng.
b) Xí nghiệp chỉ có 1 máy hỏng, biết rằng xí nghiệp có máy bị hỏng
trong ngày hơm đó.
Giải.
a) Gọi A là biến cố trong một ngày làm việc xí nghiệp có máy hỏng.

P( A)  1  P( A)  1  C1010 0,99100, 010.C88 0,99280, 0080
 1  0,9910.0,9928  0,1519
b) Gọi B là biến cố trong một ngày làm việc xí nghiệp chỉ có 1 máy
hỏng.

P ( B / A) 


16

P ( A.B )
P ( A)

C101 0, 01.0,999.0,9928  0,9910.C81 0, 00810,9927

 0,9242
0,1519


BUH – BMTKT – NNP

1.21. Trong kho có 45% sản phẩm của cơng ty A cịn lại là sản phẩm của
công ty B. Tỉ lệ phế phẩm của A, B trong kho tương ứng là 5%, 4%. Lấy
ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho.
a) Tính xác suất sản phẩm lấy ra là chính phẩm.
b) Nếu sản phẩm lấy ra là phế phẩm, nhiều khả năng phế phẩm đó là của
cơng ty A hay B?
Giải
a) Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là chính phẩm

P( A)  45%.95%  55%.96%  0,9555
b) Gọi C là biến cố sản phẩm lấy là ra phế phẩm
Gọi A, B lần lượt là biến cố sản phẩm đó của cơng ty A, cơng ty B
C1

C2

P(C )  1  0,9555  45%.5%  55%.4%  0,0445
P( A / C ) 
C1

P( B / C ) 

P ( A).P(C / A) 45%.5%


 0,5056
P (C )
0, 0445
P ( B ).P (C / B) 55%.4%

 0, 4944
P (C )
0, 0445

C2

 1  P( A / C )  1  0,5056  0, 4944

P( A / C )  P( B / C )  Vậy nhiều khả năng phế phẩm đó là của cơng
ty A.
1.22. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Khả năng làm ra chính
phẩm của máy thứ nhất; máy thứ hai theo ước tính lần lượt là 0,92; 0,95. Sản
phẩm do 2 máy làm ra sau mỗi ca sản xuất được để vào chung một kho và
hiện tại trong kho số sản phẩm của máy thứ nhất gấp 3 lần số sản phẩm của
máy hai. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho để kiểm tra.
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
Gọi A là biến cố lấy được phế phẩm

3
1
P ( A)  .(1  0,92)  .(1  0,95)  0, 0725
4
4
b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm, tính xác suất sản phẩm đó do
máy thứ hai sản xuất ra.

17


BUH – BMTKT – NNP

Gọi B là biến cố lấy ra được chính phẩm

3
1
P( B)  .0,92  .0,95  1  0,0725  0,9275
4
4
Gọi C là biến cố sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất ra

1
.0,95
P ( B.C ) 4
P (C / B) 

 0, 2561
P( B )
0,9275
1.23. Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều,
tối, trong đó 48% sản phẩm được sản xuất ở ca sáng, 42% sản phẩm được
sản xuất ở ca chiều, 10% sản phẩm sản xuất ở ca tối. Tỉ lệ phế phẩm trong
các ca tương ứng là 3%, 4%, 5%. Lấy một sản phẩm ngẫu nhiên của nhà máy
để kiểm tra thì được phế phẩm, hỏi khả năng phế phẩm đó được sản xuất từ
ca nào là cao nhất?
Giải.
Gọi B là biến cố sản phẩm của nhà máy là phế phẩm.

Gọi A1, A2, A3 lần lượt là biến cố sản phẩm đó của ca sáng, ca chiều, ca
tối.

P ( B)  0, 48.0, 03  0, 42.0, 04  0,1.0, 05  0, 0362
P ( A1 ) P( B / A1 ) 0, 48.0, 03

 0,3978
P( B)
0,0362
P ( A2 ) P ( B / A2 ) 0, 42.0, 04
P (A 2 / B) 

 0, 4641
P ( B)
0, 0362
P (A 3 / B)  1  (0,3978  0, 4641)  0,1381
P (A1 / B) 

Vậy: Khả năng phế phẩm đó được sản xuất từ ca chiều là cao nhất.

18


BUH – BMTKT – NNP

1.24. Một hộp gồm có 8 bi đỏ, 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại
1 bi từ hộp, sau đó lấy tiếp 1 bi trong các bi cịn lại.
a) Tính xác suất bi lấy ra sau là bi vàng.
b) Cho biết bi lấy ra sau là bi vàng.Tính xác suất bi lấy ra trước là bi đỏ.
Giải.

a) Gọi A là biến cố bi lấy ra sau là bi vàng.

P ( A) 

C81C41  C41C31 1

A122
3

b) Gọi B là biến cố bi lấy ra trước là bi đỏ.

C81C41
P ( A.B )
A2
P (B/ A) 
 12  0, 7273
P ( A)
1/ 3
1.25. Có 2 hộp sản phẩm. Hộp một gồm có 7 sản phẩm loại A, 3 sản
phẩm loại B. Hộp hai gồm có 6 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B.
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm bỏ vào một hộp thứ ba (ban
đầu khơng có sản phẩm nào). Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 sản
phẩm. Tính xác suất lấy được sản phẩm loại A từ hộp 3.
b) Lấy ngẫu nhiên từ hộp một ra 2 sản phẩm và từ hộp hai ra 1 sản phẩm
bỏ vào một hộp thứ ba (ban đầu không có sản phẩm nào). Sau đó từ hộp thứ
ba lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2 sản phẩm khác
loại từ hộp 3.
Giải.
a) Gọi A là biến cố lấy được sản phẩm loại A từ hộp 3.

7 6
 7 4 1  3 6 1  3 4 
P( A)   . .1   .    .
.0
   .
  0, 65
 10 10 
 10 10  2  10 10  2  10 10 
b) Gọi B là biến cố lấy được 2 sản phẩm khác loại từ hộp 3.

C C
P (B)  0 
2
7

 7.3.6  2.1  7.3.4  C32 .C61  1.2
. 2
. 2  0  0, 4622
C102 .10
C3
C102 .10
C3
1
4

19


BUH – BMTKT – NNP

1.26. Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 12 bi. Hộp một có 3 bi đỏ, hộp hai có 4 bi
đỏ.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 bi của hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó lấy tiếp 2 bi của
hộp một. Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi đỏ.
b) Lấy ngẫu nhiên 1 bi của hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó lấy 1 bi của hộp
2. Cho biết bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ, tính xác suất bi lấy từ hộp 1 bỏ sang
hộp 2 không phải là bi đỏ.
1.27. Một hộp có 10 quả bóng bàn. Ngày thi đấu thứ nhất lấy 3 bóng ra
sử dụng sau đó lại để vào hộp một cách ngẫu nhiên. Ngày thi đấu thứ hai lấy
ngẫu nhiên 3 bóng từ hộp này ra để sử dụng.
a) Tính xác suất trong 3 bóng sử dụng ngày thứ hai có bóng đã sử dụng
trong ngày thi đấu thứ nhất.
b) Cho biết trong 3 bóng sử dụng ngày thứ hai có bóng đã sử dụng trong
ngày thi đấu thứ nhất. Tính xác suất khi đó có 2 bóng đã sử dụng trong ngày
thứ nhất.
Giải.
a) Gọi A là biến cố trong 3 bóng sử dụng ngày thứ hai có bóng đã sử
dụng trong ngày thi đấu thứ nhất.

P ( A)  1 

C73
 0, 7083
C103

b) Gọi B là biến cố có 2 bóng đã sử dụng trong ngày thứ nhất.

C32C71
C103
P ( A.B ) P (B)

P ( B / A) 


 0, 2471
P ( A)
P( A) 0, 7083

20


BUH – BMTKT – NNP

1.28. Trong một vùng dân cư tỉ lệ người trưởng thành độc thân là 55%, tỉ
lệ người trưởng thành có gia đình là 45%. Có một nạn dịch bệnh truyền
nhiễm với tỉ lệ mắc bệnh của nhóm người trưởng thành độc thân là 8% và tỉ
lệ mắc bệnh của nhóm người trưởng thành có gia đình là 1%. Kiểm tra ngẫu
nhiên một người trưởng thành của vùng thì phát hiện được người này đã mắc
bệnh này, tính xác suất người mắc bệnh đó là người độc thân.
Giải.
Gọi A là biến cố người đó đã mắc bệnh.

P( A)  0,55.0, 08  0, 45.0,01  0, 0485
Gọi B là biến cố người mắc bệnh đó là người độc thân.

P ( B / A) 

P ( A.B ) 0,55.0, 08

 0,9072
P ( A)

0, 0485

1.29. Tỉ lệ sản phẩm loại A do một máy sản xuất ra là 80%, còn lại 20%
là loại B. Sản phẩm sau khi được sản xuất sẽ được một hệ thống phân loại tự
động. Tuy nhiên khả năng nhận biết đúng sản phẩm loại A, sản phẩm loại B
của hệ thống này tương ứng là 98%, 96%.
a) Tính xác suất một sản phẩm được hệ thống nhận định là loại B.
b) Nếu một sản phẩm được hệ thống nhận định là loại B, tính xác suất hệ
thống đã nhận định sai?
c) Tính tỉ lệ sản phẩm được hệ thống phân loại sai.
d) Cho biết một sản phẩm được hệ thống phân loại sai, tính xác suất nó
là sản phẩm loại A.
1.30. Một nhà máy có 2 dây chuyền sản xuất cùng một loại sản phẩm.
Xác suất mỗi sản phẩm được sản xuất ra bởi các dây chuyền này là phế
phẩm, tương ứng là 0,02; 0,03. Sản phẩm của mỗi dây chuyền sản xuất ra
được đóng hộp riêng, mỗi hộp có 10 sản phẩm. Biết rằng năng suất của dây
chuyền thứ hai gấp 3 lần năng suất của dây chuyền thứ nhất. Lấy ngẫu nhiên
một hộp sản phẩm của nhà máy để kiểm tra.
a) Tính xác suất hộp sản phẩm đó có chứa phế phẩm.
b) Biết rằng hộp sản phẩm đó có chứa phế phẩm, hỏi khả năng nó được
sản xuất từ dây chuyền nào là cao hơn?

21


BUH – BMTKT – NNP

1.30. Một cây súng lục ổ xoay (súng mơ hình) có 6 lỗ chứa đạn cao su, mỗi
lần chỉ có thể bắn được một viên, ban đầu súng không chứa viên nào.
a) Một người đặt 2 viên đạn cao su vào 2 lỗ kề nhau, sau đó xoay ngẫu nhiên

rồi bóp cị thì ở lần bóp cị đầu tiên này lỗ khơng chứa đạn.
Hỏi lúc này người đó tiếp tục xoay ngẫu nhiên rồi bóp cị (cách 1), hay
là để vậy rồi bóp cị tiếp (cách 2) thì cách nào có xác suất lần bóp cị thứ hai
vẫn không ra đạn là cao hơn?
b) Giải lại bài toán ở câu trên, trong trường hợp đặt 2 viên đạn cao su ban
đầu vào 2 lỗ ngẫu nhiên trong 6 lỗ chứa đạn.
Giải.
a) Gọi A là biến cố lần bóp cị thứ 2 vẫn khơng ra đạn.
Cách 1:

P ( A) 

4 2

6 3

Cách 2:

P ( A) 

3
 0, 75 .
4

Vậy: Xác suất lần bóp cị thứ hai vẫn không ra đạn ở cách 2 là cao hơn.
b) Gọi A là biến cố lần bóp cị thứ 2 vẫn không ra đạn.
Cách 1:

P ( A) 

4 2

6 3

Cách 2:
C1

P ( A) 
C2



3
 0, 6
5

C42
 0, 6
C52

Vậy: Xác suất lần bóp cị thứ hai vẫn khơng ra đạn ở cách 1 là cao hơn.

22


BUH – BMTKT – NNP

PHẦN 2 – BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một hộp gồm
có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B. Giả sử khách hàng không nhận

biết được sản phẩm nào loại A, sản phẩm nào loại B.
a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A mà khách mua
được.
b) Tính xác suất khách hàng mua được ít nhất 1 sản phẩm loại A.
c) Tính kỳ vọng và phương sai của số sản phẩm loại A mà khách mua
được.
Giải.
a) Gọi X là số sản phẩm loại A mà khách mua được

 X      0;1; 2
P ( X  0) 

C62
C81C61

0,165
P
(
X

1)

 0,527
,
C142
C142

P ( X  2) 

C82

 0,308
C142

X

0

1

2

P

0,165

0,527

0,308

b) P ( X  1)  0,527  0,308  0,835 .
c) E ( X )  0,527  2.0,308  1,143

E ( X 2 )  0,527  22.0,308  1, 759
Var( X )  E ( X 2 )  E 2 ( X )  1, 759  1,1432  0, 453 .
2.2. Cho 3 hộp sản phẩm, mỗi hộp có 12 sản phẩm gồm có 8 chính phẩm
và 4 phế phẩm. Cho biết hộp 1 vẫn còn nguyên, hộp 2 đã được mua 2 chính
phẩm, hộp 3 đã được mua 2 sản phẩm nhưng không rõ là các sản phẩm gì.
a) Lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ hộp 1 và hộp 2. Lập bảng ppxs của
số chính phẩm lấy được từ hai hộp.
b) Lấy ngẫu nhiên một hộp trong hai hộp là hộp 1 và hộp 2. Từ đó lấy

ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Lập bảng ppxs của số chính phẩm lấy được.
c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm từ hộp 3. Lập bảng ppxs của số chính
phẩm lấy được.
d) Nếu chọn mua 2 sản phẩm bằng một trong ba cách nêu trên thì theo
bạn khả năng mua được 2 chính phẩm ở cách nào là lớn nhất?
23


BUH – BMTKT – NNP

2.3. Một xạ thủ có 5 viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi
trúng đích hoặc hết đạn thì thơi. Biết rằng xác suất trúng đích của viên đạn
đầu tiên là 0,7 và xác suất trúng đích của các viên đạn sau tăng đều 0,02 và
độc lập nhau.
a) Tìm luật phân phối xác suất của số viên đạn đã bắn.
b) Xác định số viên đạn đã bắn nhiều khả năng xảy ra nhất.
Giải.
a) Gọi X là số viên đạn đã bắn  X      1..5

P( X  1)  0, 7;P( X  2)  0,3.0,72  0, 216
P( X  3)  0,3.0, 28.0, 74  0, 0622
P ( X  4)  0,3.0, 28.0, 26.0, 76  0, 0166
C1

P( X  5)  1   0, 7  0, 216  0, 0622  0, 0166   0,0052
C2

 0,3.0, 28.0, 26.0, 24.1  0, 0052
X
P

1
0,7

2

3

4

0,216 0,0622 0,0166

5
0,0052

b) Mode(X)=1.
2.4. Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập. Xác suất trong khoảng
thời gian t, mỗi bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,12; 0,08.
a) Tìm luật phân phối xác suất của X là số bộ phận bị hỏng trong khoảng
thời gian t .
b) Lập hàm phân phối xác suất của X.
c) Tính xác suất trong khoảng thời gian t có khơng q một bộ phận bị
hỏng và hãy xác định Mode(X).

24


BUH – BMTKT – NNP

2.5. Một hộp có 5 lọ thuốc trong đó có 2 lọ đã quá hạn sử dụng, nhưng

tất cả các lọ này đều đã được dán thời hạn sử dụng mới. Một người kiểm tra
từng lọ thuốc một cho đến khi phát hiện ra 2 lọ đã quá hạn. Tìm luật ppxs
của số lọ phải kiểm tra, biết rằng người kiểm tra biết được trong hộp chỉ có 2
lọ đã q hạn sử dụng nhưng khơng biết là lọ nào.
Giải.
Gọi X là số lọ phải kiểm tra  X      2..4

21
 0,1
54
321 231 3 2 1
P( X  3) 

 . .  0,3
543 543 5 4 3
P ( X  2) 

C1

P ( X  4)  1  (0,1  0,3)  0, 6
C2



 3.2.2.1  3.2.2.1  2.3.2.1   3.2.2.1  3.2.2.1  2.3.2.1
5.4.3.2
X
P

2

0,1

3
0,3

 0, 6

4
0,6

2.6. Có 2 người sản xuất một loại sản phẩm một cách độc lập, khả năng
sản xuất ra phế phẩm của người thứ nhất là 2%, của người thứ hai là 3%. Lần
lượt chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm của người thứ nhất, của người thứ hai.
a) Tìm luật phân phối xác suất của số phế phẩm có trong 4 sản phẩm đó.
b) Tìm số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong số 4 sản phẩm chọn
được.
c) Nếu phép thử trên được thực hiện nhiều lần thì trung bình có bao
nhiêu phế phẩm trong một lần chọn ra 4 sản phẩm như trên?

25


BUH – BMTKT – NNP

2.7. Cho biến ngẫu nhiên X là tuổi thọ của một loại thiết bị (đvt: năm)
kxe  x
f
(x)

có hàm mật độ xác suất


0

,x  0
,x  0.

a) Tìm k. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
b) Tính xác suất để trong 6 thiết bị loại này được chọn ngẫu nhiên thì có 3
thiết bị có tuổi thọ ít nhất 3 năm.
c) Tìm tuổi thọ trung bình của một thiết bị loại này.
d) Tìm giá trị trung vị (Median) của biến X.
Giải.


a)

  e  x    e x 
f ( x)dx  k  xe dx  k   x.
 1.
dx 
  1  0 0 1 
0









x



 e x 
 k  e dx  k    k  k  1.
 1  0
0
x

x
Vì lim( xe )  lim
x 

x

x
1
 lim x  0
x
x

e
e

 x x
x
x
 xe dx, x  0  xe  e  1, x  0

F ( x)  P( X  x)   0

0, x  0

 0, x  0

x

x

 e  x  x e x
 e x 
x
x
x
xe
dx

x
.

1.
dx


xe

 1   1
 1    xe  e  1
0


0 0
 0
x

x

b) P ( X  3)  1  P( X  3)  1  P( X  3)

 1  F (3)  1  ( 3e 3  e 3  1)  4 e 3  0,199
Gọi B là biến cố trong 6 thiết bị loại này được chọn ngẫu nhiên thì có 3 thiết
bị có tuổi thọ ít nhất 3 năm.

P( B)  C63 0,1993 (1  0,199) 3  0,081 .

26


BUH – BMTKT – NNP






 e x   e  x
E ( X )   xf ( x) dx   x e dx   x 2
   2 x 1 dx
c)


1

0 0

0
2 x



 2  xe  x dx  2.1  2
0

x2
2x
2
 lim x  lim x  0
x  e x
x  e
x  e

Vì lim( x 2 e  x )  lim
x 

d) Gọi Median  X   a  0 . Ta có:

P( X  a )   ae  a  e  a  1  0,5
 ae a  e a  0,5  0  a  1  0,5.e a  a  1, 678
2.8. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất như sau
ax  bx 2
f (x)  

 0

,x  (0,1)
,x  (0,1)

a) Cho biết E(X) = 0,4. Xác định a,b.
b) Từ đó tính P(X  0,5) , Mode(X), Median(X) và Var(X).
2.9. Có hai hộp sản phẩm: hộp một gồm có 7 chính phẩm, 5 phế phẩm;
hộp 2 gồm có 8 chính phẩm, 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy
ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm lấy
được và kỳ vọng của nó nhỏ hơn 1.
2.10. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trong khoảng (a; b),
kí hiệu X ~ U  a; b  , nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng
 1

f (x)   b  a
 0

,x  (a, b)
,x  (a, b)

a) Tìm hàm phân phối xác suất của X.
b) Xác định kỳ vọng và phương sai của X.
2.11. Họ phân phối xác suất sau được gọi là họ Pareto, hàm mđxs của họ
này có dạng
27


BUH – BMTKT – NNP

 k.k
,x  

f (x, k, )   x k 1
; k và  là 2 tham số dương
0 , x  


a) Hãy xác định k theo  .
b) Tính xác suất P(a< X < b), với a>  .
2.12. Một công ty bảo hiểm sẽ chi một lượng tiền bảo hiểm là a (đồng)
nếu biến cố A xuất hiện trong 1 năm sau khi khách hàng cá nhân mua bảo
hiểm loại này. Biết rằng công ty bảo hiểm ước lượng biến cố A xuất hiện
trong năm tiếp theo với xác suất là p, hỏi công ty nên định giá bán một hợp
đồng bảo hiểm cá nhân cho biến cố A trong năm tới với giá là bao nhiêu để
kỳ vọng lợi nhuận trên mỗi hợp đồng bảo hiểm loại này của công ty là 30%
số tiền bán của một bảo hiểm, biết rằng tổng chi phí cho một hợp đồng bảo
hiểm loại này là c (đồng).
Giải.
Gọi t là số tiền bán một hợp đồng bảo hiểm loại này của công ty (đồng)
Gọi X là lợi nhuận thu được trên một hợp đồng bảo hiểm loại này của
cơng ty (đồng)
Ta có

X
P

28

BUH – BMTKT – NNP

2.13. Ngày xửa ngày xưa, có một gã khổng lồ một mắt Cylops bắt 10
chú lùn và chuẩn bị ăn thịt các chú lùn này.
Hắn nghĩ ra một trò tiêu khiển như sau: hắn xếp các chú lùn đứng thẳng hàng
từ chiều cao thấp nhất đến cao nhất và đặt
ngẫu nhiên lên đầu mỗi chú lùn một chiếc
mũ trắng hoặc đen. Sau đó hắn sẽ hỏi từ
chú lùn cao nhất cuối hàng đến chú lùn
thấp nhất đầu hàng là chiếc nón trên đầu
của mình màu gì. Nếu chú lùn nào trả lời
đúng màu chiếc mũ trên đầu mình sẽ
được tha mạng, ngược lại sẽ bị ăn thịt.
Hắn cho phép các chú lùn
biết trước cách thức trò tiêu
khiển của hắn và có thể bàn bạc
trước chiến lược trả lời cùng
nhau. Biết rằng mỗi chú lùn chỉ
có thể nhìn thấy màu sắc của
những chiếc mũ của các chú lùn
đứng phía trước mình. Bạn
hãy chỉ ra một chiến lược trả lời
cho các chú lùn mà theo bạn
là tốt nhất, tức là kỳ vọng số chú lùn bị gã khổng lồ Cyclops ăn thịt là thấp
nhất. Hãy tính giá trị kỳ vọng này theo chiến lược mà bạn đã đưa ra.

29