ĐÁP ÁN VÀ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ - ĐẮK LẮK - ĐỀ SỐ 107 pot

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH(7điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
( )
4 2
4 1 2 1y x m x m= − − + −
có đồ thị
( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số khi
3
2
m =
.
2. Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
2
4
2
1 tan
8 os ( ) sin 4 2.
4 1 tan

x
c x x
x
π
−
+ + =
+
2. Giải hệ phương trình sau trên R:
3
2 4 3
1 1 2
9 (9 )
x y
x y y x y y

+ + − =


− + = + −


Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
1
2
2
2
0
( )
4
x

x
I x e dx
x
= −
−
∫
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
với
BC
là đáy
nhỏ. Biết rằng tam giác
SAB
là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng
2a
và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt đáy,
5SC a=
và khoảng cách từ
D
tới mặt phẳng
( )
SHC
bằng
2 2a
(ở đây

H
là
trung điểm
AB
). Hãy tính thể tích khối chóp theo
.a

Câu V(1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:
3a b c+ + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
4
ab bc ca
a b c
a b b c c a
+ +
+ + + ≥
+ +
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm).
1. Cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương trình
2 2
( 2) ( 3) 10x y− + − =
. Xác định toạ
độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua M(-3; -2) và x
A
> 0.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: z = 1 + (1 + i) + (1 + i)
2
+ (1 + i)
3
+ … + (1 + i)
20
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao
điểm của đường thẳng
03:
1
=−− yxd
và
06:
2
=−+ yxd
. Trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của
d
1
với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Viết phương trình
mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
Câu VII.b (1,0 điểm Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa
mãn hệ thức
2 1 2z z z− = − +
1

HƯỚNG DẪN
Câu ý Nội dung Điểm
I
1
Với m= 3/2 ta có y = x
4
-2x
2
+2
Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.=
• Sự biến thiên:
3
4 4y' x x.= −
Ta có
0
0
1
x
y'
x
=

= ⇔

= ±

0.25
lim ; lim
x x

y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
( ) ( )
0 2 1 1
CD CT
y y ; y y .= = = ± =
0.25
• Bảng biến thiên:
x
−∞
-1 0 1
+∞
y'


−
0
+
0
−
0
+
y
+∞
2
+∞
1 1
0.25
• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình

• Nhận xét: đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Oy
0.25
2
• Ta có
( ) ( )
( )
3 2
4 8 1 4 2 1y x m x x x m .
′
= − − = − −

•
( )
2
0
0
2 1
x
y
x m
=

′
= ⇔

= −

nên hàm số có 3 cực trị khi m > 1
0.25
• Với đk m > 1 hàm số có 3 điểm cực trị là:

( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
0 2 1 2 1 4 10 5 2 1 4 10 5A ; m ,B m ; m m ,B m ; m m .− − − + − − − − + −
Ta có:
( ) ( )
( )
4
2 2
2
2 1 16 1
8 1
AB AC m m
BC m
= = − + −
= −
0.5
So sánh với điều kiện có 3 cực trị ta suy ra
3
3
1
2
m = +
0.25
II
1
Đk:
0

2
cos x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
,ta có
( )
2
2 inx 1 2 n
4
cos( x ) cos x s , sin x cos x s i
π
+ = − − = −
0.25
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
2 2
3
4
os 1 2
os inx
cos x sin x c x sin x sin x
cos x sin x c x sin x s cos x
⇔ − = − −
⇔ − = − +

( )
3
0sin x cos x sin x⇔ − =
0.25
0
0 0
4
x k
sin x x k
cos x sin x tan x
x k
π
π
π
π
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔
 

− = =
= +
 

Vậy pt có 2 nghiệm:
4
x k

x k
π
π
π
=



= +

0.5
2
2
Đk:
1y ≤
. Ta có
( )
( )
( )
2 4 3 3
9 9 9 0x y y x y y x y x y− + = + − ⇔ − + − =
0.25
vì
1y ≤
và
3
1 1 2x y+ + − =
nên
3
1 x+

≤
2
⇔
x
≤
7.Do đó
3
9x y+ −
≤
-1<0
nên x=y
0.25
Thế vào pt ban đầu ta được
3
1 1 2x x+ + − =
.Đặt
3
1a x= +

1b x= −
(b>0) thì
3 2
2
2
a b
a b
+ =


+ =


⇒

( ) ( )
( )
2
3 3 2 2
2 2 4 2 0 1 2 2 0a a a a a a a a+ − = ⇔ + − + = ⇔ − + − =
⇒

1; 1 3; 1 3a a a= = − + = − −
0.25
Từ đó tìm đựơc các nghiệm của hệ : x=y=0 và
11 6 3 11 6 3x y ; x y= = − + = = − −
0.25

III
1 1
3
2
1 2
2
0 0
4
x
x
I x e dx dx I I
x
= − = +
−

∫ ∫

0.25
Tính
1
2 2
2 2 1
1 0
0
1 1
( ) |
2 2 4
x
x x
e e
I xe dx xe
+
= = − =
∫
0.25
Tính
2
I
bằng cách đặt
2
4t x
= −
được
2
16

3 3
3
I
= − +
0.25
2
61
3 3
4 12
e
I
= + −
0.25
IV
4a
2a
2
2a
2a
a
a
a
5
C'
≡
C
a
a
a
a

a
45
°
45
°
H
E
A
D
C
B
H
B
A
C
D
S
Từ giả thiết suy ra
( )
SH ABCD⊥
và
2 3
3
2
a
SH a= =
0.25
Theo định lý Pythagoras ta có
2 2
2CH SC SH a= − =

.
Do đó tam giác
HBC
vuông cân tại
B
và
BC a=
0.25
Gọi
DE HC A
= ∩
thế thì tam giác
HAE
cũng vuông cân và do đó suy ra
2 2 2 4 3 .DE a a AD a= × = ⇒ =
0.25
Suy ra
( ) ( )
( )
2 2 ; ;CE a d D HC d D SHC= = =
y ra
( )
2
1
4
2
ABCD
S BC DA AB a= + × =
0.25
3

(đ.v.d.t.). Vậy
3
. D
1 4
3
3
S ABC ABCD
a
V SH S= × × =
(đ.v.t.t.)
V

VI.a
1
Ta có: 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
)
= a
3
+ b

3
+ c
3
+ a
2
b + b
2
c + c
2
a + ab
2
+ bc
2
+ ca
2

mà a
3
+ ab
2

≥
2a
2
b
b
3
+ bc
2

≥
2b
2
c
c
3
+ ca
2

≥
2c
2
a
Suy ra 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
≥
3(a
2
b + b
2
c + c
2
a) > 0
0.25
Suy ra

2 2 2
2 2 2
ab bc ca
VT a b c
a b c
+ +
≥ + + +
+ +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 ( )
2( )
a b c
VT a b c
a b c
− + +
⇒ ≥ + + +
+ +
0.25
Đặt t = a
2
+ b
2
+ c
2
, ta chứng minh được t
≥
3.
Suy ra

9 9 1 3 1
3 4
2 2 2 2 2 2 2
t t t
VT t
t t
−
≥ + = + + − ≥ + − =
⇒ VT ≥ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
0.5
ptđt AB đi qua M(-3;-2) có dạng ax+by+3a+2b=0 . Đuờng tròn (C) có tâm I(2;3) và bán
kính
10R =
nên
2 2 2
2 2
| 2 3 3 2 |
10 10( ) 25( )
a b a b
a b a b
a b
+ + +
= ⇔ + = +
+
0.25
⇔

( 3 )(3 ) 0 3a b a b a b+ + = ⇔ = −
hay

3b a= −
pt AB: x- 3y-3 = 0 hoặc AB: 3x-y+7=0
0.25
TH1: AB: x- 3y-3 = 0, gọi A(3t+3; t)⇒t>-1 và do IA
2
=2.R
2
=20⇒ t = 1, t = -1 (loại).
Suy ra A(6;1)⇒ C(-2; 5)
0.25
TH2: AB: 3x-y+7=0, gọi A(t; 3t+7)⇒t>0 và do IA
2
=2.R
2
=20⇒ t = 0, t = -2 (không thoả
mãn)
0.25
2
+ ) Ta có:
(2; 2; 2), (0; 2;2).AB AC= − =
uuur uuur
Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực
của AB, AC là:
1 0, 3 0.x y z y z+ − − = + − =
0.25
+) Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là
, (8; 4;4).n AB AC
 
= = −
 

r uuur uuur
Suy ra (ABC):
2 1 0x y z− + + =
.
0.25
+) Giải hệ:
1 0 0
3 0 2
2 1 0 1
x y z x
y z y
x y z z
+ − − = =
 
 
+ − = ⇒ =
 
 
− + + = =
 
. Suy ra tâm đường tròn là
(0; 2;1).I
0.25
Bán kính là
2 2 2
( 1 0) (0 2) (1 1 .) 5= = − − + − + − =R IA
0.25
VII.a

21

20
(1 ) 1
1 (1 ) (1 )
i
P i i
i
+ −
= + + + + + =
0,25
10
21 2 10 10
(1 ) (1 ) .(1 ) (2 ) (1 ) 2 (1 )i i i i i i
 
+ = + + = + = − +
 
0,25
( )
10
10 10
2 (1 ) 1
2 2 1
i
P i
i
− + −
= = − + +
0,25
Vậy: phần thực
10
2−

, phần ảo:
10
2 1+
0,25
Ta có:
Idd
21
=∩
. Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
4
VI.b
1



=
=
⇔



=−+
=−−
2/3y
2/9x
06yx
03yx
. Vậy







2
3
;
2
9
I
M là trung điểm cạnh AD
OxdM
1
∩=⇒
. Suy ra M( 3; 0)
0.25
Ta có:
23
2
3
2
9
32IM2AB
22
=







+






−==
Theo giả thiết:
22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD
===⇔==
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d
1

ADd
1
⊥⇒
Đường thẳng AD có PT:
03yx0)0y(1)3x(1 =−+⇔=−+−
. Lại có:
2MDMA ==
0.25

Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
( )





=+−
=−+
2y3x
03yx
2
2

( ) ( )



±=−
−=
⇔



=−+−
+−=
⇔




=+−
+−=
⇔
13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2



=
=
⇔
1y
2x
hoặc



−=
=
1y
4x
. Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)

0.25







2
3
;
2
9
I
là trung điểm của AC suy ra:



=−=−=
=−=−=
213yy2y
729xx2x
AIC
AIC
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0.25
2
Ta có
(2; 3; 1), ( 2; 1; 1) (2;4; 8)AB AC n= − − = − − − ⇒ = −

uuur uuur r
là 1 vtpt của (ABC)
0.25
Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0 0.25
M(x; y; z) MA = MB = MC ta có
2 3 2 0
2 0
x y z
x y z
− − − =


+ + =

0.25
M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7 0.25
VII.
b
Đặt
( )
x,yz x yi= + ∈¡
. Ta có
2 1 2
2 1 2
2 1 2 2
z z z
x yi x yi x yi
x yi yi
− = − +
⇔ + − = + − + +

⇔ − + = +
( )
2
2 2
2 1 4 4x y y⇔ − + = +
0.5
2
2 0
0
2
x x
x
x
⇔ − =
=

⇔

=

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng
0, 2x x= =
0.5
5
6