Luận án chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm đàn hồi bằng hàm đáp ứng tần số

1

MỞ ĐẦU
Tính thời sự của đề tài
Hư hỏng trong các kết cấu, nhất là các vết nứt có thể gây ra sự sụp đổ cơng
trình nếu khơng được phát hiện kịp thời. Điều này đã được minh chứng bằng kết
quả nghiên cứu các tai nạn đã xảy ra với các cơng trình quan trọng như giàn khoan
biển. Tuy nhiên việc xác định vị trí và mức độ của một vết nứt trong một cấu kiện
cũng rất khó, bởi vì vết nứt thường nằm bên trong các cấu kiện mà mắt thường
khơng thể phát hiện được. Chính vì vậy, để chẩn đoán vết nứt, người ta thường sử
dụng các phương pháp kiểm tra không phá hủy. Một trong các phương pháp đó,
mang tính tổng thể và có thể áp dụng cho các cơng trình phức tạp, là dựa trên việc
đo đạc các tham số dao động của cơng trình để xác định vị trí và mức độ hư hỏng
trong cơng trình.
Các tham số dao động thường được sử dụng trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu
là các tần số và dạng dao động riêng hay hàm đáp ứng tần số. Những tham số này là
những đặc trưng khá đầy đủ cho tình trạng kỹ thuật của một cơng trình mà khơng
phụ thuộc vào các kích động bên ngồi. Tuy nhiên, việc xác định các đặc trưng này
từ số liệu đo đạc (thường hiểu là việc đo đạc) cũng là những vấn đề cần thiết và
quan trọng. Đây là bài toán của phương pháp thử nghiệm dao động (Modal Testing
Technique). Tần số dao động riêng là tham số dao động được sử dụng đầu tiên và
cho đến nay vẫn còn đang được sử dụng vào việc đánh giá trạng thái kỹ thuật cơng
trình (structural health monitoring). Bởi vì tần số dao động riêng gắn liền với tính
chất tổng thể của kết cấu (như khối lượng, độ cứng) nên rất dễ đo đạc được một
cách chính xác. Trở ngại lớn nhất của việc sử dụng các tần số riêng mà cho đến nay
vẫn còn đang được giải quyết là chúng ta chỉ đo được số lượng rất ít các tần số
riêng trong khi số lượng các hư hỏng thường là chưa biết. Nếu tần số riêng là một
đặc trưng số, thì dạng dao động riêng của kết cấu cơng trình lại là một đặc trưng
hàm trong khơng gian, có thể cung cấp cho chúng ta thơng tin chi tiết hơn về vị trí
của hư hỏng. Đã có nhiều cơng bố sử dụng cả tần số và dạng riêng để chẩn đoán hư
hỏng trong kết cấu cơng trình, nhưng vấn đề cịn tồn tại chính là khó khăn trong

việc đo đạc dạng dao động riêng. Để có thể đo được dạng dao động riêng cần rất


2

nhiều đầu đo và đòi hỏi một phương pháp xác định dạng dao động riêng từ số liệu
đo một cách chính xác (do tính khơng duy nhất của dạng dao động riêng).
Như đã nói ở trên, cả tần số và dạng dao động riêng đo đạc đều được xác
định từ số liệu đo đạc của hàm đáp ứng tần số. Việc xác định các tần số và dạng
riêng từ hàm đáp ứng tần số cũng gặp nhiều sai số mà cho đến nay vẫn còn đang
được nghiên cứu. Để tránh các sai số trong xử lý số liệu đo đạc nêu trên, nhiều
chuyên gia đã đề nghị sử dụng ngay hàm đáp ứng tần số cho việc chẩn đoán hư
hỏng kết cấu cơng trình. Ngồi ra, hàm đáp ứng tần số còn là một đặc trưng hàm số
trong miền tần số nó cho phép chúng ta khơng chỉ xác định tần số riêng, dạng dao
động riêng mà còn chỉ ra ứng xử của kết cấu trong lân cận của tần số cộng hưởng
(xấp xỉ tần số riêng). Chính tiềm năng này của hàm đáp ứng tần số chưa được khai
thác và ứng dụng nhiều trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu cơng trình.
Mục tiêu của luận án
Mục tiêu của luận án này là phát triển và ứng dụng phương pháp sử dụng
hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh - dầm đàn hồi. Nội
dung nghiên cứu bao gồm: xây dụng các mơ hình kết cấu thanh, dầm có nhiều vết
nứt; nghiên cứu sự thay đổi của các tham số dao động, chủ yếu là hàm đáp ứng tần
số, do vết nứt; tiến hành nghiên cứu thực nghiệm đo đạc các tham số dao động của
một số mơ hình thanh, dầm có vết nứt trong phịng thí nghiệm và đề xuất một số
thuật tốn để chẩn đốn vết nứt trong kết cấu dựa trên mơ hình đã xây dựng và các
số liệu đo đạc thực nghiệm.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là kết cấu dạng thanh, dầm phẳng có vết
nứt được nghiên cứu trên mơ hình liên tục theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli với
các điều kiện biên khác nhau.

Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu là phương pháp giải tích kết hợp với mô phỏng số
và kiểm chứng bằng thực nghiệm.


3

Bố cục luận án gồm: Mở đầu, 5 chương và kết luận.
Mở đầu: Trình bày sự cần thiết của đề tài, mục tiêu, đối tượng nghiên cứu,
phương pháp nghiên cứu và bố cục luận án.
Chương 1: Trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu: Bài toán chẩn đoán
hư hỏng kết cấu, các nghiên cứu về bài toán chẩn đoán vết nứt trong kết cấu sử
dụng các đặc trưng dao động.
Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết dao động của kết cấu thanh, dầm có
nhiều vết nứt. Những phương trình được thiết lập trong chương này làm cơ sở cho
việc nghiên cứu lý thuyết, đo đạc thực nghiệm và chẩn đốn vết nứt của các chương
sau.
Chương 3: Trình bày kết quả nghiên cứu sự thay đổi các điểm nút dao động
trong thanh, dầm do vết nứt làm tiền đề cho việc chẩn đoán vết nứt dựa trên sự thay
đổi các điểm nút dao động.
Chương 4: Nghiên cứu thực nghiệm hàm đáp ứng tần số của thanh, dầm
chứa vết nứt, phân tích và xử lý số liệu hàm đáp ứng tần số để làm đầu vào cho bài
toán chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm.
Chương 5: Trình bày thuật tốn và kết quả chẩn đoán vết nứt trong thanh
dầm dựa trên hàm đáp ứng tần số và tần số riêng.
Phần Kết luận chung: trình bày tóm tắt kết quả chính của luận án. Đồng
thời cũng đưa ra một số vấn đề chưa giải quyết được cần tiếp tục nghiên cứu.
Các kết quả chính của luận án đã được cơng bố trong 02 bài báo đăng trên
Vietnam Journal of Mechanics; 01 bài báo quốc tế SCI: Journal of Sound and
Vibration và 01 bài báo trên tạp chí quốc tế SCIE: Nondestructuve Testing and

Evaluation; 02 bài báo trong Kỷ yếu Hội nghị khoa học chuyên ngành.


4

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1. Bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu
Với một đối tượng kỹ thuật luôn tồn tại hai bài toán: Bài toán thuận, nghiên
cứu ứng xử của kết cấu; Bài toán chẩn đoán [28], thực chất là một bài tốn ngược
[29], nhằm mục đích phát hiện hư hỏng trong kết cấu từ các số liệu đo đạc dựa trên
kết quả phân tích của bài tốn thuận. Cụ thể đối một hệ cơ học thường được mô tả
bằng sơ đồ:
∑

X

Y

Hình 1.1. Sơ đồ cơ hệ cơ học
với:

X: là đầu vào, tác động ngồi,
∑: là mơ hình hóa, mơ tả cấu trúc, đặc tính của cơ hệ,
Y: là đầu ra, đáp ứng của cơ hệ.
Hệ cơ học có thể biểu diễn bằng một phương trình tốn học:
LY   X

trong đó L là tốn tử tổng qt, có thể là tốn tử vi phân, tích phân, đại số, ... cùng
với các điều kiện biên ban đầu tương ứng. Khi đó, bài tốn thuận được hiểu là cần
phải xác định đầu ra Y nếu đã biết được L và X. Bài toán ngược là bài toán xác định

đầu vào X khi biết L và Y hoặc xác định L khi biết X và Y (đây là bài toán nhận
dạng hệ thống, thực chất là xây dựng lại mơ hình của hệ khi biết được đầu vào và
đầu ra).
Việc đánh giá tính nguyên vẹn của một kết cấu, thực chất, là bài toán chẩn
đoán hư hỏng kết kết cấu. Hư hỏng, ở đây, được hiểu là sự thay đổi về kích thước,
hình dáng, vật liệu, liên kết, hay nói gọn lại là sự thay đổi về mơ hình cấu tạo.
Vết nứt là một dạng hư hỏng điển hình trong kết cấu các cơng trình xây dựng
và máy móc thiết bị Vết nứt nói chung được mơ tả bằng vị trí và kích thước của nó
trong kết cấu. Sự xuất hiện vết nứt trong kết cấu làm suy giảm độ cứng của kết cấu
trong vùng lân cận vết nứt. Với kết cấu có vết nứt thì việc nghiên cứu bài tốn thuận


5

là phân tích ảnh hưởng của vết nứt tới ứng xử của kết cấu. Do đó việc xây dựng mơ
hình kết cấu và mơ hình vết nứt là rất quan trọng. Bài tốn chẩn đốn vết nứt trong
kết cấu chính là việc xác định độ lớn cũng như vị trí của vết nứt dựa trên số liệu đo
đạc. Bài toán này được tiếp cận bằng hai cách:
 Cách thứ nhất là chẩn đoán theo triệu chứng, tức là dựa trên số liệu xử lý đo
đạc thực của kết cấu cùng với hiểu biết qua phân tích ảnh hưởng của vết nứt
trong bài toán thuận để phát hiện ra sự thay đổi bất thường.
 Cách thứ hai là xây dựng mô hình với vết nứt sát với thực tế từ mơ hình kết
cấu với vết nứt giả định cùng số liệu đo đạc. Đây là phương pháp điều
chỉnh mơ hình đang được quan tâm nghiên cứu hiện nay.
Việc chẩn đoán các vết nứt trong kết cấu cơng trình đã thu hút nhiều nhà
nghiên cứu trong hơn hai thập kỷ qua như đã chỉ ra trong các báo cáo tổng quan của
Doebling và đồng nghiệp [1] năm 1996, Salawu [2] năm 1997 và Sohn và các đồng
nghiệp [3] năm 2004.
Trong chẩn đoán hư hỏng trong kết cấu nói chung cũng như vết nứt nói
riêng, người ta thường sử dụng các đặc trưng động lực học. Ở đó thì tần số dao

động riêng, dạng dao động riêng và hàm đáp ứng tần số (và một số đặc trưng liên
quan như độ cứng và độ mềm động) thường hay được sử dụng [1-5]. Lúc đầu người
ta sử dụng chủ yếu là tần số riêng để chẩn đốn hư hỏng kết cấu [6-17] vì đo đạc tần
số riêng là dễ dàng, chính xác nhất và rất nhiều kết quả đã đạt được theo hướng này.
Tuy nhiên, những kết quả sử dụng tần số riêng trước đây chỉ cho phép ta xác định
được những hư hỏng khuyết tật lớn ở những kết cấu đơn giản vì tần số riêng rất ít
nhạy cảm với các hư hỏng nhỏ, đặc biệt là các tần số thấp. Để xác định các hư hỏng
nhỏ phải đo được các tần số rất cao, trong khi đó số lượng tần số đo được chỉ là các
tần số thấp với số lượng không nhiều. Hơn nữa, việc đo đạc các tần số cao khơng
những khó mà cịn khơng chính xác. Do đó người ta phải sử dụng các thơng tin
khác ngồi tần số để chẩn đoán hư hỏng. Các tác giả như Morassi và các cộng sự
[18-20] đã kiến nghị sử dụng thêm tần số phản cộng hưởng (tức tần số kích động
làm tắt dao động), nhưng việc đo đạc các tần số phản cộng hưởng khơng dễ dàng và
số lượng có thể đo được cũng bị hạn chế. Một số tác giả khác đã sử dụng dạng dao


6

động riêng để chẩn đoán hư hỏng trong kết cấu [21-27]. Tuy nhiên, việc đo đạc
dạng riêng trong thực tế địi hỏi rất nhiều đầu đo và khơng thể đo dạng riêng một
cách chính xác.

1.1.1. Những nghiên cứu trên thế giới
Việc chẩn đoán vết nứt của kết cấu dựa trên sự thay đổi tần số riêng được bắt
đầu vào năm 1975 do Vandiver thực hiện trên đối tượng là giàn khoan biển. Năm
1978-1979 Adams, Cawley và các cộng sự đã phát triển nhiều cơng trình sử dụng
tần số riêng để chẩn đốn [6,7], trong đó các tác giả đã nghiên cứu trường hợp một
thanh đàn hồi có vết nứt được mơ tả bằng một lị xo dọc trục với độ cứng của lò xo
chưa biết và xây dựng được phương trình để xác định vị trí vết nứt từ số liệu đo tần
số riêng. Năm 1990 Stubbs và Osegueda [8] đã phát triển hơn nữa bằng việc chẩn

đoán vết nứt dựa trên độ nhạy cảm của tần số riêng. Sau đó năm 1992 Sanders và
các cộng sự đã kết hợp sử dụng phương pháp độ nhạy cảm tần số của Stubbs và
Osegueda cùng với lý thuyết thay đổi trạng thái ban đầu để nhận dạng hư hỏng.
Năm 1994 Narkis [10] đã tìm được nghiệm giải tích đối với vị trí vết nứt từ số liệu
đo hai tần số riêng trong trường hợp điều kiện biên gối tựa đơn… Gần đây việc sử
dụng sự thay đổi tần số riêng để chẩn đốn hư hỏng kết cấu có thể kể đến Lee [14]
năm 2009 trong việc phát triển phương pháp độ nhạy cảm trong việc chẩn đoán vết
nứt bằng tần số riêng. Zhang và các cộng sự [15] năm 2010 đã chẩn đoán đa vết nứt
bằng tần số. Kaushar và các cộng sự [16] năm 2013 đã sử dụng hai tần số đầu để
xác định vị trí và độ sâu vết nứt của dầm công xôn. Thalapil cùng Maiti [17] năm
2014 phát hiện vết nứt theo theo chiều dọc của dầm Euler–Bernoulli và dầm
Timoshenko.
Việc chẩn đốn hư hỏng nói chung và vết nứt nói riêng của kết cấu dựa trên
sự thay đổi tần số thường chỉ phát hiện sự xuất hiện của vết nứt mà khơng xác định
được vị trí vết nứt. Trong khi đó thì vết nứt lại ảnh hưởng một cách địa phương. Do
đó các thơng tin vết nứt dựa vào dạng riêng được xem xét trong bài toán chẩn đoán.
Năm 1984 West đã giới thiệu việc nhận dạng vị trí hư hỏng của kết cấu sử
dụng dạng riêng cùng phương pháp phần tử hữu hạn. Năm 1990 Rizos và các đồng
nghiệp [21] đã dựa vào dạng riêng và tần số riêng để chẩn đốn vị trí cũng như độ


7

lớn của vết nứt mở đối với dầm đàn hồi cơng xơn. Sau đó Pandey và đồng nghiệp
[22] năm 1991 đã đề xuất phương pháp ứng dụng độ cong của dạng riêng để phát
hiện hư hỏng của kết cấu. Sự suy giảm mặt cắt ngang gây ra bởi hư hỏng có xu
hướng làm tăng độ cong của các dạng riêng trong lân cận vùng bị hư hỏng. Salawu
và Williams năm 1994 đã so sánh kết quả việc sử dụng dạng dao động riêng với
việc sử dụng độ cong của dạng riêng để chẩn đốn, đã thấy rằng dạng riêng khơng
nhạy cảm bằng độ cong dạng riêng đối với vết nứt kết cấu… Gần đây việc sử dụng

dạng riêng cũng như độ nhạy cảm của dạng riêng để chẩn đoán vết nứt trong dầm
đàn hồi có thể kể đến Maosen Cao và các đồng nghiệp [30,31] năm 2011 đến năm
2014. Ngoài việc sử dụng dạng riêng dao động để chẩn đoán vết nứt của kết cấu thì
các tác giả Gladwell và Morassi [32] năm 1999 đã chỉ ra rằng điểm nút của dao
động (điểm dao động bị triệt tiêu) cũng là một chỉ số có thể sử dụng để chẩn đốn
vết nứt trong thanh. Các tác giả này đã công bố một cơng trình nghiên cứu khá bài
bản, được kiểm chứng cả bằng thực nghiệm rằng sự thay đổi các điểm nút trong dao
động dọc trục cho phép chẩn đốn chính xác vị trí một vết nứt đơn trong thanh. Vấn
đề phát triển phương pháp sử dụng sự thay đổi các điểm nút dao động trong dầm để
chẩn đoán vết nứt đã được Morassi và Delina [35] bắt đầu nghiên cứu từ năm 2002.
Tuy vậy hơn 10 năm qua không thấy xuất hiện công bố mới nào theo hướng này.
Các phân tích trên cho thấy dạng riêng có thể sử dụng để xác định được vị trí
của vết nứt. Tuy nhiên nếu chỉ sử dụng dạng riêng cho mục đích này thì cần phải có
nhiều số liệu đo đạc chính xác, mà đây là những yêu cấu không phải lúc nào cũng
thực hiện được trong thực tế. Trong khi đó hàm đáp ứng chứa đựng cả thông tin về
tần số và dạng riêng có thể được sử dụng để phân tích ảnh hưởng của vết nứt lên
đáp ứng của kết cấu. Việc đo đạc hàm đáp ứng tần số lại đơn giản và cho kết quả
chính xác. Vì vậy việc phát triển các phương pháp ứng dụng hàm đáp ứng tần số
trong chẩn đoán vết nứt là rất cần thiết do tính ưu việt của nó.

1.1.2. Những nghiên cứu trong nước
Bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu được giáo sư Nguyễn Cao Mệnh, giáo sư
Nguyễn Tiến Khiêm và các cộng sự [36] phát triển vào năm 1996, ở đây đã khoanh
vùng hư hỏng từ đó đưa ra một quy trình chẩn đoán kết cấu giàn khoan biển cố định
bằng các đặc trưng động học. Hai năm sau nhóm nghiên cứu này [37] đưa ra phân


8

tích modal của kết cấu hư hỏng dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn cải biên.

Dựa trên mơ hình phần tử hữu hạn cải biên này Đào Như Mai [39] đã sử dụng độ
nhạy cảm của các đặc trưng động lực học để phân tích và chẩn đốn hư hỏng kết
cấu. Lê Xuân Hàng, Nguyễn Thị Hiền Lương [40] năm 2009 trình bày cách xác
định vị trí và chiều sâu các vết nứt trong dầm công xôn bằng thuật toán di truyền
cùng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng tần số dao động riêng để chẩn đoán.
Năm 2014 Nguyễn Tiến Khiêm và Lê Khánh Toàn [41] đã dựa trên sự thay đổi tần
số để chẩn đoán đa vết nứt với mơ hình dầm liên tục chứa vết nứt và điều kiện biên
ngàm hai đầu.
Sử dụng dạng riêng để chẩn đốn hư hỏng kết cấu có: Trần Thanh Hải [42]
đã sử dụng dạng riêng của mơ hình dầm liên tục chứa vết nứt cùng phương pháp
điều chỉnh Tikhonov để chẩn đoán đa vết nứt. Năm 2014 Nguyễn Việt Khoa [43] đã
sử dụng dạng riêng của phần từ dầm ba chiều “trong đó kể đến ảnh hưởng qua lại
giữa biến dạng uốn theo 2 phương khác nhau” chứa vết nứt cùng phương pháp
phần tử hữu hạn để chẩn đoán hư hỏng.
Năm 2010 Nguyễn Việt Khoa và Trần Thanh Hải [44] đã sử dụng phân tích
Waveles để nhận dạng đa vết nứt của dầm chịu tải trọng di động. Nguyễn Tiến
Khiêm, Lê Khánh Toàn [33,34] năm 2013 đã mở rộng các kết quả của Gladwell và
Morassi [32] (sử dụng điểm nút dao động của thanh để chẩn đoán một vết nứt) cho
trường hợp thanh có nhiều vết nứt. Năm 2016 Nguyễn Thái Chung và các cộng sự
[61] đã phân tích động lực học đối với cột có vết nứt chị tải trọng động đất. Năm
2014-2016 Nguyễn tiến Khiêm, Phí Thị Hằng [53,54,55,56] đã phân tích và nhận
dạng dầm đa vết nứt dưới tác động của tải trọng di động. Đồng thời cũng từ năm
2014-2017 Nguyễn Tiến Khiêm và các cộng sự [58, 59, 60] đã nghiên cứu và chẩn
đoán dầm bậc đa vết nứt dựa trên phương pháp Rayleight và phương pháp quét. Từ
năm 2015-2017 Nguyễn Tiến Khiêm và Nguyễn Ngọc Hun [62, 63, 64] đã phân
tích và chẩn đốn đối với mơ hình dầm FGM chứa vết nứt.
Từ những nghiên cứu kể trên cho thấy việc ứng dụng tần số riêng và dạng
dao động riêng cũng đã được nhiều tác giả trong nước nghiên cứu và phát triển. Tuy
nhiên, việc sử dụng riêng biệt tần số riêng hay dạng riêng để chẩn đoán vết nứt đều
gặp phải những hạn chế như đã nêu ở mục 1.1.1. Đó là, tần số riêng thì khơng phát

9

hiện được vị trí vết nứt (do sử dụng mơ hình phần tử hữu hạn để chẩn đốn), cịn
dạng riêng thì cần phải sử dụng nhiều số liệu đo đạc chính xác. Vì vậy cần thiết
phải phát triển các phương pháp sử dụng các tham số động lực học mà đo được với
độ chính xác cao như tần số riêng và hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán được cả sự
xuất hiện vết nứt, vị trí vết nứt và độ sâu vết nứt.

1.2. Hàm đáp ứng tần số trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu
Một điều đáng quan tâm trong thực tế phân tích kết cấu là độ tin cậy của việc
xác định các đặc trưng động lực học như tần số và dạng dao động riêng (hay còn
gọi là các mode) của kết cấu. Những đặc trưng dao động này rất quan trọng trong
việc thiết kế và kiểm sốt dao động của các thành phần kết cấu. Có hai phương
pháp xác định các đặc trưng động lực học của một kết cấu cơng trình đang tồn tại:
tính tốn bằng phương pháp lý thuyết và thử nghiệm động lực học. Hiện nay do
những tiến bộ trong việc chế tạo các thiết bị và kỹ thuật đo, các đặc trưng dao động
được nhận dạng từ những số liệu đo đạc được coi là gần gũi hơn so với các đại diện
thực sự của kết cấu, trong khi những phân tích lý thuyết được xem là kém chính xác
hơn do những mơ phỏng kết cấu khơng thực sự hồn chỉnh. Bằng cách đo các số
liệu đáp ứng của kết cấu và phân tích động lực học các số liệu này, ta có thể thu
được các tham số chính xác của tần số riêng và các dạng dao động của kết cấu.
Trong các dữ liệu đo đạc được của các đặc trưng dao động thì người ta thấy
rằng: Sử dụng hàm đáp ứng tần số mà thường đo đạc được trực tiếp để làm số liệu
đầu vào cho việc chẩn đoán hư hỏng tốt hơn là dùng tần số và dạng riêng. Đó là do
những ưu điểm vượt trội của các dữ liệu hàm đáp ứng tần số đo được:
 Hàm đáp ứng tần số ngồi cung cấp thơng tin về tần số riêng (tần số cộng
hưởng) cịn có khả năng cung cấp thêm thông tin về đáp ứng của kết cấu ở
những tần số xa cộng hưởng.

 Sử dụng hàm đáp ứng tần số sẽ tránh được sai số của việc xử lý số liệu đo
để tách tần số và dạng riêng từ số liệu đo đạc (Hàm đáp ứng tần số là đầu
vào trong phân tích dạng riêng).
 Ngồi ra, những thơng tin rất quan trọng đó là vị trí điểm đo và vị trí điểm
đặt lực tác đều có trong hàm đáp ứng tần số.


10

Trong việc ứng dụng hàm đáp ứng tần số cho bài toán chẩn đoán hư hỏng kết
cấu được tiến hành theo hai cách:
 Cách thứ nhất là sử dụng trực tiếp dữ liệu đo đạc hàm đáp ứng tần số để
phát hiện hư hỏng;
 Cách thứ hai đó là xây dựng các mơ hình tốn học cho hàm đáp ứng tần số
của kết cấu có hư hỏng.
Đối với cách tiếp cận thứ nhất được Wang. Z và các cộng sự [45] nghiên cứu
vào năm 1997, họ đã sử dụng dữ liệu đo đạc hàm đáp ứng tần số trước và sau hư
hỏng cùng với phương trình nhiễu loạn phi tuyến để nhận dạng hư hỏng. Sau đó
được nghiên cứu nhiều bởi các tác giả Maia, Sampaio và các cộng sự [46,47] năm
1999-2003. Trong các công bố này, các tác giả đã sử dụng sự thay đổi tuyệt đối của
hàm đáp ứng tần số theo chuyển vị, góc xoay và độ cong biến dạng để phát hiện vị
trí vết nứt trong dầm đàn hồi và đã đưa ra kết luận đó là sử dụng hàm đáp ứng tần
số của độ cong là tốt hơn cả. Năm 2003 Owolabi và các cộng sự [48] đã xác định
vết nứt trong dầm đàn hồi (điều kiện biên là ngàm chặt 2 đầu và gối tự hai đầu) dựa
trên sự thay đổi ba tần số cơ bản đầu tiên và biên độ của hàm đáp ứng tần số.
Cách tiếp cận thứ hai là sử dụng biểu thức của hàm đáp ứng tần số ở dạng:
H jk ( )  
r

 r ( j ) r (k )

,
 r2   2  i r 

(1.37)

trong đó chỉ số j - chỉ vị trí điểm đo, k - vị trí điểm đặt lực, r - số hiệu của dạng dao
động,  r , r - là tần số riêng và hệ số cản tương ứng với dạng riêng  r . Biểu thức
(1.37) chính là biểu diễn của hàm đáp ứng tần số theo các đặc trưng dao động của
kết cấu như tần số, dạng riêng và hệ số cản. Nổi bật hơn cả là kết quả của các tác
giả Usik Lee và Jinho Shin [49]. Ở đây các tác giả đã thiết lập được hệ phương trình
đại số để xác định các tham số hư hỏng của dầm đàn hồi dựa trên mơ hình và số liệu
đo của hàm đáp ứng tần số. Lee và Shin đã phát triển một phương pháp phát hiện sự
hư hỏng của dầm và kết cấu dạng tấm sử dụng các dữ liệu đo đạc hàm đáp ứng tần
số. Họ áp dụng một phương pháp là giảm dần các miền một cách lặp đi lặp lại để


11

tìm kiếm và đưa ra các vùng hư hỏng và đã mở rộng phương pháp này cho các tấm
phẳng trực hướng. Ne và các cộng sự đã nghiên cứu kỹ lưỡng hiệu quả của việc sử
dụng phương pháp phân tích thành phần chính để xác định thiệt hại do động đất gây
ra cho mơ hình một tịa nhà bê tơng cốt thép cao 38 tầng với tỷ lệ 1:20 được đặt trên
một bàn lắc, bằng cách sử dụng các tham số đo được của hàm đáp ứng tần số và
mạng nơron. Điều đó chứng tỏ rằng kết quả xác định các hư hỏng của dự án phân
tích hàm đáp ứng tần số trên một vài thành phần chính là tốt hơn nhiều so với
những gì thu được trực tiếp khi sử dụng các dữ liệu đo được của hàm đáp ứng tần
số.
Những năm gần đây việc sử dụng hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán hư hỏng
trong kết cấu có thể kể đến như: Araujo dos Santos và các cộng sự [50] năm 2005
đề xuất một phương pháp xác định hư hỏng trên cơ sở độ nhạy của các hàm đáp ứng

tần số. Họ chỉ ra rằng kết quả nhận biết hư hỏng sẽ tốt hơn nếu như đo ở tần số thấp
và các điểm kích thích khơng phải là các điểm nút. Vì vậy, khả năng khai thác thêm
thông tin từ hàm đáp ứng tần số cho bài toán chẩn đoán là rộng mở. Năm 2010
Animesh Chatterjee [51] nghiên cứu đánh giá hư hỏng của kết cấu dầm cơng xơn
dựa trên hàm đáp ứng tần. Trong đó vết nứt của dầm được nghiên cứu trong trường
hợp vết nứt đóng mở (breathing crack). Năm 2012 Huang và các cộng sự [52] xác
định hư hỏng của kết cấu nhà năm tầng trong bài toán điều khiển kết cấu dựa vào sự
thay đổi của hàm đáp ứng tần số và các bộ giảm chấn. Ở đây họ đã chỉ ra rằng với
nhiễu lớn hơn 10% thì khơng thể xác định được hư hỏng.

1.3. Một số nhận xét và đặt vấn đề nghiên cứu
Như đã trình bày ở trên, phương pháp đo đạc các đặc trưng dao động của kết
cấu để chẩn đoán hư hỏng hiện đang là phương pháp hiệu quả nhất. Tuy nhiên, dù
là bằng cách nào, phân tích trực tiếp tín hiệu đo hay sử dụng mơ hình để chẩn đốn
hư hỏng, thì cho đến nay vẫn tồn tại hai vấn đề sau. Một là các đặc trưng dễ đo thì ít
nhạy cảm với hư hỏng và hai là sai số đo đạc có thể cịn lớn hơn ảnh hưởng của hư
hỏng. Chính vì thế, việc tìm các đặc trưng dao động khác vừa không nhạy cảm với
sai số đo đạc, nhưng lại nhạy cảm với hư hỏng để chẩn đốn hư hỏng trong cơng
trình vẫn là một bài toán chưa giải được. Trong các đặc trưng dao động: tần số và
dạng dao động riêng, hệ số cản và hàm đáp ứng tần số thì tần số và hàm đáp ứng tần


12

số là đo được dễ dàng nhất, chính xác nhất. Tuy nhiên, hàm đáp ứng tần số là một
đặc trưng tổng hợp, bao hàm cả ba các đặc trưng trước (tần số, dạng riêng và hệ số
cản) và mô tả cả cấu trúc phổ của hệ. Vì vậy, sự tương tác giữa các dạng dao động
và độ nhạy cảm của chúng làm cho độ nhạy cảm của hàm đáp ứng tần số đối với hư
hỏng trở nên rất phức tạp, khó nhận biết. Đây chính là một trở ngại của việc sử
dụng hàm đáp ứng tần số trong việc chẩn đốn hư hỏng kết cấu. Đa số các cơng

trình đã cơng bố trên thế giới về chẩn đốn vết nứt bằng hàm đáp ứng xung là dựa
trên phương pháp phần tử hữu hạn, khơng cho phép xác định chính xác vị trí vết
nứt. Chính vì vậy, cần thiết phải phát triển các phương pháp nhắm tận dụng sự đo
đạc chính xác của tần số và hàm đáp ứng tần số trong chẩn đốn hư hỏng là việc tìm
các biểu diễn hiển của nó qua các tham số hư hỏng. Điều đó cho phép chúng ta
nghiên cứu độ nhạy cảm của tần số và hàm đáp ứng tần số đối với hư hỏng và do đó
có thể áp dụng vào chẩn đốn hư hỏng kết cấu cơng trình.

Vấn đề đặt ra trong luận án này như sau:
Nghiên cứu sự thay đổi các điểm nút dao động dọc trục trong thanh, dao
động uốn của dầm do sự xuất hiện vết nứt phục vụ bài toán chẩn đoán vết nứt.
Nghiên cứu thực nghiệm kết cấu thanh, dầm đàn hồi chứa nhiều vết nứt bằng
việc đo đạc hàm đáp ứng tần số. Từ đó phân tích xử lý số liệu đo đạc hàm đáp ứng
tần số để tìm các tần số riêng thực nghiệm.
Xây dựng hàm đáp ứng tần số tường minh trong kết cấu thanh, từ đó kết hợp
với số liệu đo đạc thực nghiệm và sử dụng phương pháp CSM (Crack Scanning
Method) để giải bài toán chẩn đoán trong thanh chứa vết nứt;
Sử dụng công thức Rayleigh và phương pháp CSM thiết lập và giải bài tốn
trình chẩn đốn vết nứt từ tần số riêng thực nghiệm.


13

CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU THANH, DẦM CÓ VẾT
NỨT
2.1. Mơ hình vết nứt trong kết cấu thanh - dầm đàn hồi
2.1.1. Mơ hình vết nứt
Vết nứt, nói chung được hiểu là một mặt phân cách trong một vật thể rắn làm
cho trạng thái ứng suất biến dạng tại mặt phân cách đó bị gián đoạn. Sự xuất hiện
của vết nứt trong kết cấu làm thay đổi các đặc trưng động lực học. Thường các vết

nứt được đặc trưng bởi các tham số: vị trí và kích thước và hình dạng. Theo dạng
hình học, vết nứt có thể có các dạng: Vết nứt ngang (vết nứt vng góc với trục
dầm) – Vết nứt dọc (vết nứt song song với trục dầm) – Vết nứt xiên (vết nứt
nghiêng một góc với trục dầm) – Vết nứt mở (vết nứt giữ nguyên trạng thái mở,
dạng chữ “V”) – Vết nứt thở (hiệng tượng vết nứt mở ra đóng vào dưới tác động
của ngoại lực.
Trong nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm, người ta tập trung nghiên cứu
vết nứt ngang mở trên bề mặt của dầm, do bởi dễ dàng mô phỏng vết nứt trong thực
nghiệm. Các mơ hình vết nứt hiện nay đều xuất phát từ mơ hình trạng thái xuất hiện
vết nứt theo ngoại lực để xây dựng công thức tính độ cứng tại vị trí vết nứt. Độ
cứng của kết cấu chứa vết nứt được xây dựng theo mô hình cơ học phá hủy hoặc
quy đổi độ cứng tiết diện có vết nứt theo mơ hình độ cứng lị xo đàn hồi.
Đối với thanh - dầm đàn hồi, vết nứt được xét như sự thay đổi tiết diện ngang
trong một đoạn có chiều dài rất nhỏ b với độ sâu a người ta đã chính xác mơ hình
vết nứt mở ở dạng một vết cưa được gọi là vết nứt hình chữ V. Ở đây, khái niệm độ
sâu vết nứt và đầu vết nứt được mô tả một cách rõ ràng. Hơn nữa, người ta đã tính
được sự suy giảm độ cứng (hoặc tăng độ mềm) của thanh - dầm tại mặt cắt chứa vết
nứt, Chính điều này đã đưa đến ý tưởng có thể mơ hình hóa vết nứt bằng một lò xo
tương đương với độ cứng K tại mặt cắt chứa vết nứt. Như vậy, người ta hồn tồn
có thể mơ tả vết nứt trong dầm đàn hồi bằng một lị xo liên kết hai phía của vết nứt
với độ cứng được xác định bằng thực nghiệm và lý thuyết cơ học phá hủy.


14

2.1.2. Mơ hình lị xo của vết nứt trong kết cấu thanh, dầm đàn hồi
Xét dầm đàn hồi có chiều dài L, tiết diện hình chữ nhật có chiều rộng b và
chiều cao h, mô đul đàn hồi E, mô men quán tính I, tiết diện mặt cắt ngang A, hệ số
Poisson  . Trên dầm có vết nứt tại vị trí e j với độ sâu a j .
Vết nứt khi đó được mơ hình hóa bằng các lị xo đàn hồi có độ cứng tương

đương Kj là hàm của độ sâu vết nứt a j . Tuy nhiên, cách tính độ cứng của lị xo
tương đương đã nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra các công thức xấp xỉ khác nhau.

Hình 2.1. Mơ hình vết nứt và lò xo thay thế (uốn – kéo nén).

2.1.2.1. Độ cứng lò xo thay thế đối với kết cấu dạng thanh
Đối với thanh đàn hồi độ cứng của lò xo đàn hồi tương đương K j được tính
theo:
* Mơ hình theo Theo B.S. Haisty và W.T. Springer [65]:
Kj 

EA
, z  aj / h ,
hf ( z )

f ( z )  z 2 (0.7442  0.8463 z  1.376 z 2  0.7540 z 3  0.5470 z 4 ) ,

* Mơ hình theo T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas và J. Yao [66] đưa ra:
Kj 

EA
, z  aj / h ,
2h(1   2 ) f ( z )

f ( z)  z 2 (0.6272 0.17248z  5.92134z 2 10.7054z 3  31.5685z 4 
 67.47z 5 139.123z 6 146.682z 7  92.3552z 8 ),

* Mơ hình theo R. Ruotolo và C. Surace [67] đã sử dụng công thức:
Kj 

EA
, z  aj / h,
2h(1   2 ) f ( z )

f ( z )  0.9852 z 2  0.2381z 3  1.0368 z 4 
 1.2055 z 5  0.5803 z 6  1.0368 z 7  0.7314 z 8

.


15

2.1.2.2. Độ cứng lò xo thay thế đối với kết cấu dầm đàn hồi
Đối với dầm đàn hồi, độ cứng của lị xo đàn hồi tương đương Kj được tính
theo:
* Mơ hình theo H. Liebowitz và Claus [68] là:
Kj 

EI
, z  aj / h
hf ( z )

f ( z )  5.346(1.86 z 2  3.95 z 3  16.375 z 4  37.226 z 5
 76.81z 6  126.9 z 7  172 z 8  143.97 z 9  66.56 z10

* Mơ hình theo W.M. Ostachowicz và M. Krawczuk [69] đã đưa ra:
Kj 

EI
, z  aj / h

6hf ( z )

f ( z )  z 2 (0.6384  1.035 z  3.7201z 2  5.1773z 3
 7.553 z 4  7.332 z 5  2.4909 z 6 )

* Mơ hình theo T.G. Chondros [70] đã đưa ra:
Kj 

EI
, z  aj / h
6h(1   2 ) f ( z )

f ( z )  0.6272 z 2  1.04533 z 3  4.5948 z 4  9.9736 z 5
 20.2948 z 6  33.0351z 7  47.1063 z 8  40.7556 z 9  19.6 z 10

2.2. Dao động dọc trục của thanh đàn hồi có vết nứt
Như đã biết, dạng dao động riêng của thanh đàn hồi có các tham số (E, ρ, A,
L) được xác định từ phương trình:
 ( x)  2  ( x)  0, x  (0,1),   L / c0 , c0  E /  .

Hình 2.2. Mơ hình dao động dọc trục nhiều vết nứt với lò xo thay thế.

(2.1)


16

Giả sử trong thanh có n vết nứt tại các vị trí e1 , …, en với độ sâu tương ứng là
a1,…,an được mơ tả bằng các lị xo dọc trục độ cứng Kj là hàm của độ sâu vết nứt aj
được đưa ra trong mục 2.1. Khi đó điều kiện tương thích tại các vết nứt là:

LK j [(e j  0)  (e j  0)]  EA(e j )  EA(e j  0)  EA(e j  0), j  1,..., n.

hay:
 (e j  0)   (e j  0)   (e j );
 (e j  0)   (e j  0)   j  (e j ),  j  EA / LK j , j  1,..., n.

.

(2.2)

Ngoài ra tại các biên x  0, x  1 nghiệm phương trình (2.1) cần thỏa mãn các
điều kiện biên, viết ở dạng tổng quát là:
 ( p ) (0)  0;  ( q ) (1)  0.

(2.3)

p,q là các bậc đạo hàm tương ứng;
với:

p = q =1 cho hai đầu tự do;
p = q = 0 cho hai đầu cố định;
p = 0, q = 1 cho một đầu cố định một đầu tự do.

2.2.1. Phương pháp ma trận truyền
Ký hiệu nghiệm phương trình (2.1) trong đoạn
(e j , e j 1 ), j  0,1,..., n; e0  0, en 1  1 là  j (x) , điều kiện (2.2) có thể viết lại thành:
 m (em  0)   m1 (em  0)   m m1 (em );
m (em  0)  m1 (e j  0)  (em ); m  1,..., n.

(2.4)

Do các hàm  m ( x), m  1,..., n đều là nghiệm liên tục của phương trình (2.1),
chúng có thể biểu diễn ở dạng:
 m ( x)  A m cos x  Bm sin x, m  1, ..., n .

(2.5)

với các hằng số A m , Bm được xác định như sau: Thay (2.5) vào (2.2) ta được mối
liên hệ truy hồi của các hằng số A m 1, Bm 1, A m , Bm
Am cosem  Bm sinem  Am1(1 m sinem)  Bm1(1 m cosem);
- Am sinem  Bm cosem  Am1 sinem  Bm1 cosem ).

(2.6)


17

Hệ phương trình cuối có thể viết ở dạng ma trận:
 A m1 
 m cos 2 em
 A m  1   m sin em cos em

  
.

2
  m sin em
1   m sin em cos em  B m1 
 Bm  

Từ biểu thức truy hồi trên ta có:
 Am 
A 

  H m   0  .
 Bm 
 B0 

hay:
m
m
A m  H11m A 0  H12m B0 ; Bm  H 21
A 0  H 22
B0 ; m  1,..., n .

(2.7)

H m  Tm Tm1...T1  [ H ijm  hij ( , e1 ,...,e m ,  1 ,...,  m ), i, j  1,2] ;

(2.8)

trong đó:

1   j sin e j cose j

 j cos2 e j
Tj  T(, e j ,  j )  
, j  1,..., n . (2.9)
2
1   j sin e j cose j 

   j sin e j

Dễ dàng nhận thấy H 0  T0  I và đối với thanh không bị nứt ta có
Tj  I, j  1,..., n hay:
A m  A 0 , Bm  B0 , m  1,..., n .

Đưa vào các ký hiệu:
 p (cos x)
x p
 q (cos x)
C1q  C1q ( ) 
x q

C0p  C0p ( ) 

 p (sin x)
x 0 ;
x p
 q (sin x)
q
q
;
S

S
(

)

x 1

1
1
x 1 .
x q
p
p
x  0 ; S 0  S 0 ( ) 

(2.10)

Thì điều kiện biên (2.3) có thể viết ở dạng:
A 0C0p ( )  B0 S 0p ( )  0; A nC1q ( )  B n S1q ( )  0 .

(2.11)

Thay An và Bn xác định từ phương trình (2.7) với m = n vào phương trình
cuối trong hệ (2.11) ta được:
n
n
[ H11n C1q  H 21
S1q ]A 0  [ H12n C1q  H 22
S1q ]B0  0 .


18

sau đó kết hợp với phương trình đầu của hệ (2.11) ta sẽ có:
n
[ H12n C1q  H 22
S1q ] S 0p

A
 p  0 .
n
q
n q
[ H11C1  H 21S1 ] C0
B0

(2.12)

n
n
Dn ( )  H 11n S 0p C1q  H 12n C0p C1q  H 21
S 0p S1q  H 22
C0p S1q  0 .

(2.13)

và:

Đây chính là phương trình đặc trưng (hay cịn gọi là phương trình tần số)
trong dao động dọc trục của thanh có n vết nứt bằng phương pháp ma trận
truyền.
Trong trường hợp thanh khơng bị nứt ta có H 11n  H 22n  1; H 12n  H 21n  0 , do đó
phương trình đặc trưng (2.12) trở thành:
D0 ( )  S 0p C1q  C0p S1q  0 .

(2.14)

Giải các phương trình (2.13), (2.14) lần lượt ta được các trị riêng của dao

động dọc trục thanh bị nứt và không bị nứt là k , 0k , k  1,2,3,.... . Như vậy, thay vì
xác định tất cả các hằng số A m , Bm , m = 1,2,3,…n ta chỉ cần xác định hai hằng số
A0, B0 phụ thuộc nhau thơng qua phương trình (2.12). Các hằng số này có thể chọn
từ điều kiện biên cho trước.

2.2.2. Nghiệm tổng quát tường minh
Ký hiệu  j (x) là nghiệm phương trình (2.1) trong đoạn
(e j , e j 1 ), j  1,..., n  1; e0  0, en1  1 .

khi đó điều kiện (2.2) có thể được viết lại thành:
 j 1 (e j  0)  j (e j  0)  j (e j );
 j 1 (e j  0)   j (e j  0)   j j (e j ); j  1......n.

(2.15)

Dễ dàng nhận tìm được  j 1 ( x), x  (e j , e j 1 ) biểu diễn ở dạng:
 j 1 ( x)   j ( x)   j  j ( x) S ( x  e j ), j  1......n .

(2.16)


19

ở đó  j (x) là nghiệm trong đoạn (e j 1 , e j ) tiếp tục mở rộng trong đoạn tiếp theo
(e j , e j 1 )
x0
0
S ( x)  
cos x x  0

(2.17)

Từ mối quan hệ (2.16) cho phép mơ tả lời giải phương trình (2.1) thỏa mãn
điều kiện tương thích (2.2) và điều kiện biên bên trái cho ta nhận được:
n


 0 ( x)  C 0 ( x)    j S ( x  e j ) .
j 1



(2.18)

ở đó C là hằng số tùy ý; 0 ( x) là nghiệm liên tục của phương trình (2.1) thỏa mãn
điều kiện biên tại x=0; các tham số vết nứt 1.... n được xác định từ:


j 1





k 1



 j   j 0 (e j )     k sin  (e j  ek ), j  1....n .

(2.19)

Phương trình cuối cùng được sử dụng để tính tốn vector chỉ số vết nứt
  ( 1 ,......,  n )T theo các giá trị   ( 1 ,......,  n )T

Đặt:
B  b j   j 0 (e j ), j  1,..., n;
1
s
A   21
 ...

 sn1

0
1
...
sn 2

0
0 0 
; s jk   k sin  (e j  ek ) ;
... ...

1
0

(2.20)

Kết hợp với điều kiện biên tại x=0; x=1

 0  (0)   0  (0)  0 ; 1 (1)  1(1)  0 .

(2.21)

Với các hằng số  0 , 1 ,  0 , 1 . Dễ dàng thấy phương trình (2.18) thỏa mãn
điều kiện đầu tiên của (2.21) với:
0 ( x)   0 sin x   0  cos x .

Do đó phương trình (2.18) có thể được viết ở dạng:


20
n


 0 ( x)  C  0 sin x   0  cos x    j S ( x  e j ) .
j 1



(2.22)

Thế phương trình (2.22) vào điều kiện thứ 2 của (2.21) dẫn đến:
n


C D0     j 1 cos  (1  e j )  1 sin  (1  e j )   0 .
j 1







(2.23)

ở đó D0   1 0 (1)  10 (1)  ( 01  2  0 1 ) sin    ( 0 1   0 ) cos  . Để tồn tại
hằng số C không bằng 0 ta có:
n


D ( )   D0     j 1 cos  (1  e j )  1 sin  (1  e j )   0 .
j 1







(2.24)

Đây chính là phương trình đặc trưng của thanh có nhiều vết nứt. Trong
trường hợp thanh khơng nứt ta có phương trình đặc trưng tần số ở dạng:
D0   ( 01  2  0 1 ) sin    ( 0 1   0 ) cos   0 .

(2.25)

Giải phương trình (2.24) ta được các trị riêng 1 , 2 ,.... từ đó cho phép tính

được các tần số riêng và dạng riêng dao động tương ứng:
 k  ( k / L ) E /  ;
n


 k ( x)  Ck  0 sin k x   0 k cos k x    j S ( x  e j ) k  1,2,3....
j 1



(2.26)

Xem xét các trường hợp điều kiện biên cổ điển sau đây:
Trường hợp 1. Giả sử thanh bị cố định đầu trái (x=0) và tự do đầu phải
(x=1), khi đó ta có  0  1,  0  0; 1  0, 1  1 L0 ( x)  sin x và p = 1. Do đó phương
trình (2.24) có dạng:
n

cos     j sin  (1  e j )  0 .
j 1

Trường

hợp

2.

Thanh

có

hai

đầu

cố

định,

 0  1,  0  0; 1  1, 1  0 và do đó phương trình (2.24) có dạng:
n

sin     j cos  (1  e j )  0 .
j 1

khi

đó

ta

có:


21

Trường

hợp

3.

Thanh

có

hai

đầu

tự

do,

lúc

này

ta

có:

 0  0,  0  1; 1  0, 1  1 khi đó phương trình (2.24) đưa về dạng:
n

sin     j sin  (1  e j )  0 .
j 1

2.2.3. Hàm đáp ứng tần số dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt
2.2.3.1. Cơ sở lý thuyết

Bây giờ ta xét bài toán dao động cưỡng bức của thanh bị nứt được mơ tả
bằng phương trình:
 ( x)  2  ( x)  Q0 ( )a 0 ( x  x0 ), a 0  L / EF , 0  x0  1.

Dễ dàng nhận thấy, nghiệm tổng quát của phương trình trên có dạng:
x

 ( x,  )   0 ( x,  )  Q0 ( )a 0  h( x  s ) ( s  x0 )ds.

(2.27)

0

trong đó  0 ( x,  ) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2.1) và:
h( x)  (1 /  ) sin x. .

(2.28)

Tính tích phân bên phải phương trình (2.27) ta được:
(x, )  0 (x, )  Q0 ()a0 h(x  x0 )  0 (x, ) [Q0 ()a0 / ]sin(x  x0 ).

(2.29)

Sử dụng biểu thức (2.18) của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (2.1)
ta có:
n

 ( x,  )  C[ L0 ( x)    j K ( x  e j )]  Q0 ( )a 0 h( x  x0 ).
j 1

Và sau đó áp điều kiện biên bên phải cho nghiệm này ta được:
n

 ( p ) (1)  C[ L(0p ) (1)    j S ( p ) (1  e j )]  Q0 ( )a 0 h ( p ) (1  x0 )  0.
j 1

Từ phương trình cuối ta tìm được hằng số tích phân C bằng:
n

C  Q0 ( )a 0 h ( p ) (1  x0 )[ L(0p ) (1)    j K ( p ) (1  e j )] 1 .
j 1


22

Như vậy cuối cùng ta được:
n


( p)
h
(
1

x
)[
L
(
x
)


 j K ( x  e j )] 

0
0

j 1
.
 ( x,  )  Q0 ( )a 0 h( x  x 0 ) 
n


( p)
( p)
L0 (1)    j K (1  e j )


j 1



(2.30)

Sử dụng công thức (2.30) ta được biểu thức tổng quát của hàm đáp ứng tần
số FRF ( x, x 0 ,  )   ( x,  ) / Q0 ( ) như sau:
n


( p)
h

(
1

x
)[
L
(
x
)

 j K(x  e j )]

0
0

j 1
. (2.31)
FRF(x, x0 , )  H(x, x0 , )  a0 h(x  x0 ) 
n


( p)
( p)
L0 (1)   j K (1 e j )


j 1



Xét một số trường hợp đặc biệt sau đây:
Trường hợp 1: Xét một thanh có đầu trái cố định và đầu phải tự do, khi ấy hàm đáp
ứng tần số (2.31) có dạng:
n


cos

(
1

x
)[sin

x

j K(x ej )]

0

a
j 1
.
FRF(x, x0,)  H(x, x0,)  0 sin(x  x0) 
n


[cos  j sin(1ej )]



j 1



(2.32)

Nếu điểm đo và điểm đặt lực trùng nhau và tại đầu phải, hàm đáp ứng tần số
bằng:
n

FRF( x, x0 , )  H (1,1, )  H11 ()  (a0 / )


j 1

j

.

n


j 1

cos(1  e j )  sin 

j

(2.33)

sin (1  e j )  cos

với:
j 1

 j   j [cos e j    k sin  (e j  ek )], j  1,..., n.

(2.34)

k 1

Trường hợp 2: thanh có hai đầu tự do ta có:
n


cos(1 x0)[cos x j K(x  ej )]

a
j 1
. (2.35)
FRF(x, x0, )  H(x, x0, )  0 sin(x  x0) 
n


[sin  j sin(1 ej )]


j 1



23

và nếu điểm đặt lực ở đầu bên trái và điểm đo ở đầu bên phải của thanh ta được:
n

FRF( x, x0 , )  H (1,0, )  H 01 ()  (a0 /  )

1   j cos e j
j 1
n

sin     j sin  (1  e j )

.

(2.36)

j 1

với:
j 1

 j   j [sin e j    k sin  (e j  ek )], j  1,..., n.

(2.37)

k 1

2.2.3.2. Kết quả tính tốn số
Trong mục này trình bày một số kết quả phân tích số về hàm đáp ứng tần số
trong dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt. Xét hàm đáp ứng tần số trong
lân cận của tần số riêng thứ nhất và thứ hai, ký hiệu là FRF1 và FRF2. Ảnh hưởng
của vị trí vết nứt đến các hàm đáp ứng tần số nêu trên được trình bày các hình vẽ
2.3-2.12 cho thanh hai đầu tự do và hình vẽ 2.13-2.16 cho thanh cố định một đầu.
Đồ thị trên các hình vẽ biểu thị sự thay đổi của mô đun các hàm đáp ứng nêu theo vị
trí và độ sâu một hay nhiều vết nứt.

Hình 2.3. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến hàm đáp ứng tần số FRF1 của thanh hai
đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%).


24

Hình 2.4. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến hàm đáp ứng tần số FRF2 của thanh hai
đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%).

Hình 2.5. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ hai đến hàm FRF1 của thanh hai đầu tự
do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35.


25

Hình 2.6. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ hai đến hàm FRF2 của thanh hai đầu tự
do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35.

Hình 2.7. Ảnh hưởng của độ sâu vết nứt thứ hai (0 - 45%) đến hàm FRF1 của thanh
hai đầu tự do. Hai vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65 và độ sâu vết
nứt thứ nhất bằng 30%.