Chap 2 arithmetic and logic p2 Các hệ thống số đếm

Nội dung chương 2
— Các hệ thống số đếm
— Các phép toán số học
— Các phép toán logic

1


Đại số Boole
Các hằng và biến trong đại số Boole chỉ có hai giá trị 0 và 1
— Trong đại số Boole khơng có phân số, số âm, lũy thừa, căn số,
…
— Đại số Boole chỉ có 3 tốn tử: nhân logic (AND), cộng logic
(OR) và bù logic (NOT)
—

2

𝒙

𝒚

𝒙. 𝒚

𝒙

𝒚

𝒙+𝒚

𝒙

%
𝒙

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

Các tiên đề
— Tính giao hốn:

x + y = y + x
x.y = y .x
— Tính kết hợp:

(x + y) + z = x + (y + z)
x . y . z = x . (y . z)
— Tính phân phối:

x. y + z = x.y + x.z
x + y . z = x + y . (x + z)
— Phần tử đồng nhất:

x + 1
x + 0
x.1
x.0

=
=
=
=

1
x
x
0

— Phần tử bù:
3

x + x+ = 1
x . x+ = 0


Các định lý cơ bản
— 𝐱
&=𝐱
— 𝐱+𝐱=𝐱
— 𝐱 .𝐱 = 𝐱
— Định lý hấp thu:

4

(1)
𝐱 + 𝐱 .𝐲 = 𝐱
Chứng minh: x + x . y = x 1 + y = x .1 = x
(2)
𝐱. 𝐱+𝒚 =𝐱
Chứng minh: x . x + y = x . x + x . y = x + x . y = x
(3)
𝐱 + 𝐱- . 𝒚 = 𝐱 + 𝐲
Chứng minh: x + x- . y = x + x- . x + y = 1. x + y = x + y
(4)
𝐱 . 𝐱- + 𝒚 = 𝐱 . 𝐲
Chứng minh: x . x- + y = x . x- + x . y = 0 + x . y = x . y
(5)

𝐱 . 𝐲 + 𝐱- . 𝐳 + 𝐲 . 𝐳 = 𝐱 . 𝐲 + 𝐱- . 𝐳
Chứng minh: x . y + x- . z + y . z = x . y + x- . z + y . z x + x= x . y + x- . z + x . y . z + x- . y . z
= x . y + x . y . z + x- . z + x- . y . z
= x . y + x- . z


Các định lý cơ bản (tt)
— Định lý De Morgan:

% .𝒚
% (𝟏)
𝒙+𝒚=𝒙
%+𝒚
% (𝟐)
𝒙 .𝒚 = 𝒙
Chứng minh (1):
$
𝒙

$
𝒚

$ .𝒚
$
𝒙

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

𝒙

𝒚

𝒙+𝒚 𝒙+𝒚

0

0

0

0

1

1
1

Mở rộng cho n biến:
𝑥! + 𝑥" + ⋯ + 𝑥# = 𝑥! . 𝑥" … 𝑥#
𝑥! 𝑥" … 𝑥# = 𝑥! + 𝑥" + ⋯ + 𝑥#

5


Các định lý cơ bản (tt)
— Áp dụng các tiên đề, định lý của đại số Boole rút gọn

các biểu thức sau:
1. 𝐴𝐵 𝐶̅ + 𝐴𝐵 𝐶̅ = 1

& +𝐷
' (𝐴 + 𝐵𝐶)
&
&
2. 𝐴 + 𝐵𝐶
= 𝐴 + 𝐵𝐶
& 𝐴𝐵
̅ + 𝐵𝐶𝐷) = 𝐴 + 𝐵& 𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵𝐶𝐷
3. (𝐴 + 𝐵)(
̅ + 𝐶)(𝐴
̅
& =0
4. 𝐴(𝐵
+ 𝐵𝐶)

6


Cổng logic (tt)
— Cổng đảo (NOT)
§ Ký hiệu (ANSI):

Phương trình logic: y = x&
§ Bảng trạng thái:
§

7

𝒙

$
𝒚 = 𝒙

0

1

1

0


Cổng logic
— Cổng AND
§ Ký hiệu (ANSI):

Phương trình logic: z = x. y
§ Bảng trạng thái:
§

8

𝒙

𝒚

𝒛

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

𝑦 = 𝑥! 𝑥" … 𝑥# = .

1 𝑛ế𝑢 𝑥! = 𝑥" = ⋯ = 𝑥# = 1
0 𝑛ế𝑢 ∃ 𝑥$ = 0 (𝑖 = 1, … , 𝑛)


Cổng logic (tt)
— Cổng OR
§ Ký hiệu (ANSI):

Phương trình logic: z = x + y
§ Bảng trạng thái:
§

9

𝒙

𝒚

𝒛

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

𝑦 = 𝑥! + 𝑥" + ⋯ + 𝑥# = 5

0 𝑛ế𝑢 𝑥! = 𝑥" = ⋯ = 𝑥# = 0
1 𝑛ế𝑢 ∃ 𝑥$ = 1 (𝑖 = 1, … , 𝑛)


Cổng logic (tt)
— Cổng NAND
§ Ký hiệu (ANSI):

Phương trình logic: z = x . y
§ Bảng trạng thái:
§

10

𝒙

𝒚

𝒛

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0 𝑛ế𝑢 𝑥! = 𝑥" = ⋯ = 𝑥# = 1
𝑦 = 𝑥! 𝑥" … 𝑥# = .
1 𝑛ế𝑢 ∃ 𝑥$ = 0 (𝑖 = 1, … , 𝑛)


Cổng logic (tt)
— Cổng NOR
§ Ký hiệu (ANSI):

Phương trình logic: z = 𝑥 + 𝑦
§ Bảng trạng thái:
§

11

𝒙

𝒚

𝒛

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

𝑦 = 𝑥! + 𝑥" + ⋯ + 𝑥# = 5

1 𝑛ế𝑢 𝑥! = 𝑥" = ⋯ = 𝑥# = 0
0 𝑛ế𝑢 ∃ 𝑥$ = 1 (𝑖 = 1, … , 𝑛)


Cổng logic (tt)
— Cổng XOR (Exclusive_OR)
§ Ký hiệu:
Phương trình logic: z = x Å y = x&y + x&y
§ Bảng trạng thái:
§

12

𝒙

𝒚

𝒛

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

𝑦 = 𝑥!Å 𝑥"Å … Å𝑥# = (

1 𝑛ế𝑢 𝑠ố đầ𝑢 𝑣à𝑜 𝑏ằ𝑛𝑔 1 𝑙à 𝑠ố 𝑙ẻ
0 𝑛ế𝑢 𝑠ố đầ𝑢 𝑣à𝑜 𝑏ằ𝑛𝑔 1 𝑙à 𝑠ố 𝑐ℎẳ𝑛


Cổng logic (tt)
— Các tính chất của phép XOR
§ xÅy=x
§ x . (y Å z) = (x. y)Å(x. z)
§ xÅ0=x
§ xÅ1=x
&
§ xÅx=0
§ xÅx
&=1

13


Cổng logic (tt)
— Cổng XNOR (Exclusive_NOR)
§ Ký hiệu:
Phương trình logic: z = x Å y = x& + y x + y& = x&y& + xy
§ Bảng trạng thái:
§

14

𝒙

𝒚

𝒛

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

𝑦 = 𝑥!Å 𝑥"Å … Å𝑥# = (

0 𝑛ế𝑢 𝑠ố đầ𝑢 𝑣à𝑜 𝑏ằ𝑛𝑔 1 𝑙à 𝑠ố 𝑙ẻ
1 𝑛ế𝑢 𝑠ố đầ𝑢 𝑣à𝑜 𝑏ằ𝑛𝑔 1 𝑙à 𝑠ố 𝑐ℎẳ𝑛


Cổng logic (tt)

15


Chuyển đổi giữa các cổng logic
— Sử dụng cổng NAND tạo các cổng logic khác
%
X

X

X
Y
X

X.Y

X .Y

%
X

%. Y
%=X+Y
X

Y
16

%
Y


Chuyển đổi giữa các cổng logic (tt)
— Sử dụng cổng NOR tạo các cổng logic khác
%
X

X

X

X+Y

X +Y

Y
X

%
X
%+Y

% = X.Y
X

Y
17

%
Y


Thực hiện hàm Boole bằng cổng logic
— Cấu trúc cổng AND – OR:
§ Thực hiện hàm Boole biểu diễn theo dạng chính tắc 1 (tổng
các tích)
§ Ví dụ:

18

'BD + CD
'
F(A, B, C, D) = A


Thực hiện hàm Boole bằng cổng logic (tt)
— Cấu trúc cổng OR – AND:
§ Thực hiện hàm Boole biểu diễn theo dạng chính tắc 2 (tích
các tổng)
§ Ví dụ:

19

' + D)(B + C& + D
')
F(A, B, C, D) = (A


Thực hiện hàm Boole bằng cổng logic (tt)
— Cấu trúc cổng AND – OR – INVERTER (AOI):
§ Thực hiện hàm Boole biểu diễu diễn theo dạng bù của tổng
các tích
§ Ví dụ:

F(A, B, C, D) = AD + BC
20


Thực hiện hàm Boole bằng cổng logic (tt)
— Cấu trúc cổng OR – AND – INVERTER (OAI):
§ Thực hiện hàm Boole biểu diễu diễn theo dạng bù của tích
các tổng
§ Ví dụ:

21

'+D
' ) (B + C)
F(A, B, C, D) = (A


Bài tập

— 9.5-9.8, 9.10-9.16, 10.1, 10.2, 10.10, 10.11, 10.23,

10.24, 10.27, 11.1-11.6

22