ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D MÔN TOÁNĐỀ SỐ 13 potx

Trang 1


ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D
MÔN TOÁN
ĐỀ SỐ 13

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số y = -x
3
+3x
2
+1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2. Tìm m để phương trình x
3
-3x
2
= m
3
-3m
2
có ba nghiệm phân biệt.
Câu II (2,0 điểm ).
1. Giải bất phương trình:
2
44
16 6
2

xx
xx

2.Giải phương trình:
2
1
3sin sin 2 tan
2
x x x

Câu III (1,0 điểm).
Tính tích phân:
ln3
2
ln2
12
x
xx
e dx
I
ee

Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=
2a
. Đáy là tam giác ABC cân

0
120BAC
,

cạnh BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách
từ M đến mặt phẳng (SBC).
Câu V (1,0 điểm).
Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh:
3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
2
b c c a a b
abc
a b c a b c

II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).
A. Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a(2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) :
22
4 2 1 0x y x y
và điểm
A(4;5). Chứng minh A nằm ngoài đường tròn (C) . Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) tại T
1
,
T
2
, viết phương trình đường thẳng T
1
T
2
.

2. Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 2 3 0x y z x y z
Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại
A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
Câu VII.a(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều
kiện:

23z i z i
. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun
nhỏ nhất.
B. Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b(2,0 điểm)

Trang 2

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thuộc
đường thẳng d:
2 2 2 2 0xy
và B, C thuộc trục Ox . Xác định toạ độ trọng tâm của tam
giác ABC.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0),
C(0;-1;-2). Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.
Câu VII.b(1,0 điểm).
Cho hàm số (C
m
):
2
1

x x m
y
x
(m là tham số). Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại hai điểm phân
biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C
m
) tại A, B vuông góc.

……………………….Hết…………………………

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 13

Câu
Nội Dung
Điểm
I.1
(1
điểm)
* TXĐ: R
Sự biến thiên: y' = -3x
2
+ 6x = -3x(x - 2)
y' = 0
0
2
x
x

* Hàm số nghịch biến trên (-∞;0) và (2;+∞)
Hàm số đồng biến trên (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= 5
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= 1
*
lim
x
y = + ∞,
lim
x
y = - ∞
Bảng biến thiên: x -∞ 0 2 +∞
y' - 0 + 0 -
+ ∞ 5
y
1 -∞

*Đồ thị: y'' = -6x + 6
y'' = 0 x = 1 điểm uốn I(1;3) là tâm đối xứng của đồ thị



0,25

0,25






0,25






0,25



I.2
(1
điểm)
* PT đã cho -x
3
+ 3x
2

+ 1 = -m
3
+ 3m

2

+ 1. Đặt k = -m
3
+ 3m
2

+ 1
* Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đt y = k.
* Từ đồ thị (C ) ta có: PT có 3 nghiệm phân biệt 1 < k < 5
* m (-1;3)\
0;2
.
0,25
0,25
0,25
0,25


Trang 3

II.1
(1
điểm)
* Đk:
40
40
x
x
x 4. Đặt t =

44xx
(t > 0)
BPT trở thành: t
2
- t - 6 0
2( )
3
tL
t

* Với t 3 2
2
16x
9 - 2x
22
( )
0 ( )
4( 16) (9 2 )
a
b
xx
x4
9 - 2x 0
x4
9 - 2x

* (a) x
9
2
.

* (b)
145 9
36 2
x<
.
*Tập nghệm của BPT là: T=
145
;
36



0,25




0,25



0,25



0,25

II.2
(1
điểm)

* Đk: cosx 0 x
2
k
.
PT đã cho
3
sin
2
x + sinxcosx -
sinx
cos x
= 0
* sinx(
3
sinx + cosx -
1
cos x
) = 0

sinx 0
1
3sinx cos 0
osx
x
c

* Sinx = 0 x = k .
*
3
sinx + cosx -

1
cos x
= 0
3
tanx + 1 -
2
1
cos x
= 0
tan
2
x -
3
tanx = 0
tanx 0
tanx 3
x
x
3
k
k

Vậy PT có các họ nghiệm: x = k , x =
3
k

0,25

0,25




0,25


0,25

III.
(1
điểm)
* Đặt t =
2
x
e
, Khi x = ln2 t = 0
x = ln3 t = 1
e
x
= t
2
+ 2 e
2x
dx = 2tdt
* I = 2
1
2
2

0
( 2)
1
t tdt
tt
= 2
1
2
0
21
( 1 )
1
t
t dt
tt

0,25

0,25

0,25


Trang 4

* = 2
1
0
( 1)t dt
+ 2

1
2
2
0
( 1)
1
d t t
tt

* =
2 1
( 2 )
0
tt
+ 2ln(t
2
+ t + 1)
1
0
= 2ln3 - 1



0,25

IV.
(1
điểm)
* Áp dụng định lí cosin trong ABC có AB = AC =
2

3
a


S
ABC
=
1
2
AB.AC.sin120
0
=
2
3
3
a
. Gọi H là hình chiếu của S
lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC HA = HB = HC
H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
* Theo định lí sin trong ABC ta có:
sin
BC
A
= 2R R =
2
3
a
= HA
SHA vuông tại H SH =
22

SA HA
=
6
3
a


.S ABC
V
=
1
3
S
ABC
.SH =
2
2
9
a

* Gọi h
A
, h
M
lần lượt là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC)

1
2
M
A

h
SM
h SA
h
M
=
1
2
h
A
.
SBC vuông tại S
S
SBC
= a
2

* Lại có:
.S ABC
V
=
1
3
S
SBC
.h
A
h
A
=

.
3
S ABC
SBC
V
V
=
2
3
a

Vậy h
M
= d(M;(SBC)) =
2
6
a

0,25







0,25

0,25




0,25

V
(1
điểm)
* Ta cm với a, b > 0 có a
3
+ b
3
a
2
b + ab
2
(*)
Thật vậy: (*) (a + b)(a
2
-ab + b
2
) - ab(a + b) 0
(a + b)(a - b)
2
0 đúng
Đẳng thức xẩy ra khi a = b.

* Từ (*) a
3
+ b
3
ab(a + b)
b
3
+ c
3
bc(b + c)
c
3
+ a
3
ca(c + a)
2(a
3
+ b
3
+ c
3
) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:

3
1
a
+
3
1

a
+
3
1
a
3
3
3 3 3
1 1 1
a bc
=
3
abc
(2)
* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm
Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c.
0,25




0,25



0,25



0,25

VI.a.1
* Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 2.
0,25

Trang 5

(1
điểm)
Ta có IA = 2
5
> R A nằm ngoài đường tròn (C)
* Xét đường thẳng
1
: x = 4 đi qua A có d(I;
1
) = 2
1
là 1 tiếp
tuyến của (C)
*
1
tiếp xúc với (C ) tại T
1
(4;1)
* T
1
T
2
IA đường thẳng T

1
T
2
có vtpt
n

=
1
2
IA

=(1;2)
phương trình đường thẳng T
1
T
2
: 1(x - 4) + 2(y - 1)
x + 2y - 6 = 0

0,25

0,25


0,25

VI.a.2
(1
điểm)
* Mp(P) có vtpt

P
n

= (1;1;-2).
(S) có tâm I(1;-2;-1)
*
IA

= (2;1;2). Gọi vtcp của đường thẳng là
u


tiếp xúc với (S) tại A
u


IA


Vì // (P)
u


P
n


* Chọn
0
u


= [
IA

,
P
n

] = (-4;6;1)
* Phương trình tham số của đường thẳng :
34
16
1
xt
yt
zt

0,25


0,25


0,25

0,25

VII.a
(1
điểm)

* Đặt z = x + yi (x; y R)
|z - i| = |
Z
- 2 - 3i| |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
* x - 2y - 3 = 0 Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là
đường thẳng x - 2y - 3 = 0
* |z| nhỏ nhất |
OM

| nhỏ nhất M là hình chiếu của O trên
* M(
3
5
;-
6
5
) z =
3
5
-
6
5
i
Chú ý:
HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M
0,25

0,25

0,25

0,25


VI.b.1
(1
điểm)
* B = d Ox = (1;0)
Gọi A = (t;2
2
t - 2
2
) d
H là hình chiếu của A trên Ox H(t;0)
H là trung điểm của BC.
* Ta có: BH = |t - 1|; AB =
22
( 1) (2 2 2 2)tt
3|t - 1|
ABC cân tại A chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1|
* 16 = 8|t - 1|
t3
t1

* Với t = 3 A(3;4
2
), B(1;0), C(5;0) G(
3
;
42

3
)
0,25




0,25

0,25



0,25

Trang 6

Với t = -1 A(-1;-4
2
), B(1;0), C(-3;0) G(
1
;
42
3
)
VI.b.2
(1
điểm)
* Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ABC
d là giao tuyến của (ABC) với ( ) qua A và vuông góc với BC.

* Ta có:
AB

= (1;3;-3),
AC

= (-1;1;-5) ,
BC

= (-2;-2;-2)
[
AB

,
AC

] = (18;8;2)
mp(ABC) có vtpt
n

=
1
4
[
AB

,
AC

] = (-3;2;1).

mp( ) có vtpt
n

' = -
1
2
BC

= (1;1;1)
* Đường thẳng d có vtcp
u

=[
n

,
n

' ] = (1;4;-5).

* Phương trình đường thẳng d:
1
24
35
xt
yt
zt

0,25

0,25




0,25


0,25

VII.b
(1
điểm)
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) với Ox:

2
1
xm
x
x
= 0
2
0xmx
x1

(C

m
) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt pt f(x) = x
2
- x + m = 0 có 2 nghiệm
phân biệt khác 1

0
(1) 0f

1
4
0
m
m
(*)
* Khi đó gọi x
1
, x
2
là nghiệm của f(x) = 0
12
12
1
m
xx
xx
.
Ta có: y' =
2
'( )( 1) ( 1)'. ( )

( 1)
f x x x f x
x

Hệ số góc tiếp tuyến của (C
m
) tại A và B lần lượt là:
k
1
= y'(x
1
) =
1 1 1
2
1
'( )( 1) ( )
( 1)
f x x f x
x
=
1
1
'( )
( 1)
fx
x
=
1
1
2

1
x
x

* Tương tự: k
1
= y'(x
2
) =
2
2
2
1
x
x
( do f(x
1
) = f(x
2
) = 0)
Theo gt: k
1
k
2
= -1
1
1
2
1
x

x
.
2
2
2
1
x
x
= -1
* m =
1
5
( thoả mãn (*))
0,25








0,25






0,25

0,25