Luận văn nghiên cứu tương tác raman kết hợp trong môi trường khí được chứa bởi sợi quang tử lõi rỗng

MỞ ĐẦU
Khi truyền qua môi trường vật chất, ánh sáng có thể hoạt động theo các cơ chế
khác nhau, phụ thuộc vào tính chất của nó ánh sáng và mơi trường. Ánh sáng có thể bị
hấp thụ, truyền qua, phản xạ, khúc xạ, nhiễu xạ, tán xạ, biến điệu ..v.v..Tán xạ có thể
được chia làm hai loại là tán xạ đàn hồi và tán xạ phi tuyến: Tán xạ đàn hồi hay còn gọi là
tán xạ Rayleigh, tán xạ này khơng có sự chuyển hóa năng lượng giữa ánh sáng và vật
chất, dẫn đến khơng có sự dịch chuyển tần số của sóng kích thích ωs = ω0 (trong đó ω0 là
tần số của sóng kích thích hoặc tần số bơm, ωs là tần số của sóng tán xạ); Tán xạ phi
tuyến hay còn gọi là tán xạ cưỡng bức, loại này có sự chuyển hóa năng lượng dựa vào sự
va chạm giữa photons (lượng tử ánh sáng) và các phân tử hoặc nguyên tử của môi trường
hoạt chất, kết quả dẫn đến sự dịch chuyển tần số của sóng kích thích, vạch phát dịch
chuyển về phía tần số thấp hơn ω0 gọi là vạch Stokes ωs = ω0 – Ω, ngược lại vạch phát
dịch chuyển về phía tăng tần sốgọi là vạch đối Stokes (hoặc anti-Stokes) ωAS = ω0 + Ω,
trong đó Ω là tần số dao động cưỡng bức của phân tử hoặc tần số kết hợp nguyên tử do
ánh sáng kích thích gây ra.
Năm 1928 C.V. Raman đã khám phá ra hiện tượng tán xạ không đàn hồi mang tên
ơng [1]. Ơng gọi nó là loại bức xạ mới thứ cấp với cường độ tín hiệu được quan sát là rất
yếu. Quả thật, đó là tán xạ Raman tự phát với tỷ lệ chuyển đổi tần số cực nhỏ chỉ khoảng
1:106 , có nghĩa là chỉ khoảng 1 trong tổng số 106 số photons của ánh sáng tới dịch chuyển
thành photons của tín hiệu Stokes. Nâng cao hiệu suất dịch chuyển tần số là một thử thách
của quang học phi tuyến trong thời gian dài, vấn đề chỉ được giải quyết khi laser được
phát minh vào những năm 60 [2]. Laser là ánh sáng kết hợp có cường độ sáng rất cao, nó
có thể được sử dụng để kích thích tạo ra hiệu ứng phi tuyến quang học nói chung và tán
xạ Raman nói riêng mà ánh sáng thông thường không thể. Nếu như tán xạ Raman tự phát
thì photon phát ra tồn bộ trong khơng gian góc 4 theo mơ hình lưỡng cực điện cổ điển,
thì nay sử dụng thấu kính để hội tụ có thể tạo ra chiều dài tương tác cỡ vài mm (chiều dài
Rayleigh) để tạo ra chế độ tán xạ Raman cưỡng bức, do đó hiệu suất có thể nâng lên tới
hàng chục phần trăm, tức là gấp hàng triệu lần so với chế độ tự phát [2,3].

1

Tán xạ Raman cưỡng bức (SRS) đã được quan sát đầu tiên trong dung dịch
Nitrobenzene sử dụng laser Ruby [3]. Một thời gian ngắn sau khám phá đó, người ta nhận
ra rằng quá trình tán xạ Raman cưỡng bức gắn liền cùng các phonon quang [4]. Những
phonon quang này chính là những dao động đồng bộ của các nguyên tử mơi trường hoạt
chất, chúng có thể là các dao động hoặc quay, hoặc kích thích liên kết cả hai. Những kích
thích kết hợp này chính là nguồn gốc tạo ra các phổ dao động Stokes tương ứng [5]. Nó
cũng chính là đại lượng sinh ra quá trình quang học phi tuyến trong hệ phương trình mơ tả
trường điện từ Maxwell.
Để tạo hiệu ứng SRS trong mơi trường khí thì chùm kích thích phải đạt cường độ
ngưỡng cao. Ban đầu người ta hội tụ chùm laser qua một khe nhỏtrong không gian tự do
hoặc trong bình khí hoạt chất để duy trì tương tác với khí Raman hoạt chất: khí Raman, ví
dụ như khí H2được đổ đầy dọc bên trong bình dẫn khí, chùm laser cỡ vài chục mJ được
hội tụ vào bên trong bình dẫn khí như Hình 0.1. Kết quả thu được hiệu suất tán xạ Raman
chỉ vài % [6]. Hiệu quả thấp này có thể được giải thích một cách dễ dàng: khi tăng cường
độ ánh sáng bằng cách hội tụ chùm tia, thì độ dài tương tác ngắn lại, có thể xấp xỉ với
chiều dài Rayleigh. Thơng thường các chùm laser được hội tụ mạnh bằng thấu kính thì
chiều dài Rayleigh thường khơng dài hơn vài mm (xem Hình 0.1 minh họa), mật độ
photon đủ lớn để phát SRS bị giới hạn trong khoảng Rayleigh.

Khe nhỏ

Chiều dài Rayleigh

Hình 0.1: Chùm Gaussian hội tụ trong khơng gian tự do.
Cường độ ánh sáng đủ lớn cho tương tác khí-laser bị giới hạn bởi chiều dài
Rayleigh của chùm tia (giới hạn bởi nhiễu xạ). Trên hình minh họa mật độ photon bằng
màu sắc xanh, màu càng đậm thì mật độ photon (cường độ ánh sáng) càng lớn và ngược
lại.

2


Để cải thiện hiệu suất tán xạ Raman, sau đó người ta thực hiện các thí nghiệm SRS
trong một ống dẫn sóng thay vì bình khí để giam khí hoạt chất và cải thiện được mất
quang học [7]. Tuy nhiên, hằng số suy giảm đối với ống dẫn sóng tỷ lệ với λ2/a3, trong đó
λ là bước sóng ánh sáng kích thích, a là bán kính trong ống dẫn sóng [8], do đó nếu bán
kính trong của ống dẫn sóng càng nhỏ thì tổn hao quang học càng cao. Dẫn quang sử
dụng ống dẫn sóng được minh họa trên Hình 0.2, trong đó màu xanh thể hiện chùm laser,
độ đậm minh họa mật độ photon. Chúng ta nhận thấy sau khi truyền một đoạn ngắn thì
chùm laser suy giảm đáng kể cường độ.

Hình 0.2: Chùm Gauss tập trung vào mộtốngdẫn sóng đường kính 2a
Hằng số suy giảm tỷ lệ với đại lượng λ2/a3, đại lượng này là rất cao đối với các ống dẫn
sóng có bán kính lõi nhỏ.
Năm 1991, giáo sư Phillip St. John Russell cùng các cộng sự tại trường Đại học
Bath, Vương quốc Anh đã đề xuất ý tưởng giam chùm laser vào mô ̣t lõi rỗng của sợi
quang tử dựa trên cơ chế vùng cấm quang tử hai chiều. Cấu trúc của nó bao gồm các
mảng ống dẫn sóng khí cực nhỏ chạy dọc theo và bao quanh toàn bộ chiều dài của sợi
quang, hoạt động như lớp vỏ sợi quang.Lớp vỏ bao quanh một lõi rỗng kích thước cỡ µm,
lõi rỗng này hoạt động như một sai hỏng trong cấu trúc quang tử. Nếu được thiết kế phù
hợp, lớp vỏ này sẽ tạo ra các vùng cấm và giam hầu như toàn bộ ánh sáng trong lõi rỗng.
Cấu trúc tinh thể quang tử rỗng (HC-PCFs) được thiết kế và chế tạo lần đầu năm 1995, nó
cho phép các nhà khoa học khả năng tiếp cận những trạng thái tương tác phi tuyến phức
tạp vật chất - laser mà trước đó khơng thể tiếp cận được [9,10].

3


Lõi

Lớp vỏ

Hình 0.3: Chùm Gauss được hội tụ vào một sợi tinh thể quang tử rỗng HC-PCFs
Chiều dài Rayleigh vô hạn (không bị giới hạn bởi nhiễu xạ) và mất mát cực nhỏ đảm bảo
độ truyền ánh sáng cao.
HC-PCFs chế tạo thành công đã mở ra nhiều cơ hội cho việc nghiên cứu quang học
phi tuyến dựa trên tương tác laser – khí (hoặc hơi) nói chung và tán xạ Raman cưỡng bức
kết hợp nói riêng [11]. Do sở hữu những tính chất độc nhất và ưu việt, HC-PCFs là ứng
viên hoàn hảo cho việc nghiên cứu SRS hiệu suất cao trong mơi trường khí [10]. HCPCFs cho phép ánh sáng lan truyền không nhiễu xạ (độ dài Rayleigh về cơ bản là vô hạn),
mất mát cực thấp, điều chỉnh được dải vùng cấm dựa trên thiết kế lớp vỏ sợi quang,
cường độ ánh sáng cao được truyền dọc theo sợi quang, cấu hình ngang của chùm tốt, độ
chồng lấn giữa laser và phân tử khí tốt (Hình 0.3). Hơn nữa, sử dụng HC-PCFs cho phép
hạ đáng kể công suất ngưỡng phát SRS, kết quả là tránh được một số hiệu ứng như các
Stokes bậc cao, đối Stokes, tự biến điệu, tự hội tụ…. khơng làm cho q trình tán xạ
Raman cưỡng bức trở nên phức tạp [5,10,11,12]. Những tính chất vượt trội trên cho phép
chúng ta khám phá những hiệu ứng phi tuyến thú vị, những quá trình phức tạp mà cơng cụ
khác khó có thể tiếp cận.
Hình 0.4 minh họa hình ảnh đơn giản của SRS kích thích phân cực trịn trong HCPCFs chứa đầy khí H2. Các phân tử khí bị giam chặt trong lõi rỗng của sợi quang, nơi
chúng được kích thích với ánh sáng bơm. Các phân tử bắt đầu dao động tròn đồng bộ
hoặc kích thích dao động, đầu ra cho sóng tín hiệu Stokes có tần số thấp hơn. Độ dài của
xung bơm được chọn theo cách để truy cập chế độ gọi là SRS kết hợp nhanh - đó là thời
gian xung bơm đủ dài để tạo ra đồng bộ pha ổn định giữa trường bơm và tín hiệu trong

4


khi đủ ngắn để đảm bảo tắt dần phân tử khơng thể phá hủy sự kết hợp trong q trình tạo
tín hiệu.
Khí H2
Tín hiệu đầu ra

Bơm kích thích

Hình 0.4: Cơ chế tạo SRS phân cực tròn quay trong HC-PCFchứa đầy khí H2
Bơm kích thích các phân tử bị giam chặt bên trong lõi sợi bắt đầu tán xạ dao động kết hợp
ánh sáng đầu vào tới tín hiệu đầu ra tần số Stokes thấp hơn.
Nội dung của luận văn được bố cục như sau:
Chương 1: Giới thiệu, phân tích hiện tượng tán xạ Raman bằng cách tiếp cận cổ
điển và lượng tử. Tương tác ánh sáng - vật chất được mô tả chi tiết dựa trên nguồn gốc vật
lý của quá trình tán xạ Raman. Ở đây, lý thuyết cơ bản được thiết lập bằng cách dẫn ra
các phương trình điều khiển quá trình tán xạ Raman. Hình thức luận cổ điển tuy không
mô tả được bức tranh vật lý tồn diện nhưng giúp ta có hình dung trực quan vật lý của tán
xạ Raman, ngược lại hình thức luận lượng tử cung cấp cho chúng ta bức tranh vật lý đầy
đủ về quá trình tán xạ Raman.
Chương 2: Chúng tôi đưa ra một tổng quan về cơ chế dẫn ánh sáng mới của sợi
tinh thể quang tử (PCFs). Sơ đồ truyền sóng quang học được sử dụng để phân tích và so
sánh với ống dẫn sóng thơng thường. Sau đó, chúng tơi sẽ phân tích và giới thiệu sợi HCPCFs dẫn sóng có dải truyền hẹp mà được sử dụng trong nghiên cứu ở Chương 3 của luận
văn. Cuối cùng, so sánh hiệu suất tương tác phi tuyến ánh sánh – khí hoạt chất của HCPCFs với các cấu hình truyền thống khác để thấy khả năng vượt trội của nó.
Chương 3: Trong chương này, chúng tơi sử dụng những đặc tính vượt trội của sợi
quang tử lõi rỗng HC-PCFs để bước đầu nghiên cứu những quá trình phát triển động học,
các hiệu ứng phức tạp của tán xạ Raman kết hợp trong mơi trường khí Hydrogen mà các hệ
dẫn quang khác khó có thể tiếp cận.Nghiên cứu được tiến hành theo hai cấu hình khơng
5


gian đó là: tán xạ Raman cưỡng bức ngược (BSRS) và tán xạ Raman cưỡng bức thuận
(SRS thông thường) trong mơi trường khí H2 được đổ trong lõi của sợi quang HC-PCFs.
Cuối cùng là phần kết luận.

6

CHƯƠNG 1: TÁN XẠ RAMAN
1.1 Tán xạ Raman tự phát
Hiện tượng tán xạ Raman tự phát được giải thích dựa trên sơ đồ các mức năng
lượng của phân tử trình bày trong hình 2.1. Các mức năng lượng của phân tử bao gồm các
mức điện tử, trong đó các mức J là mức điện tử kích thích.Trong mức điện tử cơ bản chứa
nhiều mức năng lượng dao động. Các mức dao động này cách nhau một khoảng bằng
nhau ứng với tần số nằm trong vùng hồng ngoại trung (4.000 cm-1- 650cm-1). Trong mỗi
mức năng lượng dao động lại có nhiều mức năng lượng quay. Các mức năng lượng quay
cách nhau một khoảng bằng nhau ứng với tần số nằm trong vùng hồng ngoại xa (650 cm-1
- 10cm-1). Đối với các mơi trường tán xạ Raman thì các mức J được gọi là các mức kích
thích cộng hưởng xa. Điều này đuợc trình bày cụ thể ngay sau đây [2,13].

Hình 1.1: Sơ đồ các mức năng lượng và các chuyển dịch trong tán xạ Raman
Trong đó: a,b:các mức dao động; aj, bj: các mức quay; J: là các mức điện tử.
Nguồn ánh sáng chiếu vào mơi trường có tần số v0, hay năng lượng của các photon
hv0. Khi năng lượng photon thoả mãn điều kiện

v0
v0
tương tác cộng hưởng xa. Sau khi hấp thụ photon, các phân tử đang ở trạng thái a hoặc
bsẽ nhảy lên một mức năng lượng trung gian nào đó (Etg< EJ). Tồn tại ở đó một thời gian
7


nhất định rồi nhảy về các trạng thái có mức năng lượng b hoặc avà bức xạ các photon ra
khỏi môi trường. Phụ thuộc vào trạng thái ban đầu và trạng thái cuối của các dịch chuyển

mà ta có các bức xạ thứ cấp là Rayleigh, Stokes hay đối Stokes (Hình 1.1).
Nếu trạng thái ban đầu và trạng thái cuối đều là a hoặc đều là b (cùng mức năng
lượng) ta có tán xạ Rayleigh. Nếu trạng thái ban đầu có mức năng lượng nhỏ hơn trạng
thái cuối ta có tán xạ Raman Stokes. Ngược lại, khi trạng thái ban đầu có năng lượng lớn
hơn trạng thái cuối ta có tán xạ đối Stokes. Cường độ ánh sáng tán xạ là khác nhau đối với
mỗi tần số khác nhau.

Hình 1.2: Các quá trình tán xạ.
Từ Hình 1.2, ta thấy cường độ mạnh nhất là tán xạ Rayleigh với tần v0. Điều này
có thể giải thích rằng trong trạng thái cân bằng nhiệt, phần lớn các phân tử nằm ở trạng
thái năng lượng thấp nhất a. Cũng từ nguyên tắc này mà cường độ tán xạ Stokes cũng lớn
hơn tán xạ đối Stokes. Do đó, khó có thể quan sát được ánh sáng tán xạ đối Stokes khi
kích thích bằng chùm ánh sáng không đơn sắc. Tuy nhiên, điều này cũng chỉ đúng với tán
xạ Raman tự phát.

8


Quá trình tán xạ Raman gọi là tự phát nếu sự biến đổi hằng số điện môi không phụ
thuộc vào trường ngồi
ε = ε0 + ∆ε

(1.1)

trong đó ε0 là hằng số điện mơi của mơi trường, cịn ∆ε đặc trưng cho sự thăng giáng của
độ thẩm điện mơi. Chính thành phần này sẽ gây nên hiện tượng tán xạ. Khi đó, cường độ
của ánh sáng tán xạ được tính theo cơng thức sau:
IS =

I 0 RV

L2

(1.2)

trong đó, I0 là cường độ ánh sáng kích thích, V là thể tích mơi trường tán xạ, L là khoảng
cách từ đầu thu đến tâm môi trường tán xạ và R là hệ số tán xạ. Bằng lý thuyết nhiệt động
học về tán xạ ánh sáng vơ hướng ta có thể đưa ra biểu thức cho hệ số tán xạ như sau [2]:
( − 1)2 04 sin 2 
R=
16 2cN

(1.3)

trong đó φ là góc tạo bởi hướng thu và trục của chùm tia tới (xem hình 1.3 ),
N là số phân tử trong mơi trường.

Hình 1.3: Phân bố trường tán xạ Raman.
Như vậy, biểu thức (1.3) ta thấy, hệ số tán xạ hoàn toàn khơng phụ thuộc vào
cường độ ánh sáng vào, hay nói cách khác cường độ tán xạ phụ thuộc tuyến tính vào
cường độ ánh sáng kích thích.
1.2 Tán xạ Raman cưỡng bức
Ngược với tán xạ tự phát ở trên, hiện tượng tán xạ trong đó sự thăng giáng hằng số
điện mơi phụ thuộc cảm ứng vào trường ngoài được gọi là tán xạ cưỡng bức. Hệ số
khuếch đại tán xạ cưỡng bức là biểu thức có sự tham gia của cường độ kích thức IL :
9


N 2c 2   
G= 2
s bn L   0

(1.4)

Tán xạ cưỡng bức có hiệu suất lớn hơn nhiều so với tán xạ tự phát. Ví dụ, chỉ có
gần 10-5 số photon trong chùm tia kích thích bị tán xạ tự phát trên 1 cm môi trường, trong
khi đó có thể đạt đến 100% số photon bị tán xạ cưỡng bức.
Một số tham số đặc trưng của các vật liệu tán xạ Raman trình bày trong bảng sau.
Đặc trưng tán xạ Raman của một số vật liệu
Vật liệu

Tần số dịch

Độ rộng phổ

Tiết diện

Hệ số KĐ G/IL

-1
ν0[cm ]

∆ν [cm-1]

N(dσ/dΩ)0

10-3cm/MW

[10-8cm-1 sr-1
O2 lỏng

1552

0,117

0,48 ± 0,14

14,5 ± 4

N2 lỏng

2326,5

0,0067

0,29 ± 0,09

16 ± 5

Benzen

992

2,15

3,06

2,8

CS2

655,6

0,50

7,55

24

Tulen

1003

1,94

1,1

1,2

LiNbO3

256

23

381

8,9

1.3 Tán xạ Raman tự phát và tán xạ Raman cưỡng bức
Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày tán xạ Raman tự phát và tán xạ Raman

cưỡng bức gây bởi ánh sáng laser. Khi cường độ laser nhỏ sẽ xảy ra quá trình tán xạ
Raman tự phát và khi cường độ laser đủ lớn sẽ xảy ra quá trình tán xạ Raman cưỡng bức.
Vấn đề là chúng ta cần xác định được mối quan hệ giữa hai quá trình đó và chỉ ra khi nào
sẽ xảy ra q trình tán xạ Raman tự phát và tán xạ Raman cưỡng bức. Để giải quyết được
điều đó, chúng ta sử dụng giả thiết của Garmire như sau [13,14]:
Giả sử một chùm laser được chiếu vào một môi trường Raman.Gọi mL là số photon
trung bình trong mốt laser, ms là số photon trung bình trong mốt Stokes, và D là một hằng
số tỉ lệ nào đó có giá trị phụ thuộc vào tinh chất của mơi trường. Khi đó Garmire giả thiết
10


rằng:trong một đơn vị thời gian xác suất để một photon từ mốt laser chuyển sang mốt
Stokes được xác định bởi:
Ps = DmL (ms + 1)

(1.5)

Giả thiết này được thoả mãn vì thừa số ml dẫn tới sự phụ thuộc tuyến tính của tốc
độ tán xạ vào cường độ laser, và thừa số ms + 1 dẫn tới tán xạ cưỡng bức qua sự tham gia
của số photon Stokes ms và sự tán xạ tự phát qua sự tham gia của đơn vị. Sự phụ thuộc
của xác suất của Ps vào thừa số ms + 1 còn cho biết sự phụ thuộc cưỡng bức và tự phát
vào tốc độ bức xạ tổng cộng đối với sự biến đổi một photon của hệ nguyên tử.
VớiPs là xác suất trong một đơn vị thời gian để một photon trong mốt laser biến đổi
thành một photon trong mốt Stokes. Do đó, tốc độ biến đổi theo thời gian của số photon
Stokes chính bằng xác suất Ps. Do đó:
dms
= Ps
dt

(1.6)

dms
= DmL (ms + 1)
dt

(1.7)

Thay (1.5) vào (1.6) thu được

Mỗi một mốt Stokes tương ứng với một súng lan truyền theo trục Z trong môi
trường tán xạ với vận tốc c/n khi đó dz = c/ndt, dẫn đến:
dms
1 dms
1
=
=
DmL (ms + 1)
dt
c / n dt
c/n

(1.8)

Như vậy, bằng sự lập luận ta sẽ xác định được tốc độ biến đổi số photon Stokes
theo phương z:
dms
1
=
DmL
dt

c/n

(1.9)

Sử dụng kết quả (1.9) để xác định quá trình tán xạ Raman tự phát và quá trình tán
xạ Raman cưỡng bức tương ứng với hai trường hợp giới hạn đối ngược nhau tương ứng
với ms<< 1 và ms>> 1.
+ Nếu ms<< 1, tức là số photon trong mốt Stokes nhỏ hơn đơn vị rất nhiều. Khi đó, ta có
thể bỏ qua mS ở vế phải (1.9) và thu được:

11


dms
1
=
DmL
dt
c/n

(1.10)

Giải (1.10) với giả thiết trường laser không bị ảnh hưởng bởi tương tác và mL
không phụ thuộc vào z, khi đó thu được kết quả
ms ( z ) =

1
DmL z
c/n

(1.11)

Giới hạn này tương ứng với tán xạ Raman tự phát, ở đây cường độ Stokes tỉ lệ với
chiều dài của môi trường Raman và số photon của trường laser.
+ Nếu ms>> 1 nghĩa là số photon trong mốt Stokes rất lớn. Vì vậy, ta có thể bỏ qua đơn
vị trong (1.9) và thu được:
dms
1
=
DmL ms
dt
c/n

(1.12)

Giải (1.12) với giả thiết trường laser với lượng photon lớn, ta được:
ms ( z ) = ms (0)eGz

ở đây: G =

(1.13)

DnmL
được gọi là hệ số tán xạ Raman cưỡng bức.
C

Trong phương trình (1.13): ms(0) là số photon trong mốt Stokes tại đầu vào của
môi trường Raman. Phương trình (1.13) mơ tả tán xạ Raman cưỡng bức. Cường độ Stokes
tăng nhanh theo hàm e mũ, với khoảng cách truyền qua môi trường. Giá trị lớn nhất của
cường độ Stokes được quan sát tại lối ra của miền tương tác.

1.4 Hệ phương trình cổ điển mơ tả tương tác tán xạ Raman cưỡng bức
Trong phần này, chúng ta sẽ mô tả tán xạ Raman cưỡng bức dựa trên dao động của
phân tử hoạt chất như hệ dao động cổ điển dưới sự kích thích của trường laser như là kích
thích của lực tác dụng. Giả thiết mỗi bức xạ quang học tương ứng với một kiểu dao động.
Để đơn giản, ta xem kiểu dao động đó là một dao động điều hoà, với tần số cộng hưởng
ωv, hằng số suy giảm γ và q là độ lệch khoảng cách trung bình giữa các hạt nhân từ giá trị
˜

cân bằng 𝑞0 (hình 1.4). Phương trình mơ tả dao động của phân tử là:
d 2q
dq 2
F (t )
+ 2
v q + v2 q =
2
dt
qt
m

12

(1.14)


Ở đây F là lực tác động vào các hạt nhân của các nguyên tử, m là khối lượng rút
gọn các phân tử. Khi có trường ngồi tác dụng, độ phân cực của các phân tử không phải là
hằng số, mà phụ thuộc vào khoảng cách giữa các hạt nhân theo phương trình:
  
 ( z , t ) =  0 +   q( z, t ),
  q 0

(1.15)

trong đó α0 là độ phân cực của phân tử, ứng với khoảng cách giữa các hạt nhân được giữ
cố định tại vị trí cân bằng .

~
E(t )

q0 + q~(t)
Hình 1.4: Mơ hình phân tử tán xạ Raman
Theo (1.15), khi phân tử dao động điều hồ thì độ phân cực biến đổi theo thời gian
dẫn tới chiết suất của môi trường cũng biến đổi theo thời gian và được xác định bởi:
n(t ) =  (t ) = 1 + 4 N (t )

(1.16)

trong đó (t): “hằng số" điện môi của môi trường, N số phân tử của môi trường. Sự biến
đổi theo thời gian của chiết suất sẽ làm thay đổi chùm sáng khi đi qua môi trường. Dưới
tác dụng của trường quang học E (z,t) , mỗi phân tử sẽ bị phân cực và làm xuất hiện mô
men lưỡng cực định xứ tại toạ độ Z, được xác định với:
P( z, t ) =  E(z, t)

Năng lượng cần thiết để xác lập dao động của mô men lưỡng cực này là:
W=

1
1
 P( z , t ) E ( z , t )  =  E ( z , t )
2

2

(1.17)

Trong đó năng lượng ta lấy theo giá trị trung bình của bình phương biên độ trường.
Trường quang học tác dụng vào các hạt nhân của các nguyên tử một lực là:
F=

dw 1  d  2
= 
 E ( z, t )
dq 2  dq 
13

(1.18)


Giả thiết trường quang học toàn phần được biểu diễn:
E ( z, t ) = A L ei (K L Z −Lt ) + As ei ( K s Z −st ) + cc

(1.19)

Thay (1.19) vào (1.18) ta có:
1  d 
* i ( KZ −t )
F ( z, t ) = 
+ cc 
  AL As e
2  d q 0

(1.20)

ở đây sử dụng các kí hiệu sau:
k = kL - k S ;

Ω= ωL −ωS

(1.21)

Giải phương trình (1.14), với biểu thức (1.16) và giả thiết dạng nghiệm là:
q = q()ei ( KZ −t ) + cc

ở đây q(Ω ) là biên độ dao động của phân tử. Thay (1.18) vào (1.14) và sử dụng (1.20) ta
được
−q () − 2i q() + v2 q() =

1  d 
*

 AL AS
m  dq 0

(1.22)

Từ phương trình (1.22) ta thu được biên độ dao động của phân tử là:

q () =

1  d 
AL AS

m  dq 0

− 2 − 2i + v2 ()

(1.23)

Độ phân cực của trường được xác định như sau P( z, t ) = Np(z, t) = N  (z, t) E(z, t) =
 d 
 q()ei ( KZ −t ) + cc   ALei ( K L Z −Lt ) + As ei ( K s Z −st ) + cc 
=N

 dq 0

(1.24)

Ta thấy biểu thức độ phân cực phi tuyến (1.24) chứa nhiều tần số khác nhau. Độ
phân cực phi tuyến dao động theo tần số Stokes là:
Ps ( z, t ) = P(s )e−ist + cc

(1.25)

trong đó P(ωS ) là biên độ phức của phân cực Stokes được xác định bởi
 d  *
iks z
P(s ) = N 
 q ( ) A L e
 dq 0

Thay (1.25) vào (1.26) ta thu được :

14

(1.26)


2

p(s ) =

N  d 
| AL |2 As
m  dq 0
− − 2i + v ()
2

eiks z

(1.27)

Gọi độ cảm Raman Stokes là: χR (ωS ). Khi đó ta đặt biên độ phức của phân cực
Stokes P (ωS ) theo độ cảm là:
P(ωS ) =6 χR (ωS) |AL|2 Aseiksz

(1.28)

So sánh (1.27) và (1.28) thu được:
2

1   d 


N


 6m   dq 0
 R (s ) = 2
v − (L − S )2 + 2i(L − S )

(1.29)

Biễu diễn (1.29) dưới dạng:
2

 R (S ) =

1  d 
(N
)
6m  dq 0

v − (L − s )s − (L − v ) + 2i(L − s )

.

(1.30)

ở đây tần số cộng hưởng tức là ωS ≈ ωL − ωV và ωV ≈ ωL − ωS .
Phần thực và phần ảo của χR (ωS ) ≡ χ'R (ωS ) + iχ" R (ωS ) được thể hiện trên hình 1.5

Hình 1.5: Phụ thuộc độ cảm Raman vào tần số.
Từ (1.30) thu được độ cảm Raman Stokes ở gần tần số cộng hưởng là:

2

 R (S ) =

1  d 
(N
)
6m  dq 0

2v s − (L − v ) + 2v

15

,


2

hay

 R (S ) =

1  d 
(N
)
12m  dq 0

s − (L − v ) + i

(1.31)

Phương trình mơ tả biên độ sóng Stokes tương tác bốn sóng là:
dAs
= − S AS
dz

trong đó

αS = −12 i

s
ns c

(1.32)

 R (S ) | AL |2

(1.33)

được gọi là hệ số hấp thụ Stokes.
Do độ cảm có phần ảo nhỏ hơn phần thực, mà phần ảo của độ cảm χR (ωS ) âm, do
đó αS sẽ là một số thực âm. Từ đó, biên độ sóng Raman tăng theo hàm mũ
AS (z,t) = AS (0,t)e−aS z

(1.34)

trong đó αS < 0
Tương tự như xác định độ cảm Raman Stokes, độ cảm Raman đối Stokes xác định
bằng cách thay ωs bởi ωa nên ta được:
2

 R (a ) =

1  d 
(N
)
6m  dq 0

v2 − (L −  )2 + 2i(L − a )

(1.35)

hay
2

 R (a ) =

1  d 
(N
)
12m  dq 0

[a − (L − v )]+i

(1.36)

Từ đó biên độ trường đối Stokes tăng theo hàm mũ theo phương trình sau
Aa (z,t) = Aa (0,t)e−aaz
với  a = −12  i

a
na c

 R (s ) | AL |2  0

Khi có sự tương tác bốn sóng: hai sóng laser với hai sóng Stokes và đối Stokes nên
xác định được độ cảm Stokes χR (ωa )

16


2

 R (a ) =

1  d 
(N
)
3m  dq 0

v2 − (L −  )2 + 2i(L − a )

(1.37)

So sánh (1.37) với (1.36 ) ta có
χR (ωa ) = χR (ωa ) *

(1.38)

Quan hệ giữa độ cảm Raman của Stokes và đối Stokes thể hiện trên hình 1.7. Khi

đó độ phân cực tồn phần của trường đối Stokes là tổng của sự tham gia bởi biểu diễn
(1.35) và (1.37), được xác định theo biểu thức:
Ptp (a ) = 6 R (a ) | AL |2 As eiks + 3 F (a ) AL AS ei ( KL −KS ) Z

(1.39)

trong đó số hạng thứ nhất của (1.39) cho biết độ phân cực của trường đối Stokes. Số hạng
thứ hai là của độ phân cực do tương tác bốn sóng gây ra.

Hình 1.6: Phụ thuộc độ cảm Raman vào tần số
Tương tự, xét sự tương tác bốn sóng đối với trường Stokes được sinh ra với q
trình đó là:
2

1  d 
(N
)
3m  dq 0

v2 − (L − S )2 + 2i(L − S )

(1.40)

Pp (s ) = 6 R (s ) | AL |2 As eiks + 3 F (s ) AL AS*ei ( KL −KS ) Z

(1.41)

 R (a ) =

Khi đó độ phân cực là:

17


Tương tự, số hạng thứ hai là độ phân cực của trường Stokes do tương tác bốn sóng
gây ra. Từ đó, độ cảm tương tác bốn sóng được quan hệ với độ cảm Raman Stokes được
cho bởi
  F (S ) = 2  R (a )

*
  F (S ) = 2  R (a )

(1.42)

Hệ phương trình tương tác bốn sóng của trường Stokes và trường đối Stokes được
biểu diễn:
 dAs
= − S AS + kS Aa*eikz

 dz

 dAa = − A + k A*eikz
a a
a a

 dz

(1.43)

trong đó αJ , kJ là các hệ số hấp thụ và các hệ số liên kết có độ lớn được xác định:

j = −

12 i
 R ( j ) | AL |2 j = s, a
nnj c

kj =

 ib
nnj

 F ( j ) AL

2

(1.44a)
(1.44b)

và độ lệch pha
k = 2 K L − K s − K a

(1.44c)

Dạng hệ phương trình (1.43) chỉ ra rằng mỗi biên độ của sóng Stokes cũng như
sóng đối Stokes được quyết định bởi thành phần khuếch đại Raman hoặc mất mát Raman
(số hạng thứ nhất bên phải) và bởi thành phần hợp pha (số hạng thứ hai). Số hạng mơ tả
tương tác trộn bốn sóng có ảnh hưởng lớn khi độ lệch pha vơ cùng nhỏ. Trong mơi trường
tán sắc thơng thường thì chiết suất ứng với bước sóng laser bao giờ cũng nhỏ hơn trung
bình chiết suất của sóng Stokes và đối Stokes (hình 1.7a). Do đó, điều kiện hợp pha hồn
tồn (∆k = 0) chỉ có thể đạt được khi sóng Stokes truyền lan theo phương tạo với phương

sóng laser một góc khác khơng (hình 1.7b).

18


Hình 1.7: Quan hệ hợp pha giữa sóng Stokes và Đối Stoke trong tán xạ Raman
cưỡng bức.
Với những góc khác với góc hợp pha, ∆k sẽ rất lớn, khi đó chỉ số hạng thứ nhất bên
trái (1.43) là quan trọng. Theo hướng này thì hai phương trình liên kết với nhau, sóng
Stokes được khuếch đại, cịn sóng Đối Stokes bị giảm. Theo phương mà độ lệch pha rất
nhỏ thì cả hai số hạng bên phải đều quan trọng và hai phương trình đều được giải đồng
thời.
Sau đây chúng ta sẽ giải hệ phương trình cho cả Stokes và Đối Stokes. Giải hệ
phương trình trên ta tìm được biên độ của trường Stokes và trường đối Stokes trong tán xạ
Raman cưỡng bức.
 *
 g+z 
ik 

  k s As (0) −  g +  s +

 As (0)  e
2 






+  k A* (0) −  g +  + ik  A (0)  e g + z 

s

 s 
  s a

2 





(1.45a)

 
 g+z 
ik  *
*
* *
−  g− +  a +
 Aa (0) + ka Aa (0)  e − 
2 
 




  −  g +  * − ik  A* (0) + k * A* (0)  e g + z 
a
a a
 a


  

2 




(1.45b)

ik
e
2
As ( z ) =
g+ − g−

ik
e
2
Aa* ( z ) =
g+ − g−

Trong đó

(

)

(

1
1
g  −  s +  a*    s +  a* + ik
2
2 

19

)

1

2

2
+ 4k k 

*
s a

(1.45c)


Sự phụ thuộc của g± vào độ lệch pha ∆k thể hiện trên hình 1.8. Theo quang học phi
tuyến ωs , ωa , na , ns là tần số Stokes và đối Stokes, chiết suất của môi trường Raman, α S
,αa là các hệ số hấp thụ Stokes và đối Stokes.

Hình 1.8: Phụ thuộc của hệ số khuếch đại liên kết vào độ lệch pha.
n 
 s = − a*  s a 

 nas 
ks =  s e2iL

(1.46)
(1.47)

n 
ka = − a*  s a  e2iL
 nas 

(1.48)

Thay vào ta được:
1

1 2


2

k


g  =  i s k − 
 

 2  



(1.49)

Kết quả cho thấy hệ số liên kết phụ thuộc vào độ lệch pha ∆k:
- Nếu ∆k =0 dẫn đến g=0 trường Stokes và đối Stokes đều bức xạ tăng lượng bằng nhau.
- Nếu ∆k<<1 thì số Stokes và đối Stokes đều biến đổi tăng và giảm tương ứng theo hàm
lượng mũ.
- Nếu k

rất lớn, tức là k >>|αS| khi đó
4i s
 1
| k |

Sử dụng dụng thức gần đúng, ta có:

20

(1.50)


1

ik  4ik  2
1


g = 
1 −
     s + ik 
2 

k 
2



(1.51)

Mặt khác theo Garmire thì:
Aa
=
As

g +  s +

ik
2

ks

(1.52)

thay vào ta có
Aa
=0
As

(1.53)

Từ đó ta có nhận xét sau:
Do k

s

nên

Aa+*
As+

1

Đối với mode + thì sóng đối Stokes mạnh nhất trong tán xạ Raman cưỡng bức, cịn
Stokes yếu. Ngược lại đối với mode (-) thì sóng Stokes là mạnh nhất cịn sóng đối Stokes
lại tham gia rất yếu.
1.5. Hệ phương trình Maxwell - Bloch cho tán xạ Raman
Cách tiếp cận cổ điển được trình bày ở trên có những hạn chế nhất định, nó khơng
thể áp dụng cho các dao động quay phân tử vì nó khơng tính đến sự phân hủy tần số quay
của các phân tử. Ở đây, chúng tôi dẫn ra hệ phương trình mơ tả tán xạ Raman dựa trên
hình thức Maxwell-Bloch, chỉ ra quá trình phát triển trường bơm và trường Stokes theo
không gian và thời gian, cũng như đáp ứng của môi trường. Phương pháp ma trận mật độ
trong cơ học lượng tử đã được sử dụng để mô tả sự phát triển theo thời gian của nghịch
đảo mật độ và kết hợp phân tử [2,22].
2.5.1 Toán tử ma trận mật độ
Trong cơ học lượng tử, giá trị kỳ vọng của bất kỳ số lượng quan sát nào A có thể
được tính theo các hàm sóng của hệ  i và được định nghĩa như sau:
 A =  i / Aˆ /  i 

21

(1.54)

Tuy nhiên, khi xem xét tính đồng bộ của các hệ cân bằng, chẳng hạn như các
nguyên tử trong hơi nguyên tử, chúng ta cần tính đến xác suất pi của hệ trong trạng thái
 i Giá trị kỳ vọng có thể được thu bởi trung bình (1.54) qua các trạng thái có thể của hệ

thống
A =  i  i | A 
| i

(1.55)

A = tr ( ˆ Aˆ )

(1.56)

ˆ =  pi  i  i

(1.57)

i

hoặc

i

Ở đây ˆ là toán tử ma trận mật độ, biểu diễn ma trận mật độ  . Ma trận của hệ
kích thích 2 mức 2 x 2: (1.57)
 aa

=

 ba

ab 
bb 

(1.58)

Ý nghĩa vật lí của các yếu tố đường chéo  aa và  bb là xác suất cư chú tại các mức
a và b . Yếu tố đường chéo  aa và  bb biểu diễn độ kết hợp giữa các mức a và b ,

khác không nếu hệ trong trạng thái chồng chập kết hợp của trạng thái a và b [2,19].
Giá trị kỳ vọng của bất kỳ đại lượng quan sát nào cũng có thể được xác định theo ma trận
mật độ, sự phát triển thời gian của đại lượng đó được xác định bằng phát triển thời gian
của ma trận mật độ. Nó có thể được biểu diễn như sau

(

nm i 
i
=  H ,   =  H − H 
t

 nm

)

(1.59)
nm

ˆ ˆ - BA
ˆ ˆ là toán tử chuyển vị giữa hai toán tử bất kỳ Aˆ và Bˆ [2].
Với [Aˆ , Bˆ ] = AB

2.5.2 Hệ kích thích ngun tử hai mức
Chúng tơi xem xét hệ hai mức như hình 1.9

22


Hình 1.9: Hệ hai mức năng lượng giữa trạng thái kích thích|𝒃〉 và trạng thái cơ bản |𝒂〉
thỏa mãn mối liên hệ Eb - Ea=  . Trạng thái a và b liên kết với nhau dựa vào tương
tác hai trường  p s* Sự suy giảm trạng thái kích thích với tốc độ thời gian

1
, và tốc độ
T1

suy giảm của mô men cảm ứng trong thời gian T2 (hoặc là độ rộng vạch phổ Raman
=

1
.
T2

Kích thích từ trạng thái cơ bản a lên trạng thái kích thích b được điều khiển bởi
hai trường bơm E p và trường Stokes E s
E( z, t ) = E p ( z, t ) + Es ( z, t )

(1.60)

Sự khác nhau về năng lượng giữa trạng thái kích thích và trạng thái cơ bản là; Eb Ea=  và Ω = ωp - ωs. Trạng thái kích thích phân rã vào hai kênh, sự giảm số xảy ra với
thời gian tỉ lệ
của độ rộng

1
, và sự gây ra cưỡng lực được bỏ vào T2, điều đó làm tăng độ rộng dịng
T1

1
.
T2

Giả sử hệ hai mức khơng có bị ảnh hưởng bởi yếu tố tắt dần, Hamiltonian mô tả hệ
hai mức là
H = H0 + V

(1.61)

Với Hˆ 0 biểu diễn Hamiltonian nguyên tử và Vˆ biểu thị năng lượng tương tác với
trường điện từ. Năng lượng của trạng thái a và b là:
Ea = a và Eb = b
23

(1.62)


Toán tử tương tác là
V (t ) = −  E

(1.63)

Nếu trạng thái a và b có tính chẵn lẻ khác nhau thì các yếu tố chéo của mơ men
lưỡng cực ˆ biến mất (  aa =  bb = 0) nên Vaa = Vbb = 0. Cuối cùng, Hamiltonian được viết
lại như sau:
 
− E 
H = a

b 
− E

(1.64)

Từ (1.59) ta có thể viết hệ phương trình thay đổi theo thời gian của yếu tố ma trận
mật độ như sau [2]
d  aa bb i
=
− (Vba  ab −  abVab )
dt
T1

(1.65)

d  aa

i
= − bb + (Vba  ab −  abVab )
dt
T1

(1.66)


d  ab
1
i
= −  iab +   ab − Vab ( bb −  aa )
dt
T2 


(1.67)


d ba
1
i
= −  iab +   ab + Vab ( bb −  aa )
dt
T2 


(1.68)

 *ab = ba

(1.69)

Trong đó, nm biểu diễn tần số dịch chuyển kích thích nm = (En - Em)/ . Hệ trên,

chúng ta đã tính đến các q trình phân hủy của nghịch đảo mật độ số hạt và kết hợp phân
tử tương ứng là

1
1
và
. Tổng số cư trú của mật độ hạt của các trạng thái được bảo
T2
T1

toàn:
 aa +  bb = 1

(1.70)

1.5.3 Phương trình đảo mật độ ngun tử
Nó rất có ích khi xem xét phương trình thay đổi theo thời gian của nghịch đảo mật
độ phân tử n được xác định:
n = bb − aa
24

(1.71)


Phương trình thay đổi theo thời gian nhận được bằng cách trừ hai phương trình
(1.65) và (1.66):
2
dn d
2i
=

 bb −  aa = − bb − V ba  ab −  ba Vab
dt dt
T1

(

(

)

)

(1.72)

Kết hợp (1.70) và (1.71), có nhận được:
2bb = bb − aa + 1 = n + 1

Sử dụng định nghĩa ( z ) =

(1.73)

1
( z − z * ) và (1.72), (1.73) có thể viết lại
2i

dn
n +1 4
=−
+ (Vba  ab )
dt

T1

(1.74)

Số hạng đầu bên phải n + 1 thực chất là n-(-1), trong đó -1 để biểu mô tả tất cả
phân tử ban đầu ở trạng thái cơ bản. Tổng quát hóa, ta có thể dùng n0 để mô tả trạng thái
ban đầu của hệ nguyên tử, do đó số hạng đó có thể viết n-n0.
Thay (1.60) vào (1.74), chỉ duy nhất xuất hiện số hạng dịch chuyển cộng hưởng
*
b -> a là  p s . Trong đó, chúng tơi đã sử dụng xấp xỉ gần đúng sóng trịn, số hạng

khơng cộng hưởng có thể được bỏ qua. Năng lượng tương tác có thể viết lại:
Vba = r12 *p s

(1.75)

Yếu tố ma trận r12bao gồm sự phân cực dịch chuyển dị hướng và yếu tố Placzek Teller [20,12] và giả sử là thực, không phụ thuộc tần số. Phép xấp xỉ này đúng vì chúng ta
chỉ xét các trạng thái kích thích xa cộng hưởng điện tử. Trường điện từ có thể được viết
lại như sau:
E j ( z, t ) =





1
E j ( Z , t ) exp i ( j t − k j z )  + c.c. =  j +  *j
2

(1.76)

 ab có thể được viết lại:

 ab =  ab (t ).exp[i( t − k 0 z)]

(1.77)

Trong đó Ω= ωb - ωa và k0 =kp - ks. Đại lượng Vba  ab trong (1.74) được viết lại:
Vba  ab = r12

1 *
1
E p exp i ( − pt + k p z ) Es i (st − k s z )  ab exp i ( t − k0 z )
2
2

25